Fong_FQ_semana7

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Física Quântica (BCK0103)
Potenciais Simples
18.3.2021
Chee Sheng Fong 
(sheng.fong ufabc.edu.br)
https://www.sli.do/
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O que vimos
● Dado uma função de onda de uma partícula , a probabilidade de 
encontrar a partícula por unidade de volume
● A evolução de função de onda obedece a Equação de Schrödinger (EdS) 
● Se a energia potencial é independente do tempo , a solução 
tem a forma onde obedece a EdS independente 
do tempo 
Caso de 1D 
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 Condições sobre função de onda
● Uma função de onda (amplitude de probabilidade) deve satisfazer
– deve satisfazer a equação de Schrödinger 
– e devem ser contínuas
– e devem ser finitas
– e devem ser unívocas 
– deve tender a zero quando x→±∞ 
Condição de normalização (Probabilidade total é 1)
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O que veremos
● Potencial independente do tempo
● O poço quadrado infinito
● O poço quadrado finito
● Valores esperados e operadores
Referências: 
[1] P. A. Tipler, R. A. Llewellyn Física Moderna, 6a edição: Cap. 6-2, 6-3, 6-4
[2] R. A. Serway, J. W. Jewett, Jr., Princípios de Física vol. 4 - Óptica e Física Moderna: Cap. 
28.10, 28.11, 28.12 
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 A EdS independente do tempo
● Se a energia potencial é independente do tempo , a função 
de onda pode ser fatorizada 
Substituindo a
Obtemos a EdS independente do tempo
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 A EdS independente do tempo
● 1) Estabilidade de um átomo: a potencial Coulomb é independente do 
tempo
A solução tem a forma para um estado com energia definida (estado fundamental)
A densidade de probabilidade é
É independente do tempo!
Como P(r) descreve a densidade de probabilidade da posição 
do elétron no átomo, também descreve a distribuição da carga 
do elétron . 
Como a distribuição da carga é estática, o elétron no estado 
fundamental não emite a radiação! 
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 A EdS independente do tempo
● 2) Emissão de um átomo excitado: considera um elétron que pode realizar 
uma transição de um estado n para m 
Como temos duas possibilidades de energia, a solução é uma superposição das 
duas funções de onda
A densidade de probabilidade é
Os últimos dois termos dependem do tempo!
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 A EdS independente do tempo
● 2) Emissão de um átomo excitado: considera um elétron que pode realizar 
uma transição de um estado n para m 
Vamos focar nos termos que depende do tempo, temos
A frequência de oscilação é
Como a distribuição da carga associado ao elétron está oscilando com essa 
frequência, o fóton emitido deveria ter exatamente essa frequência
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 O poço quadrado infinito
● Vimos que uma partícula livre de massa m em constante e 
 , a solução é 
Identidade:
A partícula se move no sentido +x
A partícula se move no sentido -x
A: constante 
A solução geral é uma combinação linear ou superposição 
Se A
+
 = ±A
-
, é uma onda estacionário 
(a partícula está “parada”)
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 O poço quadrado infinito
● Para uma partícula sobre potencial constante , a solução geral é 
Uma solução geral da EdS independente 
do tempo quanto V(x) = V
0
 é constante
Como a EdS independente do tempo é real, podemos reescrever 
a solução em forma real
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 O poço quadrado infinito
Vamos escrever k em termo de E e V
0
 
Substituindo a solução a EdS independente do tempo com
● Para uma partícula sobre potencial constante , a solução geral é 
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 O poço quadrado infinito
● Para uma partícula sobre potencial constante , a solução geral é 
Podemos escolher +ve 
sem perda de 
generalidade 
Se , e
Uma solução oscilatória 
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 O poço quadrado infinito
● Para uma partícula sobre potencial constante , a solução geral é 
Podemos escolher +ve 
sem perda de 
generalidade 
Se , é imaginário 
A energia cinética é negativa!
Se x > 0, para que a função de onda tende a zero quando x → ∞ 
Se x < 0, para que a função de onda tende a zero quando x → -∞ 
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 O poço quadrado infinito
● Para uma partícula sobre potencial constante , a solução geral é 
Portanto não tem partícula com uma energia 
cinética negativa. Mas se E < V0 e V0 é finita? 
Consideramos , 
Não existe probabilidade de ter partícula lá
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 O poço quadrado infinito
● Vamos considerar uma partícula de massa m em um poço quadrado infinito
Uma partícula dentro 
de uma caixa infinita
Sabemos a solução
Como a função de onda deveria ser contínua
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 O poço quadrado infinito
● Vamos considerar uma partícula de massa m em um poço quadrado infinito 
Uma partícula dentro 
de uma caixa infinita
Então, a solução é
A energia total da partícula dentro da caixa é
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 O poço quadrado infinito
● Vamos considerar uma partícula de massa m em um poço quadrado infinito
Uma partícula dentro 
de uma caixa infinita
Vamos normalizar a função de onda 
A energia total da partícula dentro da caixa é
Para que a probabilidade total é 1 
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 O poço quadrado infinito
● Vamos considerar uma partícula de massa m em um poço quadrado infinito
Uma partícula dentro 
de uma caixa infinita
Uma revisão de integração
Aplicando
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 O poço quadrado infinito
● Vamos considerar uma partícula de massa m em um poço quadrado infinito
Uma partícula dentro 
de uma caixa infinita
A energia total da partícula dentro da caixa é
A função de onda normalizada é
A densidade de probabilidade dentro da caixa é
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 O poço quadrado infinito
● Vamos considerar uma partícula de massa m em um poço quadrado infinito
O diagrama de níveis de energia
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 Teste rápido 1
● Qual é a possibilidade de encontrar uma partícula dentro do poço infinito de 
largura L entre 0 < x < L/2?
(a) 100%
(b) 50%
(c) 25%
(d) É necessário saber o seu número quântico 
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 O poço quadrado infinito
● Ex. Qual é a probabilidade de encontrar uma partícula no estado 
fundamental em um poço infinito de largura L na região 0 < x < L/3? 
No estado fundamental, a função de onda é
Podemos calcular 
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 O poço quadrado infinito
● A função de onda completa é
O número quântico que especifica o estado da partícula
Ondá estacionário
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 O poço quadrado infinito
● Consistência com o princípio de incerteza de Heisenberg
O momento da partícula no estado fundamental é
A partícula no estado fundamental possui uma energia de ponto zero
Como a partícula é a superposição de duas ondas, uma viaja para direita, 
outra para esquerda, a incerteza de seu momento é 
E a incerteza na sua posição é
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 O poço quadrado infinito
● Ex. Qual é a energia de ponto zero para um elétron confinado dentro de um 
poço infinito de largura 0,100 nm? Qual é o comprimento de onda de fóton 
emitido quando o elétron faz uma transição de n = 3 para o estado 
fundamental? 
A energia de ponto zero corresponde a n = 1
A energia de fóton emitido é 
Seu comprimento de onda é
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 O poço quadrado infinito
● Comparação com os resultados clássicos
Como a partícula não sente nenhuma força dentro do poço infinito
Seu momento deveria ser constante (pode ser 0); sera refletida nas paredes
Para um sistema macroscópico, a energia é muito maior que ou n >> 1, 
portanto a descrição clássica é adequada
Como a velocidade é constante, a (densidade de) probabilidade clássica de ter 
partícula em qualquer posição dentro do poço é constante
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 O poço quadrado infinito
● Comparação com os resultados clássicos
Vamos ver o caso quando n → ∞, isto é para alta energia. Como os picos estão muito 
próximos, apenas o valor média é observado
Consideramos a média de n/2 oscilação
“O principio de correspondência 
de Bohr”
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 O poço quadradoinfinito
● Ex. Estime o número quântica para uma partícula de massa 1,00 g e 
velocidade escalar de 0,100 cm/s confinado em um poço infinito de largura 
1,00 cm.
A energia cinética da partícula é
Então, temos
Um grande números de oscilações dentro do poço de 1,00 cm!
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Coffee break
● Vamos voltar às ...
Fonte: https://br.freepik.com/fotos-premium/xicara-e-xicara-de-cafe-rosa-fique-em-casa-e-beba-cafe-campanha-de-auto-
isolamento-e-quarentena-para-se-proteger-e-salvar-vidas_8020090.htm
30
 O poço quadrado finito
● Vamos considerar uma partícula em um poço quadrado finito dado por 
Sabemos a solução
Uma partícula dentro 
de uma caixa
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 O poço quadrado finito
● Vamos considerar uma partícula em um poço quadrado finito dado por 
Uma partícula dentro 
de uma caixa
A função de onda deveria ser contínua
A derivada da função também deveria ser contínua
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 O poço quadrado finito
● Vamos considerar uma partícula em um poço quadrado finito dado por 
Podemos reescrever em termos de C e D
A relação acima pode ser resolvida numericamente.
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 O poço quadrado finito
● Vamos considerar uma partícula em um poço quadrado finito
Possui um número finito de 
estados dependendo do V
0
Para mesma n, o comprimento de onda é 
maior do que caso do poço infinito
Existe probabilidade de ter a partícula fora do poço com energia cinética negativa? 
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 O poço quadrado finito
● O princípio de incerteza evite essa problema! 
Considere a região x > L, a densidade de 
probabilidade é
A probabilidade de ter a partícula é muito 
suprimido quando 
A incerteza de seu momento nessa região é
Esse energia cinética mínima evita 
a situação que energia cinética ser 
negativa! 
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 Teste rápido 2
● Qual é a possibilidade de encontrar uma partícula em um poço finito de 
largura L entre 0 < x < L/2?
(a) 50%
(b) Menos de 50%
(c) Maior de 50%
(d) É necessário saber o seu número quântico
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 Valores esperados e operadores
● Como podemos verificar a mecânica quântica? Por exemplo, se ela prediz a 
posição de uma partícula?
● A mecânica quântica prediz a probabilidade exatamente. Para verificar sua 
previsão, precisamos fazer muitas medidas.
Por exemplo, dado a função de onda de uma partícula , a probabilidade de 
encontrar a partícula em tempo t
0
 entre a e b é 
Podemos usar também 1000 partículas com a mesma função de 
onda e encontremos 200 partículas entre a e b em tempo t0...
Suponha que P
ab
(t) = 0,200. Se repetirmos o experimento 1000 vezes e sempre 
medir a posição da partícula em t
0 
, em 200 vez, encontraremos ela entre a e b.
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 Valores esperados e operadores
● Podemos determinar o valor médio da posição x ou o valor esperado de x
● Se a partícula está em um estado de energia definida, a densidade de 
probabilidade é independente do tempo e temos 
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 Teste rápido 3
● Qual é o valor esperado da posição x de uma partícula em um poço infinito 
de largura L (x = 0 a x = L)?
(a) 0
(b) L/2
(c) L
(d) É necessário saber o número quântico da partícula
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 Valores esperados e operadores
● Ex. Qual é o valor esperado da posição x para uma partícula em um estado 
n dentro de poço quadrado infinito de largura L? 
A função de onda da partícula dentro do poço é
O valor esperado de x é
Dicas: Alguns passos ... Independente de n
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 Valores esperados e operadores
● Em o valor esperado de qualquer função f(x) é
● Em geral, também pode considerar a função que depende do tempo f(x,t)
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 Valores esperados e operadores
● Ex. Qual é o valor esperado de x2 para uma partícula em um estado n 
dentro de poço quadrado infinito de largura L? 
A função de onda da partícula dentro do poço é
O valor esperado de x2 é
Dicas:
Alguns passos ... Dependente de n
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 Valores esperados e operadores
● Consideramos a incerteza de x como o desvio padrão
Então, para uma partícula no poço infinito
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 Valores esperados e operadores
● Podemos determinar o valor esperado de momento? 
Na mecânica quântica, é impossível escrever momento p em função de x pois os 
valores de x e p não podem ser determinados com precisão absoluta no mesmo 
instante. Como avaliar o valor esperado de momento?
Vamos considerar a função de onda para uma partícula livre
Derivando em x,
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 Valores esperados e operadores
● Identificamos o operador momento (é valido em geral)
Podemos calcular o valor esperado de momento p
Podemos também calcular o valor esperado de p2
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 Teste rápido 4
● Qual é o valor esperado do momento p de uma partícula em um poço 
infinito de largura L (x = 0 a x = L)?
(a) 0
(b) p/2
(c) p
(d) 2p
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 Valores esperados e operadores
● Ex. Qual é o valor esperado de momento p para uma partícula em um 
estado n dentro de poço quadrado infinito de largura L? 
Podemos calcular o valor esperado de momento
A função de onda da partícula dentro do poço é
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 Valores esperados e operadores
● Ex. Qual é o valor esperado de momento p2 para uma partícula em um 
estado n dentro de poço quadrado infinito de largura L? 
Podemos calcular o valor esperado de momento
A função de onda da partícula dentro do poço é
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 Valores esperados e operadores
● Ex. Consideramos a incerteza de posição x e momento p como o desvio 
padrão. Para uma partícula em um estado fundamental dentro de poço 
quadrado infinito de largura L, verifique que está consistente com o princípio 
de incerteza de Heisenberg 
Temos
Então
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 Valores esperados e operadores
● Podemos determinar o valor esperado de energia? 
Vamos considerar a função de onda para uma partícula livre
Podemos achar um operador de energia também?
O operador energia
Derivando em t,
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 Valores esperados e operadores
● Podemos escrever a Equação de Schrödinger (EdS) em termos de 
operadores
● Se a potencial é independente do tempo , a energia E é 
constante 
A EdS independente do tempo
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 Valores esperados e operadores
● Operador (autoestado) = autovalor (autoestado)
O operador hamiltoniano
autovaloroperador autoestado
operador autovalor autoestado
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 Valores esperados e operadores
● O resultado do jogo
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