Fong_FQ_semana8

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Física Quântica (BCK0103)
Potenciais Simples II
25.3.2021
Chee Sheng Fong 
(sheng.fong ufabc.edu.br)
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O que vimos
● Vimos uma partícula de massa m num poço infinito
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 O que vimos
● Vimos uma partícula de massa m num poço finito 
Incerteza da energia evita energia 
cinética negativa fora do poço! 
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 O que vimos
● O valor esperado (valor média) de O é
● A Equação de Schrödinger (EdS) em termos de operadores
A EdS independente do tempo
Operadores:
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O que veremos
● Potencial degrau
● Barreira e tunelamento
Referências: 
[1] P. A. Tipler, R. A. Llewellyn Física Moderna, 6a edição: Cap. 6-6
[2] R. A. Serway, J. W. Jewett, Jr., Princípios de Física vol. 4 - Óptica e Física Moderna: Cap. 28.13 
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 Potencial degrau
● Vimos nos poços infinito ou finito com E < V, uma partícula é ligado e a 
energia é quantizada. Agora, vamos focar no caso que E > V quando a 
partícula não está ligada e qualquer energia é permitida. 
Vamos focar no caso com potencial constante
A solução geral é 
Aplicando a EdS independente do tempo
Hoje é mais conveniente usar essa forma 
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 Potencial degrau
● Vimos nos poços infinito ou finito com E < V, uma partícula é ligado e a 
energia é quantizada. Agora, vamos focar no caso que E > V quando a 
partícula não está ligada e qualquer energia é permitida. 
A solução geral para um potencial constante
Para ter uma função normalizada, temos que formar uma pacote de ondas 
Porém, consideramos feixes de partículas, é comum normalizá-las em termos 
da densidade de partículas do feixe ρ
N: O número de partícula entre a e b
Se move a +x Se move a -x 
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 Potencial degrau
● Ex. Consideramos um feixe de N partículas entre 0 < x < L descrito por uma 
função de onda . Determine a constante A. 
Vamos normalizar a função de onda do feixe
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Potencial degrau
● Considere uma região na qual a energia potencial é 
O que acontece quando um feixe de partículas (cada com energia total E), 
movendo-se da esquerda para a direita, encontra o degrau de potencial? 
Classicamente, se E < V
0
, a partícula sobe parcialmente a rampa e rola de volta 
(“refletida”) com a mesma velocidade. 
Se E > V
0
, ela sobe completamente a rampa (“transmitida”) 
e possui velocidade escalar final
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Potencial degrau
● Considere uma região na qual a energia potencial é 
O que acontece quando um feixe de partículas (cada com energia total E), 
movendo-se da esquerda para a direita, encontra o degrau de potencial? 
Na mecânica quântica, a partícula tem probabilidade de ser refletida ou ser 
transmitida depende de E e V
0 
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Potencial degrau
● Considere uma região na qual a energia potencial é 
I II
Região I
Região II
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Potencial degrau
● Vamos focar no caso E < V0
I II
Região I
Região II
Não aceitável 
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Potencial degrau
● Vamos focar no caso E < V0
I II
Continuidade de em x = 0
Continuidade de em x = 0
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Potencial degrau
● Vamos focar no caso E < V0
I II
15
Potencial degrau
● Vamos focar no caso E < V0
I II
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Potencial degrau
● Vamos focar no caso E < V0
I II
O fluxo de probabilidade (probabilidade/unidade de área/tempo) é
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Potencial degrau
● Vamos focar no caso E < V0
I II
Então O coeficiente de reflexão
Concorda com o 
resultado clássico 
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Potencial degrau
● Vamos focar no caso E < V0
I II
Pórem, diferente do caso clássico (onde a partícula é refletida em x = 0), há 
probabilidade de encontrar a partícula na região x > 0
Distância de penetração
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Potencial degrau
● Agora, vamos focar no caso E > V0
I III II
Continuidade de em x = 0
Continuidade de em x = 0
Não há onde que se move à esquerda
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Potencial degrau
● Agora, vamos focar no caso E > V0
I III II
Temos O coeficiente de reflexão
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Potencial degrau
● Agora, vamos focar no caso E > V0
I III II
Temos
O coeficiente de transmissão
Verifique
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Potencial degrau
● Uma partícula encontra um potencial degrau V0 < E
Em contraste com o 
resultado clássico (T cla = 1 ), 
temos probabilidade de 
reflexão e transmissão! 
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Potencial degrau
● Coeficientes de reflexão R e transmissão T
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Potencial degrau
● Ex. Um feixe de elétrons, cada de energia E = 4,0 eV é incidente ao uma 
potencial degrau de 3,0 eV. Determine 
(a) a fração de elétrons que são refletidos
(b) a fração de elétrons que são transmitidos
(c) a energia cinética de cada elétron transmitido
A fração dos elétrons refletidos é 
A fração dos elétrons transmitidos é 
A energia cinética de cada elétron transmitido é 
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Coffee break
● Vamos voltar às ...
Fonte: https://www.producthunt.com/posts/stretch-from-home
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Barreira e tunelamento
● Vamos considerar uma barreira de potencial quadrada 
Classicamente, se E < V
0
, a partícula será refletida completamente (R = 1) e 
se E > V
0
, a partícula será transmitida completamente (T = 1)
Em caso E > V0 deve ter uma probabilidade de reflexão mas no 
caso E < V0 podemos ter uma probabilidade de transmissão? 
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Barreira e tunelamento
● Vamos considerar uma barreira de potencial quadrada 
I II III
Região I
Região II
Região III
Não há onde que se move à esquerda
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Barreira e tunelamento
● Vamos focar no caso E < V0 
I II III
Região I
Região II
Região III
Como x é finito, é admissível 
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Barreira e tunelamento
● Vamos focar no caso E < V0 
I II III
Região I
Região II
Região III
Continuidade de e em x = 0
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Barreira e tunelamento
● Vamos focar no caso E < V0 
I II III
Região I
Região II
Região III
Continuidade de e em x = a
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Barreira e tunelamento
● Vamos focar no caso E < V0 
I II III
Podemos escrever por ex. A, B, C, D em termos de F
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Barreira e tunelamento
● Vamos focar no caso E < V0 
I II III
O coeficiente de transmissão da região I a região III é
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Barreira e tunelamento
● No caso E < V0 
Se , temos 
Classicamente se não tiver suficiente energia E < V0 , não podemos passar 
a barreira (Tcl = 0) mas na mecânica quântica, é possível. Porque não vimos 
o tunelamento na vida cotidiana? 
Tunelamento quântico 
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Barreira e tunelamento
● Em 1928, Gamow, Condon e Gurney explicaram a enorme variação da vida 
média para o decaimento α dos núcleos radioativos com o efeito túnel
A probabilidade de transmissão 
de α fora do núcleo 
Dentro Fora
Energia potencial de um núcleo Taxa de decaimento é
O número de vezes por segundo 
α se aproxima da barreira
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Barreira e tunelamento
● Na década de 1980, Gerd Binnig e Heinrich Rohrer inventaram o 
microscópio de tunelamento 
A corrente de tunelamento é super 
sensível à distância entre a agulha e a 
amostra: uma variação de 0,5 nm 
(tamanho de um átomo) pode fazer com 
que a corrente se torne 104 vezes maior 
ou menor
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Barreira e tunelamento
● Ex. Um feixe de elétrons, cada de energia E = 1,00 eV, é incidente a uma 
barreira de potencial quadrada de 2,00 eV. Determine a largura da barreira 
de modo que T = 1/2. 
Temos
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Barreira e tunelamento
● Ex. Considere uma bola de 1,00 kg de E = 1,00 J, é incidente a uma 
barreira de potencial quadrada de 2,00 J. Determine a largura da barreira de 
modo que T = 1/2. 
Temos
10-20 vezes menor que o tamanho de um núcleo!
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Barreira e tunelamento
● Agora, vamos ver o caso E > V0 
I II III
Região I
Região II
Região III
Continuidade de e em x = 0 e x = a
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Barreira e tunelamento
● No caso E > V0 
O coeficiente de transmissão da região I a região III é
Classicamente, quanto E > V0, a partícula vai passar a barreira (Tcl = 1), 
qual é a condição para isso acontece na mecânica quântica? 
Interferência destrutivo entre reflexão em x = 0 e x =a
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Barreira e tunelamento
● Os coeficientes de reflexão R e transmissão T 
Tunelamento Transmissão total 
Gráfico com 
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Barreira e tunelamento
● Comparação entre as duas potenciais 
Tunelamento Transmissão total 
Gráfico com 
Barreirade 
potencial 
quadrada 
Potencial 
degrau
Reflexão total 
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Barreira e tunelamento
● Ex. Um feixe de elétrons, cada de energia E = 2,00 eV, é incidente a uma 
barreira de potencial quadrada de 1,00 eV. Determine as larguras quando 
temos transmissão total.
A condição para ter T = 1 é
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