FQ___lista_7___2021_3___QS___Gabarito

Prévia do material em texto

Física Quântica - 2021.3 - Quadrimestre Suplementar 4
- Lista 7 -
Tema: Degraus, Barreiras e Tunelamento
- GABARITO -
Questões:
a. Discuta qualitativamente os fenômenos de reflexão e transmissão de ondas de matéria em
uma barreira de potencial e em um poço de potencial quadrado finito.
Resp: No caso da barreira potencial três fenômenos podem ocorrer dependendo da energia
total da partícula (E), do potencial da barreira (V0) e da largura da barreira (L):
• Se E ≥ V0: A onda ou o pacote de ondas ao atingir a barreira devido a abrupta
mudança de potencial em parte é refletido e em parte transmitido. Esse fenômeno
ocorre tanto no início quanto no fim da barreira, ou seja, sempre que há uma mudança
repentina de potencial. No caso de uma partícula clássica essa reflexão não seria
esperada. A porcentagem de partículas que são refletidas ou transmitidas dependendo
dos valores de E e V0;
• Se E < V0 e L é grande: Todas as partículas são refletidas ao atingir a barreira;
• Se E < V0 e L é suficientemente pequeno: Parte das partículas são refletidas e parte
são transmitidas graças ao fenômeno de tunelamento, tal fenômeno não possui aná-
logo clássico.
No caso do poço quadrado finito, teremos também os fenômenos de reflexão e transmissão
pra estados que nao sejam ligados. Ou seja:
• Se E ≥ V0: Ocorre o efeito de transmissão e reflexão de maneira semelhante ao caso
descrito anteriormente;
• Se E < V0: Temos um estado ligado, ou seja, a partícula é confinada no potencial e
pode possuir apenas valores específicos de energia (E).
b. Explique o que é tunelamento, como ocorre e quais as condições para que ocorra.
Resp: O fenômeno de tunelamento ocorre quando uma onda consegue penetrar e atraves-
sar uma barreira de potencial mesmo que classicamente ela não tivesse a energia suficiente
para superar esta barreira. Resolvendo a equação de Schrödinger vemos que a probabili-
dade deste efeito ocorrer diminui com a largura da barreira e com a altura do potencial,
pois nas regiões classicamente proibidas há uma supressão (ou queda) exponencial na fun-
ção de onda e consequentemente na probabilidade de se medir a partícula nessa região. Se
considerarmos um potencial degrau finito, determinando as solução da equação de Schrö-
dinger e aplicando as condições de contorno, chegamos que o coeficiente de transmissão
(associado a probabilidade partícula atravessar a barreira) para o caso de um potencial
muito alto (comparada a energia da partícula) é proporcional a:
T ∝ e−2
√
2m(V0−E)
~ L
Podemos ver que depende da massa da partícula, da diferença entre o potencial e a energia
da partícula (V0 − E) e da largura da barreira (L).
c. Considere uma feixe de partículas de massa m0 e energia cinética média Ek que incidem
em uma barreira quadrada de largura L e altura V0, onde Ek < V0. Escreva a expressão
que descreve a taxa de transmissão de tunelamento e discuta como o valor desta taxa muda
quando variamos os parâmetros m0, Ek, L e V0.
Resp: A taxa de transmissão de tunelamento é proporcional à expressão
T ∝ e−2
√
2m0(V0−Ek)
~ L
Assim, analisando esta expressão matemática, podemos ver que T é inversamente propor-
cional a m0, V0 e L, ou seja, quanto maior um destes parâmetros, menor será a taxa de
transmissão. Ainda podemos notar que, T é afetado de forma mais acentuada por L que
por m0 e V0, pois o efeito de L não é atenuada pela raiz quadrada. Em relação a energia
cinética EK ,T é diretamente proporcional, ou seja, quanto maior a energia cinética da
partícula, maior é a transmissão
Nota 1: Um cálculo exato da taxa de transmissão de tunelamento de partículas de massa
m0 e com energia cinética E por uma barreira quadrada de altura V0 e largura L é dada
por:
T =
[
1 +
senh2(
√
2m0(V0−Ek)
~ L)
4EkV0 (1−
Ek
V0
)
]−1
Onde senh(x) é o seno hiperbólico [senh(x) = e
x−e−x
2 ] Porém, para casos onde (
√
2m0(V0−E)
~ L) >>
1, a expressão pode assumir a forma aproximada mais simples utilizada na resposta das
questões b e c. A dedução da expressão exata da taxa de tunelamento pode ser vista no
livro Física Moderna, , Tipler, Seção 6-6.
Problemas:
1. Considere o potencial degrau
V (x) =
 0 se x ≤ 0 (região I)V0 se x > 0 (região II),
em que V0 é uma constante positiva.
(i) Sendo E = V0/2 a energia de cada partícula num feixe incidindo inicialmente de x < 0
e que se move em direção a x > 0, calcule o coeficiente de reflexão R. Nesse caso qual é
o comportamento da função de onda de uma partícula na região onde x > 0? É possível
Page 2
observar partículas nesta região em algum momento?
(ii) Para E = 2V0, calcule o coeficiente de reflexão R e o coeficiente de transmissão T .
Mostre que R + T = 1.
(iii) No caso do item (ii) e considerando que o feixe contém aproximadamente um milhão
de partículas, qual seria o número estimado de partículas refletidas?
Resp: (i) Neste caso, temos um comportamento de decaimento exponencial e−
√
2m(V0−E)
~
para a região x > 0 e não observaremos partículas nesta região, assim, temos T = 0 e,
portanto, R = 1.
(ii)Neste caso, considerando as condições de contorno para o problema, temos que R =
(k1−k2)2
(k1+k2)2
e T = (4k1k2)
(k1+k2)2
(Física Moderna-Tipler, seção 6-6) e para E = 2V0. Lembrando
que k1 =
√
2mE
~2 e k2 =
√
2m(E−V0)
~2 . Então, k1 =
√
2k2, assim: R =
(2−
√
2)2
(2+
√
2)2
= 0, 03 e
T = (8
√
2)
(2+
√
2)2
= 0, 97 e, portanto, T + R = 1, como esperado.
(iii) O número de partículas refletidas é dado por n = NTR, como NT = 106 partículas,
então n = 30000.
2. Em um dispositivo semicondutor, uma camada de óxido forma uma barreira com 0.5 nm
de largura e 10 V de altura entre os dois fios condutores. Elétrons chegam a barreira depois
de serem acelerados por uma tensão de 5 V, partindo aproximadamente do repouso.
(i) Qual fração dos elétrons incidentes consegue atravessar a barreira por tunelamento?
(ii) Qual deve ser a tensão de aceleração para que a fração dos elétrons incidentes que
consegue atravessar a barreira por tunelamento seja o dobro do valor encontrado no item
(i)?
Resp: (i) Podemos usar uma expressão aproximada para a taxa de tunelamento (trans-
missão através da barreira): T ≈ 16 EV0
(
1 − EV0
)
e−2
√
2m(V0−E)
~ L (Física Moderna-Tipler,
seção 6-6), que para os valores dados resulta em T = 4, 27× 10−5.
(ii) Para esta questão, vemos que a taxa de tunelamento é proporcional a tensão de acele-
ração. Assim, mantendo todos os parâmetros na expressão do item (i) e variando apenas
o valor de E, vemos que para E = 5, 6eV, nós obtemos um valor de T que é a dobro do
valor obtido em (i).
Nota: O ideal para resolver este item seria a inversão da equação do item anterior, po-
rém ficamos com uma equação transcendente bastante complicada, assim, nós optamos
pela solução fazendo tentativa e erro de valores de E até obter um valor de T que fosse
o dobro do obtido no item anterior.Outra forma de resolução válida é fazer o gráfico de
T − 8, 58.10−5, ou seja, a função menos o valor que queremos achar e procurar sua raiz,
como mostrado na Figura 1.
Page 3
Figura 1: Gráfico de T − 8, 58.10−5 e valor de sua raiz.
3. Um elétron tem energia cinética de 12, 0 eV. O elétron incide sobre uma barreira retangular
de altura 20, 0 eV e largura de 1, 00 nm. Se o elétron absorveu toda a energia de um fóton
de luz verde, com comprimento de onda de 546 nm, no instante em que alcançou a barreira,
por qual fator aumentaria a probabilidade de o elétron tunelar através da barreira?
Resp: Para esta questão, primeiramente usamos T ≈ 16 EV0
(
1 − EV0
)
e−2
√
2m(V0−E)
~ L para
determinar a taxa de transmissão do elétron antes deste absorver o fóton, que resulta em
Tantes ≈ 1, 01 × 10−12. Então, após a absorção do fóton, o elétron passa a ter uma nova
energia cinética de Edepoisk = E
antes
K +
hc
λ = 12, 0 + 2, 27 = 14, 27eV e, portanto, devemos
recalcular a taxa de transmissão, que nos dá Tdepois ≈ 7, 40× 10−11. Desse modo, o fator
de aumento da probabilidade de tunelamento é dado por ∆T = TdepoisTantes ≈ 73, 0, ou seja,
após o elétron absorver o fóton, este elétronteria probabilidade 73 vezes maior de tunelar.
Page 4