MATEMÁTICA 03

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MATEMÁTICA
	TURMA: 9º ANO
	AULA 02/2022
	Objeto de conhecimento: Números racionais: Dízima periódica. Números reais: Estimativa de localização na reta numérica.
	Habilidades: (EF09MA01) Compreender que existem problemas, especialmente alguns vinculados à geometria e medidas, cujas soluções não são dadas por números racionais (caso do π, da √2, √3 etc.). (EF09MA02-A) Reconhecer um número racional como um número real, cuja representação decimal é finita ou decimal infinita e periódica, dízima periódica, e que pode ser escrita em forma de fração irredutível a/b, com b diferente de zero. (EF09MA02-B) Aplicar a localização de números racionais para estimar a localização de alguns números irracionais na reta numérica. (EF09MA02-C) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica em situações diversas.
	NOME:
	UNIDADE ESCOLAR: 
Números Racionais(Q)  
  O conjunto dos números racionais é composto por todos os números que podem ser escritos na forma ab , sendo a e b números inteiros e b≠0.
  Portanto, o conjunto dos números racionais engloba os números inteiros e os decimais finitos e infinitos periódicos.
Dízima Periódica
Exemplos:
0,333...
0,171717... 
Os números decimais periódicos pertencem ao conjunto dos números racionais (Q), pois podem ser escritos na forma de fração. Por exemplo, o número 0,444... também pode ser escrito como quatro nonos:
0,444…= 49
Dízimas Periódicas Simples e Compostas
São exemplos de dízimas periódicas simples:
0,24242424... → parte inteira igual a 0 e período igual a 24
1,777777... → parte inteira igual a 1 e período igual a 7
345,189189189... → parte inteira igual a 345 e período igual a 189
São exemplos de dízimas compostas:
2,216666... → parte inteira igual a 2, antiperíodo igual a 21 e período igual a 6.
7,2345555... → parte inteira igual a 7, antiperíodo igual a 234 e período igual a 5.
21,1830303030... → parte inteira igual a 21, antiperíodo igual a 18 e período igual a 30.
Representação das dízimas periódicas
As dízimas podem estar escritas na forma de fração geratriz ou na forma de número decimal. Quando estiver escrita na forma decimal, colocamos três pontinhos no final para indicar que os algarismos se repetem infinitamente.
Podemos ainda representar esse tipo de número colocando um traço horizontal apenas em cima do seu período.
Exemplos:
a) 1,333... = 1,3 (período igual a 3)
b) 7,3485485485…=23,485 (período igual 485)
Fração geratriz
Como vimos, as dízimas periódicas são números racionais e para encontrar a fração geratriz de uma dízima podemos aplicar um método prático.
Se o número for uma dízima simples, devemos colocar:
· No numerador, um número formado pelos algarismos inteiros e o período, menos os algarismos inteiros, sem a vírgula. 
· No denominador, um número formado apenas por algarismos iguais a nove. A quantidade de "noves" dependerá de quantos algarismos formam o período da dízima. 
Exemplo: A fração geratriz da dízima 3,171717… será igual a
317   -   399
Logo,
317-399=31499
Se o número for uma dízima composta, devemos colocar:
· No numerador uma subtração entre o número formado pelos algarismos da parte inteira, o antiperíodo e o período (sem a vírgula) e o número formado pela parte inteira e o antiperíodo, também sem a vírgula.
· No denominador, um número formado apenas por algarismos iguais a nove. A quantidade de "noves" dependerá de quantos algarismos formam o período da dízima. A quantidade de “zeros” dependerá de quantos algarismos formam o antiperíodo.
Exemplo: A fração geratriz da dízima 7,3828282… será igual a
7382   -   73990
Logo,
7382-73990=7309990
Os números Irracionais (Ι)
O conjunto dos números irracionais (I) é, diferentemente do conjunto dos números racionais (ℚ), composto apenas por números cuja representação decimal é infinita e não periódica. 
Exemplos: 
· Todas as raízes quadradas que não são números naturais, são números decimais infinitos não periódicos, portanto números irracionais:
            2=1,414213562373…
            3=1,732050807568…
             5=2,236067977490…
· O valor da constante (pi), obtida a partir da razão entre o diâmetro e o comprimento de qualquer circunferência, é um número irracional:
π= 3,14159265358979323846…
· O número de ouro, representado pela letra grega (phi), também é uma constante algébrica irracional.
Também conhecida como razão áurea, média áurea, proporção divina e regra de ouro, pode ser obtida a partir de um segmento de reta. Seja a medida da parte maior deste segmento a e b a menor como na figura abaixo:
Fonte: Autor.
Agora, tomemos uma expressão de modo que especificamente a soma de ambas, dividida pela parte maior seja igual a parte maior dividida pela menor,
φ= a+ba  =ab =1,61803398874989484820…
Localização de números irracionais na reta numérica
Por se tratarem de números decimais infinitos não periódicos, a localização dos números irracionais na reta numérica não pode ser feita com exatidão. Porém, podemos estimar a localização desses números de diferentes formas. Como exemplo, vamos demonstrar dois procedimentos para estimar a localização do número 2:
1° Procedimento:
· Desenhamos uma reta numerada numa malha quadriculada (1 cm × 1 cm). Considerando um quadrado cuja medida do comprimento de seu lado é 1 cm, sua diagonal terá medida de comprimento igual a 2 cm. (Isso pode ser demonstrado por meio do Teorema de Pitágoras.)
Disponível em: https://bityli.com/OfoOg. Acesso em: 26 de jan. de 2022.
· Com o auxílio de um compasso, abrindo-o do tamanho da diagonal, colocando a ponta-seca sobre o ponto representativo do zero na reta numerada e, com a ponta móvel sobre a outra extremidade da diagonal, desliza-se até a reta numerada. O ponto de encontro desse traçado com a reta numerada será o ponto representativo da medida 2  cm. Veja na figura a seguir:
Disponível em: https://bityli.com/OfoOg. Acesso em: 26 de jan. de 2022.
Observando a marcação na reta, notamos que o número 2 se encontra entre 1,4 e 1,5. Ou seja, 1,3<2<1,4.
2° Procedimento:
Sabemos que 1<2<4. Logo, 1<2<2, ou seja, o número 2 se encontra entre 1 e 2.
· Vamos buscar aproximações para estimar a localização de 2 com uma casa decimal:
(1,1)2=1,21
(1,2)2=1,44
(1,3)2=1,69
(1,4)2=1,69 (Falta 0,31 para 2)
(1,5)2=2,25 (Passa 0,25 de 2)
Logo, 1,69<2<2,25. Portanto, 1,4<2<1,5. Ou seja, o número 2 se encontra entre 1,4 e 1,5.
· Vamos buscar agora aproximações para 2 com duas casas decimais:
(1,41)2=1,9881 (Falta 0,0119 para 2)
(1,42)2=2,0164 (Passa 0,0164 de 2)
Logo, 1,9881<2<2,0164. Portanto, 1,41<2<1,42. Ou seja, o número 2 se encontra entre 1,41 e 1,42.
Atividades
01. Expresse na forma de fração os seguintes números racionais.
a) 0,888…
b) 1,454545…
c) 3,777…
d) 0,0444…
e) 2,63111…
  02. (Enem 2015 - ADAPTADO) No contexto da matemática recreativa, utilizando diversos materiais didáticos para motivar seus alunos, uma professora organizou um jogo com um tipo de baralho modificado. No início do jogo, vira-se uma carta do baralho na mesa e cada jogador recebe em mãos nove cartas. Deseja-se formar pares de cartas, sendo a primeira carta a da mesa e a segunda, uma carta na mão do jogador, que tenha um valor equivalente àquele descrito na carta da mesa. O objetivo do jogo é verificar qual jogador consegue o maior número de pares. Iniciado o jogo, a carta virada na mesa e as cartas da mão de um jogador são como no esquema:
Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão desse jogador podem formar um par com a carta da mesa? 
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03. O número real representadopor 0,5222... é 
(A) 52
(B)  529 
(C) 479   
(D) 4790   
(E) 4799
  04. (Ufrgs 2008) Se x = 0,949494... e y = 0,060606..., então x + y é igual a 
(A) 1,01.   
(B) 1,11.   
(C) 109.
(D) 10099.   
(E) 1109.   
  05. (Pucrj 2007) Escreva na forma de fração mn a soma 0, 2222... + 0, 23333.... 
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  06. (Pucrj 2004) A soma 1,3333... + 0,16666... é igual a  
(A) 12.
(B) 52. 
(C) 43.
(D) 53. 
(E) 32.
  07. (Ufrj 2002) Sejam x=1 e y=0,999… (dízima periódica). Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? 
  a) x<y                                                  b) x>y                             c) x=y
  Justifique sua resposta.
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08. Utilizando a malha quadriculada a seguir, régua e compasso. Considerando 1 cm como unidade de medida   de comprimento, determine a localização de 22 (diagonal de um quadrado de medida de comprimento do lado de 2 cm).
09. Utilizando procedimento análogo ao 2° procedimento apresentado na Aula, estime a localização do número 5 com duas casas decimais.
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10. Na reta numerada o número irracional 7 está localizado entre os números
(A) 1,63 e 1,64.
(B) 1,64 e 1,65.
(C) 2,63 e 2,64.
(D) 2,64 e 2,65.
(E) 2,65 e 2,63.
Respostas:
 
01.
a) 0,888...=08-09=89
b) 1,454545...=145-199=14499
c) 3,777…=37-39=349
d) 0,0444…=4-090=490=245
e) 2,63111..=2631-263900=2368900
02. 
Observamos que 68=34=0,75=75%. Portanto, a resposta é 3.
03.
0,5222…=52-590=4790
Gabarito: D
04. 
x=9499 e y=699⇒x+y=10099.  
Gabarito: D
05.
0,222…=29 e 0,23333…=23-290=2190=730
  
Portanto,  0,222…+0,23333…=29+730=2090+2190=4190
06.
1,333…=13-19=129=43 e 0,166…=16-190=1590=16
 Portanto, 1,333…+0,1666…=43+16=86+16=96=32
Gabarito: E
07.
Observamos que:
y=0,999…=9-09=99=1
Portanto, x=y.  
 
08. Utilizando procedimento análogo ao 1° procedimento apresentado na Aula 2, o aluno deve destacar inicialmente um quadrado de medida de comprimento do lado de 2 cm. Dessa forma, a diagonal desse quadrado terá medida de comprimento de 22cm.
09.
Sabemos que 4<5<9. Logo, 2<5<3, ou seja, o número 5 se encontra entre 2 e 3.
· Vamos buscar aproximações para estimar a localização de 5 com uma casa decimal:
(2,1)2=4,41
(2,2)2=4,84 (Falta 0,16 para 5)
(2,3)2=5,29 (Passa 0,29 de 5)
Logo, 4,84<5<5,29. Portanto, 2,2<5<2,3. Ou seja, o número 5 se encontra entre 2,2 e 2,3.
· Vamos buscar agora aproximações para 5 com duas casas decimais:
(2,21)2=4,8841 
(2,22)2=4,9284 
(2,23)2=4,9729 
(2,24)2=5,0176 
Logo, 4,9729<5<5,0176. Portanto, 2,23<5<2,24. Ou seja, o número 5 se encontra entre 2,23 e 2,24.
10.
Sabemos que 4<7<9. Logo, 2<7<3, ou seja, o número 7 se encontra entre 2 e 3.
· Vamos buscar aproximações para estimar a localização de 7 com uma casa decimal:
(2,1)2=4,41
(2,2)2=4,84 
(2,3)2=5,29 
(2,4)2=5,76 
(2,5)2=6,25 
(2,6)2=6,76 (Falta 0,24)
(2,7)2=7,29 (Passa 0,29)
Logo, 6,76<7<7,29. Portanto, 2,6<7<2,7. Ou seja, o número 7 se encontra entre 2,6 e 2,7.
· Vamos buscar agora aproximações para 7 com duas casas decimais:
(2,61)2=6,8121 
(2,62)2=6,8644
(2,63)2=6,9169
(2,64)2=6,9696
(2,65)2=7,0225
Logo, 6,9696<7<7,0225. Portanto, 2,64<7<2,65. Ou seja, o número 7 se encontra entre 2,64 e 2,65.
Gabarito: D