MATEMÁTICA 01

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MATEMÁTICA
	TURMA: 7º ANO
	AULA 02/2022
	Objeto de conhecimento: Linguagem algébrica: variável e incógnita; sequência numérica aditiva e multiplicativa; números poligonais; sequência de Fibonacci; sequências recursivas e não recursivas.
	Habilidades: (EF07MA13-A) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita, com ou sem uso de jogos e materiais manipuláveis. (EF07MA14-A) Explorar e relacionar diferentes sequências recursivas em situações como a construção do conjunto dos números naturais, a construção de sequências numéricas aditivas e multiplicativas, a construção dos números poligonais e a construção da sequência de Fibonacci.
	NOME:
	UNIDADE ESCOLAR: 
Linguagem algébrica
Na imagem a seguir temos uma sequência de figuras formadas por pentágonos. 
Percebemos que:
· A figura 1 é formada por um pentágono (possui 5 segmentos);
· A figura 2 é formada por dois pentágonos (possui 9 segmentos);
· A figura 3 por é formada por três pentágonos (possui 13 segmentos).
Sabendo que as próximas figuras, seguem esse mesmo padrão, é possível determinarmos uma expressão matemática que relacione a quantidade de segmentos Q da figura que possui um número de pentágonos igual a n.
	Número de pentágonos (n)
	Quantidade de segmentos (Q)
	1
	4∙1+1=5
	2
	4∙2+1=9
	3
	4∙3+1=13
	4
	4∙4+1=17
	n
	4∙n+1=4n+1
Portanto, percebemos que a figura que possui um número de pentágonos igual a n, terá uma quantidade de segmentos iguais a Q=4n+1
Q=4n+1
Se quisermos saber quantos pentágonos terá a figura formada por 29 segmentos, podemos “substituir” a variável Q por 29, observe:
Q=4n+1
29=4n+1
4n+1=29
Neste caso, a expressão algébrica 4n+1=29 é uma expressão ou sentença algébrica fechada, pois n só pode assumir um único valor que torna a sentença verdadeira.
4n+1=29
Para determinar o valor de n resolvemos a equação:
4n+1=29
4n=29-1
4n=28
n=  284
n=7
Sequências 
Na Matemática, utilizamos as sequências numéricas (ou de figuras), que são aquelas que apresentam números escritos (ou figuras dispostas) em determinada ordem preestabelecida. Cada elemento que compõe uma sequência é denominado termo desta sequência. A ordem em que o termo aparece é a posição dele na sequência.
Exemplos:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, ...): Sequência dos números naturais.
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...): Sequência dos números naturais primos.
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...): Sequência dos números naturais ímpares.
Classificação das sequências
· Sequência recursiva: Uma sequência é recursiva quando cada termo depende do termo anterior ou de termos anteriores (conhecido como termo inicial).
Exemplos: 
· (1, 5, 9, 13, 17, ...) – Nesta sequência, cada termo, a partir do segundo, é o termo anterior adicionado 4 unidades. Observe:
Esta sequência é chamada de sequência aditiva.
· (2, 6, 18, 54, 162, ...) – Nesta sequência, cada termo, a aprtir do segundo, é o temo anterior multiplicado por 3. Observe:
· Sequência não recursiva: São as sequências que não dependem de termos anteriores para determinar o próximo termo.
Exemplos:
· (1, 2, 4, 8, 16, ...) – Esta sequência é formada pelas potências de base 2, portanto os termos não dependem do termo anterior. Observe:
· (3, 6, 9, 12, 15, ...) – Esta sequência é formada pelos múltiplos naturais de 3, portanto os termos não dependem do termo anterior. Observe:
Lei de formação ou Termo Geral de uma sequência
A lei de formação é a expressão algébrica ou “fórmula” que determina todos os termos de uma sequência.
1) Observe a sequência não recursiva (1, 3, 9, 27, ...) qual será o próximo termo desta sequência?
	Posição do termo
	Valor
	Lei de formação
	a1
	1
	30
	a2
	3
	31
	a3
	9
	32
	a4
	27
	33
	an
	...
	3n-1
Portanto, a fórmula do termo geral dessa sequência é:
2) Observe a sequência recursiva (1, 4, 7, 10, ...) qual será o próximo termo desta sequência?
	Posição do termo
	Valor
	Lei de formação
	T1
	1
	
	T2
	4
	1+3
	T3
	7
	4+3
	T4
	10
	7+3
	Tn
	...
	Tn-1+3
Portanto, a fórmula do termo geral dessa sequência é:
Sequências do Números poligonais
Números quadrados
Fonte: Somos Educação/Arquivo da editora.
{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...}
 Números triangulares
Fonte: Somos Educação/Arquivo da editora.
{1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...}
Sequência de Fibonacci
Sequência de Fibonacci é a sequência numérica proposta pelo matemático Leonardo Pisa, mais conhecido como Fibonacci. Nesta sequência, cada termo a partir do terceiro, é a soma dos dois termos anteriores. 
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...}
Espiral de Fibonacci
    
Disponível em: https://www.infoescola.com/matematica/sequencia-de-fibonacci/
ATIVIDADES
1. Escreva uma expressão algébrica que represente cada situação, utilize variáveis para representar os valores desconhecidos.
a) O quádruplo de um número.
b) A terça parte de um número.
c) Um número adicionado a 3.
d) O cubo de um número mais 5
e) A raiz quadrada de um número.
2. Determine o valor numérico das expressões.
a) 5x – 4, para x = 2.
b) 3x + y – 2, para x = - 4 e y = 3.
3. Na escola onde Nícolas estuda, a média anual de uma disciplina é calculada utilizando a expressão a seguir: 
m1 + 2m2+ 3m3+ 4m410
Em que m1 é a média do 1° bimestre, m2, a do 2° bimestre; m3, a do 3° bimestre; e m4, a do 4° bimestre. Nicolas obteve as notas 5, 6, 7 e 8 em Matemática, no 1°, no 2°, no 3° e no 4° bimestre, respectivamente. 
Responda:
a) Qual foi a média anual de Nicolas nessa em Matemática?
b) As letras m1, m2, m3 e m4, representam incógnitas ou variáveis? Justifique sua resposta.
4. (Obmep- Adaptada) Um queijo foi partido em quatro pedaços de mesmo peso. Três desses pedaços pesam o mesmo que um pedaço mais um peso de 0,8 kg. 
                        
Fonte: Reprodução/OBMEP, 2011.
a) Sendo o peso de cada pedaço de queijo representado pela letra x, escreva a expressão algébrica que permite calcular o valor de x.
b) A letra x na expressão algébrica que você escreveu é uma variável ou uma incógnita? Justifique sua resposta.
c) Qual é o peso de cada pedaço de queijo?
d) Qual era o peso do queijo inteiro?
5. Nas sequências numéricas a seguir, escreva uma expressão algébrica que relacione cada numero (n) à sua posição (p) na sequência.
a) 2, 4, 6, 8, ...
b) 1, 3, 5, 7, 9, ...
c) 1, 4, 7, 10, ...
d) 1, 6, 11, 16, 21, ...
6. João usou palitos de dente para construir quadrados, um ao lado do outro, conforme indicado abaixo.
Fonte: JS Design/Arquivo da editora.
Sabe-se que: na figura 1, temos 1 quadrado formado com 4 palitos; na figura 2, temos 2 quadrados formados com 7 palitos; na figura 3, temos 3 quadrados formados com 10 palitos; e assim por diante. Nessas condições, qual é a expressão que representa a quantidade de palitos (p) usados na formação do número de quadrados (q)?
(A) p = q + 3
(B) p = 3q + 1
(C) p = 4q
(D) p = 4q + 1
7. Observe a sequência dos números triangulares abaixo.
Somos Educação/Arquivo da editora.
Qual é o número de bolinhas da 8ª figura da sequência? 
(A) 15
(B) 21
(C) 28
(D) 36
8. Leonardo ganhou um casal de coelhos recém-nascidos. Imagine que os coelhos chegam à idade de acasalar um mês depois de nascer e que as fêmeas demoram um mês para parir, gerando apenas outro casal, e que vão aumentando de acordo com a sequência: {1, 1, 2, 3, 5, 8,...}. Quantos casais de coelhos ele terá depois de um ano?
(A) 121
(B) 144
(C) 233
(D) 377
9. Enumere cada sequência numérica na coluna da direita de acordo com as respectivas expressões que as representam na coluna da esquerda.
	Termo (T)
	2
	6
	12
	20
	30
	(    )
	Posição (n)
	1
	2
	3
	4
	5
	
  T=n2+n   ( I )
	Posição (n)
	1
	2
	3
	4
	5
	  (   )
	Termo (T)
	2
	5
	8
	11
	14
	
T=n-12   ( II )
	Posição (n)
	1
	2
	3
	4
	5
	 (   )
	Termo (T)
	6
	12
	20
	30
	42
	
T=n+12+n+1   ( III )
  
	Termo (T)
	0
	1
	4
	9
	16
	     (   )
	Posição (n)
	1
	2
	3
	4
	5
	
 T=3n-1  ( IV )
10. Qual é a expressão que permite calcular a quantidade de quadrados q das figuras desta sequênciade acordo com sua posição p?
Respostas comentadas: 
1.
a) 4x
b) x3
c) 3 + x
d) x3+ 5
e) x
2.
a) 5x – 4, para x = 2.
5 ∙ 2 – 4
10 – 4
6
b) 3x + y – 2, para x = - 4 e y = 3.
3∙(- 4) + 3 – 2
- 12 + 3 – 2
- 9 – 2
- 11
3.
a)
5+2 . 6+3 . 7+4 . 810 = 5+12+21+3210 = 7010 = 7
Portanto, a média de Nicolas foi 7.
b) Representam variáveis, pois os valores das médias podem variar dependendo do estudante ou do componente   curricular a que esteja se referindo.
4.
  a) Como a balança está em equilíbrio, temos a seguinte situação:
3x = x + 0,8
  b) 
Uma incógnita, pois representa um valor desconhecido, no caso o peso do pedaço de queijo, na expressão 3x = x + 0,8, que é uma equação.
  c) 
3x = x + 0,8
3x – x = 0,8
2x = 0,8
x = 0,82     →    x = 0,4
Portanto, o “peso” de cada pedaço de queijo é 0,4 kg ou 400 g
d) 
4x = 4 ∙ 0,4 = 1,6. Logo, o “peso” do queijo inteiro é 1,6 kg.
5.
a) n = 2p
b) n = 2p - 1
c) n = 3p - 2
d) n = 5p - 4
6.
Observe que o número de palitos aumenta de 3 em 3 a cada quadrado a mais.
4 = 3 . 1 + 1
7 = 3 . 2 + 1
10 = 3 . 3 + 1
Desse modo, de acordo com o padrão, a quantidade p de palitos usados na formação de q quadrados é igual a:
p = 3q + 1
Gabarito: B.
7. 
Sequência: {1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, ...}
Gabarito: D.
8.
Sequência de Fibonacci: {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...}
Gabarito: C.
9.
	Termo (T)
	2
	6
	12
	20
	30
	( I )
	Posição (n)
	1
	2
	3
	4
	5
	
  T=n2+n   ( I )
	Posição (n)
	1
	2
	3
	4
	5
	  ( IV )
	Termo (T)
	2
	5
	8
	11
	14
	
T=n-12   ( II )
	Posição (n)
	1
	2
	3
	4
	5
	 (III)
	Termo (T)
	6
	12
	20
	30
	42
	
T=n+12+n+1   ( III )
  
	Termo (T)
	0
	1
	4
	9
	16
	(II)
T=3n-1  ( IV )
10.
 p=1→q=5=4∙1+1
p=2→q=9=4∙2+1
p=3→q=13=4∙3+1
p=4→q=17=4∙4+1
q=4∙p+1→q=4p+1