Cálculo para Computação Aula3

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia I
Aula 3: A derivada – parte I
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Apresentação
Nas aulas anteriores, trabalhamos a ideia de limite. Embora importante, a partir de agora, ele passará a ocupar um papel de
coadjuvante.
Muitos fenômenos físicos envolvem grandezas que variam como a velocidade de um foguete: a in�ação de uma moeda, o
número de bactérias em uma cultura, a intensidade do tremor de um terremoto e assim por diante. Nesta aula,
começaremos a desenvolver o conceito de “derivada”, que é a ferramenta matemática para estudar a taxa segundo a qual
varia uma quantidade em relação à outra.
O estudo de taxas de variação está relacionado com o conceito geométrico de uma reta tangente a uma curva. Assim sendo,
nossa jornada começa com a criação de uma linha tangente para uma função e o cálculo da sua inclinação com uma
simples “matemágica” ou uma derivada.
Objetivos
Explicar o conceito de derivada e sua interpretação geométrica;
Aplicar a regra da cadeia;
Utilizar a derivação implícita.
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Quando uma secante se torna uma tangente
Antes de começar a calcular a inclinação de uma linha tangente, você precisa estar a par do que isso signi�ca.
Trata-se de uma linha que simplesmente desliza ao longo da margem de uma curva,
tocando-a no ponto que você quiser.
Para que isso �que claro, observe o grá�co ilustrado na Figura 1. O grá�co da função y = sin x no intervalo [0, 2π] apresenta duas
linhas tangentes desenhadas, uma em x =
π
2 e a outra em x =
7π
4 .
 Figura 1: Função y = sin x e pontos de tangência em 
x =
π
2 e x =
7π
4 . Fonte: (KELLEY, 2013).
Atenção
Repare que as linhas tangentes simplesmente deslizam ao longo das margens do grá�co e, quando encostam, é apenas em um
ponto, chamado ponto de tangência.
Se estendê-la, a linha tangente pode encostar-se à função novamente em algum lugar do grá�co, mas isso não importa. O que
interessa é que só uma vez ela chega relativamente perto do ponto de tangência.
Uma linha secante, por outro lado, corta a curva bruscamente, normalmente atingindo-a pelo menos em dois lugares.
Na Figura 2, é apresentada uma função f(x), onde estão desenhadas uma linha secante e uma linha tangente quando x = 3.
Você pode reparar que a linha secante, pontilhada, não tem a mesma delicadeza da linha tangente, que se encontra com a função
somente em x = 3.
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 Figura 2: Uma linha secante e uma linha tangente para
uma função f(x) quando x = 3. Fonte: (KELLEY, 2013).
Agora que você sabe o que as palavras signi�cam, vamos ao “truque”: transformar a
linha secante em uma tangente.
Observe a Figura 3. Considere um ponto Q(x, f(x)) na curva que seja distinto de um ponto P xo, f xo da curva.
A inclinação da reta secante que passa por P e Q é dada por:
mPQ =
f x - f xo
x - xo
Quando x tende a xo, então o ponto Q caminha na curva e se aproxima do ponto P.
Se a reta secante por P e Q atingir alguma posição limite quando x → xo, então, consideramos essa posição como a posição da
reta tangente em P. Dito de outra maneira: se a inclinação m
PQ da reta secante por P e Q tender a um limite quando x → xo, então,
consideraremos esse limite como a inclinação m
tg da reta tangente em P.
( ( ))
( ) ( )
 Figura 3: Função y = f(x). Representação da
reta secante por P e Q e da reta tangente em P.
Fonte: (ANTON, 2007).
Comentário
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De�nição: Suponha que xo seja um ponto do domínio da função f. A reta tangente à curva y = f(x) no ponto P xo, f xo é a reta
de equação:
y - f xo = m tg · x - xo
Onde: m
tg = limx→ xo
f x - f xo
x - xo
, sempre que existir o limite.
Para simpli�car, também dizemos que essa reta é a reta tangente a y = f(x) em xo.
( ( ))
( ) ( )
( ) ( )
Exemplo 1
Use a de�nição de reta tangente para encontrar uma equação para a reta tangente à parábola y = x2 no ponto (1,1).
Exemplo 2
Encontre uma equação para a reta tangente à curva y =
3
x no ponto (3,1) dessa curva.
Exemplo 3
Encontre as inclinações das retas tangentes à curva y = √x em xo = 1, xo = 3 e xo = 10.
A de�nição da função derivada
Na última seção, você foi apresentado ao limite:
limh→ 0
f xo+ h - f xo
h
Se o limite existe, então, você pode interpretá-lo como a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto x = x0.
Esse limite é tão importante que possui uma notação especial:
f '
Você pode pensar em f' (lê-se êfe linha) como uma função cuja entrada é xo e cuja saída é o número f'(xo) que representa a
inclinação da reta tangente a y=f(x)  no ponto x=xo.
( ) ( )
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Saiba mais
Para enfatizar esse ponto de vista funcional, substituímos xo por x e de�nimos:
A função f' de�nida pela fórmula:
f'(x)=limh→0f(x+h)-f(x)h
é denominada derivada de f  em relação a x. O domínio de f^' consiste em todos os x do domínio de f para os quais existe o
limite”.
A expressão derivada é usada porque f' deriva da função f por meio de um limite.
Há vários modos de representar a derivada de uma função y=f(x).
Além de f'(x), as notações mais comuns são:
y': y linha. Apropriada e breve, mas não fornece a variável independente;
dydx: dy dx. Fornece as variáveis e usa d para a derivada;
dfdx: df dx. Dá ênfase ao nome da função;
ddx f(x): ddx de f(x). Dá ênfase à ideia de que derivar é uma operação realizada em  f.
O valor
f'(a)=limh→0f(a+h)-f(a)h
da derivada de y=f(x) em relação a x em x=a  também pode ser representado como:
y'|x=a ou dydx|x=a ou ddxf(x)|x=a
O símbolo □|x=a, chamado símbolo de avaliação, signi�ca calcular a expressão à esquerda em x=a. O processo para calcular uma
derivada é chamado derivação.
Exemplo 4
Encontre a derivada em relação à x de f(x)=x3-3x. Faça os grá�cos de f e f' juntos e discuta a relação entre ambos.
Derivação
Antes de começar a calcular derivadas aleatoriamente, você deve saber que há três casos especí�cos em que a derivada de uma
função não existe.
Assim sendo, seja cuidadoso(a) se o grá�co de uma função contiver qualquer uma das seguintes características a seguir:
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Clique nos botões para ver as informações.
Não existe derivada em um ponto de descontinuidade. Não importa se a descontinuidade é removível ou não. Quando uma
função é descontínua em um determinado valor de x, não pode haver uma derivada ali.
Por exemplo, se você tiver a função f(x)=(x - 1) · (x + 2)(x + 2)  · (x - 6), você pode veri�car que f não tem derivada em  x=-2 e
x=6.
Em outras palavras, f não é derivável nesses valores de x.
Descontinuidade 
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Se um grá�co tiver um vértice (“bico”), a função não tem derivada nessa localização. Poucas funções têm vértice; aliás, elas
são bem raras.
É mais provável que você veja vértices em funções com valores absolutos ou em funções de�nidas por partes que se
encontram. Nas Figuras 9 e 10 você encontra exemplos.
O grá�co é “pontudo” no ponto (1,-2) (indicado em verde) e, por isso, não é derivável em x=1.
No ponto x=1, a função não é derivável (o ponto é indicado pelo círculo verde).
Vértice no grá�co 
 Figura 9: Gráfico da função f(x)=|x-1|-2
 Figura 10: Gráfico da função f(x)={x2,sex≤1x,se x>1
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Você deve se lembrar de que a derivada é de�nida como a inclinação da linha tangente.
E se a tangente for vertical?
Lembre-se de que linhas verticais não têm inclinação, então, não pode existir uma derivada.
É muito difícil identi�car quando isso acontece usando apenas um grá�co; mas, felizmente, a matemática das derivadas
mostra claramente quando isso acontece. Veja a Figura 11:
Não existe derivada para a função quando x=0. A inclinação da linha tangente é um número inexistente.
f'(x)=13x2⁄3,f'(0)=10
Uma função y=f(x) será derivável em um intervaloaberto (�nito ou in�nito) se tiver uma derivada em cada ponto do intervalo.
Será derivável em um intervalo fechado [a, b] se for derivável no interior (a, b) e se os limites
limh→0+f(a+h)-f(a)hderivada à direita em a
limh→0-f(b+h)-f(b)h derivada à esquerda em b
existirem nas extremidades.
Derivadas à direita e à esquerda podem ser de�nidas em qualquer ponto do domínio de uma função. A relação usual entre os
limites laterais e bilaterais vale para essas derivadas.
Assim, uma função terá uma derivada em um ponto se e somente se tiver derivadas à direita e à esquerda nesse ponto e se
essas derivadas laterais forem iguais.
Uma função é contínua em todos os pontos onde ela tiver uma derivada.
Tangente vertical 
 Figura 11: Gráfico da função f(x)=x13
Técnicas de derivadas básicas
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Aprender como encontrar derivadas usando a de�nição formal pode ser um trabalho demorado e tedioso.
Por isso, agora, você aprenderá algumas técnicas muito úteis. São os atalhos para derivadas que tornarão as coisas bem mais
rápidas e fáceis.
A regra da potência
Ainda que a regra da potência somente encontre derivadas básicas, você de�nitivamente irá usá-la muito mais do que as outras
que vai aprender.
Na verdade, ela sempre aparece nas últimas etapas de outras regras, mas não vamos nos precipitar. Qualquer termo na forma axn
pode ser diferenciado pela regra da potência.
Regra da potência:
A derivada do termo axn (em relação a x), onde a e n são números reais, é (a·n)xn-1.
Exemplo 5
Use a regra da potência para encontrar a derivada de f(h)=x32-3x2+2x-1
Exemplo 6
A curva y=x4-2x2+3 tem alguma tangente horizontal? Se tem, onde ela está?
A derivada de qualquer constante é zero
Considere a função constante g(x) = 7.
Se você quisesse, poderia escrever essa função com um termo variável: g(x)=7x0.
Não houve mudança no valor da função, pois uma variável elevada a 0 é igual a 1.
Portanto, 7·1=7.
Agora que você reescreveu a função, use a regra da potência:
g'(x)=7·0·x0-1=0·x-1=0
A regra do produto
Se uma função tiver duas expressões variáveis multiplicadas, você não pode simplesmente encontrar a derivada de cada uma e
multiplicar o resultado.
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Por exemplo, a derivada de x2·(x3-3) não é (2x)(3x2).
Em vez disso, você precisa usar uma fórmula muito simples que, aliás, deveria memorizar.
A regra do produto: Se a função h(x)=f(x).g(x) for o produto de duas funções
diferenciáveis f(x)  e g(x) , então: h’(x) = f(x).g’(x) + f’(x).g(x).
Isso quer dizer que se uma função for criada ao se multiplicar duas outras funções uma pela outra, então, a derivada da função
resultante será a primeira vezes a derivada da segunda mais a segunda vezes a derivada da primeira.
Exemplo 7
Diferencie f(x)=(x2+5)·(x3+x-7)
A regra do quociente
Assim como a regra do produto evita que você encontre derivadas individuais quando está multiplicando, a regra do quociente faz
o mesmo, mas com a divisão.
Você tem que usar a regra do quociente sempre que duas expressões variáveis forem divididas:
A regra do quociente: Se
h(x)=f(x)g(x)onde f(x) e g(x)  são funções diferenciáveis, então
h'(x)=g(x)·f'(x)-f(x)·g'(x)(g(x))2, sendo g(x)≠0
Exemplo 8
Encontre a derivada da função h(x)=3x4-2x2+5x2-5x+2
Atenção
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A operação com polinômios pode ser trabalhosa como no exemplo 8. Porém, você poderá encontrar no endereço // www.
calculadoraonline .com.br /simpli�cacao <//www.calculadoraonline.com.br/simpli�cacao> uma ferramenta poderosa para auxiliá-
lo(a).
A Regra da Cadeia
Considere por um momento as funções f(x)=x  e g(x)=x2-3.
Com o que foi apresentado até agora, você poderia encontrar a derivada de cada uma delas. Também poderia encontrar a
derivada do produto f(x)·g(x)  ou do quociente f(x)g(x).
No entanto, você não sabe como encontrar a derivada de duas funções, uma dentro da (ou “composta com”) outra. Em outras
palavras, a derivada de:
f(g(x))=x2-3
requer uma técnica que você ainda não aprendeu, chamada regra da cadeia.
A regra do quociente: Dada uma função composta h(x)=f(g(x)), onde f(x) e g(x)  são
funções deriváveis, h'(x)=f'(g(x))·g'(x)
Exemplo 9
Use a regra da cadeia para encontrar a derivada de y=x2-3
Derivação implícita
Em todos os problemas de diferenciação mostrados até aqui, você se deparou com funções do tipo y=x2+3, algumas vezes
escritas como f(x)=x2+3.
Nesses tipos de casos, y é escrito explicitamente como uma função de x. Isso signi�ca que a equação é resolvida em função de y,
em outras palavras, y está sozinho de um lado da equação.
Às vezes, no entanto, pedem para você achar a derivada de uma equação que não é resolvida em função de y.
Por exemplo: x2+y2=6xy.
Para esse tipo de problema, você precisa da derivação implícita.
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https://www.calculadoraonline.com.br/simplificacao
Atenção
Ao diferenciar implicitamente, todas as regras da derivada funcionam da mesma maneira com uma exceção: quando você
diferencia um termo com um y nele, você usa a regra da cadeia com uma pequena distorção.
Exemplo 10
Encontre a inclinação da tangente no grá�co de x2+3xy-2y2=-4 no ponto (1,-1).
Exemplo 11
Mostrar que a circunferência x2+y2-12x-6y+25=0 é tangente à circunferência x2+y2+2x+y=10 no ponto (2,1).
Atividade
1. O valor quando x=3  da derivada da função y=(x2-x)3 é dado por:
a) 108
b) 216
c) 540
d) 0
e) A função não é derivável
2. Encontre ddx f(x)   da função f(x)=2x-3x2:
3. Encontre ddx f(x)   da função f(x)=2x4⁄3-3x2/3:
4. Encontre ddx f(x) da função f(x)=a+bx+cx2x
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5. A equação geral da reta tangente à elipse x2a2+y2b2=1 no ponto (xo,yo), yo≠0, é dada por:
a) y=-b2xoa2yo·(2x+1)-yo
b) y=-b2xoa2yo·(x+2)+yo
c) y=b2xoa2yo·(x-1)+2yo
d) y=b2xoa2yo·(xo-1)-yo
e) y=b2xoa2yo·(xo-x)+yo
6. Seja f(x)=x2+3x. Determine a equação da reta tangente à função f(x)  e que, ao mesmo tempo, seja paralela à reta y=2x+3:
a) y=2x-14
b) y=2x+14
c) y=x-14
d) y=x+14
e) y=14·x
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Volume 1. Porto Alegre: Artmed Editora S.A., 2007.
BROCHI, A. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FERNANDES, D. B. Cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
PANONCELI, D. M. Análise Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2017.
Próxima aula
Derivada de funções inversas e logarítmicas;
Derivada de funções elementares;
Derivadas sucessivas.
Explore mais
Para revisar tópicos importantes da matemática elementar; despertar o seu interesse no assunto aqui tratado; e, ao mesmo
tempo, demonstrar como derivadas são importantes no dia a dia do engenheiro, seguem sugestões de vídeos para você assistir:
“Me Salva! DER01: Introdução à derivada: retas tangentes” <https://youtu.be/mQSVKCmeAQE?
list=PLf1lowbdbFIAURvpD8Qy8PqwrMjwx0N64> ;
“Me Salva! DER02: De�nição da função derivada” <https://youtu.be/OONLu0WnmkQ?
list=PLf1lowbdbFIAURvpD8Qy8PqwrMjwx0N64> ;
“Me Salva! DER03: Calculando derivadas pela de�nição de limites - Exemplo 1” <https://youtu.be/Q68GFsjDpKk?
list=PLf1lowbdbFIAURvpD8Qy8PqwrMjwx0N64> ;
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https://youtu.be/mQSVKCmeAQE?list=PLf1lowbdbFIAURvpD8Qy8PqwrMjwx0N64
https://youtu.be/OONLu0WnmkQ?list=PLf1lowbdbFIAURvpD8Qy8PqwrMjwx0N64
https://youtu.be/Q68GFsjDpKk?list=PLf1lowbdbFIAURvpD8Qy8PqwrMjwx0N64
p Qy q j ;
“Me Salva! DER04: Diferenciabilidade” <https://youtu.be/BVc522nigOc?list=PLf1lowbdbFIAURvpD8Qy8PqwrMjwx0N64> ;
“Me Salva! DER05: Derivadas de constantes e potências de x” <https://youtu.be/b13wAgjLUTA?
list=PLf1lowbdbFIAURvpD8Qy8PqwrMjwx0N64> .
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https://youtu.be/Q68GFsjDpKk?list=PLf1lowbdbFIAURvpD8Qy8PqwrMjwx0N64
https://youtu.be/BVc522nigOc?list=PLf1lowbdbFIAURvpD8Qy8PqwrMjwx0N64
https://youtu.be/b13wAgjLUTA?list=PLf1lowbdbFIAURvpD8Qy8PqwrMjwx0N64