MATEMÁTICA - Trigonometria

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MATEMÁTICA
Trigonometria 
A trigonometria é uma área da matemática na qual a geometria e a álgebra se relacionam para o desenvolvimento de diversos estudos dos lados e ângulos do polígono mais simples: o triângulo. Além disso, com a trigonometria, podemos aprofundar os conhecimentos tanto da geometria plana quanto a geometria espacial.
Trigonometria no Triângulo Retângulo
O principal estudo da trigonometria está baseado sobre os triângulos retângulos. Através desse tipo de triângulo, estabelecemos as principais razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente. Entretanto, antes de mostrarmos essas razões, é necessário conhecer primordialmente o triângulo retângulo em si.
Triângulo Retângulo
O triângulo retângulo é o polígono de três lados em que há um, e somente um, ângulo de 90 graus. Além disso, o lado oposto a esse ângulo, o maior deles, é chamado de hipotenusa e os lados adjacentes são chamados de catetos. Acompanhe a imagem abaixo:
Triângulo retângulo.
No triângulo retângulo acima, os lados a e b são definidos como catetos e, o lado c, a hipotenusa. Sendo assim, com a definição de triângulo retângulo, podemos estabelecer as razões trigonométricas.
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
As razões trigonométricas vêm do termo razão relacionado com a trigonometria, são elas: seno, cosseno e tangente. Dessa forma, para entendermos as três razões, usaremos o ângulo α, do triângulo retângulo da primeira imagem, como referência. Todavia, devemos classificar os catetos do triângulo retângulo em oposto e adjacente. Para isso, é notável que o cateto oposto é aquele lado que está oposto ao ângulo analisado, nesse caso, o lado a. Consequentemente, o cateto adjacente é o lado que, junto com a hipotenusa, forma o ângulo analisado, nesse caso, o lado b.
Seno
O seno é a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa, ou seja, em relação ao ângulo α analisado, temos:
Cosseno
O cosseno, semelhante ao seno, é a razão que relaciona um cateto com a hipotenusa também, porém, desta vez o cateto é o adjacente. Portanto o cosseno é:
Tangente
A tangente, diferentemente das outras duas razões diretas da trigonometria, é a razão que relaciona os dois catetos, sendo o oposto sobre o adjacente, dessa maneira:
Além disso, ao dividirmos a razão seno pela razão cosseno, obtemos o mesmo resultado da tangente, isto é:
Para memorizar as razões trigonométricas há um macete conhecido como “SOHCAHTOA“, em que a cada três letras significam uma razão da trigonometria. SOH remete ao S de seno, O de oposto e H de hipotenusa. Por outro lado, CAH lembra o C de cosseno, A de adjacente e H de hipotenusa. Por fim, o TOA refere ao T de tangente, O de oposto e A de adjacente.
Razões Inversas da Trigonometria
Acima, mostramos as razões trigonométricas do triângulo retângulo. Neste momento mostraremos as razões trigonométricas inversas, que nada mais são do que o inverso das razões da trigonometria, ou seja, o inverso do seno, cosseno e tangente.
Secante
A secante é a razão inversa do cosseno e, por isso, é definida por:
Cossecante
A cossecante, de forma análoga, é o inverso da razão seno, dessa maneira:
Cotangente
Por fim, a cotangente, por consequência, é a razão inversa da tangente e é definida por:
Trigonometria e as Relações no Triângulo Retângulo
Na trigonometria, quando se aprende o triângulo retângulo, o principal teorema trigonométrico abordado é: teorema de Pitágoras. Este teorema nos diz que em um triângulo retângulo, de hipotenusa a e catetos b e c, temos a seguinte relação:
a² = b² + c²
Além do teorema de Pitágoras, com a ajuda da semelhança de triângulos foram descobertas algumas relações métricas do triângulo retângulo. Para isso, veja o triângulo abaixo:
Triângulo retângulo dividido em dois outros triângulos retângulos.
Com as medidas identificadas, podemos afirmar que são válidas as seguintes relações:
1) c² = a ⋅ m
2) b² = a ⋅ n
3) h² = m ⋅ n
4) a ⋅ h = b ⋅ c
Trigonometria para qualquer triângulo
Até agora estudamos a trigonometria para os triângulos que possuem a característica de serem retângulos. A partir de agora, mostraremos algumas manipulações algébricas com a ajuda da trigonometria e da geometria plana que efetuaram a lei dos senos, cossenos e das áreas.
Lei dos Senos
A lei dos senos é uma ferramenta utilizada para relacionar os lados e os ângulos de um triângulo qualquer. A principal ferramenta usada para determinar a lei dos senos é a manipulação geométrica do ângulo inscrito a circunferência. Não cabe a esse post explicitar os detalhes dessa manipulação, porém, para que você possa entender, acompanhe a imagem abaixo:
Triângulo qualquer inscrito em uma circunferência.
Acima, vemos o triângulo de lados a, b e c e ângulos α, β e γ inscrito na circunferência de raio R. Além disso, visualizamos a seguinte informação: o diâmetro da circunferência inscrita que passa pelo vértice do ângulo β determina um novo triângulo que mantém um ângulo igual a α e um dos lados igual ao diâmetro da circunferência. Com a ajuda da geometria plana, identificamos que esse novo triângulo é retângulo em γ + γ1, ou seja, a soma dos ângulos γ e γ1 é 90 graus. Sendo assim, notamos que o valor do diâmetro (2R) é a hipotenusa e através da razão seno, notamos a seguinte informação:
Através desse exemplo, podemos realizar esse mesmo processo entre os outros ângulos e seus lados opostos e chegamos à seguinte conclusão para a lei dos senos:
Lei dos Cossenos
A lei dos cossenos é a ferramenta usada para determinar valores de um ângulo tendo todos os lados ou determinar o valor de um lado tendo os valores dos outros dois lados e do ângulo oposto a ele. Para isso, acompanhe a figura abaixo:
Triângulo qualquer para a análise da lei dos cossenos e lei das áreas.
Para compreender a lei dos cossenos, basta, apenas, conhecer a trigonometria. Sendo assim, no triângulo qualquer de lados a, b e c e ângulos α, β e γ acima, identificamos o segmento h que origina outros dois triângulos retângulos. As duas primeiras informações que podemos identificar é aplicando o teorema de Pitágoras nos dois triângulos retângulos:
(1) a² = h² + (c – x)²
a² = h² + c² – 2 ⋅ c ⋅ x + x²
(2) b² = h² + x²
x² = b² – h²
Ao substituir a equação (2) em (1), obtemos a seguinte situação:
(3) a² = h² + c² – 2 ⋅ c ⋅ x + b² – h²
a² = b² + c² – 2 ⋅ c ⋅ x
Nesse momento, obtemos o lado a em função dos outros lados e do valor x. Entretanto, podemos aplicar o cosseno no triângulo retângulo de lado x e obter o seguinte resultado:
Portanto, substituindo a equação (4) na (3), obtemos a lei dos cossenos em relação ao lado a e seu ângulo oposto α:
a² = b² + c² – 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α
Como você deve imaginar, podemos aplicar a relação acima para os demais lados e ângulos e, assim, chegamos na conclusão da lei dos cossenos:
a² = b² + c² – 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α
b² = a² + c² – 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos β
c² = a² + b² – 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ
Lei das Áreas
A lei das áreas é a mais simples de identificar e, através da imagem anterior, podemos entendê-la com facilidade. Antes disso, devemos lembrar que a fórmula básica da área de um triângulo é:
Em que B é a base do triângulo e H é a altura sendo os dois segmentos, perpendiculares.
Se tomarmos a base como o lado c, notaremos que a altura é o segmento h. Portanto, a área do triângulo é:
Perceba que, ainda, podemos substituir h em função do lado a ou do lado b, basta aplicar o seno:
Logo, podemos substituir (i) ou (ii) na área do triângulo e obter:
Além disso, se tomarmos outro lado como base do triângulo, obteremos também a seguinte relação:
Portanto, a lei das áreas nos diz que a área de um triângulo é igual ao produto de dois lados adjacentes e o seno do ângulo formado por esses lados.
Ângulos na Trigonometria
Um ângulo nada mais é do que a medida da inclinação entre duas retas, semirretas ou segmentos de retas que se intersectam em algum ponto. Nesse sentido, o ângulo pode ser medido em algumas possíveis medidas, porém, as principais são graus ou radianos. Entretanto, como a medida em graus é a mais intuitiva, usaremos ela como basepara o entendimento dos radianos. Para isso, veremos a intersecção entre as retas abaixo que forma os ângulos α e β:
Formação de um ângulo por duas retas.
Graus
Primeiramente, devemos lembrar que a medida de uma abertura completa, ou seja, a soma de todas as aberturas (α + β + α + β) é sempre igual a 360 graus (360º). Dessa forma, chamamos o ângulo de 360º de ângulo completo.
O ângulo raso é a metade de um ângulo completo, ou seja, 180º. Em consequência, o ângulo reto é a metade de um ângulo raso, isto é, 90º. Além disso, quando não há abertura dizemos que o ângulo é nulo, logo, 0º.
Entretanto, há ângulos que estão entre esses valores principais, por isso, dizemos que um ângulo é agudo, quando ele está entre 0º e 90º. Se for obtuso, é porque o ângulo está entre 90º e 180º. Por fim, se um ângulo estiver entre 180º e 360º, chamamos o de ângulo côncavo.
Radianos
Ademais, os radianos são outra forma de medir ângulos. Portanto, para entende-los, observe a figura a seguir onde exibe uma circunferência com raio de uma unidade de medida e os arcos com a respectiva medida acumulada em radianos:
Formação do radiano.
O radiano é a medida de um arco que equivale ao raio da circunferência, ou seja, 1 radiano equivale a medida de 1 vez o raio e é aproximadamente 57,3º. Ainda, veja que o ângulo completo é 360º, porém, em radianos o seu valor aproximado é 6,28 rad. Além disso, perceba que meia volta equivale a 3,14159… radianos, porém, essa medida é uma constante irracional conhecida como π. Logo, se metade de uma volta é π rad, então, uma volta completa é exatamente 2π rad. Para calcular os demais ângulos basta realizar uma regra de três simples, pois 180º está para π rad, assim como xº está para y rad.
Trigonometria no Círculo Trigonométrico
A trigonometria que vimos até agora é baseada no triângulo retângulo e, a partir de agora, mostraremos como se comporta as razões trigonométricas dentro do círculo trigonométrico. Dessa maneira, note que o círculo trigonométrico é uma circunferência de raio igual a uma unidade de comprimento e que possui os eixos X e Y de um plano cartesiano que passam pelo centro dessa circunferência. Por isso, acompanhe a imagem do círculo trigonométrico:
Ciclo trigonométrico.
O ponto inicial desse círculo é o ponto de coordenadas (1,0), ou seja, na extrema direita da circunferência. Além disso, determinamos um segmento no ponto de partida até o centro da circunferência para realizar as análises dos ângulos que podem ser formados com outros segmentos da circunferência.
Razões da Trigonometria no Círculo Trigonométrico
As razões seno, cosseno e tangente estão presentes no triângulo retângulo, mas também no círculo trigonométrico. Para calcular, observe a situação em cada uma delas:
Eixos das razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente.
Conforme a imagem, podemos notar que definido um ângulo α, ao marcar um segmento partindo do centro do círculo com essa angulação é possível identificar algumas medidas. Ou seja, a coordenada y do ponto de intersecção do segmento com a circunferência é o seno do ângulo α. Por outro lado, a coordenada x desse mesmo ponto é equivalente ao cosseno do ângulo α. Além disso, ao prolongar o segmento até o eixo da tangente, descobrimos o ponto que distância uma medida de tangente de α do eixo do cosseno.
Ângulos Notáveis
Dentro da trigonometria, há os chamados ângulos notáveis, ou seja, os ângulos que podemos encontrar com facilidade e com ajuda da geometria, são eles: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º e seus correspondentes. Acompanhe abaixo a tabela com os ângulos notáveis:
Tabela dos ângulos notáveis.
Sinal dos Quadrantes
Para esse momento, note que em cada eixo das razões trigonométricas podemos definir o sinal dos quadrantes para razão: seno, cosseno e tangente. Veja a imagem:
Sinal dos quadrantes para cada razão trigonométrica.
Note que os quadrantes são classificados de acordo com o plano cartesiano original, isto é, o primeiro quadrante é o superior direito, o segundo é o superior esquerdo, o terceiro é o inferior esquerdo e, por fim, o quarto é o inferior direito.
Ângulos Correspondentes
Ângulos correspondentes são aqueles em que resultam um valor equivalente, em módulo, ao de outro ângulo quando aplicado nas razões trigonométricas. Por isso, acompanhe a imagem abaixo exibindo os ângulos correspondentes de 30, 45 e 60 graus:
Ângulos correspondentes.
De acordo com a imagem acima, ela nos diz que as razões trigonométricas desses ângulos correspondentes são equivalentes, em módulo, o que diferencia é apenas o sinal dos resultados. Dessa forma, para identificar o sinal de cada ângulo, devemos observar no sinal dos quadrantes em cada razão trigonométrica. Sendo assim, observe algumas relações abaixo:
|sen 30°| = |sen 150°| = |sen 210°| = |sen 330°|
|cos 45°| = |cos 135°| = |cos 225°| = |cos 315°|
|tg 60°| = |tg 120°| = |tg 240°| = |tg 300°|
Dessa maneira, ao generalizar esse processo para qualquer ângulo α:
|sen (α)| = |sen (180° – α)| = |sen (180° + α)| = |sen (360° – α)|
|cos (α)| = |cos (180° – α)| = |cos (180° + α)| = |cos (360° – α)|
|tg (α)| = |tg (180° – α)| = |tg (180° + α)| = |tg (360° – α)|
Reduções de Arcos para a Primeira Volta
Para um skatista, é uma façanha realizar 900º com o seu skate. Perceba que 900º é 360º + 360º + 180º, ou seja, em tese o skatista que faz 900º realiza duas voltas e meia em torno de si e depois aterrissa no chão sem cair.
Na trigonometria, quando nos deparamos com um ângulo superior a 360º fazemos a mesma análise, ou seja, observamos quantas voltas cabem nesse ângulo, entretanto, o que realmente importa é qual a angulação após o número de voltas. Em outras palavras, para a trigonometria um ângulo de 900º resulta no mesmo valor para o seno, cosseno e tangente do que um ângulo de 180º, a diferença é apenas pelo número de rotações completas.
Para reduzir um ângulo α, superior a 360º ou 2π, basta fazer a divisão de α por 360º ou 2π, o resto encontrado é o ângulo que representa α na primeira volta
Relação Fundamental e Relações Auxiliares da Trigonometria
Neste instante, veremos que a relação fundamental da trigonometria é uma derivação do teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado através do círculo trigonométrico. Dessa maneira, acompanhe a imagem que demonstra esse triângulo e a relação fundamental da trigonometria:
Relação fundamental da trigonometria.
Conforme a figura acima, a relação fundamental da trigonometria é a aplicação do teorema de Pitágoras sobre o triângulo formado pelo ângulo α na circunferência de raio 1, gerando a relação sen² α + cos² α = 1.
Por outro lado, as relações auxiliares são derivadas da relação fundamental da trigonometria, para demonstrá-las basta dividir a relação fundamental por sen² α ou cos² α:
Relações auxiliares da trigonometria.
Operações com Arcos
Na trigonometria, podemos realizar as operações com os arcos dentro das razões trigonométricas. Dessa forma, há as situações onde ocorre a soma, subtração, multiplicação e divisão de arcos. O que você mais precisa saber é sobre as duas primeiras operações, por isso, veja as abaixo:
Soma e Subtração de Arcos
Para a soma e subtração de arcos, utilizamos algumas manipulações trigonométricas com a ajuda do teorema de Pitágoras que nos diz que o seno da soma e subtração de dois arcos é:
sen (α + β) = sen α ⋅ cos β + sen β ⋅ cos α
sen (α – β) = sen α ⋅ cos β – sen β ⋅ cos α
Além disso, para o cosseno, a relação é:
cos (α + β) = cos α ⋅ cos β – sen α ⋅ sen β
cos (α – β) = cos α ⋅ cos β + sen α ⋅ sen β
Por outro lado, a tangente da soma e subtração de arcos é derivada dessas outras duas funções que resulta nas seguintes fórmula:
Questões 
1) Enem de 2013 - As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Utilizando 0,26 comovalor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço:
a) menor que 100m².
b) entre 100 m² e 300 m².
c) entre 300 m² e 500 m².
d) entre 500 m² e 700 m².
e) maior que 700 m².
 2) Enem de 2009 - Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a
(Considere  = 0,58)
a) 50%
b) 43%
c) 37%
d) 33%
e) 19%
3)  (Epcar - 2016) As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em P, conforme figura abaixo.
Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se BC = 6√3 km, então CP é, em km, igual a
a) 6 +√3
b) 6(3 − √3 )
c) 9 √3 − √2
d) 9(√ 2 − 1)
4) (Unifor-CE) O dispositivo de segurança de um cofre tem o formato da figura abaixo, onde as 12 letras A, B, ..., L estão igualmente espaçadas (o ângulo central entre duas letras vizinhas é o mesmo) e a posição inicial da seta, quando o cofre se encontra fechado, é a indicada.
Para abrir o cofre, são necessárias três operações (o segredo), girando o disco menor (onde a seta está gravada), de acordo com as seguintes instruções, a partir da posição indicada:
1- Girarno sentido anti-horário
2- Girarno sentido horário
3- Girarno sentido anti-horário
Pode-se, então, afirmar corretamente que o cofre será aberto quando a seta estiver:
a) no ponto médio entre L e A
b) na posição B
c) na posição K
d) em algum ponto entre J e K
e) na posição H
 
GABARITO
1 – e
Vamos analisar o triângulo formado pela inclinação desse prédio:
Triângulo vermelho formado pela inclinação da torre
Podemos considerar que a altura do prédio corresponde ao cateto oposto ao ângulo de 15°, já a base corresponde ao cateto adjacente. Sendo assim, podemos utilizar a fórmula da tangente para determinar essa base:
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tg 15° = cateto oposto
                  cateto adjacente
tg 15° = x
           114
Considerando que tg 15° = 0,26, como propõe o enunciado, temos:
0,26 = x
         114
x = 114 . 0,26
x = 29,64 m
Como a base do prédio é quadrada, basta multiplicar o valor do lado encontrado por ele mesmo para encontrar a área da base:
A = 29,64 . 29,64
A = 878,53 m²
2 – e
A área total de extração do terreno corresponde a um quarto de círculo de raio de 1 km, cujo ângulo central é de 90°. Se os irmãos pretendem dividir a área de extração de forma igualitária, então o ângulo central do terreno de cada herdeiro deverá ser de 30°, uma vez que 90 dividido por três 3 é igual a 30. Vamos então analisar a figura que representa o terreno de João:
Terreno de João
Nós conhecemos apenas um dos lados do terreno de João, o cateto adjacente ao ângulo de 30°. Para que possamos calcular a área desse triângulo, é importante encontrar a medida do cateto oposto ao ângulo de 30°. Para tanto, vamos utilizar a fórmula para o cálculo da tangente:
tg 30° = cateto oposto
                 cateto adjacente
tg 30° = x
            2
√3 = x
 3     2
Utilizando a informação cedida pelo exercício, substituiremos  por 0,58:
0,58 = x
          2
x = 0,58 . 2
x = 1,16 km
Agora podemos calcular a área do terreno de João. Para isso, considere 2 km como a altura do triângulo e 1,16 km como sua base:
A = base . altura
     2
A = 2 . 1,16
     2
A = 1,16 km²
Para encontrar a área total do terreno deixado de herança pelo pai, basta multiplicar a base pela altura do retângulo da primeira imagem, isto é, 3 . 2 = 6 km². Para calcular a porcentagem correspondente a João, devemos encontrar o quociente entre as áreas do terreno dele e do terreno total, isto é:
P = 1,16 = 0,19333... = 19,3%
6                        
 3 – b
Podemos começar calculando o lado BA através das razões trigonométricas, visto que o triângulo ABC é retângulo e temos a medida do ângulo formado pelos lados BC e AC.
O lado BA é oposto ao ângulo dado (30º) e o lado BC é adjacente a este ângulo, portanto, iremos calcular usando a tangente de 30º:
Usando o Teorema de Pitágoras, podemos encontrar a medida do lado AC, que é a hipotenusa do triângulo retângulo:
Agora que já conhecemos as medidas dos lados do triângulo ABC, podemos calcular a medida do lado CP através do teorema da bissetriz interna.
Para isso, observe que o lado PA é igual a 12 - PC, aplicando o teorema da bissetriz interna, temos:
4- a
Primeiramente, devemos somar as operações realizadas no sentido anti-horário.
Subtraindo a operação no sentido anti-horário da operação no sentido horário, encontramos a posição final da seta.
Utilizando a regra de três simples, encontramos a posição em graus.
Como a soma dos ângulos internos de uma circunferência resulta em 360º, se dividirmos por 12, o número total de letras escritas, encontramos que o espaço entre duas letras consecutivas corresponde a um ângulo de 30º.
Como o ponteiro estava no A e o ângulo final é de 15º, que é a metade do ângulo formado com a letra subsequente, então ao final do movimento, a seta estará posicionada na ponto médio entre A e L.