Exemplos matematica (1)

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Função do 1 grau 
 
 A função do 1 grau é uma regra matemática que relaciona a dependência 
de um elemento em relação a um outro, ou seja, para cada valor de x terá um 
valor de y. A forma genérica de uma função do 1 grau é f(x) = ax+b, a e b são 
números reais diferentes de zero e x e y são as variáveis. A função afim tem 
inúmeras aplicações, tal como mostrar a evolução de fenômeno, mostrar 
desvalorização de um patrimônio, dentre outros. 
 
Exemplos 
 
1) f(x)=-2x+10 
 Para determinar a raiz precisamos igualar a equação a zero, portanto: 
−2𝑥 + 10 = 0 
−2𝑥 = −10 
𝑥 =
−10
−2
= 5 
Assim a raiz é igual a 5 
 
 2) f(x)= 3x+7 
 Para determinar a raiz precisamos igualar a equação a zero, portanto: 
3𝑥 + 7 = 0 
3𝑥 = −7 
𝑥 = −
7
3
 
 
Assim a raiz é igual a - 
7
3
 
 
3) Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 2, determine o valor de 𝒂 para que se tenha 𝑓(4) 
= 22 
Primeiramente isolamos a: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 2 
 
𝑎 =
𝑓(𝑥) − 2
𝑥
 
 
Sabemos que f(4)=22, assim substituímos x por 4 e f(x) por 22: 
𝑎 =
22 − 2
4
=
20
4
= 5 
Assim o valor de a é igual a 5 
 
4) f(x)= 
1
2
𝑥 + 2 
Igualando a equação a zero 
 
1
2
𝑥 + 2 = 0 
1
2
𝑥 = −2 
𝑥 = −
2
1
2
= −2.
2
1
= −4 
 
5) Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um 
custo variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de peças 
unitárias produzidas, determine: 
 
a) A lei da função que fornece o custo da produção de x peças; 
b) Calcule o custo de produção de 400 peças. 
 
Respostas 
 
a) f(x) = 1,5x + 16 
 
b) f(x) = 1,5x + 16 
f(400) = 1,5*400 + 16 
f(400) = 600 + 16 
f(400) = 616 
 
O custo para produzir 400 peças será de R$ 616,00. 
Funções do 2 grau 
 
 A função do 2 grau é também definida como um polinômio de grau 2 é 
tem sua forma genérica como f(x) = ax²+bx + c, sendo que a, b e c são números 
reais maior que zero e x e y são as incógnitas. O gráfico de uma função de grau 
é uma parábola e o conjunto solução da função tem duas raízes. Essa função 
tem muitas aplicações, tal como para calcular áreas, na trigonometria, em 
topologia dentre outros. 
 Exemplos: 
1) Determine as raízes da função f(x)= 𝑥2 − 2𝑥 + 1 
 
Usando a formula de Bhaskara, temos: 
𝑎 = 1, 𝑏 = −2 𝑒 𝑐 = 1 
como 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= (−2)2 − 4(1)(1) = 4 − 4 = 0 
Assim 
𝑥′ =
−𝑏 + √∆
2𝑎
=
−1 + √0
2
= −
1
2
 
 
𝑥′
′
=
−𝑏 − √∆
2𝑎
=
−1 − √0
2
= −
1
2
 
 
 
2) 𝑥2 + 3𝑥 + 2 
usando a mesma metodologia 
𝑎 = 1, 𝑏 = 3 𝑒 𝑐 = 2 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= (3)2 − 4(1)(2) = 9 − 8 = 1 
𝑥′ =
−3 + √1
2
=
−2
2
= −1 
 
𝑥′
′
=
−𝑏 − √∆
2𝑎
=
−3 − √1
2
=
−4
2
= −2 
3) f(x) = x² +2x – 3 
 
𝑎 = 1, 𝑏 = 2 𝑒 𝑐 = −3 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= (2)2 − 4(1)(−3) = 4 + 12 = 16 
𝑥′ =
−2 + √16
2
=
−2 + 4
2
= 1 
𝑥′
′
=
−2 − √16
2
=
−2 − 4
2
= −3 
4)f(x) = –x² +4x – 3. 
 
 
𝑎 = −1, 𝑏 = 4 𝑒 𝑐 = −3 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= (4)2 − 4(−1)(−3) = 16 − 12 = 4 
𝑥′ =
−4 + √4
2(−1)
=
−4 + 2
−2
=
−4
−2
= 1 
𝑥′
′
=
−2 − √16
2(−1)
=
−2 − 4
−2
=
−6
−2
= 3 
 
5) f(x)=-x²+4 
𝑎 = −1, 𝑏 = 0 𝑒 𝑐 = 4 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= (0)2 − 4(−1)(4) = 16 
𝑥′ =
−0 + √16
2(−1)
=
4
−2
= −2 
𝑥′
′
=
−0 − √16
2(−1)
=
−4
−2
= 2 
 Progressão Aritmética 
 
 Uma PA é uma sequência de números que sempre seguem uma razão, 
sendo que essa razão pode ser determinada pela diferença entre dois números 
consecutivos, lembrando que essa diferença é constante. a formula do termo 
geral da PA é: 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
onde an é o termo geral da PA, a1 é 1 termo e r é a razão da PA 
Exemplos 
 
1) Determine o 40º elemento e a soma dos termos da seguinte progressão 
aritmética: (2, 7, 12, 17,..). 
Analisando a sequência, podemos determinar a razão da sequência fazendo a 
diferença entre o 2 termo e o primeiro termo, ou seja, a2- a1, portanto temos 
que a razão é 5. 
Aplicando a formula 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
𝑎40 = 2 + (40 − 1)5 
𝑎40 = 2 + (39)5 = 2 + 195 = 197 
Assim o 40º termo é 197. 
 
2) Dado a PA: (2,5,8,11...), determine o 31º. 
Seguindo a mesma lógica, temos que a razão é 3. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
𝑎31 = 2 + (31 − 1)3 
𝑎31 = 2 + (30)3 = 2 + 90 = 92 
O 31º termo é 92 
 
3) Determine quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1 000. 
Usando uma logica bem simples, precisamos determinar o 1 termo da PA. Nesse 
caso observamos que o múltiplo de 9 mais próximo é 99 e o seguinte é 108, 
portando o a1 é 108 e como são múltiplos de 9 a razão também será 9, e o ultimo 
termo é 999. Aplicando a formula, temos: 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
999 = 108 + (𝑛 − 1)9 
999 = 108 + 9𝑛 − 9 
999 = 99 + 9𝑛 
9𝑛 = 999 − 99 
9𝑛 = 900 
𝑛 =
900
9
= 100 
No intervalo de 100 a 1000, existem 100 múltiplos de 9. 
 
Para calcular a soma dos termos de uma PA usamos a seguinte formula 
𝑆 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛)𝑛
2
 
Onde S é a soma, a1 é o 1 termo, an é o ultimo termo e n é o número de 
termos. 
 
4) Dado a PA: (1,5,9,13...), determine o 10º termo e a somos dos termos. 
usando a mesma metodologia, razão é 4. 
 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
𝑎10 = 1 + (10 − 1)4 
𝑎10 = 1 + (9)4 = 1 + 36 = 37 
Agora usando a formula para determinar a soma dos termos 
𝑆 =
(1 + 10)10
2
=
(11)10
2
=
110
2
= 55 
 
5) Determine a soma de 1 até 200. 
Sabemos que 1 termo é 1 e o último é 200, assim aplicando a formula temos; 
 
𝑆 =
(1 + 200)200
2
=
(201)200
2
=
40200
2
= 20100 
Assim a soma é igual a 20100. 
 
Progressão Geométrica 
 A PG é uma sequência de números com propriedades análogas a PA, 
entretanto na PG os números são multiplicados pela razão e não somados como 
na PA.A formula para determinar o termo geral da PG é: 
𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞(𝑛−1) 
Onde na é ultimo termo ou termo que queremos determinar, a1 é o 1 termo, q é 
a razão da PG e n é o índice do termo. 
 
1) Dado a PG (1, 2, 4, 8, 16, …), determine o 20º termo da PG. 
Observamos que os termos estão dobrando, portanto, a razão é 2, pois o 2º 
termo é 2 que é o mesmo que 1 termo vezes 2, o terceiro é 4 que é a mesma 
coisa que 2 vezes 2 e assim sucessivamente. Aplicando a formula: 
𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞(𝑛−1) 
𝑎20 = 1. 2(20−1) 
𝑎20 = 2(19) = 524288 
O 20º termo é 524288 
 
2) Dado a PG (1, 4, 16, 64 …), determine o 10º termo da PG. 
Usando o mesmo raciocínio, temos que a razão é 4. Aplicando a formula: 
𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞(𝑛−1) 
𝑎10 = 1. 4(10−1) 
𝑎10 = 4(9) = 262144 
Assim o 10 termo é 262144 
3)Dado a PG (1, 3, 9, 27, …), determine o 8º termo. 
A razão dessa PG é 3 
𝑎8 = 1. 3(8−1) 
𝑎8 = 1. 3(7) = 2187 
O 8 Termo é 2187. 
 
4)Dado a PG (2,4,8…), determine o 7º termo. 
Razão é 2 
𝑎7 = 2. 2(7−1) 
𝑎7 = 2. 2(6) = 2.64 = 128 
O 7º termo é 128 
 
Podemos calcular a soma de termos de uma PG finita com a seguinte formula: 
𝑆𝑛 =
𝑎1. (𝑞𝑛 − 1)
𝑞 − 1
 
Onde Sn é a soma, a1 é o 1 termo, q é a razão e n é o numero de termos. 
 
4)Dado a PG (2,4,8…), determine o 6º termo e calcule a soma desses termos. 
𝑎6 = 2. 2(6−1) 
𝑎6 = 2. 2(5) = 2.32 = 64 
Para determinar a soma: 
𝑆6 =
2. (26 − 1)
2 − 1
=
2. (64 − 1)
1
=
2.63
1
= 126 
Assim a soma é 126.