Vamos resolver passo a passo a aplicação do método de Newton-Raphson para encontrar o zero positivo da função \( f(x) = x^3 - 3.8x + 8.6 \), com aproximação inicial \( x_0 = 3 \) e tolerância \( E = 0,01 \). 1. Definir a função e sua derivada: \[ f(x) = x^3 - 3.8x + 8.6 \] \[ f'(x) = 3x^2 - 3.8 \] 2. Fórmula do método de Newton-Raphson: \[ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} \] 3. Critério de parada: Parar quando \(|x_{k+1} - x_k| < E = 0,01\). 4. Iterações: - Iteração 1: \(x_0 = 3\) \[ f(3) = 27 - 11.4 + 8.6 = 24.2 \] \[ f'(3) = 27 - 3.8 = 23.2 \] \[ x_1 = 3 - \frac{24.2}{23.2} \approx 3 - 1.043 = 1.957 \] - Iteração 2: \(x_1 = 1.957\) \[ f(1.957) = (1.957)^3 - 3.8 \times 1.957 + 8.6 \approx 7.5 - 7.44 + 8.6 = 8.66 \] \[ f'(1.957) = 3 \times (1.957)^2 - 3.8 \approx 3 \times 3.83 - 3.8 = 11.49 - 3.8 = 7.69 \] \[ x_2 = 1.957 - \frac{8.66}{7.69} \approx 1.957 - 1.126 = 0.831 \] - Iteração 3: \(x_2 = 0.831\) \[ f(0.831) = 0.573 - 3.16 + 8.6 = 6.01 \] \[ f'(0.831) = 3 \times 0.69 - 3.8 = 2.07 - 3.8 = -1.73 \] \[ x_3 = 0.831 - \frac{6.01}{-1.73} = 0.831 + 3.47 = 4.30 \] - Iteração 4: \(x_3 = 4.30\) \[ f(4.30) = 79.5 - 16.34 + 8.6 = 71.76 \] \[ f'(4.30) = 3 \times 18.49 - 3.8 = 55.47 - 3.8 = 51.67 \] \[ x_4 = 4.30 - \frac{71.76}{51.67} = 4.30 - 1.39 = 2.91 \] 5. Observação: As iterações estão oscilando e não convergindo para um zero positivo próximo. Isso indica que a aproximação inicial \(x_0 = 3\) pode não ser adequada para encontrar o zero positivo da função com esse método. Conclusão: - O método de Newton-Raphson requer uma boa aproximação inicial para convergir. - Com \(x_0 = 3\), o método não está convergindo para o zero positivo. - Recomenda-se escolher outra aproximação inicial ou usar outro método para encontrar o zero positivo. Se desejar, posso ajudar a escolher outra aproximação inicial ou aplicar outro método!