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Profa. Dra. Deiby Gouveia
UNIDADE III
Matemática
 Permite comparar duas grandezas.
Se a área de um retângulo mede 300 cm² e a área de um 
outro retângulo mede 210 cm², ao fazermos a razão das 
áreas, temos:
210 = 0,7 ou 70% 
300
Significa: a área menor representa 70% da maior.
Razão
Pó solúvel (g) Água (L)
1 100
10 1000
100 10000
Obs.: a = K
b
Razão: a  antecedente
b  consequente
Exemplo: Moacir fez o percurso Rio/São Paulo (400 km) em 5 horas. Qual a razão 
entre a medida dessas grandezas?
Exemplo: Uma escola tem 1200 m² de área construída e 3000 m² de área livre. Qual 
a razão da área construída para a área livre?
Razão: Aplicação
R: 80 km/h
R: 40%
Exemplo: A razão entre a idade de Sofia e a de sua mãe Fernanda é igual a 2/6. Se 
a soma das duas idades é igual a 48, então Sofia tem: 
Sofia = x
Fernanda = y
Razão: Aplicação
x = 2
y 6
x + y = 48
Sofia: 12 anos
Fernanda: 36 anos
 Definição: igualdade entre duas razões.
Elementos de uma Proporção:
 Termos da proporção: b e c
a e d 
Exemplo: 6 e 10 são proporcionais a 15 e 25?
Proporção
a = c  b.c : a.d
b d
Exemplo: 1/2 é proporcional a 50/100? 
 Tipos: 
1. Diretamente Proporcional
a = c = e
b d f
 Fator de Proporcionalidade (FP)  número racional (em sua forma decimal) 
associado à fração.
Exemplo: Um trabalhador autônomo que ganha R$ 50,00 
por peça produzida ou R$ 100,00 por 2 peças produzidas:
Proporção: Tipo
2. Inversamente Proporcional
a = c = e 
1 1 1
b d f
 Exemplo: Determinar o FP 
a) A razão entre os números 2, 5, 8 e 10 e os números 6, 15, 24 e 30 são DP.
b) A razão ente os números 2, 4 e 6 e os números 90, 45, 30 são IP.
Proporção: Fator de Proporcionalidade
R: 1/3 
R: 180
 Exemplo: Determinar os valores de x e y, considerando que os números 6, 8, 16 
são diretamente proporcionais aos números 30, x, y.
6 = 8 = 16
30 x y
Proporção: Aplicação
x = 40
y = 80
Exemplo: Para abrir uma pequena empresa, dois amigos investiram inicialmente um 
capital de R$ 2,4 mil e R$ 1,6 mil, respectivamente. Dessa forma, a empresa 
começou sua atividade com um capital de R$ 4 mil. Levando em conta que os lucros 
seriam divididos proporcionalmente ao investimento inicial de cada amigo, quanto 
cada um receberá no mês sabendo que o lucro foi de R$ 800,00?
Proporção: Aplicação
FP = 0,2
Amigo 1 = R$ 480,00
Amigo 2 = R$ 320,00
Meu pai tem uma estatura de 1,80 m e meu filho tem apenas 80 cm de altura. Qual é 
a razão da altura entre meu pai e meu filho?
a) 0,0225
b) 0,225
c) 2,25
d) 44,44
e) 0,44
Interatividade
 Alternativa correta: c) 2,25
Resolução: Meu pai tem uma estatura de 1,80 m e meu filho tem apenas 80 cm de 
altura. Qual é a razão da altura entre meu pai e meu filho?
Altura do meu Pai: 1,80 m = 180 cm
Razão : Meu Pai = 180 cm = 2,25
Meu Filho 80 cm
Resposta
Ideia principal: 
Grandeza 1 Grandeza 2
Grandeza 1 Variável
1. Diretamente Proporcional: 
 “Grandezas Aumentam ou Diminuem ao mesmo tempo”
Exemplo: Se três canetas custam R$ 8,00, quanto custará o preço de seis canetas?
Regra de Três Simples 
caneta R$
3 8,00
6 16,00
12 32,00
Tipos:
1. Diretamente Proporcional
2. Inversamente Proporcional
Exemplo: Um carro percorre 120 km utilizando 20 litros de álcool à velocidade 
constante de 80 km/h. Quantos litros de álcool o carro precisa para percorrer o triplo 
da quilometragem na mesma velocidade?
 Triplo da velocidade: 360 km
Regra de Três Simples: Aplicação
R: 60 litros
Exemplo: Em uma cidade há 160.000 habitantes, dos quais 40.000 têm menos de 40 
anos. Qual a taxa dos que possuem mais de 40 anos?
 160.000 – 40.000 = 120.000
Regra de Três Simples: Aplicação
R: 75%
Exemplo: Henrique instala 1 programa de computador em 20 min. Considerando que 
a carga horária de trabalho é das 9:00 às 17:00 horas, com intervalo de 1h para 
almoço, quantos programas ele consegue instalar por dia?
8 horas de trabalho
1 hora de almoço
= 7 horas (420 min)
Regra de Três Simples: Aplicação
R: 21 programas
2. Inversamente Proporcional
 “Grandezas aumentam ou diminuem na mesma proporção, porém, quando uma 
aumenta, a outra diminui.”
 Exemplo: Todas as sextas-feiras, Antônio, um homem muito caridoso, distribui 
pães aos moradores de rua do centro de São Paulo, no início da noite. Ele sempre 
leva 120 pães para serem distribuídos. Ao chegar ao local, ele verifica o número 
de pessoas e divide os pães igualmente entre eles.
Regra de Três Simples
Quant.
pessoas
Quant. pães por 
pessoa
10 12
20 6
30 4
Exemplo: João, viajando de carro a uma velocidade média 60 km/h, demora 2 horas 
para chegar ao destino planejado. Se ele aumentar a velocidade do automóvel para 
80 km/h, quanto tempo irá demorar?
Regra de Três Simples: Aplicação
R: 1,5h
Exemplo: Cinco operários fazem uma obra em 30 dias. Em quanto tempo 15 
operários farão a mesma obra?
Regra de Três Simples: Aplicação
R: 10 dias
Uma equipe de 5 professores gastou 12 dias para corrigir as provas de um 
vestibular. Considerando a mesma proporção, quantos dias levarão 30 professores 
para corrigir as provas? 
a) 6 dias
b) 2 dias
c) 1/2 dia
d) 13 dias
e) 72 dias
Interatividade
 Alternativa correta: b) 2 dias
Resolução: Uma equipe de 5 professores gastou 12 dias para corrigir as provas de 
um vestibular. Considerando a mesma proporção, quantos dias levarão 30 
professores para corrigir as provas? 
5 = 12 (GIP)  30 = 12  x = 2 dias 
30 x 5 x
Resposta
 Conceito: Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3
Grandeza 1 Grandeza 2 Variável
Exemplo: Trabalhando sozinha, Luiza produz 16 compotas de doce em 2 horas. Ela 
pretende aumentar a produção e contratou duas pessoas que irão trabalhar com ela 
seis horas diárias. Quantas compotas produzirão?
Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3
Regra de Três Composta
R: 144 compotas
Exemplo: Em uma marcenaria, sabe-se que 3 marceneiros fabricam 2 mesas em 10 
dias. Assim, quantos dias levará para 5 marceneiros fabricarem 4 mesas?
Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3
Regra de Três Composta: Aplicação
R: 12 dias
Exemplo: Dez empregados trabalham 8 horas por dia, durante 27 dias, para atender 
certo número de pessoas. Se um empregado doente foi afastado por tempo 
indeterminado e outro se aposentou, quantos dias os empregados restantes levarão 
para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no 
mesmo ritmo de trabalho? Será:
Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3
Regra de Três Composta: Aplicação
R: 30 dias
Exemplo: Uma empresa de cosméticos com 20 funcionários produz 2000 produtos 
dermatológicos trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. O número de 
funcionários necessários para que essa empresa produza 6000 produtos 
dermatológicos em 15 dias, trabalhando 4 horas por dia, será de:
Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3 Grandeza 4
Regra de Três Composta: Aplicação
R: 40 funcionários
Para encher um tanque com 400 metros cúbicos de capacidade, duas torneiras 
levaram 4 horas. Quantas horas seriam necessárias para enchê-lo com 6 torneiras, 
se o tanque tivesse apenas 300 metros cúbicos de capacidade?
a) 54 min
b) 1 hora
c) 1,5 horas
d) 2 horas
e) 3 horas
Interatividade
 Alternativa correta: b) 1 hora
Resolução: Para encher um tanque com 400 metros cúbicos de capacidade, duas 
torneiras levaram 4 horas. Quantas horas seriam necessárias para enchê-lo com 6 
torneiras, se o tanque tivesse apenas 300 metros cúbicos de capacidade?
400 . 6 = 4  x = 1 hora
300 2 x
Resposta
Cap. tanque (m3) Torneiras (unid.) Tempo (h)
400 2 4
300 6 x
 Porcentagem ou percentagem é qualquer razão centesimal, ou seja, é uma fração 
cujo denominador é 100.
 Representação: na forma de fração com denominador 100 (percentual)ou na forma decimal. 
Forma percentual Forma unitária
Porcentagem
Exemplo: 
a) 13%
b) 30%
c) 52,5%
Exemplo: João vendeu 30% dos seus 300 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Porcentagem
 Exemplo: Para preparar uma determinada solução, um técnico de laboratório 
misturou 5 mL de ácido clorídrico em 80 mL de água. Determinar a porcentagem 
de ácido nessa solução.
Porcentagem
R: 5,9% de HCl
Exemplo: O salário mínimo de um trabalhador, no ano de 2016, sofreu um aumento 
de 11,68%. Sabendo que no ano de 2015 o salário mínimo era de R$ 788,00, qual 
será o valor para 2016?
Fator de Multiplicação
Acréscimo = 1 + taxa de acréscimo na forma decimal
R: R$ 880,04
Exemplo: Um carro modelo Prisma 1.4 com motor flex, ar-condicionado, direção 
elétrica, controle de velocidade e bluetooth custa R$ 58.000,00. Devido à redução do 
IPI (Imposto sobre Produtos Industrializados) de 2,0%, qual será o valor a ser pago 
pelo carro?
Fator de Multiplicação
Desconto = 1 - taxa de acréscimo na forma decimal
R: R$ 56.840,00
ou
Exemplo: Um livro que custava R$ 24,00 passou a custar R$ 30,00. Qual foi a taxa 
percentual de aumento?
Exemplo: Se eu comprei uma ação de um clube por R$ 
250,00 e a revendi por R$ 300,00, qual a taxa percentual de 
lucro obtida?
Taxa Percentual de Variação
Taxa percentual = diferença de valores
valor antigo
Taxa percentual = preço novo
preço antigo
R: 25%
R: 20%
Exemplo: Certo mês, uma prestação de casa própria tinha o valor de R$ 740,00. 
Sendo paga após a data do vencimento, seria cobrada uma multa e o valor total a 
ser pago passaria a ser R$ 777,00. Qual seria o valor percentual da multa 
correspondente em relação ao valor inicial da prestação?
Taxa Percentual de Variação
R: 5%
 Lucro  transação comercial de compra e venda, a diferença entre o preço de
venda e o preço de custo.
 L > 0 
 L < 0
 L = 0
Lucro sobre o preço de Custo e de Venda
Lucro = preço de venda – preço de custo
LpV = preço de venda – preço de custo x 100%
preço de Venda
LpC = preço de venda – preço de custo x 100%
preço de Custo
 Exemplo: Uma loja compra determinado artigo, à vista, por R$ 620,00 e o revende 
por R$ 684,00. 
a) Qual é o percentual de lucro, calculado sobre o preço de venda?
b) Qual é o percentual de lucro, calculado sobre o preço de custo?
Lucro sobre o preço de Custo e de Venda
R: 10,32%
R: 9,36%
Exemplo: De maneira geral, os comerciantes preferem trabalhar o cálculo do seu 
lucro através de um percentual do preço de venda de sua mercadoria. Se um livreiro 
compra um livro por R$ 100,00 e quer obter um lucro igual a 20% do preço de venda, 
deverá vendê-lo por:
Lucro sobre o preço de Custo e de Venda
Venda = Custo + Lucro
R: R$ 125,00
Exemplo: Um bem foi vendido por R$ 500,00 com um lucro de 10% do preço de 
venda. Podemos garantir que esse bem teve um custo de:
Lucro sobre o preço de Custo e de Venda
Venda = Custo + Lucro
R: R$ 450,00
Um funcionário recebe um salário-base de R$ 850,00. Recebe também um adicional 
por tempo de serviço de 5% sobre o salário-base. Além disso, está respondendo 
pela chefia da seção, recebendo por isso 8% sobre o salário-base. O empregador 
desconta 8,5% sobre seu salário total para a contribuição previdenciária. Quanto 
recebe esse funcionário? 
a) R$ 960,50
b) R$ 931,68
c) R$ 878,86
d) R$ 888,50
e) R$ 1032,75
Interatividade
 Alternativa correta: c) R$ 878,86
Resposta: Um funcionário recebe um salário-base de R$ 850,00. Recebe também 
um adicional por tempo de serviço de 5% sobre o salário-base. Além disso, está 
respondendo pela chefia da seção, recebendo por isso 8% sobre o salário-base. O 
empregador desconta 8,5% sobre seu salário total para a contribuição previdenciária. 
Quanto recebe esse funcionário? 
R$ 850,00 x 0,05 = R$ 42,50
R$ 850,00 x 0,08 = R$ 68,00
Total = R$ 110,50 + R$ 850,00 = R$ 960,50
Desconto de 8,5%  R$ 81,64
R$ 878,86
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!