2021-2S-TMC-Aula6

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TRANSMISSÃO DE CALOR
Aula 6 – Escoamento 
LAMINAR Interno
Tubos Circulares
CRONOGRAMACRONOGRAMA
11 Escoamento Externo – PLACA PLANA
22 PLACA PLANA – Metodologia de Cálculo 
33 Escoamento Cruzado
44 Escoamento Cruzado - Matriz Tubular
55 Escoamento Interno
66 Escoamento Laminar Interno - Tubos 
Circulares
77 Trocador de Calor
88 Análise do Trocador de Calor
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ESCOAMENTO LAMINAR EM TUBOS CIRCULARES
● TUBOS → escoamento laminar ocorre quando Re ≤ 2300
– Escoamento será completamente desenvolvido se o tubo for 
suficientemente longo (em relação ao comprimento de entrada).
– TODAS as considerações abordadas serão realizadas para escoamento 
laminar permanente do fluido incompressível, com propriedades 
constantes na região completamente desenvolvida em um tubo circular 
reto.
● Condição importante para o escoamento laminar 
completamente desenvolvido é que cada partícula do fluido 
se move a uma velocidade axial constante ao longo da linha 
de corrente, mantendo-se inalterado o perfil de velocidade 
ao longo do escoamento. 
ESCOAMENTO LAMINAR EM TUBOS CIRCULARES
● Escoamento laminar completamente desenvolvido → cada partícula do fluido se 
move a uma velocidade axial constante ao longo da linha de corrente, 
mantendo-se inalterado o perfil de velocidade ao longo do escoamento. 
● Perfil de velocidade em escoamento laminar completamente desenvolvido em 
tubos é parabólico, com o máximo na linha central e o mínimo (v~0) na parede. 
● Velocidade axial → positiva para qualquer r e o gradiente de pressão deve ser 
negativo (a pressão diminui ao longo do escoamento devido aos efeitos 
viscoso).
u(r )=2⋅vm⋅(1− r
2
r0
2)
ESCOAMENTO LAMINAR EM TUBOS CIRCULARES
● Velocidade máxima ocorre na linha do centro
● Escoamento laminar completamente desenvolvido → 
velocidade média é a metade da velocidade máxima.
umax=2⋅vmed
vmed=
umax
2
QUEDA DE PRESSÃO
● QUEDA DE PRESSÃO → grande interesse na análise do 
escoamento 
– Define a escolha da máquina de fluxo (bomba, ventilador) que deve ser 
utilizada para manter o escoamento.
– Escoamento laminar, o gradiente de pressão é constante e definido por,
Δp=p1−p2=
8μ L vmed
R2
=
32μ L vmed
d2
QUEDA DE PRESSÃO
● QUEDA DE PRESSÃO → grande interesse na análise do 
escoamento 
– Se a queda de pressão está relacionada aos efeitos viscosos, obtêm-se 
uma perda irreversível de pressão (ΔpL). 
– Todos os tipos de escoamento interno, a perda de pressão é definida por,
– f → fator de atrito de Darcy 
– Tubos circulares → fator de atrito para o escoamento laminar 
completamente desenvolvido
ΔpL=f⋅
L
d
⋅
ρ vmed
2
2
f= 8⋅τ
ρ⋅vmed
2
f= 64
Re
QUEDA DE PRESSÃO
● Perda de pressão se relaciona com a altura de coluna de fluido - perda 
de carga (hL),
● Perda de carga → altura adicional a qual o fluido deve ser elevado por 
uma bomba a fim de superar todas as perdas por atrito no fluido. A 
potência necessária para superar a perda de pressão será,
● Para um tubo horizontal, a velocidade média para o escoamento 
laminar e a vazão volumétrica serão, 
ΔpL=ρ⋅g⋅hL⇒hL=
ΔpL
ρ⋅g
⇒hL=f⋅
L
d
⋅
vmed
2
2g
Ẇbomba ,L=∀̇⋅ΔpL=∀̇⋅ρ⋅g⋅hL=ṁ⋅g⋅hL
vmed=
Δp⋅d2
32⋅μ⋅L
V̇=vmed⋅Asecao=
Δp⋅d2
32⋅μ⋅L
⋅π⋅d
2
4
=Δp⋅π⋅d
4
128⋅μ⋅L
PERFIL DE TEMPERATURA E NÚMERO DE NUSSELT
FLUXO DE CALOR CONSTANTE NA SUPERFÍCIE
● Tubo CIRCULAR → fluxo térmico na superfície uniforme,
– Condições de escoamento laminar e plenamente desenvolvido
– número de Nusselt é constante, independente de Red, Pr e da posição 
axial
Nud=
h⋅d
k
=4,36
q̇s=constante
PERFIL DE TEMPERATURA E NÚMERO DE NUSSELT
TEMPERATURA CONSTANTE NA SUPERFÍCIE
● Condições laminares e plenamente desenvolvidas
Nud=
h⋅d
k
=3,66
Ts=constante
PERFIL DE TEMPERATURA E NÚMERO DE NUSSELT
ESCOAMENTO LAMINAR EM DESENVOLVIMENTO NA REGIÃO DE ENTRADA – Ts 
constante
● Região de entrada: 
● Número de Nusselt médio: 
– Utilizado quando a diferença de temperatura entre a superfície e o fluido for 
muito grande
– 0,60 ≤ Pr ≤ 5 e 0,0044 ≤ μ/μs ≤ 9.75
– Propriedades do fluido:
Nu=3,66+
0,065⋅(d/L)⋅Re⋅Pr
1+0,04⋅[(d/L)⋅Re⋅Pr ]2 /3
Nu=1,86⋅(Re⋅Pr⋅dL )
1 /3
⋅(μμ s)
0,14
T=
Ti+Te
2
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃOEXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
Água a 15°C (ρ =999,1 kg/m3; μ = 1,138 . 10-3 
kg/ms) está fluindo em condições totalmente 
desenvolvida em tubo liso de 3 cm de diâmetro 
com fluxo de massa de 0,02 kg/s. Determine a 
velocidade máxima no tubo.
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃOEXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
● A velocidade será,
● A velocidade máxima será,
ṁ=ρ⋅v⋅A⇒ṁ=ρ⋅v⋅π⋅d
2
4
⇒v= 4⋅ṁ
ρ⋅π⋅d2
⇒
vmax=2⋅v⇒ vmax=2⋅0,02832⇒ vmax=0,0566m/s
v= 4⋅0,02
999,1⋅π⋅0,032
⇒v=0,02832m/s
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃOEXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
Água a 15°C (ρ =999,1 kg/m3; μ = 1,138 . 10-3 
kg/ms) está fluindo em condições totalmente 
desenvolvida em tubo liso de 3 cm de diâmetro 
com fluxo de massa de 0,02 kg/s. Se velocidade 
máxima da água no tubo é de 0,057 m/s, 
determine o gradiente de pressão.
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃOEXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
Δp=32⋅μ⋅L v̄
d2
⇒Δp=32⋅1,138⋅10
−3⋅1⋅0,057
2⋅0,032
⇒Δp=1,15Pa/m
vmax=2⋅vmed=0,057m/s vmed=
umax
2
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃOEXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
Considere um escoamento de óleo 40°C em um oleoduto de 
0,20 m de diâmetro a uma velocidade média de 1,5 m/s. A 
seção horizontal de 200m de comprimento do oleoduto 
passa por um lago de água gelada a 0°C. Algumas medições 
indicam que a temperatura na superfície do tubo 
aproximasse de 0°C. Desconsiderando qualquer resistência 
térmica do material, determine a temperatura do óleo quando 
o tubo sai do lago, a taxa de transferência de calor a partir 
do óleo e a potência da bomba necessária para superar a 
queda de pressão e manter o escoamento na tubulação.
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃOEXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
● Observe que não é possível calcular a temperatura 
média, pois a temperatura de saída não é conhecida. 
Assim, vamos considerar a temperatura de entrada do 
óleo para avaliar as propriedades:
Re=v⋅dν =
1,5⋅0,20
2,485⋅10−4
⇒Re=1207,2 LAMINAR
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃOEXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
● O coeficiente de convecção será definido a partir de Nu
Nu=h⋅d
k
⇒h=Nu⋅k
d
⇒h=26,1⋅0,1444
0,20
⇒h=18,8W /m2⋅K
Nu=3,66+
0,065⋅(d/L)⋅Re⋅Pr
1+0,04⋅[(d/L)⋅Re⋅Pr ]2 /3
⇒
Nu=3,66+
0,065⋅(0,20 /200)⋅1207,2⋅2962
1+0,04⋅[(0,20 /200)⋅1207,2⋅2962]2 /3
⇒Nu=26,1
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃOEXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
● A área superficial e a vazão mássica será,
● A temperatura de saída será,
– Observe que a temperatura média será 39,5°C; como o valor é 
próximo ao que indicou as propriedades do fluido, não é 
necessário recalcular.
As=π⋅d⋅L=π⋅0,20⋅200⇒As=125,7m
2
ṁ=ρ⋅A⋅v⇒ṁ=ρ⋅π⋅r2⋅v⇒ṁ=876⋅π⋅0,102⋅1,5⇒ṁ=41,3kg/s
Te=Ts−(Ts−Ti)⋅exp(−As⋅hṁ⋅cp )⇒
Te=0−(0−40)⋅exp(−125,7⋅18,841,3⋅1964 )⇒Te=38,9∘C
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃOEXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
● A taxa de transferência de calor será,
● Potência → será definida pelo fator de atrito e a queda 
de pressão. 
– Para um escoamento laminar, o fator de atrito será,
● E a queda de pressão,
Q̇=ṁ⋅cp⋅(Te−Ti)⇒Q̇=41,3⋅1964⋅(38,9−40)⇒Q̇=−89,2kW
f= 64
Re
= 64
1207,2
⇒ f=0,053
ΔpL=f⋅
L
d
⋅ρ⋅v
2
2
⇒ΔpL=0,053⋅
200
0,20
⋅876⋅1,5
2
2
⇒ΔpL=52,2kPa
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃOEXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
● Finalmente, a potência será,
Ẇbomba=
ṁ⋅Δp
ρ ⇒Ẇbomba=
41,3⋅52231,5
876
⇒ Ẇbomba=2,46kW
OBRIGADO!!!
ariathemis.bizuti@docente.unip.br
Çengel, Y.A., Transferência de Calor e Massa, 4a Ed., Editora McGraw-Hill, 2012. 
Incropera, F.P.; Dewitt, D.P.; Bergman, T.L. e Lavine, A.S., Fundamentos de 
Transferência de Calor, 6a Ed., Editora LTC.
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