Questão resolvida - Uma partícula move-se em linha reta com função velocidade descrita por_ v(t)cos(t)sen^7(t) - Cálculo II - MULTIVIX (adaptada)

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Uma partícula move-se em linha reta com função velocidade descrita por: 
, sendo o tempo dado em segundos e a velocidade em metros v t = cos t sen t( ) 2( ) 7( )
por segundo. Se , ou seja, se a posição do corpo no instante 0 segundo é 0 s 0 = 0( )
metro, qual será a função posição dessa partícula?
 
Escolha uma opção:
 
∘ a. - + - + +
cos t
3
( )3 3cos t
5
( )5 3cos t
7
( )7 cos t
9
( )9 16
315
 
∘ b. - + +
t
3
cos3( ) 2 t
5
cos5( ) t
7
cos9( )
 
∘ c. - + - +
t
5
cos3( ) 2 t
5
cos5( ) t
7
cos7( ) t
7
cos9( )
 
∘ d. - + - + +
sen t
3
3( ) sen t
5
5( ) t
7
cos7( ) t
7
cos9( ) 8
35
 
∘ e. - + - + +
sen t
5
3( ) 2sen t
5
5( ) sen t
7
7( ) t
7
cos9( ) 4
35
 
Resolução:
 
Integrando a função horária da velocidade, chegamos a função horária do espaço, ou seja, a 
função posição da partícula, dada por;
 
s t = v t dt = cos t sen t dt( ) ∫ ( ) ∫ 2( ) 5( )
 
Para possibilitar a resolução da integral, vamos reescreve-lá da seguinte forma;
 
cos t sen t dt = cos t sen t sen t dt = cos t sen t sen t dt∫ 2( ) 7( ) ∫ 2( ) 6( ) ( ) ∫ 2( ) 2( ) 3 ( )
 
A identidade trigonométrica nos diz que;
 
 
 
sen t + cos t = 12( ) 2( )
Isolando , fica;sen t2( )
 
sen t = 1 - cos t2( ) 2( )
Assim, reescrevendo a integral, temos;
 
cos t sen t sen t dt = cos t 1 - cos t sen t dt∫ 2( ) 2( ) 3 ( ) ∫ 2( ) 2( ) 3 ( )
 
 
Agora, vamos fazer a seguinte substituição;
 
u = cos t du = -sen t dt -du = sen t dt( ) → ( ) → ( )
 
Passando para a integral, fica;
 
cos t 1 - cos t sen t dt = u 1 - u - du = - u 1 - u 1 - u du∫ 2( ) 2( ) 3 ( ) ∫ 2 2 3 ∫ 2 2 2 2
 
= - u 1 - 2u + u 1 - u du = - u 1 - 2u + u - u + 2u - u du∫ 2 2 4 2 ∫ 2 2 4 2 4 6
 
= - u 1 - 3u + 3u - u du = - u - 3u + 3u - u du = - - + -∫ 2 2 4 6 ∫ 2 4 6 8 u
3
3 3u
5
5 3u
7
7 u
 
9
 
= - + - + + c
u
3
3 3u
5
5 3u
7
7 u
9
9
 
Com isso, temos uma integral polinomial de fácil solução, integrando;
 
- u - 3u + 3u - u du = - - + -∫ 2 4 6 8 u
3
3 3u
5
5 3u
7
7
u
 
9
 
= - + - + + c
u
3
3 3u
5
5 3u
7
7 u
9
9
Mas , então;u = cos t( )
 
 
 
s t = - + - + + c( )
cos t
3
( )3 3cos t
5
( )5 3cos t
7
( )7 cos t
9
( )9
Sabemos que: , vamos substuir na função horária do tempo para encontrar c;s 0 = 0( )
 
s 0 = - + - + + c( )
cos 0
3
( )3 3cos 0
5
( )5 3cos 0
7
( )7 cos 0
9
( )9
Resolvendo para c fica;
 
- + - + + c = 0
cos 0
3
( )3 3cos 0
5
( )5 3cos 0
7
( )7 cos 0
9
( )9
 
- + - + + c = 0 - + - + + c = 0 c = + - + -
1
3
3 ⋅ 1
5
3 ⋅ 1
7
1
9
→
1
3
3
5
3
7
1
9
→
1
3
3
5
3
7
1
9
 
c = c = c =
105 ⋅ 1 - 63 ⋅ 3 + 45 ⋅ 3 - 35 ⋅ 1
315
→
105 - 189 + 135 - 35
315
→
16
315
 
Finalmente, a função horária da posição (ou a função posição) da partícula é;
 
s t = - + - + +( )
cos t
3
( )3 3cos t
5
( )5 3cos t
7
( )7 cos t
9
( )9 16
315
 
 
(Resposta )