Uma partícula move-se em linha reta com velocidade descrita pela função: v(t)=2-4t + t3, onde a velocidade está em m/s e o tempo em segundos. Sabendo que para t = 0 segundos seu deslocamento é zero metros, qual será a distância percorrida por essa partícula no instante 6 segundos?

a. 312 metros
b. 144 metros
c. 264 metros
d. 288 metros
e. 576 metros

Question

Uma partícula move-se em linha reta com velocidade descrita pela função: v(t)=2-4t + t3, onde a velocidade está em m/s e o tempo em segundos. Saben...

Ed · Answer

Para encontrar a distância percorrida pela partícula no instante $ t = 6 $ segundos, precisamos integrar a função da velocidade $ v(t) = 2 - 4t + t^3 $ para obter a função de deslocamento $ s(t) $.

1. **Integração da função de velocidade**:
   $$
   s(t) = \int v(t) \, dt = \int (2 - 4t + t^3) \, dt
   $$
   $$
   s(t) = 2t - 2t^2 + \frac{t^4}{4} + C
   $$

2. **Condição inicial**:
   Sabemos que $ s(0) = 0 $:
   $$
   s(0) = 2(0) - 2(0)^2 + \frac{(0)^4}{4} + C = 0 \implies C = 0
   $$
   Portanto, a função de deslocamento é:
   $$
   s(t) = 2t - 2t^2 + \frac{t^4}{4}
   $$

3. **Cálculo do deslocamento em $ t = 6 $**:
   $$
   s(6) = 2(6) - 2(6^2) + \frac{(6^4)}{4}
   $$
   $$
   s(6) = 12 - 2(36) + \frac{1296}{4}
   $$
   $$
   s(6) = 12 - 72 + 324
   $$
   $$
   s(6) = 12 - 72 + 324 = 264 \text{ metros}
   $$

Portanto, a distância percorrida pela partícula no instante de 6 segundos é **c) 264 metros**.

Ed · Answer

Para encontrar a distância percorrida pela partícula, precisamos integrar a função de velocidade em relação ao tempo para obter a função de posição. Então, podemos encontrar a distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo de 0 a 6 segundos.

A função de velocidade é:

v(t) = 2 - 4t + t³

Integrando em relação ao tempo, obtemos a função de posição:

x(t) = ∫v(t)dt = 2t - 2t² + (1/4)t⁴ + C

Sabemos que para t = 0 segundos, o deslocamento é zero metros, então podemos encontrar o valor de C:

x(0) = 0 = 2(0) - 2(0)² + (1/4)(0)⁴ + C
C = 0

A função de posição é, portanto:

x(t) = 2t - 2t² + (1/4)t⁴

A distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo de 0 a 6 segundos é dada por:

d = ∫|v(t)|dt de 0 a 6

d = ∫(2 - 4t + t³)dt de 0 a 6

d = [2t - 2t²/2 + (1/4)t⁴/4] de 0 a 6

d = [12 - 72/2 + (1/4)6⁴/4] - [0 - 0/2 + (1/4)0⁴/4]

d = 288 metros

Portanto, a alternativa correta é a letra d) 288 metros.

Matemática

UN 1 - Avaliação Objetiva - Cálculo II - Multivix

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