Pesquisa de Matemática

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Pesquisa de Matemática
Nome: Yohana Mayra da Mota Ortega
Turma: 3 Termo B
Professor: Valdir
Função Exponencial
A função exponencial ocorre quando, em sua lei de formação, a variável está no expoente,
com domínio e contradomínio nos números reais. O domínio da função exponencial são os
números reais, e o contradomínio são os números reais positivos diferentes de zero. A sua
lei de formação pode ser descrita por f(x) =ax, em que a é um número real positivo diferente
de 1.
O gráfico de uma função exponencial sempre estará no primeiro e segundo quadrantes do
plano cartesiano, podendo ser crescente, quando a for um número maior do que 1, ou
decrescente, quando a for um número positivo menor do que 1. A função inversa da função
exponencial é a função logarítmica, o que torna os gráficos dessas funções sempre
simétricos.
Exemplo:
O que é função exponencial?
Como o nome sugere, o termo exponencial está ligado a expoente. Então, a definição de
função exponencial é uma função cujo domínio é o conjunto dos números reais, e o
contradomínio é o conjunto dos números reais positivos não nulos, descrito por : ℝ →
ℝ*+. A sua lei de formação é descrita pela equação f(x) = ax, em que a é um número real
qualquer, positivo, não nulo e que recebe o nome de base.
Exemplos:
Na lei de formação, f(x) pode ser descrito também como y e, assim como nas demais
funções, ele é conhecido como variável dependente, porque seu valor depende de x, que é
conhecido como variável independente.
Tipos de função exponencial
As funções exponenciais podem ser classificadas em dois casos distintos. Levando em
consideração o comportamento da função, ela pode ser crescente ou decrescente.
Uma função exponencial é dita crescente se, à medida
que o valor de x aumenta, o valor de f(x) também
aumenta. Isso ocorre quando a base é maior que 1, ou
seja: a > 1.
Exemplo:
Uma função exponencial é considerada decrescente se,
à medida que o valor de x aumenta, o valor de f(x)
diminui. Isso ocorre quando a base é um número entre 0
e 1, ou seja, 0 < a < 1.
Exemplo:
Exemplos de exercícios de Função Exponencial
Exercício 1:
Dada a função f(x) = 2x+3 + 10, o valor de x para que f(x) = 42 é de:
Resposta: 2
Resolução:
2x+3 + 10 = 42
2x+3 = 42 – 10
2x+3 = 32
Sabemos que 32 = 25:
2x+3 = 25
x + 3 = 5
x = 5 – 2
x = 2
Exercício 2:
Quando uma matéria é radioativa, é comum que a sua massa se desintegre, no decorrer do
tempo, de forma exponencial. O césio 137, por exemplo, possui meia-vida após 30 anos, ou
seja, se havia, inicialmente, uma massa m0 de césio, após 30 anos, haverá metade de m0.
Para descrever melhor essa situação, temos a função exponencial:
x→ quantidade de meias-vidas
m0 → massa inicial
f(x) → massa final
Pensando nisso, se houver 80 gramas de césio 137, inicialmente, após 150 anos, haverá
um total de:
Resposta: 2,5 gramas
Resolução:
Sabemos que a meia-vida é de 30 anos, então, 150 : 30 = 5. Calculando f(5) e sabendo que
m0 = 80, temos que:
Exercício 3 :
O gráfico, a seguir, é a representação de uma função exponencial:
Analisando o gráfico, a lei de formação dessa
função exponencial é:
Resposta: f(x) = 0,5x.
Resolução: Analisando o plano cartesiano, é possível perceber que o ponto
(-1, 2) faz parte da função e que ela é uma função exponencial
decrescente, então, temos que: f(x) = ax
Por outro lado, temos que: f(-1) = 2
Então: Sabemos que 1 : 2 = 0,5, então, a lei de formação dessa função é
f(x) = 0,5x.
Exercício 4:
Considerando que f(x) = 49x, determine o valor de f(1,5).
Resposta: 343
Resolução:Para facilitar os cálculos na resolução desse exercício, vamos escrever o 1,5
como fração, isto é:
1,5 = 15 = 3
10 2
Vamos então calcular f(1,5):
f(1,5) = 491.5
f(1,5) = 493/2
Por conveniência, vamos aplicar as propriedades de potenciação e escrever 49 como 72.
Temos então:
f(1,5) = √493
f(1,5) = √(72)3
f(1,5) = √76
f(1,5) = √(73)2
f(1,5) = 73
f(1,5) = 343
Portanto, para x = 1,5, a função vale 343.