Trabalho e Energia na Física

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3ºAula
Trabalho e Energia
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• definir trabalho em termos da força aplicada em um corpo;
• definir o trabalho da força Peso e força Elástica;
• conceituar energia em termos do trabalho realizado;
• definir energia cinética, energia potencial e mecânica;
• demostrar o Teorema Trabalho-Energia.
Prezados(as) alunos(as):
Nesta aula, iremos estudar dois conceitos muito 
importantes na Física, Trabalho e Energia. Veremos o conceito 
de trabalho realizado pela força Peso, pela força Elástica e por 
uma força qualquer. Definiremos conceito de Energia em 
termos do trabalho realizado, através do teorema Trabalho-
Energia. Vamos definir Energia Cinética e Energia Potencial 
e Energia Mecânica. Por fim, estudaremos o conceito de 
Conservação de Energia Mecânica, que é um dos principais 
conceitos, juntamente com outro – Conservação de Momento 
Linear que veremos nas próximas aulas, importantes na Física.
Bons estudos!
18Física Aplicada à Biologia
Seções de estudo
1- Introdução
2- Trabalho
3- Trabalho da Força Peso
4- Trabalho da Força Elástica
5- Potência
6- Energia
7- Conservação de Energia
8- Energia Mecânica
9- Exemplos de Aplicação
1- Introdução
 O trabalho é uma grandeza escalar, fazendo-se sentido 
apenas quando se tem componentes das forças aplicadas na 
direção do movimento da partícula. Um exemplo de nossa 
realidade acontece quando uma pessoa segura um objeto junto 
ao seu corpo e se desloca movimentando-se horizontalmente 
de tal forma que a força aplicada ao objeto tem sentido vertical 
para um deslocamento no sentido horizontal, determinando 
a inexistência de trabalho. A energia, assim como o trabalho, 
também é uma grandeza escalar. Está associada à mudança de 
posição ou de velocidade do corpo, e sua variação calculada 
entre dois pontos distintos é numericamente igual ao trabalho 
realizado.
2- Trabalho
Trabalho é defi nido como sendo o produto dos 
módulos de duas grandezas vetoriais (força e deslocamento) 
multiplicado pelo cosseno do ângulo θ formado pelos dois 
vetores.
W = F.d.cos θ
Onde,
W é o trabalho da força;
F é a força aplicada;
d é distância percorrida pelo corpo;
θ é o ângulo formado entre a força e o deslocamento;
A unidade de Trabalho no SI é o N. m ou J – Joule.
3- Trabalho da Força Peso
Um corpo é solto de uma altura h em relação ao solo 
estando submetido a uma força P = mg que está no mesmo 
sentido do movimento. Temos então, um ângulo = 0° para 
um trabalho escrito como
W = m g h
Onde,
m é massa do corpo;
g é a aceleração da gravidade;
h é altura.
Se o corpo está se deslocando em um plano de inclinação 
de tamanho d, encontra-se para a força que age sobre a massa 
m o valor P = mgsenθ. O trabalho tem a forma
W = m . .g.d. sen θ
O termo mgh é conhecido também como Energia 
Potencial Gravitacional - U.
4- Trabalho da Força Elástica
A aplicação de uma força F externa a uma mola provoca 
uma deformação x. A mola reage com uma força elástica Fe 
proporcional ao deslocamento x e a constante elástica da mola 
k, sendo a constante da mola dependente apenas do material 
na qual a mola foi confeccionada. A força elástica é mostrada 
na equação conhecida como Lei de Hooke
Fe = - k .x
Onde,
Fe é força elástica;
k é a constante elástica, depende do material;
x é a elongação da mola.
Se fi zermos um gráfi co de Fe x X, ele será uma reta 
passando pela origem formando um triângulo juntamente 
com o eixo dos x e a reta vertical que determina o valor para a 
distensão da mola. Esta área vale kx2/2 e para o trabalho cujo 
valor é numericamente igual a área.
W = ½ k x2
O termo ½ k x2 é também conhecido como Energia 
Potencial Elástica - Ue.
5- Potência
A grandeza física denominada potência nos diz com que 
rapidez realizamos o trabalho, sendo defi nida como a razão 
entre o trabalho executado e o intervalo de tempo decorrido. 
P = W / ∆t
Substituindo o valor do trabalho, W = F d cos θ, temos
P = (F d cos θ) / ∆t
Como v = d / ∆t, então
P = F v cos θ
6- Energia
Queremos relacionar trabalho e energia para uma maior 
facilidade nas abordagens aos problemas surgidos. Faremos 
isso, partindo-se da 2ª Lei de Newton aplicada a um corpo de 
massa m e aceleração a. O móvel desloca-se em MRUV onde 
vale a equação de Torricelli e após isolarmos a aceleração, 
como vimos nas aulas passadas, e escreveremos F da seguinte 
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maneira: 
 vf
2 = vi
2 - 2 a (x – x0) e F = m .a, temos
F = m (vf
2 – vi
2) / 2 ( x – x0)
Para d = x - xi, a distância percorrida entre as posições 
inicial e fi nal, e sabendo-se que o trabalho é igual a força F 
vezes a distância d, obtém-se a equação 
W = ½ m (vf
2 – vi
2)
W = ½ m vf
2 – ½ mvi
2
O termo ½ m v2 é conhecido como Energia Cinética - K
Sendo Kf a energia cinética fi nal do móvel e Ki a energia 
cinética inicial do móvel. Então podemos escrever
W = ∆K
Temos então a relação entre trabalho e energia, ou o 
teorema Trabalho-Energia.
Energia não tem uma defi nição científi ca efi caz, então 
podemos dizer que energia é a capacidade de um corpo 
realizar trabalho.
7- Conservação de Energia
Em todo e qualquer sistema físico conhecido, a energia 
é sempre conservada, ocorrendo a mudança na forma como 
a energia se apresenta impondo ao corpo um estado diferente 
do anterior, não necessariamente visível. 
• Um corpo encontrando-se a uma altura h é liberado 
e adquire velocidade (energia potencial gravitacional 
é transformada em energia cinética);
• Uma partícula em velocidade choca-se com uma mola 
comprimindo-a (energia cinética é transformada em 
energia potencial da mola);
• Um corpo escorrega sobre uma superfície perdendo 
velocidade (energia cinética é transformada em calor 
pela ação do atrito);
• Um corpo que está sobre uma mola comprimida, 
após a liberação, adquire uma velocidade vertical 
(energia potencial da mola é transformada em 
energia cinética e energia potencial gravitacional).
8- Energia Mecânica
Chamamos a energia conservada no sistema em estudo 
de energia mecânica E, cujo valor é dado pela soma algébrica 
das energias cinética K e potencial U para uma equação geral 
da forma
E = K + U
Considere a energia mecânica em dois pontos distintos 
com valores Ei e Ef, para uma diferença E = K + U = 0, E 
é uma constante, por haver conservação de energia de modo 
que a soma das variações das energias cinética e potencial 
também é nula.
∆K = - ∆U
Pelo Teorema do Trabalho-Energia vimos que a variação 
da energia cinética é igual ao trabalho.
 W = - ∆U
Considerando-se as posições inicial yi e fi nal yf do 
deslocamento de um corpo, calcula-se o trabalho executado 
pela força gravitacional como sendo
W = m g (yi – yf)
para a variação de energia potencial teríamos
∆U = m g (yi – yf)
Podemos então defi nir a energia potencial gravitacional 
U como sendo o produto do peso mg vezes a altura y em 
relação a origem, por exemplo, fazendo-se yi = 0.
U = m g y
Como havíamos defi nido anteriormente.
Unidade de Energia no SI também é o J – Joule
9- Exemplos de Aplicação
Exemplo 2 (Tipler – 2006). Durante o inverno você 
participa de uma corrida de trenós que cruza um lago gelado. 
Para iniciar o movimento, você puxa o trenó (massa total 
de 80 kg) com uma força de 180 N a um ângulo de 20° em 
relação à horizontal. Determine (a) o trabalho realizado por 
você e (b) a velocidade fi nal do trenó após se mover de uma 
distância ∆x = 5 m, admitindo que ele parte do repouso e que 
não haja atrito.
Resolução
a) W = ?
Temos m = 80 kg, F = 180 N, o ângulo θ = 20° e ∆x = 
5, então
W = F d cosθ
W = F ∆x cosθ
W = 180 x 5 x cos 20° = 846 J
b) vf = ?
O trenó parte do repouso, portanto vi = 0, então pelo 
teorema trabalho-energia
W = ½ m vf
2 – ½ mvi
2
vf
2 = vi
2 + 2 W/m
vf
2 = 02 + 2 (846) / 80
vf
2 = 21,15
vf = 4,60 m/s
Exemplo 2 (Tipler-2006) Uma bola colocada próximo 
do telhado de um edifício de 12 m de altura é chutada com 
uma velocidade inicial vi = 16 m/s a um ângulo de 60° acima 
da horizontal. Desprezando a resistênciado ar, calcule (a) 
20Física Aplicada à Biologia
Notas de Aulas de Física - Disponível em: http://www.
fisica.ufpb.br/~romero/port/notas_de_aula.htm. Acesso em: 
01/05/2017.
GREF – Grupo de Reelaboração do Ensino de Física. 
Disponível em: http://www.if.usp.br/gref/pagina01.html. Acesso 
em: 27/06/2017.
SANTOS, José Nazareno – PROLICEN. Disponível em: 
http://www.fisica.ufpb.br/prolicen/Cursos/Curso1/te71int.
html. Acesso em: 28/06/2017.
Física I – Univesp. Disponível em: https://www.youtube.
com/playlist?list=PL1Dg4Oxxk_RJO0U5f8y0B_rLotz33vuNN. 
Acesso em: 26/07/2017.
Vale a pena acessar
GREF - Grupo de Reelaboração do Ensino de Física – 
Mecânica. Editora Edusp – 1998.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. 
Fundamentos da física: Mecânica. 4 ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2000. Vol. 1.
TIPLER, Paul Allan; MOSCA, Gene. Física para 
cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e ondas, 
termodinâmica; tradução Fernando Ribeiro da Silva, Gisele 
Maria Ribeiro Vieira. v. 1. Rio de Janeiro: LTC, 2006. 
Vale a pena ler
Vale a pena
a altura acima da construção que será alcançada pela bola e 
(b) sua velocidade no instante imediatamente anterior ao de 
atingir o solo.
Resolução:
a) htopo = ?
Escolhendo a Terra como referencial e fazendo y = 0 
para o telhado do edifício, temos por conservação de energia 
mecânica a seguinte solução:
Emec topo = Emec i
½ m v2topo + mgytopo = ½ mv
2
i + mgyi
½ m v2topo + mgytopo = ½ mv
2
i + 0
Resolvendo para htopo
htopo = (v
2
i - v
2
topo) / 2g
Lembrando-se da aula de vetores, temos que vtopo = vi 
cos θ, portanto.
htopo = (v
2
i - v
2
topo) / 2g
htopo = (v
2
i – vi
2 cos2 θ) / 2g
htopo = v
2
i ( 1 - cos
2 θ) / 2g
Substituindo vi = 16 m/s , θ = 60º e g = 9,8 m/s
2
htopo = (16
2) ( 1 – cos2 60) / 2 . 9,8
htopo = 9,79 m
b) vf = ?
A bola está caindo, portanto, temos y = yf = -12 m.
Usando novamente a conservação de energia,
Emecf = ½ mvf
2 + mgyf
Emecf = E meci
½ mvf
2 + mgyf = ½ m vi
2
vf = √ vi
2 + 2gyf 
vf = √ (16)
2 – 2( 9,8) . (-12)
vf = 22,2 m/s
Caros(as) alunos(as). Chegamos ao fi nal da aula 03. 
Vamos, então, recordar.
Retomando a aula
O trabalho, a energia cinética, a energia potencial e 
a potência são importantes grandezas físicas. O teorema 
trabalho-energia cinética é uma importante relação derivada 
das leis de Newton aplicadas a uma partícula. A soma das 
energias cinéticas e potencial de um sistema é chamada de 
energia mecânica total e o de ser expressa matematicamente 
da seguinte maneira
Emec = K + U
Se nenhuma força externa realiza trabalho em um 
sistema e se as forças internas que realizam trabalho são todas 
conservativas, a energia mecânica total do sistema permanece 
constante, ou seja,
Emec = K + U = constante
Kf + Uf = Ki + Ui
A energia total do universo é constante. A energia pode 
ser convertida de uma forma para outra ou transmitida de 
uma região para outra, mas a energia não pode ser criada nem 
destruída.