Cálculo I - Derivadas e Regras

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Cálculo I – Prof. Leomaques 
3 - DERIVADAS 
 
Definição 3.1 (Função Derivada): A derivada de uma função ( )f x em relação à variável x é 
a função 'f que associa a cada x o valor: 
0
( ) ( )
'( ) lim
h
f x h f x
f x
h→
+ −
= . 
 
Notações para a derivada da função ( )f x : '( ), , Dx
df
f x f
dx
. 
Exemplo 3.1: Encontre a derivada da função ( )f x x= , onde 0x > . 
 
3.1 - DERIVADAS LATERAIS 
 
Definição 3.1.1: Uma função ( )y f x= será derivável em um intervalo aberto se tiver uma 
derivada em cada ponto do intervalo. Será derivável em um intervalo fechado [ , ]a b se for 
derivável em ( , )a b e se os limites: 
' '
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim e ( ) lim
h h
f a h f a f b h f b
f a f b
h h+ −
+ −
→ →
+ − + −
= = 
existirem. 
 
Observação 3.1.1: A relação usual entre limites laterais e bilaterais vale para as derivadas 
laterais. 
 
Exemplo 3.1.1: A função ( )f x x= não é derivável em 0x = . 
 
3.2 - CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DERIVÁVEIS 
 
Teorema 3.2.1: Se f é uma função derivável no ponto c , então f é contínua em c . 
 
Observação 3.2.1: A recíproca do resultado anterior é falsa, pois a função ( )f x x= é contínua 
em 0a = , mas não é derivável em 0a = . 
 
3.3 - REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
Teorema 3.3.1: Sejam f e g funções deriváveis. Então são deriváveis as seguintes funções: 
• ( )f x c= e '( ) 0f x = ; 
• ( ) nf x x= e 1'( ) nf x nx −= ( n é um inteiro positivo); 
• f g+ e ( ) '( ) '( ) '( )f g x f x g x+ = + ; 
• f g− e ( ) '( ) '( ) '( )f g x f x g x− = − ; 
• f g+ e ( ) '( ) '( ) '( )f g x f x g x+ = + ; 
• f g⋅ e ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( )f g x f x g x f x g x⋅ = ⋅ + ⋅ ; 
• k f⋅ e ( ) '( ) '( )k f x k f x⋅ = ⋅ ; 
• 
f
g
 e 
[ ]
2
'( ) ( ) ( ) '( )
'( )
( )
f f x g x f x g x
x
g g x
  ⋅ − ⋅
= 
 
, desde que ( ) 0g x ≠ . 
 
 
3.4 - DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES DO CÁLCULO 
 
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 No quadro a seguir apresentaremos as derivadas das funções elementares: 
trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. 
 
Função ( ( )f x ) Derivada ( '( )f x ) Função ( ( )f x ) Derivada ( '( )f x ) 
senx cos x ( 0 e 1)xa a a> ≠ lnxa a 
cos x senx− log ( 0 e 1)a x a a> ≠ 1
lnx a
 
tgx 2sec x 
x
e 
x
e 
cot gx 2cossec x− ln x 1
x
 
sec x sec x tgx⋅ 
cossec x cossec cotx gx− ⋅ 
 
3.5 - REGRA DA CADEIA 
 
Teorema 3.5.1 (Regra da Cadeia): Sejam ( )y g u= e ( )u f x= funções. Se as derivadas 
dy
du
 e 
du
dx
 existem, então a função composta ( ( ))y g f x= tem derivada que é dada por: 
 
dy dy du
dx du dx
= ⋅ ou [ ]( ( )) ' '( ( )) '( )g f x g f x f x= . 
 
Exemplo 3.5.1: Considere a função 3 5( 6 2)y x x= + + . Determine 
dy
dx
. 
Exemplo 3.5.2: Considere a função 
3
2(2 ) cosxy e sen x x= + + . Determine 
dy
dx
. 
 
3.6 – DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 
 
 Seja f uma função derivável. A sua derivada 'f é também uma função. Portanto, 
podemos pensar na derivada da função 
'
f . 
 
Definição 3.6.1: Seja f uma função derivável. Se 'f também for derivável, então a sua 
derivada é chamada derivada segunda de f e é representada por ''f ou 
2
2
d f
dx
. 
Mais geralmente, a derivada de ordem n ou ésiman − derivada de f , representada por 
( ) ( )nf x , é obtida derivando a derivada de ordem 1n − de f . 
 
Exemplo 3.6.1: Considere a função ( )f x senx= . Obtenha ( ) ( )nf x para 1n ≥ . 
 
3.7 – DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA IMPLÍCITA 
 
Suponhamos que a equação ( , ) 0F x y = define implicitamente uma função derivável 
( )y f x= . Não precisamos resolver a equação e encontrar y em termos de x para determinar 
a derivada de y . Usando a Regra da Cadeia é possível determinar 'y sem explicitar y . Tal 
processo é chamado de derivação implícita. 
 
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Exemplo 3.7.1: Sabendo que ( )y f x= é definida implicitamente pela equação 
2 32 2xy y x y+ = + determine 'y . 
 
3.8 – REGRAS DE L’HOSPITAL 
 
 As Regras de L’Hospital que enunciaremos a seguir aplicam-se a cálculos de limites 
que apresentam indeterminações dos tipos: 
0
0
 e 
∞
∞
. 
 
Teorema 3.8.1: Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I , exceto 
possivelmente em um ponto a I∈ . Suponhamos que 
'( ) 0g x ≠ para todo x a≠ em I . Então: 
a) Se lim ( ) lim ( ) 0
x a x a
f x g x
→ →
= = e 
'
'
( )
lim
( )x a
f x
L
g x→
= , então 
'
'
( ) ( )
lim lim
( ) ( )x a x a
f x f x
L
g x g x→ →
= = . 
b) Se lim ( ) lim ( )
x a x a
f x g x
→ →
= = ∞ e 
'
'
( )
lim
( )x a
f x
L
g x→
= , então 
'
'
( ) ( )
lim lim
( ) ( )x a x a
f x f x
L
g x g x→ →
= = . 
 
Exemplo 3.8.1: Calcule 
5 3
41
6 8 3
lim
1x
x x x
x→
− + −
−
. 
Exemplo 3.8.2: Determine 
2
lim
x
x
e
x→∞
. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
• FLEMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. Cálculo A. 6ª ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2007. 
• THOMAS, G. B. Cálculo. Vol. 1. 10ª ed. São Paulo: Addison Wesley, 2002.