Cinemática de Galileu

Prévia do material em texto

DEFINIÇÃO
Apresentação de conceitos da Cinemática, como posição, velocidade, aceleração, Movimento
Retilíneo Uniforme (M.R.U.), Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.),
Movimento Circular Uniforme (M.C.U.) e Movimento Circular Uniformemente Variado
(M.C.U.V.).
PROPÓSITO
Compreender como os conceitos da Cinemática podem ser aplicados em situações cotidianas.
PREPARAÇÃO
Para lidar com a Mecânica, ramo da Física que está relacionado ao estudo dos movimentos,
será necessário ter em mãos uma calculadora científica. Caso não tenha uma, baixe umProcessing math: 77%
aplicativo em seu celular, ou utilize a calculadora do seu computador na opção científica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar os conceitos de posição, velocidade, aceleração e tempo à resolução de problemas
MÓDULO 2
Interpretar os gráficos das funções horárias
MÓDULO 3
Identificar os movimentos retilíneos e suas funções horárias
MÓDULO 4
Descrever os movimentos circulares e suas funções horárias
INTRODUÇÃO
A Mecânica Clássica é o ramo da Física que se dedica ao estudo dos movimentos. Assim,
tudo que se encontra nos mundos macroscópico e microscópico ao nosso redor se movimenta
de acordo com os princípios da Mecânica Clássica, desde um pequeno grão de areia sendoProcessing math: 77%
carregado pelo vento até o movimento de planetas, cometas, asteroides e estrelas. Tudo isso
se movimenta de acordo com os princípios da Cinemática, os quais são facilmente explicados
e demonstrados pelas Leis de Newton.
O estudo da Mecânica Clássica se inicia na Cinemática.
 
Fonte: Nathapol Kongseang / Shutterstock
É por meio da Cinemática que aprendemos os conceitos básicos de posição, espaço, tempo,
velocidade e aceleração. Veremos que com esses conceitos é possível construir gráficos
simples, mas de grande ajuda na análise do movimento de corpos.
Apresentaremos as Leis de Newton, a fim de compreender o que rege tais movimentos, e suas
análises, para que possamos reconhecer os conceitos envolvidos no movimento de certo corpo
ou partícula. Em seguida, daremos continuidade ao estudo de quantidade de movimento,
impulso e energia mecânica por meio das colisões. Veremos que esses três conceitos são
aplicações diretas das Leis de Newton e, consequentemente, da Cinemática, inicialmente
desenvolvida por Galileu Galilei.
Então, vamos começar?
GALILEU GALILEI
Galileu Galilei (1564-1642) foi um físico, matemático, astrônomo e filósofo que
revolucionou a Astronomia através das leis matemáticas que descrevem o movimento
dos corpos terrestres.
Processing math: 77%
javascript:void(0)
O QUE É A CINEMÁTICA?
A Cinemática é o ramo da Física que estuda o movimento de corpos ou partículas, sem
referência à massa ou à atuação de forças, ou seja, a Cinemática não se preocupa com as
causas naturais que induziram tal movimento. Um corpo em movimento é aquele que
apresenta velocidade e, em alguns casos, aceleração.
Mas você sabe o que são velocidade e aceleração?
Processing math: 77%
Para poder responder a essa pergunta, primeiro teremos que apresentar conceitos que
antecedem a velocidade e a aceleração.
POSIÇÃO (S)
POSIÇÃO UNIDIMENSIONAL
Você provavelmente já deve ter ouvido falar que dois ou mais corpos não podem ocupar o
mesmo lugar. A esse local que um corpo ou uma partícula ocupa no espaço damos o nome de
posição, a qual é representada na Física pela letra S.
Para introduzir esse conceito, vamos simplificar o nosso espaço e considerá-lo
unidimensional (que tem apenas uma dimensão ou é considerado sob uma única dimensão).
Para tal, vamos utilizar uma régua, conforme disposto na figura 1. Essa régua é graduada de 0
a 7 e sua unidade de medida é o metro.
Agora, observe na figura 1 onde se encontram os pontos amarelo, vermelho, roxo e verde.
A partir dessas observações, determinaremos o local ocupado por esses pontos, ou seja, a sua
posição.
Processing math: 77%
javascript:void(0)
 Figura 1 - Espaço unidimensional com escala em metros.
Toda grandeza na Física possui unidade de medida. No caso da posição, o Sistema
Internacional de Unidades (SI) define que a unidade de medida padrão é o metro (m), assim,
qualquer outra unidade de medida, como centímetro, milímetro, decímetro etc. deve ser
convertida para o metro.
No caso da régua apresentada na figura 1, a unidade de medida já se encontra em metro,
facilitando nossa análise da posição dos pontos amarelo (Samarelo), vermelho (Svermelho), roxo
(Sroxo) e verde (Sverde).
Podemos observar que o ponto amarelo se encontra sobre a coordenada 1 da nossa régua,
logo, dizemos que o ponto amarelo está na posição 1m, ou simplesmente, Samarelo = 1m. De
forma análoga aos outros pontos, temos: Svermelho = 7m, Sroxo = 4m e Sverde = 3m. Podemos
descrever também suas posições utilizando como artifício a tabela 1:
Corpo Posição (m)Processing math: 77%
javascript:void(0)
Amarelo 1
Vermelho 7
Roxo 4
Verde 3
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal.
 Tabela 1 - Coordenadas de posição dos corpos da figura 1.
POSIÇÃO BIDIMENSIONAL
Agora, vamos para um plano bidimensional, em que a posição de um corpo é descrita em duas
coordenadas. Estamos lidando com um plano cartesiano de eixos x e y, no qual ambos os
eixos medem a unidade de distância, que é representada pelo metro.
Para entender melhor, imagine que você está observando, de cima, um tabuleiro de batalha
naval, em que a posição é dada por duas coordenadas; na vertical, temos os números de 1 a
10 e, na horizontal, temos as letras de A a L. No plano cartesiano, vamos observar os pontos:
amarelo, vermelho, roxo e verde, como é mostrado abaixo.
Processing math: 77%
Observe que para cada ponto existem duas coordenadas, uma em x e a outra em y. Como foi
dito anteriormente, tanto x como y se encontram em metros, assim, a posição desses pontos
pode ser representada de 3 modos:
NOTAÇÃO ESCALAR
Samarelo = (B,2)m; Svermelho = (J,9)m; Sroxo = (L,10)m; Sverde = (E,4)m.
Neste modo, temos a notação escalar, na qual a coordenada x sempre antecede a
coordenada em y. Por sua vez, a unidade de medida aparece fora do parêntese.
Processing math: 77%
FORMA VETORIAL
Samarelo = (Bi + 2j)m; Svermelho = (Ji + 9j)m; Sroxo = (Li + 10j)m; Sverde = (Ei + 4j)m
Já aqui, temos a forma vetorial de representação, por meio da qual representamos as
coordenadas em função dos vetores unitários, sendo i o vetor unitário de x e j o vetor unitário
de y:
 Figura 3 - Forma de representação de um vetor posição
B î + 2ĵ
J î + 9ĵ
L î + 10ĵ
E î + 4ĵ
TABELA
Corpo x(m) y(m)
Amarelo B 2
Vermelho J 9
Processing math: 77%
Roxo L 10
Verde E 4
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal.
 Tabela 2 - Tabela de coordenadas da posição de um corpo em um espaço bidimensional.
Neste modo, temos o registro em tabela, assim como fizemos na tabela 1.
POSIÇÃO TRIDIMENSIONAL
Agora, veremos como se descreve a posição de um corpo no espaço tridimensional, em que
de fato vivemos. Aqui, a posição do corpo é descrita em função dos três eixos: x, y, z, ou seja,
trabalharemos com coordenadas referentes à largura, à profundidade e à altura de
determinado espaço. A figura 4 demonstra quatro pontos vistos anteriormente (amarelo,
vermelho, roxo e verde) em coordenadas tridimensionais:
Processing math: 77%
 Figura 4 - Representação tridimensional do posicionamento de quatro corpos
Na figura 4, os três eixos também possuem unidade de medida em metros, e a representação
da posição em função das coordenadas é semelhante à representação feita no espaço
bidimensional. Portanto, temos:
NOTAÇÃO ESCALAR
Samarelo = (3,2,1)m; Svermelho = (0,0,0)m; Sroxo = (5,0,0)m; Sverde = (0,0,7)m
Processing math: 77%
FORMA VETORIAL
Samarelo = (3i + 2j + 1k)m; Svermelho = (0i + 0j + 0k)m; Sroxo = (5i + 0j + 0k)m; Sverde = (0i + 0j
+ 7k)m
TABELA
Corpo x(m) y(m)
Amarelo 3 2 1
Vermelho 0 0 0
Roxo 5 0 0
Verde 0 0 7
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilizea rolagem horizontal.
 Tabela 3 - Tabela de coordenadas da posição de um corpo em um espaço tridimensional.
 ATENÇÃO
O registro em tabela não é utilizado comumente; em geral, as posições são representadas ou
por notação escalar ou pela forma vetorial, preferindo-se a última. Todavia, registrar as
coordenadas em uma tabela facilita muito o trabalho de visualização, análise e exposição dos
dados, uma vez que garante a organização dos elementos. A tabela costuma ser utilizada para
organizar dados coletados em experimentos físicos.
ESPAÇO ( ∆ S)
Processing math: 77%
Na Física Clássica, quando nos referimos a espaço, estamos falando de espaço percorrido.
Essa grandeza aparece quando há o deslocamento de um corpo, ou seja, quando ele se
desloca de uma posição para outra. Chamamos a posição inicial de S0 (lê-se “S com índice
zero”, ou simplesmente “S zero”).
A posição final é definida somente como S. Então, o espaço é definido como a variação da
posição do corpo e é calculado da seguinte maneira:
∆ S = S - S0
1
Assim como a posição, o espaço pode ser determinado tanto de forma escalar quanto de
forma vetorial.
EXEMPLO
Para fixar esse conceito, vamos analisar o movimento de um caramujo, considerando que ele
está posicionado sobre um sistema de coordenadas unidimensional, como aquele apresentado
na figura 1, cuja unidade está em centímetros.
 
O caramujo é inicialmente visto na posição 17cm e vagarosamente se locomove em direção à
origem (posição 0cm) até o ponto 6cm. Podemos definir o espaço percorrido por esse
caramujo, considerando a equação (1), como mostra a seguir:
∆ S = S - S0
∆ S = 6 - 17
∆ S = - 11cm
 
Fonte: Oleh Markov / ShutterstockProcessing math: 77%
 Figura 5 – Percurso do caramujo
De fato, o espaço entre os pontos 6cm e 17cm é de 11cm, e não -11cm. Todavia, o sinal
negativo indica que o caramujo se deslocou no sentido negativo do eixo coordenado, ou seja,
em direção ao ponto que marca 0cm.
Agora, vamos considerar o mesmo caramujo se locomovendo em um plano bidimensional, de
maneira que sua posição inicial se dá em 7i + 3j e ele se desloca até o ponto -7i - 3j. Qual
seria a distância percorrida pelo caramujo nesse caso?
SOLUÇÃO
O deslocamento é dado pela equação (1), porém não há um deslocamento unidimensional,
mas bidimensional, porque temos o deslocamento no eixo x, como indica o vetor unitário i, e
um deslocamento do eixo y, como indica o vetor unitário j. Ou seja, ao contrário da situação
anterior, dessa vez temos um deslocamento vetorial:
∆ S = - 7i - 3j - (7i + 3j) = - 7i - 3j - 7i - 3j
∆ S = (-14i - 6j)m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Assim, o que calculamos aqui para o caramujo foi o vetor deslocamento. A representação
correta, uma vez que se fala de ver, é:
∆
→
S = (-14i - 6j)m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Para determinar o módulo desse deslocamento e descobrir o espaço percorrido, é necessário
realizar o seguinte cálculo:
∆
→
S = √(-14)2 + (-6)2 = 15, 23m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Isso significa que, ao mudar sua posição de S0 = 7i + 3j para S = - 7i - 3j, o caramujo
percorreu uma distância de 15, 23m.
Portanto, podemos concluir que a distância percorrida é igual ao módulo do vetor
deslocamento.
| |
Processing math: 77%
javascript:void(0)
 SAIBA MAIS
O sistema de posicionamento global, conhecido como GPS, utiliza exatamente o vetor
deslocamento para determinar a distância entre dois pontos, porém, em vez de utilizar
sistemas cartesianos, utiliza coordenadas de longitude e latitude.
 
Fonte: LightAndShare / Shutterstock
 
Fonte: Min C. Chiu / Shutterstock
TEMPO ( ∆ T)
Tempo é uma grandeza física associada a um sequenciamento correto, mediante a ordem de
ocorrência de eventos naturais. O tempo não corresponde a horários e sim à diferença de
horários observados entre o início e o fim de um evento.
Processing math: 77%
Imagine que você saiu da sua casa às 17h para dar uma caminhada e retornou às 17h30.
Temos um horário inicial t0 = 17h e um horário final t = 17h30. O tempo decorrido entre t0 e t é
determinado na equação (2):
∆ t = t - t0
2
∆ t = 17h30-17h = 0h30
Todavia, é muito complexo e nada usual fazer contas com os horários do modo como foram
apresentados, por isso, escrevemos os horários em formas decimais, ou seja:
∆ t = 17, 5 - 17 = 0, 5h
Ambos os resultados se referem a meia hora.
Apesar de o exemplo ter sido solucionado em horas, o SI adota o segundo (s) como unidade
de medida de tempo. Sabemos que uma hora possui um total de 3600 segundos, então, para
converter o tempo de hora para segundos, devemos multiplicar o valor encontrado por 3600.
Retornando ao exemplo citado anteriormente, um tempo de meia hora possui 1800 segundos,
como mostra o cálculo a seguir:
∆ t = 0, 5 × 3600 = 1800s
VELOCIDADE (V)
Define-se a velocidade de um corpo como a razão entre o espaço percorrido e tempo gasto
para percorrê-lo. Em outras palavras, é a taxa, em relação ao tempo, com a qual um corpo
altera a sua posição.
v =
∆ S
∆ t
3
Processing math: 77%
Apesar de a definição de velocidade ser sempre a razão de espaço por tempo, existem duas
formas de representação da velocidade: a velocidade escalar e a velocidade vetorial.
VELOCIDADE ESCALAR
A velocidade escalar, também chamada de velocidade escalar média ou velocidade média,
leva em consideração somente a posição inicial, o ponto final e o tempo total gasto durante o
percurso.
Em geral, é por meio da velocidade média que uma empresa de viagens estima o tempo total
de uma viagem, isso porque diversas coisas podem ocorrer durante o caminho, como uma blitz
policial, um engarrafamento decorrente de algum acidente ou incidente, paradas para ir ao
banheiro etc. Vamos ilustrar, a seguir, como esses acontecimentos podem inferir na velocidade
média.
 
Fonte: Alf Ribeiro / Shutterstock
EXEMPLO
Considere um carro que sai do Rio de Janeiro em direção a São Paulo. Após percorrer 35
minutos, o motorista para em um posto de combustíveis para abastecer, por 25 minutos. Em
seguida, ele retoma a viagem, levando mais 6 horas de viagem.
Se a distância entre as duas cidades é de 433km, qual a velocidade média da viagem?
Processing math: 77%
SOLUÇÃO
A velocidade média leva em conta a razão entre a distância total percorrida e o tempo total
gasto. Consideramos, inclusive, o tempo em que o carro permaneceu parado, abastecendo:
∆ ttotal = 35min+25min + 6h = 7h
Agora é necessário também determinar a distância total percorrida, que é:
∆ Stotal = 433km
Como a velocidade média é a razão desse espaço total pelo tempo total, temos:
vm =
∆ Stotal
∆ ttotal
4
Ao substituir os valores, obtemos:
vm =
433km
7h = 61, 86
km
h
Esse resultado mostra que, se o carro tivesse percorrido o trajeto Rio de Janeiro – São Paulo à
velocidade de 61, 86km /h sem parar, ele também teria levado 7h para percorrer os 433km.
IMPORTANTE
Apesar de o resultado da velocidade ser estritamente conhecido e utilizado, o SI determina que
a velocidade deve ser expressa em unidades de metros por segundo (m /s), ou seja, é
necessário fazer uma transformação para que as unidades do SI sejam alcançadas:
Processing math: 77%
javascript:void(0)
 Figura 6 - Conversão de unidade de velocidade de km /h para m /s e vice-versa.
Para converter um valor de velocidade de km /h para m /s, divide-se a velocidade pelo fator 3,6.
Para passar de m /s para km /h, multiplica-se a velocidade pelo fator 3,6.
VELOCIDADE VETORIAL
A velocidade vetorial se calcula, matematicamente, da mesma forma que a velocidade média.
Todavia, em vez de utilizar valores escalares para realizar os cálculos, utilizam-se valores
vetoriais e obtém-se como resposta: direção, módulo e sentido.
Os valores vetoriais são muito utilizados em aviação, navegações e laboratórios para análise
de movimento de partículas. Vamos utilizar o último para ilustrar ocálculo vetorial,
considerando o ponto material livre para se movimentar.
Esse ponto possui um S0 = (7i + 12j)m e se locomove até o ponto S = (-7i + 11j)m. Esse
trajeto é percorrido em 10 segundos. Portanto, a sua velocidade vetorial é:
→v =
∆
→
S
∆ t =
- 7i + 11j - ( 7i + 12j )
10 =
- 14i - j
10 = (-1, 4i - 0, 1j)m /s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Um gráfico nos ajuda a visualizar melhor esse resultado:
Processing math: 77%
 Figura 7 - Vetor deslocamento.
A figura 5 mostra os pontos S0 e S. A seta preta representa o vetor deslocamento. Note que se
trata de um movimento bidimensional, ou seja, há deslocamento tanto na vertical quanto na
horizontal.
O resultado obtido de →v = (-1, 4i + 0, 1j)m /s demonstra que o ponto material se locomove no
sentido negativo do eixo x a uma velocidade de 1, 4m /s e no sentido negativo do eixo y com
uma velocidade de 0, 1m /s, ou seja, o ponto material se locomove para a esquerda com
velocidade de 1, 4m /s e para baixo com velocidade de 0, 1m /s.
É possível determinar também o módulo vetorial, que é a velocidade com a qual um móvel se
locomove de S para S0:
→v = √(-1, 4)2 + (0, 1)2 = 1, 40m /s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
ACELERAÇÃO
(→A)
| |
Processing math: 77%
Define-se aceleração como a variação da velocidade em função do tempo. Assim como na
velocidade, existe a aceleração escalar e a vetorial.
No caso da aceleração escalar, referimo-nos à aceleração escalar média:
am =
∆ v
∆ t
5
E no caso da aceleração vetorial, temos:
→a =
∆ →v
∆ t
6
Em ambos os casos, a aceleração se resume à variação da velocidade, seja em aumento ou
em redução. Assim, se há mudança de velocidade, há aceleração.
 
Fonte: ktsdesign / Shutterstock
EXEMPLO
Processing math: 77%
Para fixar, considere um carro se deslocando com velocidade constante de 72km /h, quando o
motorista avista um semáforo com a luz amarela acesa. O motorista sabe que leva 3 segundos
para a luz amarela se apagar e acender a luz vermelha. Diante desse contexto:
Qual é a aceleração que deve ser imposta ao carro para que ele pare quando a luz vermelha
acender?
SOLUÇÃO
Para responder a essa pergunta, vamos analisar os dados que possuímos: sabemos que o
carro se locomove a 72km /h e que ele deve parar no instante em que a luz vermelha acender,
ou seja, o carro tem que passar da velocidade de 72km /h para a velocidade de 0km /h em um
intervalo de tempo de 3 segundos.
Dessa forma: v0 = 72
km
h e v = 0
km
h . Todavia, podemos observar que a velocidade se encontra
em km /h e o tempo em segundos.
Logo, devemos fazer a conversão de unidades, da velocidade para m /s, ou do tempo para h. É
mais fácil colocar todas as unidades no SI, ou seja, vamos converter a variação da velocidade
para m /s:
∆ v = v - v0 = 0
km
h - 72
km
h = - 72
km
h
Dividindo por 3,6 para converter para m /s, temos:
∆ v = -
72m
3 , 6s
∆ v = - 20m /s
Para calcular a aceleração, podemos utilizar a equação (5):
a =
∆ v
∆ t =
- 20m / s
3s = - 6, 67
m
s2
Assim, obtemos um valor de aceleração negativo, o que era de se esperar uma vez que o carro
está diminuindo a sua velocidade, ou seja, a aceleração está sendo aplicada no sentido oposto
ao do deslocamento do carro. Com essa aceleração, o carro consegue passar de uma
velocidade de 72km /h para 0km /h em 3 segundos.
 ATENÇÃO
A unidade internacional de medida da aceleração é o metro por segundo ao quadrado (m /s2).Processing math: 77%
javascript:void(0)
MÃO NA MASSA
Neste bloco, resolveremos três exercícios de diferentes graus de dificuldade com a ajuda do
nosso especialista (o professor Gabriel Burlandy) e você fará mais três exercícios de acordo
com esses graus. Nosso objetivo é colocar em prática a teoria aprendida neste módulo. Vamos
lá?
AGORA É COM VOCÊ!
UM AUTOMÓVEL ESTÁ SE LOCOMOVENDO EM LINHA RETA. ELE
PERCORRE 40M EM 5S.
Processing math: 77%
SUA VELOCIDADE DE DESLOCAMENTO É IGUAL A:
A) 8m /s
B) 6m /s
C) 4m /s
D) 2m /s
RESPONDER
GABARITO
Um automóvel está se locomovendo em linha reta. Ele percorre 40m em 5s.
Sua velocidade de deslocamento é igual a:
A alternativa "A " está correta.
 
Determinamos a velocidade de acordo com a equação:
v =
∆ S
∆ t
Temos que ∆ S = 40m e ∆ t = 5, assim:
v =
40
5 = 8m /s
Processing math: 77%
AGORA É COM VOCÊ!
UMA PEDRA ESTÁ SUSPENSA POR UM FIO QUANDO, DE REPENTE, O
FIO ARREBENTA E ELA CAI DE CERTA ALTURA, ATINGINDO O SOLO
COM VELOCIDADE DE 10M /S.
SABENDO QUE A ACELERAÇÃO ATUANTE SOBRE A PEDRA É DE 
9, 8M /S2, O TEMPO DE QUEDA É IGUAL A:
A) 0, 96sProcessing math: 77%
B) 0, 98s
C) 1, 00s
D) 1, 02s
RESPONDER
GABARITO
Uma pedra está suspensa por um fio quando, de repente, o fio arrebenta e ela cai de
certa altura, atingindo o solo com velocidade de 10m /s.
Sabendo que a aceleração atuante sobre a pedra é de 9, 8m /s2, o tempo de queda é igual
a:
A alternativa "D " está correta.
 
Temos que a aceleração é dada por:
a =
∆ v
∆ t =
v - v0
∆ t
Substituindo:
9, 8 =
10 - 0
∆ t ∴ ∆ t =
10
9 , 8 = 1, 02sProcessing math: 77%
AGORA É COM VOCÊ!
CONSIDERE UMA BOLA SENDO ARREMESSADA PARA CIMA COM
VELOCIDADE INICIAL DE 28M /S. SABE-SE QUE A ÚNICA ACELERAÇÃO
AGINDO SOBRE A BOLA É A ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL DE 10M /S2
. NO PONTO MAIS ALTO DO TRAJETO, A BOLA POSSUI VELOCIDADE
ZERO.
Processing math: 77%
ASSIM, O TEMPO DE SUBIDA DA BOLA ATÉ O PONTO MAIS ALTO É DE:
A) 2, 8s
B) 3, 3s
C) 4, 0s
D) 4, 5s
RESPONDER
GABARITO
Considere uma bola sendo arremessada para cima com velocidade inicial de 28m /s.
Sabe-se que a única aceleração agindo sobre a bola é a aceleração gravitacional de 
10m /s2. No ponto mais alto do trajeto, a bola possui velocidade zero.
Processing math: 77%
Assim, o tempo de subida da bola até o ponto mais alto é de:
A alternativa "A " está correta.
 
Temos que a aceleração é dada por:
a =
v - v0
Δt
Substituindo os valores do enunciado, temos:
-10 =
0 - 28
Δt ∴ ∆ t =
- 28
- 10 = 2, 8s
Para entender o resultado, é necessário refletir que a aceleração da gravidade faz as coisas
caírem, logo, aponta para baixo, e o corpo está subindo, ou seja, está em sentido oposto ao da
aceleração da gravidade. Por isso, consideramos a aceleração gravitacional negativa.
UNIDIMENSIONAL
Posição de um corpo em espaço ou plano unidimensional.
Processing math: 77%
NOTAÇÃO
Essa é a unidade de medida utilizada entre parênteses. Esse tipo de notação facilita o
registro dos dados, uma vez que não é preciso repetir a unidade de medida junto ao
número.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UMA PARTÍCULA É VISTA EM DETERMINADO PONTO COM A
SEGUINTE VELOCIDADE: 
→
V0 = 2I - 30J + K. ESSA MESMA PARTÍCULA É
OBSERVADA 30S DEPOIS EM OUTRO PONTO DO ESPAÇO COM
VELOCIDADE →V = I - J - K. CONSIDERANDO AS UNIDADES DE MEDIDA
DO SI, A OPÇÃO QUE REPRESENTA A ACELERAÇÃO VETORIAL E O
SEU MÓDULO, RESPECTIVAMENTE, É:
A) (0, 03i - 0, 97j -0, 07k m /s2 e 0, 97m /s
B) ( - 0, 03i - 0, 97j -0, 07k m /s2 e 0, 97m /s
C) ( - 0, 03i - 0, 97j -0, 07k m /s2 e 0, 86m /s
D) (0, 03i - 0, 97j -0, 07k m /s2 e 0, 86m /s
2. UM MÓVEL SE DESLOCA DA POSIÇÃO 4M À POSIÇÃO 18M EM 20S.
AO CHEGAR NESSA POSIÇÃO, ELE FICA INERTE POR 2H E, EM
SEGUIDA, RETOMA O SEU MOVIMENTO E SE DESLOCA ATÉ A POSIÇÃO 
30M EM 45S. ASSIM, PODEMOS AFIRMAR QUE A VELOCIDADE MÉDIA
DESSE MÓVEL É DE:
)
)
)
)
Processing math: 77%
A) 0, 1m /s
B) 0, 4m /s
C) 0, 004m /s
D) 0, 001m /s
GABARITO
1. Uma partícula é vista em determinado ponto com a seguinte velocidade: 
→
v0 =
2i - 30j + k. Essa mesma partícula é observada 30s depois em outro ponto do espaço
com velocidade →v = i - j - k. Considerando as unidades de medida do SI, a opção que
representa a aceleração vetorial e o seu módulo, respectivamente, é:
A alternativa "B " está correta.
 
Para determinar a aceleração vetorial, devemos utilizar a equação (6), logo:
→a =
∆
→
v
∆
→
t
=
i - j - k - ( 2i - 30j + k )
30 =
- i - 29j - 2k
30 = (-0, 03i -0, 97j - 0, 07k)
m
s2
Para determinar o módulo da aceleração que atuou no corpo, temos:
→a = √(-0, 03)2 + (-0, 97)2 - (0, 07)2 = 0, 97 ms2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um móvel se desloca da posição 4m à posição 18m em 20s. Ao chegar nessa posição,
ele fica inerte por 2h e, em seguida, retoma o seu movimento e se desloca até a posição 
30m em 45s. Assim, podemos afirmar que a velocidade média desse móvel é de:
A alternativa "C " está correta.
 
A velocidade média é dada pela razão entre o espaço total percorrido pelo tempo total gasto,
assim:
vm =
∆ Stotal
∆ ttotal
∆ Stotal = (18 - 4) + (30 - 18) = 26m
∆ ttotal = 20 + 7200 + 45 = 7265s
| |
Processing math: 77%
vm =
26
7265 = 0, 004m /s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VELOCIDADE
Vamos observar um gráfico de posição por tempo (S(t) × t), como mostra a figura 8:
 Figura 8 - Gráfico S(t) × t
Na figura 8, temos a posição como o eixo das ordenadas (eixo y - vertical) e o tempo, como o
eixo das abscissas (eixo x - horizontal).Processing math: 77%
Nesse gráfico, em que a reta corta o eixo y, definimos a posição inicial S0 e a velocidade é
medida calculando-se a inclinação da reta, ou seja, a velocidade é igual à tangente do ângulo
que a reta faz com a horizontal:
v = tg(θ)
7
Para determinar a velocidade em função do gráfico, devemos escolher dois pontos
pertencentes à reta.
Note na figura 8 que temos dois pontos destacados, o primeiro é o P1 = t1, S1 e o segundo
é o P2 = t2, S2 . Se você observar com atenção, verá que entre esses pontos é possível
fechar um triângulo retângulo, como mostra a figura 9:
 Figura 9 - Determinação da velocidade a partir de um gráfico S(t) × t
Ao fechar o triângulo retângulo, o cateto oposto ao ângulo possui comprimento de S2 - S1 e o
comprimento do cateto adjacente ao ângulo possui comprimento de t2 - t1. Então, para
determinar a tangente do ângulo, fazemos:
tg(θ) =
S2 - S1
t2 - t1
( )
( )
Processing math: 77%
8
Porém, como descrito em (7), v = tg(θ). Logo:
v =
S2 - S1
t2 - t1
9
 RESUMO
Em resumo, a velocidade é retirada da inclinação da reta existente no gráfico posição por
tempo. Esse gráfico representa a posição de um móvel em um Movimento Retilíneo
Uniforme (M.R.U.).
ANÁLISE DO MOVIMENTO NA PRÁTICA
Uma das maneiras de se analisar o movimento de um móvel é montando um gráfico de sua
posição em função do tempo. Assim, é possível determinar como o móvel se comportou
durante todo o trajeto. Vamos observar o gráfico abaixo:
Processing math: 77%
 Figura 10 – Percurso da lebre
Esse gráfico corresponde ao deslocamento de uma lebre. Os observadores registraram que a
lebre saiu de sua toca, no marco zero, e percorreu 100m em 30s, depois ficou parada no
mesmo local por 55s, observando a região ao seu redor.
A seguir, ela percorreu mais 100m em 15s quando algo a assustou, fazendo-a retornar para a
toca em 15s. Por meio desse gráfico é possível determinar a velocidade média de
deslocamento da lebre da sua toca até o ponto 200m e a velocidade média de seu retorno da
seguinte maneira:
 
Fonte: Oleh Markov / Shutterstock
SAÍDA DA TOCA
A lebre percorre 200m em 100s, como mostra o gráfico, então, a sua velocidade média é de:
vm =
∆ S
∆ t =
200
100 = 2, 00m /sProcessing math: 77%
O tempo que a lebre ficou parada foi considerado, isso porque a velocidade média considera o
espaço total percorrido e o tempo total gasto.
 Figura 11 - Percurso da lebre (saída)
RETORNO PARA A TOCA
A lebre percorre 200m em 15s, assim:
vm =
∆ S
∆ t =
200
15 = 13, 33m /s
 Figura 12 - Percurso da lebre (toca)
ACELERAÇÃO
A aceleração pode ser obtida determinando-se a inclinação da curva de um gráfico de
velocidade por tempo (v(t) × t), como mostra a figura 13:
 Figura 13 - Determinação da aceleração em um gráfico v(t) × t
De forma análoga ao cálculo da velocidade no gráfico S(t) × t, o cálculo da aceleração segue
os mesmos passos, assim, definimos a aceleração como:
a =
v2 - v1
t2 - t1
Processing math: 77%
10
Observe que, onde a reta toca o eixo y, definimos a velocidade inicial v0.
MÃO NA MASSA
Neste bloco, resolveremos três exercícios de diferentes graus de dificuldade com a ajuda do
nosso especialista (o professor Gabriel Burlandy) e você fará mais três exercícios de acordo
com esses graus. Nosso objetivo é colocar em prática a teoria aprendida neste módulo. Vamos
lá?
AGORA É COM VOCÊ!
Processing math: 77%
É CORRETO AFIRMAR QUE O COEFICIENTE ANGULAR DO GRÁFICO 
S × T DE UM MÓVEL COM VELOCIDADE CONSTANTE NOS PERMITE
DESCOBRIR:
A) A velocidade.
B) A aceleração.
C) O ponto de retorno.
D) O instante do ponto de retorno.
RESPONDER
GABARITO
É correto afirmar que o coeficiente angular do gráfico S × t de um móvel com velocidade
constante nos permite descobrir:
A alternativa "A " está correta.
 
Vimos que a velocidade é o coeficiente angular da reta gerada pelo gráfico S × t de um móvel
que se locomove com velocidade constante.
Processing math: 77%
AGORA É COM VOCÊ!
CONSIDERE O GRÁFICO:
CONSIDERANDO A ACELERAÇÃO DO MÓVEL COMO -16M /S2 E QUE OS
EIXOS ESTÃO NO SI, SUA VELOCIDADE INICIAL TEM MÓDULO IGUAL A:
A) 128m /s
B) 125m /s
Processing math: 77%
C) 230m /s
D) 110m /s
RESPONDER
GABARITO
Considere o gráfico:
Considerando a aceleração do móvel como -16m /s2 e que os eixos estão no SI, sua
velocidade inicial tem módulo igual a:
A alternativa "A " está correta.
 
Determinamos a aceleração como:
a =
v - v0
t - t0
A semirreta tem fim no ponto (8,0), ou seja, velocidade 0m /s e tempo 8s, assim:
-16 =
0 - v0
8 - 0 ∴ v0 = 128m /s
Processing math: 77%
AGORA É COM VOCÊ!
A POSIÇÃO DE UM MÓVEL EM MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME É
DADA PELA FUNÇÃO S(T) = 4 - 3 · T. QUAL GRÁFICO REPRESENTA
ESSA FUNÇÃO?
Processing math: 77%
Processing math: 77%
RESPONDER
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Processing math: 77%
1. O GRÁFICO A SEGUIR DEMONSTRA A VARIAÇÃO DE VELOCIDADE DE
UMA PARTÍCULA EM FUNÇÃO DO TEMPO. CONSIDERANDO ESTE
GRÁFICO, RESPONDA:
O MÓDULO DA ACELERAÇÃO É:
A) 
13
15 m /s
2
B) 
15
13 m /s
2²
C) 
12
13 m /s
2
D) 
11
14 m /s
2
2. AINDA CONSIDERANDO O GRÁFICO ANTERIOR, DETERMINE A
EQUAÇÃO QUE DESCREVE A VARIAÇÃO DA VELOCIDADE:
A) v(t) = 13t +
13
15
B) v(t) = 13t -
13
15
C) v(t) =
13
15 t + 13
D) v(t) =
13
15 t - 13
Processing math: 77%
GABARITO
1. O gráfico a seguir demonstra a variação de velocidade de uma partícula em função do
tempo. Considerando este gráfico, responda:
O módulo da aceleração é:
A alternativa "A " está correta.
 
Temos os seguintes pontos: (15, 0) e (0, - 13). Então, a aceleração é:
a =
0 - ( - 13 )
15 - 0 =
13
15 m /s
2
2. Ainda considerando o gráfico anterior, determine a equação que descreve a variação
da velocidade:
A alternativa "D " está correta.
 
O gráfico descreve uma reta, logo, temos uma função afim, que é uma função do tipo: 
f(x) = ax + b. Porém, como estamos falando de velocidade e tempo, vamos escrever essa
função da seguinte maneira:
v(t) = at + v0
Processing math: 77%
A aceleração vale 
13
15 m /s
2, que é a inclinação da reta e foi calculada no item anterior, e o v0,
que é a velocidade inicial correspondente ao ponto em que a reta toca o eixo y, que nesse caso
é o eixo v, assim:
v(t) =
13
15 t - 13
CINEMÁTICA À VELOCIDADE CONSTANTE
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)
Como já diz o nome, o movimento retilíneo uniforme (M.R.U.) ocorre com o corpo se
locomovendo em linha reta, à velocidade constante, por isso o termo: uniforme.
Pode ser representado por meio de uma função afim:
S(t) = S0 + v · t
11
Essa função também é conhecida como função horária do M.R.U. Nela temos o t como variável
e a posição final do móvel como objeto de estudo. Ela é utilizada para prever a posição de umProcessing math: 77%
móvel, ao decorrer do tempo, quando esse se locomove com uma velocidade constante.
Essa função pode ser utilizada, por exemplo, para determinara posição de um veículo viajando
em uma rodovia, quando ele possui uma velocidade constante.
EXEMPLO
Vamos considerar que um caminhão foi visto em uma rodovia no quilômetro 38, trafegando a
uma velocidade constante de 90km /h. Então, vamos determinar quais serão suas posições nos
instantes:
a) 25min
b) 1h e 10min
c) 2h e 55min
d) 6h
Antes de atentar aos intervalos de tempo pedidos, temos que montar a nossa função horária.
Note que o caminhão é primeiramente visto no quilômetro 38, então temos como posição
inicial: S0 = 38km e como velocidade: v = 90km /h. Assim, temos a função horária do caminhão
e a velocidade constante como:
S(t) = 38 + 90t
Onde as unidades de medida são: km e h.
Agora, como o espaço está em quilômetros e o tempo em horas e, por sua vez, a velocidade
em km /h, temos que passar todos os tempos expostos das alternativas de (a) a (d) para horas.Processing math: 77%
Conversão do tempo para horas:
A) 25MIN
1h _______ 60min
xh _______ 25min
x =
1
4 h
Podemos dizer que: ∆ t1 =
1
4 h
B) 1H E 10 MIN
Em (b) temos parte do horário em horas, e a outra parte em minutos. Podemos escrever o
tempo da seguinte maneira: 1h + 10min
Como se trata de uma soma, nos preocupamos em converter apenas a parte do tempo que
está em minutos para horas e somamos 1h. Vamos observar como isso ocorre na prática:
1h _______ 60min
xh _______ 10min
x =
1
6 h
Somando 1h, temos:
1h +
1
6 h =
7
6 h
Então, podemos dizer que: ∆ t2 =
7
6 h
C) 2H E 55MIN
Seguiremos a mesma lógica de conversão utilizada em (b), assim:
1h _______ 60min
xh _______ 55min
x =
11
12 h
2h +
11
12 h =
35
12 h
Logo, podemos dizer que: ∆ t3 =
35
12 h
D) 6H
Não precisamos fazer conversão alguma, uma vez que o tempo já está em horas.Processing math: 77%
Então: ∆ t4 = 6h
Vamos agora ao encontro das posições do caminhão na rodovia, utilizando a função horária
que definimos no início:
S(t) = 38 + 90t
a) ∆ t1 =
1
4 h
S
1
4 = 38 + 90
1
4
= 60, 5km
b) ∆ t2 =
7
6 h
S
7
6 = 38 + 90
7
6
= 143km
c) ∆ t3 =
35
12 h
S
35
12 = 38 + 90
35
12
= 300, 5km
d) ∆ t4 = 6h
S(6) = 38 + 90(6)
= 578km
 SAIBA MAIS
A função horária também é muito utilizada para estimativas do tempo entre uma posição e
outra. Vamos olhar para o mundo de observação laboratorial da Física e considerar um elétron,
que se move à velocidade constante em um campo elétrico sob a função horária S(t) = 40 - 30t
, em relação a um eixo coordenado que identifica a sua posição para um observador e, então,
determinar o tempo que leva para que esse elétron passe pela origem do eixo coordenado, ou
seja, pela posição S(t) = 0. Substituindo 0 no lugar de S(t) da função horária, temos:
0 = 40 - 30t
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Processing math: 77%
30t = 40
t =
40
30
t =
4
3 s
IMPORTANTE
Muitas vezes, na Ciência e na Engenharia, trabalharemos com números não inteiros, portanto,
é ideal utilizar os números em forma de frações, não em sua forma decimal. Isso porque, ao
realizar as divisões propostas pelas frações, podemos ter números irracionais ou até mesmo
dízimas periódicas, o que demandará sucessivos arredondamentos a cada cálculo feito e
aumentará a imprecisão do cálculo. Dessa maneira, trabalhe com os números em forma de
fração até o fim do cálculo e só no fim realize a divisão proposta pela fração.
Apesar de compreender os cálculos feitos até aqui, você deve estar se perguntando:
Como é possível garantir que um carro, uma moto, um caminhão ou até mesmo uma partícula
mantenha a velocidade constante para que possamos aplicar a equação horária do M.R.U.?
A resposta a essa pergunta é que, se o sistema observado não for feito em laboratório sob um
controle rigoroso, fatalmente o corpo que se desloca não manterá a velocidade constante.
Então, para que serve essa teoria?
Você se lembra do conceito de velocidade média? Essa teoria pode ser aplicada para
encontrar a posição de um móvel, por meio do conhecimento da sua velocidade média e, com
isso, você consegue descrever toda a sua trajetória em função do tempo.
CINEMÁTICA À VELOCIDADE VARIÁVEL
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE
VARIADO (M.R.U.V)
Processing math: 77%
O M.R.U.V. é o movimento, em linha reta, que apresenta mudança de velocidade, ou seja,
existe aceleração. Porém, a aceleração é constante. Diante disso, a equação horária que
descreve o movimento é:
S(t) = S0 + v0 · t + a 
t2
2
12
Observe que a função do M.R.U.V. apresenta a posição em função do tempo, considerando a
velocidade inicial do móvel, e isso ocorre porque essa velocidade irá variar para mais ou para
menos, o que dependerá da aceleração imposta ao corpo.
Uma vez que existe aceleração, é possível também expressar a velocidade de um móvel em
M.R.U.V. em função do tempo:
v(t) = v0 + at
13
A função apresentada em (13) demonstra que a velocidade muda de maneira diretamente
proporcional com o passar do tempo quando o movimento é acelerado.
É possível que, em uma observação de deslocamento, você tenha a informação de espaço,
velocidade ou aceleração, embora não possua a informação do tempo.
Então, o que fazer?
Devemos utilizar a equação descoberta por Evangelista Torricelli que relaciona as
velocidades final (v) e inicial (v0) de um móvel, com a aceleração (a) e o espaço por ele
percorrido (∆S), sem que haja a informação do tempo. Veja:
v2=v02+2·a·∆S
14
Processing math: 77%
javascript:void(0)
EXEMPLO
Considere que um automóvel parte do repouso (v=0) do quilômetro 10 de uma rodovia e chega
ao quilômetro 13 com uma velocidade de 120km/h. Sabendo que o carro está em constante
aceleração, em quanto tempo esse automóvel irá do quilômetro 10 até o quilômetro 13?
Para encontrar a resposta, é necessário primeiro determinar a função horária que descreve o
movimento. Porém, não temos a informação da aceleração e para solucionar esse problema
utilizaremos a equação de Torricelli.
Como o corpo parte do repouso, sua velocidade inicial é v0=0 e a sua velocidade final é
v=120km/h. Podemos determinar o espaço percorrido, calculando a diferença entre as
posições final e inicial: ∆S=13km-10km=3km.
1. AJUSTAR A EQUAÇÃO DE TORRICELLI
Como o corpo parte do repouso, sua velocidade inicial é v0=0 e a sua velocidade final é
v=120km/h. Podemos determinar o espaço percorrido, calculando a diferença entre as
posições final e inicial: ∆S=13km-10km=3km. Finalmente podemos substituir todas essas
informações na equação de Torricelli:
v2=v02+2a∆S
1202=02+2a·3
a=2400kmh2
2. DESCREVER A FUNÇÃO HORÁRIA DO MOVIMENTOProcessing math: 77%
Agora que identificamos o valor da aceleração, podemos descrever a função horária do
movimento:
St=10+0t+2400t22
St=10+1200t2
3. DETERMINAR O TEMPO DE DESLOCAMENTO
Para determinar o tempo de deslocamento do automóvel, do quilômetro 10 até o quilômetro 13,
devemos substituir a informação de 13km no lugar de St, que é a posição final do automóvel,
assim:
13=10+1200t2
t=0,05h
GRÁFICOS DO M.R.U. E DO M.R.U.V. E AS
SUAS CLASSIFICAÇÕES
Tanto o M.R.U. como o M.R.U.V apresentam gráficos e classificam seus movimentos de acordo
com eles. Vamos conhecer tais classificações?
GRÁFICOS DO M.R.U.
MOVIMENTO PROGRESSIVO E MOVIMENTO
RETRÓGRADO
O M.R.U. descreve a trajetória de um móvel, quando esse se move com velocidade constante,
podendo a velocidade atribuída ao móvel ser positiva ou negativa.
Quando um corpo se move em velocidade constante positiva, dizemos que está em
movimento progressivo
Processing math: 77%
javascript:void(0)
Quando um corpo se move em velocidade constante negativa, dizemos que está em
movimento retrógrado
A figura 14 demonstra o comportamento gráfico de ambos os tipos de movimento:
(a)
(b)
 Figura 14 - Demonstração do comportamento dos movimentos: (a) progressivo, quando a
velocidade é positiva e (b) retrógrado, quando a velocidade é negativa.Processing math: 77%
javascript:void(0)
GRÁFICOS DO M.R.U.V.
MOVIMENTO ACELERADO E MOVIMENTO
RETARDADO
No M.R.U.V., temos a presença da aceleração, o que geraa variação da velocidade.
 Figura 15 – Movimento acelerado
Quando a aceleração de um móvel é positiva, chamamos o movimento de acelerado.
 Figura 16 – Movimento retardado
Quando a aceleração é negativa, chamamos o movimento de retardado.
O gráfico da posição do móvel em um M.R.U.V. é descrito por uma parábola, uma vez que a
posição St é descrita por uma função do segundo grau, como mostra a função (12). A seguir,
na figura 17, estão dispostos os gráficos de movimento acelerado e movimento retardado:
Processing math: 77%
javascript:void(0)
(a)
(b)
 Figura 17 - Gráfico da posição em função do tempo (St×t) do M.R.U.V., onde: (a)
movimento acelerado e (b) movimento retardado.
Ambos os gráficos demonstram as raízes da função quadrática, obtidas quando a posição
St=0. Os pontos de vértice dessa função são chamados de ponto de retorno. Nesse ponto, a
velocidade do móvel é zero, assim, o móvel para e muda o sentido de seu movimento.Processing math: 77%
Para verificar, de modo rápido e eficaz, se um movimento é acelerado ou retardado, usamos o
gráfico de velocidade por tempo (vt×t). A figura 18 ilustra os dois gráficos:
(a)
(b)
 Figura 18 - Gráfico vt×t, onde: (a) apresenta um movimento acelerado e (b) um movimento
retardado.
Processing math: 77%
 ATENÇÃO
Em nenhum dos gráficos feitos até o momento, tanto de St quanto de vt, existe menção ao lado
negativo de t. Isso porque não existe tempo negativo. Por isso, resultados de tempo negativo
devem ser prontamente descartados.
M.R.U. E M.R.U.V.
REVISITAÇÃO ATRAVÉS DO CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL
Vimos até aqui como calcular a velocidade por meio da variação da posição em relação ao
tempo e como calcular a aceleração mediante a variação da velocidade em relação ao tempo.
O que fazer quando a variação de posição ou velocidade for tão pequena que a faz tender a
zero?
Qual a relação do Cálculo Diferencial Integral com a Cinemática?
Vamos descobrir isso juntos:
1. DEFINIR A DERIVADA
No caso em que a variação de posição é muito pequena, teremos:
v=limx→0∆x∆t
15
Essa é a definição de derivada. Chegamos à conclusão de que a velocidade é a derivada da
posição em função do tempo, logo, escrevemos da seguinte forma:
v=limx→0∆x∆t=dxdtProcessing math: 77%
16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
2. VERIFICAR A VERACIDADE DESSA INFORMAÇÃO
Agora precisamos verificar a veracidade dessa informação. Lembra-se das funções horárias do
M.R.U.V. descritas em (12) e (13)? Ao derivar (12), devemos obter (13). Vamos tentar?
St=S0+v0t+at22
Derivando, temos:
dStdt=dS0dt+ddtv0t+ddtat2
17
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
3. REESCREVER A DERIVADA
No lado direito de (17), temos primeiramente a derivada da posição inicial, que por ser uma
constante, é zero. A derivada de ddtv0t=v0dtdt=v0 e a derivada de ddtat2=addtt2=2at. Assim,
reescrevemos (17) como:
vt=v0+at
18
Da mesma forma como está descrita em (13).
4. ENCONTRAR A ACELERAÇÃO
Para encontrar a aceleração, basta derivar em função do tempo as funções (13) ou (18), já que
elas são idênticas. Você encontrará que a=a.
Agora vamos ver o caminho inverso. Vamos partir da aceleração e chegar na equação da
posição.Processing math: 77%
5. EQUAÇÃO DA POSIÇÃO
Considere que seu corpo de início em repouso é submetido a uma aceleração constante a, e
você quer a equação que descreva o seu movimento. Para isso, vamos integrar o corpo, de um
ponto inicial a um ponto final, como demonstrado abaixo:
at=a
Integrando em relação ao tempo, temos:
∫v0vdvdtdt=∫0tadt
19
Ao realizar a integração, temos:
∆v=at
20
Reescrevendo (20), temos:
vt=v0+at
21
A função encontrada em (21) é idêntica à função encontrada em (18). Para achar a posição,
devemos integrar (21) também de um tempo t0=0 a um tempo t, assim:
∫S0SdSdtdt=∫0tv0+atdt
22
∆x=v0t+at22Processing math: 77%
23
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Logo:
St=S0+v0t+at22
24
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Com simples passos de integração foi possível, por meio da constante da aceleração,
descrever a função horária do M.R.U.V.
Você deve estar se perguntando por que o tempo inicial foi considerado como zero, e não
como t0. Só começamos a contar o tempo a partir do momento em que você observa o início
do fenômeno físico. Antes de o fenômeno ocorrer, você não está marcando o tempo; por isso,
tudo começa do zero.
EXEMPLO
Imagine que você será o marcador do tempo de um corredor de 100m rasos que quer bater o
recorde mundial. Você só irá disparar o cronômetro quando for dado o sinal para ele começar aProcessing math: 77%
correr. Então, qual é o tempo inicial do cronômetro? Veja a resposta.
 ATENÇÃO
A função horária do M.R.U. é uma particularidade da função horária do M.R.U.V. Se
considerarmos a aceleração igual a zero em (24), obrigatoriamente teremos a função descrita
em (11).
MÃO NA MASSA
Neste bloco, resolveremos três exercícios de diferentes graus de dificuldade com a ajuda do
nosso especialista (o professor Gabriel Burlandy) e você fará mais três exercícios de acordo
com esses graus. Nosso objetivo é colocar em prática a teoria aprendida neste módulo. Vamos
lá?
AGORA É COM VOCÊ!
Processing math: 77%
javascript:void(0)
AGORA É COM VOCÊ!
AGORA É COM VOCÊ!
Processing math: 77%
EVANGELISTA TORRICELLI
Evangelista Torricelli (1608-1647) foi um físico e matemático italiano, mais conhecido pela
invenção do barômetro e por descobertas na área de óptica.
MOVIMENTO PROGRESSIVO
O movimento progressivo é aquele em que o móvel caminha no mesmo sentido da orientação
da trajetória. Os espaços crescem no decorrer do tempo e sua velocidade escalar é positiva (v
> 0).
MOVIMENTO RETRÓGRADO
O movimento é chamado retrógrado quando o móvel caminha contra a orientação da trajetória.
Os espaços decrescem no decorrer do tempo e sua velocidade escalar é negativa (v < 0).
Observação: Na prática, não existe velocidade negativa. O sinal da velocidade serve apenas
para indicar o sentido do movimento e apontar se ele é progressivo ou retrógrado.
Processing math: 77%
FUNÇÃO 12
St = S0 + v0 · t + a t22
ENTÃO, QUAL É O TEMPO INICIAL DO
CRONÔMETRO?
A resposta é: zero.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
(M.C.U.)
Um M.C.U. ocorre, como o próprio nome já indica, quando a trajetória de um móvel descreve
uma circunferência e mantém o módulo de sua velocidade constante.
Processing math: 77%
Em nosso cotidiano, observamos diversos exemplos de movimentos circulares uniformes,
como o girar das hélices de ventiladores e a locomoção do ponteiro dos segundos de um
relógio, por exemplo.
No movimento retilíneo, a velocidade era definida como a variação do espaço percorrido em
função do tempo. No M.C.U. a lógica continua sendo a mesma, porém, agora nos referiremos à
posição angular.
A velocidade será calculada a partir da variação dessa posição angular em função do tempo,
por isso, a chamamos de velocidade angular.
Processing math: 77%
 Figura 19 - Representação de um movimento circular, de um móvel partindo do ponto A em
direção ao ponto B.
 COMENTÁRIO
Ao observar a última figura, podemos perceber que o trajeto percorrido pelo móvel está
disposto em vermelho. Trata-se de um caso em que um móvel está se deslocando de A para B
em trajetória curvilínea. Essa curva possui um centro, e a distância da curva até o centro é
dada pelo raio.
No caso de um movimento circular, utilizamos como espaço a variação angular medida,
tendo como referencial o centro da circunferência. A posição angular é expressa pela letra θ e
a velocidade, expressa pela letra ω. A figura 20 ilustra essa situação.
A unidade de medida no SI da posição angular é o radiano (rad) e a unidade de medida no SI
da velocidade angular é o radiano por segundo (rad/s).
Processing math: 77%
 Figura 20 - Movimento circular
Portanto, analogamenteao M.R.U., temos:
ω=θ-θ0t-t0
25
Como se trata de um movimento uniforme, analogamente à equação horária do M.R.U., a
equação horária do M.C.U. é:
θt=θ0+ωt
26
Assim como no M.R.U., o gráfico de sua função é descrito por uma reta, crescente ou
decrescente.
Existe também outra relação para a determinação da velocidade angular, que é dada pela
razão entre a velocidade linear do móvel e o raio da trajetória:
ω=vrProcessing math: 77%
27
 COMENTÁRIO
Apesar de ser outra maneira de encontrar a velocidade angular, a unidade de medida também
é o rad/s.
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE
VARIADO (M.C.U.V.)
De forma análoga ao M.R.U.V., o M.C.U.V. é o movimento curvilíneo que apresenta aceleração
angular (α). Portanto, temos a posição angular e a velocidade angular expressas da seguinte
forma:
θt=θ0+ω0t+at22
28
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
ωt=ω0+αt
29
Os gráficos gerados por ambas as funções descritas em (28) e (29) são idênticos aos gerados
pelas equações do M.R.U.V.
A aceleração angular pode ser determinada das seguintes formas:
α=ω-ω0t-t0
Processing math: 77%
30
e
α=ar
31
A unidade da aceleração angular é o radiano por segundo ao quadrado (rad/s2).
Como todas as equações até agora têm sido análogas às equações do movimento retilíneo, a
equação de Torricelli também se aplica ao movimento circular:
ω2=ω02+2a∆θ
32
EXEMPLO
Um automóvel se locomove com velocidade de 144km/h quando entra em uma curva de raio
igual a 12km. Verificando que não conseguiria fazer a curva, o condutor do automóvel aciona oProcessing math: 77%
freio, com uma aceleração de -0,72m/s2.
Responda:
Qual a velocidade com a qual o automóvel entra na curva?
Qual a aceleração angular imposta ao veículo?
Se o deslocamento angular foi de 90°, qual a função horária do movimento?
SOLUÇÃO
Para determinar a velocidade ao final da curva, temos que primeiro encontrar a velocidade
angular inicial e também a aceleração angular:
v0=144kmh=40ms
R=12km=12000m
ω0=v0R=4012000=10-23rad/s
Vamos agora encontrar a aceleração angular:
α=aR=-0,721200=-6×10-4rads2
Para descrever a função horária, temos que transformar o deslocamento angular de graus para
radianos, assim:
πrad _______ -180°
x _______ -90°
Multiplicando cruzado, temos:
x=π2rad
Assim, a função horária é:
θt=θ0+ω0t+αt22
θt=π2+10-23t-3×10-4t2
MÃO NA MASSA
Processing math: 77%
javascript:void(0)
Neste bloco, resolveremos três exercícios de diferentes graus de dificuldade com a ajuda do
nosso especialista (o professor Gabriel Burlandy) e você fará mais três exercícios de acordo
com esses graus. Nosso objetivo é colocar em prática a teoria aprendida neste módulo. Vamos
lá?
AGORA É COM VOCÊ!
Processing math: 77%
AGORA É COM VOCÊ!
AGORA É COM VOCÊ!
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste tema, apresentamos os conceitos da Cinemática, tanto para um movimento retilíneo
quanto para um movimento curvilíneo, e conhecemos todas as equações que regem o
Processing math: 77%
movimento mecânico, verificando suas relações. Dentre elas, verificamos que o M.R.U. é um
caso particular do M.R.U.V. e que o M.C.U. é um caso particular do M.C.U.V.
Vimos também que é possível utilizar o cálculo diferencial e o integral para determinar a
velocidade e a aceleração de um corpo em determinado instante de tempo. Esses conceitos
apresentados são de suma importância e você perceberá que eles o acompanharão, não só ao
decorrer de todo o curso, mas também por toda a sua vida como profissional.
 PODCAST
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
FREIRE, W. H. C. et al. Lançamento oblíquo com resistência do ar: uma análise qualitativa.
In: Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 38, n. 1, p. 1-5, mar. 2016. FapUNIFESP (SciELO).
CUTNELL, J. D.; JOHNSON, K. W. FÍSICA. 9 ed., v. 1, Rio de Janeiro: LTC, 2016.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 10. ed., v. 1. Rio de
Janeiro: LTC, 2016.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. v. 1, 6. ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2014.
EXPLORE +
Existem diversas aplicações das teorias cinemáticas, entre elas: queda livre, lançamento
vertical, lançamento horizontal e lançamento oblíquo. Uma boa fonte de informação sobre a
Processing math: 77%
aplicação das equações da Cinemática se encontra no artigo científico Lançamento oblíquo
com resistência do ar: uma análise qualitativa, publicado por Freire et al. em 2016.
Os conceitos da Cinemática são essenciais para o entendimento do mundo ao nosso redor.
Podemos notar esses conceitos até mesmo nos esportes. Para compreender melhor, explore
mais sobre esse conceito, lendo o artigo científico A utilização do futebol americano como
instrumento auxiliar no ensino de Cinemática, escrito por Rodrigo Dias Pereira e Lucas Amaral
Fantecele.
CONTEUDISTA
Gabriel Burlandy Mota de Melo
 CURRÍCULO LATTES
Processing math: 77%
javascript:void(0);