Mecanica_resistencia_dos_materiais

Prévia do material em texto

Governador
Vice Governador
Secretária da Educação
Secretário Adjunto
Secretário Executivo
Assessora Institucional do Gabinete da Seduc
Coordenadora da Educação Profissional – SEDUC
Cid Ferreira Gomes
Domingos Gomes de Aguiar Filho
Maria Izolda Cela de Arruda Coelho
Maurício Holanda Maia
Antônio Idilvan de Lima Alencar
Cristiane Carvalho Holanda
Andréa Araújo Rocha
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
SUMÀRIO
Apresentação da disciplina.......................................................................................5
 1 – Revisão dos Fundamentos de trigonometria.........................................6
Tópico 1 – Revisão de Trigonometria..........................................................................7
 2 – Introdução à Mecânica.......................................................................14
Tópico 1 – Conceitos Básicos de Mecânica...............................................................15
 Tópico 2 – Fundamentos de Estática .................................................................….19
 3 – Fundamentos de Resistência dos Materiais ................................................31
Tópico 1 – Principais conceitos da Resistência dos Materiais...................................32
 4 – Tensão e Deformação ......................................................................................37
Tópico 1 – Tensão e Deformação..............................................................................38
 5 – Propriedades Mecânicas: Fundamentos ......................................................46
Tópico 1 – Propriedades mecânicas e Diagrama tensão-deformação …...................47
 6 – Carga Axial …....................................................................................55
Tópico 1 – Membros carregados axialmente............................................................56
 7 – Vasos de pressão de paredes finas ...............................................................63
Tópico 1 – Vasos Cilíndricos e esféricos...................................................................64
Referências Bibliográficas.........................................................................67
Mecânica – Resistência dos Materiais 1
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
O objetivo principal de uma disciplina de resistência dos materiais é o
desenvolvimento das relações entre as cargas aplicadas a um corpo
deformável (não-rígido) e as forças internas e deformações nele originadas. 
O desenvolvimento de qualquer projeto de máquina ou estrutura na
engenharia baseia-se nos fundamentos de resistência dos materiais. Sendo
necessário primeiro usar os princípios básicos da estática para determinar as
forças que atuam tanto sobre como no interior dos corpos. A dimensão dos
elementos, sua deformação e sua estabilidade dependem também do tipo de
material do qual são feitos. Dessa forma, a compreensão do comportamento do
material quando submetido às solicitações externas é de vital importância para
o desenvolvimento das equações de resistência dos materiais e
consequentemente para a realização de projetos mecânicos.
Esta apostila aborda os conceitos básicos de resistência dos materiais, com
o propósito de tornar o assunto mais acessível aos alunos que estão sendo
iniciados em seus estudos de mecânica dos corpos deformáveis. Revisaremos
os conceitos fundamentais da trigonometria, alguns princípios importantes da
estática e mostraremos como eles são utilizados para determinar os esforços
internos resultantes em um corpo. Serão introduzidos ainda os conceitos de
tensão normal, tensão de cisalhamento, tensão admissível, fator de segurança,
deformação, além de uma revisão das propriedades mecânicas dos materiais.
O estudo da mecânica dos materiais é muito mais amplo e complexo do que
o apresentado neste material, deixando clara a necessidade de mais pesquisas
e estudos para a total compreensão e domínio do assunto. Para isso é sugerida
uma bibliografia básica para que o aluno aprofunde seu conhecimento de
resistência dos materiais.
Mecânica – Resistência dos Materiais 2
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Revisão dos Fundamentos de trigonometria
Nessa primeira serão apresentadas algumas definições importantes
para orientar o estudo em questão, abordando uma rápida revisão das
relações e fundamentos básicos de trigonometria para o entendimento geral
de conceitos posteriores relacionados à estática e à resistência dos
materiais.
Ao final dessa você deverá ser capaz de calcular as relações métricas do
triângulo retângulo, as dimensões de um triângulo retângulo através do
teorema de Pitágoras e os ângulos através das funções trigonométricas
especiais. 
Objetivos
• Revisão das relações métricas de um triângulo retângulo
• Revisão do teorema de Pitágoras 
• Revisão das funções trigonométricas 
Mecânica – Resistência dos Materiais 3
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Revisão de Trigonometria
Objetivos do tópico:
• Definir as relações métricas do triângulo retângulo e o teorema de
pitágoras
• Apresentar as funções trigonométricas especiais e 
• Apresentar a relação fundamental da trigonometria
1.1 Triângulo Retângulo
Triângulos retângulos são figuras geométricas planas com três lados e três
ângulos que possuem um ângulo reto, ou seja, medindo 90°.
a) Elementos
Considerando-se um triângulo ABC, retângulo em A, podem-se caracterizar
os seguintes elementos:
 
Lado AB = c: cateto 
Lado AC = b: cateto
Lado BC = a: hipotenusa
Lado AD = h: altura relativa à hipotenusa 
Lado BD = m: projeção de c sobre a 
Lado DC = n: projeção de b sobre a 
 Figura
1.1
b) Relações métricas
Conduz-se a altura AD relativa à hipotenusa do triângulo ABC, obtem-se dois
triângulos retângulos ABD e ACD semelhantes ao triângulo ABC. Devido à
congruência dos ângulos indicados:
Mecânica – Resistência dos Materiais 4
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
B ≡ 1 (complementos de C) 
C ≡ 2 (complementos de B) Figura 1.2
Com base na semelhança dos triângulos ΔABC, ΔABD e ΔACD,
determinam-se as seguintes relações:
 Figura 1.3.
(1) b² =
a . n 
(3) h² =
m . n
(5) b . h = c .
n
(2) c² =
a . m
(4) b . c =
a . h
(6) c . h = b .
m
1.2. Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras pode ser provado considerando-se as relações (1) e
(2) definidas anteriormente, e somando-se membro a membro, como segue:
(1) b² = a . n b² + c² = am + an b² + c² = a(m + n)
b² + c² = a²
(2) c² = a . m 
Demonstrou-se que: O quadradoda hipotenusa é igual a soma dos 
quadrados dos catetos
a² = b² + c²
1.3. Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo agudo (30°, 45° e 90°)
Sendo θ a medida de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo ΔABC 
mostrado, tem-se:
Mecânica – Resistência dos Materiais 5
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
 Figura 1.4.
Seno de θ = senθ= cateto opostohipotenusa= ba 
Cosseno de θ = cosθ= cateto adjacentehipotenusa= ca
tangente de θ = tgθ= cateto opostocateto adjacente= bc
a) Razões trigonométricas especiais
Tabela 1.1. razões trigonométricas especiais
b) Relação fundamental da trigonometria
Relacionando o teorema de Pitágoras com as funções trigonométricas do
seno e do cosseno, obtemos a seguinte relação:
senθ= ba → b = a senθ a² = b² + c² → a² = (a senθ)² + (a cosθ)²
 
cosθ= ca → c = a cosθ a² = a² sen²θ + a² cos²θ → a² = a² (sen²θ +
cos²θ)
 
 sen²θ + cos²θ = 1
1.4. Alfabeto grego
Nas formulações matemáticas de resistência dos materiais usualmente
utilizam-se letras do alfabeto grego, portanto, é necessário conhece-las. 
Mecânica – Resistência dos Materiais 6
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Tabela 1.2. Alfabeto grego
 
1.5. Exercícios
01. Determine o valor de x nos casos:
a) b) c)
 
Mecânica – Resistência dos Materiais 7
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
02. Determine x nos casos abaixo:
a) b) c)
 
03. Utilizando as relações métricas determine o valor de x:
a) b) c)
 
 04. Determine x e y nos triângulos abaixo:
a) b) 
 
05. Determine o valor de x nas figuras planas mostradas:
a) quadrado b) trapézio isóceles c) losango
 
e) paralelogramo
Mecânica – Resistência dos Materiais 8
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
 
06. Determine a altura de um triângulo eqüilátero de perímetro igual a 24m.
07. A altura relativa à base de um triângulo isósceles excede a base em 2m.
Determine a base, se o perímetro é de 36m.
08. Determine o senα nos casos seguintes:
a) b) c)
 
09. Determine o cosα nos casos:
a) b) c)
 
10. Determine a tgα nos casos:
a) b) c)
 
Mecânica – Resistência dos Materiais 9
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
11. Determine o valor de x :
a) b) c)
 
d)
12. Determinar x e y nas figuras abaixo:
a) Retângulo b) Paralelogramo c) trapézio retângulo
 
13. Determine a diagonal de um retângulo de perímetro 20m e base 6m.
14. O perímetro de um triângulo isósceles é de 18m e a altura relativa à base 
mede 3m. Determine a base.
15. Determine a menor altura de um triângulo cujos lados medem 4m, 5m e 
6m.
Mecânica – Resistência dos Materiais 10
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
 2 – Introdução à Mecânica
O físco e matemático inglês, Isaac Newton, em 1686, foi o primeiro a
apresentar uma teoria que explicava satisfatoriamente os movimentos, em
um trabalho sobre os princípios da mecânica. O sucesso da Mecânica
Newtoniana foi imediato e duradouro, ela reinou por mais de 200 anos.
Houve, na verdade, a necessidade de alguns aperfeiçoamentos feitos mais
tarde por outros físicos, mas a base da mecânica de Newton permaneceu
inalterada até o começo do século XX, com o surgimento da Mecânica
Relativística e da Mecânica Quântica para explicar certos fatos que a
mecânica Newtoniana não consegue. A mecânica relativística é necessária
quando os corpos se movem com velocidades muito altas (v > 3000Km/s),
enquanto que a mecânica quântica é necessária para o estudo dos
fenômenos atômicos e nucleares.
Nessa abordaremos a definição de alguns conceitos básicos da
mecânica necessários para o entendimento dos princípios da resistência dos
materiais. Além da classificação da mecânica clássica e das unidades de
medida utilizadas pelo sistema internacional de Unidades (SI). Serão
abordados também os fundamentos de estática, com o estudo das forças,
momentos, equações de equilíbrio, apoios e suas reações.
Objetivos
• Definir conceitos fundamentais de Mecânica
• Apresentar a classificação da mecânica
• Apresentar o Sistema Internacional de Unidades
• Determinar os princípios da estática.
• Estudar as forças e momentos
• Estudar as equações de equilíbrio , os apoios e suas reações.
Mecânica – Resistência dos Materiais 11
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
TÓPICO 1 – Conceitos Básicos de Mecânica 
Objetivos do tópico:
• Apresentar a definição e a divisão da mecânica clássica
• Apresentar o sistema internacional de unidades
2.1. Introdução
A Mecânica é uma ciência física aplicada que trata dos estudos das forças
e dos movimentos. Descreve e prediz as condições de repouso ou
movimento de corpos sob a ação de forças.
A finalidade da Mecânica é explicar e prever fenômenos físicos,
fornecendo, assim, os fundamentos para as aplicações da Engenharia e para
fenômenos encontrados no dia a dia.
A Mecânica é subdividida em três grandes ramos: Mecânica dos Corpos
Rígidos, Mecânica dos Corpos Deformável e Mecânica dos Fluídos, como
indicado na figura 2.1 abaixo:
Figura 2.1 Divisões da mecânica clássica.
Mecânica dos corpos rígidos: é subdividida em: Estática, Cinemática e
Dinâmica.
A Estática se refere aos corpos em repouso e estuda as forças em
equilíbrio, independentemente do movimento por elas produzido. Na
Estática, os corpos analisados são considerados rígidos, conseqüentemente,
os resultados obtidos independem das propriedades do material.
A Cinemática estuda os movimentos em si e as leis que os regem:
- movimento uniforme – móvel percorrendo espaços iguais em tempos
iguais para quaisquer trechos de trajetória;
-movimento uniformemente variado – a velocidade do móvel varia de
valores iguais em tempos iguais. Se houver crescimento da velocidade, o
movimento será uniformemente acelerado; se houver decréscimo, o
movimento será uniformemente retardado;
- movimentos de rotação.
A Dinâmica estuda a relação entre o movimento e a causa que o produz
(força).
Mecânica dos corpos deformáveis: as estruturas e as máquinas
nunca são absolutamente rígidas, deformando-se sob a ação das cargas a
que estão submetidas. Estas deformações são geralmente pequenas e não
alteram apreciavelmente as condições de equilíbrio ou de movimento da
estrutura considerada.
Mecânica – Resistência dos Materiais 12
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
No entanto, essas deformações terão importância quando houver riscos
de ruptura do material. A Mecânica dos corpos deformáveis é estudada pela
Resistência dos Materiais, também conhecida como Mecânica dos
Materiais ou Mecânica dos Sólidos.
O estudo dos corpos deformáveis resume-se na determinação da
resistência mecânica, da rigidez e da estabilidade de elementos estruturais.
Mecânica dos fluídos: A Mecânica dos Fluídos é subdividida no estudo
dos fluidos incompressíveis (líquidos) e fluidos compressíveis (gases). Uma
importante subdivisão do estudo de fluidos incompressíveis é a hidráulica.
2.2. Conceitos fundamentais
Os conceitos fundamentais da mecânica clássica baseiam-se na
mecânica newtoniana, ou seja, nas leis de Newton. Isaac Newton
(1642-1727) foi um físico e matemático inglês quem primeiro apresentou
uma teoria que realmente explicava as causas do movimento.
Algumas definições tornam-se necessária para o melhor entendimento da
mecânica:
• Ponto Material – é um corpo cujas dimensões podem ser desprezadas. É
considerado um ponto geométrico em que se concentra toda a massa do
corpo;
• Corpo Extenso – quando as dimensões do corpo influenciarem no estudo;
• Referencial – é um corpo em relação ao qual se analisa o estado de
movimento de um móvel;
• Espaço – o conceito de espaço é associado à noção de posição de um
ponto material, o qual pode ser definido por três comprimentos, medidos
a partir de um certo ponto de referência, ou de origem, segundo três
direções dadas. Estes comprimentos são conhecidos como as
coordenadas do ponto;
• Tempo – para se definir um evento não é suficiente definir sua posição no
espaço. O tempo ou instante em que o evento ocorre também deve ser
dado;
• Massa – é uma medida da quantidade de matéria contida no corpo;
• Força – a força representa a ação de um corpo sobre outro; é a causa que
tende a produzir movimento ou a modificá-lo. A força é caracterizada
pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido; uma
força é representada por um vetor;
As três Leis ou princípios da mecânica são: o princípio da inércia (primeira
lei de Newton), o princípio fundamental da dinâmica (segunda lei de
Newton) e o princípio da ação e reação (terceira lei de Newton).
Estabelecem que:
• Primeira lei de Newton – qualquer corpo em repouso ou em movimento
retilíneo e uniforme tende a permanecer nesses estados, a menos que
seja obrigado a alterá-los por aplicação de forças externas; 
Mecânica – Resistência dos Materiais 13
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
• Segunda lei de Newton – A força resultante externa, agindo sobre um
corpo, produz uma aceleração, na mesma direção e no mesmo sentido
da força, inversamente proporcional à massa do corpo. F = m.a
• Terceira lei de Newton – quando um corpo exerce uma força sobre um
segundo corpo, o segundo corpo reage sobre o primeiro com uma força
de mesma direção, de mesma intensidade e de sentido contrário.
2.3. Sistema Internacional de Unidades
O sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades
básicas ou fundamentais e unidades derivadas.
As grandezas fundamentais adotadas na mecânica são: comprimento,
massa e tempo. As grandezas derivadas podem ser relacionadas com as
unidades básicas, que são entre outras, força, pressão, trabalho, etc.
As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto
significa que as três unidades básicas escolhidas são independentes dos
locais onde são feitas as medições. 
Tabela 2.1. Unidades Básicas
Unidade 
fundamental
Sím
bolo
Comprime
nto
Metro M
Massa Quilograma Kg
Tempo Segundo s
Algumas unidades derivadas são importantes para o presente estudo:
Tabela 2.2. Unidades derivadas
Unidade derivada Símbo
lo
Área Metro quadrado m²
Força Newton N
Moment
o
Newton vezes
metro
N.m
Tensão Pascal Pa
A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que
imprime a aceleração de 1 m/s2 à massa de 1 kg. A partir da Equação F =
m.a (segunda Lei de Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg × 1 m/s2.
As medidas estáticas de forças são efetuadas por meio de instrumentos
chamados dinamômetros.
O peso de um corpo também é uma força e é expresso em Newton (N).
Da equação P = m.g (terceira Lei de Newton) segue-se que o peso de um
corpo de massa 1 kg é = (1 kg)×(9,81 m/s2) = 9,81 N, onde g=9,81m/s2 é a
aceleração da gravidade. 
Mecânica – Resistência dos Materiais 14
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
A tensão ou pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como
a pressão exercida por uma força de 1 Newton uniformemente distribuída
sobre uma superfície plana de 1 metro quadrado de área, perpendicular à
direção da força Pa = N /m² . Pascal é também unidade de tensões normais
(compressão ou tração) ou tensões tangenciais (cisalhamento).
Múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais e derivadas são 
utilizados na forma de potências inteiras de dez. esses múltiplos e 
submúltiplos são designados por prefixos. Observe a tabela:
Tabela 2.3. Múltiplos e submúltiplos
Pr
efixo
Sí
mbolo
Fator pelo qual a unidade é
multiplicada
Exa- E 1018 = 1 000 000 000 000
000 000
Peta- P 1015 = 1 000 000 000 000
000
Tera- T 1012 = 1 000 000 000
000
Giga- G 109 = 1 000 000 000
Mega
-
M 106 = 1 000 000
Quilo
-
K 103 = 1 000
Hect
o-
h 102 = 100
Deca- da 101 = 10
Deci- d 10-1 = 0,1
Centi
-
c 10-2 = 0,01
Mili- m 10-3 = 0,001
Micro
-
μ 10-6 = 0,000 001
Nano
-
n 10-9 = 0,000 000 001
Pico- p 10-12 = 0,000 000 000
001
Femt
o-
f 10-15 = 0,000 000 000
000 001
Atto- a 10-18 = 0,000 000 000 000
000 001
Mecânica – Resistência dos Materiais 15
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
TÓPICO 2 – Fundamentos de Estática
Objetivos do tópico:
• Forças no plano , força resultante e momento de uma força
• Equilíbrio de um ponto material e de um corpo extenso rígido
• Apoios, reações e tipos de estruturas
A estática é um assunto de grande utilidade na engenharia e mesmo no
seu dia a dia, como por exemplo, ao abrir uma porta, ao usar um alicate ou
ao trocar um pneu de carro, você mesmo sem saber está utilizando os
conceitos e aplicações da estática.
3.1. Forças no plano
A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada
pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido.
A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema
Internacional de Unidades (SI).
A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, éa reta
ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma
com algum eixo fixo, como indicado na figura 3.1. 
 
Figura 3.1. Definição de força
O sentido da força é indicado por uma seta (vetor).
Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um
único ponto de um corpo (figura 3.2).
 
 
 
 Figura 3.2. Grupo de forças
Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em 
pontos diversos de um mesmo corpo (figura 3.3).
Mecânica – Resistência dos Materiais 16
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
 
 
 Figura 3.3 sistema de forças
3.2. Força Resultante 
A força resultante (R) de um grupo de forças é a força que determina o 
mesmo efeito que o grupo de forças (figura 3.4 e 3.5).
 
Formas de determinar a resultante das forças:
• Regra do paralelogramo: vale para duas forças de cada vez.
 
 
 
 
 
 
 = + = + 
 = + 
+ 
Figura 3.4. Regra do paralelogramo
 
• Método das Projeções: escolhem-se dois eixos ortogonais x e y no
plano das forças aplicadas ao ponto P e que formam com as direções das
forças ângulos conhecidos.
Cada uma das forças é projetada sobre os eixos x e y, encontrando-se as
respectivas projeções ortogonais:
Mecânica – Resistência dos Materiais 17
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Figura 3.5. Método das projeções
Aplicando as relações trigonométricas para os ângulos α , β e θ, temos:
 F1x = - F1senβ F2x = F2cosα F3x =
F3senθ
 F1y = F1cosβ F2y = F2senα F3y
= - F3cosθ
Efetua-se então a soma algébrica das projeções para cada eixo,
obtendo-se as resultantes (Rx e Ry) em cada um desses eixos x e y,
respectivamente:
 y
Rx = F1x + F2x + F3x = - F1senβ + F2cosα + F3senθ
Ry = F1y + F2y + F3y = F1cosβ + F2senα - F3cosθ
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo Ry
R
com hipotenusa R, catetos Rx e Ry, temos: 
 
x 
 R² = R²x + R²y
Rx 
 
 
 Figura 3.6.
Representação da resultante
3.3. Equilíbrio de um ponto material
Considere um ponto material P sujeito a um sistema de forças F1, F2,
F3, ..., Fn 
 Figura 3.7. ponto material sujeito a n forças
O ponto material P está em equilíbrio quando é nula a resultante das
forças que atuam sobre ele, isto é:
 Σ F = 0 ou R = F1 + F2 + F3 + ...+ Fn = 0 
Utilizando o método das projeções ainda pode-se dizer que é nula a soma
algébrica das forças atuando nos dois eixos ortogonais x e y:
Mecânica – Resistência dos Materiais 18
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
 Σ Fx = 0 ou Rx = F1x + F2x + F3x + ...+ Fnx = 0 
 Σ Fy = 0 ou Ry = F1y + F2y + F3y + ...+ Fny = 0 
A condição de equilíbrio de um ponto material é uma garantia de que o
ponto material não sofrerá translação.
3.4. Momento de uma força 
Quando um corpo rígido (extenso) está sujeito a um sistema de forças,
ele pode adquirir movimento de translação ou de rotação.
Para um corpo rígido de peso desprezível, sujeito às forças F1 e F2 de
mesma direção, mesma intensidade, mas sentidos diferentes, como na
figura 3.8. 
 
 F1
 F2
 Figura 3.8. Momento de uma
força
É claro que a resultante das forças é nula, isto é, R = F1 + F2 = 0 ,
garantindo que o corpo não sofre translação. Contudo, o corpo na situação
acima pode sofrer rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano da
figura (saindo do papel).
Por esse motivo as condições de equilíbrio de um corpo extenso rígido
devem levar em conta também a rotação. 
Defini-se, portanto, uma grandeza vetorial denominada momento de
uma força em relação a um ponto, como uma medida da tendência da
força provocar uma rotação em torno daquele ponto.
A intensidade do momento de uma força F, aplicada em um ponto P, em
relação a um ponto O, é calculada por:
Figura 3.9. Equação do momento
 Mo= ±F d
 
Onde:
F – intensidade da força, em Newton (N)
d – distância do ponto O até a linha de ação da força, em metro (m)
Mo – intensidade do momento da força, em Newton . metro (N.m)
O – é o pólo ou centro do momento.
O momento Mo é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto O.
O sentido de Mo é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F. 
Convenciona-se momento positivo se a força F tender a girar o corpo no
sentido anti-horário e negativo, se tender a girar o corpo no sentido horário. 
Mecânica – Resistência dos Materiais 19
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Figura 3.10. Convenção de sinais para momento
No SI, onde a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros
(m). Portanto, o momento é expresso em newtons × metros (N × m).
Momento de um binário
Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação
paralelas e sentidos opostos formam um binário. A soma das componentes
das duas forças em qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos
momentos das duas forças em relação a um dado ponto não é zero. Apesar
de as duas forças não transladarem o corpo no qual atuam, tendem a
fazê-lo girar.
Figura 3.11. Momento de um binário
3.5. Equilíbrio de Corpos Rígidos
Para garantir o equilíbrio de um corpo extenso rígido devemos impor
duas condições: uma para evitar a translação do corpo e outra para evitar
sua rotação.
Então as condições para que um corpo extenso sujeito a um sistema de
forças esteja em equilíbrio, são:
1ª) A resultante do sistema de forças deve ser nula, ou seja, que o
somatório das forças na direção x e na direção y seja igual a zero.
 R = F1 + F2 + F3 + ...+ Fn = 0 ( Σ F = 0 )
Equilíbrio da translaçãoou 
 Rx = F1x + F2x + F3x + ...+ Fnx = 0 ( Σ Fx = 0 )
 Ry = F1y + F2y + F3y + ...+ Fny = 0 ( Σ Fy = 0 )
2ª) A soma algébrica dos momentos das forças do sistema deve ser nula
em relação a qualquer ponto: 
 M1 + M2 + M3 + ...+ Mn = 0 ( Σ M = 0 )
Equilíbrio da rotação 
 
3.6. Apoios e suas reações
Mecânica – Resistência dos Materiais 20
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não basta conhecer 
somente as forças externas que agem sobre ele, mas também é necessário 
conhecer como este corpo rígido está apoiado. 
Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das 
estruturas e recebem a seguinte classificação:
a) Apoio móvel:
 Figura 3.12.
• Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao plano do apoio; 
• Permite movimento na direção paralela ao plano do apoio;
Permite rotação.
b) Apoio Fixo:
 Figura 3.13.
• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;
• Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio;
• Permite rotação.
c) Engastamento:
Figura 3.14.
• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;
• Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio;
• Impede rotação.
Outros exemplos de apoios e suas reações podem ser observados na
tabela 3.1. abaixo:
Mecânica – Resistência dos Materiais 21
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
 Tabela 3.1.: Tipos de acoplamentos (apoios) e suas
reações
3.7. Tipos de Estruturas
As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio
ou vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser 
determinada.
Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações 
fundamentais:
Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 e Σ Mo = 0
As estruturas são classificadas como: Hipostática, Isostática e
Hiperestática. A definição de cada uma delas é dada a seguir.
a) Estruturas Hipostáticas
São aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos (2) é inferior
ao número de equações (3) fornecidas pelas condições de equilíbrio da
Estática. 
Figura 3.15.
Mecânica – Resistência dos Materiais 22
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
A figura 3.14. ilustra um tipo de estrutura hipostática. As incógnitas são
duas: RA e RB. Esta estrutura não possui restrição a movimentos
horizontais.
b) Estruturas Isostáticas
São aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é igual ao
número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
No exemplo da estrutura da figura 3.15., as incógnitas são três: RA, RB e
HA. Esta estrutura está fixa; suas incógnitas podem ser resolvidas somente
pelas equações fundamentais da Estática.
Figura 3.16.
c) Estruturas Hiperestáticas
São aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é superior ao
número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
Um tipo de estrutura hiperestática está ilustrado na figura 3.16. As 
incógnitas são quatro: RA, RB, HA e MA.
Figura 3.17.
As equações fundamentais da Estática não são suficientes para resolver
as equações de equilíbrio. São necessárias outras condições relativas ao
comportamento da estrutura, como por exemplo, a sua deformabilidade
para determinar todas as incógnitas. Em casos como esse se torna
necessário o conhecimento da mecânica dos corpos deformáveis, ou seja,
de resistência dos materiais.
Mecânica – Resistência dos Materiais 23
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
3.8. Exercícios
16. Determinar a Resultante das duas forças P e Q que agem sobre o
parafuso A. sen20°=0,34; cos20°=0,93; sen45°=0,71; cos45°=0,71.
 
17. Determinar a resultante do sistema de forças indicado. sen50°=0,77;
cos50°=0,64; sen30°=0,5; cos30°=0,86.
18. Determinar o valor da força F para que o ponto material esteja em
equilíbrio. sen60°=0,87, cos60°=0,5
 a) b)
 
 
Mecânica – Resistência dos Materiais 24
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
 c) d)
 
 
 e) f) sen65°=0,91;
cos65°=0,99
 
19. Um ponto material sujeito a duas forças. Determine a força resultante e
o ângulo que ela faz com a horizontal.
a) F1 = 30N b) F1 =
0,6N
 F2 = 40N F2 = 0,8N
20. determine a resultante de um sistema de forças de um ponto material. 
a) b)
10N
 2N
 5N 10N
Mecânica – Resistência dos Materiais 25
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
 1
0N
 4N
21. Um ponto material P está em equilíbrio. Sendo F1 = 3N, senα = 0,6 e
cosα = 0,8. Determine as forças F2 e F3. 
 F3
 F2
 
 F1
22. As forças indicadas agem sobre um ponto material que se encontra em
equilíbrio. Sabendo que F1 = 10N, sen30° = 0,5 e cos30° = 0,87. Determine
F2 e F3.
 F2
 F3
 F1
23. Determine as tensões nos cabos, o sistema está em equilíbrio e g = 10
m/s2
a) b)
 
24. Nas figuras abaixo determine os momentos das forças dadas em relação
ao ponto A.
 a) F = 2,5 N e L = 1,5 m b)
Mecânica – Resistência dos Materiais 26
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
c)
 
25. Uma barra homogênea de peso P =20N está apoiada nos extremos A e B
distância 1,0m. A 0,20m da extremidade B é colocado um corpo C de peso Pc =
20N. Determine a intensidade dos apoios A e B sobre a barra.
26. Uma barra homogênea AB de peso P igual a 10N e comprimento L de 0,5m está
apoiada em um ponto O a 0,1m de A. De A pende um corpo de peso Q1 = 50N. A
que distância X de B deve ser colocado um corpo de peso Q2 = 10N para que a
barra fique em equilíbrio na horizontal.
Mecânica – Resistência dos Materiais 27
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
27. Uma barra homogênea de peso 100N é articulada em A e mantida em equilíbrio
por meio de fio BC. Em B é suspenso um peso de 200N. Determine a intensidade
da força que traciona o fio BC e a reação da articulação A (Componente vertical e
horizontal).
 
 28. Determine as reações nos apoios A e B da viga.
29. Calcule as reações no apoio A na barra submetida a uma carga
distribuída de 2kN/m e carga concentrada de 5kN.
 
Mecânica – Resistência dos Materiais 28
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
 3 – Fundamentos de Resistência dos Materiais 
Nessa aplicaremos alguns conceitos da estática e mostraremos como
eles são usados para determinar os esforços internos resultantes em um
corpo. Definiremos resistência dos materiais e sua aplicabilidade na área de
projetos de estruturas e máquinas. As forças aplicadas aos corpos serão
também classificadas.
Objetivos
• Apresentar definição e história da resistência dos materiais
• Classificar as forças 
• Determinar o método das seções.
Mecânica – Resistência dos Materiais 29
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
TÓPICO 1 – Principais conceitos da Resistência dos
Materiais
Objetivos do tópico:
• Definir alguns Conceitos fundamentais
• Apresentar a classificação das forças 
• Apresentar o método das seções
4.1. Introdução 
Resistência dos Materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações
entre as cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade
das forças internas que atuam dentro do corpo. Esse conhecimento é
empregado para realizar a análise e o projeto de qualquer estrutura ou
máquina sujeita a diferentes carregamentos.
Importante para o projeto seguro de aviões, navios, espaçonaves,
prédios, pontes, máquinas etc. Aplica-se, por exemplo, no dimensionamento
correto dos parafusos usados no acoplamento de uma estrutura metálica
que estão submetidos à tensão.
Os primeiros estudos relacionados à resistência dos materiais surgiram
na Antiga Grécia com os fundamentos da estática dos corpos rígidos, mas
nada relativo às deformações. A origem da resistência dos materiais
baseava-se na Teoria e na Experiência, com as pesquisas realizadas por:
- Leonardo da Vinci (1452-1519): apresentou interesse pela estática dos
corpos deformáveis e pelas propriedades mecânicas dos materiais de
engenharia;
- Galileo Galilei (1564-1642): realizou experiências para estudar os efeitos das
cargas em hastes e vigas e estabeleceu descrições experimentais precisas
das propriedades mecânicas dos materiais.
- Robert Hooke (1635-1703): seus estudos levaram a definição da Lei de
Hooke em que as tensões são proporcionais às deformações.
- Leonard Euler (1707-1783): Desenvolveu a teoria matemática de colunas e
calculou a carga crítica de uma coluna em 1744.
- Outros estudos notáveis foram realizados por: Bernouilli, Navier,
Coulomb,Thomas Young, Poisson entre outros.
- Problemas complexos com a utilização de Matémática avançada e
computador, amplia o campo de estudo de resistência dos materiais para
disciplinas de mecânica avançada como as teorias da elasticiadade e da
plasticidade.
Suposições introduzidas na resistência dos materiais (hipóteses
básicas)
Mecânica – Resistência dos Materiais 30
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
a) Material homogêneo : possui as mesmas propriedades físicas e mecânicas
em todo o seu volume, afim de que o material sofra deformação uniforme;
b) Material isotrópico : possui essas mesmas propriedades em todas as
direções. Ex. Aço.
material anisotrópico: possui propriedades diferentes em diferentes 
direções
4.2. Classificação das forças externas e carregamentos Internos
Figura 4.1. Classificação das forças
Força externa: pode ser força de superfície ou força de corpo
a) Forças de superfície: causadas pelo contato direto de um corpo com a
superfície de outro (força distribuída na área de contato entre os corpos).
- Força concentrada: quando a área de contato for pequena em relação à área
total da superfície.
- Carga linear distribuída: se a carga na superfície for aplicada ao longo de
uma área estreita.
c) Força de corpo: quando um corpo exerce uma força sobre outro sem contato
físico direto. Exemplo: Peso efeito da gravidade.
Diagrama de corpo livre: é desenhado para especificar os efeitos de
todas as forças e conjugados aplicados no corpo e que serão considerados
nas equações de equilíbrio.
Mecânica – Resistência dos Materiais 31
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Carga interna resultante: Determinação da força resultante e do
momento em que atuam no interior do corpo, necessários para manter o
corpo unido quando submetido a cargas externas.
Tipos de cargas internas resultantes:
N (Força Normal) – força que atua perpendicular à área (quando forças
externas tendem a empurrar ou puxar);
V (Força Cisalhante) – força que se localiza no plano da área, ou seja,
tangente à seção transversal considerada;
T (Momento de Torção ou Torque) – Efeito criado quando as cargas
tendem a torcer uma parte do corpo em relação à outra;
M (Momento Fletor) – Provocado pelas cargas que tendem a fletir o corpo
em relação ao eixo localizado no plano da área.
4.3. Método das seções: Utilizado para determinar as cargas internas
que atuam em uma região específica no interior do corpo.
1. Faz-se uma seção (seção transversal) ou “corte” através da região em 
que as cargas internas devem ser determinadas.
2. As duas partes do corpo são separadas, e o diagrama de corpo livre
de uma das partes é desenhado.
3. Utiliza-se as equações de equilíbrio para relacionar as forças externas
sobre o corpo à força resultante e ao momento em qualquer ponto
específico O da área secionada.
4. O ponto O é comumente escolhido como centróide da área secionada.
Mecânica – Resistência dos Materiais 32
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Figura 4.2.
Três Dimensões (plano x-y-z): 
Força Normal, N. 
Força de cisalhamento,V. 
Momento de torção ou torque, T. 
Momento fletor, M. 
Em um sistema de coordenadas x, y, z, cada uma das cargas
apresentadas é determinada diretamente pelas seis equações de equilíbrio
aplicadas a qualquer segmento do corpo.
Cargas Coplanares (plano x-y)
Força Normal, N. 
Força de cisalhamento,V. 
Momento fletor, M. 
Mecânica – Resistência dos Materiais33
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Figura 4.3.
4.4. Exercícios
30. A barra “AB” é uniforme e tem peso igual a 1 kN. Ela está apoiada nas
duas estremidades e suporta os pesos ilustrados na figura ao lado. Nessas
condições e, considerando que o sistema está em equilíbrio, calcule as
reações nos apoios “A” e “B”.
1,5 kN
0,5 kN
2 m
5 m
3 m
A
B
31. A barra representada ao lado é uniforme e tem peso igual a 0,5 kN. Ela
está apoiada nos pontos “A” e “B” e suporta as forças representadas na
figura ao lado. Nessas condições e, considerando que o sistema está em
equilíbrio, calcule as reações nos apoios “A” e “B”.
1,5 kN
0,5 kN
2 m
5 m
3 m
A
B
Mecânica – Resistência dos Materiais 34
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
100 N
 10 m
45°
32. A barra rígida representada na figura ao lado está presa em uma de suas 
extremidades e na outra recebe a ação de uma força de 100 N, conforme 
indicado. Nestas condições determine as reações vertical e horizontal e a 
intensidade do momento no apoio.
 
33. Um bloco compacto pesando 20 kN está suspenso, conforme ilustrado
ao lado. Considerando desprezível o peso da barra “AB”, determine a
intensidade das forças que atuam no cabo “BC” e na barra “AB”. 
34. Na estrutura representada ao lado a esfera pesa 300 N. Qual deverá ser
o peso da barra para que o sistema fique em equilíbrio? 
2 m
8 m
Mecânica – Resistência dos Materiais 35
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
35. Na estrutura representada ao lado, o peso da barra é de 1 kN, sendo que
o bloco pesa 2 kN e, o sistema está em equilibrio. Calcule as reações nos 
apoios “A” e “B” . 
B
2 kN
3 m
7 m
A
36. Aplicando o método das seções determine as cargas internas no ponto
“C” das estruturas abaixo.
a) b)
 
c) d)
 
e) f)
Mecânica – Resistência dos Materiais 36
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
 
 4 – Tensão e Deformação 
Nesta abordaremos os conceitos de tensão, sua classificação e como
determina-la. Também apresentaremos os conceitos e classificação de
deformação de um corpo. 
Em um projeto de elementos estruturais ou mecânicos deve-se restringir
a tensão do material a um nível segura, é preciso analisar quais cargas
adicionais podem ser suportadas e baseando-se nesses cálculos
determina-se uma tensão segura ou admissível para garantir a segurança
do projeto. Nessa também definiremos o conceito de fator de segurança.
Objetivos
• Apresentar a classificação e definição dos vários tipos de defeitos
cristalinos
• Calcular o número de lacunas em equilíbrio em um material
• Definir defeitos de contorno de grão e de macla.
• Definir fator de segurança
Mecânica – Resistência dos Materiais 37
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
TÓPICO 1 – Tensão e Deformação
Objetivos do tópico:
• Definição de tensão
• Classificação de tensão
• Definição e classificação de deformação
• Definição de fator de segurança
5.1. Introdução 
Uma TENSÃO descreve a intensidade da força interna sobre um plano
específico (área) que passa por determinado ponto. Considerando que
exista uma força finita de intensidade “F” atuando sobre uma seção da área
“A” , a relação F/A é chamada de tensão.
Devem-se supor duas hipóteses em relação às propriedades do material:
a) contínuo – distribuição uniforme da matéria, sem vazios
b) coeso – todas as suas partes estão bem unidas, sem trincas ou falhas.
Dependendo da direção do carregamento interno com relação à seção
transversal considerada pode-se classificar a tensão em dois tipos: Tensão
Normal (σ) e Tensão de Cisalhamento (τ). 
Cada uma dessas tensões será discutida nos tópicos seguintes através de
suas definições, fórmulas, classificações e deformações associadas.
5.2. Tensão normal média (σ - sigma).
Define-se como a intensidade da força “P”, ou força por unidade de área,
que atua no sentido perpendicular a “A”, Classifica-se em dois tipos
dependendo da característica do carregamento externo aplicado: 
Mecânica – Resistência dos Materiais 38
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
 σ= PA
 
Onde:
σ - Tensão normal média em qualquer ponto da área da seção
 Transversal (Pa);
P – Resultante da força normal interna, aplicada no centróide 
 da área da seção transversal. P é determinada pelo método 
 das seções e pelas equações de equilíbrio (N);
A - Área da seção transversal da barra (m2).
 Figura 5.1.
a) tensão de tração - seção transversal submetida a um carregamento de
tração. Considerada positiva;
b) tensão de compressão – seção transversal submetida a um
carregamento de compressão. Considerada negativa.
No SI (Sistema Internacional de Medidas) a unidade de medida de tensão
é:
 ou 
5.3. Tensão cisalhante média (τ – tau)
A tensão de cisalhamento atua tangencialmente à área seccionada.
Supondo que as cargas estão distribuídas uniformemente, define-se
cisalhamento médio como:
τ=VA
τ – tensão de cisalhamento média na seção;
V – resultante interna da força de cisalhamento;
A – área da seção.
Mecânica – Resistência dos Materiais 39
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Figura 5.2. Exemplo de uma viga submetida a força cisalhante
Classifica-se o cisalhamento em dois tipos de acordo com a seção
transversal que está submetida ao cisalhamento, são eles:
a) Simples ou direto: é provocado pela ação direta da carga aplicada F
com apenas uma superfície de cisalhamento. Ocorrem frequentemente em
vários tipos de acoplamentos simples que usam parafusos, pinos, material
de solda etc. Nesse caso:
 
V=F e τ=VA
Figura 5.3. Chapas de aço fixadas por pino e placas de madeira coladas
b) Duplo: quando existem duas superfícies de cisalhamento. Ocorre em
acoplamentos geralmente chamados de juntas de dupla sobreposição.
Nesse caso: 
V=F2 e τ=VA
Mecânica – Resistência dos Materiais 40
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Figura 5.4. Juntas de aço e madeira sobre a ação de cisalhamento duplo
5.4. Tensão admissível e fator de segurança
Dentro das aplicações da engenharia, a determinação de tensões não é o
objetivo final, masum passo necessário no desenvolvimento de dois dos
mais importantes estudos.
1. A análise de estruturas e máquinas: para prever o comportamento
sob condições de carga específicas.
2. O projeto de estruturas e máquinas: que devem ser projetadas de
forma econômica e segura.
É necessário escolher uma tensão admissível que restrinja a carga
aplicada a um valor menor do que a carga que o elemento possa suportar
integralmente. Por várias razões:
- a carga de projeto pode ser diferente do carregamento aplicado;
- erros de fabricação ou montagem em componentes;
- vibrações desconhecidas;
- corrosão atmosférica, deterioração ou desgaste durante o uso;
- variações nas propriedades mecânicas.
Quando se aplica a carga admissível, apenas uma parte da capacidade
de resistência do material está sendo utilizada; outra parte é reservada para
assegurar ao material condições de utilização segura.
Para especificar a carga para o projeto ou a análise de um elemento
usa-se um número denominado Coeficiente ou Fator de Segurança (F.S.) que
é a relação entre o carregamento último (carga de ruptura) e o
carregamento admissível.
 F.S. = FrupFadm 
 
Quando existe uma correspondência linear entre carga aplicada e tensão
provocada pela carga, tem-se:
 
 Tensão Normal: F.S. = σrupσadm
 
 Tensão Cisalhante: F.S. = τrupτadm
A escolha de um coeficiente de segurança baixo pode levar à estrutura a
possibilidade de ruptura e a escolha de um coeficiente de segurança alto
Mecânica – Resistência dos Materiais 41
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
pode levar a um projeto não econômico. Deve-se, portanto, fazer uma
escolha apropriada para F.S.
Consideração de alguns fatores que influenciam na escolha do coeficiente
de segurança:
- Modificações que ocorrem nas propriedades dos materiais
- O número de vezes em que a carga é aplicada durante a vida da
estrutura ou máquina
- O tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poderá atuar
futuramente.
- O modo de ruptura que pode ocorrer
- Métodos aproximados e análise
- Deterioração que poderá ocorrer no futuro devido à falta de
manutenção ou por causas naturais imprevisíveis
- A importância de certo membro para a integridade de toda a estrutura.
5.5. Deformação
São mudanças na forma e no tamanho de um corpo ocasionadas pela
aplicação de uma força. Podem ser perfeitamente visíveis (borracha) ou
imperceptíveis (aço) sem o uso de equipamento para fazer medições
precisas. Também pode ser ocasionada por variação da temperatura. 
Para o nosso estudo admitiremos que as barras são prismática, as cargas
atuam no centróide das seções transversais e que o material da barra é
homogêneo.
A deformação pode ser classificada em deformação normal e deformação
de cisalhamento dependendo do tipo de tensão aplicada ao material.
5.5.1. Deformação Normal (ε )
Ocorre quando uma barra reta muda de comprimento com a aplicação de
uma carga axial tornando-se mais comprida (em tração) e mais curta (em
compressão). Provocando mudança de volume do elemento retangular.
Definida como o alongamento ou contração de um pequeno segmento de
reta por unidade de comprimento, associada a tensão normal
O alongamento (δ) ou variação do comprimento (ΔL) é o resultado do
estiramento ou contração através do volume da barra. Deformação normal é
dada pela equação (medida adimensional, m/m ; mm/mm) :
 
 ϵ= δL ou ϵ= ΔLL onde: ΔL = L - Lo
 
 
 
 Figura 5.5.
Mecânica – Resistência dos Materiais 42
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Onde: ε – deformação
 δ – alongamento ou contração (variação no comprimento) 
 Lo – Comprimento inicial da barra
 L - Comprimento final da barra
5.5.2. Deformação Cisalhante (γ)
A mudança de ângulo ocorrida entre dois segmentos de reta 
originalmente perpendiculares entre si. O ângulo é designado por γ (gama) 
e medido em radianos (rad). A deformação cisalhante provoca mudança no 
formato do elemento retangular.
 
(a) Sem deformação (b) com
deformação cisalhante
Figura 5.6. Deformação por cisalhamento.
Para Materiais da engenharia que apresentam relação linear entre tensão
e deformação na região de elasticidade, isto é, um aumento na tensão
provoca um aumento proporcional na deformação. Esse fato é conhecido
como lei de Hooke. Matematicamente, é expressa por:
 σ = ϵ . E (Para tensão normal)
 
 τ = γ . G (Para tensão
cisalhante) 
Onde: E – Módulo de elasticidade ou módulo de Young.
 G – Módulo de Elasticidade para ao cisalhamento ou módulo de
rigidez
5.6. Exercícios
37. Determine a força máxima que pode ser aplicada a um cabo de latão,
com 5 mm de diâmetro, se a resistência do material, à tração, é de 20 MPa.
38. Dimensionar a seção reta de uma barra de latão, de 10 cm de
comprimento, se a resistência do material, à tração, é de 250MPa, sendo a
força máxima de ruptura igual a 100 kN. A seção da barra é quadrada. 
Mecânica – Resistência dos Materiais 43
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
39. Determine o alongamento total de uma barra de aço, com 80 cm de
comprimento, sendo a tensão de tração for igual a 105 MPa, sendo o Módulo
de Elasticidade do material igual a 210 Gpa. 
40. Uma barra de aço, com 100 mm de comprimento foi submetida a uma
tensão de tração de 40 MPa, apresentando uma variação de comprimento
de 0,002 cm. Qual é o valor do Módulo de Elasticidade do material dessa
barra? 
41. Uma barra de aço ABNT 1020, com 150 mm de comprimento, possui
Módulo de Elasticidade igual a 210 GPa. Determine qual deve ser o diâmetro
dessa barra, para que ela possa resistir a uma carga de tração de 70 kN,
apresentando um alongamento de 0,0025 cm
42. Determine o diâmetro que deve ter um cabo de aço ABNT 1030, cujo
limite de escoamento é igual a 180 MPa, para que o mesmo possa resistir,
com segurança, a uma força de tração de 50 kN, adotando-se um
coeficiente de segurança igual a 2
43. Um eixo cilindro, oco, de cobre, com diâmetro externo de 80 mm e
diâmetro interno de 60 mm, foi carregado com uma força axial de
compressão, de 50 kN. Calcule a tensão normal induzida no eixo, bem como
a variação de comprimento do mesmo. O eixo tinha 60 cm de comprimento
e o Módulo de Elasticidade do material é igual a 120 GPa. 
44.Uma barra cilindrica, oca, de ferro fundido, com diâmetro externo de 4
cm e o interno de 2 cm e, com 100 mm de comprimento, está submetida a
uma determinada força de tração. Sabe-se que esta força produziu, no
material, uma tensão de 210 MPa e que o comprimento da barra aumentou
para 100,20 mm, pergunta-se:
a) Qual a intensidade daforça aplicada?
b) Qual o Módulo de Elasticidade do material?
c) Qual a deformação linear no material?
15 m
300 kN
45. Determine a tensão normal que atua na seção de engastamento da barra 
de aço, representada na figura ao lado, cujo diâmetro é de 200 mm, tem 15 
metros de comprimento e está submetida a uma força axial, de tração, de 300 
kN. Calcule também a variação de comprimento da barra, sabendo que o peso 
específico do material da mesma é 78 kN/m3 e o Módulo de elasticidade igual 
a 210 Gpa.
Mecânica – Resistência dos Materiais 44
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
46. Determine a tensão normal na haste de seção circular com área de
Ahaste = 0,002 m2 e a tensão de cisalhamento no bloco com área Abloco =
0,1 m2 , provocadas pela carga de 50kN.
47. A barra de aço da figura foi submetida a uma tensão normal σ =
130MPa, possui módulo de elasticidade Eaço = 200GPa. Determine a
deformação (Є) e a carga (P). Sabendo que a área A = 0,02m2.
P
48. Calcule o diâmetro mínimo para que o pino suporte uma tensão de
cisalhamento admissível τadm = 15Mpa. O pino está sujeito a cisalhamento
duplo.
49. Calcule o valor da tensão e a deformação no cisalhamento para um pino
de aço com diâmetro igual a 10mm carregado como mostra as figuras.
Considere o módulo de rigidez (G) do aço de 75GPa.
a) b) 
Mecânica – Resistência dos Materiais 45
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
 
50. Emprega-se um rebite para ligar duas barras de aço, como se indica na
figura, Se o diâmetro do rebite é 19 mm e a carga P = 30 kN, qual a tensão
de cisalhamento no rebite?
51. A barra mostrada é suportada por uma haste de aço AC que tem
diâmetro de 20 mm e bloco de alumínio que tem área de 1800 mm². Os
pinos de 18 mm de diâmetro em A e C estão submetidos a cisalhamento
simples. Para P = 168kN na estrutura, considerando a tensão de ruptura do
aço e do alumínio (σaço)rup = 680MPa e (σal)rup = 70MPa ,
respectivamente, e a tensão de cisalhamento de ruptura de cada pino
(τpino)rup = 900MPa. Aplicas fator de segurança F.S = 2. Determine:
 a) as tensões admissível para a haste, o bloco e os pinos.
b) Calcule as cargas suportadas pela haste, bloco e pinos, verifique se a
estrutura falha ou não devido a aplicação de P.
 
Mecânica – Resistência dos Materiais 46
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
 5 – Propriedades Mecânicas: Fundamentos 
A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar a
carga sem deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade é inerente ao
próprio material e deve ser determinada através de ensaios mecânicos.
Nessa será mostrado como a tensão pode ser relacionada à deformação
por meio experimental determinando o diagrama tensão-deformação par
aum material específico. Será discutido o comportamento descrito pelo
diagrama para materiais de construção mecânica, mostrando a
determinação das propriedades mecânicas através desse diagrama.
Objetivos
• Apresentar o diagrama tensão-deformação
• Apresentar algumas propriedades mecânicas
• Apresentar relação entre a deformação lateral e longitudinal
Mecânica – Resistência dos Materiais 47
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
TÓPICO 1 – Propriedades mecânicas e Diagrama
tensão-deformação
Objetivos do tópico:
• Diagrama tensão-deformação
• Materiais dúcteis e frágeis
• Lei de Hooke e Coeficiente de Poisson
6.1. Introdução
Quando em serviço, os componentes mecânicos de máquinas e
estruturas estão submetidos à ação de esforços ou cargas.
O projeto adequado desses componentes exige o conhecimento do
comportamento mecânico ou das propriedades mecânicas dos materiais de
que são fabricados.
A tensão pode se relacionada à deformação por meio de um diagrama
tensão-deformação para um material específico. Algumas propriedades
mecânicas importantes, como a resistência mecânica à tração ou à
compressão, a ductilidade, a dureza, entre outras, podem ser determinadas
através de ensaios ou experimentos de laboratório, cuidadosamente
elaborados.
6.2. Diagrama tensão-deformação
A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar a
carga sem deformação excessiva ou ruptura. 
Um dos testes mais importantes a realizar nesse sentido é o teste de
tração ou compressão, utilizado principalmente para determinar a relação
entre a tensão normal média e a deformação normal média em muitos
materiais da engenharia, tais como, metais, cerâmicas, polímeros e
materiais compostos.
Com os dados do teste pode-se construir um gráfico para os diversos
valores de tensão e deformação. A curva resultante é denominada diagrama
tensão-deformação. Pode ser convencional ou real.
No diagrama tensão-deformação convencional, os dados registrados da
tensão (σ) são obtidos dividindo-se a carga aplicada (P) pela área
transversal inicial (Ao) do corpo-de-prova.
A deformação nominal ou de engenharia é medida diretamente pela
leitura do extensômetro ou dividindo-se a variação do comprimento (δ ou
ΔL) pelo comprimento inicial do corpo de prova (Lo).
Enquanto que o diagrama tensão-deformação real para calcular a tensão
e a deformação usa-se a área real da seção transversal e o comprimento do
Mecânica – Resistência dos Materiais 48
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
corpo-de-prova no instante em que a carga é medida. Os valores da tensão
e da deformação obtidos com essas medidas são chamados tensão real e
deformação real.
As diferenças entre os diagramas começam a aparecer na faixa de
endurecimento por deformação, em que a intensidade da deformação
torna-se mais significativa.
Apesar das diferenças entre os diagramas, a maioria dos projetos de
engenharia é feita na faixa de elasticidade onde a distorção do material
geralmente não é severa, a deformação permanece pequena e o erro do uso
dos valores do diagrama convencional será muito pequeno (cerca de 0,1%)
quando comparado aos valores reais. Essa é uma das principais razões para
usar os diagramas tensão-deformação convencionais.
6.2.1. Diagrama Tensão-Deformação Convencional (ou de engenharia)
Figura 6.1.
Na figura 6.1 apresenta-se um diagrama tensão-deformação para um aço
estrutural (aço mole ou aço de baixo teor de carbono) amplamente utilizado
Mecânica – Resistência dos Materiais 49
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
em prédios, pontes, guindastes, navios, torres, veículos entre outras
aplicações. As deformações são apresentadas no eixo horizontal e as
tensões no eixo vertical.
As características da curva serão discutidas identificando-se quatro
regiões do comportamento do material dependendo da deformação nele
provocada e considerando o diagramatensão-deformação convencional do
ponto O ao ponto F.
Comportamento Elástico – ocorre quando as deformações estão na
região elástica. O diagrama começa com uma linha reta de origem em O ao
ponto A, de modo que a tensão e a deformação são proporcionais. O ponto
A é chamado de limite de proporcionalidade e a inclinação da reta é
chamada de módulo de elasticidade. Se a tensão excede ligeiramente o
limite de proporcionalidade o material ainda pode responder elasticamente
até o limite de elasticidade ponto B. Para o aço o limite de elasticidade é
muito próximo do limite de proporcionalidade.
Escoamento – com um aumento da tensão além do limite de
elasticidade, a curva fica horizontal (trecho C- D), pois um alongamento do
corpo ocorre sem um aumento notável da força de tração. Esse fenômeno é
conhecido como escoamento e a tensão que provoca escoamento é
chamada tensão limite de escoamento ou ponto de escoamento (σE). Na
região entre C e D o material fica perfeitamente plástico, ou seja, ele se
deforma sem um aumento da carga aplicada e faz com que ele se deforma
permanentemente.
Endurecimento por deformação – após o escoamento o aço começa a
recuperação, passando por mudanças em sua estrutura cristalina,
resultando em um aumento da resistência do material para mais
deformação. O alongamento do corpo de prova na região D-E exige um
aumento na carga de tração o que resulta em uma curva que cresce
continuamente, mas que se torna mais plana até que alcança a tensão
máxima denominada limite de resistência (σLRT ou σr) ou tensão normal
última.
Estricção – Ao atingir o limite de resistência, a área da seção transversal
começa a diminuir em uma região localizada do corpo de prova. Forma-se
gradualmente uma estricção ou contração (empescoçamento) nessa região
à medida que o corpo se alonga. Como a área da seção transversal está
decrescendo continuamente, a área menor pode suportar apenas carga
decrescentes, portanto o diagrama curva-se para baixo até que o corpo de
prova quebre com a tensão de ruptura (σrup).
6.2.2. Diagrama tensão-deformação real (ou verdadeiro)
Quando esse diagrama é construído, adquire o formato mostrado pela
curva do ponto O até o ponto G, na figura 6.1. Observe que os diagramas
convencional e real são praticamente coincidentes quando a deformação é
pequena, até o ponto D. As diferenças começam a aparecer na faixa de
endurecimento por deformação, em que a intensidade da deformação
torna-se mais significativa.
Mecânica – Resistência dos Materiais 50
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
Pelo diagrama tensão-deformação real, a área real na região de estricção
é sempre decrescente até a ruptura, e desse modo, o material suporta
realmente tensão crescente.
Apesar de os diagramas tensão-deformação real e convencional serem
diferentes, a maioria dos projetos de engenharia é feita na faixa de
elasticidade, onde para a maioria dos metais a deformação até o limite de
elasticidade permanecerá pequena e o erro do uso dos valores de
engenharia será pequeno. Essa é uma das razões principais para usar os
diagramas tensão-deformação convencionais.
6.3. Materiais Dúcteis e Frágeis
Os materiais dúcteis são caracterizados por sua capacidade de escoar na
temperatura ambiente. Á medida que o corpo de prova é submetido a uma
carga crescente, seu comprimento inicialmente aumenta linearmente com a
carga e a uma taxa muito baixa. Após alcançar um valor crítico de tensão
(σE), o corpo de prova sofre uma grande deformação com aumento
relativamente pequeno da carga aplicada. São materiais dúcteis o aço
estrutural e muitas ligas de outros metais.
Os materiais frágeis, que incluem ferro fundido, vidro e pedra, são
caracterizados pelo fato de que a ruptura ocorre sem nenhuma mudança
prévia notável na taxa de alongamento. Para materiais frágeis não há
diferença entre o limite de resistência e a resistência à ruptura. E a
deformação no instante da ruptura é muito menor para materiais frágeis do
que para materiais dúcteis. 
Uma medida padrão da ductilidade de um material é sua deformação
percentual, definida como:
Deformação percentual = L – Lo x 100
 Lo
Onde Lo e L são respectivamente, o comprimento inicial do corpo de
prova e o seu comprimento final na ruptura.
Uma outra medida da ductilidade é a redução percentual da área,
definida como:
Redução percentual da área = Ao – A x 100
 Ao
Onde Ao e A são respectivamente a área da seção transversal inicial do
corpo de prova e sua área de seção transversal mínima na ruptura.
6.4. Lei de Hooke e Módulo de Elasticidade
A relação diretamente proporcional entre a tensão e a deformação
específica é conhecida como lei de Hooke, em homenagem ao matemático
inglês Robert Hooke. Definida como:
 
Mecânica – Resistência dos Materiais 51
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
 σ = ε E (Para tensão
normal)
 
 τ = γ G (Para
tensão cisalhante) 
O coeficiente E é chamado de módulo de elasticidade do material
envolvido, ou também módulo de Young, em homenagem ao cientista inglês
Thomas Young. O coeficiente G é chamado de módulo de elasticidade para o
cisalhamento ou módulo de rididez. Como a deformação específica é
adimensional, o módulo de elasticidade é expresso nas mesmas unidades
da tensão, ou seja, em pascal (Pa).
Quando um material é deformado por uma carga externa, tende a
armazenar energia internamente em todo o seu volume essa energia é
denominada energia de deformação (ΔU). A formula da energia de
deformação por unidade de volume de material denominada densidade de
energia de deformação, pode ser expressa por:
 u = ΔU = σε
 ΔV 2
Se o comportamento do material for linear elástico, então se aplica a lei
de Hooke e a densidade de energia pode ser expressa em termos da tensão
uniaxial:
 u = σ2
 2E
A resiliência de um material é sua capacidade de absorver energia sem
sofrer qualquer dano permanente, ou seja, dentro da região elástica.
Quando a tensão atinge o limite de proporcionalidade, a densidade de
energia de deformação é denominada módulo de resiliência (ur), que
equivale à área triangular na regiação elástica do diagrama σ x ε (figura
6.2-a).
ur = 1 σlp εlp = 1 σlp 2
 2 2 E
Mecânica – Resistência dos Materiais 52
Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional
 
 a) b)
 Figura 6.2. Representação gráfica do módulo de resiliência e de
tenacidade
A tenacidade é a capacidade de um material em absorver energia até a
ruptura. A densidade de energia do material um pouco antes da ruptura é
denominada módulo de tenacidade, representada pela área inteira sob o
diagrama tensão-deformação