Resistencia dos materiais I

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Nome do professor 
 
Sobre a autora 
Muriel Batista de Oliveira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A autora do caderno de estudos é a professora Muriel Batista de Oliveira, 
brasileira, natural de Rio Grande/RS, bacharel em Engenharia Civil pela Universidade 
Federal de Rio Grande (FURG, 2002), Mestre em Engenharia Civil pela Universidade 
Federal do Rio de Janeiro (COPPE/UFRJ, 2005) e Doutora em Ciências da Educação 
pela Universidad Americana (2016). Especialista em Docência do Ensino Superior 
(REDENTOR, 2007), Especialista em Engenharia de Segurança do Trabalho 
(REDENTOR, 2011) e Especialista em Educação Ambiental (FETREMIS, 2014). 
Professora da Faculdade Redentor desde 2006, nos cursos de Engenharias. 
Coordena o curso de engenharia civil na modalidade EaD. Tem experiência nas 
disciplinas de Cálculo 0, Geometria Descritiva, Geometria Analítica, Metodologia 
Científica, Álgebra Linear, Probabilidade e Estatística, Resistência dos Materiais, 
Equipamentos, Engenharia de Segurança do Trabalho, Fenômenos de Transporte, 
Instalações Prediais II, Saneamento e Trabalho de Conclusão de Curso. Atuou como 
Engenheira Civil, como projetista e responsável técnica de obras públicas e privadas. 
 
 
 
Apresentação 
 
 
 
Olá querido aluno (a), seja muito bem-vindo (a)! 
 
Continuando sua formação em Engenharia, você tem um novo e grande desafio 
para concluir as disciplinas do ciclo básico. Nossa disciplina intitula-se Resistência 
dos Materiais I e aborda conteúdos que são ferramentas importantes para a formação 
profissional na área de Engenharia. 
Após terminar esta disciplina você deverá ser capaz de compreender o 
comportamento dos materiais sujeitos a agentes mecânicos, dentre outros, que atuam 
sobre peças de formas simples, buscando-se a quantificação dos efeitos através da 
introdução de hipóteses simplificadoras as quais, ao tempo em que permitem a 
obtenção de fórmulas matemáticas mais simples que não deixam de representar a 
realidade prática, nos limites de precisão exigidos pelas necessidades da Engenharia. 
É importante frisar que nesse caderno você encontrará o básico dos conceitos 
e aplicações. O conteúdo vai muito além. Vale ressaltar que será muito importante 
consultar as bibliografias básica e complementar. Acima de tudo, você deverá praticar 
muito. Sugiro que após cada capítulo, que estarão apresentados divididos em aulas, 
você busque fazer alguns dos exercícios propostos nas listas e na bibliografia indicada 
ao final das mesmas. 
A disciplina foi dividida em sete capítulos divididos em dezesseis aulas, 
contendo exemplos e atividades a serem resolvidas, sendo importante você manter 
uma constância em seus estudos. 
 Portanto, não acumule dúvidas! Consulte o professor, participe dos fóruns, 
releia o caderno, as bibliografias recomendadas, faça os exercícios teóricos e 
principalmente os práticos, assista aos vídeos sugeridos e outras fontes que você 
considerar importantes para sua aprendizagem. 
Não esqueça: é preciso praticar... E muito! 
. 
. 
. 
Bons estudos! 
 
 
Objetivos 
 
A Resistência dos Materiais é um ramo da Mecânica Aplicada que estuda a 
resistência de materiais de engenharia e seu comportamento mecânico sob ação de 
carregamentos. A disciplina busca fornecer a você aluno (a) conceitos sobre 
resistência dos materiais, objetivando prepará-lo (a) para as disciplinas do ciclo 
profissional onde esses conceitos são aplicados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este caderno de estudos tem como objetivos: 
 
 Compreender o comportamento de estruturas mecânicas sujeitas a 
esforços externos; 
 Analisar elementos que compõem projetos; 
 Interpretar catálogos, manuais e tabelas; 
 Especificar elementos que compõem projetos; 
 Interpretar e distinguir materiais, elementos e suas propriedades nos 
sistemas; 
 Dimensionar e especificar materiais; 
 Efetuar cálculos e identificar os materiais quanto a sua capacidade de 
carga e tensões; 
 Analisar o gráfico tensão/deformação e o comportamento de um 
material; 
 Conhecer as propriedades mecânicas dos materiais; 
 Aplicar conceitos de tensão admissível e fator de segurança; 
 Analisar as classes de resistência: tração, flexão, compressão, 
cisalhamento, torção, flexotorção e flambagem. 
 Ajudar e dar subsídio para o aluno desenvolver a sua capacidade de 
projetar sistemas estruturais. 
 Interpretação e de solução de problemas espaciais nas demais 
disciplinas do curso. 
 Capacitar o acadêmico na habilidade de interpretação e resolução de 
problemas concretos e abstratos, aumentando sua visão espacial, 
integrando conhecimentos multidisciplinares e viabilizando a 
representação de figuras associadas a novos padrões e técnicas de 
resolução. 
 
 
Sumário 
 
AULA 1 - CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS TENSÕES 
1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS TENSÕES ................................................................ 12 
1.1 Introdução ....................................................................................................... 12 
1.2 Forças e tensões .............................................................................................. 19 
1.3 Forças axiais, tensões normais ...................................................................... 20 
1.4 Tensão de cisalhamento ................................................................................ 21 
1.5 Tensões de esmagamento ............................................................................. 22 
1.6 Tensões em um plano oblíquo ao eixo ......................................................... 23 
1.7 Componente de tensão ................................................................................. 24 
1.8 Tensões admissíveis, tensões últimas e coeficiente de segurança ............ 25 
 
AULA 2 - CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS TENSÕES 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS TENSÕES ................................ 35 
 
AULA 3 - CAPÍTULO 2: TENSÃO E DEFORMAÇÃO – CARREGAMENTO AXIAL 
2 TENSÃO E DEFORMAÇÃO – CARREGAMENTO AXIAL ............................................. 56 
2.1 Introdução ....................................................................................................... 56 
2.2 Deformação específica normal sob carregamento axial .......................... 56 
2.3 Diagrama tensão-deformação ...................................................................... 57 
2.4 Comportamento elástico e plástico dos materiais ...................................... 62 
2.5 Lei de Hooke, módulo de elasticidade ......................................................... 66 
2.6 Deformação de barras sujeitas a cargas axiais........................................... 67 
2.7 Problemas estaticamente indeterminados ................................................... 68 
2.8 Coeficiente de Poisson ................................................................................... 69 
2.9 Tensões térmicas ............................................................................................. 70 
 
AULA 4 - CAPÍTULO 2: TENSÃO E DEFORMAÇÃO – CARREGAMENTO AXIAL 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: TENSÃO E DEFORMAÇÃO – CARREGAMENTO AXIAL ............. 79 
 
AULA 5 - CAPÍTULO 3: TORÇÃO 
3 TORÇÃO .................................................................................................................. 101 
3.1 Introdução ..................................................................................................... 101
 
 
3.2 Aplicação do método das seções .............................................................. 102 
3.3 Deformação em seções transversais circulares ........................................ 103 
3.4 Tensões no regime elástico .......................................................................... 104 
3.5 Ângulo de torção no regime elástico .........................................................106 
3.6 Eixos estaticamente indeterminados .......................................................... 109 
3.7 Projeto de eixos de transmissão .................................................................. 109 
3.8 Torção em barras de seção não circular ................................................... 110 
3.9 Convenção de sinais .................................................................................... 112 
 
AULA 6 - CAPÍTULO 3: TORÇÃO 
EXEMPLOS RESOLVIDOS - TORÇÃO................................................................................. 121 
 
AULA 7 - CAPÍTULO 4: FLEXÃO PURA 
4 FLEXÃO .................................................................................................................... 143 
4.1 Introdução ..................................................................................................... 143 
4.2 Barras prismáticas em flexão pura .............................................................. 143 
4.3 Análise das tensões na flexão pura ............................................................ 144 
4.4 Deformação em uma barra simétrica na flexão ....................................... 145 
4.5 Tensões e deformações no regime elástico ............................................... 147 
4.6 Flexão de barras compostas........................................................................ 150 
4.7 Flexão oblíqua ............................................................................................... 152 
 
AULA 8 - CAPÍTULO 4: FLEXÃO PURA 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: FLEXÃO PURA .......................................................................... 161 
 
AULA 9 - CAPÍTULO 5: CARREGAMENTO TRANSVERSAL 
5 CARREGAMENTO TRANSVERSAL ............................................................................ 183 
5.1 Introdução ..................................................................................................... 183 
5.2 Carregamento transversal em barras prismáticas ..................................... 183 
5.3 Hipóteses básicas para a distribuição de tensões normais ...................... 186 
5.4 Determinação do fluxo de cisalhamento em um plano longitudinal ...... 186 
5.5 Determinação da tensão de cisalhamento xy em uma viga ................... 188 
5.6 Tensões de cisalhamento xy em seções transversais usuais .................... 189 
5.6.1 Cisalhamento em uma seção longitudinal arbitrária ...................... 192 
5.6.2 Tensões de cisalhamento em barras de paredes finas ................... 192 
 
 
5.7 Exemplo resolvido 1 ...................................................................................... 194 
5.8 Exemplo resolvido 2 ...................................................................................... 196 
 
AULA 10 - CAPÍTULO 5: CARREGAMENTO TRANSVERSAL 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: CARREGAMENTO TRANSVERSAL ............................................ 203 
 
AULA 11 - CAPÍTULO 6: INTRODUÇÃO AO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS 
6 INTRODUÇÃO AO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS ..................................... 223 
6.1 Introdução ..................................................................................................... 223 
6.2 Método do trabalho virtual para deflexões ................................................ 223 
6.3 Equações do trabalho virtual para sistemas elásticos .............................. 225 
 
AULA 12 - CAPÍTULO 6: INTRODUÇÃO AO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: INTRODUÇÃO AO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS .... 241 
 
AULA 13 - CAPÍTULO 7: ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
7 ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES................................................................. 259 
7.1 Introdução ..................................................................................................... 259 
7.2 Estado plano de tensões .............................................................................. 261 
7.3 Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima ............................ 263 
7.4 Círculo de Mohr – tensão no plano ............................................................. 266 
 
AULA 14 - CAPÍTULO 7: ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES ................................ 278 
7.5 Teorias de resistência ................................................................................... 294 
7.5.1 Critérios de fratura ................................................................................. 294 
7.5.2 Critérios de escoamento ...................................................................... 297 
 
AULA 15 - CAPÍTULO 7: ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
PROBLEMAS PROPOSTOS ................................................................................................. 314 
 
AULA 16 – REVISÃO GERAL
 
 
Iconografia 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1: introdução ao estudo 
das tensões 
Aula 1 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula faremos uma breve revisão de conceitos básicos de estática e 
estudaremos os conceitos iniciais da Resistência dos Materiais, os tipos de 
carregamentos aos quais as estruturas podem estar sujeitas, além dos conceitos de 
tensão normal e de cisalhamento e coeficiente de segurança. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Aplicar os conceitos da estática para calcular as forças internas 
resultantes em um corpo; 
 Aplicar o conceito de tensão normal 
 Aplicar o conceito de tensão de cisalhamento 
 Aplicar o conceito de coeficiente de segurança para cálculo de tensões 
admissíveis; 
 Analisar estruturas sujeitas a cargas axiais ou cisalhantes. 
 
 
 
 
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1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS TENSÕES 
1.1 Introdução 
Para iniciarmos nosso estudo na disciplina é importante relembrarmos alguns 
conceitos e definições para entender onde está situada a Resistência dos Materiais 
(Figura 1.1): 
Figura 1.1: Divisões da Mecânica Aplicada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mecânica Aplicada: Ramo da ciência que, através da aplicação dos 
princípios de mecânica, busca entender, explicar e prever as ações e reações de 
corpos em repouso ou movimento. 
 Mecânica do Contínuo: Ramo da ciência que lida com meios contínuos, 
incluindo sólidos e fluidos. 
 Mecânica dos Sólidos: Estuda a física de sólidos contínuos, com forma 
definida quando em repouso. 
 Elasticidade: Descreve o comportamento de materiais que retomam sua 
forma original após a aplicação de esforços mecânicos. 
 Plasticidade: Descreve o comportamento de materiais que têm sua forma 
original modificada após a aplicação de esforços mecânicos. 
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 Resistência dos Materiais: Estuda a resistência de materiais de engenharia 
e seu comportamento mecânico sob ação de carregamentos. A teoria da elasticidade 
e a teoria da plasticidade são áreas da Mecânica Avançada, que com pesquisas 
contínuas busca além de resolver problemas avançados de engenharia, justificar a 
maior utilização e as limitações da teoria fundamental da mecânica dos materiais 
(HIBBELER, 2010). 
A história da Resistência dos Materiais é uma combinação de teoria e 
experiência. Cientistas, como Leonardo da Vinci e Galileu Galilei fizeram 
experiências para determinar a resistência de fios, barras e vigas, sem que tivessem 
desenvolvido teorias adequadas (pelos padrões de hoje) para explicar os resultados 
atingidos. Outros gênios, como Leonhard Euler, desenvolveram teorias matemáticas 
muito antes de qualquer experiência que evidenciasse a importância do seu 
achado. No início do sec. XVIII Saint-Venant, Poisson e Navier desenvolveram 
estudos com aplicações da mecânica dos corpos materiais, que foram 
denominados Resistência dos Materiais. 
O principal objetivo de um curso de Resistência dos Materiais / Mecânica dos 
Sólidos é o desenvolvimento de relações entre as cargasaplicadas a um corpo e as 
forças internas e deformações nele originadas. Estas relações são obtidas através de 
métodos matemáticos ou experimentais, que permitam a análise destes fenômenos. 
 Problema: Corpo sujeito a ação de esforços externos (forças, momentos, 
etc.). 
 Solução: Determinar esforços internos (tensões), deslocamentos e 
deformações. 
Normalmente buscamos a solução de três tipos de problemas: 
 Projetos: Definição de materiais, forma e dimensões da peça estudada. 
 Verificações: Diagnosticar a adequação e condições de segurança de um 
projeto conhecido. 
 Avaliação de capacidade: Determinação da carga máxima que pode ser 
suportada com segurança. Entre muitos dos conceitos que deve estar claro e que são 
indispensáveis para a solução de problemas de engenharia estão: 
 Força: é toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o estado de 
movimento ou provocar deformação em um corpo. Em análise estrutural as forças são 
divididas em: 
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- Forças Externas: atuam na parte externa na estrutura. Podem ser ativas ou 
reativas. 
- Ativas: São forças independentes que podem atuar em qualquer ponto de 
uma estrutura. Correspondem às cargas as quais estaremos submetendo a estrutura, 
normalmente conhecidas ou avaliadas. Por exemplo: peso do pedestre em uma 
passarela, peso próprio das estruturas, etc. 
- Reativas: São forças que surgem em determinados pontos de uma estrutura 
(vínculos ou apoios), sendo consequência das ações, portanto não são 
independentes, devendo ser calculadas para se equivalerem as ações e assim 
preservarem o equilíbrio do sistema. Assim, podemos dizer que sempre que uma peça 
de estrutura carregada tiver contato com elementos externos ao sistema (vínculo), 
neste ponto surge uma força reativa. 
- Forças Internas: são aquelas que mantêm unidos os pontos materiais que 
formam o corpo sólido da estrutura (solicitações internas). Se o corpo é 
estruturalmente composto de diversas partes, as forças que mantém estas partes 
unidas também são chamadas de forças internas (forças desenvolvidas em rótulas). 
A Figura 1.2 ilustra os esforços internos de Tração, Compressão, Cisalhamento, 
Flexão, Torção e Esforços combinados. 
Figura 1.2: Esforços internos: Tração; (b) Compressão; (c) Cisalhamento; (d) Flexão; (e) 
Torção. 
 
 
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 Momento: Momento de uma força é a medida da tendência que tem a força 
de produzir giro em um corpo rígido. Este giro pode se dar em torno de um ponto 
(momento polar) ou em torno de um eixo (momento axial). 
 Princípio da superposição de efeitos: "O efeito produzido por um conjunto 
de forças atuando simultaneamente em um corpo é igual à soma do efeito produzido 
por cada uma das forças atuando isolada". Deve-se fazer a ressalva de que a validade 
deste princípio se resume a casos em que o efeito produzido pela força seja 
diretamente proporcional a mesma. Isto acontece na maioria dos casos estudados. A 
partir deste princípio podemos dizer que o momento resultante de um sistema de 
forças é a soma algébrica dos momentos, produzidos em relação ao mesmo ponto, 
por cada uma das forças atuando isolada. 
 Vínculo: É todo o elemento de ligação (dispositivo mecânico) entre as partes 
de uma estrutura ou entre a estrutura e o meio externo, cuja finalidade é restringir um 
ou mais graus de liberdade de um corpo. Os esforços reativos (reações), juntamente 
com as ações (cargas aplicadas à estrutura) formam um sistema em equilíbrio 
estático. Uma estrutura espacial possui seis graus de liberdade: três translações e três 
rotações segundo três eixos ortogonais. A fim de evitar a tendência de movimento da 
estrutura, estes graus de liberdade precisam ser restringidos. 
- Vínculos externos: São vínculos que unem os elementos de uma estrutura 
ao meio externo e se classificam quanto ao número de graus de liberdade restringidos. 
No caso plano o vínculo pode restringir até 3 graus de liberdade (GL) e, portanto, se 
classifica em três espécies (Figura 1.3). 
(a) Primeira espécie ou primeiro gênero (apoio móvel): restringe uma translação; 
(b) Segunda espécie ou segundo gênero (apoio fixo): restringe duas translações; 
(c) Terceira espécie ou terceiro gênero (engaste): restringe duas translações e uma 
rotação. 
Figura 1.3: Vínculos de primeiro, segundo e terceiro gênero. 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) (c) 
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Vínculos internos: São aqueles que unem partes componentes de uma 
estrutura. Compõem as estruturas compostas. 
 Equilíbrio: Sempre que se deseja trabalhar com uma peça componente de 
uma estrutura ou máquina, devemos observar e garantir o seu equilíbrio externo e 
interno. 
- Equilíbrio externo: Para que o equilíbrio externo seja mantido se considera a 
peça monolítica e indeformável. Diz-se que um corpo está em equilíbrio estático 
quando as forças atuantes formam entre si um sistema equivalente a zero, isto é, sua 
resultante e o seu momento em relação a qualquer ponto são nulos. Como se costuma 
trabalhar com as forças e momentos referenciados a um sistema tri-ortogonal de 
eixos, desta maneira o equilíbrio se verifica se as seis equações abaixo são satisfeitas: 
∑𝐹𝑥 = 0 ∑𝑀𝑥 = 0 (1.1) 
∑𝐹𝑦 = 0 ∑𝑀𝑦 = 0 (1.2) 
∑𝐹𝑧 = 0 ∑𝑀𝑧 = 0 (1.3) 
Diante de um caso de carregamento plano e, portanto, apresentando 3 graus 
de liberdade, as condições de equilíbrio se reduzem apenas às equações: 
∑𝐹𝑥 = 0 ∑𝐹𝑦 = 0 ∑𝑀𝑧 = 0 (1.4) 
 
Observe que as equações de equilíbrio adotadas devem ser apropriadas ao 
sistema de forças em questão, e se constituem nas equações fundamentais da 
estática. 
- Equilíbrio interno: De uma maneira geral podemos dizer que o equilíbrio 
externo não leva em conta o modo como o corpo transmite as cargas para os vínculos. 
O corpo quando recebe cargas vai gradativamente deformando-se até atingir o 
equilíbrio, onde as deformações param de aumentar (são impedidas internamente), 
gerando solicitações internas. Estas solicitações internas são responsáveis pelo 
equilíbrio interno do corpo. O método das seções é utilizado para determinar as 
resultantes internas em um ponto localizado sobre a seção de um corpo. Em geral, 
essas resultantes consistem em uma força normal, uma força de cisalhamento, um 
momento de torção e um momento fletor. A Figura 1.4 ilustra esse procedimento 
numericamente: 
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Figura 1.4: Esquema do método das seções. 
 
Fonte: HIBBELER (2010) 
Como vimos, a Resistência dos Materiais é um ramo da Mecânica 
que estuda as relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo 
deformável e a intensidade das forças internas que agem no interior do 
corpo. Assim, tem-se envolvido o cálculo das deformações do corpo e o estudo da 
estabilidade do mesmo quando sujeito a forças externas. O cálculo de uma estrutura 
depende de três critérios: 
 Estabilidade: Toda estrutura deverá atender às equações universais de 
equilíbrio estático. 
 Resistência: Toda estrutura deverá resistir às tensões internas geradas 
pelas ações solicitantes. 
 Rigidez: Além de resistir às tensões internas geradas pelas ações 
solicitantes, as estruturas não podem se deformar excessivamente. A boa 
compreensão dos conceitos que envolvem a mecânica dos sólidos está intimamente 
ligada ao estudo de duas grandezas físicas: A tensão e a deformação, que serão 
abordadas durante todo o tempo nesta disciplina. Este capítulo, nas aulas 1 e 2, está 
voltado para o conceito de tensão e a introdução dos métodos usados na análise e 
projeto de máquinas e estruturas de sustentação, que se constituem de diversos 
elementos estruturais que podem ser classificados como: blocos, placas, cascas 
(placas curvas), barras e de outros elementos estruturais complexos (Figuras 1.5 a1.8). 
 
 
 
 
 
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Figura 1.5: Blocos (ex. sapata de fundação e bloco de coroamento de estaca). 
 
 
Figura 1.6: Placas (ex. pavimento de concreto) e Cascas (ex. caldeira, avião, navio, lata). 
 
 
 
Figura 1.7: Barras: Podem ser retas (vigas, pilares, tirantes e escoras) ou curvas (arcos). 
 
 
 
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Figura 1.8: Elementos Estruturais complexos (estruturas rebuscadas). 
 
 
1.2 Forças e tensões 
Consideremos uma barra reta submetida a duas forças axiais P e P’ (Figura 
1.9). 
Figura 1.9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A força por unidade de área ou a intensidade das forças distribuídas numa certa 
seção transversal é chamada tensão atuante (σ) “sigma”. A tensão em uma barra se 
seção transversal A, sujeita a uma força axial P é obtida dividindo-se o módulo P da 
força pela área A. 
𝜎 =
𝑃
𝐴
 (1.5) 
onde: 
σ: tensão média em qualquer ponto na área da seção transversal; 
P: força normal interna resultante, que é aplicada no centroide da área da seção 
transversal. P é determinada pelo método das seções e pelas equações de equilíbrio; 
A: área da seção transversal da barra. 
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Obs.: O método das seções é usado para determinar as cargas resultantes 
internas que agem sobre a superfície do corpo secionado. 
Unidades: 
P [N] newton, [lb] libras 
A [m²] metro², [in²] polegada² 
σ [N/m²] = [Pa], [Psi ou ksi] 
Convenção.: A convenção de sinais para as tensões deve ser de tal maneira 
que não permita que uma mesma tensão tenha valores algébricos de sinais opostos 
quando se analisa uma face ou outra do solido de tensões. Para as tensões normais: 
São positivas quando estão associadas à tração (como mostrado na Figura 1.9) e 
negativas quando estão associadas à compressão. 
1.3 Forças axiais, tensões normais 
Na equação 1.5, σ representa o valor médio das tensões na seção transversal. 
Para definir a tensão em um dado ponto Q da seção transversal, deve-se considerar 
uma pequena área ΔA (Figura 1.10). Fazendo ΔA tender a zero, obtém-se a tensão 
no ponto Q. 
Figura 1.10 
 
 
𝜎 = 𝑙𝑖𝑚
∆𝐴→0
∆𝐹
∆𝐴
 (1.6) 
Na equação 1.6 o valor da tensão é diferente do valor obtido com a equação 
1.5, pois σ varia ao longo da seção transversal (em 1.6). A distribuição real das 
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tensões em uma certa seção transversal é estaticamente indeterminada. Na prática, 
vamos assumir que a distribuição de tensões é uniforme em uma barra carregada 
axialmente, com a exceção das seções vizinhas ao ponto aplicação da carga. Uma 
distribuição uniforme de tensões só é possível se a linha de ação das forças aplicadas 
P e P’ passar pelo centroide da seção considerada (Figura 1.11). A carga centrada 
será adotada como carregamento atuante em todas as barras do eixo reto das treliças 
e estruturas reticuladas (barras conectadas por pinos). Cargas excêntricas serão 
vistas no capítulo 4. 
Figura 1.11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 Tensão de cisalhamento 
Consideremos a barra da Figura 1.12 onde duas forças P e P’ são aplicadas na 
direção transversal à barra. A resultante de intensidade P é chamada de força cortante 
na seção. Ao dividirmos a força P cortante pela área da seção transversal A obtemos 
a tensão média de cisalhamento na seção (méd). 
Figura 1.12 
 
 
 
 
 
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𝜏𝑚é𝑑 =
𝑃
𝐴
 (1.7) 
Ou, 
 𝜏𝑚é𝑑 =
𝐹
𝐴
 (1.8) 
 
Contrariamente ao que foi dito para tensões normais, a distribuição das tensões 
de cisalhamento na seção transversal não pode ser assumida como uniforme, como 
será visto no capítulo 5. As tensões de cisalhamento (equação 1.8) são encontradas 
em parafusos, pinos e rebites ligando membros estruturais ou componentes de 
máquinas. Sendo estes elementos finos, pode-se desprezar o momento criado pela 
força F. Por consequência, para equilíbrio, a área da seção transversal do conector e 
a superfície de fixação entre os elementos estão sujeitos a somente uma única força 
de cisalhamento simples, sendo assim, P = F. 
Figura 1.13 
 
 
 
 
 
1.5 Tensões de esmagamento 
Os parafusos, pinos e rebites provocam tensão de esmagamento nas barras 
que estão ligando, ao longo da superfície de contato. 
A tensão de esmagamento (σe) é obtida dividindo-se a força P pela área que 
representa a projeção do rebite sobre a seção da chapa. Essa área é igual a t.d, onde 
t é a espessura da chapa e d é o diâmetro do rebite. (Figura 1.14) 
 
 
 
 
 
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Figura 1.14 
 
Fonte: BEER (2006) 
1.6 Tensões em um plano oblíquo ao eixo 
Consideremos agora tensões que surgem sobre uma seção oblíqua de uma 
barra sujeita a um par de cargas axiais. Observa-se que ambas as tensões normais e 
de cisalhamento ocorrem nessa situação. Denotando por θ o ângulo entre a seção e 
o plano normal (Figura 1.15) e por A0 a área de uma seção perpendicular ao eixo da 
barra, podemos escrever: 
Figura 1.15 
 
 
 
𝜎 =
𝑃
𝐴0
𝑐𝑜𝑠 ² 𝜃 e 𝜏 =
𝑃
𝐴0
𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 (1.10) 
 
Observação: 
σmáx =
P
A0
 para θ = 0° e σ =
P
2A0
 para θ = 45° 
τmáx =
P
2A0
 para θ = 45° e τ = 0 para θ = 0° 
 
Um exemplo de aplicação de tensões oblíquas ao eixo será 
abordado na aula 2. 
 
 
P á g i n a | 24 
 
 
1.7 Componente de tensão 
Tomando-se então cada um dos três planos ortogonais yz (vetor normal 
paralelo ao eixo x), xz (vetor normal paralelo ao eixo y) e xy (vetor normal paralelo ao 
eixo z) é possível definir três vetores tensões, (Figuras 1.16) que serão fundamentais 
no estudo da grandeza tensão. 
Consideremos um pequeno cubo centrado em M (Figura 1.17). Denotamos por 
σx a tensão normal exercida sobre uma face do cubo perpendicular ao eixo x, e por 
xy e xz, respectivamente, as componentes y e z da tensão de cisalhamento exercida 
sobre a mesma face do cubo. Repetindo esse procedimento para as duas outras faces 
do cubo e observando que xy = yx, yz = zy, zx = xz pode-se concluir que são 
necessárias seis componentes de tensões para definir o estado de tensão em dado 
ponto M, ou seja, σx, σy, σz, xy, yz e zx. 
Figura 1.16: Tensões nos três planos ortogonais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 25 
 
 
Figura 1.17: Tensão sob carregamento axial. 
 
 
Convenção: A convenção de sinais as tensões tangenciais é a seguinte: 
Quando a normal externa do sólido de tensões apontar na mesma direção do eixo 
coordenado, as tensões tangenciais são positivas quando apontarem para o mesmo 
sentido do seu respectivo eixo coordenado (como na Figura 1.17). 
 Tensões normais: Estas tensões são resultado de um carregamento que 
provoca a aproximação ou o afastamento de moléculas que constituem o sólido. 
 Tensões cisalhantes ou tangenciais: Estas tensões são resultado de um 
carregamento que provoca um deslizamento relativo de moléculas que constituem o 
sólido. 
1.8 Tensões admissíveis, tensões últimas e coeficiente de segurança 
Um engenheiro responsável pelo projeto de um elemento estrutural ou 
mecânico, deve restringir a tensão atuante no material a um nível seguro. Além disso, 
uma estrutura ou máquina em uso contínuo deve ser analisada periodicamente para 
que se verifiquem quais cargas adicionais seus elementos ou partes podem suportar. 
Portanto, deve-se fazer os cálculos usando-se uma tensão admissível. 
P á g i n a | 26 
 
 
 Carga última ou carregamento último: é a força que o membro estrutural 
ou componente de máquina está no limite de falhar. Deve ser consideravelmente 
maior do que a carga admissível. 
 Carga admissível: carga que o membro ou componente irá suportar em 
condições normais de utilização. 
 Coeficiente ou fator de segurança (CS ou FS): é a relação entre o 
carregamento último e o carregamentoadmissível. 
𝐶𝑆 =
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙
 (1.11) 
𝐶𝑆 =
𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎
𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙
 (1.12) 
 
A carga de ruptura é determinada por ensaios experimentais do 
material e o fator de segurança é selecionado com base na experiência. A escolha de 
um CS baixo pode levar a possibilidade de ruptura de uma estrutura muito alta, 
enquanto que um CS muito alto torna projetos antieconômicos ou pouco funcionais. 
O fator de segurança escolhido é maior que 1, para evitar o potencial de falha. 
A escolha de um CS deve levar em conta: 
 Modificações nas propriedades dos materiais: a composição resistência 
e dimensões dos materiais estão sujeitas a pequenas variações durante a fabricação 
das peças e também durante o transporte, armazenamento ou execução da estrutura; 
 Número de vezes de aplicação de carga: relacionado ao fenômeno de 
fadiga, que pode levar a uma diminuição do valor da tensão última; 
 Tipo de carregamento do projeto e futuro: existe a possibilidade de 
alterações futuras na finalidade da máquina ou estrutura que está sendo projetada; 
 Modo de ruptura que pode ocorrer: materiais frágeis rompem 
repentinamente e materiais dúcteis apresentam grande deformação antes da ruptura. 
Quando existe possibilidade de ruptura repentina o coeficiente se segurança deve ser 
maior do que no caso de materiais com ruptura com indícios de colapso; 
 Métodos aproximados e análise: esses métodos são baseados em 
simplificações e levam a diferenças entre as tensões calculadas e as tensões que 
realmente atuam na estrutura; 
P á g i n a | 27 
 
 
 Falta de manutenção ou causas naturais imprevistas: em locais sujeitos 
a corrosão por ferrugem, por exemplo, devemos adotar um coeficiente de segurança 
com valor elevado; 
 A importância do membro para estrutura: peças principais de uma 
estrutura exigem um coeficiente se segurança maior do que peças de secundárias e 
de contraventamentos. 
Existem casos em que o colapso não traz risco de morte, e a perda de materiais 
é mínima, podemos usar um coeficiente de segurança mais baixo. Seus valores, os 
quais podem ser encontrados em normas de projeto e manuais de engenharia, 
pretendem manter um equilíbrio entre garantir a segurança pública e ambiental e 
oferecer soluções de projetos econômicos e razoáveis. Agora, para fecharmos este 
capítulo, vamos fazer um exemplo para fixar os conceitos de tensão normal, tensão 
cisalhante, tensão de esmagamento, tensões últimas e coeficiente de segurança, 
além de calcular os esforços em uma estrutura. 
Exemplo.: (BEER, 2006) Observe a estrutura abaixo e a seguir 
responda as seguintes questões apresentando a resolução com todos os 
cálculos necessários: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Sabendo-se que a barra AB é feita de aço com a tensão última de 600 MPa, 
qual o diâmetro da barra para que o CS seja de 3,3? 
b) O pino do ponto C é feito de aço com tensão última de cisalhamento de 350 
MPa. Qual o diâmetro do pino C que leva um CS de cisalhamento de 3,3? 
c) Qual a espessura necessária das chapas de apoio em C, sabendo-se que a 
tensão admissível para esmagamento do aço utilizado é de 300 MPa? 
P á g i n a | 28 
 
 
 
Solução: Primeiramente vamos calcular as reações impostas pelo apoio e o 
valor da força P, considerando positivo o momento no sentido anti-horário, a força 
vertical para cima e a força horizontal para direita: 
∑𝑀𝐶 = 0: 𝑃𝐴𝐵(0,6) − 50(0,3) − 15(0,6) = 0 → 𝑃𝐴𝐵 = 40 𝐾𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0: −𝐶𝑦 − 50 − 15 = 0 → 𝐶𝑦 = 65 𝐾𝑁 
∑𝐹𝑥 = 0: 𝐶𝑥 − 𝑃 = 0 → 𝐶𝑥 = 𝑃 = 40 𝐾𝑁 
a) Dados: 𝜎𝑈 = 600 𝑀𝑃𝑎, CS = 3,3; 𝑑𝐴𝐵 = ? 
𝐶𝑆 = 
𝜎𝑈
𝜎𝑎𝑑𝑚
→ 3,3 =
600
𝜎𝑎𝑑𝑚
→ 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 181,81 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑎𝑑𝑚 = 
𝑃𝐴𝐵
𝐴𝐴𝐵
 → 181,81 × 106 =
40 × 103
𝐴𝐴𝐵
 
𝐴𝐴𝐵 = 
𝜋𝑑2
4
 
181,81 × 106 =
40 × 103
𝐴𝐴𝐵
→ 181,81 × 106 =
40 × 103
𝜋𝑑2
4
 → 𝑑2 = 
40 × 103
181,81 × 106
 ×
4
𝜋
 
𝑑 = √
40 × 103
81,81 × 106
 ×
4
𝜋
 → 𝒅 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟔𝟕𝟒 𝒎 → 𝒅 = 𝟏𝟔, 𝟕𝟒 𝒎𝒎 
O diâmetro da barra AB é de aproximadamente 17 mm. 
b) Dados: 𝜏𝑈 = 350 𝑀𝑃𝑎; CS = 3,3; 𝑑𝐶 = ? 
𝜏𝑎𝑑𝑚 = 
𝜏𝑈
𝑐𝑠
= 
350
3,3
= 106,06 𝑀𝑃𝑎 
𝜏𝑎𝑑𝑚 =
𝑃𝑐
𝐴𝐶
 𝐴𝐶 = 
𝜋𝑑𝐶
2
4
 
Como o pino em C está sujeito a corte duplo dividimos a resultante das forças 
por dois: 
𝑃𝑐 = 
√𝐶𝑥2 + 𝐶𝑦2
2
 → 
√402 + 652
2
 → 𝑃𝑐 = 38,16 𝐾𝑁 
106,06 × 106 = 
38,16 × 103
𝐴𝐶
 
𝑑𝑐 = √
38,16 × 103
106,06 × 106
 ×
4
𝜋
 → 𝒅𝒄 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟏𝟒 𝒎 → 𝒅 = 𝟐𝟏, 𝟒 𝒎𝒎 
P á g i n a | 29 
 
 
O diâmetro do pino do ponto C é de aproximadamente 22 mm. 
c) Dados: 𝜎𝑒 = 300 𝑀𝑃𝑎; 𝑡𝑐 = ? 
O carregamento do ponto C é 𝑃𝑐 = 38,16 𝐾𝑁 e o diâmetro do pino é 𝑑𝑐 =
0,0214 𝑚 
𝜎𝑒 = 
𝑃𝑐
𝑡 × 𝑑
 → 300 × 106 = 
38,16 × 103
𝑡 × 0,0214
 
𝒕 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟗𝟒 𝒎 → 𝒕 = 𝟓, 𝟗𝟒 𝒎𝒎 
 
A espessura das chapas de apoio é de aproximadamente 6 mm. 
 
 
 
 
 
 
Resumo 
 
 
 
Nesta aula, abordamos: 
 
 Revisão dos conceitos básicos de estática; 
 Introdução aos tipos de esforços que serão vistos nos capítulos ao longo 
da disciplina, com foco em carregamento axial; 
 Introdução dos métodos usados na análise e projeto de máquinas e 
estruturas de sustentação; 
 Conceitos de tensões admissíveis e tensões últimas normais e 
cisalhantes; 
 Conceito de coeficiente de segurança e critérios para sua escolha; 
 Exemplo resolvido. 
 
 
Fonte: HIBBELER (2010, p. 5 e 17) 
 
 
Complementar 
 
 
 
Para enriquecer seu conhecimento é importante que você: 
 
Revise os tópicos abordados nesta aula em bibliografia 
presente na Biblioteca Digital e material complementar; 
Resolva exemplos resolvidos 1.6 a 1.11 do HIBBELER (2010) 
– Biblioteca Digital e outros que julgar necessários da bibliografia 
básica; 
Resolva os exercícios da lista de exercícios 1. 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
Básica: 
BEER, F. P. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: McGraw Hill, 2006. 
 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010. 
 
POPOV, E.P. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Ed. Edgard 
Blucher, 1978. 
 
Complementar: 
ASSAN, A. E. Resistência dos Materiais. São Paulo, UNICAMP, 2010. 
 
BOTELHO, M. H. Resistência dos Materiais para entender e gostar. São 
Paulo: Studio Nobel, 1998. 
 
DI BLASI, C.G. Resistência dos Materiais. Ed. Freitas Bastos. 1990. 
 
GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. Tradução da 7. Edição Norte-
Americana, 2011. 
 
LACERDA, F. S. Resistência dos Materiais. Ed. Globo, Rio de Janeiro. 1964. 
 
MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. Ed. Érica, 
2002. 
 
NASH, W. A. Resistência dos Materiais. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil. 2. 
ed. 2003. 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 1 
Exercícios 
 
 
 
1 – Quais os princípios básicos do estudo da Resistência dos 
Materiais? 
 
2 – Exemplifique tipos de estruturas que podem ser analisadas 
sobre o princípio da Resistência dos Materiais. 
 
3 – Qual a finalidade do coeficiente de segurança e quais os critérios utilizados 
para sua escolha? 
 
4 – Qual a diferença entre tensões normais e tensões cisalhantes em relação 
as moléculas que constituem o sólido? 
 
5 – Em termos de “carregamentos” qual a diferença entre tensões normais, 
tensões cisalhantes e tensões de esmagamento? 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1: introdução ao estudo 
das tensões 
 
Aula 2 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula iremos resolver exercícios sobre o conteúdo apresentado na aula 1. 
Os exemplos ilustrados aqui representam apenas algumas das muitas aplicações das 
equações para tensão média normal e tensão média de cisalhamento média que são 
utilizadas em projetos e análise de sistemas estruturais de engenharia. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdodesta aula, você seja capaz de: 
 
 Relembrar os conceitos de estática; 
 Aplicar os conceitos tensão normal média e tensão de cisalhamento 
média; 
 Aplicar o conceito de coeficiente de segurança para cálculo de tensões 
admissíveis; 
 Analisar e interpretar estruturas sujeitas a forças axiais ou cisalhantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 35 
 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS TENSÕES 
Em todas as aplicações das equações para tensão normal média 
e tensão de cisalhamento média será considerado que a distribuição de 
tensão é uniformemente distribuída na seção transversal. Primeiramente 
será necessário considerar cuidadosamente a seção na qual a carga crítica terá ação. 
A partir da seção definida, o elemento deverá ser dimensionado/projetado para que a 
área da seção transversal seja suficiente para resistir a tensão aplicada sobre ela. 
É importante não esquecer que a força resultante interna na seção é 
determinada pelas equações de equilíbrio. É útil fazer um diagrama de corpo livre 
(DCL) de um segmento ou seção do elemento de interesse. Consideraremos positivo 
o momento no sentido anti-horário, a força vertical para cima e a força horizontal para 
direita. Como símbolo para força normal ou carregamento usaremos P ou N. 
Exemplo 1.: As duas partes da peça AB são coladas em um plano 
que forma um ângulo  com a horizontal. As tensões ultimas para a união 
colada valem U = 17 MPa e U = 9 MPa. Determine a faixa de valores de 
 para os quais o coeficiente de segurança é pelo menos igual a 3. 
 
 
 
Solução.: Para resolvermos esse exercício usaremos as equações 1.10, 
tensões em um plano oblíquo ao eixo. 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑃
𝐴0
 e 𝜏𝑎𝑑𝑚 =
𝑃
𝐴0
sen 𝜃 . cos 𝜃 
 
P á g i n a | 36 
 
 
Vamos calcular a área da seção perpendicular ao eixo, ou seja, do retângulo 
colocado no plano: 
𝐴0 = 𝑏 × ℎ = 0,05 × 0,03 = 1,5 × 10
−3 𝑚² 
O problema nos fornece o valor das tensões últimas 𝜎𝑈 e 𝜏𝑈, mas em 
problemas de engenharia trabalhamos com a tensão admissível 𝜎𝑎𝑑𝑚 e 𝜏𝑎𝑑𝑚, assim 
temos que encontrar esses valores a partir do coeficiente de segurança: 
Dados: 𝐶𝑆 = 3; 𝜎𝑈 = 17 𝑀𝑃𝑎; 𝜏𝑈 = 9 𝑀𝑃𝑎 
𝐶𝑆 =
𝜎𝑈
𝜎𝑎𝑑𝑚
 → 3 =
17 × 106
𝜎𝑎𝑑𝑚
 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 5,67 𝑀𝑃𝑎 
𝐶𝑆 =
𝜏𝑈
𝜏𝑎𝑑𝑚
 → 3 =
9 × 106
𝜏𝑎𝑑𝑚
 → 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 3 𝑀𝑃𝑎 
Determinando a faixa de valores de 𝜃: 
Dados: 𝑃 = 10 𝐾𝑁; 𝐴0 = 1,5 × 10
−3 𝑚² ; 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 5,67 𝑀𝑃𝑎 
Para tensões normais: 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑃
𝐴0
cos² 𝜃 → 5,67 × 106 =
10 × 103
1,5 × 10−3
cos² 𝜃 → cos² 𝜃 = 0,85 
Para encontrar o valor do ângulo temos que usar uma identidade 
trigonométrica: 
cos² 𝜃 =
1
2
(1 + cos 2𝜃) 
cos2 𝜃 = 0,85 → 
1
2
(1 + cos 2𝜃) = 0,85 → 1 + cos 2𝜃 = 1,7 
cos 2𝜃 = 0,7 → 2𝜃 = cos−1 0,7 → 2𝜃 = 45,57 → 𝜽 = 𝟐𝟐, 𝟖° 
Dados: 𝑃 = 10 𝐾𝑁; 𝐴0 = 1,5 × 10
−3 𝑚² ; 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 3 𝑀𝑃𝑎 
Para tensões cisalhantes: 
𝜏𝑎𝑑𝑚 =
𝑃
𝐴0
sen 𝜃 . cos 𝜃 → 3 × 106 =
10 × 103
1,5 × 10−3
ein 𝜃 . cos 𝜃 → sen 𝜃 . cos 𝜃 = 0,45 
Para encontrar o valor do ângulo temos que usar uma identidade 
trigonométrica: 
sin 𝜃 . cos 𝜃 =
1
2
sen 2𝜃 
sen 𝜃 . cos 𝜃 = 0,45 → 
1
2
sen 2𝜃 = 0,45 → sen 2𝜃 = 0,9 → 2𝜃 = sen−1 0,9 
2𝜃 = 64,16 → 𝜽 = 𝟑𝟐, 𝟏° 
Resposta.: 𝟐𝟐, 𝟖° ≤ 𝜽 ≤ 𝟑𝟐, 𝟏° 
P á g i n a | 37 
 
 
Exemplo 2.: Duas barras circulares maciças estão soldadas em B, 
como mostrado na figura. Determine a tensão normal na seção média de 
cada trecho. 
 
 
 
Solução.: Esta barra possui dois trechos: AB e BC. 
Primeiramente vamos achar a área de cada barra já que foi pedido a tensão 
normal e foi dado o carregamento: 
𝐴𝐴𝐵 = 
𝜋𝑑2
4
= 
𝜋 × 0,022
4
= 3,14 × 10−4 𝑚2 
𝐴𝐵𝐶 = 
𝜋𝑑2
4
= 
𝜋 × 0,032
4
= 7,07 × 10−4 𝑚2 
Agora vamos calcular a tensão em cada barra: 
Para a barra AB: 𝑃𝐴𝐵 = 30 𝐾𝑁; 𝐴𝐴𝐵 = 3,14 × 10
−4 𝑚2 
𝜎𝐴𝐵 = 
𝑃𝐴𝐵
𝐴𝐴𝐵
 =
30 × 103
3,14 × 10−4
 → 𝝈𝑨𝑩 = 𝟗𝟓, 𝟓 × 𝟏𝟎
𝟔𝑷𝒂 → 𝝈𝑨𝑩 = 𝟗𝟓, 𝟓 𝑴𝑷𝒂 
Para a barra BC: 𝑃𝐵𝐶 = 80 𝐾𝑁 (já que o extremo fixo, ponto C, suporta a carga 
total aplicada nas barras, 50 + 30 = 80 KN) e 𝐴𝐵𝐶 = 7,07 × 10
−4 𝑚2 
𝜎𝐴𝐵 = 
𝑃𝐴𝐵
𝐴𝐴𝐵
 =
80 × 103
7,07 × 10−4
 → 𝝈𝑨𝑩 = 𝟏𝟏𝟑, 𝟐 × 𝟏𝟎
𝟔 𝑷𝒂 → 𝝈𝑨𝑩 = 𝟏𝟏𝟑, 𝟐 𝑴𝑷𝒂 
Exemplo 3.: (Adaptado de POPOV, 1978) Uma força de 500 KN é 
aplicada ao nó B do sistema de duas barras articuladas representadas na 
figura. Determinar a área necessária para a seção transversal da barra BC 
se as tensões admissíveis valem 100 MPa à tração e 70 MPa à compressão. 
 
P á g i n a | 38 
 
 
 
 
 
Solução.: Esse exemplo ilustra uma treliça engastada entre os pontos A e C. 
Primeiramente temos que fazer uma seção nas barras AB e BC (barra de interesse) 
separando da parte fixa e em seguida calcular o ângulo que as barras AB e BC fazem 
com a horizontal, bem como da força de 500KN com o eixo horizontal. 
 
 
 
 
 
 
Ângulo da força: 𝛼 = tan−1 (
4
3
) = 53,13° 
Ângulo da barra AB: 𝛾 = tan−1 (
3,0
3,0
) = 45° 
Ângulo da barra BC: 𝛽 = tan−1 (
1,5
3,0
) = 26,56° 
Após devemos calcular os esforços nas barras: 
∑𝐹𝑥 = 0: − 𝑁𝐴𝐵 cos 45° + 𝑁𝐵𝐶 cos 26,56° + 500 cos 53,13° = 0 
𝑁𝐴𝐵 = 
𝑁𝐵𝐶 cos 26,56° + 300
cos 45°
 → 𝑁𝐴𝐵 = 
0,89𝑁𝐵𝐶 + 300
cos 45°
 
∑𝐹𝑦 = 0: − 𝑁𝐴𝐵 sen 45° − 𝑁𝐵𝐶 sen 26,56° + 500 sen 53,13° = 0 
−(
0,89𝑁𝐵𝐶 + 300
cos 45°
) sen 45° − 𝑁𝐵𝐶 sen 26,56° + 500 sen53,13° = 0 𝑜𝑏𝑠: sen45°= cos45° 
−0,89𝑁𝐵𝐶 − 300 − 0,45𝑁𝐵𝐶 + 400 = 0 → −0,89𝑁𝐵𝐶 − 0,45𝑁𝐵𝐶 = 300 − 400 
−1,34𝑁𝐵𝐶 = −100 → 𝑁𝐵𝐶 = 
−100
−1,34
 
 𝑁𝐵𝐶 = 74,62 × 10
3 → 𝑁𝐵𝐶 = 74,62𝐾𝑁(𝑡𝑟𝑎çã𝑜) 
P á g i n a | 39 
 
 
 
O problema pede a área da barra BC, assim determinando a força aplicada na 
barra temos: Dados: 𝜎𝑎𝑑𝑚 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜) = 100 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑎𝑑𝑚 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜) = 70 𝑀𝑃𝑎; 𝐴𝐵𝐶 = ? 
Utilizaremos o valor da tensão admissível para tração (𝜎𝑎𝑑𝑚 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜) = 100 𝑀𝑃𝑎) 
já que o valor força encontrado foi positivo, o que indica que está tracionando, como 
mostra no diagrama de corpo livre. 
𝜎𝑎𝑑𝑚 = 
𝑃𝐵𝐶
𝐴𝐵𝐶
 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝐵𝐶 = 
𝑁𝐵𝐶
𝐴𝐵𝐶
 → 100 × 106 =
74,62 × 103
𝐴𝐵𝐶
 
 𝑨𝑩𝑪 = 𝟕𝟒𝟔, 𝟐 × 𝟏𝟎
−𝟔 𝒎² → 𝑨𝑩𝑪 = 𝟕𝟒𝟔, 𝟐 𝒎𝒎² 
Exemplo 4.: Sabe-se que a haste BE tem seção transversal 
retangular uniforme de 12 x 25 mm. Determine a intensidade P das forças 
aplicadas, de forma que a tensão normal em BE seja de +90 MPa. 
 
 
 
Solução.: Dados: 𝐴𝐵𝐸 = 12 × 25 𝑚𝑚 = 0,012 × 0,025 = 3 × 10
−4 𝑚2; 𝜎𝐵𝐸 =
90𝑀𝑃𝑎 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜) P = ? 
Primeiramente vamos calcular as incógnitas devido aos vínculos, as reações 
de apoio: Para calcular o valor da força na haste BE, 𝑁𝐵𝐸, temos que usar a fórmula 
de tensão normal. 
𝜎𝐵𝐸 = 
𝑁𝐵𝐸
𝐴𝐵𝐸
 → 90 × 106 = 
𝑁𝐵𝐸
3 × 10−4
 → 𝑁𝐵𝐸 = 27 × 10
3𝑁 
No ponto C temos uma rótula o que nos permite fazer somatório de momentos 
à direita ou à esquerda da rótula. Neste caso faremos o somatório de momentos à 
direita do ponto C encontrando o valor da força vertical em D em função de P: 
∑𝑀𝐶
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 = 0 → 𝐷𝑦(0,25) − 𝑃(0,1) = 0 → 𝐷𝑦 = 0,4𝑃 
P á g i n a | 40 
 
 
 
Agora basta fazermos momento no ponto A considerando todos os esforços na 
viga e determinando P. 
∑𝑀𝐴 = 0 → 27(0,15) − 𝑃(0,35) − 𝑃(0,45) − 𝑃(0,55) + 0,4𝑃(0,7) = 0 
𝑷 = 𝟑, 𝟕𝟗 × 𝟏𝟎𝟑𝑵 → 𝟑, 𝟕𝟗 𝑲𝑵 
Exemplo 5.: A haste AB será construída em aço, para o qual a 
tensão última normal é de 450 MPa. Determine a área da seção 
transversal para AB admitindo um coeficiente de segurança igual a 3,5. A 
haste está adequadamente reforçada em torno dos pinos A e B. 
 
 
 
Solução.: Dados: 𝜎𝑈 = 450 𝑀𝑃𝑎; 𝐶𝑆= 3,5; 𝐴𝐴𝐵 = ? 
Conhecida a tensão última e o coeficiente de segurança calculamos a tensão 
admissível. Sabemos que 𝐶𝑆 =
𝜎𝑈
𝐶𝑆
 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝜎𝑈
𝐶𝑆
 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 =
450 × 106
3,5
 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 128,57 × 10
6 𝑃𝑎 
Considerando que a haste AB está tracionando o ponto B, fazemos somatório 
de momentos no ponto D encontrando o carregamento da barra AB: 
∑𝑀𝐷 = 0: − 𝑁𝐴𝐵 sen 35° (0,8) + 20(0,4) + 8(1,2)(0,2) = 0 
 𝑁𝐴𝐵 = 21,61 × 10
3 𝑁 
Agora tendo a tensão normal admissível e o carregamento da barra AB 
podemos calcular a área da seção transversal dessa haste: 
Dados: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 128,57 × 10
6 𝑃𝑎, 𝑁𝐴𝐵 = 21,61 × 10
3 𝑁, 𝐴𝐴𝐵 = ? 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐴𝐵
𝐴𝐴𝐵
 → 128,57 × 106 =
21,61 × 103
𝐴𝐴𝐵
 
P á g i n a | 41 
 
 
𝑨𝑨𝑩 = 𝟏𝟔𝟖, 𝟎𝟖 × 𝟏𝟎
−𝟔 𝒎² → 𝑨𝑨𝑩 = 𝟏𝟔𝟖, 𝟎𝟖 𝒎𝒎² 
Exemplo 6.: Duas barras de alumínio AB e AC têm, 
respectivamente, diâmetros iguais a 10 mm e 8 mm. Determinar a maior 
força vertical P que pode ser aplicada ao conjunto como mostrado na 
figura. A tensão normal admissível para o alumínio vale 150 MPa. 
 
(DCL) 
 
Solução.: Fazemos o diagrama de corpo livre e calculamos os esforços nas 
barras, encontrando NAB e NAC em função de P: 
∑𝐹𝑦 = 0: 𝑁𝐴𝐵 sin 45° − 𝑃 = 0 → 𝑁𝐴𝐵 = 1,41𝑃 
∑𝐹𝑥 = 0: − 𝑁𝐴𝐶 + 𝑁𝐴𝐵 cos 45° = 0 → −𝑁𝐴𝐶 + (1,41𝑃) cos 45° = 0 → 𝑁𝐴𝐶 = 𝑃 
Agora vamos calcular a área de cada barra: 
Dados: 𝑑𝐴𝐵 = 10 𝑚𝑚; 𝑑𝐴𝐶 = 8 𝑚𝑚; 𝐴𝐴𝐵 =? ; 𝐴𝐴𝐶 =? 
𝐴𝐴𝐵 =
𝜋𝑑2
4
=
𝜋(0,01)2
4
→ 𝐴𝐴𝐵 = 7,85 × 10
−5 𝑚2 
𝐴𝐴𝐶 =
𝜋𝑑2
4
=
𝜋(0,008)2
4
→ 𝐴𝐴𝐶 = 5,02 × 10
−5 𝑚2 
Em seguida vamos determinar a maior força vertical P, sendo 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 150 𝑀𝑃𝑎 
e 
𝐴𝐴𝐶 = 5,02 × 10
−5 𝑚2; 𝐴𝐴𝐵 = 7,85 × 10
−5 𝑚2; 𝑁𝐴𝐵 = 1,41𝑃; 𝑁𝐴𝐶 = 𝑃 
Barra AC: 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐴𝐶
𝐴𝐴𝐶
 → 150 × 106 =
𝑃
5,02 × 10−5
 → 𝑷 = 𝟕, 𝟓𝟑 𝑲𝑵 
Barra AB: 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐴𝐵
𝐴𝐴𝐵
 → 150 × 106 =
1,41𝑃
7,85 × 10−5
 → 𝑃 = 8,35 𝐾𝑁 
P á g i n a | 42 
 
 
A carga máxima a ser aplicada pela força P é aquela que pode ser 
suportada pelas duas barras, logo, 𝑷𝒎á𝒙 = 𝟕, 𝟓𝟑 × 𝟏𝟎
𝟑𝑵 = 𝟕, 𝟓𝟑 𝑲𝑵, pois 
se aplicarmos uma carga de 8,35KN a barra AC ela não suportará. 
Exemplo 7.: (HIBBELER, 2010) Dois cabos de aço AB e AC são 
usados para suportar a força P indicada na figura. Se ambos cabos têm 
tensão admissível à tração igual a 200 MPa, determinar o diâmetro mínimo 
necessário para cada um desses cabos quando P = 5 kN. 
 
(DCL) 
 
Solução.: Primeiramente vamos calcular o ângulo e, em seguida os esforços 
nas barras: 
𝛼 = tan−1 (
3
4
) = 36,86° 
∑𝐹𝑥 = 0: − 𝑁𝐴𝐵 cos 30° + 𝑁𝐴𝐶 cos 36,86° = 0 → 𝑁𝐴𝐵 =
𝑁𝐴𝐶 cos 36,86°
cos 30°
 
𝑁𝐴𝐵 = 𝑂, 92𝑁𝐴𝐶 
∑𝐹𝑥 = 0: 𝑁𝐴𝐵 sen 30° + 𝑁𝐴𝐶 sen 36,86° − 5 = 0 
(𝑂, 92𝑁𝐴𝐶) sen 30° + 𝑁𝐴𝐶 sen 36,86° = 5 → 1,05𝑁𝐴𝐶 = 5 → 𝑁𝐴𝐶 = 4,76 𝐾𝑁 
𝑁𝐴𝐵 = 𝑂, 92𝑁𝐴𝐶 → 𝑁𝐴𝐵 = 0,92(4,76) = 4,38 𝐾𝑁 
Dados: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = +200 𝑀𝑃𝑎; 𝑁𝐴𝐵 = 4,38 𝐾𝑁; 𝑁𝐴𝐶 = 4,76 𝐾𝑁; 𝑑𝐴𝐵 =? 
𝑑𝐴𝐶 =? 
Barra AB: 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐴𝐵
𝐴𝐴𝐵
 → 200 × 106 =
4,38 × 103
𝐴𝐴𝐵
 → 𝐴𝐴𝐵 = 21,9 𝑚𝑚² 
𝐴𝐴𝐵 =
𝜋𝑑𝐴𝐵
2
4
 → 21,9 =
𝜋𝑑𝐴𝐵
2
4
 → 𝑑𝐴𝐵 = √
21,9 × 4
𝜋
 
P á g i n a | 43 
 
 
𝒅𝑨𝑩 = 𝟓, 𝟐𝟔 × 𝟏𝟎
−𝟔 𝒎 = 𝟓, 𝟐𝟔 𝒎𝒎² 
Barra AC: 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐴𝐶
𝐴𝐴𝐶
 → 200 × 106 =
4,76 × 103
𝐴𝐴𝐶
 → 𝐴𝐴𝐶 = 23,8 𝑚𝑚² 
𝐴𝐴𝐶 =
𝜋𝑑𝐴𝐶
2
4
 → 23,8 =
𝜋𝑑𝐴𝐶
2
4
 → 𝑑𝐴𝐶 = √
23,8 × 4
𝜋
 
𝒅𝑨𝑪 = 𝟓, 𝟓 × 𝟏𝟎
−𝟔 𝒎 = 𝟓, 𝟓 𝒎𝒎² 
Exemplo 8.: Cada barra da treliça mostrada na figura tem área 
transversal igual a 1,25 in². Se a tensão normal admissível para as barras 
vale 20 ksi, quer à tração quer à compressão, determinar a máxima carga 
P que pode ser aplicada a esta treliça como indicado. 
 
(DCL) 
 
Solução.: Primeiramente vamos converter a unidades de medida de pés (ft) 
para polegadas (in): 
3 𝑓𝑡 (𝑝𝑒ç𝑎) × 12 = 36 𝑖𝑛 (𝑝𝑜𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎); 4 𝑓𝑡 × 12 = 48 𝑖𝑛 
Podemos fazer uma seção passando pelas barras AD, BD e BC e calculamos 
o ângulo da barra BD com a horizontal. 
𝛼 = tan−1 (
48
36
) = 53,13° 
Agora podemos calcular as forças nas barras: 
∑𝐹𝑥 = 0: − 𝑁𝐵𝐷 cos 53,13° + 𝑃 = 0 → 𝑁𝐵𝐷 =
1𝑃
cos 53,13°
 → 𝑁𝐵𝐷 = 1,66𝑃 
∑𝑀𝐷 = 0: − 𝑁𝐵𝐶(36) − 𝑃(48) = 0 → 𝑁𝐵𝐶 =
−48𝑃
36
 → 𝑁𝐵𝐶 = −1,33𝑃 
 
P á g i n a | 44 
 
 
Note que as barras AB e BD estão na mesma linha de ação do ponto D, logo 
são desprezadas. 
∑𝐹𝑦 = 0: − 𝑁𝐴𝐷 − 𝑁𝐵𝐶 − 𝑁𝐵𝐷 sen 53,13° = 0 
−𝑁𝐴𝐷 − (−1,33𝑃) − (1,66𝑃) sen 53,13° = 0 → 𝑁𝐴𝐷 = 0 (desprezível) 
 
Podemos então determinar a máxima carga P que pode ser aplicada a esta 
treliça: 
Dados: 𝐴 = 1,25 𝑖𝑛²; 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 20 𝑘𝑠𝑖 = 20.000
𝑙𝑏
𝑖𝑛²
⁄ ; 𝑃𝑚á𝑥 = ? 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐵𝐷
𝐴
 → 20.000 =
1,66𝑃
1,25
 → 𝑷 = 𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟔 𝒍𝒃 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐵𝐶
𝐴
 → 20.000 =
1,33𝑃
1,25
 → 𝑃 = 18.797 𝑙𝑏 
𝑷 = 𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟔 𝒍𝒃 que é a carga máxima que todas as barras da treliça podem 
suportar com segurança. 
Exemplo 9.: (Adaptado de POPOV, 1978) Dimensionar as barras 
FC e CB da treliça representada na figura de modo a resistir à ação de uma 
força indicada P de 650 kN. Admitir para a tensão admissível um valor de 
140 MPa. 
 
 
(DCL) 
 
Solução.: Para determinar as forças nos membros a serem projetados, 
primeiramente vamos calcular as reações de apoio. O ângulo da força P com a 
horizontal é: 
P á g i n a | 45 
 
 
𝛼 = tan−1 ( 
3
4
) = 36,86° 
∑𝐹𝑥 = 0: 𝐷𝑥 − 650 cos 36,86° = 0 → 𝐷𝑥 = 520 𝐾𝑁 
∑𝑀𝐷 = 0: 𝐸𝑦(3) + 650 cos 36,86° (1,5) − 650 sen 36,86° (2,5) = 0 → 𝐸𝑦 = 65 𝐾𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0: 𝐷𝑦 + 𝐸𝑦 − 650 sen 36,86° = 0 → 𝐷𝑦 + 65 − 650 sen 36,86° = 0 
𝐷𝑦 = 325 𝐾𝑁 
 
O próximo passo é analisar as barras de interesse e utilizar o método das 
seções, pois pelo método nos nós seria bem mais trabalhoso. 
Devemos atentar que uma seção passando pelas duas barras a serem 
dimensionadas, FC e CB, não resolveria o problema. 
Seção 1: passando pelas barras FC, AC e AB e analisando a esquerda essa 
seção temos: 
 
 
 
Como a barra de interesse é a barra FC, basta fazermos somatório de 
momentos no ponto A e encontrar o carregamento em FC: 
∑𝑀𝐵 = 0: − 𝑁𝐹𝐶(0,75) + 𝐷𝑥(0,75) − 𝐷𝑦(1) = 0 
−𝑁𝐹𝐶(0,75) + 520(0,75) − 325(1) = 0 → 𝑁𝐹𝐶 = 86,66 𝐾𝑁 
 
Assim, dados: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 140 𝑀𝑃𝑎; 𝑁𝐹𝐶 = 86,66 𝐾𝑁; 𝐴𝐹𝐶 = ? 
 
P á g i n a | 46 
 
 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐹𝐶
𝐴𝐹𝐶
 → 140 × 106 =
86,66 × 103
𝐴𝐴𝐵
 → 𝑨𝑨𝑩 = 𝟔𝟏𝟗 × 𝟏𝟎
−𝟔𝒎 
 𝑨𝑨𝑩 = 𝟔𝟏𝟗 𝒎𝒎² 
 
Da mesma forma a seção 2 vai passar nas barras CG, CB e AB e fazemos a 
análise à direita da seção: 
 
 
 
Como a barra de interesse é a barra BC, basta fazermos somatório de forças 
verticais e encontrar o carregamento em CB: 
𝛽𝐶𝐵 = tan
−1 (
0,75
0,5
) = 56,31° 
∑𝐹𝑦 = 0: 𝑁𝐶𝐵 sen 56,31° + 𝐸𝑦 − 650 sen 36,86° = 0 
𝑁𝐶𝐵 sen 56,31° + 65 − 650 sen 36,86° = 0 → 𝑁𝐶𝐵 = 390,49 𝐾𝑁 
 
Dados: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 140 𝑀𝑃𝑎; 𝑁𝐹𝐶 = 390,49 𝐾𝑁; 𝐴𝐶𝐵 = ? 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐶𝐵
𝐴𝐶𝐵
 → 140 × 106 =
390,49 × 103
𝐴𝐶𝐵
 → 𝑨𝑪𝑩 = 𝟐𝟕𝟖𝟗 × 𝟏𝟎
−𝟔𝒎𝟐 
𝑨𝑨𝑩 = 𝟐𝟕𝟖𝟗 𝒎𝒎² 
 
Exemplo 10.: (BEER, 2006) Para a treliça e o carregamento 
mostrados na figura, determinar a tensão normal na barra AD indicando se 
é de tração ou de compressão. Sabe-se que a área da seção transversal 
desta barra é igual a 1200 mm². 
 
P á g i n a | 47 
 
 
 
 
 
Solução.: No ponto F temos um vínculo de segundo gênero e no ponto G um 
de primeiro gênero. Então vamos calcular as reações de apoio: 
∑𝐹𝑥 = 0: 𝐹𝑥 + 75 = 0 → 𝐹𝑥 = −75 𝐾𝑁 
∑𝑀𝐹 = 0:𝐺𝑦(10) − 75(8) − 200(2,5) = 0 → 𝐺𝑦 = 110 𝐾𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0: 𝐹𝑦 + 110 − 200 = 0 → 𝐹𝑦 = 90 𝐾𝑁 
 
Fazemos passar uma seção cortando as barras BA, DA e DE. 
 
 
 
P á g i n a | 48 
 
 
Analisando a estrutura à direita da seção, para encontrar o valor do 
carregamento da barra DA, uma das opções é fazer primeiramente o somatório de 
momentos no ponto A com o objetivo de encontrar a força na barra DE, para depois 
fazer o somatório de momentos no ponto B encontrar a força na barra DA. 
 
Como a força na barra DA é positiva e está tracionando como indicado na 
seção, a tensão nessa barra será de tração. 
Outra opção para encontrar o valor do carregamento da barra DA, seria fazer 
primeiramente o somatório de momentos no ponto D com o objetivo de encontrar a 
força na barra BA, para depois fazer o somatório de forças verticais para encontrar o 
esforço na barra DA. Dados: 𝜎𝑎𝑑𝑚𝐴𝐷 =? 𝐴𝐴𝐷 = 1200 𝑚𝑚²; 𝑁𝐷𝐴 = 190,15 𝐾𝑁 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐴𝐷
𝐴𝐴𝐷
=
190,15 × 103
1200 × 10−6
 → 𝝈𝒂𝒅𝒎 = 𝟏𝟓𝟖, 𝟑𝟑 𝑴𝑷𝒂 
 
 
Resumo 
 
 
 
Nesta aula, abordamos: 
 
 Exemplos aplicados na análise de estruturas de sustentação; 
 Aplicações em estruturas do tipo vigas e treliças com cálculo das forças 
internas pelo método das seções e uso das equações de equilíbrio; 
 Exemplos com aplicações dos conceitos de tensões admissíveis e 
tensões últimas; 
 Exemplos com aplicações do conceito de coeficiente de segurança e 
critérios para sua escolha; 
 Exemplos com aplicações dos conceitos de tensões de tração e de 
compressão. 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
Para enriquecer seu conhecimento é importante que você: 
 
Revise os tópicos abordados nesta aula em bibliografia 
presente na Biblioteca Digital e material complementar; 
Resolva exemplos resolvidos 1.12 a 1.15 do HIBBELER (2010) 
– Biblioteca Digital e outros que julgar necessários da bibliografia 
básica; 
Refazer os exercícios da lista de exercícios 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
Básica: 
BEER, F. P. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: McGraw Hill, 2006. 
 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010. 
 
POPOV, E.P. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Ed. Edgard 
Blucher, 1978. 
 
Complementar: 
ASSAN, A. E. Resistência dos Materiais. São Paulo, UNICAMP, 2010. 
 
BOTELHO, M. H. Resistência dos Materiais para entender e gostar. São 
Paulo: Studio Nobel, 1998. 
 
DI BLASI, C.G. Resistência dos Materiais. Ed. Freitas Bastos. 1990. 
 
GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. Tradução da 7. Edição Norte-
Americana, 2011. 
 
LACERDA, F. S. Resistência dos Materiais. Ed. Globo, Rio de Janeiro. 1964. 
 
MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. Ed. Érica, 
2002. 
 
NASH, W. A. Resistência dos Materiais. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil. 2. 
ed. 2003. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 2 
Exercícios 
 
 
 
1 – (Adaptado de POPOV, 1978) Determinar a tensão no mastro do guincho 
representado na figura. Todos os elementos estruturais situam-se no mesmo plano 
vertical e estão ligados por articulações. O mastro é constituído por um tubo de aço 
com área da seção transversal de 6000 mm2. Desprezar o peso próprio dos elementos 
estruturais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta.: 2,5 MPa. 
2 – (HIBBELER, 2010) O arganéu da âncora suporta uma força de cabo de 3 
KN. Se o pino tiver diâmetro de 6 mm, qual será a tensão média de cisalhamento no 
pino? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 53 
 
 
Resposta: 53,05 MPa. 
 
3 – (HIBBELER, 2010) Cada uma das barras da treliça tem área de seção 
transversal de 780 mm². Se a tensão normal média máxima em qualquer barra não 
pode ultrapassar 140 MPa, determine o valor máximo P das cargas que podem ser 
aplicadas a treliça. 
 
 
 
Resposta: 29,78 KN. 
 
4 – (HIBBELER, 2010) Os dois elementos de aço estão interligados por uma 
solda de topo de angulada de 60°. Determine a tensão de cisalhamento médio e a 
tensão normal média suportada no plano da solda. 
 
 
 
Resposta: 4,62 MPa e 8 MPa. 
 
5 – (HIBBELER, 2010) Se a tensão de apoio admissível para o material sob os 
apoios em A e B for de 2,8 MPa, determine o tamanho das chapas de apoio quadradas 
A’ e B’ exigidos para suportar a carga. A dimensão da chapa deve ter aproximação de 
múltiplos de 10 mm. As reações nos apoios são verticais. Considere P = 7,5 KN. 
P á g i n a | 54 
 
 
 
 
 
Resposta: 90 mm e 110 mm 
 
6 – (Adaptado de POPOV, 1978) Uma torre utilizada em uma linha de alta 
tensão é representada na figura. Sabendo-se que a mesma está submetida a uma 
força horizontal de 540 kN e que as tensões admissíveis valem 100 MPa à 
compressão e 140 MPa à tração, respectivamente, qual a área necessária para a 
seção transversal das barras AB e AD? Todas as barras são articuladas. 
 
 
 
Resposta: 3660 mm² e 5284 mm² 
 
 
Capítulo 2: tensão e 
deformação – carregamento axial 
Aula 3 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
O capítulo 2, apresentado nas aulas 3 e 4, está voltado para a introdução do 
conceito de deformação específica, referente à relação tensão deformação, em vários 
tipos de materiais, e para a determinação de deformações de componentes estruturais 
sob carregamento axial. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Aplicar o conceito de deformação em uma viga, barra ou placa, 
submetida a carregamento axial; 
 Relacionar tensão e deformação; 
 Conhecer os métodos experimentais de ensaios de tração e 
compressão em corpo de provas; 
 Diferenciar materiais frágeis de materiais dúcteis por meio dos ensaios 
de tração em corpos de prova, conhecendo algumas propriedades 
mecânicas dos materiais; 
 Interpretar um diagrama tensão-deformação; 
 Aplicar a Lei de Hooke; 
 Calcular deformações em estruturas de sustentação carregadas 
axialmente; 
 Determinar o coeficiente de Poisson, que relaciona deformação 
específica axial e transversal; 
 Aplicar o conceito de tensões térmicas. 
 
 
P á g i n a | 56 
 
 
2 TENSÃO E DEFORMAÇÃO – CARREGAMENTO AXIAL 
2.1 Introdução 
Toda a vez que um corpo tende a mudar de forma e de tamanho pela aplicação 
de uma força ou carregamento, dizemos que o corpo sofre uma deformação. 
É importante que as deformações sejam controladas para evitarmos que as 
deformações excedam os valores admissíveis e que a estrutura venha a falhar no fim 
ao qual estava destinada. Por meio da análise de deformações podemos também 
determinar as tensões. 
2.2 Deformação específica normal sob carregamento axial 
Considere a barra BC de comprimento L e seção transversal uniforme de área 
A. Quando a barra é submetida a uma carga axial P, ocorre uma deformação  (delta), 
ou seja, a barra se alonga (Figura 2.1). Assi, teremos uma diagrama carga-
deformação (Figura 2.2). A deformação específica normal  da barra á a deformação 
 por unidade de comprimento L: 
A
P
 e 
L

  (2.1) 
Figura 2.1 Figura 2.2 
 
Fonte: BEER (2010) 
Quando a barra for de seção variável, a tensão normal  varia ao longo da barra 
e é necessário definirmos a deformação específica normal , em um dado ponto Q, 
considerando-se um pequeno elemento da barra em torno do ponto Q, e expressando-
P á g i n a | 57 
 
 
se o comprimento do elemento por x (Figura 2.3) e por  sua deformação devido 
ao carregamento, da seguinte forma: 
 lim
dx
d
x

 


 (2.2) 
Figura 2.3 
 
Fonte: BEER (2010) 
2.3 Diagrama tensão-deformação 
Muitas propriedades de um material podem ser determinadas a partir de um 
ensaio de tração ou compressão, a partir de uma amostra do material (corpo deprova), como ilustrado na Figura 2.4. O resultado desse ensaio pode ser representado 
num diagrama tensão-deformação. 
O diagrama tensão-deformação é executado num corpo-de-prova padronizado, 
tendo como dimensões originais, a seção transversal A0 e o comprimento L0. A 
máquina de teste (Figura 2.5) é utilizada para aplicar a carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 58 
 
 
Figura 2.4 Figura 2.5 
 
Fonte: <http://www.gdace.uem.br/>. 
Existem vários tipos de extensômetros para diferentes aplicações de teste, assim 
como diferentes sistemas de fixação. Os mais comuns são os extensômetros 
mecânicos, que permitem a medição pelo simples afastamento entre suas pontas 
ou facas. Em algumas aplicações são usados extensômetros eletrônicos, que 
funcionam por variação da tensão elétrica, provocada pela deformação do corpo 
de prova. Mais recentemente surgiram os extensômetros a laser, cuja principal 
vantagem é a não existência de contato físico com o corpo de prova, eliminando 
algumas possíveis fontes de erro em relação aos extensômetros convencionais. 
 
A tensão considerada no diagrama é a força aplicada P na seção transversal 
original A0. Da mesma forma, a deformação é obtida diretamente da leitura do 
extensômetro, ou pela divisão da variação de comprimento ΔL pelo comprimento 
original L0: 
0A
P
 e 
0L
L
 
Este tipo de extensômetro (Figura 2.6) é denominado de 
extensômetro axial, capaz de medir a deformação ao longo do eixo longitudinal do 
corpo de prova. 
P á g i n a | 59 
 
 
Figura 2.6: Ensaio de compressão e ensaio de tração com uso de extensômetro. 
 
Fonte: <http://www.gdace.uem.br/>. 
O diagrama tensão-deformação é o gráfico dos correspondentes valores de σ 
e ε, onde o eixo das ordenadas representa as tensões σ e o eixo das abscissas 
representa as deformações ε. É importante ressaltar que dois diagramas de dois 
corpos de prova de um mesmo material não são exatamente idênticos, pois os 
resultados dependem de várias variáveis como, composição do material, imperfeições 
microscópicas, fabricação, velocidade de aplicação da carga e temperatura do ensaio. 
A Figura 2.7 apresenta um diagrama tensão-deformação de um aço 
usualmente utilizado na engenharia, no qual se pode distinguir diferentes regiões, 
onde: 
U = tensão última do material 
R = tensão de ruptura 
Y = tensão de escoamento 
P = limite de proporcionalidade 
 
Assista agora ao vídeo que mostra um ensaio de tração em 
corpo de prova de alumínio. 
<https://www.youtube.com/watch?v=4bokS5qZN1w>. 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=4bokS5qZN1w
P á g i n a | 60 
 
 
Figura 2.7: Diagrama tensão-deformação em um ensaio de tração de material dúctil. 
 
 
Um corpo-de-prova feito de material frágil (ferro fundido, vidro, pedra) rompe-
se sem qualquer aviso prévio de variação da taxa de alongamento (Figura 2.8), 
enquanto que um corpo-de-prova feito de material dúctil (aço estrutural) escoa depois 
de uma tensão crítica de escoamento (e ou Y ) ser alcançada (Figura 2.9), ou seja, 
sofre uma grande deformação antes da ruptura. 
Assim para materiais frágeis não existe diferença entre tensão última e tensão 
de ruptura. Além disso, a deformação até a ruptura nos materiais frágeis é muito 
menor que nos materiais dúcteis (BEER, 2006). 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 61 
 
 
Figura 2.8: Diagrama tensão-deformação para materiais frágeis. 
 
 
Onde: 
U = tensão última do material 
R = tensão de ruptura 
Figura 2.9: Diagrama tensão-deformação para materiais dúcteis. 
 
(a) (b) 
FESTA, Giovanni. Resistência dos Materiais Relação entre Tensões e Deformações (2014) 
Uma medida usual da dutibilidade de um material é seu alongamento 
percentual definido como: 
 𝐴𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 100 
𝐿𝑅 − 𝐿0
𝐿0
 (2.3) 
onde: 
L0: comprimento inicial do corpo de prova 
LR: comprimento final do corpo de prova no instante da ruptura 
P á g i n a | 62 
 
 
 
Da mesma forma, outra medida da dutibilidade é a redução percentual da área, 
dada por: 
 𝑅𝑒𝑑𝑢çã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑎 á𝑟𝑒𝑎 = 100 
𝐴0 − 𝐴𝑅
𝐴0
 (2.4) 
 
onde: 
A0: área da seção transversal do corpo de prova 
AR: área mínima de ruptura do corpo de prova. 
Para o aço estrutural, uma redução de área de 60 a 70% é comum (BEER, 
2006). 
2.4 Comportamento elástico e plástico dos materiais 
Consideremos o Diagrama tensão-deformação convencional e real para um 
material dúctil (aço), apresentado sem escala (Figura 2.10). 
Figura 2.10 
 
Fonte: HIBBELER (2010) 
 Comportamento elástico: Quando o corpo-de-prova retorna à sua forma 
original quando a carga aplicada é removida. O material é considerado linearmente 
P á g i n a | 63 
 
 
elástico até o limite superior da tensão, chamado de limite de proporcionalidade, σP 
(Figura 2.10). 
 Escoamento: Um leve aumento na tensão, acima do limite elástico, 
resultará numa acomodação do material causando uma deformação permanente. A 
tensão que causa o escoamento é chamada de tensão de escoamento, σY ou σe. 
Neste caso, mesmo se a carga for removida, o corpo-de-prova continuará deformado. 
O corpo-de-prova poderá continuar a se alongar mesmo sem qualquer aumento de 
carga. Nesta região, o material é denominado perfeitamente plástico. 
 Deformação específica por endurecimento ou Deformação plástica 
ou permanente: Se ao término do escoamento, uma carga adicional for aplicada ao 
corpo-de-prova, a tensão continuará a aumentar com a deformação específica 
continuamente até atingir um valor de tensão máxima (ou limite de resistência), 
referida por tensão última, σU. Durante a execução do ensaio nesta região, enquanto 
o corpo-de-prova é alongado, sua área da seção transversal diminui ao longo de seu 
comprimento nominal, até o ponto que a deformação corresponda a tensão última. 
 Estricção: Ao atingir a tensão última, a área da seção transversal começa a 
diminuir em uma região localizada do corpo-de-prova, e não mais ao longo do seu 
comprimento nominal. Este fenômeno é causado pelo deslizamento de planos no 
interior do material e as deformações reais produzidas pela tensão cisalhante. Uma 
vez que a área da seção transversal diminui constantemente, esta área só pode 
sustentar uma carga menor. Assim, o diagrama tensão-deformação tende a curvar-se 
para baixo até a ruptura do corpo-de-prova com uma tensão de ruptura, σR (Figura 
2.11). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 64 
 
 
Figura 2.11 
 
FESTA, Giovanni. Resistência dos Materiais Relação entre Tensões e Deformações (2014) 
Segundo Beer (2006), se o material atingir o escoamento e se deformar, 
quando a carga é retirada as tensões e deformações decrescem de maneira linear, ao 
longo de uma linha reta CD paralela à reta AB da curva de carregamento (Figura 2.12). 
A deformação  não volta a zero, e isso indica que o material sofreu deformação 
permanente ou plástica. Para a maioria dos materiais, a deformação plástica atingida 
não depende apenas da máxima tensão a que o material ficou submetido (deformação 
lenta), mas depende do tempo de retirada do carregamento e da temperatura 
(fluência). 
Figura 2.12 
 
Fonte: Adaptado de BEER (2006) 
P á g i n a | 65 
 
 
A área sob a curva tensão-deformação representa a energia de deformação 
absorvida pelo material. Quando a tensão atinge o limite de proporcionalidade, σP, a 
energia de deformação é denominada módulo de resiliência. Quando a tensão atingir 
a tensão de ruptura, σR, a energia de deformação é denominada de tenacidade e 
representa a área inteira sob o diagrama tensão-deformação (Figura 2.13). Em termos 
físicos, a resiliência de um material representa a sua capacidade de absorver energia 
sem sofrer qualquer dano permanente. A tenacidade indica a densidade de energia 
de deformação do material um pouco antesda sua ruptura. 
 Os materiais com alta tenacidade sofrerão alta distorção devido as cargas 
acidentais, mas são os mais utilizados em projetos estruturais, pois materiais com 
baixa tenacidade podem romper subitamente sem dar sinais de um rompimento 
iminente. 
Figura 2.13: Módulo de resiliência e módulo de tenacidade. 
 
Fonte: BEER (2006) 
A Fadiga deve ser considerada no projeto de estruturas ou componentes de 
máquinas que possam estar sujeitos a carregamentos repetidos ou alternados. 
A fadiga causa falha em componentes estruturais ou de máquinas, após um 
grande número de carregamentos repetidos (da ordem de milhares ou milhões de 
vezes), apesar da tensão permanecer na faixa elástica. A ruptura por fadiga é sempre 
uma ruptura frágil, mesmo para materiais dúcteis. 
O número de ciclos de carregamentos repetidos ou alternados pode ser 
determinado de forma experimental para qualquer nível de tensão máxima, obtendo-
se uma curva -n, onde  é a tensão máxima e n é um determinado número de ciclos. 
A Figura 2.14 mostra uma curva típica -n para o aço e podemos notar que a medida 
P á g i n a | 66 
 
 
que a intensidade das tensões vai baixando, o número de ciclos de carregamento 
necessário para causar a ruptura aumenta, até atingir um valor das tensões conhecido 
como limite de duração, para o qual a ruptura não ocorre, mesmo para um número 
muito grande de ciclos. 
Figura 2.14: Diagrama Tensão x Número de ciclos – Fadiga. 
 
 
2.5 Lei de Hooke, módulo de elasticidade 
Como vimos nos itens anteriores, as estruturas correntes na engenharia são 
projetadas de modo a sofrerem apenas pequenas deformações, que não ultrapassem 
os valores do diagrama tensão deformação correspondentes ao trecho reto do 
diagrama (região elástica). Por consequência, um aumento na tensão provoca um 
aumento proporcional na deformação. Essa relação é conhecida como Lei de Hooke: 
“Para pequenas deformações a tensão é diretamente proporcional a deformação”. E 
pode ser expressa matematicamente como: 
 𝜎 = 𝐸. 𝜀 (2.5) 
 
Nesta equação, E é o módulo de elasticidade longitudinal do material ou módulo 
de Young. O módulo de elasticidade E é expresso em Pascal ou Psi. 
Ao maior valor da tensão  para o qual a Lei de Hooke é válida se denomina 
limite de proporcionalidade do material. A equação 2.5 representa a porção inicial em 
P á g i n a | 67 
 
 
linha reta do diagrama tensão-deformação até o limite de proporcionalidade. O módulo 
de elasticidade E representa a inclinação dessa reta (HIBBELER, 2010). 
Quando o material é dúctil e possui seu início de escoamento em um ponto bem 
definido do diagrama (Figura 2.9-a), o limite de proporcionalidade coincide com o 
ponto de escoamento. 
A Figura 2.15 apresenta o diagrama para ferro puro e aços com diferentes 
teores de carbono. O limite de proporcionalidade para um tipo particular de aço 
depende da composição da sua liga. 
O módulo de elasticidade E, é uma propriedade mecânica que indica a rigidez 
de um material. Valores comuns de E para outros materiais de engenharia são 
encontrados em normas de engenharia e materiais de referência. 
Figura 2.15: Diagrama para ferro puro e aços com diferentes teores de carbono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: BEER (2006) 
2.6 Deformação de barras sujeitas a cargas axiais 
Consideremos a barra da Figura 2.1. Se a tensão atuante 
A
P
 não exceder 
o limite de proporcionalidade do material, podemos aplicar a Lei de Hooke e escrever 
 .E , logo: 
EA
P
E .


 (2.6) 
Sendo 
L

 ou L. (2.7) 
 
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E substituindo 2.6 em 2.7, chegamos na equação para cálculo da deformação 
: 
 
AE
LP
.
.
 (2.8) 
 
A equação 2.8 é válida apenas para barras homogêneas, ou seja, de mesmo 
material (E constante), com área da seção transversal uniforme e constante A, e a 
carga for aplicada a extremidade da barra. 
Se a barra é carregada em vários pontos ou consiste em várias seções 
transversais diferentes e/ou vários materiais, temos: 
 
n
i ii
ii
AE
LP
.
.
 (2.9) 
 
Podemos obter a deformação total da barra, , por integração estendida ao 
comprimento L: 
 
L
AE
Pdx
0
.
 (2.10) 
A equação 2.10 deve ser usada no lugar da equação 2.8, quando a área da 
seção transversal varia como função x e também quando a força interna P depende 
de x, como o caso de barras sujeitas ao próprio peso. 
2.7 Problemas estaticamente indeterminados 
Problemas em que as forças internas não podem ser calculadas apenas com 
os recursos da estática, usando os diagramas de corpo livre e as equações de 
equilíbrio, são ditos estaticamente indeterminados. Para calcular as forças externas 
(reações) precisamos, além das equações de equilíbrio, complementar com equações 
da deformação, que podem envolver condições geométricas do problema. 
O exemplo 9 da aula 4 ilustra um caso de eixos estaticamente indeterminados. 
 
 
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2.8 Coeficiente de Poisson 
Considere a Figura 2.16. Quando uma força P é aplicada a barra em balanço, 
homogênea, esta causa uma deformação específica ao longo do eixo longitudinal da 
viga e em todas as direções transversais, ou seja, ela se alonga e se contrai 
lateralmente. Da mesma forma, uma força de compressão que age que age sobre um 
corpo provoca contração na direção da força e, no entanto, seus lados se expandem 
lateralmente. Essa deformação específica é a deformação específica transversal, e a 
relação entre ela e a deformação longitudinal é chamada de coeficiente de Poisson  
(nu). Seu valor é adimensional e único para um determinado material homogêneo e 
isotrópico, isto é, materiais com as mesmas propriedades em todas as direções. O 
valor do coeficiente de Poisson, varia entre 0,25 e 0,35. Em casos extremos ocorrem 
valores baixos como 0,1 (alguns concretos) e elevados como 0,5 (borracha). 
Figura 2.16 
 
 
Em termos matemáticos, temos: 
𝜈 = |
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙
𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑠𝑎𝑙
| (2.11) 
 
Sendo a deformação específica na barra 
E
x
x

  , ;0 zy  0 zy  a 
condição de deformação específica na direção x é: 
E
x
x

  e 
E
x
zy

  (2.12) 
 
 
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2.9 Tensões térmicas 
Além das tensões, mudanças na temperatura também podem provocar 
deformação dos materiais, ou seja, alterações em suas dimensões. Em geral, se a 
temperatura aumenta o material expande e se a temperatura diminui o material 
contrai. 
Para materiais isotrópicos e homogêneos, uma mudança na temperatura de T 
graus causa uma deformação linear uniforme em cada direção. Estudos experimentais 
demonstram que a deformação de um elemento de comprimento L pode ser calculado 
pela equação 2.13: 
 
 TLT  (2.13) 
 
onde: 
 = coeficiente linear de dilatação térmica. Os valores típicos são tabelados. 
T = variação na temperatura do elemento; 
L = comprimento inicial do elemento; 
T = variação no comprimento do elemento devido a temperatura. 
 
A mudança no comprimento de um elemento estaticamente determinado pode 
ser calculada diretamente pela equação 2.13, visto que o elemento está livre para se 
expandir ou contrair, quando sofrer mudança na temperatura. Mas quando o elemento 
é estaticamente indeterminado, esses deslocamentos térmicos podem ser restringidos 
pelos apoios, o que produz tensões térmicas que devem ser consideradas no projeto 
(Figura 2.17). 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 71 
 
 
Figura 2.17 
 
 
Chegamos ao final da teoria do capítulo 2!