Semana1_Lista1

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LISTA 1 - Revisão
Cálculo 1A - 2022.1
Conceito de função
Domínio e imagem
Funções elementares
Caro aluno, aqui estão alguns exercícios de revisão para que você possa se avaliar com relação
ao que esperamos ser de seu conhecimento. Para ajudá-lo, colocamos as referências antes de
cada bloco de questões para que, caso haja dúvidas, você possa consultar o “Texto de Revisão
de Funções” que preparamos. Nosso texto foi pensado como material de apoio que poderá ser
utilizado ao longo do semestre para esclarecer assuntos do Ensino Médio que são importantes
na nossa disciplina. O texto que usaremos na segunda semana repetirá um pouco o assunto
funções, acrescentando alguns elementos novos importantes na disciplina. Bom estudo!!
Expressões do Primeiro Grau (Ref: Seção 1 do “Texto de Revisão de Funções”)
Exercício 1
Considere as equações a seguir:
y = −3x− 2 e y = 2(x+ 1)− 3
1. Esboce os gráficos das retas acima identificando as interseções com os eixos coordenados.
2. Estude o sinal das expressões dadas.
Exercício 2
Determine a equação da reta que contém o ponto (1,−1) e cujo coeficiente angular é igual a −4. Esboce esta
reta, identificando as interseções com os eixos coordenados.
Exercício 3
Esboce o gráfico da expressão y = −x + 2, identifique na figura o ângulo θ, tal que tan θ = −1 (inclinação da
reta). Qual o valor de θ em radianos?
Exercício 4
Determine a equação da reta esboçada abaixo e suas interseções com os eixos coordenados.
(Dica: Há dois pontos marcados que temos certeza de suas coordenadas, use-os)
Expressões do Segundo Grau (Ref: Seção 2 do “Texto de Revisão de Funções”)
Exercício 5
Em cada item abaixo, encontre as raízes reais (se possível), estude o sinal e esboce o gráfico, indicando e
marcando as coordenadas do vértice.
1. y = 4x2 + 3x− 1
2. y = −2x2 + x+ 3
3. y = x2 − 2
√
2x+ 2
4. y = −4x2 − 4x− 1
5. y = x2 + x+ 1
6. y = −2x2 + x− 4
Exercício 6
Fatore as expressões dos itens de (1) a (4) do exercício anterior.
Exercício 7
Um projétil é lançado do solo verticalmente para cima. Ao fim de t segundos, atinge a altura y(t) em metros,
dada por y(t) = 40t− 5t2.
1. Calcule a altura atingida pelo projétil 2 s após seu lançamento.
2. Determine a altura máxima atingida pelo projétil.
3. Esboce o gráfico da função que representa a altura do projétil, para 0 ≤ t ≤ 8.
4. Calcule em quanto tempo o projétil atinge a altura de 75 m, durante a subida.
Exercício 8
Considere todos os possíveis retângulos que possuem perímetro igual a 80 cm. Dentre estes retângulos, determine
aquele que terá a área máxima. Qual será essa área?
Resolução de Inequações (Ref: Seções 3 e 4 do “Texto de Revisão de Funções”)
Exercício 9
Resolva as inequações abaixo e forneça as respostas usando notação de intervalo.
1. −x2 + 4x < 0 2. 2x
2 + x+ 1
x− 1
> 0 3.
x2
x+ 3
>
4
x+ 3
Funções reais (Ref: Seção 5 do “Texto de Revisão de Funções”)
Exercício 10
Determine o maior subconjunto da reta onde as funções abaixo estão bem definidas (domínio maximal).
1. f(x) =
x− 2
9− x2
2. f(x) =
√
4x− x2 3. f(x) = x√
x2 + 4x+ 5
(?) Domínio maximal de uma função real é o maior subconjunto da reta real, onde a função está bem definida.
2
Exercício 11
Quais os subconjuntos da reta abaixo podem ser utilizados como domínio para a função f(x) =
x√
4− x2
.
1. [−2, 0) ∪ (0, 2]
2. (−2, 1]
3. (0,+∞)
4. [−0.1, 1.99]
5. [−1.999...., 1.999...)
6. {0,± 12 ,±1}
Exercício 12
Quais das funções abaixo possuem o mesmo conjunto imagem da função de expressão f(x) = x2+2, x ∈ (−2, 1].
1. g(x) = x+
√
2, x ∈ [2−
√
2, 6−
√
2)
2. g(x) =
1
x
+ 1, x ∈ (1/5, 1]
3. g(x) = −2x, x ∈ (−2,−1]
Exercício 13
Verifique se cada afirmativa abaixo é falsa ou verdadeira, justificando.
1. Duas funções que possuem mesmo domínio e mesmo conjunto imagem são iguais.
2. Os gráficos das funções f(x) = 2 e g(x) = −1, x ∈ R são retas verticais.
3. A reta x = 1 é horizontal.
4. As funções f(x) =
4x2 − 1
2x+ 1
e g(x) = 2x− 1, definidas em seus respectivos domínios maximais, são iguais.
5. O gráfico da função f(x) = 3x2+x+1, x ∈ R é uma parábola com concavidade para cima, que não possui
interseção com os eixos coordenados.
6. O gráfico da função f(x) =
x4 − 16
x2 + 4
, x ∈ R é uma parábola com concavidade para cima, simétrica em
relação ao eixo y, que possui interseção com o eixo y no ponto (0,−4).
Funções Condicionalmente Definidas e Função Modular
(Ref: Seção 6 do “Texto de Revisão de Funções”)
Exercício 14
Apresente uma expressão condicionalmente definida para a função f : R → R cujo gráfico está representado
abaixo.
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
3
Exercício 15
Apresente uma definição para as funções listadas abaixo em que não apareçam módulos, utilizando definições
condicionais e esboce o gráfico:
1. f(x) = |x|+ 1 2. f(x) = |x− 1| 3. f(x) = |x|x
Funções Trigonométricas (Ref: Seção 9 do “Texto de Revisão de Funções”)
Exercício 16
Se x ∈ [0, π/2) é tal que tg(x) =
√
5, determine cos(x) e sen(x).
Exercício 17
Resolva, para x ∈ R, as seguintes equações:
1. sen(x) = −
√
2
2
2. 2 cos2(x) = cos(x)
Exercício 18
Determine o conjunto solução das inequações
1. sen(x) > −
√
2
2
2. tg(x) <
√
3
3. cos(x) > 12
Solução do Exercício 1
1. Gráfico de y = −3x− 2:
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
y = −3x− 2
(0,−2)
(−2/3, 0)
2. Gráfico de y = 2(x+ 1)− 3:
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
y = 2(x+ 1)− 3
(0,−1)
(0.5, 0)
Estudo do sinal das expressões anteriores:
4
(a)
y = −3x− 2 > 0⇔ x < −2
3
;
y = −3x− 2 < 0⇔ x > −2
3
;
y = −3x− 2 = 0⇔ x = −2
3
.
(b) Notemos que y = 2(x+ 1)− 3 = 2x+ 2− 3 = 2x− 1. Assim
y = 2(x+ 1)− 3 > 0⇔ x > 1
2
;
y = 2(x+ 1)− 3 < 0⇔ x < 1
2
;
y = 2(x+ 1)− 3 = 0⇔ x = 1
2
.
Solução do Exercício 2
A equação da reta é y = −4x+ 3, com gráfico:
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
y = −4x+ 3
(0, 3)
(3/4, 0)
Solução do Exercício 3
θ = 3π4 radianos, e o gráfico de y = −x+ 2 é:
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−4
−3
−2
−1
−2
−1
1
2
3
4
5
6
θ
y = −x+ 2
0
Solução do Exercício 4
A equação da reta é y = 37x+
4
7 . As interseções com os eixos coordenados são os pontos (0,
4
7 ) e (−
4
3 , 0).
5
Solução do Exercício 5
1. y = 4x2 + 3x− 1.
• Raízes: x = −1 e x = 14
• Estudo de sinal:
4x2 + 3x− 1 > 0⇔ x < −1 ou x > 1
4
.
4x2 + 3x− 1 < 0⇔ −1 < x < 1
4
.
4x2 + 3x− 1 = 0⇔ x = −1 ou x = 1
4
.
• Gráfico:
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
y = 4x2 + 3x− 1
(− 38 ,−
25
16 )
2. y = −2x2 + x+ 3.
• Raízes: x = 32 e x = −1.
• Estudo de sinal:
−2x2 + x+ 3 > 0⇔ −1 < x < 3
2
.
−2x2 + x+ 3 < 0⇔ x < −1 ou x > 3
2
.
−2x2 + x+ 3 = 0⇔ x = −1 ou x = 3
2
.
• Gráfico:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
y = −2x2 + x+ 3
( 14 ,
25
8 )
3. y = x2 − 2
√
2x+ 2
• Raizes: x =
√
2.
• Estudo de sinal:
x2 − 2
√
2x+ 2 > 0⇔ x <
√
2 ou x >
√
2.
x2 − 2
√
2x+ 2 = 0⇔ x =
√
2.
6
• Gráfico:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
y = x2 − 2
√
2x+ 2
(
√
2, 0)
4. y = −4x2 − 4x− 1.
• Raizes: x = − 12 .
• Estudo de sinal:
y = −4x2 − 4x− 1 < 0⇔ x < −1
2
ou x > −1
2
.
y = −4x2 − 4x− 1 = 0⇔ x = −1
2
.
• Gráfico:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
y = −4x2 − 4x− 1
(− 12 , 0)
5. y = x2 + x+ 1.
• Raizes: Não existem raízes reais.
• Estudo de sinal: x2 + x+ 1 > 0 para todo x ∈ R.
• Gráfico:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
5
y = x2 + x+ 1
(− 12 ,
3
4 )
6. y = −2x2 + x− 4.
• Raizes: Não existem raízes reais.
• Estudo de sinal: −2x2 + x− 4 < 0 para todo x ∈ R
• Gráfico:
7
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
y = −2x2 + x− 4
( 14 ,−
31
8 )
Solução do Exercício 6
Para a fatoração, vamos usar as raízes reais encontradas no exercício anterior.
1. y = 4x2 + 3x− 1 = 4(x+ 1)(x− 14 ).
2. y = −2x2 + x+ 3 = −2(x− 32 )(x+ 1).
3. y = x2 − 2
√
2x+ 2 = (x−
√
2)2.
4. y = −4x2 − 4x− 1 = −4(x+ 12 )
2.
Solução do Exercício 7
1. Calculamos y(2) = 60 metros.
2. O gráfico de y(t) é uma parábola com concavidadepara baixo, portanto a altura máxima é atingida em
seu vértice, tv = 4 e y(tv) = y(4) = 80 metros.
3. Gráfico em 0 ≤ t ≤ 8:
0 2 4 6 8
0
20
40
60
80
y = −5t2 + 40t
4. Devemos resolver a equação y(t) = 75⇔ 40t− 5t2 = 75⇔ t2 − 8t+ 15 = 0. As raízes são t = 3 e t = 5,
como pede-se no momento da subida, consideramos o menor valor do tempo. Assim, o tempo é em t = 3
segundos.
8
Solução do Exercício 8
Vamos chamar os lados do retângulo de x e y, por hipótese o perímetro 2x + 2y é igual a 80, logo 2x + 2y =
80⇔ y = 40− x. A área é dada pela função quadrática A(x) = x(40− x) = 40x− x2, x > 0. Seu gráfico tem
concavidade para baixo, logo no vértice ocorre o ponto de máximo da área, a saber, xv = 20. Portanto, um dos
lados mede 20cm e o outro também, pois y = 40− x = 20. Assim, entre esses retângulos, o de maior área é o
quadrado de lado 20cm, cuja área é 400 cm2.
Solução do Exercício 9
1. Estudamos o sinal de −x2 + 4x, cujas raízes são 0 e 4 com concavidade para baixo, logo −x2 + 4x < 0
em (−∞, 0) ∪ (4,∞).
2. Devemos fazer o produto dos sinais das expressões que aparecem no numerador e no denominador. O
numerador é sempre positivo, pois não possui raízes reais e a concavidade da parábola associada é para
cima, logo o sinal depende apenas do sinal do denominador (que não pode se anular) que é positivo se
x > 1. Logo, o conjunto solução é igual a (1,∞).
3. Cuidado, não pode cancelar o denominador, pois x+3 troca de sinal! Ou seja, x+3 < 0 quando x < −3,
o que levaria a uma inversão do sinal “>” e para x > −3 não haveria a inversão, o que implicaria na
abertura de dois casos diferentes e mais trabalho... Assim, vamos escrever uma inequação equivalente:
x2
x+ 3
>
4
x+ 3
⇔ x
2
x+ 3
− 4
x+ 3
> 0⇔ x
2 − 4
x+ 3
> 0.
Agora, podemos fazer o produto dos sinais entre a expressão x2 − 4 e x + 3, para obter que x
2 − 4
x+ 3
é
positiva quando x ∈ (−3,−2) ∪ (2,∞).
Solução do Exercício 10
1. {x ∈ R;x 6= ±3}.
2. {x ∈ R; 0 ≤ x ≤ 4}.
3. Todo número real, ou seja, R.
Solução do Exercício 11
A restrição para que a expressão dada esteja bem definida é 4 − x2 > 0 ⇔ x ∈ (−2, 2). Portanto, qualquer
subconjunto de (−2, 2) pode ser usado como domínio.
1. [−2, 0) ∪ (0, 2], não pode, pois −2, 2 não pertencem ao intervalo aberto (−2.2).
2. (−2, 1], pode.
3. (0,+∞), não pode.
4. [−0.1, 1.99], pode, já que 1, 99 < 2
5. [−1.999...., 1.999...), não pode, pois −1.999... = −2, logo [−1.999...., 1.999...) = [−2, 2) não está contido
em (−2, 2).
6. {0,± 12 ,±1}, pode.
9
Solução do Exercício 12
O gráfico da função f é um arco de parábola com vértice em (0, 2) e concavidade para cima. Observe que,
−2 < x ≤ 1⇒ 0 ≤ x2 < 4⇒ 2 ≤ x2 + 2 < 6, logo Im(f) = [2, 6).
1. g(x) = x +
√
2, x ∈ [2 −
√
2, 6 −
√
2). O gráfico é um segmento de reta e 2 −
√
2 ≤ x < 6 −
√
2 ⇔ 2 ≤
x+
√
2 < 6, logo Im(f) = [2, 6), portanto possui o mesmo conjunto imagem.
2. g(x) =
1
x
+ 1, x ∈ (1/5, 1]. O gráfico é um arco de hipérbole e 1/5 < x ≤ 1 ⇔ 1 ≤ 1/x < 5 ⇔ 2 ≤
1 + 1/x < 6, logo Im(f) = [2, 6), portanto possui o mesmo conjunto imagem.
3. g(x) = −2x, x ∈ (−2,−1]. O gráfico é um segmento de reta e −2 < x ≤ −1 ⇔ −4 < 2x ≤ −2 ⇔ 4 >
−2x ≥ 2, logo Im(f) = [2, 4), portanto NÃO possui o mesmo conjunto imagem.
Solução do Exercício 13
1. Falsa. Para duas funções serem iguais, devem ter o mesmo domínio, a mesma imagem em cada ponto
do domínio e além disso o contradomínio também deve ser o mesmo. Por exemplo, as seguintes funções
possuem mesmo domínio R e mesmo conjunto imagem R, mas são diferentes:
f : R −→ R
x 7−→ x.
e
g : R −→ R
x 7−→ −x.
2. Falsa. Essas retas são horizontais, por exemplo f(x) = 2, x ∈ R significa que y = 2, qualquer que seja o
valor de x. Idem para g.
3. Falsa. Essa reta é vertical (x = 1, qualquer que seja o valor de y).
4. Falsa. O domínio maximal da g é R, mas o domínio maximal da f é (−∞,−1/2) ∪ (−1/2,+∞), pois o
denominador não pode se anular. Então, seus domínios são diferentes. Logo, as funções não podem ser
iguais, apesar de terem a mesma imagem em cada ponto de (−∞,−1/2) ∪ (−1/2,+∞)(
f(x) =
4x2 − 1
2x+ 1
=
(2x− 1)(2x+ 1)
2x+ 1
= 2x− 1,∀x ∈ (−∞,−1/2) ∪ (−1/2,+∞).
)
5. Falsa. O gráfico possui interseção com o eixo y, a saber, no ponto (0, 1).
6. Verdadeira. Primeiro observe que f(x) =
(x2 − 4)(x2 + 4)
x2 + 4
= x2 − 4,∀x ∈ R, logo o gráfico da função f
coincide com o gráfico da função g(x) = x2 − 4,∀x ∈ R, que é uma parábola com concavidade para cima,
simétrica em relação ao eixo y, que possui interseção com o eixo y no ponto (0,−4).
Solução do Exercício 14
Para x < −2, a função é constante e igual a 3. Para −2 6 x 6 3, a função é linear com f(x) = x. Com
3 < x 6 6, a função é afim com f(x) = 6− x. Para x > 6, temos f(x) = 0. Assim, podemos escrever
f(x) =

3 se x < −2
x se − 2 6 x < 3
6− x se 3 6 x < 6
0 se x > 6.
Observe que pudemos escolher onde colocar a igualdade para x = 3 e x = 6, pois as expressões definidas em
condições que têm extremos nestes pontos têm o mesmo valor. Não é o caso de x = −2.
10
Solução do Exercício 15
1. f(x) =
{
x+ 1 se x > 0
−x+ 1 se x < 0
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
2. f(x) =
{
x− 1 se x > 1
−x+ 1 se x < 1
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
3. f(x) =
{
1 se x > 0
−1 se x < 0.
Esta função não está definida
para x = 0.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
Solução do Exercício 16
Como tg(x) =
√
5, temos que
sen(x)
cos(x)
=
√
5 ∴ sen(x) =
√
5 cos(x).
Além disso, como cos2(x) + sen2(x) = 1, temos
cos2(x) +
(√
5 cos(x)
)2
= 1,
logo
cos2(x) + 5 cos2(x) = 1,
e, portanto,
6 cos2(x) = 1.
Assim,
cos2(x) =
1
6
,
o que implica
cos(x) = ± 1√
6
.
Como x ∈ [0, π/2), seu cosseno será positivo, logo
cos(x) =
1√
6
.
Temos ainda
sen(x) =
√
5 cos(x) =
√
5√
6
.
Solução do Exercício 17
1. S = {x ∈ R : x = 5π/4 + 2kπ ou x = −π/4 + 2kπ, k ∈ Z}
2. S = {x ∈ R : x = ±π/3 + 2kπ ou x = π/2 + kπ, k ∈ Z}
Solução do Exercício 18
1. Há apenas dois pontos no círculo trigonométrico cuja coordenada vertical (o seno) é igual a −
√
2
2 . Estes
pontos são os correspondentes aos arcos −π4 e
5π
4 .
Como o seno é dado pela coordenada vertical de um ponto do círculo, os pontos cujo seno é maior do
11
que −
√
2
2 são aqueles acima da reta y = −
√
2
2 . Estes pontos correspondem aos arcos de comprimento
−π4 < x <
5π
4 . Note ainda que, se x é uma solução, então x+2kπ, com k ∈ Z, também será uma solução
(pois o seno é periódico, com período 2π).
Portanto a solução da inequação é: −π/4 + 2kπ < x < 5π/4 + 2kπ, com k ∈ Z.
2. Há apenas um ponto na reta x = 1 cuja coordenada vertical (a tangente) é igual a
√
3. Este ponto
correspondente ao arco π3 .
Como a tangente é dada pela coordenada vertical de um ponto da reta x = 1, os pontos cuja tangente é
menor do que
√
3 são aqueles abaixo da reta y =
√
3. Estes pontos correspondem aos arcos de comprimento
−π2 < x <
π
3 , ou de comprimento
π
2 < x <
4π
3 .
Portanto a solução da inequação é: −π/2 + kπ < x < π/3 + kπ, com k ∈ Z.
3. Há apenas dois pontos no círculo trigonométrico cuja coordenada horizontal (o cosseno) é igual a 12 . Estes
pontos são os correspondentes aos arcos −π3 e
π
3 .
Como o cosseno é dado pela coordenada horizontal de um ponto do círculo, os pontos cujo cosseno é maior
ou igual a 12 são aqueles à direita da reta x =
1
2 . Estes pontos correspondem aos arcos de comprimento
−π3 6 x 6
π
3 .
Portanto a solução da inequação é: −π/3 + 2kπ 6 x 6 π/3 + 2kπ, com k ∈ Z.
12