Capítulo 1 2 Equilíbrio de mercado

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Capítulo 1. 
1.2 Equilíbrio de mercado.
Equilíbrio 
O equilíbrio é o estado de um modelo em que um conjunto de variáveis interrelacionadas se ajustam de tal maneira que nenhuma tendência inerente a mudança prevaleça. 
Esse ajuste é teórico e está baseado apenas no balanceamento das forças internas do modelo (variáveis endógenas), admitindo-se, ao mesmo tempo, que os fatores externos (variáveis exógenas) são fixos.
O equilíbrio não constitui necessariamente um estado de coisas desejável ou ideal. Existem situações de equilíbrio indesejadas. 
Lembrem que a teoria microeconômica é positiva, não normativa. 
Além disso, o equilíbrio pode ser estático ou dinâmico.
Equilíbrio parcial de mercado – um modelo linear
modelo de equilíbrio estático
Em um modelo de equilíbrio estático, o problema padrão é achar o conjunto de valores das variáveis endógenas que satisfarão a condição de equilíbrio, sem interessa-nos na forma como se atinge esse equilíbrio. 
Vamos começar com a ilustração do chamado modelo de equilíbrio parcial de mercado, ou seja, o modelo de determinação de preço e quantidade transacionada em um mercado de uma mercadoria. 
No modelo mais simples, incluímos somente três variáveis: 
P o preço unitário da mercadoria em, digamos, $R, 
Qd a quantidade demanda da mercadoria e 
Qs quantidade ofertada. 
A condição de equilíbrio: ocorre equilíbrio se, e somente se, o excesso de demanda ou oferta é zero (Qd-Qs=0), isto é se, e somente se, a Qd=Qs. 
Admitamos que Qd é uma função linear decrescente de P (Qd=a-bP) e Qs uma função linear crescente de P (Qs=c+dP).
 
As quantidades demandadas e ofertadas pode ser medidas, por exemplo, em quilos por semana. 
Graficamente o modelo pode ser representado como:
Quando Qd é representada graficamente, ela intercepta o eixo vertical (ordenadas) em a, e sua inclinação é .
Quando Qs é representada graficamente, ela intercepta o eixo vertical (ordenadas) em c, e sua inclinação é .
 (Os parâmetros dados a,b,c,d são todos positivos) 
Solução algébrica por eliminação de variáveis
 , quantidade de equilíbrio.
Para achar Q* basta substituir P* em qualquer em (2) ou (3) e resolver a equação resultante:
Os valores de P* e Q* devem coincidir com os indicados na interseção do gráfico anterior.
Porem, se passa a ser a+5, o novo e o novo Q*= .
Pode-se resolver esse sistema de equações substituindo a segunda e a terceira equação na primeira: 
 
Exemplo numérico
Dadas: encontrar o preço (P*) e a quantidade (Q*) de equilíbrio.								 
Substituindo P*=3 em qualquer uma das equações
 
De outra forma, como a=10; b=2; c=-5 e d=3 então: 
Se a oferta muda e passa a ser , 
qual será o novo ponto de equilíbrio?
Exercício
Dadas: encontrar o preço (P*) e a quantidade (Q*) de equilíbrio.
Equilíbrio Parcial de Mercado – modelo não-linear
Consideremos agora a substituição da demanda lineal por uma função quadrática, ao mesmo tempo que mantemos a função de oferta linear. 
Por exemplo:
;
;
Esse sistema pode ser reduzido a uma equação: ou 
Para encontrar a solução da equação (do tipo é necessário achar seus zeros, ou seja, suas raízes pela fórmula . Aplicando essa fórmula obtemos:
. Para P*=1, Q*=4(1)-1=3
 rejeitado por causas econômicas, já que P>0
Exercício
Dadas: 
.
.
encontrar o preço (P*) e a quantidade (Q*) de equilíbrio.
6-P^2=2+3P -> P^2+3P-4=0 -> 
Exercício
Dadas: 
.
 .
encontrar o preço (P*) e a quantidade (Q*) de equilíbrio.
P*=1,22; Q*=4,884
Equilíbrio geral do mercado 
Os exemplos anteriores tratam de modelos em um mercado parcial, isolado, onde Qd e Qs de uma mercadoria são funções exclusivamente de seu próprio preço. 
No mundo real, como vimos, para cada mercadoria existem, normalmente, muitos bens complementares e substitutos, bem como outros determinantes.
Portanto, uma descrição mais realista da função demanda pode levar em conta o efeito não somente de seu preço, mas, também, dos outros fatores determinantes da demanda. 
Isso é igualmente valido para a função oferta.
Equilíbrio geral do mercado 
Quando várias mercadorias interdependentes são consideradas simultaneamente, o equilíbrio requer a ausência de excesso de demanda ou de oferta para cada uma das mercadorias.
 Se ao menos um bem está em desequilíbrio, isso é suficiente para que o ajustamento de preço nesse mercado afete necessariamente as quantidades demandadas e ofertadas das demais mercadorias causando, portanto, mudanças de preços em todos os mercados.
O equilíbrio geral visa explicar o comportamento da oferta, da demanda e dos preços em uma economia constituída de vários mercados interdependentes, buscando provar que a interação entre demanda e oferta resultará no equilíbrio geral.
Equilíbrio geral do mercado 
Para ilustrar o problema do equilíbrio geral do mercado mostraremos um modelo simples, no qual consideramos a renda (R) e apenas duas mercadorias relacionadas entre si. Suponhamos que as demandas e ofertas sejam numericamente as seguintes:
Qual é a solução de equilíbrio quando a R=100?
A condição de equilíbrio consiste em Qd=Qs, portanto:
0,1(100)-2P1+P2=-2+3P1 
0,15(100)+P1- P2 =-1+2P2
	Bem 1	Bem 2
	Qd1=0,1(R)-2P1+P2	Qd2=0,15(R)+P1-P2
	Qs1=-2+3P1	Qs2=-1+2P2
=12
15+ 1= -1 -=16
Equilíbrio geral do mercado 
. Esse sistema de equações lineares (SEL) pode expressar-se como um arranjo de matrizes.
 tal que Ax=d
Para resolver esse arranjo utilizam-se vários métodos. 
Aqui inicialmente utilizaremos a regra de Cramer, que estabelece 
, onde é a iésima variável incógnita (P); é o determinante da matriz dos coeficientes da SEL e é o determinante de uma matriz especial formada trocando-se a coluna i da matriz A pelo vetor das constante d. Assim:
. =-2+3P1 =-2+3(3,71) = 9,13 Qs2=-1+2P2= -> Qs2=-1+2(6,57)=12,14
Resolução com matrizes com inversa (
Outro método para a resolução SEL é o de matriz inversa (.
Se e existe, multiplicando ambos lados por , se obtém-se:
 
Já que 
Para tal que Ax=d
 = 
Matriz Adjunta de A
Equilíbrio geral do mercado 
Exercício 1 : considere um modelo de equilíbrio geral do mercado, no qual a renda R=$ 1000 e a duas mercadorias existente têm as seguintes funções demanda e oferta:
Qual é a solução de equilíbrio?
A condição de equilíbrio consiste em Qd=Qs, portanto:
0,01(1000)-3P1+2P2=1+4P1 
0,02(1000)+3P1-2P2=1+3P2
	Bem 1	Bem 2
	Qd1=0,01(R)-3P1+2P2	Qd2=0,02(R)+3P1-2P2
	Qs1=1+4P1	Qs2=1+3P2
=9
20- 1= -3 -3=19
Equilíbrio geral do mercado 
. Esse sistema de equações lineares (SEL) pode expressar-se como um arranjo de matrizes.
 tal que Ax=d
Utilizando a regra de Cramer, obtemos 
Assim:
;
;
 =1+4P1 =1+4(2,86) = 12,44 ; Qs2=1+3P2 =1+3(5,51)=17,53
Neste caso, o determinante é calculado tomando o produto dos dois elemento da diagonal principal e subtraindo do produto dos dois elemento fora da diagonal principal.
Resolução com matrizes com inversa (
Para 
,
 = 
=-2+3P1 =-2+3(3,71) = 9,13; Qs2=-1+2P2=1+2(6,57)=12,14
Matriz Adjunta de A
Equilíbrio geral do mercado 
Exercício 2 : considere um modelo de equilíbrio geral do mercado, no qual a renda R=$100 e a duas mercadorias existente têm as seguintes funções demanda e oferta:
Qual é a solução de equilíbrio usando a regra de Cramer?
1. A condição de equilíbrio consiste em Qd=Qs para cada bem, portanto:
0,5(100)-3P1-5P2=1+3P1 
0,3(100)-3P1-2P2=-2+2P2
2. Expresse os SEL na forma matricial, Ax=d em que 
	Bem 1	Bem 2
	Qd1=0,5(R)-3P1-5P2	Qd2=0,3(R)-3P1-2P2
	Qs1=1+3P1	Qs2=-2+2P2
=49
30+2= 3 3=32
3. Encontre o determinante de A. . =6*4-5*3=9
4. Encontre a matriz . Troque a coluna 1 de A pelo vetor das constante. .
5. Encontre o determinante de = 
6. Use a regra de Cramer para calcular . -> . Qs1=1+3P1= 13
7. Encontre a matriz . Troque a coluna 2 de A pelo vetor das constante. .
8. Encontre o determinante de . ->= 
9. Use a regra de Cramer para calcular . -> . Qs2=-2+2P2=8
Exercício 2.
Use os preços de equilíbrio encontrados e as funções mais fácil dadas no enunciado para encontrar as quantidades de equilíbrio,e .
Qs1=1+3P1=1+3(4)=13
Qs2=-2+2P2=-2+2(5)=8 
Equilíbrio geral do mercado 
Exercício 3 : considere um modelo de equilíbrio geral do mercado, no qual a renda R=$ 100 e a duas mercadorias existente têm as seguintes funções demanda e oferta:
Qual é a solução de equilíbrio usando a Matriz inversa?
1. A condição de equilíbrio consiste em Qd=Qo, portanto:
0,5(100)-3P1-5P2=1+3P1 
0,3(100)-3P1-2P2=-2+2P2
2. Expresse os SEL na forma matricial, Ax=d em que 
	Bem 1	Bem 2
	Qd1=0,5(R)-3P1-5P2	Qd2=0,3(R)-3P1-2P2
	Qs1=1+3P1	Qs2=-2+2P2
=49
30+2= 3 3=32
3. Encontre o determinante de A. . =6*4-5*3=9
4. Encontre a matriz inversa de A. 
5. Encontre o multiplicando d
 
6. Use os preços de equilíbrio para encontrar as quantidades de equilíbrio, e .
Qs1=1+3P1=1+3(4)=13; Qs2=-2+2P2=-2+2(5)=8 
Exercício 4.
Encontre os preços de equilíbrio para três bens, dadas as seguintes condições de equilíbrio, usando os programas Excel e R.
; ; 
 = 
Dinâmica do preço de mercado. Tempo continuo.
Suponha que para um bem específico e para a,b,c,d todos positivos. Demostramos que . 
Se o preço vigente hoje , o mercado já estará em equilíbrio e nenhuma mudança deve esperar-se. 
Se , um caso mais interessante, pode ser obtido (se possível) após um devido processo de ajuste, durante o qual não somente P sofrerá variações, e também deverão variar no tempo. 
Sobre esta nova perspectiva, as variações de P, e podem ser equacionadas como função do tempo.
Assim, surge a questão: 
Dado tempo suficiente para o processo de ajuste funcionar, realmente tende ao ?
Em outras palavras, a trajetória temporal tende a convergir para , quando t ?
Dinâmica do preço de mercado
A questão é: tende a convergir para , quando t ?
Para responder essa pergunta, em primeiro lugar, devemos encontrar a trajetória temporal de .
Isso, por sua vez, requere a determinação de um padrão específico de mudança do preço.
Sabemos que o comportamento do preço é regido pela intensidade do excesso ou escassez de demanda. 
Vamos supor que a taxa de variação do preço em relação ao tempo, a qualquer instante, é diretamente proporcional ao excesso de demanda ( - ) vigente num instante. Ou seja,
) onde .
Com esse padrão de comportamento do preço, podemos ver que se, e somente se .
Se o excesso de demanda é positivo, ; caso contrario , indicando P .
Dinâmica do preço de mercado
) onde .
Podemos expressar essa derivada na forma
 .
 .
.
Essa é a forma de uma equação diferencial lineal (EDL) de primeira ordem com coeficientes e termo constates. 
Equações diferenciais são expressões que envolvem funções e derivadas (taxas de variação). É de 1ª ordem porque aparece nessa equação apenas a 1ª derivada. 
Para maiores detalhes ver o seguinte vídeo1 e vídeo 2.
Dinâmica do preço de mercado
.
A solução dessa equação diferencial resulta não em um valor numérico, mas em uma função , sem derivadas, que satisfaz a equação diferencial. 
Ou seja, a derivada de é igual a 
A fórmula para a solução dessa equação diferencial (demostrada posteriormente) é 
Como 
É composta de duas parte: 1) Solução complementar que representa o desvio do equilíbrio 
2) Solução particular que representa o equilíbrio
Exemplo numérico
Dadas: , encontrar a trajetória temporal .= .
Aplicando a fórmula 
, 
.
.
Quando 
.
.
Se >0, converge P* 
Trajetória temporal convergente, não oscilatória
Se 
.
 
Se . 
 INSTÁVEL, EXPLOSIVA.
Demonstração da fórmula da solução de edl do tipo 
A solução dessa equação diferencial (onde y=P) consistirá na soma de dois termos. 
denominado função complementar (e 
termo conhecido de solução particular .
Assim a solução geral será + 
A função complementar é a solução da equação homogênea associada (
 e expressa o comportamento transitório do modelo. 
Essa pode ser escrita como . equação diferencial com variáveis separáveis. 
Integrando ambos lados dessa equação obtemos 
Tomando o exponencial de ambos lados 
Como é outra constante arbitraria chamada (de obtemos 
Demonstração da fórmula da solução de edl do tipo 
E a solução particular ? 
Para encontrar se trabalha com tentativas. Como é uma constante, sugere-se =k uma constante.
Se obtemos 
Portanto . 
Logo , a solução geral da equação é 
O que torna essa solução uma solução geral é a presencia da constante arbitrária A. 
Se temos uma condição inicial podemos encontrar a solução definida.
Digamos que um valor dado, então 
Assim podemos reescrever a solução geral como 
Demonstração da fórmula da solução de edl do tipo 
Se a solução geral como 
Ou seja, a solução definida da equação diferencial é 
 , já que 
Exercício
Dadas: , encontrar a trajetória temporal = .
a trajetória temporal tende a convergir para , quando t ?
Desenhe o gráfico de e estime aproximadamente o tempo para que o preço se estabilize? 
Tempo para que o preço se estabilize
Converge
Dinâmica do preço de mercado. Tempo discreto.
Nos casos anteriores, discutimos a dinâmico do preço no tempo contínuo, onde o padrão de variação do P é incorporados usando-se .
A variação do tempo ocorria continuamente em cada instante. 
No entanto, a variável tempo pode considerar-se como um valor discreto, de modo que t só pode assumir valores inteiro. 
Neste caso, é óbvio que a derivada (variação instantânea) já não será apropriada. 
Quando estamos tratando com tempo discreto, o valor da variável (digamos, P) mudará somente quando a variável t muda de um valor inteiro para o seguinte, exemplo de t=1 para t=2. 
No ínterim, supõe-se que nada acontece com a variável. 
Os valores de t referem-se a períodos (uma determinada extensão de tempo) – não a instantes de tempo.
Dinâmica do preço de mercado. Tempo discreto.
Em esse novo contexto, nosso problema dinâmico ainda é encontrar a trajetória temporal a partir de algum padrão de variação da variável P. 
Mas, agora, o padrão de variação deve ser representado para pelo quociente de diferenças , que é a contraparte de tempo discreto de .
Por exemplo, um padrão de variação do P pode especificar-se como se segue:
.
onde significa o valor P no t-ésimo período e é o valor no período imediatamente após o t-ésimo período. 
Se 2 isso significa que P cresce 2 unidade por período.
Se -0,1 isso indica que P decresce 10% cada período. 
Esse tipo de equações são denominadas equações de diferença. 
Dinâmica do preço de mercado. Tempo discreto.
Podemos reescrever 2 como e 
-0,1 como 
.
Assim a equação de diferença fica livre da expressão .
Como as equações diferencias, as equações de diferença podem ser lineares ou não-lineares, homogêneas ou não-homogêneas e de primeira ordem ou de ordens mais altas.
 é linear (P não está elevado a uma potência maior que 1), não-homogênea (existe um termo constante) e é de primeira ondem (a defasagem de tempo é de um período).
 é também linear e de primeira ordem , mas é homogênea. 
Dinâmica do preço de mercado. Tempo discreto.
Ao resolver uma equação de diferença, como em uma equação diferencial, buscamos achar a trajetória temporal de 
Tal trajetória é uma função do tempo, livre de qualquer expressões de diferenças , que seja condicente com sua equação de diferença e suas condições iniciais (.
A solução geral de uma equação de diferença consistirá também (como nas equações diferenciais) na soma de dois componentes: 
uma solução particular que é qualquer solução da equação de diferença completa não homogênea e representa o nível de equilíbrio, e 
uma função complementar que é a solução geral da equação homogênea associada e indica os desvios entre a trajetória temporal e o equilíbrio.
Assim, 
Dinâmica do preço de mercado. Tempo discreto.
Modelo da teia de aranha. 
Entendido o anterior, podemos passar a explicar o modelo da teia de aranha. 
Esse modelo explica o comportamento dos preços no tempo quando a oferta é defasada num período.
Modelo. Consideremos uma situação na qual as decisões do produtor, quanto ao nível de produção, necessitam ser tomadas um período antes da venda – tal como o produtoragrícola, onde o plantio precede a colheita e venda da produção. 
Suponhamos que a decisão quanto ao nível de produção no período t é baseada no preço em vigor nesse período . 
Porém, uma vez que essa produção não estará disponível para a venda até um período t+1, não determina , mas 
Assim, teremos uma função oferta defasada num período: .
Dinâmica do preço de mercado. Tempo discreto.
Modelo da teia de aranha. 
 ou equivalentemente retroagindo o subíndice t num período 
 
Se em cada período de tempo, o preço de mercado iguala a oferta defasada e a demanda não-defasada obtemos um sistema dinâmico de três equações:
 para os parâmetros dados a, b, c, d>0
Substituindo e na primeira equação obtemos uma equação em diferença de 1ª ordem: 
Normalizando e alterando t para t+1 obtemos: 
Dinâmica do preço de mercado. Tempo discreto.
Modelo da teia de aranha. 
Substituindo e resulta 
Agora usando recursividades calculemos a solução de , supondo que Os resultado de interação nos permite inferir uma trajetória temporal 
 
 
 
 
 
Modelo da teia de aranha. 
 
Daí, observando o padrão dado, podemos induzir a solução geral para qualquer período
A demonstração dessa fórmula pode ser vista no seguinte link .
Assim, 
Modelo da teia de aranha. 
Essa solução é composta por: 1) função complementar =que é a solução da equação homogênea associada (), e 2) uma solução particular que indica o equilíbrio.
Se e Nível de equilíbrio estático. 
Além disso, se 
Qual será o comportamento de quando . 
Modelo da teia de aranha. 
Qual será o comportamento de quando .
Depende da função complementar ou, mais especificamente, de .
Se 
Se 
Se 
Se 
Se 
A grandeza de serve para “ampliar” ou “reduzir” os valores de mas não muda a configuração da trajetória temporal. 
Seu sinal está relacionado a questão de começar acima ou abaixo do equilíbrio. 
 será dinamicamente estável somente se 
Modelo da teia de aranha. 
S
A trajetória temporal é dinamicamente estável, atenuada, convergindo em direção ao nível de equilíbrio. 
Dado o preço inicial , podemos seguir a seta e observar a convergência. 
 
.
Modelo da teia de aranha. 
A trajetória oscilará uniformemente em torno do nível de equilíbrio. 
 
.
Modelo da teia de aranha. 
A trajetória temporal é dinamicamente instável, “explosiva” distanciando-se cada vez mais do equilíbrio. 
 
Modelo da teia de aranha. 
Exemplo numérico. Dadas , o preço atual de mercado ache a trajetória temporal , o preço de equilíbrio e determine se ela é convergente. 
 
 Usando 
. 
Sendo negativa e menor que 1, será oscilante , convergente e estável.
Modelo da teia de aranha. 
Exemplo numérico. Dadas , o preço atual de mercado ache a trajetória temporal , o preço de equilíbrio e determine se ela é convergente. 
sendo negativa e menor que 1 será oscilante , convergente e estável.
Trajetória temporal do preço
Pt	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	10	-6.5	8.3500000000000014	-5.0150000000000015	7.0135000000000014	-3.8121500000000017	5.9309350000000016	-2.8378415000000015	5.0540573500000008	-2.0486516150000007	4.3437864535000008	-1.409407808150001	3.7684670273350012	-0.89162032460150131	3.3024582921413512	-0.47221246292721597	2.9249912166344942	-0.13249209497104486	2.619242885473940	2	0.14268140307345378	2.3715867372338915	0.3655719364894976	2.1709852571594523	0.54611326855649289	2.0084980582991565	0.69235174753075901	1.8768834272223169	0.81080491549991462	1.7702755760500768	0.90675198155493075	1.6839232166005624	0.98446910505949381	1.6139778054464555	1.0474199750981901	1.5573220224116289	1.098410179829534	1.5114308381534194	Pe	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	1.3157894736842106	Q
P
Modelo da teia de aranha. 
Exercício. Para os dados abaixo, determine a) o preço de equilíbrio, b) o preço de mercado quando t e c) a estabilidade da trajetória no tempo. 
Modelo da teia de aranha. 
Exemplo numérico. Dadas , o preço atual de mercado ache a trajetória temporal , o preço de equilíbrio e determine se ela é convergente. 
 
 
Usando 
.
Trajetória temporal do preço
Pt	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	100	95	96.25	95.9375	96.015625	95.99609375	96.0009765625	95.999755859375	96.00006103515625	95.999984741210938	96.000003814697266	95.999999046325684	96.000000238418579	95.999999940395355	96.000000014901161	95.99999999627471	96.000000000931323	95.999999999767169	96.000000000058208	95.999999999985448	96.000000000003638	95.999999999999091	96.000000000000227	95.999999999999943	96.000000000000014	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	Pe	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	Q
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