AVA 1 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA 
GRADUAÇÃO EAD EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABRIEL DE SOUZA RODRIGUES LEITE BARTRAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES DE VÁRIAVÉIS: ALGUMAS APLICAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RIO DE JANEIRO – RJ 
2022 
GABRIEL DE SOUZA RODRIGUES LEITE BARTRAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES DE VÁRIAVÉIS: ALGUMAS APLICAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apresentação das resoluções 
dos exercícios propostos para 
avaliação 1 (AVA1) da 
disciplina: Cálculo diferencial e 
integral 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ORIENTADOR(A): ALESSANDRO DE SOUZA BASTOS 
 JAMILLE SANTOS SANTANA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RIO DE JANEIRO – RJ 
2022 
SUMÁRIO 
 
 
1. Enunciado ................................................................................................... 4 
2. Desenvolvimento ....................................................................................... 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. ENUNCIADO 
 Ao longo das unidades 1 e 2 discutimos algumas possíveis aplicações das 
funções de várias variáveis. Nas questões abaixo teremos uma noção geral de 
como tais funções e o conhecimento adquirido até agora podem ser utilizados 
em algumas áreas do conhecimento. 
 
Questão 1: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende 
da longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever T = f 
(x, y, t). O tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro. 
 
a) Qual o significado das derivadas parciais ∂T/∂x, ∂T/∂y e ∂T/∂t? 
 
b) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N. Suponha que 
às 9 horas em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa 
quente, de forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e 
leste o ar esteja frio. Você esperaria fx (158,21,9), fy (158, 21, 9) e ft 
(158, 21, 9) serem positivos ou negativos? Explique. (Atenção para o 
fato das longitudes serem contadas a partir do meridiano central, 
sendo positivas para leste (E) e negativas para oeste (W). 
 
Questão 2: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico 
seja V seja dado por 𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 5𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧. 
 
(a) Qual o domínio da função V? 
 
(b) Determine a taxa de variação do potencial em P (3, 4, 5) na direção 
do vetor �̂� + 𝒋 ̂ + �̂�. 
 
(c) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P? 
 
Questão 3: Uma caixa de papelão (com tampa) deve ter um volume de 32.000 
cm3. Determine as dimensões (aproximadas) da caixa que minimizem a 
quantidade de papelão utilizado. (Atenção: o raciocínio desenvolvido deve ser o 
mais geral possível, logo a caixa deve ser considerada, inicialmente, 
retangular) 
 
 
 
 
2. DESENVOLVIMENTO 
 
Questão 1: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende 
da longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever 
T = f (x, y, t). O tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro. 
a) Qual o significado das derivadas parciais 
∂T
∂x
 , 
∂T
∂y
 e 
∂T
∂t
 ? 
𝛛𝐓
𝛛𝐱
 – É a Taxa de variação da temperatura quando a longitude 
. varia com a latitude e tempo fixados; 
𝛛𝐓
𝛛𝐲
 – É a Taxa de variação da temperatura quando varia apenas a 
. latitude; 
𝛛𝐓
𝛛𝐭
 – É a Taxa de mudança quando varia apenas o tempo. 
 
b) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N. Suponha que às 9 
horas em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, 
de forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar 
esteja frio. Você esperaria fx (158,21,9), fy (158, 21, 9) e ft (158,21, 9) 
serem positivos ou negativos? Explique. (Atenção para o fato das 
longitudes serem contadas a partir do meridiano central, sendo positivas 
para leste (E) e negativas para oeste (W). 
Fx (158, 21, 9) → Positivo – Ao perfazer variação na longitude, a 
temperatura pende a ficar mais quente, por seguinte, partindo 
mais para Leste do que Oeste. 
Fy(158, 21, 9) → Negativa – Ao Perfazer variação de temperatura 
na direção norte, pende a ficar mais fria, por seguinte, indo mais 
para Oeste que para Leste. 
Ft(158, 21, 9) → Positiva - Comumente, a temperatura aumenta 
de manhã para a tarde. 
 
Questão 2: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico 
seja V seja dado por 𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 5𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧. 
a) Qual o domínio da função V? 
R: D = {f(v) = (x, y, z); € R3 l (5x)2 – 3xy + xyz ≥ 0} 
 
b) Determine a taxa de variação do potencial em P (3, 4, 5) na direção do 
vetor �̂� + 𝒋 ̂ + 𝒌 ̂. 
R: 
𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 5𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 
 
Derivando em relação aos eixos: x, y, z; 
 
dV
dx
= 10x − 3y + yz 
 
 
dV
dy
= −3x + xz 
 
 
dV
dz
= xy 
 
O gradiente é dado por; 
∇V(x,y,z) = (10x – y + yz)ⅈ + (-3x + xz)ĵ + (xy)k̂ 
 
Logo, ao calcular as derivadas parciais aplicadas no ponto 
P(3;4;5), teremos o vetor gradiente, que nos dá a direção onde o 
potencial elétrico irá aumentar mais rapidamente, portanto; 
dV (P)
dx
= 10x − 3y + yz → = (10 ∗ 3)– (3 ∗ 4) + (4 ∗ 5) → 
 = 30 − 12 + 20 
dV(P)
dx
= 38 
 
dV (P)
dy
 = −3x + xz → = −(3 ∗ 3) + (3 ∗ 5) → = −9 + 15 
dV (P)
dy
= 6 
 
dV (P)
dz
= xy → = (3 ∗ 4) → = 12 
dV (P)
dz
= 12 
 
Isto é; 
∇V(P) = (38; 6; 12) 
 
 
 
Será definido a derivada direcionada na direção do 
vetor �̂� + 𝒋 ̂ + �̂�; 
|v| = î + ĵ + k̂ 
|v| = 1 + 1 + 1 
|v| = √12 + 12 + 12 
|v| = √1 + 1 + 1 
|v| = √3 
 
Taxa de direção; 
(∇V 
v⃗⃗ 
|v⃗⃗ |
) = 
(38∗1) + (6∗1)+(12∗1)
√3
→ = 
38 + 6+12
√3
→ = 
56
√3
 
 (3,4,5) 
 
(∇V 
v⃗ 
|v⃗ |
) = 
56
√3
 
 
c) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P? 
R: A direção onde V varia mais rapidamente em P é na direção do 
gradiente de V no ponto P, ou melhor dizendo, é na direção de 
∇V(P) = (38,6,12). 
 
Questão 3: Uma caixa de papelão (com tampa) deve ter um volume de 32.000 
cm3. Determine as dimensões (aproximadas) da caixa que minimizem a 
quantidade de papelão utilizado. (Atenção: o raciocínio desenvolvido deve ser o 
mais geral possível, logo a caixa deve ser considerada, inicialmente, 
retangular)R: 
 As dimensões da caixa são: x, y, z; logo, temos as dimensões 
dos pares; 
• A1 = 2.(xy) 
• A2 = 2.(xz) 
• A3 = yz 
 
 E seu volume é; 
V (x, y, z) = xyz = 32000 
 
 Tendo em vista a área (A) e área total (AT) da caixa que é igual 
a quantidade de papelão utilizada; 
A(x, y, z) 
 
AT = a.c + a.c + b.c + b.c + a.b + a.b 
AT = 2 (a.c + b.c + a.b) 
▪ AT = x.z + x.z + y.z + y.z + x.y + x.y 
 AT = 2 (x.z + y.z + x.y) 
 
 Temos; 
z = 
32000
xy
 
 
 Sequencialmente; 
A(x, y) = 2 (xy + 
32000
x
+ 
32000
y
) 
 
dA
dx
= 0 → 2 (y −
32000
x
) = 0 → y = 
32000
x2
 
dA
dy
= 0 → 2 (x −
32000
y2
) = 0 → x = 
32000
y2
 
 
 Após encontrar o valor de x e y, temos; 
x =
32000
y2
 
 
 y2 será substituído por 
32000
x2
 ; 
 
x =
32000
(
32000
x2
)
2 → x =
32000
320002
x2+2
→ x =
32000
32000 ∗ 32000
x4
→ 
x = 
32000
x4
→ 
 
 A seguir, será aplicado a propriedade da fração: 
a
1
= a; portanto 
−x
1
 = -x ; 
= 
32000
x4
(−x) 
 
 Será inserida a regra: a (-b) = -ab; 
= − 
32000
x4
x → 
 
 E será introduzido a propriedade da fração: a ∗
b
c
 = 
a∗b
c
; 
= − 
32000x
x4
 
 
 O resultado anterior será simplificado ao aplicar as 
propriedades do exponente: 
xa
xb
= 
1
xb−a
 , ou seja, 
x1
x4
= 
1
x4−1
; 
= − 
32000
x4−1
 
 
 Logo; 
= − 
32000
x3
 
 
 Dando continuidade ao cálculo; 
 − 
32000
x3
= 1 
 
 Ambos os lados serão multiplicados por x3; 
 − 
32000
x3
∗ x3 = 1 ∗ x3 
 
 Obtemos; 
32000 = x3 
 
 
 Invertendo; 
x3 = 32000 
 
 Como o valor de “x” está ao cubo, será tirado a raiz cúbica de 
32000; 
√32000
3
= 
 
 O volume da caixa (32.000 cm3) será decomposto em fatores 
primos eterá o resultado igual a; 
√28 ∗ 53
3
 = 
 
 Sequencialmente; 
√28 ∗ 53
3
 → 28 * 53 = 26 * 22 * 53 
= √26 ∗ 22 ∗ 53
3
 → √26
3
 √22
3
 √53
3 
 
 Ao calcularmos √26
3
 teremos; 
√26
3
= 4 
 
 O resultado anterior somado a √22
3
, será ⅈgual a; 
4√22
3
 √53
3
 
 
 Em seguida, ao calcularmos √53
3
, teremos; 
√53
3
= 5 
 
 Que multiplicado com 4√22
3
, será ⅈgual a; 
20√22
3
 
= 20√4
3
 
= 31.74802… 
 
 Reduzindo a resposta para duas casas decimais depois da 
virgula; o valor irá subir 1 a mais, pois, o número sucessor a “4” 
passa do número 5, com isso é obrigatório elevar o valor, que 
será de aproximadamente... 
≅ 31,75 
 
 Ao encontrarmos o valo de ‘’x’’ (acima), iremos encontrar o 
valor de y; 
y = 
32000
x2
→ y = 
32000
(√32000)
3 2
→ 
 
 Aplicaremos no denominador as propriedades do expoente: 
(a * b)n = an * bn ; 
32000
(20√4
3
)
2 → 
32000
202(√4
3
)
2 → 
32000
400 ∗ 4
2
3
→ 
 
 Será fatorado; 32000 = 400* 80. Portanto; 
400 ∗ 80
400 ∗ 4
2
3
→
80
4
2
3
→ 
 
 O numerador (80) passará pelos fatores primos, logo: 
80 = 42 *5 ; 
42 ∗ 5
4
2
3
 
 
 Será simplificado por: 4√4
3
; 
42
4
2
3
 ÷ 4√4
3
→ 4√4
3
∗ 5 
 O valor “5” que apareceu acima foi do cálculo antepassado , 
onde não foi calculado na simplificação e agora multiplicará por 
4√4
3
; 
= 20√4
3
 
= 31.74802… 
 
 Reduzindo a resposta para duas casas decimais depois da 
virgula; o valor irá subir 1, pois, o número sucessor a “4” passa do 
número 5, com isso é obrigatório elevar o valor, que será de 
aproximadamente... 
≅ 31,75 
 
 Assim temos que: 
X ≅ 31,75 
Y ≅ 31,75 
 
 a seguir, será calculado o valor de ‘’z’’; 
z = 
32000
31,75 ∗ 31,75
→ 
32000
10.080.625
→ 31,7440634… 
 
 Reduzindo a resposta para duas casas decimais depois da 
virgula; o valor da segunda casa decimal depois da virgula irá 
prevalecer, pois, o número sucessor a ele é menor que menor que 
5, com isso será mantido o valor, que será arredondado para 
≅ 31,74 
 
 E concluindo; 
Largura 
Comprimento 
Altura 
X ≅ 31,75 
Y ≅ 31,75 
z ≅ 31,74 
 
 Comparação antes e depois da redução do volume da caixa; 
VA = 40 * 40 * 20 
VA = 32000 
 
VD = 31,75 * 31,75 * 31,74 
VD = 31.995,90375 
VD ≅ 31995 VA = Volume antes 
 VD = Volume depois 
 VA = 32000 VD = 31995 
x 40 31,75 
Y 40 31,75 
Z 20 31,74 
 
 Tendo em vista a tabela acima, percebe, se que ao minimizar a 
quantidade de papelão utilizado, x e y perderam 8,25 cm cada e z 
ganhou 11,74; inicialmente a caixa tinha o formato retangular e 
agora está no formato quadrado. 
 Ao “somar”: x + y + z; descobriremos quanto de volume a caixa 
perdeu; 
= (-8,25) + (-8,25) + 11,74 
= - 16,50 + 11,74 
= -4,76 (-1) 
= 4,76 
 
 A caixa perdeu 4,76 cm de seu volume! 
 Ao tirar a prova real, iremos somar o 31.995,90375 + 4,76 
(volume que a caixa perdeu); 
= 31.995,90375 + 4,76 
= 32.000,6637 → será anulada as casas decimais 
depois da virgula e o valor será exato; 
= 32.000