Avaliação - Trabalho da Disciplina - Cálculo Diferencial e Integral II [AVA 1]

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA
BACHARELADO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO – EAD
ENTREGA DA AVALIAÇÃO 
TRABALHO DA DISCIPLINA [AVA 1]
Cálculo Vetorial e Integral II
CABO FRIO – RJ – ANDRÉ LUIZ R. DOS SANTOS
ENTREGA DA AVALIAÇÃO – TRABALHO DA DISCIPLINA [AVA 1]
Cálculo Vetorial e Integral II
 Trabalho do curso apresentado à Universidade Veiga de Almeida, como requisito de avaliação do período letivo para recebimento do bacharel em Engenharia de Produção. 
CABO FRIO – RJ – ANDRÉ LUIZ R. DOS SANTOS
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS:
ALGUMAS APLICAÇÕES Ao longo das unidades 1 e 2 discutimos algumas possíveis aplicações das funções de várias variáveis. Nas questões abaixo teremos uma noção geral de como tais funções e o conhecimento adquirido até agora podem ser utilizados em algumas áreas do conhecimento. 
1ª Questão:
 A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende da longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever T=f(x,y,t). O tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro. 
(a) Qual o significado das derivadas parciais 
A taxa de variação da temperatura quando a longitude varia, com a latitude e tempo fixados; - A taxa de variação da temperatura quando varia apenas a latitude; 
é a taxa de mudança quando varia apenas o tempo;
(b) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N.
Suponha que às 9 horas em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você esperaria fx(158,21,9), fy(158,21,9) e ft(158,21,9) serem positivos ou negativos? 
Explique. (Atenção para o fato das longitudes serem contadas a partir do meridiano central, sendo positivas para leste (E) e negativas para oeste (W)). 
Fx(158,21,9) Positiva - Quando há variação, na longitude, a temperatura tende a ficar mais quente, sendo assim, indo mais para Leste do que Oeste, consequentemente sendo positiva
Fy(158,21,9) Negativa - Quando há variação de temperatura na direção norte, esta tende a ficar mais fria, sendo assim, indo mais para Oeste que para Leste, consequentemente sendo negativa.
Ft(158,21,9) Positiva - Conforme o enunciado, a temperatura aumenta pela manhã para a tarde.
2ª Questão:
Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja V seja dado por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥 𝑥𝑦 23 +𝑥𝑦𝑧.
(A) Qual o domínio da função V?
(B) Determine a taxa de variação do potencial em P (3,4,5) na direção do vetor:
Derivando em relação aos eixos x, y, z: 
Então o gradiente é dado por: 
Calculando as derivadas parciais aplicadas no ponto P (3,4,5) nós teremos o vetor gradiente, que nos dá a direção onde o potencial elétrico irá aumentar mais rapidamente: 
 Direção de máxima variação de V.
Derivada direcional na direção do vetor 
Taxa de variação:
(C) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P?
 A direção em que V varia mais rapidamente em P é a direção do gradiente de V no ponto P, isto é, na direção de: 
3ª Questão: 
Uma caixa de papelão (com tampa) deve ter um volume de 32.000 cm3. Determine as dimensões (aproximadas) da caixa que minimizem a quantidade de papelão utilizado. 
(Atenção: o raciocínio desenvolvido deve ser o mais geral possível, logo a caixa deve ser considerada, inicialmente, retangular).
Achamos os valores de X e Y temos,
Assim, x ≅ 31,75 e y ≅ 31,75 minimizam a função.
Sendo assim, mesmo que, inicialmente, a caixa fosse retangular, para que as dimensões da caixa minimizem a quantidade de papelão utilizado, o formato deve ser de um cubo, com as seguintes dimensões:
REFERÊNCIAS 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Thomson, 2009. v. 2. 
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo. São Paulo: Pearson, 2012.