Avaliação 1 - Cálculo II - Nota 100

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UVA – UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA 
 
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
2021 
NOTA 100
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado à Universidade Veiga 
de Almeida, como recurso avaliativo da 
disciplina Cálculo Diferencial e Integral II. 
 
Orientador: Prof. Felipe Tsuruta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
2021 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS: 
ALGUMAS APLICAÇÕES 
 
Ao longo das unidades 1 e 2 discutimos algumas possíveis aplicações das fun-
ções de várias variáveis. Nas questões abaixo teremos uma noção geral de como tais 
funções e o conhecimento adquirido até agora podem ser utilizados em algumas áreas 
do conhecimento. 
1ª Questão: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende da 
longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever T=f(x,y,t). 
O tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro. 
 
(a) Qual o significado das derivadas parciais 
∂T/∂x – A taxa de variação da temperatura quando a longitude varia, com a latitude e 
tempo fixados; 
∂T/∂y - A taxa de variação da temperatura quando varia apenas a latitude; 
∂T/∂t - é a taxa de mudança quando varia apenas o tempo; 
 
(b) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N. Suponha que às 9 horas 
em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma que a 
oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você esperaria 
fx(158,21,9), fy(158,21,9) e ft(158,21,9) serem positivos ou negativos? Explique. 
(Atenção para o fato das longitudes serem contadas a partir do meridiano central, 
sendo positivas para leste (E) e negativas para oeste (W)). 
Fx(158,21,9) – Positiva – Quando há variação, na longitude, a temperatura tende a ficar 
mais quente, sendo assim, indo mais para Leste do que Oeste, consequentemente 
sendo positiva 
Fy(158,21,9) – Negativa – Quando há variação de temperatura na direção norte, esta 
tende a ficar mais fria, sendo assim, indo mais para Oeste que para Leste, consequen-
temente sendo negativa 
Ft(158,21,9) – Positiva – Conforme o enunciado, a temperatura aumenta pela manhã 
para a tarde. 
 
2ª Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico se-
ja V seja dado por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥2−3𝑥𝑦+𝑥𝑦𝑧. 
 
(A) Qual o domínio da função V? 
D = {f(v)=(x, y, z) € R3 l (5x)2–3xy+xyz ≥ 0} 
 
(B) Determine a taxa de variação do potencial em P (3,4,5) na direção do vetor 𝒊 + 
𝒋 +𝒌 
 
 
Derivando em relação aos eixos x, y, z: 
 
 = 
 = 
 = 
 
Então o gradiente é dado por: 
 
 + 
 
Calculando as derivadas parciais aplicadas no ponto P (3,4,5) nós teremos o vetor gra-
diente, que nos dá a direção onde o potencial elétrico irá aumentar mais rapidamente: 
 
 = 
 = 
 = = (3.4) = 12 
 
Direção de máxima variação de V. 
 
Derivada direcional na direção do vetor 𝒊 + 𝒋 +𝒌 : 
 sendo 
 
 
Taxa de variação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(C) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P? 
 
A direção em que V varia mais rapidamente em P é a direção do gradiente de V no 
ponto P, isto é, na direção de 
 
3ª Questão: Uma caixa de papelão (com tampa) deve ter um volume de 32.000 cm3. 
Determine as dimensões (aproximadas) da caixa que minimizem a quantidade de pa-
pelão utilizado. (Atenção: o raciocínio desenvolvido deve ser o mais geral possível, logo 
a caixa deve ser considerada, inicialmente, retangular). 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
Achando os valores de x e y temos, 
 
Assim, x ≅ 31,75 e y ≅ 31,75 minimizam a função. 
 
 
 
Sendo assim, mesmo que, inicialmente, a caixa fosse retangular, para que as di-
mensões da caixa minimizem a quantidade de papelão utilizado, o formato deve 
ser de um cubo, com as seguintes dimensões: 
Altura 31,75cm 
Largura 31,75cm 
Profundidade 31,74cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
RIOS, Luciana Antunes. Cálculo Diferencial e Integral II [livro eletrônico]. Rio de 
Janeiro: UVA, 2019. 
 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Thomson, 2009. v. 2. 
 
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo. São Paulo: Pearson, 2012. v. 2.