Cálculo Diferencial e Integral II AVA1 - Wesley Alves Damasco Rosa

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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA
 POLO TIJUCA
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
Wesley Alves Damasco Rosa
20193300098
Cálculo Diferencial e Integral II
Trabalho da Disciplina [AVA 1]
Rio de Janeiro
27 de agosto de 2021
Wesley Alves Damasco Rosa
Cálculo Diferencial e Integral II
Trabalho da Disciplina [AVA 1]
Trabalho de avaliação de disciplina em am- biente virtual apresentado como parte dos requisitos necessários para completa forma- ção das avaliações finais.
 Professor(a): Alessandro de Souza Bastos
 Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
 Rio de Janeiro
27 de agosto de 2021
Sumário
UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA	1
POLO TIJUCA	1
Rio de Janeiro	2
1 Enunciado	4
2 Orientações	4
3 Resolução	5
4 Referências	8
1 Enunciado
Funções de várias variáveis: algumas aplicações
Ao longo das unidades 1 e 2 discutimos algumas possíveis aplicações das funções de várias variáveis. Nas questões abaixo teremos uma noção geral de como tais funções e o conhecimento adquirido até agora podem ser utilizados em algumas áreas do conhecimento.
 2 Orientações 
1ª Questão: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende da longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever T=f(x,y,t). O tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro.
(a) Qual o significado das derivadas parciais ∂T/∂x, ∂T/∂y e ∂T/∂t?
(b) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N. Suponha que às 9 horas em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você esperaria fx(158,21,9), fy(158,21,9) e ft(158,21,9) serem positivos ou negativos? Explique. (Atenção para o fato das longitudes serem contadas a partir do meridiano central, sendo positivas para leste (E) e negativas para oeste (W)).
2ª Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja V seja dado por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥2−3𝑥𝑦+𝑥𝑦𝑧.
(a) Qual o domínio da função V?
(b) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor 𝒊̂+ 𝒋̂+𝒌̂.
(c) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P?
3ª Questão: Uma caixa de papelão (com tampa) deve ter um volume de 32.000 cm3. Determine as dimensões (aproximadas) da caixa que minimizem a quantidade de papelão utilizado. (Atenção: o raciocínio desenvolvido deve ser o mais geral possível, logo a caixa deve ser considerada, inicialmente, retangular)
Responda às questões com clareza, indicando o raciocínio desenvolvido e destacando as respostas obtidas.
 3 Resolução
1. Questão – (A)
∂T/∂x – A taxa de variação da temperatura quando a logitude varia com a latitude e tempo fixados.
∂T/∂y – A taxa de variação da temperatura quando varia apenas a latitude.
∂T/∂t – É a taxa de mudança quando varia apenas o tempo.
(B)
fx(158,21,9) – Quando há variação, na longitude, a temperatura pende a ficar mais quente, portanto, indo mais para Leste do que Oeste, por consequência sendo positiva. Positiva.
fy(158,21,9) – Quando há variação de temperatura na direção norte, pende a ficar mais fria, portanto, indo mais para Oeste que para Leste, por consequência sendo negativa. Negativa.
ft(158,21,9) – Como exposto, a temperatura aumenta da manhã para tarde. Positiva.
2. Questão – (A)
D = {f(v) = (x, y, z) € R3 | (5x)2 – 3xy + xyz ≥ 0}
(B) 
V(x,y,z) = 5x2 – 3xy + xyz
Derivando em relação aos eixos x, y, z:
 = 10x – 3xy + yz
 = - 3x + xz
 = xy
Então o gradiente é dado por:
∇V (x,y,z) = (10x – 3y + yz) î + (-3x + xz) ĵ + (xy) k
No calculo das derivadas parciais aplicando no ponto P (3,4,5) teremos o vetor gradiente, que nos orienta onde o potencial elétrico irá aumentar mais rapidamente:
 = 10x – 3y + yz = (10.3) – (3.4) + (4.5) = 30 – 12 + 20 = 38
 = - 3x + xz = -(3.3) + (3.5) = -9 + 15 = 6
 = xy = (3.4) = 12
∇V(P) = (38,6,12) Direção de máxima variação de V.
Derivada direcional na direção do vetor î + ĵ + k:
V = î+ ĵ+k sendo V = 1+1+1
|V| = 
Taxa de variação:
 = 
 (3,4,5)
 = 
 (3,4,5)
 = 
 (3,4,5)
(C)
A direção em que V varia mais rapidamente em P é a direção do gradiente de V no ponto P, ou seja, na direção de ∇V(p) = (38,6,12)
3. Questão
V = xyz = 32000 cm3
A(x,y,z) = 2(xy + xz + yz) Área total da caixa
Vemos que z = 
Sendo assim,
A(x,y) = 2 (xy + + )
 = 0 2 (y - ) = 0 y = 
 = 0 2 (x - ) = 0 x = 
Com os valores de x e t, temos então:
X = x = x = x3 = 32000 x = 
y = y = y = 
Assim, x e y minimizam a função.
z = 
Isto posto, mesmo que inicialmente a caixa fosse retangular, para que as dimensões da caixa minimizem a quantidade de papelão utilizado, o formato deve ser de um cubo com as seguintes dimensões:
Altura de 31,75cm
Largura de 31,75cm
Profundidade de 31,74cm
4 Referências
Cálculo II, UNIVESP – Youtube – Disponível via plataforma Canvas
Derivada Direcional e Gradiente
https://www.youtube.com/watch?v=3ktGwOYFwQk
https://www.youtube.com/watch?v=a2r_eIZIAaA	
https://www.youtube.com/watch?v=GKzhUAZTpyE
Plataforma Virtual CANVAS
Unidade 1 e 2