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Operações com dois conjuntos
Vagner Luis Zanin 
Introdução
As operações envolvendo conjuntos aparecem de modo natural, a partir do momento em que 
definimos as relações entre elemento e conjunto, ou mesmo entre dois conjuntos. Elas aparecem 
frequentemente em aplicações diversas no âmbito da Matemática e em outras áreas como ferra-
menta para a descrição de modelos. 
Os conceitos estudados por nós são quase que basicamente aplicados a conjuntos numéri-
cos, mas é possível estender essas propriedades para conjuntos que sejam formados por outros 
elementos, como animais e plantas.
Vale destacar que quando falamos em relação entre conjuntos, estudamos seu comportamento 
e seus elementos, quando relacionados com outros conjuntos. Apesar de, às vezes, termos a impres-
são de que estamos trabalhando com ideias primárias ou básicas, o significado que deve ser aplicado 
à palavra “básico”, neste caso, é o de mais importante, essencial, primordial e não o de mais simples.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • Compreender as diferentes operações com conjuntos: união, intersecção e diferença 
entre dois conjuntos.
1 Como representar um conjunto?
Para representar um conjunto, utilizamos letras maiúsculas do alfabeto. Já seus elementos 
são identificados pelas letras minúsculas. Nesse sentido, destacamos três formas de representa-
ção de um conjunto: 
 • listagem dos elementos - todos os elementos são apresentados em forma de lista, 
entre chaves e separados por vírgula ou ponto e vírgula. Ex: A = {0, 2, 4, 6, 8}.
 • por propriedades - quando não for conveniente escrever todos os elementos que for-
mam o conjunto, pela grande quantidade, ele deve ser representado por uma proprie-
dade comum a todos os seus elementos. Ex: C = {x ⏐ x é uma vogal do nosso alfabeto}.
 • diagrama de Venn – criado pelo matemático inglês John Venn, é uma representação 
gráfica do conjunto através de uma figura plana fechada, com o objetivo de facilitar as 
relações de união e intersecção entre conjuntos.
F
C
G
H
E
D
I
Figura 1 – Diagrama de Venn
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
SaIba maIS!
O matemático inglês John Venn (1834 – 1923) foi um profundo conhecedor de lógica 
e da teoria das probabilidades. Ele contribuiu com o desenvolvimento da álgebra 
booleana através da representação das uniões e interseções de conjuntos via 
diagramas. Leia mais em: <http://w3.ufsm.br/ppgf/wp-content/uploads/2011/10/
dissertacao-mendonca.pdf>.
Nos próximos tópicos estudaremos a relação de pertinência, inclusão e igualdade entre conjuntos.
2 Pertinência na teoria de conjuntos
É a relação entre elemento e conjunto, que indica se um determinado elemento pertence ou 
não a um dado conjunto. 
Exemplo: 
Considerando A = {1, 2, 5, 7, 9} 
7 ∈ A, ou seja, o elemento 7 pertence ao conjunto A. 
3 ∉ A, ou seja, o elemento 3 não pertence ao conjunto A.
É importante observar que a relação de pertinência apenas nos dá a relação específica entre 
elemento e conjunto, mostrando se um elemento pertence ou não pertence ao conjunto dado.
3 Inclusão na teoria de conjuntos
Neste tópico, teremos a noção de subconjunto de um conjunto. Para tal, considere os conjun-
tos A e B, onde A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A for elemento de B. Esta 
é a relação de inclusão, sendo denotada por A ⊂ B (lemos A está contido em B). Contrariamente, 
se existir pelo menos um elemento de A que não é elemento de B, teremos A ⊄ B e, neste caso, A 
não é um subconjunto de B, isto é, A não está contido em B.
Pertinência Inclusão
No caso em que A ∈ B, o diagrama de 
Venn fica:
 
B
C
G
H E
D
IA
No caso em que A ⊂ B, o diagrama de 
Venn fica:
B
C
G
H E
D
I
A
Quadro 1 – Pertinência e inclusão
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
4 Igualdade entre conjuntos
Essa relação ocorre quando dois ou mais conjuntos são iguais, ou seja, quando apresentam 
os mesmos elementos, independentemente da ordem. Se temos os conjuntos A= {1; 2; 3}, B = {3; 
2;1} e C= {1; 1; 2; 2; 3; 3; 3}, verificamos que A = B, logo: A = B ↔ A ⊂ B e B ⊂ A, e também verificamos 
que B = C, logo: B ⟷ C ⊂ B ⊂ C e C ⊂ B.
5 Operações com dois conjuntos
As operações entre conjuntos são de extrema importância, pois suas ideias são utilizadas 
em áreas como a lógica e a matemática básica. O seu estudo consiste em analisar o comporta-
mento dos conjuntos, dos elementos e das interações entre eles. A seguir, conheceremos melhor 
operações como: união, interseção, subtração e complementar. Vale destacar que o seu estudo 
não termina por aqui, mas a partir desse conteúdo é possível ter uma base consistente para que 
se possa aprofundar cada vez mais o conhecimento sobre os conjuntos.
5.1 União entre conjuntos
A união ocorre quando juntamos os elementos de vários conjuntos, formando um novo con-
junto. Ou seja, pegamos os elementos dos conjuntos envolvidos na operação e reunimos em um 
único conjunto, não importando a ordem e nem a quantidade dos elementos. A ideia se aplica 
quando trabalhamos com conjuntos que possuem ou não elementos em comum.
A B
Figura 2 – Representação da união entre conjuntos
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
ExEmPlO
Dados os conjuntos A = {0, 1} e B = {1, 2, 4, 5, 6}, o conjunto união será C = {0,1,2,4,5,6} 
e é indicado por C = A∪B.
A B
0
1
2
4
5
6
2
4
5
6
2
4
5
6
0
1
C
Figura 3 – C = A ∪ B
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Assim, a união consiste em agrupar todos os elementos existentes em dois ou mais conjun-
tos. Vale ressaltar que os elementos iguais serão considerados apenas uma vez. 
5.2 Interseção de conjuntos 
A interseção entre A e B é o conjunto formado pelos elementos que estão simultaneamente nos dois 
conjuntos. Considere A e B e imagine que estes conjuntos possuem elementos em comum (ou elemen-
tos que são descritos em ambos conjuntos): à reunião destes elementos damos o nome de interseção.
A B
Figura 4 – A ∩ B
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
ExEmPlO
Se A = {0, 1} e B = {1, 2, 4, 5, 6}, o conjunto interseção de A e B será C = A ∩ B. Logo, 
C = {1}.
A B
0
1
2
4
5
6
2
4
5
6
Figura 5 – A ∩ B
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
FIqUE atEntO!
Se na interseção de dois conjuntos quaisquer A e B forem o conjunto vazio, pode-
mos dizer que os conjuntos A e B são disjuntos.
Assim, a interseção consiste em agrupar em um único conjunto todos os elementos comuns 
ou que ocorrem ao mesmo tempo entre os conjuntos. Aqui também vale a informação de que, 
caso existam elementos iguais, estes serão considerados apenas uma vez. 
5.3 Subtração de conjuntos 
A operação representa a retirada dos elementos do conjunto A que também aparecem em B. Dessa 
forma, temos: A – B = {x ∈ A tal que x ∉ B}. Podemos imaginar a seguinte situação, em dois momentos 
distintos: o primeiro é quando somente parte dos elementos de A está na interseção com conjunto, por 
exemplo. Neste caso, aplica-se a definição sem problemas. O segundo caso ocorre quando temos todo 
o conjunto A contido no B. Para esta situação, veremos a ideia de complementar, ainda nesta aula.
A B
Figura 6 – Diferença de conjuntos
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Acompanhe: considerando os conjuntos A= {0, 1, 2} e B = {1, 2, 4, 5, 6}, devemos retirar do 
conjunto B todos os elementos que também aparecem no conjunto A.
A B
0
4
5
6
4
5
6
C
1
2
Figura 7 – B – A
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Como podemos observar na Figura 8, temos C = B – A = {4, 5, 6}.
5.4 Complemento de um conjunto
A partir da diferença entre A e B, podemos defi nir o complemento de um conjunto. Se tiver-
mos, por exemplo, B ⊂ A, chamamos complementar de B em relação a A o conjunto diferença, 
representado por A – B. Dessa forma, temos por CA B = A – B.
FIqUE atEntO!
O conceito de complementar de um conjunto está inteiramente associado com o 
conceito de subtração, já que o complementar consiste na subtração do conjunto 
menor em relação ao maior. É importante destacar que esta operação só é válida 
quando estamos trabalhandocom conjuntos contidos em outro conjunto.
Nesse caso, se A = {g, e, h, j, d, f, i, a, k} e B = {a, f, k, i}:
g
h
i
j
k
f
a
d
e
A
B
Figura 8 – Conjunto A e B
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Considerando o conjunto A e retirando os elementos que também ocorrem no conjunto B, 
teremos, como solução, CA B = A – B = {f, a, k, i}.
FIqUE atEntO!
Quando trabalhamos as operações entre conjuntos, manipulamos basicamente os 
elementos de que compõem cada conjunto. Ou seja, sempre que trabalhamos com 
conjuntos, o nosso interesse principal é interação dos elementos com os conjuntos 
envolvidos em uma determinada operação.
É importante ressaltar que o foco na operação complementar são os elementos pertencen-
tes ao conjunto maior e não ao que está contido nele. Esse conceito aplica-se somente quando 
trabalhamos com a subtração de um conjunto que está contido em outro conjunto, onde retiramos 
do maior os elementos do menor.
Fechamento
Nesta aula, você compreendeu conceitos e propriedades importantes sobre operações com 
dois conjuntos. Você teve a oportunidade de ver:
 • As formas possíveis de representação de um conjunto;
 • Os conceitos básicos sobre as operações entre conjuntos, como por exemplo, pertinên-
cia, inclusão, união, interseção, subtração e complementar.
Referências 
BEZERRA, M. J. Matemática para o ensino médio. São Paulo: Scipione, 2001. 
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar: Conjuntos e funções. 
V.1. São Paulo: Atual, 1998.
MENDONÇA, Bruno Ramos. Conhecimento simbólico em John Venn. 2013. 88 folhas. Disserta-
ção de Mestrado. Pós-Graduação em Filosofia, Universidade Federal de Santa Maria, Rio Grande 
do Sul, 2013.
UAEC/UFCG Universidade Federal de Campina Grande. John Venn. Disponível em: <http://www.
dec.ufcg.edu.br/biografias/JohnVenn.html>. Acesso em: 15 ago. 2016.
ZÖLD, Harold H. N.; CORREA, Sérgio. Matemática. São Paulo: Círculo do Livro, 1996.