aula 1 FT - Copia

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Fenômenos de Transporte
Prof. Lyvio
(edulyvio@gmail.com / eduardo.hlyvio@anhanguera.com) 
Carga Horaria: 60 horas
Bibliografia: 
Mecânica dos Fluídos
 Franco Brunetti
 Bruce R. Munson
Avaliação:
Avaliação Continuada
mailto:edulyvio@gmail.com
Avaliação Continuada
CALENDÁRIO ACADÊMICO 2022/1
 Definição e Propriedades dos Fluidos: Conceitos fundamentais, tensão de
cisalhamento, viscosidade, massa especifica, peso especifico, etc.
 Estática dos Fluidos: Pressão, Teorema de Stevin, Manometria,
Equipamentos para medir a pressão, força em uma superfície plana.
 Cinemática dos Fluidos: Regimes de escoamento, vazão e equação da
continuidade.
 Equação da Energia e Escoamento Interno: Equação de Bernoulli, potência e
rendimento.
 Transferência de Calor: Condução, convecção e trocadores de calor.
 Termodinâmica Básica: Introdução, primeira lei da termodinâmica, modelo
de gás ideal.
Fenômenos de Transporte
Mecânica dos corpos indeformáveis
Mecânica dos corpos deformáveis
Mecânica dos Fluidos
Quais assuntos tratados na disciplina e qual a sua importância 
para um Engenheiro:
Mecânica dos Fluidos é o ramo da Mecânica Aplicada que se dedica ao estudo do 
comportamento físico dos fluidos (líquidos e gases), tanto em equilíbrio quanto em 
movimento, e das leis que regem este comportamento
Mecânica:
Ramo da física que estuda o movimento dos corpos, bem como o comportamento de
sistemas submetidos a ação de uma ou mais forças.
Mecânica:
Aplicações da Mecânica dos Fluidos
Barragens
Dimensionamento de canais
Aplicações da Mecânica dos Fluidos
Cálculos de Instalações hidráulicas prediais
Cálculos de Máquinas hidráulicas
Aplicações da Mecânica dos Fluidos
Equilíbrio de corpos flutuantes (embarcações);
Ação do vento sobre construções civis;
Ação de fluidos sobre veículos (aerodinâmica);
O que é um Fluido?
1º) Do ponto de vista da análise da estrutura molecular;
2º) Do ponto de vista da ação de uma força aplicada;
O que é um Fluido?
1º) Do ponto de vista da análise da estrutura molecular:
SÓLIDOS LIQUIDOS GASES
Moléculas são 
pouco espaçadas;
 Forças 
intermoleculares 
intensas e coesivas;
Não pode ser 
deformado facilmente;
 Espaçamento entre as 
moléculas é maior;
 Forças intermoleculares 
são fracas;
 Podem ser facilmente 
deformados, vertidos 
em reservatórios ou 
forçados a escoar em 
tubulações;
 Espaçamento é ainda 
maior;
 Forças são 
desprezíveis;
 Facilmente 
deformados, ocuparão 
totalmente o volume 
do reservatório;
2º) Do ponto de vista da ação de uma carga externa:
Definição de Fluido
Primeiramente vamos relembrar os tipos de forças que podem atuar sobre uma partícula (superfície)
A força de superfície é decomposta em duas
componentes: normal e tangencial à área de aplicação
da força.
𝐹𝑛 Força Normal
𝐹𝑡 Força Tangencial
Lembrando que definimos tensão como a força aplicada por unidade de área:
Tensão Normal 𝜎 =
𝐹𝑛
𝐴
Tensão de Cisalhamento 𝜏 =
𝐹𝑡
𝐴
Conhecendo a tensão de cisalhamento, podemos definir o fluido de forma mais aprofundada e precisa, a 
fim de construir conceitos que serão utilizados ao longo desta disciplina. 
2º) Do ponto de vista da ação de uma carga externa:
Definição de Fluido
SÓLIDO
FLUIDO
Definição de Fluido
Fluido é uma substância que não tem forma própria, e
que, se estiver em repouso não resiste a tensões de
cisalhamento (deforma continuamente quando submetida
a uma tensão de cisalhamento de qualquer valor).
Pode-se dizer que:
 Sistema Internacional (SI):
Comprimento (metro)
Tempo (segundo)
Massa (quilograma)
 Sistema Britânico:
Comprimento (pé)
Tempo (segundo)
Força (libra)
Sistema de Unidades
OBS.:
Os fatores de conversão
entre os dois sistemas
podem ser facilmente
feitos por meio de tabelas.
1) Massa Especifica (𝜌):
Definição: É a massa de uma determinada substância contida numa
unidade de volume;
Unidade: no SI sua unidade é 𝑘𝑔 𝑚3
Propriedades Importantes
(1)
Apresentaremos a seguir algumas propriedades que definem o
comportamento dos fluidos:
𝜌 =
𝑀
𝑉
2) Peso Especifico (γ):
Definição: É o peso da contida numa unidade de volume;
Unidade: no SI sua unidade é 𝑁 𝑚3
𝛾 =
𝑊
𝑉
Obs.: O peso especifico pode ser relacionado com a massa especifica
através da relação
𝛾 = 𝜌𝑔
(2)
(3)
Propriedades Importantes
3) Densidade relativa (𝑆𝐺):
Definição: É definida como a razão entre a massa especifica do fluido e a
massa especifica da água numa certa temperatura. Usualmente a
temperatura especificada é 4°𝐶 (nessa temperatura a massa especifica da
água é igual a 1000 𝑘𝑔 𝑚3)
𝑆𝐺 =
𝜌
𝜌𝐻2𝑂
(4)
Propriedades Importantes
Unidade: admensioinal
4) Volume especifico (𝜈):
Definição: É o volume ocupado por uma unidade de massa da substância
considerada.
𝜈 =
1
𝜌
(5)
Propriedades Importantes
Unidade: no SI sua unidade é 𝑚3 𝑘𝑔
Propriedades Importantes
Propriedades Importantes
Sob certas condições, a massa especifica de um gás está relacionada com a
pressão e a temperatura através da equação:
𝑝 = 𝜌𝑅𝑇
Onde:
𝑝 é a pressão absoluta;
𝜌 é a massa especifica;
𝑇 é a temperatura absoluta;
𝑅 é a constante do gás;
Lei dos Gases Ideais
(6)
Obs.: Unidade da Pressão:
 𝑁 𝑚2 (Pascal)
Obs.:
1) Na expressão anterior a temperatura é medida em Kelvin, valendo a
relação: 𝐾 = ℃+ 273,15
2) A pressão num fluido em repouso é definida como a força normal por
unidade de área exercida numa superfície plana.
3) A pressão utilizada na expressão anterior é a pressão absoluta.
𝑃𝑎𝑏𝑠 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝑃𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
Lei dos Gases Ideais
Massa 
Especifica 
(𝝆)
Peso 
Especifico 
(𝜸)
Densidade 
relativa 
(𝑺𝑮)
Volume 
especifico 
(𝝂)
𝝆 =
𝒎
𝑽 𝜸 =
𝑾
𝑽
𝑺𝑮 =
𝝆
𝝆𝑯𝟐𝑶
𝝂 =
𝟏
𝝆
Unidade: 𝑘𝑔 𝑚3 Unidade: 𝑁 𝑚3 Adimensional Unidade: 𝑚3 𝑘𝑔
Propriedades Importantes
OBS.: Relação entre o peso e a massa especifica: 𝛾 = 𝜌𝑔
Exemplificando
1) Se 7𝑚3 de um óleo tem massa de 6300𝑘𝑔, calcule sua massa especifica, seu peso
especifico e sua densidade relativa no Sistema Internacional (SI).
Dados 𝑔 = 9,8 𝑚 𝑠2, 𝜌𝐻2𝑂 = 1000 𝑘𝑔 𝑚
3.
𝑉 = 7 𝑚3
𝑚 = 6300 𝑘𝑔
𝜌 = ?
𝛾 = ?
𝑆𝐺 = ?
𝜌 =
𝑚
𝑉 𝜌 =
6300
7
𝜌 = 900 𝑘𝑔 𝑚3
𝛾 = 𝜌𝑔 𝛾 = 900 × 9,8 𝛾 = 8820 𝑁 𝑚3
𝑆𝐺 =
𝜌
𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎
𝑆𝐺 =
900
1000
𝑆𝐺 = 0,9
Exemplificando
𝑆𝐺 𝐻𝑔 = 13,6
𝜌 =
𝛾
𝑔
𝛾 = 𝜌𝑔
𝛾𝐻𝑔 = 13600 × 9,8 𝛾𝐻𝑔 = 133280 𝑁 𝑚
3
𝑆𝐺 𝐻𝑔 =
𝜌𝐻𝑔
𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎
2) O peso especifico da água a pressão e temperaturas usuais é igual a 9,8 𝑘𝑁 𝑚3 e a
densidade relativa do mercúrio é igual a 13,6. Determine a massa especifica e a densidade
relativa da água bem como a massa especifica e o peso especifico do mercúrio no SI. (adotar
𝑔 = 9,8 𝑚 𝑠2).
𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 = 9800 𝑁 𝑚
3
𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 = ?
𝑆𝐺 𝑎𝑔𝑢𝑎 = ?
𝜌𝐻𝑔 = ?
𝛾𝐻𝑔 = ?
𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 =
𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎
𝑔
=
9800
9,8
𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 = 1000 𝑘𝑔 𝑚
3
𝑆𝐺 𝑎𝑔𝑢𝑎 =
𝜌
𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎
=
1000
1000
𝑆𝐺 𝑎𝑔𝑢𝑎 = 1
13,6 =
𝜌𝐻𝑔
1000
𝜌𝐻𝑔 = 13600 𝑘𝑔 𝑚
3
Exemplificando
𝜌 =
𝛾
𝑔
𝛾 = 𝜌𝑔
3) Um reservatório graduado contem 500 𝑚𝑙 de um liquido que pesa 8 𝑁. Determine o
peso especifico, a massa especifica e a densidade deste liquido, no SI.
𝑉 = 500 𝑚𝑙
𝑊 = 8 𝑁
𝜌 = ?
𝛾 = ?
𝑆𝐺 = ?
𝛾 =
𝑊
𝑉
𝑉 = 500 × 10−6 𝑚3
𝛾 =
8 𝑁
500 × 10−6 𝑚3
𝛾 = 16000 𝑁 𝑚3
𝛾 = 16 𝑘𝑁 𝑚3
𝜌 =
16000
9,8
𝜌 = 1632,65 𝑘𝑔 𝑚3
𝑆𝐺 =
𝜌
𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎
𝑆𝐺 =
1632,65
1000
𝑆𝐺 = 1,63
4) Um reservatório cilíndrico possui diâmetro de 2 metros e altura de 4
metros. Sabendo que o reservatório está totalmente preenchido com gasolina
(𝜌 = 720 𝑘𝑔 𝑚3), determine a massa da gasolina presente no reservatório.
Exercícios propostos
2 𝑚
4 𝑚
. .
.
.
gas
𝜌 = 720 𝑘𝑔 𝑚3
𝜌 =
𝑚
𝑉
𝑚 = ?
𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑉 =
𝜋 22
4
× 4 𝑉 = 12,57 𝑚3
𝜌 =
𝑚
𝑉
720 =
𝑚
12,57
𝑚 = 9047.79 𝑘𝑔
𝑚 ≅ 9 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠
5) O peso especifico de um certo liquido é iguala 85,3 𝑙𝑏𝑓 𝑓𝑡3. Determine a
massa especifica e a densidade do liquido no SI.
Exercícios propostos
𝛾 = 85,3 𝑙𝑏𝑓 𝑓𝑡3 𝛾 = 85,3 × 1,571 × 102 𝛾 = 13400,63 𝑁 𝑚3
Exercícios propostos
𝛾 = 13400,63 𝑁 𝑚3
𝛾 = 𝜌𝑔 𝜌 =
13400,63
9,8
Adotando 𝑔 = 9,8 𝑚 𝑠2
𝜌 = 1367,4 𝑘𝑔 𝑚3
𝑆𝐺 =
𝜌
𝜌𝐻2𝑂
𝑆𝐺 =
1367,4
999
𝑆𝐺 = 1,37
tabelado
6) Um tanque de ar comprimido apresenta volume igual a 𝑉 = 2,38 × 10−2m3. Determine
a massa especifica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no
tanque for igual a 340 kPa. Admita que a temperatura do ar no tanque é igual a 21℃ e que
a pressão atmosférica vale 101,3 kPa.
Exercícios propostos
Dados:
𝑉 = 2,38 × 10−2m3
𝑝𝑟𝑒𝑙 = 340 𝑘𝑃𝑎
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 101,3 𝑘𝑃𝑎
𝑇 = 21℃
𝑅 = 2,869 × 102 𝐽 𝑘𝑔. 𝐾
𝑝 = 𝜌𝑅𝑇
𝜌 =
𝑝
𝑅𝑇
𝜌 =
340 + 101,3 × 103
2,869 × 102 × 21 + 273,5
𝜌 = 5,23 𝑘𝑔 𝑚3
𝛾 = 𝜌𝑔
𝑊
𝑉
= 𝜌𝑔 𝑊 = 2,38 × 10−2 × 5,23 × 9,8
𝑊 = 1,22 𝑘𝑔
𝑊 = ?
Definição de Fluido
Fluido é uma substância que não tem forma própria, e
que, se estiver em repouso não resiste a tensões de
cisalhamento (deforma continuamente quando submetida
a uma tensão de cisalhamento de qualquer valor).
Pode-se dizer que:
Massa 
Especifica (𝝆)
Peso 
Especifico (𝜸)
Densidade 
relativa (𝑺𝑮)
Volume 
especifico (𝝂)
Lei dos gases 
ideais
𝝆 =
𝒎
𝑽 𝜸 =
𝑾
𝑽
𝑺𝑮 =
𝝆
𝝆𝑯𝟐𝑶
𝝂 =
𝟏
𝝆 𝒑 = 𝝆𝑹𝒕
 𝑘𝑔 𝑚3 𝑁 𝑚3 Adimensional 𝑚3 𝑘𝑔 𝑁 𝑚2
Propriedades Importantes
OBS.: Relação entre o peso e a massa especifica: 𝛾 = 𝜌𝑔
 A Massa Especifica e o Peso Especifico são propriedades que indicam o
“peso” de um fluido;
 Mas elas não são suficientes para caracterizar o comportamento dos
fluidos;
 Água e óleo podem apresentar massa especifica aproximadamente
iguais, mas se comportam muito diferentemente quando escoam;
 Assim é preciso outra propriedade adicional para descrever a “fluidez”
das substâncias;
Viscosidade
Viscosidade
Para entendermos melhor o conceito de viscosidade, vamos analisar comportamento de
um fluido contido entre duas placas paralelas e infinitas, uma fixa e a outra movendo-se
com velocidade constante.
• Nesse caso as tensões de cisalhamento aparecem no
fluido devido ao escoamento viscoso, ou seja, a força
tangencial aplicada na placa superior é equilibrada por
força internas no fluido, resultando em um equilíbrio
dinâmico.
• Percebe-se que existe um gradiente de velocidade entre
a placa inferior (que está fixa) e a placa superior (que se
move com uma velocidade constante).
A Lei de Newton da Viscosidade diz que a tensão
de cisalhamento é proporcional ao gradiente de
velocidade.
𝜏 ∝
𝑑𝑉
𝑑𝑦
Tal fato leva a introdução de uma constante de proporcionalidade. Tal coeficiente será
indicado por 𝜇 e denomina-se viscosidade dinâmica ou absoluta. Assim:
Viscosidade
𝜏 = 𝜇
𝑑𝑉
𝑑𝑦
Unidade no SI: 𝑁. 𝑠 𝑚2
OBS. 1: Uma simplificação prática para a Lei
de Newton da Viscosidade é dada para
casos em que a espessura de fluido é muito
delgada, ou seja, a distância entre as placas
inferior e superior é muito pequena, em
que podemos utilizar a aproximação:
𝑑𝑉
𝑑𝑦
=
𝑣0
𝜀
𝜏 = 𝜇
𝑣0
𝜀
OBS. 2: É comum em problemas de fluidos a
viscosidade dinâmica aparecer combinada com a massa
especifica, e será denominada viscosidade cinemática:
𝜈 =
𝜇
𝜌
Unidade no SI: 𝑚2 𝑠
Com a finalidade de reduzir o atrito entre duas placas planas paralelas, um óleo com
viscosidade dinâmica igual a 0,027 𝑁𝑠 𝑚2 é aplicado entre elas. As placas estão situadas a
1,5 mm de distância uma da outra e a placa superior move-se com velocidade de 7,2 𝑘𝑚 ℎ,
enquanto a placa inferior está imóvel. Determinar a tensão de cisalhamento aproximada
que agirá sobre o óleo.
Exemplificando
𝜏 = 𝜇
𝑣0
𝜀
𝜏 = 0,027 ×
2
1,5 × 10−3
𝜏 = 36 𝑁 𝑚2
𝑣0 = 7,2 𝑘𝑚 ℎ
𝜇 = 0,027 𝑁𝑠 𝑚2
𝜀 = 1,5 𝑚𝑚
𝑣0 = 7,2 𝑘𝑚 ℎ
𝑣0 = 7,2 ×
1000
3600
𝑣0 = 2 𝑚 𝑠
São dadas duas placas paralelas a distância de 2 mm. A placa superior move-se com
velocidade de 4 m/s enquanto que a inferior está fixa. Se o espaço entre as placas for
preenchido com certo tipo de óleo, de viscosidade cinemática de 𝜈 = 10−5 𝑚2 𝑠 e massa
especifica de 𝜌 = 912 𝑘𝑔 𝑚3, (a) Qual será a tensão de cisalhamento do óleo? (b) Qual a
força necessária para rebocar a placa superior de área 𝐴 = 0,5𝑚2.
Exemplificando
fixa
móvel
2 𝑚𝑚
𝑣0 = 4 𝑚 𝑠 𝜈 = 10−5 𝑚2 𝑠
𝜌 = 912 𝑘𝑔 𝑚3
𝜈 =
𝜇
𝜌
𝜇 = 10−5 × 912
𝜇 = 912 × 10−5 𝑁𝑠 𝑚2
𝜏 = 𝜇
𝑣0
𝜀
𝜏 = 912 × 10−5 ×
4
2 × 10−3
𝜏 = 18,24 𝑃𝑎
Como: 𝜏 =
𝐹𝑡
𝐴
18,24 =
𝐹𝑡
0,5
𝐹𝑡 = 9,12 𝑁
Exemplificando
Uma placa quadrada de 1 metro de lado e 20𝑁 de peso desliza sobre um plano inclinado de
30° sobre uma película de óleo. A velocidade da placa é de 2 𝑚 𝑠, constante. Qual é a
viscosidade dinâmica do óleo se a espessura da película é 2𝑚𝑚?
𝜏 = 𝜇
𝑣0
𝜀
𝐹𝑡
𝐴
= 𝜇
𝑣0
𝜀
20 sin 30 20 sin 30
1 × 1
= 𝜇
2
2 × 10−3
𝜇 = 0,01 𝑁𝑠 𝑚2
Estática dos fluídos
 Veremos a seguir uma classe de problemas da física dos fluidos onde o fluido esta em
repouso ou num tipo de movimento que não obriga as partículas de fluido adjacentes a
apresentar deslocamento relativo.
Nestas condições:
As tensões de cisalhamento nas superfícies das partículas do fluido são nulas e as únicas
forças que atuam nestas condições são as provocadas pela pressão.
Pressão:
O termo “pressão” é usado para indicar a força normal por unidade de área que atua
sobre um ponto do fluido num dado plano.
𝑝 =
𝐹𝑁
𝐴
Unidades SI: 
𝑁
𝑚2
= 𝑃𝑎
Pressão 
 A pressão é uma característica muito importante quando se trata de
escoamento. Por esse motivo, dispositivos e técnicas foram desenvolvidos
e são utilizados para sua medição.
 Como comentamos anteriormente, a pressão num ponto do sistema fluido
pode ser dada em termos absolutos ou relativos.
 As pressões absolutas são medidas em relação ao vácuo perfeito enquanto
a pressão relativa é medida em relação a pressão atmosférica local.
O diagrama a seguir é importante para diferenciar essas duas formas de
representar a pressão, em diferentes referenciais:
Pressão 
𝑝𝑎𝑏𝑠 = 𝑝𝑟𝑒𝑙 + 𝑝𝑎𝑡𝑚
Em resumo:
Não confunda força com pressão
Pressão
Duas perguntas são muito importantes quando se trata da pressão:
1) Como a pressão varia com a orientação do plano que passa pelo ponto?
2) Como varia, ponto a ponto, a pressão numa certa quantidade de fluido que não
apresenta tensões de cisalhamento?
A pressão num ponto de um fluido em
repouso é a mesma em qualquer direção.
Se a pressão fosse diferente em alguma direção, 
haveria um desequilíbrio no ponto, fazendo com 
que este se deslocasse nessa direção, 
contrariando a hipótese.
Primeira conclusão:
Teorema de Pascal 
 𝐹𝑦 = 0 ⇒
2) Como varia, ponto a ponto, a pressão numa certa quantidade de fluido que não
apresenta tensões de cisalhamento?
𝑝𝐴 − 𝑝 + 𝑑𝑝 𝐴 − 𝛾𝐴𝑑𝑦 = 0
𝑑𝑝
𝑑𝑦
= −𝛾
 Esta equação indica que o gradiente de pressão na direção vertical é negativo, ou seja, a
pressão descresse quando nós nos movemos para cima num fluido em repouso.
 Em outras palavras, quando 𝒚 aumenta, 𝒑 diminui; e à medida que subimos através do
fluido, a pressão diminui, como era de se esperar.
Teorema de Stevin: fluido incompressível 
 
𝑝1
𝑝2
𝑑𝑝 = −𝛾 
𝑦1
𝑦2
𝑑𝑦
𝑝1 − 𝑝2 = 𝛾 𝑦2 − 𝑦1 𝑝1 = 𝑝2 + 𝛾ℎ
Nos casos onde a hipótese de peso especifico constante é adequada, podemos usar a
equação:
𝑑𝑝
𝑑𝑦
= −𝛾
Se fizermos 𝑝1 = 𝑝 e 𝑝2 = 𝑝0 na equação anterior, temos que a
pressão em qualquer profundidade h (medida a partir da superfície
livre) é dada por:
𝑝 = 𝑝0 + 𝛾ℎ
Assim, concluímos que a distribuição de pressão num fluido homogêneo, incompressível e
em repouso é função apenas da profundidade (em relação a algum plano de referencia) é
não é influenciada pelo tamanho ou forma do tanque ou recipiente que contém o fluido.
Teorema de Stevin
“A pressão em um ponto de um fluido em equilíbrio estáticodepende da 
profundidade desse ponto, mas não da dimensão horizontal do fluido ou do 
recipiente.” 
Exemplificando
Um consumidor, desconfiado da qualidade da gasolina que comprou em um posto, resolveu testar a sua
densidade. Em um sistema de vasos comunicantes, contendo inicialmente água (𝛾 = 9800 𝑁 𝑚3), despejou
certa quantidade da gasolina. Após o equilíbrio, o sistema adquiriu a aparência abaixo representada.
Determine a densidade da gasolina comprada. (𝑔 = 9,8 𝑚 𝑠2)
água
gas.
.
.
1
2
𝑝1 = 𝑝2 + 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎ℎ 𝑝1 = 9800 × 8 × 10
−2
0
𝑝1 = 784 𝑁 𝑚
2
.
3
.4
𝑝3 = 𝑝4 + 𝛾𝑔𝑎𝑠ℎ Como 𝑝1 = 𝑝3
0
784 = 𝜌𝑔𝑎𝑠 × 9,8 × 10 × 10
−2
𝜌𝑔𝑎𝑠 =
784
9,8 × 10 × 10−2
𝜌𝑔𝑎𝑠 = 800 𝑘𝑔 𝑚
3
Exemplificando
Um grande reservatório contém dois líquidos, A e B, cujas densidades relativas são, respectivamente, 𝑆𝐺𝐴 =
0,7 e 𝑆𝐺𝐵 = 1,5 (veja a figura). A pressão atmosférica local é de 1,0 × 10
5 𝑁 𝑚2. Qual é, em 𝑁 𝑚2, a
pressão absoluta nos pontos (1), (2) e (3)?
Dado: aceleração da gravidade 𝑔 = 9,8 𝑚 𝑠2 , 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 = 9800 𝑁 𝑚
3
𝑝1 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝑝1 = 1,0 × 10
5 𝑁 𝑚2
𝑝2 = 𝑝1 + 𝛾𝐴ℎ𝐴 𝑝2 = 1,0 × 10
5 + 0,7 × 9800 × 10
𝑝2 = 168600 𝑁 𝑚
2
𝑝3 = 𝑝2 + 𝛾𝐵ℎ𝐵 𝑝3 = 168600 + 1,5 × 9800 × 8
𝑝3 = 286200 𝑁 𝑚
2
𝑝2 ≅ 1,7 × 10
5 𝑁 𝑚2
𝑝3 ≅ 2,9 × 10
5 𝑁 𝑚2
Teorema de Stevin: fluido incompressível 
𝑝1 = 𝑝2 + 𝛾ℎ
Se fizermos 𝑝1 = 𝑝 e 𝑝2 = 𝑝0 na equação anterior, temos que a
pressão em qualquer profundidade h (medida a partir da superfície
livre) é dada por:
𝑝 = 𝑝0 + 𝛾ℎ
“A pressão em um ponto de um 
fluido em equilíbrio estático 
depende da profundidade desse 
ponto, mas não da dimensão 
horizontal do fluido ou do 
recipiente.” 
Consequência do teorema de Pascal: elevador hidráulico
O fato da pressão ser constante num plano com a mesma elevação é fundamental para a
operação de dispositivos hidráulicos como macacos, elevadores, prensas, controles de
aviões e de maquinas pesadas. Um pistão localizado num sistema fechado e repleto com
um liquido (por exemplo, óleo) é utilizado para variar a pressão no sistema e assim
transmitir uma força F1 para um segundo pistão (que apresenta uma força F2).
𝑝1 = 𝑝2
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
𝐹2 =
𝐴2
𝐴1
𝐹1
Esse termo irá 
amplificar a força 𝐹1
Exemplificando
A figura a seguir representa o esquema de um elevador hidráulico utilizado para levantar um automóvel.
Determine o valor da força 𝐹1 que deve ser aplicada na plataforma de área 𝐴1 = 10 𝑐𝑚
2 para elevar um
automóvel com uma massa de 1000 𝑘𝑔 na plataforma de área 𝐴2 = 100 𝑐𝑚
2. (𝑔 = 9,81 𝑚 𝑠2).
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
𝐹2 = 𝑚𝑔 𝐹2 = 1000 × 9,8
𝐹2 = 9810 𝑁
𝑝1 = 𝑝2
𝐹1
10
=
9810
100
𝐹1 = 981 𝑁
Devemos aplicar uma força maior que 981 N para
levantar o automóvel. Essa força é 10 vezes menor que a
força peso do automóvel. Assim, podemos elevar cargas
grandes aplicando uma força relativamente pequena
Medições de Pressão 
A pressão também pode ser especificada pela
altura de uma coluna de liquido.
Nesses casos, a pressão deve ser indicada
pela altura da coluna (em metros, milímetros,
etc) e pela especificação do liquido da coluna
(água, mercúrio, etc).
Por exemplo, a pressão atmosférica padrão é
760mmHg (abs).
A medição da pressão atmosférica é
normalmente realizada com o barômetro de
mercúrio.
Barômetro de mercúrio
Medições de Pressão 
Barômetro de mercúrio
 Este dispositivo é constituído por um tubo de vidro com
uma extremidade fechada e a outra (aberta) imersa num
recipiente que contém mercúrio.
 Inicialmente, o tubo estava repleto com mercúrio e então
foi virado de cabeça para baixo (com a extremidade aberta
lacrada) e inserido no recipiente de mercúrio.
 O equilibro da coluna de mercúrio ocorre quando o peso da
coluna mais a força provocada pela pressão de vapor do
mercúrio (que desenvolve no espaço acima da coluna) é
igual a força devida a pressão atmosférica. Assim,
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 𝑝𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟 + 𝛾ℎ
A contribuição da pressão
de vapor, na maioria dos
casos, pode ser desprezada
porque é muito pequena.
𝑝𝑎𝑡𝑚 ≅ 𝛾ℎ
É comum especificar a pressão
atmosférica em função da altura
de uma coluna de mercúrio.
Medições de Pressão 
Por exemplo, a pressão atmosférica padrão 101,33 kPa corresponde a uma
coluna de mercúrio com 0,76 metros de altura e uma coluna de água com
aproximadamente 10,36 metros.
𝑝𝑎𝑡𝑚 ≅ 𝛾ℎ ℎ =
𝑝𝑎𝑡𝑚
𝛾𝐻𝑔
ℎ =
101,33 × 103
133280
ℎ = 0,760 𝑚
Coluna de mercúrio:
Coluna de água:
𝑝𝑎𝑡𝑚 ≅ 𝛾ℎ ℎ =
𝑝𝑎𝑡𝑚
𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎
ℎ =
101,33 × 103
9800
ℎ = 10,3 𝑚
Exemplificando
A água de um lago localizado numa região montanhosa apresenta temperatura média igual
a 10℃ e a profundidade máxima do lago é 40 𝑚. Se a pressão atmosférica local é igual a
598 𝑚𝑚 𝐻𝑔, determine a pressão absoluta na região mais profunda do lago.
Dados: 𝛾𝐻𝑔 = 133 𝑘𝑁 𝑚
3, 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 = 9,8 𝑘𝑁 𝑚
3
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 598 𝑚𝑚𝐻𝑔 𝑝0 = 𝛾𝐻𝑔ℎ 𝑝0 = 133 × 598 × 10
−3 𝑝0 = 79,5 𝑘𝑁 𝑚
2
𝑝 = 𝑝0 + 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎ℎ 𝑝 = 79,5 + 9,8 × 40 𝑝 = 471,5 𝑘𝑁 𝑚2 (abs)
𝑝 = 471,5𝑘𝑃𝑎 (abs)
40 𝑚
598 𝑚𝑚 𝐻𝑔
água
Medições de Pressão 
• Uma das técnicas utilizadas na medição da pressão envolve o uso de colunas de liquido verticais ou
inclinadas.
• Os dispositivos para a medida da pressão baseados nesta técnica são denominados manômetros.
• O barômetro de mercúrio é um exemplo deste tipo de manômetro, mas existem muitas outras
configurações que foram desenvolvidas para resolver problemas específicos.
• Os três tipos usuais de manômetros são o tubo piezométrico, o manômetro em U e o com o tubo
inclinado.
Manometria: 
Manometria
Tubo Piezométrico (piezômetro):
O tipo mais simples de manômetro consiste num tubo vertical aberto no topo e conectado ao recipiente
no desejamos conhecer a pressão.
Como a coluna de liquido esta em equilíbrio, temos que: 
𝑝 = 𝑝0 + 𝛾ℎ
𝑝1 = 𝑝0 + 𝛾1ℎ1
0
Quando igualamos a pressão 𝑝0 = 0
significa que estamos lidando com
pressões relativas
𝑝1 = 𝛾1ℎ1 Como 𝑝1 = 𝑝𝐴
𝑝𝐴 = 𝛾1ℎ1
Restrições quanto
ao seu uso:
i. O tubo piezométrico só é adequado nos casos onde a pressão no recipiente é
maior do que a pressão atmosférica (se não ocorreria a sucção de ar para o
interior do recipiente).
ii. A pressão no reservatório não pode ser muito grande (para que a altura da
coluna seja razoável).
iii. Só é possível utilizar este dispositivo se o fluido do recipiente for um liquido.
Manometria
Manômetro com tubo em U:
Outro tipo de manômetro, o com tubo em U, foi desenvolvido para superar algumas dificuldades
apontadas previamente:
𝑝3 = 𝑝0 + 𝛾2ℎ2
0
𝑝3 = 𝛾2ℎ2
Como 𝑝3 = 𝑝2𝑝2 = 𝑝1 + 𝛾1ℎ1
𝛾2ℎ2 = 𝑝1 + 𝛾1ℎ1 Como 𝑝1 = 𝑝𝐴
𝛾2ℎ2 = 𝑝𝐴 + 𝛾1ℎ1 𝑝𝐴 = 𝛾2ℎ2 − 𝛾1ℎ1
Vantagens em relação ao piezômetro:
 Possibilidade de medir pressões maiores;
 O fluido do recipiente da figura pode ser tanto um gás quanto um
líquido;
Manometria
Modo prático de montagem da equação manométrica:
Partindo do ponto 𝐴, percorremos o tubo manométrico.
• Se descemos no tubo, somamos a altura 𝛾ℎ.
• Se subimos, subtraímos a altura 𝛾ℎ.
𝑝𝐴 + 𝛾1ℎ1 − 𝛾2ℎ2 = 0
𝑝𝐴 = 𝛾2ℎ2 − 𝛾1ℎ1
𝑝𝐴 = 𝛾2ℎ2 − 𝛾1ℎ1
OBS.:
Manometria
Manômetro diferencial:
O manômetro diferencial com tubo em U também é muito utilizado para medir diferenças de pressão em
sistemas fluidos.
𝑝𝐴+ 𝛾1ℎ1− 𝛾2ℎ2 − 𝛾3ℎ3 = 𝑝𝐵
𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 = 𝛾2ℎ2 + 𝛾3ℎ3 − 𝛾1ℎ1
OBS.:
 Os dois fluidos manométricos mais utilizados são a água e
o mercúrio;
 O fluido manométrico precisa ser imiscível nos fluidos que
estão em contato com ele;
Manometria
Manômetro com tubo inclinado:
Esse tipo de manômetro é freqüentemente utilizado para medir pequenas variações de pressão.
𝑝𝐴+ 𝛾1ℎ1 − 𝛾2ℎ2 sin 𝜃 − 𝛾3ℎ3 = 𝑝𝐵 𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 = 𝛾2ℎ2 sin 𝜃 + 𝛾3ℎ3 − 𝛾1ℎ1
Manometria
Piezômetro
𝑝𝐴 = 𝛾1ℎ1
Manômetro com tubo em U:
𝑝𝐴 = 𝛾2ℎ2 − 𝛾1ℎ1
Manômetro diferencial:
𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 = 𝛾2ℎ2 + 𝛾3ℎ3 − 𝛾1ℎ1
Exemplificando
No manômetro da figura a seguir, o fluido no reservatório A é a água e o fluido manométricoé o mercúrio.
Qual é a pressão no ponto A?
Dados:
𝛾𝐻𝑔 = 136.000 𝑁 𝑚
3
𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 = 10.000 𝑁 𝑚
3
𝑝𝐴 + 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎ℎ1 − 𝛾𝐻𝑔ℎ2 = 0
ℎ1
ℎ2
𝑝𝐴 = 𝛾𝐻𝑔ℎ2 − 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎ℎ1
𝑝𝐴 = 136000 × 8 × 10
−2 − 10000 × 5 × 10−2
𝑝𝐴 = 10.380 𝑃𝑎
𝑝𝐴 = 10,38 𝑘𝑃𝑎
Exemplificando
No manômetro diferencial da figura, o fluido A é água, B é óleo e o fluido manométrico é mercúrio. Sendo
ℎ1 = 25 𝑐𝑚, ℎ2 = 100 𝑐𝑚, ℎ3 = 80 𝑐𝑚 e ℎ4 = 10 𝑐𝑚, qual a diferença de pressão 𝑝𝐴 − 𝑝𝐵?
Dados: 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 = 10.000 𝑁 𝑚
3, 𝛾𝐻𝑔 = 136.000 𝑁 𝑚
3, 𝛾𝑜𝑙𝑒𝑜 = 8.000 𝑁 𝑚
3.
𝑝𝐴 + 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎ℎ1 + 𝛾𝐻𝑔ℎ2 − 𝛾𝑜𝑙𝑒𝑜ℎ3 = 𝑝𝐵
𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 = 𝛾𝑜𝑙𝑒𝑜ℎ3 − 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎ℎ1 − 𝛾𝐻𝑔ℎ2
𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 = 8000 × 80 × 10
−2 − 10000 × 25 × 10−2 − 136000 × 100 × 10−2
𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 = −132.100 𝑃𝑎
𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 = −132,1 𝑘𝑃𝑎
Exemplificando
Um tanque fechado esboçado na figura contém ar comprimido e um óleo que apresenta
densidade relativa 0,9. O fluido manométrico utilizado no manômetro em U conectado ao
tanque é mercúrio (densidade relativa igual a 13,6). Se ℎ1 = 914 𝑚𝑚, ℎ2 = 153 𝑚𝑚 e
ℎ3 = 229 𝑚𝑚, determine a leitura no manômetro localizado no topo do tanque.
𝑝𝑎𝑟 + 𝛾𝑜𝑙𝑒𝑜 ℎ1 + ℎ2 − 𝛾𝐻𝑔ℎ3 = 0
𝑝𝑎𝑟 = 𝛾𝐻𝑔ℎ3 − 𝛾𝑜𝑙𝑒𝑜 ℎ1 + ℎ2
𝑝𝑎𝑟 = 𝑆𝐺 𝐻𝑔𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎ℎ3 − (𝑆𝐺)𝑜𝑙𝑒𝑜𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 ℎ1 + ℎ2
𝑝𝑎𝑟 = 13,6 × 9800 × 0,229 − 0,9 × 9800 × 0,914 + 0,153
𝑝𝑎𝑟 = 21110,18 𝑃𝑎 𝑝𝑎𝑟 = 21,1 𝑘𝑃𝑎ou
Manometria
Piezômetro
𝑝𝐴 = 𝛾1ℎ1
Manômetro com tubo em U:
𝑝𝐴 = 𝛾2ℎ2 − 𝛾1ℎ1
Manômetro diferencial:
𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 = 𝛾2ℎ2 + 𝛾3ℎ3 − 𝛾1ℎ1
Manometria
Modo prático de montagem da equação manométrica:
Partindo do ponto 𝐴, percorremos o tubo manométrico.
• Se descemos no tubo, somamos a altura 𝛾ℎ.
• Se subimos, subtraímos a altura 𝛾ℎ.
𝑝𝐴 + 𝛾1ℎ1 − 𝛾2ℎ2 = 0
𝑝𝐴 = 𝛾2ℎ2 − 𝛾1ℎ1
𝑝𝐴 = 𝛾2ℎ2 − 𝛾1ℎ1
Exercício proposto
Determinar as pressões relativas e absolutas: a) Do ar; b) No ponto M, na configuração abaixo. 
Dados:
Leitura barométrica 740 𝑚𝑚𝐻𝑔
𝛾𝑜𝑙𝑒𝑜 = 8.500 𝑁 𝑚
3
𝛾𝐻𝑔 = 136.000 𝑁 𝑚
3
𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 = 10.000 𝑁 𝑚
3
Exercício proposto
Tem-se que água escoa no interior dos tubos A e B, mercúrio está na parte inferior dos dois tubos em U e óleo
lubrificante está na parte superior do tubo em U invertido. As alturas estão indicadas em centímetros e os
pesos específicos são: 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 = 10.000 𝑁 𝑚
3, 𝛾𝐻𝑔 = 135.500 𝑁 𝑚
3, 𝛾𝑜𝑙𝑒𝑜 = 8.800 𝑁 𝑚
3. As alturas são:
ℎ1 = 10 𝑐𝑚, ℎ2 = 3 𝑐𝑚, ℎ3 = 4 𝑐𝑚, ℎ4 = 4 𝑐𝑚, ℎ5 = 5 𝑐𝑚 e ℎ6 = 8 𝑐𝑚.
Calcule a diferença de pressão entre dois reservatórios 𝐴 e 𝐵.
Resposta:
Exercício proposto
Resposta:
O elevador hidráulico é utilizado também como uma ferramenta para oferecer acessibilidade às pessoas com
dificuldades de locomoção, por exemplo para os usuários de cadeira de rodas. O funcionamento desse
dispositivo é baseado no princípio de Pascal, no qual uma bomba elétrica é usada para forçar um fluido a
passar de uma tubulação estreita (área 𝐴1) para outra mais larga e, dessa forma, acionar um pistão que
movimenta a plataforma (área 𝐴2 = 4𝐴1), como mostra a Figura 3.6 a seguir:
Sabendo que:
• A plataforma suporta no máximo uma pessoa de 200 kg;
• A elevação ocorre com velocidade constante;
• Em média, a cadeira de rodas e a plataforma possuem, juntas,
40 kg.
Imaginando uma situação ideal, onde podemos desconsiderar
atritos, viscosidade, compressibilidade, qual deve ser a força
máxima aplicada pelo motor da bomba sobre o fluido para manter
a elevação em velocidade constante da pessoa?
Despreze atritos e considere a aceleração
gravitacional igual a 𝑔 = 9,8 𝑚 𝑠2.
Exercício proposto
Solução:
Pelo principio de Pascal, temos que:
𝐹𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟
𝐴1
=
𝐹𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟
𝐴2
Porém: 𝐴2 = 4𝐴1
Ainda, como a elevação ocorre com velocidade constante, sabemos que a força resultante 
na plataforma do elevador deve ser nula. Logo: 
𝐹𝑒𝑙𝑒𝑣𝑒𝑎𝑑𝑜𝑟 = 𝑃𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎 + 𝑃𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎,𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎
𝐹𝑒𝑙𝑒𝑣𝑒𝑎𝑑𝑜𝑟 = 200 . 9,8 + 40 . 9,8 = 2352 𝑁
𝐹𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟
𝐴1
=
𝐹𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟
𝐴2
𝐹𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟
𝐴1
=
2352
4𝐴1
𝐹𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 588 𝑁
Exercício proposto
Avançando na prática: 
Pressão da água nos chuveiros de um edifício
Seu aluno mora no primeiro piso de um edifício de 3 andares. Um belo dia
faltou água no apartamento dele e ele precisou tomar banho no
apartamento do vizinho que reside no terceiro piso. Porém, após essa
experiência, ele percebeu que havia uma diferença na pressão da água do
chuveiro dele em comparação com a do vizinho. Intrigado com essa
situação, o aluno contou essa experiência para você e perguntou se havia
alguma explicação física para essa diferença de pressão. Imaginando uma
situação idealizada onde podemos desconsiderar o atrito entre o líquido e a
tubulação, viscosidade, compressibilidade, etc., como você explicaria o fato
relatado pelo seu aluno? Em ordem decrescente como você classificaria a
pressão da água nos chuveiros dos 3 andares?
 A pressão hidráulica é definida pelo princípio de Stevin: 𝑝 = 𝛾ℎ
 Assim, quanto maior ℎ, maior a pressão.
ℎ3 < ℎ2 < ℎ1 𝑝3 < 𝑝2 < 𝑝1
Assim, seu aluno tem razão quando disse ter sentido uma diferença na
pressão da água do chuveiro, afinal a pressão no apartamento dele é
maior do que a do vizinho do terceiro andar.