Gabarito_MatemáticaI_Módulo15_8ano

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1 Fatore os trinômios abaixo.
a) x2 1 3x 1 2
(x 1 1)(x 1 2)
b) x2 1 7x 1 12
(x 1 3)(x 1 4)
c) x2 1 6x 1 5
(x 1 1)(x 1 5)
d) x2 2 5x 1 6
(x 2 2)(x 2 3)
e) x2 2 2x 2 8
(x 1 2)(x 2 4)
f) x2 1 2x 2 15
(x 2 3)(x 1 5)
2 Fatore as expressões a seguir.
a) x3 1 9x2 1 27x 1 27
(x 1 3)3
b) x3 1 3x2 1 3x 1 1
(x 1 1)3
c) 8a3 1 36a2 1 54a 1 27
(2a 1 3)3
d) 1 2 3x 1 3x2 2 x3
(1 2 x)3
e) 27a3 2 54a2 1 36a 2 8
(3a 2 2)3
3 O volume de um cubo é representado pelo polinômio 
8x3 2 60x2 1 150x 2 125. Determine a medida da aresta 
desse cubo.
2x 2 5
4 Verifique se o polinômio 1 1 9x 1 18x2 1 27x3 representa 
o cubo da soma de dois termos. Justifique sua resposta.
Não. Para ser o cubo da soma de dois termos, o polinômio deveria 
ser 1 1 9x 1 27x2 1 27x3.
PRATICANDO O APRENDIZADO
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5 Agora fatore os binômios.
a) x3 1 1
(x 1 1)(x2 2 x 1 1)
b) x3 2 8
(x 2 2)(x2 1 2x 1 4)
c) 27 2 y3
(3 2 y)(9 1 3y 1 y2)
d) y3 1 64
(y 1 4)(y2 2 4y 1 16)
e) 8a3 1 27b6
(2a 1 3b2)(4a2 2 6ab2 1 9b4)
6 Por qual binômio devemos multiplicar a expressão 
(25x2 1 10x 1 4) para obter 125x3 2 8?
5x 2 2
7 Sendo A 5 2x 1 3 e B 5 8x3 1 27, calcule o valor de B
A
.
4x2 2 6x 1 27
8 Sabendo que P 5 9993 1 3 ? 9992 1 3 ? 999 1 1, de-
termine o valor de P.
P 5 109
9 Fatore os polinômios a seguir.
a) a2 1 4
(a 1 2)2 2 4a
b) x6 1 16
(x3 1 4)2 2 8x3
c) 4y8 1 25
(2y4 1 5)2 2 20y4
d) 1 1m
4
m n
3
n
9
4 2 3 6
1 1 2 5 1 2( )( ) ( )m4 n9 2 m2 n3 m n3 m2 n3 m n3
4 6 2 3 2 3 2 3 2 2 3
e) 3x2 2 15x 1 12
3(x 2 1)(x 2 4)
f) 4x2 1 12x 2 40
4(x 1 5)(x 2 2)
10 Sendo (a 1 b)2 5 900 e ab 5 200, calcule o valor de 
a2 1 b2. 
500
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1 Leia com atenção a demonstração a seguir.
Vamos provar por a 1 b que 1 1 1 5 1
Passo 0: Sejam a e b números reais não nulos tais que a 5 b.
Passo 1: Se a 5 b, podemos multiplicar os dois membros 
dessa igualdade por a e obter: a2 5 ab.
Passo 2: Subtraindo, então, b2 dos dois membros da igual-
dade, temos: 
a2 2 b2 5 ab 2 b2
Passo 3: Fatorando as expressões, temos: 
(a 1 b)(a 2 b) 5 b(a 2 b).
Passo 4: Agora, dividimos ambos os membros por (a 2 b) 
e obtemos: a 1 b 5 b.
Passo 5: Como, no início, supomos que a 5 b, podemos 
substituir a por b. Assim: b 1 b 5 b.
Passo 6: Colocando b em evidência, obtemos: b(1 1 1) 5 b.
Passo 7: Por fim, dividimos a equação por b e concluímos 
que: 1 1 1 5 1.
 É evidente que a demonstração acima está incorreta. In-
dique qual passo está errado.
O passo 4 está errado: dividir por a 2 b (1 2 1 5 0) é o mesmo que 
dividir 2(a + b) e 1(b) por zero, o que não é possível. 
2 Alguns cálculos matemáticos ficam mais simples quan-
do usamos a fatoração. Utilizando a fatoração, calcule 
o valor de (57,62)2 2 (42,38)2.
1 524
3 Utilizando a fatoração, efetue o produto 999 á 1 001.
999 999
4 O campo de um jogo de futebol de botão tem a forma 
de um retângulo, cuja área pode ser representada pela 
expressão x2 1 8x 1 15.
 
m
u
ch
o
m
o
ro
s
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
 Determine as expressões que representam os lados 
desse retângulo. 
(x 1 3)(x 1 5)
O texto a seguir refere-se às questões 5 e 6.
 O jardim da casa de João era quadrado, com os lados 
medindo x. Ele foi ampliado da seguinte maneira: em um 
dos lados houve um aumento de 6 m e no outro, de 3 m. 
Desse modo, o jardim passou a ter formato retangular. 
5 Escreva a expressão que representa a nova área do 
jardim da casa de João.
x2 1 9x 1 18
6 Sabendo que a diferença entre a nova área e a antiga 
é de 99 m2, determine a medida de x.
x 5 9
7 Marta ganhou de seu pai um aquário em forma de cubo, 
cuja capacidade é igual a (x3 1 6x2 1 12x 1 8) cm3. A 
irmã de Marta, Patrícia, também ganhou do pai um 
aquário com a forma de um cubo, mas com capacida-
de diferente, de (x3 1 12x2 1 48x 1 64) cm3. Quantos 
centímetros a mais tem a aresta do aquário de Patrícia 
em relação à aresta do aquário de Marta? 
 
2 cm
zi
v
ia
n
i/
S
h
u
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APLICANDO O CONHECIMENTO
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8 Raíssa e Gabriel foram classificados para a final das 
olimpíadas internas de Matemática do colégio. Quem 
resolvesse de forma correta e mais rápido o desafio a 
seguir ficaria em primeiro lugar.
 
Determine o valor de xy, sabendo que:
 I. x e y são números reais 
 II. x3 1 y3 5 5(x 1 y)
III. x2 1 y2 5 4
IV. x 1 y Þ 0
 Os dois terminaram de resolver o desafio ao mesmo 
tempo.
 Raíssa respondeu: xy 5 21.
 Gabriel respondeu: xy 5 1.
 Quem acertou o desafio? 
Raíssa.
YanLev/Shutterstock
DESENVOLVENDO HABILIDADES
1 Na fatoração do binômio 1m
27
a
8
,
6 12
 um dos fatores é:
a) 2 1m
9
a m
6
a
4
4 4 2 8
b) 2 1m
9
a m
6
a
4
2 2 2
c) 1 1m
9
a m
6
a
4
4 4 2 8
d) 1 1m
9
a m
6
a
4
2 2 2
e) 1 1m
9
a m
6
a
4
4 2 2 8
2 Se x 2 y 5 4 e x2 1 xy 1 y2 5 52, então: 
a) x2 2 y2 5 208
b) x2 1 y2 5 208
c) x3 1 y3 5 208
d) x3 2 y3 5 208
e) x(x 2 y) 5 208
3 Se x é um número real tal que 1 5x 1
x
3, então o valor 
de 1x 1
x
3
3
 é:
 (Sugestão: Você pode usar o desenvolvimento do cubo 
de uma soma de dois números reais.)
a) 9
b) 18
c) 27
d) 36
e) 45
4 Sabendo que x 1 y 5 13 e xy 5 1, calcule o valor de 
x2 1 y2.
a) 166
b) 167
c) 168
d) 169
e) 170
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