A Conquista da Matemática 9 ano

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JIrí
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^,tt'iÊg JJ ;v
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Bacharel e li
nela Pontific Ucill)
'piof..tot o. ensrno
irnàrrentut e ensino medio desde 1960'
l\-,-ad F Ê I\./.1JYIJ J
ncias Mqtemáticas Pela
ntificia Universidade
o Paulo.
ç particulares de ensino
Ê '| rifJl Jr-}- \"!
las de ensino
desde 1985.
«( FrD
'. ??:CJIIC''r'-i = i:]'SC' P-'
A Conquista da Matemática: a + nova
Copyngrl( @ Jose RuV Giovz
Jose Ruy Giovanni .lr. - zoolni' 
Benedito castrucci,
eservados à
Matrrz: Rua rr, ,.rb*lãr.,. U,.ru
Dados lnteÍnacionais de Catalogaçáo na publícacáo íClpl(Câmara Brasiteira aoliúro, ai'B;;ü'-- ,"'',
lndice. par" catálogo sistemático:
l. Matemática : Ensino Íundame ntal 372 7
lsBN 85_322_4986_8
Ano de publicacâo: 2002
Giovanni, Jose Ruy, 1937_
",^,1j^1ror,r,. 
da mâtêmárica : a. I noya ,/ José RuyGiovannr, ,;; RJ;ó;#ff ^
Júnior. -conquista oo2 - (colecão a
Edicão não-consumívei.
0bra em 4 v. para alunos de 5e a ge séries.
DUptementado pelo manual do proÍessor.
_ L,Matemática (Ensino Íundamental) | Castrucci.
pgl._oilS, r909_. il. Giovanni Júniàr, jãle nrv, 
''""""
1963-. Ilt. Títuto. IV. Série.
02-4719
cDD-372.7
Editora
Júnia La Scala
Editorqs agsistenlcs
Arnaldo Rodrisues
Dario Martins
Fabiano A. L. Wolff
Sandra Lucia Abrano
Sorel Hernandes L. Silva
Col,ahoraçõ,o
Esmeralda Silva Ribeiro
Margaret Presser (elaboração de projetos)
Pre,ltaraçô,o
Lucila Baneiros Facchlni
Revilâo
Eliete Soares da Silva
Luciana pereira Azevedo
lconoSrafia
Coordonago: Sônia Oddi
Pergrrisa: Denise Durand Kremer.
Assistcnlq: Maria Rosa Alexandre
il ill.h Tj;,ã [',il.t, :..a/ i *
l|ustraçoot
Vinhefas: Lúcta Hiratsuka
Aberturas: José Luís Juhas
Mioto: Alberto De Stefano, Alexandre
Argozino Neto, José Luís Juhas
Cayra
Claudson Rocha sobre imagens de
PhotoDisc
Digitaçâo
José Aparecido A. da Silva
A:iajr amaçô,o e editor açào eLetrônica
EXATA Editoracão
Lstwdando ag raluaçoas tri3ononn ílricas nos triân }Á,ot
Resoüendo problemas no triângulo retângulo 252
Tabelas importa ntes 252
Tratando a inÍormaçáo 9 267
LEtwdand,o a circtrn{erância ao círull'o
,1 ff:1;:n: 
tunfuffiÍ. 
secantes 270 R raçãoentresecanteetangente 271
Troque ideias 74
iZ Polígonos regulares inscritos na circunÍerência 
2
Elementosdeumpolígonoregularinscrito2T6Proprides2T6Relaçõesmétricas278
Calculando aáreade um círculo 281
lorando Geometria 287
Tratando a informação 70 287
Lgtwd,ando c^5 í^raag dal {qu rc^5 laon^ítricas pl,anas
ométricas 292
ExPloran
7 fro ega 299
Área
es 306 etria 306
o que aPrendeu 310
Noçõas el,qn^qntc.ra5 de Lst atÉlica
,5 Organizando os dados 316
O que representa a EstatÍstlca 316 Como organizar os dados em tabelas 317
Um pouco da histÓria da Estatistica 319
it Estudando gráficos 321
Gráficos de linha 321 Gráficos debarras 322 Gráficos de setores 324 Estudando 
médias 327
Troque idéias com o colega 330 Retomando o que aprendeú 331
lndicaçâo de-l,q\lvra $2
bihí,io9ra{ia T2
Reqotlrc 335
Gl,o*í^rio 353
I
I
I
Q
a
Projato 360
org.:nua
5e àobrarmoa ao
,"i?-y^u fotha de papet
duae partes
àe mesmo
lamanho.
5e àobrarmoo novamenle ao
meio, oblemos quatro ?arteâ
de mesmo tamanho.
Dobranào ao meio uma leraeira
vez, oblemoa oito partee àe
mesmo lamanho.
Ez
Ê
ô
I
ô
!
Número de
dobras ao melo
1
2
3
4
Número de Partes de
r.n.i*o tamanho obtidas
2
4
8
16
Potências
de2
2t
22
23
24
Oemoàoserat'aol'b'^'\:i:::",t:,,\2^":;:l;rrr';:;:i::";:
wa5 r0
oào oVüàao 
na qua
io
Permilieoe 
novao
u"';':;:^:S:;:io, poàeriam"::1:^::::z':::^ 
i::'o;i|::'
ao meio " 
o ndl'i"i àe part'eo -àe 
meomol'a
^ -^nn^nhe eooa 
relaçào na
oo
o-0-
-
"0.3;f#lx#ÍffifJ:i ffifl,!fl,.::r, turat n,, . ,
. 
"' " n tatores iguais uo ,ürl.';rir:, a expressão a,, denominada
Assim, por exemplo:
)4J= =Bi
4 vezes
2 (- 2)5 = F2) .(_2).t?_t?.--2) : _32
Â
/ . ,33 Í-1) :f_ t )\ 6i | 6)
VEZCS
(t
Io ) r- I )- 1) \ 6 )--216
3 vezes
4 (-7,4)2: (-1 ,4) .(-1,4) :
2 vezes
5 i01: 10
+ 1,96
Observe que;
-22--(2.21 :-t
Na.p-a+êncla an,temo", { 
o número real a chama-se baae
I o número natural n chama_se expoente
da firiEtíria daE otânciaE
Jar*/tnttgíii.dsíe, os 6aÍí[.ôri,ros uss.voÍtlos 
potêtrcros coÍno s-tn(íLi.s.res doÍwL
dpCiíoç*, orqí*rto os gregos anharu uma especiat- predít'eçao pebs ryníroíos e
No século lll da nossa era, o matemático grego
Diofante rdealizou as seguintes notações das potências:
xpara expressar a primeira potência;
xxpara expressar a segunda potência;
xxx para expressar a terceira potência'
No século XVll, o pensador e matemático fran-
cês René Descartes (1596-1650) introduziu as nota-
ções x, x2, x3, X4, ... para potências, notações essas
que usamos até ho1e.
Unn po
I
pe[os cubos.
U
Aplicando a definição, calcule:
72 0s 0 (-+)'
6; 1-11)2 121 g) (-2,3)2 5,2s
c) (-S)3 125
o,(-+)' +
e) (Jí)1 .,t
4 Determine o valor de xY. ,
, : 11-1)3 - (-1)s. (-1)41 + (-1)7
y:(-2)n:23_ 42:(-2)2
5 Um campeonato de pingue-pongue é dispu-
tado por 20 duplas, que jogam entre si em turno
e returno. O número total de jogos nesse tipo de
campeonato é dado pela expressão algébrica
*' -- *, onde x representa o número de duplas.
Quantos jogos tem esse camPeonato? 380 josos
(6 O número de diagonais de um polígono pode
ser obtido pela expressão algébri ru *,
onde n representa o número de lados do polígo-
no. Nessas condições, quantas diagonais tem um
polígono de:
a) 6 lados? e diasonais b) 10 lados? 35 d usonu''
1
32
h) -62 -30
35 zqz
( - 0,6)3 o,210
2 Qual é o valor da expressão r?r-rmérica
i t-z)'- (-1)2 + (-3)2 - ( 2)5? 32
u
3 Qual é o número real exPresso Por
.-»2 - (-+)' : (+3)2. (-*)',
1l
Verifiq-ue se o númer" -+ é raizda equa-3x'-2x-1:0.
Assim:
) A área da primeira figura é 1 cm2 ou (20) cm2
) A área da segunda figura é 3 cm2 ou
(20 + 21) cm2
) Aárea da terceira figura é7 crnz ott
(20 + 21 -t 2') cm,
) A área da quarta figura é 15 cm2 ou
(20 + 21 + 22 + 23) cm2
Supondo que as próximas figuras da seqüência
slgam o mesmo padráo, responda:
c) A área da décima figura da seqüência terá
quantos centímetros quadrados a mais que a
área da nona figura? :
cálculo de potências em calculadoras. Acompanhe o
8 Usando os sinais : ou *, compare as potên-
cias:
a) 72 e (-7)2
b) -92 e eg)2
Vamos explorar o
procedimento a seguir.
c) (-2)5 e -2s
d) (-4)3 e -43
a seqüência de figuras, cada quadrado tem
de área:
a
x2 - > Essa tecla é usada para elevar
números à segunda potência ou
ao quadrado.
Para elevar 10 à segunda potência ou ao
quadrado (102), basta teãhr
y* 5 Elssa tecla é usada para elevar
um número Er uma potência de
sua escolha.
Para elev'ar 10 à terceira potência ou ao
cubo (103), bas;ta teclar
1
e aparecerá no visor
o multíplícoçõo poro
ouxilior no cólculo de
10
e aparecerá no visor I t-tnI UIJ
0y*t=x2
lembre-se de que
hó olgumos vorioções de
um tipo de colculadoro
poro outro.
12
t calculadoro for do tipo\
comum, você poderá usar
fto.,. dconn \/""a
7,. Hâuma curiosidade no cálculo do quadrado,
do cubo e da quarta potência do número 11'
Os resultados são números palíndromos'
Usando uma calculadora, determine o valor
de112,113 e 114. 112 - 121,11:= 1 331 e11a = 14641
2. Investigue, com o auxílio de uma calculadora,
se o fató se rePete com a quinta e a sexta potências
do número 11.
OÍatonáoserepete: 115=161 051 e'l 1'=1711561
Observe as multiPlicaÇões:
) 23 . 22 : (2 ' 2 ' 2) ' Q ' 2) : 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 : 25
Então: 23 '22 : 25 ott23+2.
Como esse fato sempre ocorre quando temos uma multiplicação com potências de
base, isso nos permite escrever a seguinte propriedade:
Dado um nÚmero real a, não-nulo, e Sendo m e n dois números naturais,
então am ' an : a* * n.
Observe as divisões:
)5 : )2 : 2u - z'z'.2'.2'2 --2.2.2 : 232z 2'z
Então: 25 : 22 : 23 ou 25 - 2.
,(+) (+)':(+) (+ + +):+ + + +:(+)-
Então: (+) (+)':(+)-ou (+)'.'
políndromo é aquele que
nõo se oltero quondo lido
do direito Poro o esquerdo
ou do esquerdo Poro o
13
,(+)',[+ I :
)
Então: (+)',(+) :(+)'., (+)'-'
Como esse fato sempre ocorre quando temos uma divisão com potênciasde mesma base, íssonos permite escrever a seguinte propriedade:
Dado um número real a, não-nulo, e sendo m é n dois números naturais,
então am : an : a, - n.
Observe as potenciaÇões:
) (25)2 : 25 - 25 : 25- 5 - 2to
Então: (2512 : 2to ou 25'2.
, [(+)-]': ( +)^ (+)- (+)-: (+)4+4+4: (+)"
Então: [(+)-]' 
: (+)" o, (+)-'
Como esse fato sempre ocorre quando temos uma potência de outra potência, isso nos permite
escrever a seguinte propriedade:
Dado um número real a, não-nulo, e sendo m e n dois números naturais,
então (a')n : u,,'n.
Observe as potências:
(3.5)2: (3.5) .(3.5) :3.5.3.5: 2
Q : 712 : (+)' : (+) (+): # : + : 22 : 72
Podemos escrever a seguinte propriedade:
:+ +:(+)'
,2
3
2
T
2/
7T
Dada a potência (a.b)'ou (a : b)n, sendo ae bdois números reais não-nulos e num
número natural diferente de 0, temos:
(a'b)':an.bn ou
14
(a:b)n:an:bn
I- Aplicando as propriedades, escreva na Íor-
ma de uma só potência:
u) 2u .2n 2'
b) 710 : 76 r'
c) (52)6 5'
d)34.38.3 3"'
",(+)''(+)'t )'
2 Aplicando as propriedades, transforme
numa só potência as exPressões:
a) x2 . x .*8'x3 (x + o) x'o
b)*'2:xe(x+o) x'
c) (x5)4 (x + o) x2a
d) a. a7 . a'(u + o) a'o
e)pa:p3(p+o) p
3 Transforme num produto de potências:
a) (x'y)' *'y'
b) @'b12 a'b'
c) (x3'f)a *''y'
d) (a2 ' bu ' c')' a'b'ocu
Vamos calcular o quociente de 25 : 25.
) Aplicando a definiçã o'. 25 : 25 : 32 : 32 : I
) Aplicando a propriedade da divisão de potências de mesma base: 25 : 25 : 25 - s : 20
Comparando os dois resultados, podemos escrever que 20 : 1, o que ocorre com qualquer
número real não-nulo.
De modo geral:
Para todo número real a, com a # 0, temos a0 : 1.
Veja a seguir como podemos, também, considerar o expoente zero.
) Observando a última coluna da direita, de cima para baixo, notamos que cada nÚmero representa a
terça parte do nÚmero anterior:
Base
3
3
3
3
3
Expoente
5
4
3
2
1
Potência
35 :243
34: 81
33: 27
32: 9
31 : 3
l5
) se prosseguirmos com a tabela, incluindo o expoente 0, veja o que ocorre:
3
3
3
3
3
3
5
4
3
2
1
0
35 :243
34: 81
33: 27
3z- g
31 : 3
) t, : + de243
) ,r:+de81
) e: + de2t
) s:{oeo
) t:{oes
I- Determine o valor de:
a) 50 b) -50 c) (-5)o d) -(-5)o
\
^Q"ul é o valor numérico da expressãoo+30 
-(-4)o?
\\3 quat é o valor numérico da expressão
íá + (o'77)o?
\'4 Calcule o valor numérico da expressão
,or 1t'2
1 ^o4 -'
5 Se você simplificar a expressão 
*Ltr,
que resultado vai obter? -l
5e lançormos
oo or umo moedo,
poderemos ter
doís resultodos
possíveis.
5e lonçormos oo or
simultoneomente duos
moedos, poderemos
ter guatro resultodos
c)roa e coroa
4 moedas to= I
5 moedas
6 moedas 64:2"
7 moedas 128: 2'
I moedas l)o: z
I moedas .512 =
10 moedas 1 024:2'u
It'
..#
Prosseguindo dessa forma, pod.emos estabelecer uma relação entre o número de moedas
Iançadas aoãr e o número de resultados possíveis, como vemos na tabela:
Ne
2l
I
3l
. De um modo geral,
no lançamento similtâneo de nmoedas, o número de resuttado,s
possíveis é dado por 2n.
o-o7
4:22
8:23
lft"'o dcoru fi.a,
Construa uma tabela como essa/ acrescentando o número de resultados possíveis no lançamento de
4,5,6,7,8,9 e 10 moedas.
Se lançormos oo or
simultoneom ente tràs
moedos, poderemos ler
oito resultodos
17
afT faÀ,,l,
rray^tivo
Aplicando a propriedade do quociente de potências que têm a mesma base:
23:2a:23_4:2 l
Considerando o quociente na forma de uma fracão: 23 : 2a : 2t : ?'4'2 - 12+ -Z-Z.Z-2 -T
Comparando os dois resultados, podemos dizer que 2-t
número real não-nulo.
De modo geral:
Para todo número real a, com a * 0, temos a
Exemplos:
,o-, : 
i'o
:)-,o que ocorre com qualquer
-r - 1
a
(-3)-1 - - 1
3
r3)' 1 5
\5/ 3 3
5
Vomos cqlculor o
quociznle de 23 : 2q
18
Vamos calcular agora o quociente de 25 : 28.
) Aplicando a propriedade do quociente de potências de mesma base: 25 :28 :25-a :2-3
) Considerando o quociente na forma de uma fraçáo:
c5.)B-25 - Z'Z'Z'Z'Z : 1:í+)'l":l-:2r:6- f -\Z)
Comparando os dois resultados, podemos dizer que 2-3 :+ : í+t'
qualquer número real não-nulo. 
lodemos dizer que'z - : » 
: 
\T )' 0 que ocorre com
De modo geral:
Para todo número real a,com a * 0, temos â-n : + : (+)'
sendo n um nÚmero natural diferente de zero.
Exemplos:
1-25
(-+) '
Considere a tabela a seguir:
5-2:(+)'
2a :16
23:8
22: 4
2r:2
Observe a última coluna da direita, de cima para baixo. Note que cada número representa a
metade do anterior.
4
3
2
1
19
Base
2
2
2
2
Se considerarmos o expoente zero e os números inteiros negativos como expoentes, podemos
montar esta outra tabela:
2
2
2
2
2
2
2
4
3
2
1
0
-1
-2
2a :16
23:8
22: 4
2r:2
2o:1
a-1 Iz :-
2
o-2 1z :-
4
\ a-) .)-
\ A-
\ .-) L-
\ 1-I L-
\1t-/2
\1/4
Observando a última coluna, de cima para baixo, temos:
Veja a seguir como aplicar esses conhecimentos na resolucão de problemas.
Determinar o valor da expressão 3-1 + 2-2 - (-4)-1.
3-1 + 2-z _ (_4)-1 :
_ 1 *( r )'_r_ 1 ):-T-(z)-l-4):
111:- 344
433:-
12 t2 t2
:10_5126
\
1
\-__
20
Simplificar a expressão (2a3x-1)-', para a + 0e x *
. ( ^ 1\-' (2at )-1 x(2a3x-t)-t:[rr' T] :[.t,,l :#
Calcular o valor de (9-1 + 6-2)-1.
(e-1 + 6-2)-' : [+.(+)']'
0.
F
L Calcule e observe a seqüência:
u) 3n 81
b) 33 21
.)3'e
d)31 3
2 Vamos calcular:
u) 2-' +
b) 2-u +
c) G2)-2 +
d)-zn -+
")30 
1
0 3-'
8) 3-'
h) 3-3
e) -(-4)-3 +
0 _(_10)-1
s) 1o-3 +il
h) -(-n-2 +
,l
3
1
I
1
27
d)-L 2'2/
.1
e ) ------:- 6
6"
f) -l--.,0' 
100
^-3d) z^ J=
3
.30e)-32' 
2-r
r) s-2 .33 +
\ 3 cul.rrl"'
, (+)-' z Í, (-+) ' +
o,(+)-'4 E;,(-+) ' -+
.,(-+)-' , n,-(-+)-' 6
o,(-+)-' + i) -(-+) ' e
",(+)-' + j) -(-+) ' +
4 Você sabe que a-' : -J-. pslu propriedade
a
simétrica da igualdade, podemos escrever
:[+.#í':[1*] ':(+) ':+
1, :a-o. Nessas condições, escreva na forma
a'
de potência com exPoente inteiro negativo as ex-
pressões:
.1a) 
--" 
ro'
70"
1
b) --+- r.'75
.1C) 
- 
5', 
FÔ
J
It
5 Vamos calcular:
.1
à) - . 16' 2-+
)
b) ----:" 32
4-L
, ^-3 - 1c)z / 8
\ 6 Qrrut é o valor da expressão
(40 + 4-11 (40 - 4-1)? +
\, 
,uo"rrdo que a base é um número real não-
nulo, simplifique as expressões algébricas dan-
do a resposta com expoentes inteiros positivos:
a) (2x2)-3 ;- d) (**y-2)-3 -l-1'
b) (3a2x-r)-; l- e) (a-2'b')-' *
.,(+)-'+ r)tÉ) +
21
2
q
3
€B Calcule:
a) (-3)-1 + (-1)-3 *c) (!,-1 a 2-\', ..
b) 2-+ - rz 
- 
d) (6-2 .g,)-í , "'
9 Sabendo que a base é um número real não-
nulo, efetue as operações indicadas e simplifi-
que as expressões algébricas:
a) (xy-2) : (x-3y) - b) (a2b-')-' .(-^ \-r' \ l)-
I-O Qual é o número real expresso por \
2o + (-2)n.4 2 - Gz)32 .)
L L simplifique a expressão algébrica
ab
b-, * ulcoma+0eb+0. 2ao
7-2 Calcule o valor da expressão numérica
-22+(+) '
5
-24 + (-il2 + qo 6
Simplifiqueaexpressão 
* * Y- edêova-x-y
mérico dessa expressão quando, : y : 3.
xy+1 5
xy-t 4
As mesmas propriedades estudadas para as potências com expoentes naturais valem também
para as potências com expoentes inteiros e base real não-nula.
Assim, temos:
) Para multiplicacão de potências de mesma base: a, . an : a, + n
Exemplos:
I 52.5-6:52*(-ot :52- u:5-o
2 10-3. 10-2: 10-3*{ z) _ 1g_s 2: 1O_s
3 2n . 23 : 2n * 3, sendo n um número inteiro
) Para divisão de potências de mesma base: am : an : am , o, j+ : 3m - n
Exemplos:
L 64 i 6,- :6+-t _ 6-t
2 103 : 1O-2 :103-( 2) : 103*2 : 105
)-53 +_.:2-5-t7)-2t-t-22I
cn-24 :3n- 2-(n_r): g. 2_z_ r:3_3, sendo num número inteiro3n+r
) Para potência de uma potência: (â,)n : 2,'n
Exemplos:
1 (103)-2 : 103 {-z)- 16-o
2 (5 1)-s : 5{-1) { 3) - 53
3 (10-)5 : 10*'s : 105', sendo x um número inteiro
intqirolCl0L5 COtllA
22
t Q. 5)-4 : 2-4 '5 4
2 (10'x)-2 : !O-2 ' x-2
\
I- Tiansforme n rma só Potência:
u) 7' .7-u r,
b) 10-e ' 10 ' 105 To ' Lembre-se: aqui
c) 83.8 6 " 
obaseésemPreum
número real não_nulo.
d)x3'x-5'xn x2
,R-8-1e) a-'a 'a .
{'2 Continue a transformar em uma só potência:
a) 6a :65 e d) ++ ,l'10'
b) 27 :2-2 2" à + r'x
c) 7-a:7-1 0 +
3Tiansforme n ma só Potência:
a) (6-1)4 ô'
b) (101-2 10 ''
c) (5 ')-3
d) (*u)-'
4 Transforme em um produto de potências:
a) (5 . 11)-2 5,.11 2 c) (2-a '5\-2 2" 5 u
b) (3'102)-1 3 '.10' d) (7-1 'x)-3 r''x'
5 Tiansforme em um quociente de potências:
a) (8:3)-2 82:32 c) (6-2:5)-a 68:sa
o; 13 : 8)-2 3' . B ' d) (7-2 : 2-')-3 rc :23
(6 Identifique como verdadeira ou falsa cada
uma das igualdades:
a) (25 .75) : (2'n5 v c) xs ' y'o : (* ' yu)u
b) x :x': x-' v d) xy-1 : 11-1'Y)-1
F
V
para transformar potência de um produto em um produto de potências e potêncla de um quociente
em um quociente de potências: (a ' b)n : an' bn e (a : b)n : an : bn
Exemplos:
3 17 : 2)-3 : 7-3 ' 2-t
4 (x:5) 1:X-l :5-1,COmX+0
7 Sabendo que a : 1O-7,b : 1011 e c : 10-4,
determine:
a) a'b ro'
b) a'c ro '
Él Escreva cada uma das expressões com exPo-
ente positivo:
a) (5-5;z
6y 23 .2-5
-a.:)c) _4
f,
\\S) Sendo r um número inteiro, escreva na for-
ma de uma só potência cada uma das expres-
sões:
a) 2"'23 2 '
b) 7" :73 r' ''
c) (5.)3 g
d) 33* . 3-2" I
") 
10" : 1o-2* 1o'"
'1O Quat é a forma mais simples de escrever
cada uma das seguintes expressões, sendo x um
número real não-nulo?
r2
ul Í41 ., c) (x"'r'r2-n;-2 t''\x-'l
b) (x-3'x)-1 x'
QuaI é a forma mais simples de escrever a
ssão a2'- 1' a^*1, sendo a * 0 e n umnú-
inteiro? ."
.) b' . 10'
d)a'b'c 1ooou1
f) 7"'7"+3 J2\:'
,2"orl 
- 
)o' zn-r
h) (22)" - 1 2' ,
.r aX*1 ax-1
l) ó 'J J
.. 10'* 3
l) 10- 
1o'
23
3 f t ans{or A^c^ndo e- tutt^yrLil/icando
tLi/|A1, upra5lao
Muitas vezes é conveniente escrever um número em forma rce potência.
Observe os exemplos a seguir.
I Escrever o número 0,0000001 na forma de potência de 10.
0,0000001 : 11 :_
10 000 000 107
-> 7 zeros
7 casas decimais
aplicando as propriedades
Esso forma de
escrevet os números é
muito usodo no simplif ícoção
de expressões em que
'= 10 7
Escrever a expressã 256'4eto ,z na forma de uma única potência de 2.
Decompondo256,4 e 8 em fatores primos, temos: 256:28,4:22,g:23
Daíteremos a seguinte expressão:
256. 4e 28 .(221e 2a . 2re
8', (23 )7 221
226
221
:25
Simplificar a expressã o lui??.!) .
[a'bu)o
(a5b2)4 _ (a5)4'(b2)4 _ u20.58
(a2b4)6 (a2)6 . (bo)6 ur2 .62t
a.o 5a ^B r-16-;;- ----=;--o'u :ar. br* I l,-- * 
-i=r
^8 1 a8d'-i-
b'o b'o
24
3
4 Simplificar a expressão
72.10-3.10-4 .10e
3.10-1 .104
12.10-3 .10-4 .10e
3.10-1 .104
72.702
3. 103
4.10 1
-J
:12
3
.14: 4. --:-: -=-- OU 0,410 10
L Escreva na forma de potência de 2 cada um
dos números:
a) 64zu b) fi- r' ") fi- r " d) 20482'
2 O número729 pode ser escrito na forma de
potência de 3. Qual é essa forma? 3'
3 Se você escrev 
", #na forma de potência
de 5, qual será essa potência? s '
4 Os números a seguir podem ser escritos na
forma de potência de 10. Escreva-os dessa forma:
a) 100 000 000 ro'
b) 0,00001 10 u
c) 0,0000001 ro'
d) 1 000 ro'
5 Dada a expressão (81)-2,escreva essa exPres-
são na forma de potência de 3 com expoente in-
teiro positivo.
A dístâncÍa da Terra ao Sol e a notação cíentífica
A distância média da Terra ao Sol é de
150 000 000 km. Como escrever essa distância
usando a notação científica?
Na notação científica, um dos fatores deve
ser maior que 1 e menor que 10, enquanto o outro
fator deve ser uma potência de 10.
No caso, 15 foi dividido Por 10 e, ao
mesmo tempo, multiplicamos 10 000 000 por 10,
para não alterar o número.
150 000 000 : 15 ' 10 000 000 :
: 1,5 ' 190 000 000 :1,5 ' 108
I zeros
Então, a distância média da Terra ao Sol é
1,5 ' 108 km.
2-.
xarclct(75
25
d
Escreva cada um dos seguintes números na
ma de um produto de dois fatores, sendo um
dos fatores um número inteiro maior que 1 e
menor que 10, e o outro, uma potência de 10:
a) 700
b) 0,06
c) 0,00007
d) o,oo2
e) 0,000009
f) 0,5
(*u . y-')u
{*' . y-n )t
x-y
escrevendo o resultado
Descubra
o segredo
Observe a seqüência:
7:72
7 Avelocidade dal:uzé de 300 000 km/s. Use
a notação científica para escrever a velocidade
dahlz. 3 to,knr/s
€3 Aplicando as propriedades das potências,
escreva na forma de uma única potência de 2 a
expressão (tO2 .A+\ : 7 0242. 2"
9 Aplicando as propriedades das potências,
escreva na forma de uma única potência de 3 a
93 .274 .g-7
expressão
3-1 .2432
LO Aplicando as propriedades das potências,
vamos escrever a expressã o J?:Y- nu(5') ".25'
forma de uma única potência de 5. 5.
L L Dada a expressão algébrica T., deter-
mine o valor numérico dessa expressão saben-
doque a: 16-6,b : 8-3ec : 4'10. 2 rt32
L2 Sabendo que x ey sáo dois números reais
não-nulos, use as propriedades da potenciação
para simplificar cada uma das expressões:
----------------)
1+3:4:22
(soma dos dois
primeiros números
ímpares naturais)
1+3+5:9:32
(soma dos três
primeiros números
ímpares naturais)
t.
,
3.
4.
Qual é a soma dos 20 primeiros números
ímpares naturais? 20 . 4oo
Qual é a soma dos 100 primeiros números
ímpares naturais? ioo = lo ooJ
Qual é a expressão que representa a soma
dos n primeiros números ímpares
naturais? n2
O número 900 representa a soma de
quantos e quais números ímpares
natufais? Como g00 - 302, ele representa a soma dos
30 primeiros números ímpares naturais
L3 Simplifique a expressão
6.10-3 .10-4 .108
6.10 1 .104 ',
com expoente positivo.
L4 QuaI é o valor numérico da expressão
a-' .b-'
É quando a 
: 6 5,b : 66 e c: 6'2? o.
o
o
o
o
----+ 1+3+5+7:
: 76 :42 (soma dos
quatro primeiros
números ímpares
naturais)
o segredo?
26
o
o
2 Escreva na forma
/ -1 '-1- I a" IexPressao I _+ I\a )
Qual é o valor numérico da expressã o ! nf ,
siderando n : 3,14er : f3? 113,04
€i Simplifique a expressão:
9 Calcule:
(o-''3-') ' (-+)'
10 Sendo x : (2')',y : 82 e z : 76-3,deter-
mine o valor de x'y ' z.
simplifique a expressão 
ol -,ur' 
, r".,-
' - a'\ +õ. -,-- a' -b'
I- 2 Qual é o valor da expressão? -
(o-'*z-'),(so++-')
a3 Simplifique a expressão, sendo y + 0. t
-l- + 8r,6y-b (y')-'
L4 Simplifique a expressão, sendo a * -b.
ma
1
^
is simples possível a
3 Qual é o número real expresso pela exPres-
são a seguir? a
^lq -')
-10+23 +(-2)2
4 Usando as propriedades da potenciação,
escreva da forma mais simples possível a exPres-
são (x2)3 . (*o)s . l*t) ', onde x + o. .
5 Determine o valor da expressão numérica:
(6 Transforme numa só potência as expressões:
\-43a) X 'X x
b) (t2)-3 . '
4.aC) 
- 
a'' a-b
d) +, x,x
7 Use as propriedades da potenciação e sim-
prifiqueaexpressão [ «o'oo1L 
'roo' 
l.«o,oD'.rr^1105_l 
,,
I-5 Simplifique a expressão: s.r
r------- -------------l
!srt*1i
! t-' ' s-l (ts)-l :L------- ---J
t'
Aqui a base é
sempre um número
real não_nulo.
(a + b)2(a+b)7 .(a + b)3
(a+b)
27
20
2'x-1
Y-1 -2x-'
2y
x2y
I
A alimentação muda as edidas
d.os brasileíros, gue se a roximam daaltura oa popuiação oos úiles ,i"n_*
JIr,tona,
lnbÍ^oçoo
'*----ar-+-;Êr\ãa>
Esta afirmação é parte da matéria publicada na revista veja de 7T /7 /96.
Leia um trecho dessa matéria:
O brasileiro está mudando a I pertodeseusavósemesmodospais' 
'
olhos vistos. E,m q"in'e uno'' u tt- | o"ut" sempre 
mais baixos' Esses:o-
acao eolhos vrstos. Em qurrrzç o""",j -:, I ação e
tatura média da população no 
Brastl I Urr*
aumentou 4 centímetros - 2'5 
cen- I or" uaumentou + cgllttlrrrtrvr -)e --- I oue a
tímetros acima do esperado 
pelos es- | oo' esLau 
urv§vvrrev
pecialistas .* .""t'J"'io : ffi i: \ ::.1':"i,:', tá: :::::';*::#;["J"H':'.'ffTil"ll.'.'];;;. \'r"'u«"*"-^o:T'^" as mãos' maio-
favorecidas, o. udol"''t"t""t;iJ;j; \ t": ".::i:iltunuo' 
acompanham
parecem gigantes att""go"çadàt I tttu tendência'
O lado negativo, aponta o artigo, é que o brasileiro não se limita ao crescimento vertical - eletambém está aumentando de tamanho nas laterais, devido ao consumo excessivo de calorias.
"Comer mais não signiÍica comer melhor", continua a matéria, sendo que a carne continua fora do
cardápio da maioria da população. O consumo de óleo e margarina poi pesrou duplicou nas últimas
três décad de 7%. A explicação é simples: pelo preço de
1 quilo de olacha ou de macarrao.É por isio que, no mesmo
período, o bres da população ,r*"^to, quatrà vezes -o dobro da incidência entre os 30% mais ricos.
Aprenda a calcular, aproximadamente, a altura guê seus Íilhos terão na idade adulta (em metros)
i)Some a altura do pai e da
mãe e divida por dois
OA partir da altura média
dos pais, some 10 cm se
a criança Íor menino e
subtraia 4 cm se a criança
Íor menina
Obs.: Esta regra valê para um casat om quê a módia
dê idadê €ntre o homêm e a mulhêr é de 30 anos Se
Íosse dê 20 anos, os valores mudaíam para g cm a
rois rc m do menim e 3 cm a mêrcs para a menina
1,75 + 1,65 1,7S . '1,65
22
1,75 1,80
1,65 1,66
28
Pa Máe
7
3.
4.
Com base nos infográficos
apresentados, resolva as questões a
seguir.
1. Mantendo-se o ritmo de crescimento
verificado de 1980 a7990, qual será
a altura média do homem brasileiro
adulto no ano 2000? t,zz m
Num casal, a média das idades é de
30 anos. Se o pai tem 1,82 m e a mãe
7,68 m, qual a provável altura do
filho na idade adulta? r,8s,,
Flávio, com 21 anos e 1,78 m de
altura, e sua esposa Cláudia, com 19
anos e 1 ,64 m, tiveram uma filha,
]uliana. Qual a provável altura de
]uliana aos 18 anos? t,og m
Supondo que o pé masculino
continue crescendo na mesma
proporção que cresceu entre 1965
e 7990, qual deverá ser, então,
o número médio do calçado
masculino em2075? +q
5. Reflita sobre o texto a seguir:
Além da balança, os novos hábitos
alimentares do brasileiro podem ser
constatados na cadeira do dentista.
As comidas industrializadas (como o
iogurte ou sucos industrializados) são
mais macias e pastosas do que os
vegetais ou as frutas, o que diminui o
esforço na mastigação. A boca, como
qualquer parte do corpo, fica flácida
se não se exercitar. E o que está
acontecendo com uma geração inteira.
As dimensões dos ossos também
diminuíram. O maxilar ficou menos
proeminente e a arcada dentária,
menor. Na história da evolução,
o homem chegou a ter quatro molares.
Na arcada dentária atual não há lugar
sequer para o dente do siso, o terceiro
molar, que desponta aos 16 anos.
Fontes: Monteiro, Benício & Gouveia, Eaolução da Altura
dos Brasileiros; Monteiro, Mondini. Souza & Popkin, Á
Transição Nutricional no BrasiL Calçados Sândalo; IBGE.
mais alto...
Altura final média do homem, por ano de nascimento
1974
Númerc médb de
calçado masculino
39
41,5
e a pele mais escuE...
Nêgtos o paÍÍlo6 na população brasileira (em %)
1940 19s0 1960 1980 19m
29
1rffi 1,69 1,71
í,75
5r7
198S
37
4
Cal,urLando
Já eetuàamos oo
números ircaaionais,
5ào os númeroo cuja representaçào àeaimal
apreeenLa infinitas cagao decimais, mae nào
eào númeroe periôàicos (àízima).
( , ^ ^o",u6oZiíWr"*^t o'o-'uo"oo'u:"
nat'
*:?::;:^::**
Fsemploo de números irracionaie:
1. ^lT , cuja repreeentaçào decimal é 1,41421356i2,.,
2. .lT , cuja representaçào àecimal é1,T3zo5oooo..
3. n, cuja representaçào decimal é2,1415926...,
cort^ rcdicnnig
Veja, por exemplo,
t;a ex?reesao o' \l 4 ,
) 9e conoiàerarmoo o número real ^[í , com a?roximagào àe uma casa àecimal'
o valor da expressào eerâ 6 ' 1,4 : O,4,
) 9e consiàerarmoe o número r"al Jí , aom a?roximaçào àe àuae caeas deci-
maio, o valor àa expreooào eerâ 6 ' 1,41 : b,46.
) 5e aoneiàerarmoo o número ,eal Jí , com a?roximaçào de írês casas àeai'
maiâ, o valor àa expreeeào eerâ 6 ' 1,414 : O,4O4,
E asoim por àiante.,
ObEervanào oo exemploo àaàoo, ourge
uma ?etgunLaz Nào oeria poseível
o?erar com números reais ircaaionaio e
obler reoult aàos exalos?
A reapoota é aim,
ôe o?erarrnoo aoln o9
númer o s ir ra ai o n aie eo crit o s
na forma àe raàical e nào
na forma àecima|
?arr" 
Y"Y1,'^
cÍri'o;"nais-q'te
'poà"m u"
?ii"!ii"". 
:^ 
Íor«a
'íJ..z.aioar'
4noiz qnítinna dewt^ ninnqro real,
consideremos um número real a e um número naturar n, corn n > 2.
Vamos examinar o conceito de raiz enésima desse número, indicada pela expressão:
Temos dois casos a examinar:
lecaso:0índicenépar.
0bserve os exemplos:
t ítO : 2,pois 2a :2.2.2.2:16
\1n : 3, pois36 : 3.3. 3. 3. 3.3 :
Já vimos que não se define a raiz quadrada de um número real negativo, pois ao elevarmos um
número real ao quadrado não obtemos um número real negativo. Esse fato se estende quando temos
araiz quarta ouaraiz sexta ou araiz oitava, ... e assim por diante, de um número real negativo.
Exemplos:
V-81 não se define em R.
V- 1 não se define em R.
Podemos dizer que:
radicando
Quando o nÚmero real aé positivo (a > 0) e n é um número natural par, diferente de
zero, dizemos que a expressão iã é igual ao número real positivo b tal que bn : 3.
Quando o número real aé negativo (a < 0) e n é um número natural par, diferente de
zero, a expressão Va não é definida no conjunto dos núnreros reais.
A raiz guodrodo de 81
éiguol o 9, pois 9 oo
guodrado éigualo8l.
2e caso: 0 índice n é ímpar.
Observe os exemplos:
1
2
3
4
v-B - -2, pois (-2)3 : (-2) 'e2\'e2): -8
1/t125 : 5, pois 55 : 5. 5. 5. 5. 5 : 3125
{/-3 125 - -5, pois (-5)5 :
: (-5) . (-5) . (-5) . (-5) . (-5) : -3125
Pelos exemplos dados, podemos dizer:
A i,tr8 é iguol a -?,
pois (-2) ' (-?) é iguol o 4,
e4.(-2)éíguol o-8.
Dado um número real ae sendo n um número natural ímpar, a expressão Va é um
único número real b tal que bn : a.
Sendo n um número natural diferente de zero, define-se: V0 : 0.
33
Élmpo*ante notar a àiferença entre ae exrlreoea"t -'[í " '[5 '
) -6 é o oposto a"'[í ;bgo,-Jí = -$'
Ê-impo*ante,tambêm, notar a dilerenga entre as ex,lreooA"u ,[ç{ " {=t .
{@ =.1T25 -J25 -g
J -5' - ,[ã , que nào oe defrne no conjunt'o IR.
1-
L Diga se é definida ou não no conjunto
raiz quadrada de:
lRa
a) 49 sim
b) 721, s m
c) -25 náo
d) 64 sim
e)
0
10 srm
-9 não
2 Dentre as expressões seguintes, identifique:
a) as que são definidas no conjunto lR.
b) as que não são definidas no conjunto [R.
respostas no final do livro
V-8 '{T *l-16 Pln J4e
{-nb ^,[t 1-1 ?'tE6
3 Verifique se a expressão V"b' - 4* repre-
senta um número real quando a : 10, b : -1 e
C:-J. Sim,poise.gLar a\121 :11
4 Sendo x : 5 e y : 4, verifique se a expres-
i. ^são 1x' - y' é definida no conjunto R.
Sim, pois e igua a rrE : 3
5 Todas as expressões seguintes são definidas
no conjunto [R. Então, calcule o valor de:
a) J25 u f) -V-8 2
6 z;) \84 2
O P,142 2 -2
d) Jo.o1 o,l
e) -t8t 3
(6 Determine o valor de cada uma das expres-
sões numéricas:
ü *,1T6 - Vr8 4
D \l-L25 - *lT + .,t=f -3
c) i,Ez - 1-27 + ,,lT ô
ü ?11 - J16 - 4-u -1
o (flEr-e-' ), (tE'+B-)
r) rt-4fFsf - fi.t l
7 Use os sinais : ou *
meros reais n eb.
a:{'36 +^t6+
para comparar os nú-
b: 
^p6+64
oSa:rt6 +",,"25 eb: j'16+25,
e os números d e & usando os sinais
: ou *. a+b
Sendo Í um número real positivo e y um
mero real positivo, simplifique a expressão
t, l.!x- 'trY' '\v
Os hindus e as raizes
quadradas e cúbÍcas
Os hindus foram os primeiros a usar
regras para a extração de raízes quadradas e
cúbicas.
É curioso conhecer a terminologia que
eles empregavam:
para a palavra raiz, usavam o vocábulo
MULA;
pararaiz quadrada, usavam VARGA
MULA;
pararaiz cribica, usavam GHANA MULA.
34
6.
a) Basta teclar
b) Basta teclar
Observe que os números 744 e 447 são formados pelos mesmos algarismos, porém escritos
em ordem inversa. O mesmo fato curioso pode ser observado nas raízes quadradas desses
números (1.2 e 27).
/t"t'' dcotrn W"u
Colculor o segundo potâncio
Vamos explorar atecla J- para calcular araizquadrada de744e 447.
e aDarecera no vlsor
e aDarecera no vlsor
de um número rocionol positivo
e zxtrair oraiz quodrodo do
resultqdo são operoções
1. Investigue/ com o auxílio de uma
calculadora, se o fato se repete com
os seguintes pares de números:
a) 769 e967
Sim, suas raÍzes quadradas são respectlvamente T 3 e 31
b) 72544e44527
Srm, suas raízes quadradas sáo respectvamenrell2e2ll
c) 72769 e96727
Sinr, suas raízes quadradas sáo respect vanrente T 1 3 e 31 '1
d) 14 884 e48847
S m, suas raízes quadradas são respectivêmenÍe 122 e 221
2. Em Erupo,explore a tecla J- I
5 Radical, antnnítico a5urc$ propriqdadqE
Toda expressão matemática da forma\,ã, com a € lR+, n c N e n > 2, recebe o nome de
radical aritmético.
0bserve:
roíz cúbicq de dez.
Là-se:
roiz guorto de
dois tarços.
35
lÊ
tacar:
Como já vimos, em todo radical devemos des-
Assim:
No radical Jí, o índice é 2 e oradicando é 5.
No radical i,TC, o índíce é 3 e o radicando é 10.
A orígem da palavra
"radÍcal"
A palavra "radical" vem do latim
radix ort radicis, que significa "raiz" . Os
ârabes, que haviam aprendido a
radiciação com os hindus, usavam,
para designar os radicais, a palavra
gidr,fiaduçáo de uma palawa
sânscrita que significa raiz quadrada.
fhmbém na Grécia, os pitagóricos
jálinham conhecimento do radical
^lZ dlesde o final do século V a.C.,
quandLo relacionaram a medida da
diagorral de um quadrado com a
medidla do lado desse quadrado.
O símbolo ^[ a" radical(adotado talvez porque lembra um r
minúsculo, de raiz) foi introduzido em
1525, por Christoff Rudolff em seu
livro de álgebra Die coss.
tE1 :3 e 81 :34
Então:
{81 :í3t::
-- índice
L
nl^
1d
-- radicando
0s radicais aritméticos apresentam propriedades importantes não só para o estudo dos radi-
cais como também para estudos futuros de outros temas em Matemática.
le propriedade
Observe:
W:2 e 32:25
Então:
w:w:2l+
Em geral, podemos escrever:
3
\,ã' : a,coma € lR+, n c N en > 1
Veja os exemplos:
t ",0-:l i,lid : to
36
:x+3,comxeR+
Propnedades
Consideremos as expressões i[Ot e úd .
Usando a primeira propriedade, temos:
- 
Comparando, temos eT0t : .,/iõ, .
Veja o que fizemot' t/ioÉ : 8'{,[6É* : ^/iõ'
Em geral, podemos escrever:
\/a, : n'$'+, com p + o e pdivisorcomum de me n.
Essa propriedade nos auxilia na simplificação de um radical do
divisor comum para os números n e m.
Veja alguns exemplos de simplificaçáo:
1 !,/m- : u,figo' : tha' 3 '<[64 :'<[2u - rz'{2as : ^tT
tipo Va' , quando existe um
2 ztrfy _ zo5^@s : \[,
observe as expressões {-/6a e Vo+ .
Calculando, temos:
Veja o que fizemos, {@ - ''1[u : W
Em geral, podemos escrever:
tF :''{/a, coma e R*, m € N, n e N, m > 1 en > 1
Veja os exemplos:
4 ,i[y),il: zs'1[xy;ro's : tfitf
1 lli.,z -512 :',{' 2 ^l :'ffio : t[C
4.25
4-" propriedade
Consideremos as expressões e Ja .J% . Calculando, temos:
1
2
3
Veja os exemplos:
I- Dê o valor de cada uma das expressões:
ul nTír ,o ") \[e"f 2r
b) i,6s :, f 1 @.sY 2 .
ô \[z' 2 s) 1Gr'f .:
, coma e R+, b e nl, n e N e n > 1
,comaelR+
2 Decomponha o radicando em fatores pri-
mos; a seguir, usando a propriedade dos radi-
cais aritméticos, dê o valor das expressões:
nl^
Hd-6-
uE--xã
r/ s-F
ir4 25 : -r,ToC : 10 I
I ---* Comparando, temos 44 25 : i4 f 25 .14 ' "t25 :2.5: 10 
J
Em geral, podemos escrever:
iãt : i/t.i/t, coma e R*, b € [R*, n G N en > 1
Veja os exemplos:
18111 : Jt .,,T 1
t"2.5 : {/Z.i',F
W:W {,[.íy,corx,y€tR+
5e propriedade
Em geral, podemos escrever:
a
b
d)W 7 h) XG1.)' ,,y
38
3 Dividindo o índice do radical e o expoente
do radicando por um mesmo número, diferente
de zero, simplifique os radicais:
u) '\lz' clz el 'Vf 'G;
r) '{E ",'a o'Wtç
c) 'írot t"To gl i,&t .,r
dl 1Ç' ltt nl '-ffir l,'ãr
4 Determine o valor do número x em cada uma
das igualdades:
u)'\[zr :d{ ,=t c) V# : fi''=,
b) 'V105 : {/10* , : , d) 'Vo" : Q,l6 ^: z
5 Decomponha o radicando em fatores primos
e, a seguir, simplifique cada um dos radicais:
a)'{zz "ir
b) <127 ','c
c) '{Et tt
ü \T6 .{1
dWtE:
0 -,4foz+ {í
(6 Escreva sob a forma de uma única raiz:
-
a) íVx 'q,; a> \h,T 'o
u) ilo tru ") Vrrio 's!o
cl {F'<;
t-r) tr4"t2 '"tr
7 Escrevana forma mais simples possível cada
um dos radicais:
a) \lW ,r b) JRl243
€i Sendo r um número real positivo, transfor-
me em uma única raiz:
al r,F c,f
r---
.) ííJ* tÇ
.r 
-
b) i/í2x '42"
-t,._
d) ííx' 4^u
€) Determine o número real x em cada uma das
igualdades:
u) di/ro :24lto x = + b) tF : §F^ =:
39
G'
íx
tEzc)
L(O Escreva como um produto de radicais:
ú ^P'z lí "7 d) í-y tr i[
b) Vax i'u d "lTab ,E ,. Jo
-
úr 0 í*'y 'lr' 'J,
L L Decomponha o radicando em fatores pri-
mos e escreva cada expressão na forma de um
produto de radicais:
a) "uffi .,,I rF
d §,[n q,t i,7
c) i./35 i/t ii7
L2 Transforme em um único radical as mul-
tiplicações:
a) -'/í' 
"/í
D iT.W
d)
e)
zln o 1í r,r
{fí ,li, ,q7;
?,854 {, ;l ."fr1
\tT .\ltz z
"lT."lí'lT t^
c)ús
d)V14
L3 Sendo x ey dois números reais positivos,
transforme em um único radical cada um dos
produtos, simplificando o radical obtido:
a) 'iÇt. 'í* ,r" c) 'fif ' 'frf ',,r,
b) 'tÇ' 4í ç d)'Ú', '\Fn '^16
L4 Tiansforme em um quociente de radicais
cada uma das expressões:
d)
e)
0
L5 Os números a eb sáo números reais posi-
tivos. Nessas condições, simplifique os radicais
ít' "'{ú,calculando a seguiraexpressão
que representa o produto dos radicais obtidos.
,/r g
l2
q,T
q,[t
\14
í5
f1z
\2
.a2ol_
\13
"f4
1s
âr*radorcu 
vamos explorar a tecla J- para irrvesti gar araizquadrada de
\fr- -.: alguns números Palíndromos.
quondo lido do direito
poro o esguerdo ou do
esquerda poro o
direíto.
tall
llllll
b) 72345 654327
is:
o ro\dticando
Observe as seguintes expressões:
l'ecle 1 2 t ^{- eapareceránovisor
l'ecle 1 2 3 2 1 [ eapareceránovisor
It"'o \/à,.a
Investigue, com o auxílio de uma calculadora/ o que acontece com a raiz quadrad.a do número
palíndromo 7 234327
E o que você acha que vai acontecer com os números palíndromos a seguir?
a) 123454327
,15' '7 = lo' ' iz = 5.
-.-v-
Transforman
dado em um produto APlicam,os 1
de raàicaie, propriedaàe i,i a" = a,
',t6.s" t" =g {í fi" =tr|i.?_=_T_ _-
Transformamos o radiaal fli, = S
àado em um produto
de adicaie.
Desse modo, temos que:
Se um ou mais fatores do radicando têm o expoente igual ao
índice do radical, esses fatores podem ser extraídos do radicando
e escritos como fatores externos (sem o expoente).
3
2
---=-
5
Em alguns casos, o expoente do fator é maior que o índice do radical. Procura-se, entã0, fazer
'ansformaçies convenientes no radicando, como você pode ver nos seguintes exemplos:
I .,hot : .[õ' .10 : .,'io' ,[o- : loJia-
2 W :XF .* t :W W''"tT :2'2'{, : trT
3 ,W'*:\E'T*'5':',8 ,T ^F ^F:2'5'5'./':50^tT.52
Há situações, porém, em que temos necessidade de fazer a fatoração completa do radicando
antes de fazer a extração dos fatores.
Veja alguns exemplos:
1 Simplificar aexpressão i1í .
Fatorando de forma completa o radicando 75, vamos encontrar 3'52.
Daítemos:
^,[75 : Jg.f : ,8 ']5' -- 5^/3
2 Slmplificar a expressã o lltOZ .
A fatoração completa do radicand o 162 nos dá 2 ' 34.
Daítemos:
?'E6r:?tp4 :
0s números x e y são números reais positivos. Nessas condições, simplifique a expressão
A fatoração completa do radicando 50 nos dá 2 ' 52
22 .2-52
iE .-tã :1lT 31 lE I : 31,6
4 Simplifique a expressão 2a2 - 4ab + 2b2, fatorando o radicando.
It
fatoração do
trinômio quadrado
perfeito
41
: 2xtEí
50x3y
2az -4ab+2b2
0bservação
Usando essa forma de simplificar um radical, podemos determinar araizenésima exata de um
número real.
Vamos, entã0, extrair araiz quadrada exata do número 2304.
A fatoração completa do número 2 304 dá 28 . 32.
Daítemos:
n73o4 : ^,t@ 4 : rF.2, .* Z .3, :2. 2. 2.2. 3:4g
Logo, a raiz quadrada exata de 2 304 é 48.
L Retirando fatores do radicando, vamos sim-
plificar os seguintes radicais:
t-g) 12' s'2
n) 1D'-f u,,
2 Os números x ey sáo números reais positi-
vos. Nessas condições, simplifique cada um dos
radicais, retirando fatores do radicando:
o 1F- uiv
c) l&t ,0.''i
d) i/Y' v'iv'
dw vv
4 Considerando qlre ^lT :1,47 e "vE :1.,73(aproximação com duas casas decimais), simpli-
fique os radicais e determine, na forma decimal,
o valor de:
ü ^118 +zt
b) ",148 aez
d ..b2 u,uo
d) rD00 ,0,,
d "J'!.62 ,ru,
Í) J75 , u,
5 Os números reais x ey sáopositivos. Nessas
condições, vamos simplificar cada um dos se-
guintes radicais:
e)
Í)
s)
h)
,y'./1 1
c)
d)
(5 Fatorando, o radicando,
pressões:
ú&y1u',a;
-L^/50;' sx,zxx
simplifique as ex-3 Simplifique cada um dos seguintes radicais,
retirando fatores do radicando:
ú "las 3s
b) í3oo ,o.s
c) "600 1o\5
d) 164z:,2
e) \hn- z\.i
f) 
^Eo
s) F,l1,e,
il *,m6
3\,'30
2i'o
z$t
b)
,y ^fJ -8*+4 ,,^ r)
*4ah+2b2 ia-rr) 2
F-e"+o
d)
e)
xarctcl05
il 
^f 
22-77 z,it
al \lz.z6 t f
c) {/sn 's r 5
u) ,6*i ,*.ra
i--
b) yl20y' 2y sy
a) lx' - 2xy -t yz
* 2x-t 1
i) "tí2f,í 2a.3
i) '"'Mí s, s
t
42
x'-9 /comx*3ex+-3.
1
x+3
7 lJsando a simplificação de radicais, com a ex-
tração de fatores do radicando, calcule:
a) araiz quadrada exata de 2025. qs
b) araíz quadrada exata de 4096. aq
c) araíz quarta exata de 1,296, a
€i Simplificando os radicais, calcule o valor da
expressão \To% + 9{7» - 4725 . ,
9 Simplificando o radical, fatore cada uma das
seguintes expressões, colocando em evidência
o fator comum:
a) 5 + ^,60 s.(r *,tr) c) 10 - J8 z (s 'tr)
b) 3 - Jií a (r-"tr) d) 10 + xm ro (r*^r)
LO Adotando que .,/E : 1,73, escreva na for-
ma decimal a expressão 
^,[ 
200 . ar,oo
L I- Simplificando o radical existente no nu-
merador e colocando em evidência o fator co-
mum, simplifique as seguintes frações:
, 2+J12 , 3+J18ai - ,-- , .: .) a 
-.-
10-vEo z d) 7-.xry} , ;,b) U z-r:
L2 Transforme em um só ra ical e, a seguir,
simplifique cada uma das expressões:
4i6 b)
L3 Fatore o radicando da expressão
@ e, a seguir, simplifique
o radical. (a + b)\a - b
a) {4 o%
I
Fórmula de Heron
Uma das maneiras de calcular a âteade um triângulo qualquer, quando
são conhecidas as medidas a,b, c dos lados desse triângulo, é aplicando a
fórmula de Heron, matemático greSo que viveu em Alexandria, no século I a.C.
Área :
í ^rl^r
I o : 
u * 
3 
t t (semiperímetrodo triângulo)
/ coml z
I a,b, c são as medidas dos lados do triângulo.
/t"to íconn S"a,
Suponha que exista um terreno triangular, como o da figura:
96+80+48 224
y----------ã-__
ZZ
Area : ./r rz . 112- 96l .\112 80) .(1 12 48) :
: \íir.164r.64 = E.?n^.r'a6 -
: uz -,!t+ :512-3,7 = 1 894,4 m2
Fazendo "lT{ :3,7, determinar, na Íorma de número decimal, a ârea desse terreno.
p(p - aXp -
43
7 lntrodwindo aA^ ator ulerno
yro radicand,o
Observe os exemplos:
Se .[' '3 : 2^8, então zrtt : .t7i .
Se {E . z' : 711í , então 7V5 : ffi:7-
se 1,6a : \l» : 2W, então 2\T : :W,
Assim, podemos escrever:
I
2
3
Um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando
para isso escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical.
Acompanhe mais esses exemplos:
Nesse problema, devemos inicialmente introduzir o fator x no radical mais interno:
à ?/....- çizt ;
VxVx : íi/x' .x I5I A: !X
2 Sendo a > 0 eb > 0, introduza o fator exter-
no no radicando:
ú 6lí , 6a c) aV2a ,2a.
d 2allb : .' d) 3bVab - ,
3 Sendo e y dois números reais positivos,
transforme en:r um só radical as expressões:
I lntroduzir no radicando o fator externo da expressão 5r,8.
2 Transformar em um só radical a expressão i,[Vi , sendo x > 0.
I- Nas expressões seguintes, introduza o fator
externo no radicando:
a) 7JT 1t d 51,1T .,r50
b) 2"1í za f) zf,lT} .o+o
c) 1o^12 2aa g) t?,lT ',2
ü 5e ,r75 h) 2*lT \32
xa_rclclos
44
.l -:7-, oi Jl )a, 1x1/ x
Consideremos a expressão algébrica inteira 9x + 3x - 15x + 8x - x. Comotodos ostermos
dessa expressão são semelhantes, podemos reduzir a expressão a um so termo:
9x + 3x - 15x + 8x - x: (9 + 3 - 15 + 8 - 1)x : 4x
Quando uma expressão contiver radicais semelhantes, procedemos da mesma forma, ou seja,
podemos reduzi-la a um só termo.
Veja os exemplos:
1 Escrever na forma mais simples possÍvel a expressão 10rE + 5^/í - 11Jt + 2J{ .
p"'tí +e",,8 -,n.r[í *zJí =(1o+ 5-11 +4nE =6",6
Dó poro colculor
mentolmente. Bosto
encontror o resultodo
de10+5-It+2.
Logo, 6HE é a forma mais simples da expressão dada.
Qual é o valor da expressáo 7 JT - 5"'[, - 3"'[, + "Tl
7"t2 - s"E - 3"[, + nE : (7 -5 - 3 + :-)t[T : o^,[2 : o
Logo, o valor procurado é 0.
Simplificar a expressão 6^/í - 2^{T - s-vtr + 3^[7.
6Jt- 2"[T -5ít+ 3^[T:6Htr-5it- zJT +3"{T:hE+ t^F:"tr *",[T
Logo, "uE + ^[T e a forma mais simples de escrever a expressão 
dada.
Observe que expressões como
l- 1-v5 + v7 não podam ser
tornados mois simples, Pois:
2
iorma decímat aproximada de 'J5 
'/Vl'
0 mesmo ocorre com expressões como:
,tr- "tr+^tsltrtii
2,23 - 1,41+ 1,73
^p 
.z * /-# 2"{T + 5J3
3+.'6+4Jatti
3+7,73+6,92
Há expressões que exigem a simplificacão dos seus termos antes de se realiz ar a adicáoalgébrica.
Veja os exemplos:
Calcular o valor de r,60 + HIS .
Já sabemos que 
^/50 
+ HriS + ^[aa 
.
Vamos, entã0, simplificar cada radical com a extracão de fatores do radicando:
fio-+.,/i8 :8.5' +r0.3, :5"tT +3"{T:BJT
Logo, o valor procurado é 8",tT .
2 Escrever na forma mais simples possível a expressão i[7Sú -
Vamos, inicialmente, simplificar cada radical:
1Fn.^í - XTlí + {,Ex\7 :
: í5' .x3 .x.y - íSt .x3 .x.y +lxT
: 5x{xy - 3x{/xy + 2x1/xy : 4xVxy
Logo, a forma mais simples de escrever a expressão dada e 4x{i[.
Simplificar a expressão ,EOO + J500 + .,E- - ,E .
xmo + H6oo + r,,5- - "{4s :
: 
^tTi 
.s' + 
^p 
.s' .s + -rE r:
: lO"tT + 10rE + 2J2 - 3.,,F :
: 7oJ, + Z^,IT + 1o^,8 - 3HE : tz^tT + 7Jí
12"12 + t"E
Logo, aforma mais simples da expressão dada é12"{2 + l^[í.
4 Simplificar a fracão
"Íz + lls
Ju +",11í
2",lT4t
tz"'tT +
2^847
46
14HE
L Escreva V se a igualdade for verdadeira e F
se a igualdade for falsa:
a) JT +HE:rl1o r
b) lE + jí :2.;,,5 u
ô "lT +1:7+",,T vd)r5*{J:i6 ,
2 Escreva na forma mais simples possível cada
uma das expressões:
u) 2E + 1oJí rz'r
b) 9"vE - sJt + gJt q"Ç
c) ./io + ",/io +.,,ío súo
ü 7W - a41,1, z'.1'
e) Ja +"vf +Jt+Jt(coma>o) qÇ
0 W +zW -8W +64T zctr
g) 3x^lT +9x",,T - 6x.'lT a*Jz
h)2+7"16 +2"16 - 1 r,g,6
i) Jto +10+Jio +1-51T0 rr-súo
j) 2"trí + B"íT - e",T + 8Jí - 2^lí rc"Ç
3 Calcule as somas algébricas.
a) a^11,25 -3J45 11
61 +trÍo + 23J1,n 16
c) r,[ox - í36>< - J9, -s,rr
d) ",82a, + r,EF - lEf satEa
e) -J5+ + "lí - ",/iso + 2"124 s.iF
0 3arãrC -7"t[f x + ax.J4ry '2ax-u6í
gl f"ü'y - *tP; - *"'.,[y *,'[
It
1s
1
6
h)
"112 ,tr
47
4 Qtalé o número realx exPresso Por
^r'19 
+ 3v5o + 1"9í? zs.')
5 Determine o perímetro do triângulo onde es-
tão assinaladas as medidas dos lados. r rJz
(6 As medidas do retângrrlo são dadas em cení-
metros. Determine o perímetro desse retângulo.
t+Jto 
".n
úso
7 Osladosdeumtriângulomedem 4"196 crn,
5^[Z16 crne 4J 496 r^. Qual é o perímetro des-
se triângulo? sz/o "-
€l Escreva na forma mais simples possível cada
uma das expressões:
a) Jso -"lz$ -"1T62 +Jgoo ú -+,2
b) 418 -7"tT8 +51U8 +"Doo 24t3 -t1tl
€) Considerando que ^/5 
:2,23 e ^lT 
:7,41
(aproximação com duas casas decimais), dê o
valor do número real r na forma decimal, sendo
x : 16 ooo + ,600 + 1Eo + Jí. roz,oe
LO Simplificando o numeradol, escreva na for-
mairredut ívelaÍraçáo 
g"'w +^@ -2"{a5 
.
8
!5
2
Dados u : ^,/i+ Jí eb : Ji-rF,
x e y sáo números positivos, determine o
vaior de:
. a-lba)_'2
L2 Qual é a forma simplificada da fração
^,[zg + ^lvs ., ,-
"@3
Dessa maneira, podemos fazer:
Daípodemos escrever:
a3 São daLdos os números reais a, b e c taís
quea - 1- Jg ,b:1+ "80 e c:2- "lgy .Nessas cond:ições, determine o valor de:
a)a+b*c: i: b)a-b-c
L4 Quat é a forma mais simples de escrever a
. - ^[so -"vTgfraÇão ----' - ?- 
^l2oo
b)a-b
l,icand,o rufi r a5sô qE ca fh
iE dra- A^a5[t^o indicerr=
Recordando as propriedades dos radicais aritméticos, uma rlelas nos mostra que:
tE.b : Vt.i/t, coma > o, b > o, n € N en > 1
Usando a propriedade simétrica das igualdades, podemos escrever:
t/t itr : !ã.b, com u2O,b >0, n e N en > 1
0 produto de dois ou mais radicais de mesmo índice é unr radical com o mesmo
índice dos fatores cujo radicando é igual ao produto dos radicandos dos fatores.
48
) ,[, .^tí - Jri -.lií
) ít .{6 = \p .a - \lií
P'2{, = 2o^[í
)
)
)
2a. h- 5b) : 2a' a - 2a' 5b : 2a2 - l}ab.-=1 _'--/
(3x + 1X2x - 5) : 3x' 2x - 3x' 5 + !' 2x -
6x2 15x + 2x
: 6x2-13x-5
13
Veja, entã0, as situações em que usamos essa técnica:
Vamos calcular ,ç' (s^tr - Jt)
):i'tr.3.lã-v,F'n,F:
: 3",[o - rF : 3rli0 - 5
Vamos calcular (^,tr * 2^lr)' (^lf - 5rZ).
zã_____>
("tr* 2"7).(rf - 5rT):J3 Jt- ,tr srT +2",E ,T- 2^[T'5nT:
: ^[{ - 516 +z^[6 -rc^[t :
:3-s.,,,,,6+2i6 -20:
:3 - 20 - 5r./6 +2^E : -17 - 3\E
-í ---;o-
Vamos calcular (z - '7) ' (s * tT)
,ã-\
( ):2.b+2.",[T -{T'5-"tT 'JT:
: 10 + 2-{T - 5^[T - ^n- :
:10+2"8-5J7-7:
:.10.- 7 + 2^[T -5^tT :3 - 3C
3-sJ7
49
Em olguns cosos, temos que usar
o tétnico do multiPlicoçõo de
polinômios, ou sejo:
I- Efetue as multiplicações:
u) E.[
ü w{.eE
c) JF'"G-
f)
8)
h)
r;-
Xx
l2a
1/. "
1)
i) G-y iãr,
E
s^[,
3 A área de um triângulo é dada pela metade
do produto da medida da base pela medida da
altura..Nessas condições, calcule, na forma de-
cimal, a área do triângulo da figura, adotando
d) fit içt-
e) Va' 'Va' 'Va'
n5o .úo
,Gt-' ,tr
2-[n .5nT .nT
2 No retângulo seguinte, as medidas indicadas
são dadas.em centímetros. Determine:
a) o perímetro do retângulo. 2,, ,
b) a área do retângulo. 
".
Todas as asridtseis . .
representaffi números
reais Positiaos'
ab
x
s^,6c-
50
4 Caicule:
il ^'tT (« - !3-)
D ^17("lT +"lT)
cl ^/ro (súr - s"uto )
d) "uE- (z + "tr)
e) .'rií.(*r + "'/í)
0 (O - !F) (]T t 216 )
s) (5 - ",F',|(s + ^lr )
nl (sJt - zX"6- + s)
i) (+ + "'ri5 )(+ - Jra )
5 Determine o perímetro e a áreado retângulo:
(5+J-s)cm 
I
Aârea de um tiiângulo retângulo é dada pela
tade do produto das medidas dos áois
catetos. Qual é a ârea do triângulo retângulo da
ftgura? z + ).t-
é o número real x expresso por
+1)-"T'^l{2.
€l Usando a multiplicação, vamos calcular:
, ..
a)(1 +Js)' .
, ..b)(2-Js)'
C)
d)
_. )(Js + Je )-
' ,)
lrT - ^lz )'
€) Sendoa : L - rE eb : ^,F - 1,determineo produto ab.
LO Efetue a multiplicação
7 + Jí '12 - Jí , simplificando o resul-
tado.
I-2 Escreva na forma mais simples possível a
expressão (-s * zxT)(4 + ",7) - 3"tT .
13 Qual é o número realx exPresso por
Jro + Jto 10-ú0 ?
L4 Apropriedade fundamental das proPor-
ções nos diz que o "produto dos extremos é igual
ao produto dos meios". Usando essa proprieda-
de, determine o valor de r nas proporções:
.xNT :-d) ------ - ^{62
x ,T3 - río
"urig + "ulio
11
fração
Escreva na forma mais simples possívela
(z+^lT).(++"T) b+3\2
-
(g - .'/t).(g + Jt)
) Quadrado da soma de dois termos
b)
(x+y;2:x2+2xy+y2
r Quadrado da diferenÇa de dois termos
i
l
,l
+
IJ
t+
r!
(t - Y)' xy
xy y''
51
Record ando oE
x2 xy
xy Y,
Vocà deve estor lembrodo
dos produtos notóveis jó
(x- y)2:y2-Zxy+yz
I
) Produto da soma pela diferença de dois termos
(x+Y11x-Y) :x2-Y'
Nas expressões que envolvem radicais, também podemos aplicar as regras que regem os
produtos notáveis. Veja os exemplos:
I (vE * íT)' : (-vE ;' + 2 . ^l{. íT + (ís ;' :: 5*2-ri15 +3:
: 5+3 +2$5 :8+ 2"{15
\2 t-t2 . 1 j;;- ' 
-' 
)
) : t7)2-2.7..,,'10 +(^l'10)':
quadradoda : 49 _ 14ú0- + 10 :
diferénca de
doistermos : 49 + 10 _ 14.,ti6 :
: 59 _ 14Ji0-
3 (Jí * ,T) (Jt - -/t) : (rE)' - (^/t)' :
produto da soma pela
diferenca de dois termos
:5-3:2
I- Aplicando a regra dos produtos notáveis,
calcule:
-. 
,
a) (íg +"lz) F 2Ç/ 
-, 
)
b) (1 - 47 f d 2-
c> (+",T + sX+"uT - s)
d)(z+^/To)' r L a
e) (úr + "lT)(^ln - "T) ^.,f) (eís + ^lz )' ,-o L
il 0 + ,rs )0 - úe ) ,o
trl (-snrí + r)(-e",/í - 1) ,.,,i) \z"lz + 3J5 )' /: r ?=
2 Sendo dados a: 6-r ^,lT eb : 6 - ^[2 ,cal-
cule o valor numérico da expressão a' - 2ub + b'.
8
3 Você sabe que a ârea de um quadrado é dad.a
pelo quadrado damedida do seulado. Nessas con-
dições, calcule a ârea dos seguintes quadrados:
4 Sabendo-se que x : 3 * ^lT, qualé o valornumérico das expressões abaixo?
a)x'-Zx:-n 6+4\2 b)x2-6JT ,-
Verifique se x : Z + -'lZ torna verdadeira a
aldade x' -- 4x * 2 : 0. sim
quadrado da
soma de dois
termos
xarclcl(75
52
ltl
ltl
";i
6 Escreva na forma mais simples possível a ex-
pressão (a + zJs )' - "lzzo - 18. rr
7 Simptifique a fração:
-' '(ío + "12 )
€! Qual é aÍorma mais simples de escrever a ex-
pressão ("7 + "E)' - (O + -.-5)çlT - J5)?
10 + 2r35
9 Qual é a expressão algébrica que representa
o quadrado da expressão lEx + 1Ex para
x > 0? 7x + 2x\10Qí+TEXJz-xF)
Note que o quociente de dois radicais de mesmo índice é um radical com o mesmo índice dos
termos cujo radicando é igual ao quociente dos radicandos dos termos.
c)
d)
e)
l0 Dividind,o uprassÕaE cort^ radicn*ig
Por uma das propriedades dos radicais, sabemos que:
:jft-,coma>o,b>o
Vb
E pela propriedade simétrica das igualdades podemos escrever:
: 
F,então F: F,com a > o, b > o'
Agora, observe os exemPlos:
J4o,^[r:F '40 :\8.5:2^[í{2-:\ 2 :
t-2 ,E,e : #
3 186,{T:E
L Efetue as divisões:
a) úo :",,8 2 e) r,2oo :^fí ,,n
D WZ :Pl+ i3 0 "@:^,lT 4,.b
d ^[te8 :"8 2,21 g) "uDo :"'8 3',"2
d) i/*' 'il'x' ,*>o h) t/'aif :*iab ,ab+s*ii ui,
2 Escreva as expressões seguintes na forma
3 Simplifique a expressão
^/í+2 "lí-2
",le +z' ,f
a
b
7-.
xql.
53
1
2ri10
idind
d,icet
aw
Rzdtnçao de d,otE ott mats radicaiE ao n^e5n^o fudrtce
Acompanhe as situacões:
13 Vamos considerar os radicais trF- , \t{ .
Podemos reduzir esses radicais a um mesmo índice, que deve ser múltiplo comum de 3
e 4. Portanto, esse índice poderá ser 12, 24,36,48, 60, ...Parafacilitar nosso trabalho, vamos
escolher o menor deles: 12.
Agora, observe:
Então:
w,{ü
radicais com
índices diferentes
'<,7' , '{ü
radicais equivalentes
com ct mesmo índice
radicais com
índices diferentes
ztr]s , 'W
radicais equivalentes
com o mesmo índice
2? Consideremos, agora, os radicais i,[- . {,G3, com a > 0.
lnicialmente, vamos reduzir esses radicais a um mesmo índice, que deverá ser múltiplo comum
de B e 6: 24, 48,72,96, 120,... por facilidade, vamos escolher o menor deles, o 24.
Então:
tG. , 1,ãr
54
Veja os exempÍos:
Vamos calcular \,7 '],!fí .
lnicialmente, reduzimos os dois radicais ao mesmo índice e,
Como os rodícoís tâm
índices diÍerentes,
precisomos reduzi-los ao
mesmo indice e, a seguir,
eÍ etuar a multiPl icoçã0.
\[, .'{í :'W "\[V : "\E' z" :'{{
l4wtlipLict^çao e divitdo da- radicai5 con^ índiceE di[erantzs
Com a redução de dois ou mais radicais ao mesmo índice, é possível efetuar a multiplicaÇão e
a divisão de radicais quando estes apresentam índices dtferentes.
Calcular.,ho , í10 .
a seguir, efetuamos a divisão:
-- -- -
Jto 
' 
Vto : Vlo' : Vlo' : eiot' 10- : q,[õ
L Reduzir ao mesmo índice os seguintes ra-
dicais:
ul Vt' ,tE c) '&F , u^{z )W
b)'w,\T ál 1,6r, 'W , ^[a
i'3o , \J6 , í2
2 Reduza os radicais ao mesmo índice; a se-
guir, compare cada par de radicais usando os
sinais ) ou (.
u) 'W "'{Fz'X'
") 
Í,/# 
"Ví
s) {f {{ ''W
-. 6/-5 ól-2f) 1/- '.\/ h) Vaj ,'{{
4 Considerando os radicandos número.s reais
positivos, reduzaao mesmo índice os radicais:
uy ^[i+ 
y) ,{f,, +, i,' , ; ir'
Sabendo qrLe a e b são dois números reais po-
vos, escreva a exPressão literal que rePresen-
ta o resultado de:
u) lEuÉ ,{ "*
c) \[zu "W
b) '-iF' .'t/3" d) iIt' "'{f
il :113'
3 Efetue as oPerações indicadas'
,) 3.!To 'tTÚ
t- \ tã
b) ^l/ :1/
. Ll^ l^c) !J'1r d) "vf ,'\[{
55
b) ?,646 f{f* :
b) {7G + bt' ,'&fu - b)'
Resolva cada uma das seguintes equações:
a) ^,6i :6 e) 3"v[ : t2
b)!Tx-z :s 01çr+-r_e :'
c) ./2x+r :-3 g 1Ex+5 :!ç+B
d) 2"Ç : + h) 3"uDi : o
ne o conjur.rto solução da equação
xfl.
equação
rmine o número realxparaque se tenha
a
J: ___/ COm X * S. :.
{x-5
ô
o
oco
ôo
o
L
Consideremos, inicialmente,,a expressão 
#
considerando ,E : 1,732 (aproximacão com três casas iiecimais), vamos encontrar o valor
decimal da expressao -L:ís
11
5 : l,7n :0,577
Voltemos a considerar a expressao _L
í3
usando a propriedade da equivalência de frações, multiplicamos o numerador e o denominador
dessa fração pelo mesm o numero 
^,lT 
, calculando, a seguir, o valor decimal do resultado:
58
1,732
23
22
1
10000
13400
12760
o636
o,577
1,8
Como você pôde observar, as expressões -i e -li- são equivalentes e obtivemos o mes-í35
mo resultado na forma decimal: 0,577 . Porém, você deve ter notado que foi muito mais simples dividir
.'8 por 3 do que dividir 1 por lE.
Por esse motivo, usamos transformar a express ao 1., +, na qual o denominador év5 J
um númeroracional.
A essa transformação ou a uma transformaÇão desse tipo
damos o nome de racionalização de denominadores.
Veremos, entã0, alguns casos simples de racionalizaçáo de denominadores, que, como já sabe-
mos, consiste em transformar um denominador expresso por um nÚmero irracional em um denomina-
dor expresso por um número racional.
I Vamos tornar racional o denominador da expressão +
Se multiplicarmos o denomina dor ^[l 
pelo número JT, teremos:
i- i- i-2 1\l / '4/ :^l/' - /
Por esse motivo, dizemos qre 
^/7 
é o fator racionalizante da expressao -L.1t
Conhecido o fator racionalizante, vamos, entã0, multiplicar o numerador e o denominador da
expressão dada pelo fator racionalizante e teremos:
t t. ^[T ,T {T,T 'F Jt n'
expr e s s ão e quiv alente c om
denominador racional
2 Racionalizar o denominador da expressao .-!.
3J10
Se multiplicarmos 3.v[0 por ",,[C, teremos 3ú0 ,[0: 3 ' úat: 3 ' 10 : 30.
Entã0, dizemos que n4õ é o fator racionalizante da expressao --L.3í10
5.úo 5^[c - bm ^ho31ri0 ú0 3 ltõr - 3 )y -T-21
I
IL-------> expressão equivalente com
denominador racional
59
3 Escrever na forma mais simples a expressão
-----+ Aplicamos uma das propriedades dos radicais.
produto da soma pela
diferenca de dois termos
,tr
Considerando a expres ,ao E , o fator racionalizante éí3
,t, Jz ,T 76--/t Jt Jt 
^ls,
Vamos tornar racional o denominador da expressão .+, com a > 0.
),1 a.
Quando o índice do radical existente no denominador for diferente de 2, devemos ter um pouco
,T.
,tr
3
mais de cuidado para achar o fator racionalizante. Na expressão -!-,0 fator racionalizante
é dado por, l,/F- : 1ãs 
Ta'
Daíteremos:
Racionalizar o denominador da express ão -L.í3',
Nessa expressã0, o fator racionalizante é í3'/-5 : \T .
Daíteremos:
2t 2t.tlT 211a, 2t\B- z,Uy -t r^c
-
ísu ,l{ ,"h, ,{* e ,rE. I - / v-)
Vamos tornar racional o denominador da expressão -J-:V5 +"8'
Lembrando daregra dos produtos notáveis, observamos que:
(^,tr*rZ)(rtr _ NT): (r5 )' -(rT)':5- 2:3
expressão equivalente
com denominador racional
6
L*
2
3
60
expressão racional
5
Entã0, você nota que o fator racionalizante da expressão dada é (Jt - {r)
1 (Jt - {r) ,T-rT
(",/í* ,T) (-utr-rZ) (rtr)' -(rT)'
,T -rT J5 -JT
5-2
I > expressão equivalente com
denominador racional
l, Racionalizar o denominador da express ao 4. E2- "12
Considerando o exemplo anterior e observando a expressão dada, dizemos que o fator raciona-
lizante dessa expressão e (Z + "{r)
(z + "tr) (z + 
.,tÍ) 4+2J, +2nE +^[t
. .)
e)2 -l^12 )'
6+4J2
24-2
Z(t + 2^tr)
2
Colocamos o fator 2
em evidência no
numerador e
.simplificamos, pelo
cancelamento.
6
1,/ J
,tr
r
V5
b)
c)
z./s
_ t-"rí
t)
í93
expressão equivalente
com denominador racional
5 + 110
xy
5{x
xrf
yJ"
mais simples possível as
Y.i x
5
l'xY
c)
d)
E.+ e)
.F+o
115
5
",tw
JoÉ
(z - "tr) (z + ^tT)
4+2J, +zJT +2
L Torne racional o denominador das seguin-
tes expressões:
NE
àl : --:-
^le 
r
2rh o
3
2 Sabendo que x e y sáo números reais positi-
vos, racionalize o denominador das seguintes
expressões:
,xa)_
!X
b) --= t.LztrY 2Y
3 Escreva na forma
expressões:
3
10
rão
't0
4 Sendo 6 Vamos racionalizar o denominador de cada
uma das seguintes expressões:
a) --- l:- o\ ---4-3+^lZ 2"13 -1
na forma mais simples a expressão
+ JT.
"16 =.2,449 ^lT : t,+t+ JTo : 3,162
calcule o valor decimal das expressões:
,t>
"l+ 0632 c) -1-l!s vl\2"'
5 Racionalize o denominador das expressões:
al -! d)=g -:'^16' 'Vau
2
,íT + "T
7+^lz
Jt -nT
nT -"lT
Js + ^lT15b)n
vs
sEt
l+ sinnpLr{ican do axprq5tüqs con^ radiu,,i5 -Vamos usar as operacões com radicais já conhecidas para simplificar algumas expressões.
t Slmplif icar aexpressão -=' 3+í7 3-,17
r(s - "7) * 1(3 + HZ)(s*^/7X3-rZ)
3- [í +s+[í
^ , 
-.)(3)' - (Jz )-
+, calcular o valor de x - Y'
ú8 ",tr -+
,Eo -+ G-4
,T J,
2"tT z"{T
^lz' z
9-7
2 Sendox:.,/3 ,6êy:
x-y:vt3 v"6 : ,ti8 -
tT
,T 'rT
3 Simplificar a expressã o Jz - -12:I _J''
t; ,T lz(t-"lz)-^lz
^l 
,vÉ t-^lz l-"tT
-z(t + {T)
r^
- 12'
t- nT
-2 - 2"'tT
-2
1- 12
-2 - 2"[,
I- Qual é o número inteiro que se obtém quan-
do simplificamos a expressão
3-v3 3+13
2 Qual é o resultado da multiplicação?
( z+3Jt ) ( z- 3Jt )
[--:r-)l--o-)
3 QuaI é a forma mais simples de escrever a
expressão a seguir?
1o"lT .ç,lT + 4T . "lT - zl 
)i'
102: 100
Potân cias con^ ax(toanta- rclctonc^|,
(t - "',U) (t + ^,tr)
-2 - 2^[, :2 + 2"[,
- .) .)
(t)' - l4z )' (r)'- (rT)'
4 Calcule a soma.
1-r+E - 2-"JT
5 Simptifique a expressão.
/\19-.í^rt-r*-J-Iz ["" JT-t)
6 Qual é a forma mais simples de escrever
tt-2-uí,1/.) -f 
--T
Yv z- "f z+ v't
I
J
7
Nos capÍtulos anteriores, estudamos expressões da forma !02,6-r e 20, que são potências
com expoente inteiro cujo significado já conhecemos, ou se1a:
Qual será, entã0, o significado de uma potência com expoente fracionário, como, por exemplo,
2
aexpressão2a?
Consideremos um número real x, tal que * : {t .
Usando a definição que já vimos anteriormente, escrevemos:
x:423 =x4:23 O
63
6-,: a
b
20:!
72.
xa_rclcl05
-1
3
Consideremos, entã0, um número real y, tal que y : ZT .
Se elevarmos os dois membros à 4e potêncía, teremos:
33
y:27 + y4: (27)a = ya:23
Comparando O e @, obtemos:
Daí, podemos escrever:
*o : r'i
Yo :2')
l.Ã
=x':y'=X:y.-\._
t_
Como os expoentes
são iguais, as bases, positÀras,
também são iguais.
2
2+:il23
20u^lzro :24:2s
0 mesmo podemos fazer quando temos, por exemplo:
12 30
f 3.,it012 : 10T ) i,,,'730 :2i
5
) X25 :27
2
) 1/102 : 1oT
1
) xF :57
?
) 64 : í63
Consideremos, agora, o radical W
Como o radicando 220 pode ser escrito na forma (2a)5, podemos fazer:
Ocorre que o expoente 4 pode ser escrito na forma +0, +são numerais do mesmo nrr.ro).
w:?JQof
Você observou que, nos exemplos dados, o expoente do radicando e múltiplo do índice do radical.
Porém, procedemos dessa maneira mesmo quando isso não ocorre, ou seja:
Ã
) t/35 :37
Aexpressão, T, com a e R*, me z,n=Zl, que representa Va, , ou seja: u*: rtã, .
0bservacões
l.Todo radical pode ser escrito na forma de potência com expoente fracionário:
1
) x[0 : loT ^-2) V5z :53
2.Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita na forrna de radical:
1
) 2.:\T
64
Pro qE das ahu0,5 COll^ ta- racional,
Produto de potências de mesma base:
1111 325
62.63:62 3:66 6:66
Quociente de potências de mesma base:
1 2 1_2 5 - 6. -110T:105:103 5:10 15 15:10 15
Potência de uma potência:
Como aplicação dessas propriedades, vejamos os exemplos a seguir:
1
Qual é o valor da expressão 125 
3 ?
Decompondo 125 em fatores primos, encontramos 125 : 53.
1 1 4. 1
l2ST: (53)T: 5' z :51 :5
1
Logo:1253:5.
Qual é o valor da expressão Blo'75?
lnicialmente,fazemos 0,75 :# : +V
Decompondo 81 em fatores primos, temos 81 : 34.
Logo: 310'zs : 27.
1
Qual é o número real expresso por 36 2 ?
Decompondo 36 em fatores primos, encontramos22'32 : (2'3)2 :62.
I I "( 1)
36-; : (621-i : O' l-;J : 6-' : 1
-t ', 
" - 6
Logo:36 ' : t.
25
Determinar o valor da expressãto27 3 + 42 .
2525
27a + 4z : ({)z + (/)z :
:32 + 25 :9 + 32: 47
25
Logo'.273 + 42 :41.
As mesmas propriadades
que jó estudomos poro
expoen!es infeiros volem Poro
os potêncios com exPoente.
65
1
2
3
4
r
Escreva na forma de potência com expoente
cionário os seguintes radicais:
3 Escreva na forma de potência de 2:
5 Sabendo que x é um número real positivo,
escreva sob a forma de uma única potência de "r
11 
I
a expressão x 2 x 3 . A seguir, escreva a ex-
pressão obtida na forma de radical. 
^ '' 6,F
(6 Escreva na forma de potência única de 3:
1
c) 276
5
cL)9+
4 Determine o valor da soma.
a) 7^[f . e) u,lz
-. ô/:f) í5
1
26
1
5e10
2
l3
a) 5" is'
5
b) g' ,35
3
c) 10 n ,,oa
1
d)zz ,7
11
a) 25 '22
33
b) 24 2
") 2n 
.2
g) "vT1
h) \tF
e) 63
f) 87
3
8) 6',
4
h)7e
3
d) +a
2
e) 163
-1
z''- f) e-2) 4 , :
1
/ I \r
al (sT/'
27
b) 3 3 ;3 6
1
6
4 Determine o valor das potências:
4
a) 8 3 16 b) 2560,2s +
L Qual é o resultado da multiplicação?
3c) 647
2 Sendo u I 0, qual é a forma mais simples de
-a^esCrever i-- (;6
XJa
3 Sendo a: "lr4 eb : fl36 , pede-se:
a) a forma simplificada do número b. , o
b) o valor do produto a .b. tz
5 Qual é o valor do número real x das
dades?
5r?
igual-
a) .,lT+x: ^,lT d 1,12 .x:2,
b) "lT '*:J6 ü{.tT :'41,
6 Sendox : 1 - "Ee y 
: 
"T - 1, calculeonúmero real que expressa o valor de x2 - y2. ,.
d) J25 ,:
2 Escreva na forma de radical cada uma das
seguintes potências com expoente fracionário:
24
1
7 Escrevaa expressão [(1, )']t .u forma de
potência. r o-
Qual é.a fração que corresponde à potência
-u,57 1'25
€) Considerando as variáveis números reais po-
sitivos, escreva a expressão algébrica represen-
tada por:
LO Determine o valor da expressão numérica.
66
7 Qual é o valor que você encontra quando
simplifica a expressão seguinte? 4t 12 1,s
i,F, sendo a um número real posi-
: 4 ab , sendo a eb nímeros reais
' ab, sendo a e b números reais po-
.;1ffi:,
tivo.
d) i,f 1E
positivos.--
e) Va'b' :
sitivos. o 
" 
e€! Usando os produtos notáveis e a fatoração,
simplifique a fração
1
2x-2y ,ondex * 
y.
I Calcule o valor da expressão.
11
gT+764 _(_Z)z+
Qual é a expressão algébrica que expres-
uadrado a" í 'Eu - J-). sendo a um\ za)'
número real positivo? f,6 - +
L L Duas das expressões seguintes são verda-
deiras. Indique quais são elas.
,l fit +d :al-b,sendo nebnúmerosreais
positivos.
3
b) aT : a^lí,sendoaumnúmerorealpositivo.
L2 Simplificando a expressão
urã"- + r.rãÇ, qual a expressão algébrica
que você vai obter sabendo que a > 0 ex> 0?
2axr:r
L3 Qual é o número inteiro que você obtém
quando simplifica a expressáo
3',fo- ='[ ? oJ10 -3
I"4 Determine o valor da expressão
271
273-16r-42.t
L5 Calcule a soma.
8+l
ru 6r/3
Parcelas a deduzir (R$)
Até 10 800,00
Aoima de 1O800,O0 até 21 600,ü) 15"/o 1 620,00
Acima de 21 600,00
Observando a tabela progressiva, calcule:
O imposto devido pelos contribuintes Á e B
relacionados ao lado:
': . r,
27,5"/" 4320,00
Contribuinte Base de cálculo (R$)
A 16 800,00
B 23 460,00
, O valor da base de cálculo para um contribuinte C, sabendo que o imposto devido é
R$ 3 930,00. R$ 30 ooo,oo
(t+2,/í)' * O.lT)' - xqp + ^8160
Ír.tona,
18
.i?
1
^lzs + --=í3
JnloÍ^or,o,o
Iabela progressiva anual para o cálculo do imposto
Base de cálculo (R$) Alíquota
Veja a seguir a tabela progressiva Para o cáIculo anual do imposto
de renda de pessoa fisica2002, ano-base 2001:
67
sotttoonâ::::::,:?:::",":i!i7',-u-nr*enà
ab\\bn\o 
s' ee 
i' ),uáú "^ 
o u 
\":: :." ^ 
o o e qu a çõ e s à e 2e n ru ui .- 
" "' u u P'o b t 
",n 
-
'''^n'^i malo 
oornune 'n:u:"'u- de+^''
#i$t::" ::#:Í;:;::';":;:n,:i,;iiiretângulo cc -"'l tÇbt
Í\s r"-- )aÀaa ,,ttc c?,,tr't ..*^'::?-'londiam"uiiÁ,(r*"ros daàos, que eram aem?re naturaie.
I
)
ó
,9
ó
J,;lÀtol3
Li&
da-Le f Crúl
lLLymçao d
CoA^ tt0^a i
Considere a situacão:
A figura seguinte representa parte da planta de um escritirrio. As duas salas quadradas e o
corredor retangular têm, juntos , 40 m2 de área. Cada sala tem x rnetros de lado e o corredor tem 1
metro de largura. Qual é a medida x de cada sala quadrada?
Aárea de cada sala é dada por x2. Aárea do corredoré dada por 1 . 2xou2x.
De acordo com os dados do problema, podemos escrever a equacão:
2f + ?L: 40
II área do corredor
lI arc s duas salas
Obtivemos uma equaÇão que não é de 1e grau na incógnita x (que você já sabe resolver), pois
existe um termo em que a incógnita x se apresenta com expoente 2.
Equações desse tipo são denominadas equacões de 2e grau com uma incógnita.
Denomina-se equacão de 2o- grau na incógnita x toda equacão da forma
ax2 + bx + c : 0, onde a, b, csão números reais e a # 0.
Exemplos:
I 2x2 +2x- 40:0éumaequacão de2egraunaincógnitax, onde à:2,b:2e c: -40.
2 x2 - 7x+ 10 : 0 é uma equaÇão de2egrauna incógnitax, onde a : 1, b : -7 e c : 10.
3 5y'-7y + 2:0éumaequacãode 2egraunaincógnitay, ondeâ:5, b: -7 ec:2.
4 -t2+ 4t-4:oéumaequacãode 2egraunaincógnitat,onde a- -l,b: 4ec: -4.
5 6xz - 9x:0éumaequaçãode2lgraunaincognitax,onde â:6, b: -9êc:0,
6 x2 - 25: 0 é uma equacão de 2egrau na incógnita x, onde à: l, b : 0 êc: -25.
Nas equações de 2o- grau com uma incógnita, os números reais a, b e c são chamados coefici-
entes da equaÇã0. Assim, se a equacãofor na incógnita x, temos:
a é sempre o coeficiente do termo em x2
b é sempre o coeficiente do termo em x
c é o coeficiente ou termo independente de x
Pela definiÇã0, devemos ter sempre a + 0. Entretanto, podemos ter b : 0 ou C : 0.
Assim:
) Quando b + 0 ec+ 0, a equacãode 2egrau sediz completa.
Exemplos:
1 5x2 - 8x + 3:0éumaequaçãocompleta(a:5, b: -8ec:3).
2 y2 + !2y + 20 : O é uma equacão completa (a : 1, b : 12 e c : 20).
) Quando b : 0 ou c : 0 ou b : c : 0, a equaÇão de 2sgrau se drz incompleta'
Exemplos:
1 x2 - 81 :0 é uma equaÇão incompleta (a: 1, b:0 0 c: -81).
2 10t2 + 2t:0 é uma equaÇão incompleta (a: 10, b:2 e c:0).
3 5y' :0 é uma equacão incompleta (a : 5, b : 0 e c : 0).
A contrÍbuição de VÍête e
O francês François Viête (1540-1603), conhecido como o "Paí
da Álgebra", foi quem introduziu os símbolos na Matemática,
substituindo palavras por símbolos. Assim, Viête passou a
representar:
a incógnita por uma vogal
apalavramals pelo símbolo p (do francêsplus) eapalavtamenos
pelo símbolo m (do francês moins); o traço sobre a letra indicava
que ela estava sendo usada como símbolo matemático
no caso da equação de2e grau, usava a palavra "área" para
indicar "quadrado"
Descartes
wo,çao connytLeta e y[açao lÍlco/v\
71
Assim:
Nossa linguagem
)^x' :9
2x2-5x+2:O
Nossa linguagem
x2 :9
2x2-5x+2:0
L Escreva no caderno as equações que são de
2e grat com uma incógnita:
a) gx2- 5x * 1 : 0 e) 4x2- x : 0
b)10x4-3x2+1:0 Í) gx2 -1:0
c) 2x- 3:0 g) 2xa * 5:0
d) -x2-3xr 2:o h) ox2-5x+6:o
eolraccesa a e:
2 Todas as equações seguintes são de 2e grate
estão escritas na forma ax' + bx * c : 0.
Nessas condições, identifique os coeficientes de
cada equação:
Linguagem de Viête
Aárea éiguala9
A2ârea mA5 F 2éigtala0
Linguagem de Viête
A área é igual a 9
A2área-A5+2éiguala0
3 Escrevaaequação ax2 +bx* c:0,quando:
Mais tarde, Viête adotou o símbolo + para substituir p e o símlbolo - para substituir m.
Assim:
A passagem Para a álgebra simbólica, iniciada por Viête, foi cornpletada por René Descartes
(1596-1650), que praticamente criou a notação que rriamos até hoje.
Descartes introduziu o uso das últimas letra.s do alfabeto para representar as incógnitas, o sinal: para substituir a palavra "ig:ual" e o símbolo xz para substituir u puiurrr, ,,âtea,,.Assim,
Aáreaéigualag 
- 
ficou 
- 
x2:9
A2área - A5 + 2éiguala} 2x2 - Sx+ 2: O
a)10x2+3x-1:0
b)x2+2x-B:0
,)y'-3y-4:O
a)7p'+10p*3:0
e) -4x2 *6x:0
Í) 12- 16:0
g)-6x2*x-t1:0
h) 5m2 - 10m:0
b:6, c:9 or-9=o
b: -6, c:2 4x 6r-2-L
b:0, c:-25 -. h o
d)x2-x-72:O
e) 9x2 - 4:0
f) 7x2 *14x:0
a) a: 7,
b) a:4,
c) a: 4,
d)a:-27, b:7, c:0
1,^1e)a:2, b:-2, a:-3
Í) a:-), b:0, c:1
g)a:1,5, b:7, c:0,2
Identifique) como corrrpleta ou incompleta a
equação de 2e grau:
a)x2-7x*10:o
b) -2x2 + 3x - 1 :0
c) -4x2 * 6x ,= 0
72
rncompleta
Lgcrevqndo wt^ot aqwaçao dele Sraw
con^ tltu^a incóqnilã na 5ulo, lornna nortval,
Essas equaÇões estão escritas na forma ax2 + bx + c : 0, que é denominada forma normal ou
forma reduzida de uma equação de 2e grau com uma incógnita.
Há, porém, algumas equacões 6s le grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c : 0,
como por exemplo:
Observe as seguintes equações 6s)egrau com uma incógnita:
x2-5x+6:0 y2-25:O -3t2+4t-1:0 -2x2+8x:0
x-4
equação dada
reduzimos todos os termos ao mesmo denominador
eliminamos os denomin adores pelo princípio multtplicativo
aplicamos a propriedade distributiva
pelo princípio adit:o
forma normal da equação dada
3x2-6x:x-3
Por meio de transformações, nas quais
equaÇões podem ser reduzidas a essa forma.
21
-:x2
aplicamos os princípios aditivo e multiplicativo, tais
Veja os seguintes exemplos:
1 Dada a equacão 2x2 - 7x + 4 : I - x2, escrevê-la na forma normal.
2x2-7x+4:!-xzequação dada
aplicamos o princípio aditrvo
forma normal da equação dada
2x2-7x+4-1+x2:0
3x2-7x+3:0
2 Qual eaformanormal daequaÇão Qx+ 3)2:10-(x+ 4)(x-2)?
(2x + 3)2 : 10 - (x + 4)(x - 2) , equaÇão dada
4x2 + t2x+ 9:10 - (x2 + 2x - 8)
4x2+!2x+ 9:10 - x2- 2x+8 - 
,' eliminamososparênteses
4x2+l2x+9:-x2-2x+18
4x2 + X2+ 12x+2x + 9 - 18:0 ..,=+ petoprincípioaditivo
5x2+ l4x- 9:0 + formanormaldaequaçãodada
3 Escreveraequação + - +: l+, (comx + 0ex + 4) na suaforma normal.
2 _ 1_ x
x 2 x-4
4(x - 4) - x(x - 4) : 2x2 ____________>
2x(x - 4) 2x$ - 4l
4(x-4) -x(x -4):2x2
4x-16-x2+4x:2x2
-x2+Bx-16:2x2
-x2-2x2+8x-16:o
-3x2+8x-16:0
73
- xarctclo5
f) +: i+
I- Escreva na forma ax' + bx t c : 0 (forma
normal) as seguintes equações de 2a grau:
a)x2- 1:x*11 x \ 12:a
b)x'-7x:6-2x x 5r-6:o
c)x(x-3)+(x-1)(x-4):O 2,, . .::o
d) (x - 3)2 + (x -l 2)2 : lO 2x' - 2r .,:o
") 
*': I"' *
2x2-5x:0
g) x-3 : --3*,(com x* 4) x2-rox +12:ox-+
h)-+, *-l . : -:*' ,(comx*-7e' x-f1 x-1 x'-7 /\!v.r"t
x*7) 4x2+1:o
2 Em um retângulo de área 60 cm2, a medida
do comprimento é expressa por (x f 2) cm e a
medida da largura é expressa por (x - 5) cm.
Escreva na forma normal a equação de 2a grau
que se pode formar com essqs dados.
x2-3x-70:o
A átea de um retôngulo
é calculada multiPlicando-se 
a
" 
nrl'dida do com"Yimento Pela
medidq da largura'
3 Preste atenção no que Rosa está dizendo.
Escreva na forma normal a equação de 2q grau
que se pode formar com os dados que Rosa apre-
SentOU. r +2x-3b:0
4 Amedida do lado de um quadrado é expres-
sa po{ (2x - 1) cm e a ârea desse quadrado é
25 cm'. QuaI é a equação de 2a grau, na forma
normal, que se pode obter com os dados deste
problema? 4x2-4r 24:ooux2 x 6:o
5 O número de diagonais de um polígono
pode ser obtido pela fórmula d : n(n-- 3) .
2
Sendo d : n0, escreva, na forma normal, a
equação de 2a grau na incógnitan que se pode
Obtef. ir' - 3n 2o = o
1.
23r
2x
10
f C^ll
Você já sabe que resolver uma equacão significa determinar o conjunto solucão dessa equacão.
Na resolucão das equacões incompletas de 2s grau, usaremos a fatoracão, quê você já apren-
deu no ano anterior, e duas propriedades importantes dos números reais:
Sendo xe ydois números reais quaisquer e X . y : 0, então, x : 0 ou ! : 0.
Sendoxeydois números reais quaisquerex2: y, ofltão, *: *.,/y ou X: -rf
O guadrodo de um número
oume.ntodo do tríplo_
desse número
é, igual
ao próprio
númaro mois
35.
74
Refil,vendo e waçÕes d,a [orma c^x' + hx = o
Observe os exemplos:
I Resolver a equaçã o x2 - 9x : 0 no conjunto IR.
x'-9x:o
x . (x - 9) : 0 --------------> coÍocamos x em evidência
Pela propriedade dos números reais, temos:
X:0
OU
uma raiz da equação
x - 9 : 0 + X : 9 -------------+ outra raiz da equação
Logo, S : {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equaÇã0.
No conjunto R, determinar o conjunto soluÇão da equaÇão (x - 2)2 : 4 - x' (x + 3).
(x-2]r2:4-x'(x+3)
Vamos, inicialmente, escrever a equação na sua forma normal:
x2-4x+4:4-x2- 3x
x2+x2-4x+3x+,4-,4:0
2x2 - x:0 formanormal
x' (2x - 1) : 0 
- 
colocamosx em evidência
x:0 umaraiz
ou
2x-l:O + 2x:! -----------> 1x: i 
-------------> outraraiz
Logo, t : 
{0, +}. os números o , isão as raízesda equação.
Um número real é tal que seu quadrado é igual ao seu triplo. Qual é esse número?
Representando por x o número procurado, podemos escrever a equaÇão:
x2:3x
x2-3x:o
x(x-3) :0
x:0
OU
X-3:0 --------------> X:3
75
Logo, o número procurado e 0 ou 3.
2
3
ReEoÍ,ve ndo a- u,açóet da
Observe os seguintes exemplos:
I Resolver a equacão x2 - 49 : O no conjunto R.
x2- 49:o
x2 : 49 peto princípio aditivo
Pela propriedade dos números reais, temos:
x:+J49 ouX: -.r[qg
x: t7 ou X : -7 Podemos escrever x: *7
Logo, S: {-7, 7} e os números 7 e -7 são as raízes da equacã0.
2 Qual é a solucão da equação l6x2 - 1 : 0, no conjunto R?
pelo princípio aditivo
pelo princípio multiplicaüvo
- 
pela propriedade dos números reais
,':+
\,_] 1"- - 4
Logo, t : {-+,+} e os número, -+ e } sao as raízes da equação.
3 Determinar os valores reais de xpara que se tenha 3x2 - 60 : 0.
Como todos os termos da equacão são divisíveis por 3, vamos simplificar a equacão dividindo
todos os termos por 3:
3x2 - 60 : 0 -----------+ lÉ - g : g ---.-----> x2 - 20 : o
xz:20 
3 3 3
Y: +'r,N
Como l0 não apresenta raiz quadrada exata, vamos simplificar o ,riadical:
x:+"r,72.5:t2!"5
Logo, s : {-2"8,2"8} e os números -2",,8 e +2^,8 são as raízesda equaçã0.
76
CüL + C = O
Determinar a solução da equação x2 + 4: 0 no conjunto re.
x2 + 4:0
x2:-4+x-t.E
Como ^t4 não existe no conjunto 
R, não temos valores reais para x.
Logo, S : Ae a equação não tem raízes reais.
Vamos resolver, no conjunto IR, a equaÇáo(2y + 1)2: B + 2'(2y + l).
lnicialmente, vamos escrever a equaÇão dada na sua forma normal:
(2y+ 1)2:8 +2(2y+l)
4y'+4y+l:8+4y+2
4y'+4y+l:10+4y
4y'+rí- +1-10:0
4y'- 9:0 
---------+ 
formanormal
4y' : 9 peto princípio aditlo
,9Y': 4
tqv: t!Í =
Logo, t : {-+ +} e os númerot -+ , + são as raízesda equaÇã0.
6 Aárea de uma praca quadrada é144 m2. Quanto mede o lado dessa praça?
lndicando por x a medida do lado dessa praca,
podemos escrever a equaÇão:
x2 :144
v: +J144
x: *12
Como a medida de um lado não pode ser um
número negativo, a solução x - - 72 náo serve para
o problema.
Logo, a medida do lado da praça é L2 m.
pelo princípio mulüplicativo
,3Y: tZ
:
:
H
:
-
I
77
xarclclos
I- Determine, no conjunto [R, o conjunto solu-
ção das seguintes equações:
a)x2-6x:0 10,6i g)'8x2-6x:0 : 
I
b)x2-16:0 .r,.1 h)-4x2*12x:0 íi3
c).x2 - 1 : o
d) x2 + x:0
1) 6x2 -x:0
j) x2-18:o{
e)7x2-2x:o ]'flu rcf :e J +l
f) x2+ 49:O m)-20x2-5x:0
2 Determine o conjunto solução das equações
de 2e gratt, sendo IJ : [R:
a) (x - 6Xx + 5) + x:51
b) x2 + 3*.(* - 12) : p
c) (x-3)2:5x+9
d) 2x(x + 1) - x(x + 5) :3(12 - x)
e) 5x(x + 1) + (x- 4)2 : 16 + 3x
f) gx-*:0,(comx*o)
1-,x-5g, t+ 4 
: 
2
x8'tl) ,, : . +-L,(comx*_ 1ex*1)x-rt J I-x
i) +1 *1: 1-,(comx*-2ex*2)x'-4 x-z
3 Em um quadrado, o número que expressa a
área é igual ao número que expressa o períme-
tro. Sendo x a medida do lado desse quadrado,
determine o valor de x. 4
4 Determine um número real x tal que o seu
quadrado seja igual ao seu quíntuplo. o ou 5
5 Do quadrado de um número real x subtraí-
mos 12, obtendo o número 109. Qual é o núme-
ro real x? -11 ou 1i
o número realy para que se te-
v-v'
-Y- 3 'oor7
., z 1-x 5 1)) * ---Z-:ã- *
7 Ql;.al deve ser o valor do número rcalt para
que sejam iguais as expressõ s t2 + -2t 
+ 1 
e
t2 +Zt+6 ? "-ô -_
J
€3 O quadrado e o retângulo abaixo têm áreas
iguais.
Pede-se:
a) a medida do lado do quadrado r0 crr
b) a medida da largura do retângulo cm.
c) o perímetro do quadrado 40 cm
d) o perímetro do retângulo cm
€) A área do retângulo é 399 m2. As medidas
do retângulo estão indicadas na figura. Deter-
mine essas medidas. 21 T e 1e m
LO As seguintes equações são literais de 2a
grau na incógnita r. Resolva cada uma delas.
a) x2 - 25a2: o , 5a ,:,1
b)x2-3bx:0 ,,..
d 2x2 I ax:2ax i, -
d) (x + a)(x - a) :36m2 - a2 i,-- .r-
e) (x - a)2 + (x -t a)2 : 1gu2 ,, 2z 2a
2x
78
5
-x6
Baseado na interpretação geométrica dada pelos gregos à expressão (a + b)2, o matemático
árabe alKhowarizmi, no século lX, estabeleceu um processo geométrico para a resolucão de equa-
ções de 2e grau com uma incógnita.
lnicialmente, observamos a figura que é a re-
presentação geométrica da expressão (a + b)2.
Pela figura, vemos que:
(a+b)2:a2+2ab+b2
A interpretação geométrica é:
área do quadrado de lado a
Baseados nessa interpretaÇão, acompanhe-
mos as situações a seguir, que mostram como
al-Khowarizmi desenvolveu seus estudos.
Matemático e astrônomo,
al-Khowarizmi viveu entre 780 e 850. A
maioria de suas obras são conhecidas de
forma indireta ou por traduções feitas
para o latim. EIe escreveu uma aritmética
com exposição completa sobre os
numerais hindus e um tratado de
Álgebra. Essas obras exerceram enorme
influência na Europa do século XII,
. quando foram traduzidas para o latim.
lEConsideremos a expressão x2 + 6x. Vamosfazer uma interpretacão geométrica dessa expressão:
x2 + 6x: x2 + 2(3x)
área de um retângulo cujos lados medem 3 e x
e um quadrado cujo lado mede x
79
a2 ab
ab b2
Mon D IBN MUSN
zMt
LI
Pela figura, notamos que, para completar o quadrado, devemos acrescentar um quadrado de
lado 3, ou seja, de área 32. Assim, se adicionarmos 32 à expressãox2 + 6x, obtemos x2'+ 6x + 32
que é um trinômio quadrado perfeito. Daí, podemos escrever:
Construindo aÍigura de acordo com a interpretação geométrica dada:
x2+6x+32:x2+6x+9:
I
Ii
trinômio
quadrado
perteito
(x + 3)2
+
forma
fatorada
do trinomio
Consideremos, agora, a expressão x2 + 5x. Fazendo uma interpretação geométrica dessa
expressão, temos:
x'+ 5x :x2+
área de um retângulo cuios /ados medem * , *
área de um quadrado cujo lado mede x
construindo a figura de acordo com a interpretacão geométrica dada:
5
2
x,3
80
Pela figura, notamos que, para completar o quadrado, devemos acrescentar um quadrado de
à ( c\2
lado f , ou seja, um quadrado de área t il . Entã0, teremos:
trinômio quadrado forma fatorada
perteito do trinômio
3t Aplicando o que acabamos de ver, vamos resolver as seguintes equaÇões de 2e grau com uma
incognita: t \
I
I
Considerando a expressão x2 + 6x, temos:
x2+6x:x2+2
IL---> área de um retângulo cujos
lados medem 3 ex
área de um quadrado cujo lado mede x
Pela figura, observamos que é necessário acrescentar o nÚme-
ro (3)2 à expressão dada, ou seja, 9, para obter um quadrado.
Descoberto geometricamente o valor que devemos acrescentar à expressão x2 + 6x, voltamos à
equação dada:
x2+6x*8:0
x2+6x:-8
x2+6x+9:
quadrado perfeito
-8 + 9 --------------->
Fatorando o trinômio quadrado perfeito no 1e membro, temos:
(x+3)2:1
Daí:
(x+3) :+lf
x*3:1
x:1-3
X: -2
princípio adiüvo
princípio de equivalência das equações
OU (x+3) :-^,f
X + 3: -1
x - -1 - 3
X: -4
Logo, S : {-4, -2} e os números -4 e -2 são as raízes da equação'
x2+6x*8:0
) x2 +3x- 4:O
Considerando a expressão x2 + 3x, temos:
x2+3x:
x2+3x.+:o**
quadrado perteito
** +: *,,F
**+:*|
..53^: 2 -z
*: +:,
2
IL-> área de um retângulo cujos lados
medem * r,
área de um quadrado cujo lado mede x
^* +:-+
x:- 5 - 322
*:-f--4
Depois de descobrir geometricamente o valor que devemos acrescentar à expressão x2 + 3x,
voltamos à equação dada:
x2+3x-4:0 x2+3x:4
(-
-),3)' 25
2) 4
ou
Logo, S: {-4, 1}e os números -4 e 1 são as raízes da equaçã0.
) 8x2+2x-1:0
Vamos, inicialmente, dividir todos os termos da equação pelo coeficiente a; no caso, a : 8:
+.+-+:o + *,+ j-^-f,:o
Considerando a expressão x2 * **,temos:
x2+ r
4
1-*: x2 + 2
área de um retângulo cujos
1
ladosmedemã.*
área de um quadrado cujo lado mede x
Voltando à equaÇão, temos:
*'+j-*-f:o *'+f*:+
^'+ !-*. +: + . +
quadrado perfeito
Logo, t : {-+, +}e os númeror -+ e } sao as raízes reais da equaÇão.
Para não termos que repetir sempre o desenho, podemos dizer que:
(-.+)':+
1** 8:
1** 8:
*:f,-
2*: g:
A expressão ax2 + bx, com â : I, torna-se um trinÔmio quadradO pertelto quando
adicionamos a eta a expressã. (+)'
1
x
1
x2
1,
8
1t
I
*í
3
8
1
s
1
4
Veja, agora, os exemplos:
1 Resolveraequacãox2 - 2x- 8:0, sendoU: R.
x2-2x-8:0
x2-2x:8
x2-2x+!2:8+12
x2-2x+1:8+1
(x-1)2:9+x-1
adicionamos em ambos os membros da equação
a expressâo (-+)' : Fff : 12
:+Jt =x-1+3
0
T ---------> x2 -
Daí,temos: x-1:3 x-1:-3
x:-3-ll:-2x:3+1:4
Logo, S: {-2,4} e os números -2e4 são as raízes da equaçã0.
2 Determinar o conjunto solução da equação 3x2 - zx - l: 0, sendo u : lR.
Neste caso, sendo â : 3, ou seja, a + I, devemos dividir todos os termos da equacão pelo
coeficiente a:
3x2-2x-1:0---------> 3x2 -2x - 1-333 +.-{:o
*'- tr*- {: o
^'- **: +
*,-!-.(+)':+.[+)'
*r_ 2 *+ 1 - 1 *I3939
-------> adicionamos em ambos os membros da equação
(2\'
t+) :(+) =(+)'
quadrado perteito
84
Daí, temos:
L Qual é o número que você deve adicionar a
cada expressão para que se tenha um trinômio
quadrado perfeito?
a)x2+6xe
b) x2 - 10x 25
ô>?-zx1
d)x2+8x 16
Logo, t : {-+, t}. os números -+ . I são as raízes da equaÇã0.
t2x- 3: 3
21*: 3 * 3
x:a:1
J
0u
T2v--^33
v__ 2 _ 1A- 3 3
1v-__^- 3
e) x2-5x +
f) x2+9x +
g) *' - 1,2x sa
h)x2+x 1
4
2 Usando o processo do complemento de qua-
drados, determine o conjunto solução das se-
guintes equações de2e grat, no conjunto [R:
a) * -6x * 8 :O tz,qtil *- 3x * 2: O t,zt
b) x2 - 10x -t 9:0rr,org) x2 - 4x- 5:0 r-t,s)
c) x2+8x+16:o{-+}h)2*' -9xt 4:O t+-}
d)*'-6xt9:0 {3) i) x2-10x* 24:O s,at
") 
r'- x-6:0 r-z,arj) 6x2+x-2-0 {-++}
Vamos explorar a resolução de uma equação de 2q grau com uma
incógnita. Para isso usaremos um Processo de resolução baseado na
Geometria, semelhante aos Processos já conhecidos pelos antigos Sregos.
Acompanhe a situação a seguir.
IJm cartão retangular tem 91 c*'de área. Qual a medida de cada lado desse cartáo, se a base
Podemos expressar algebricamente essa
situação:
medida da base x medida da altura : área
ou
(x + 6)x: 91
I
supera a altura em 6 cm?
85
Vamos diüdir o cartão em um quadrado de lado r e dois retângulos iguais de lados 3 e x:
x+6
Agora, vamos organizar as partes do cartão como mostra a figrrra:
x+3
x+3
a
Se "completarmos" a figura anterior com o quadrado verde de lado 3 cm/ formamos um
quadrado maior, de lado x * 3 e área 100 cm' (os 91 cm2 do cartào o:riginal mais os 9 cm2 do
quadrado verde).
1
l.
I
Assim, podemos escrever:
(x+3)'(x+3): 97+9
(x * 3)2 = 100 --------->
x * 3 : -10 --------+ x = -13 (não convém),
x*3=tí100 (
\
8ó
x*3:70-------+ x:7
As medidas dos lados do cartão são:
x ------+ 7cm
e
x -l 6 ------+ 13 cm
13 cm
1ft"'o dcottn fo"a,
]unto com um amigo, utilize o mesmo
processo para resolver o problema a seguir.
Uma empresa administradora de cartões de
crédito encomendou um projeto de cartão
retangular com 4 785 mm'de área. Qual a
medida de cada lado desse cartáo, se a base
supera a altura em 32 mm?
(x + 16). (x + 16) : 4185 + 256
(x+16)2:5041
x - 55 ou x : 87 (náo convém)
As medidas dos lados do cartáo de crédtto sáo 55 mm e 87 mm
x+32
I 6r nntil,o, r a5ol,urtiv a ow ttntila de bhaskara
Bhaskara, um grande
matemátÍco
No século XII, o matemático hindu Bhaskara, baseado
em estudos de al-Khowarizmi, apresentou um Processo
algébrico que permitia resolver qualquer equação
de 2q grau.
Usando o processo de Bhaskara e partindo da
equação escrita na sua forma normal, foi possível
chegar a uma fórmula que permite determinar
o conjunto solução de qualquer equação de 2a grau
com uma incógnita, de maneira mais simples.
Essa fórmula recebeu o nome de fórmula
resolutiva ou fórmula de Bhaskara.
lnternacionaI
Antonio Pedro Silva
0000 4444 xxxx 1 1100 452,61
Validacle: 00/00/0000
l' 9ró,lttn
Retânqtth,
87
Veja como chegar à fórmula resolutiva ou fórmula de Bhaskara.
Considere a equacão axz + bx + c : 0, com a, b, c c tR e a + O.
vamos dividir todos os termos da equação pelo coeficiente a, pois a + 0:
,bx c 0:-aaa
Usando o princípio aditivo, vamos adicionar o termo --9- aos
a
dois membros da equaÇão.
*'+I^ *Í-Í:o-i-a/aâa
*'+!*-- caa
rb)2
Para que o primeiro membro se torne um trinômio quadradlo perfeito, adicionamor 
[*J 
:
: (r|)' : #ao primeiro membro, fazendo o mesmo corn o segundo membro. com isso
obtemos uma equacão equivalente (princípio aditivo):
*'+ I* * b'= - b'= - c;a 4a2 4a2 at
*'+Ix+ b'= :
â 4a2
A expressão b2 - 4ac (que é um número real) é usualmerrte representada pela letra grega
A (delta) e é chamada discriminante da equacão:
*r+!x+ b2^ : A=a 4a' 4a'
Fatorando o primeiro membro, temos:
^'+!*+ 
c:o
aa
bVI-_
^l ZA
r"vf
2a
formula resolutiva ou
formula de Bhaskara
88
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não um número real vai depender do discriminante A. Temos,
entã0, três casos a estudar:
le caso: À é um número real positivo (À > 0).
Neste caso, .,,f é um número real e existem dois valores reais diferentes para a incognita x,
sendo costume representar esses valores por x' e x", que constituem as raízes da equação.-n + r/lx':
2a
-btJlX- -------------->
x": -b - 
.J^
2e caso: A é zero (A : 0).
Neste caso, ./^ é igual azero e ocorre:
-ot1,f -ot^/o -bt0 -b^- 2a 2a 2a 2a
Observamos, entã0, a existência de um único valor realpara a incógnita x, embora seja costume
dizer que a equaÇão tem duas raízes reais e iguais, ou se1a:
_hx':x"- =u2a
3e caso: A é um número real negativo (A < 0).
Neste caso, -,f não é um número real, pois não há no conjunto dos números reais a raiz
quadrada de um número negativo.
Dizemos, entã0, que não há valores reais para a incógnita x, ou seja, a equaÇão não tem raízes
reais.
Neste 3e caso, as raízes da equaÇão pertencem a um outro conjunto numérico chamado conjun-
to dos números complexos, cujo estudo será feito no 2e grau.
Como acabamos de ver, a existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma
única dependem, exclusivamente, do discriminante A : bz - 4ac. Daí o nome que se dá a essa
expressão.
Na equação axz + bx + c : 0, temos:
a: b2 - 4ac
f A > 0 (duas raízes diferentes);
) Quando A > 0, a equacão tem raízes reais I ^ ^ ,IA : 0 (uma única raiz).
) Quando A < 0, a equaÇão não tem raízes reais.
2a
2a
Vamos, agorc, resolver algumas equações de 2e grau usando a fórmula resolutiva ou formula de
Bhaskara:
I Resolver a equacão x2 + 2x - 8: 0 no conjunto tR.
Nessa equacão, temos:
â:1 b:2 c:-8
A : b2 - 4ac : (2)2 - 4j.)(-B) : 4 + 32: 36 > 0
como a > 0, a equacão tem duas raízes reais diferentes, dadas por:
-b r Hf- -Q) x rE6X:
2(1)2a
4
2L
--f : -+-2-6x":
2 Resolver a equacão x2 - l4x + 49 :0 no conjunto R.
Nessa equacã0, temos:
â:1 b:-14 c:49
L: b2 - 4ac: (-!4)2 - 4(1N49): 1g6 - 196 : 0
Como A : 0, a equacão tem uma única raiz real, dada por:
-b -(- 14) 14 _:-:'2a2{])2
Então: S : {7}.
Resolver a equacão x2 - 5x + 8 : 0 no conjunto R.
a:1 b: -5 c: B
A: b2 - 4ac: (-5)2 - 4(1Xg) :25 -32: -7
Como A < 0, a equacão dada não tem raízes reais.
Nestecaso,S:/.
Procure fozer
o verificoção.
90
Então: S:{-4,2}.
4 Determinar, noconjunto R,asoluçãodaequaÇão3x(x + 1) -x:33 - (x- 3)2.
Vamos, inicialmente, escrever a equação dada na sua forma normal:
3x(x+1) -x:33-(x-3)2
3x2 + 3x - x : 33 - (x2 - 6x + 9)
3x2+3x-x:33-x2+6x-9
3x2 + 2x: -x2 + 6x + 24
3x2+x2+2x-6x-24:0
4x2 - 4x- 24:0
x2 - x - 6:0 dividimostodosostermos por4parasimplificaraequação
Nesta equaçã0, temos:
à:l b:-1 c:-6
A: b2 - 4ac: (-1)2 - 4(1X-6) :1 + 24:25
Como A > 0, a equaÇão tem duas raízes, dadas por:
X,:
-b r J^ -(-1) x "tEx:
2a
1+5 6 ^^^IZ
-4^
I
2ú) 1-5x":
Logo,5:1-2,3).
Resolver a equação x - 5 --f-- no conjunto rR - {3}.x-J
lnicialmente, vamos escrever a equação dada na forma axz + bx + c : 0:
-1v-h
^J- x-J
x(x-3) -5(x-3)
x-3
-1_-;.
x-J
x(x - 3) - 5(x - 3) : -1
x2-3x-5x+15:-1
x'-3x-5x+15+1:0
x2-8x+16:0
â:1 b:-8 c:16
A : b2 - 4ac: (-g)2 - 4(1X16) :64 - 64:0
Como A : 0, a equacão tem uma única raiz real dada por:
v_ -b -(-8) 8 _n"- 2a - 2a :-U:*
Logo, S : {4}.
As equacões incompletas também podem ser resolvidas com a aplicação da fórmula resolutiva.
Veja alguns exemplos:
I Resolver a equacão x2 - 9 : 0, no conjunto ÍR.
Nessa equacã0, temos:
â:1 b:0 C:-9
a: b2 - 4ac: (0)2 - 4(1X-9) :0 + 36:36
Como A > 0, a equacão tem duas raízes reais dadas por:
0t6
0+6 6x': 2 :;:3
10_5
42
..,, 5-5 0x":-- - -044
x": 0-6
Logo,S:{-3,3}.
2 Resolver, no conjunto R, a equacão 2x2 - 5x : 0.
Nessa equacã0, temos:
à:2 b:-5 C:0
A : b2 - 4ac: (-5)2 - 4(2XC,:25
Como A > 0, a equacão tem duas raízes reais dadas por:
-6
2J
.. -brJa -(-s) r"tE 5t5w:
2a 2(21 4
Logo, t: {0,*}
92
L Todas as equações a seguir stão escritas na
forma a*' + bx * c : 0. Determine o valor do
discriminante A em cada uma delas e diga se a 
i
equação tem raízes reais. l
a) x2-3x-4:o d)x2-7x* 15:o--' 'l 
- zs úaizes reais diÍerentes) ' I : 1 1 (náo tem ratzes reais)
b)5x2 4x-L:o e) 9x2-6xt1:o- ' I - g raizes reais diterenres) -\ : 0 tuma única ra;z real)
c) x2+8x*16:o fl *'-2**1:o' -\ = 0 (Ln a so Íaiz 'eal) = -1? (nao tem ra zes reais)
2 Todas as equações seguintes estão escritas na
sua forma normal. Usando a fórmula resolutiva,
determine o conjunto solução de cada uma des-
sas equações:
:i:a) x'-x -12: ü-a,+te) *'- 12x* 36:0tot
-ilol 6x2 +x-1:o o ex2+8x -1.-o{-,+}
-;c) x2 - 2x - 24 :,90, u, g) -1"' * 9x + 18 o, 
^td) 7* i 2x * 1. : Oa h) sl - 3x - 
1:ro .ru 
"l
1-s'Í
3 Determine o conjunto soluç€ o das seguintes
equações no conjunto lR:
a) *2 - 4:3x t-1,4t d) 10x2 : 1 f ," {-+ +}
b)2x2:5x_ 8 a e)6x2- 2x:f -ax{-
c) x2-x:x-1 {r} il 7**3x*L:3* a
4 Considere a equação de 2o grau 5x2 - 10x : 0,
que é uma equação incompleta. Determine o
conjunto solução:
a) usando a fórmula resolutiva 0,2t
b) sem usar a fórmula resoluti a $,21
5 Dadas as expressões 5x2 i 12x + 9 exz +
f 9x * 10, para quais valores reais de x as duas
expressões têm valores iguais? 
* : _J_ eg , : _ 1
(ô Dada a expressão * - 8x * 5, para quais
valores reais de I essa expressão dâ -7? 2 ou 6
7 Delerrnine o conjunto solução de cada uma
das seguintes equações de 2" grau, sendo LJ : [R:
a)(x+2)2+x:O t4,-11
b) 3x2 - 3 - 2(x - 1)2 {-s,1}
c) x(x + 11) + 2(x+ 21): g { t, 6}
d) 6(x2 - 1) - x: L4 + 5x2 1 4,5i
2
h)x -,2
1
-f,
I r .li s'Í
-.,_LLU,J
x-5 5(2x-1)
126
:2x 1-+,|
€3 Quais são os valores reais de x Pata os quais
- (3x - 2)2 2x-t 3 x(1 - 5x)asexPresso"t6"g-2
sãoiguais? x= 6 oux: 2
€) Qual é o número real positivo y qrue verifica
aigualdadey+1 : 8 =Y 
z ,
v
10 Resolva as seguintes equações de 2" grau:
fa) x + 19 : -2-,(com x # 0) elx
3x*5
.) + :+- +T,(comx+oex+1)1 -f' x z- x-
d);=- (x-2)(x-1)' (comx * 1
x -t12
ex*2):, I .i
.x4 le) l:, + ;i1 :5,(comx* 1ex +2)I :i
r\ 2 -,,- x , t 1.Lt __- L---' 4,(comx*-lex*1)' x'-1, x-l
,3x3or - 2,(comx* -Zex*2)õ, ,.ra ) ^ -/\----- -" x-r/- X- -4
111h) ---r^ ---:---i ^,(comx*2ex*3)' x-3 /- X-Z
I- L Determine os va ores reais de y qtue tor-
9-y 4
namverdadeiraaequação - r- + . _2 :
.u): ,(V -1),comy+2. ,-i
93
I 1 RqgoLv qndo p rohLqr^c^5
Agora vamos voltar à situação apresentada no ínicío desse tema, em cuja resolucão usamos
uma equacão de 2e grau com uma incógnita.
Como vimos, aÍigura representa parte da planta de um escritório. As duas salas quadradas e o
corredor retangular têm, juntos , 40 m2 de área. Cada sala tem x metros de lado e o corredor tem 1 m
de largura. Qual é a medida x de cada sala quadrada?
A área de cada sala é dada por x2. A área do corredor é dada por 1 . 2x : 2x.
De acordo com a Íigura, podemos escrever a equacão:
2x2+2x:40
I+ área do corredor
área das duas salas
2x2 + 2x:40
2x2 + 2x- 40: O
x2 + x - 20:O 
- 
dividimostodosostermos por2,parasimplificaraequação
Nesta equacão, temos:
à:l b:1 C:-20
A : b2 - 4ac : 0)2 - 4ÍN-20) : 1 + g0 : g1
X,: -1+ 9
-(1) r J81
2
-1- 9x":
Como uma medidanão pode ser negativa, a solução -5 não serve para o problema.
A medida do lado de cada sala é 4 m.
2(1)
_ 8 _4
2
-10
2!
94
As equações de 2e grau, o número de lados e
de diagonaÍs de um polígono
É o pentágono.
Por coincidêncio, o número
de lodos é iguol ao
número da diagonois.
Podemos calcular o número de diagonais (d) de um polígono convexo de n lados usando a
fórmula:
4: n(n-3)
Usando essa relação, podemos verificar facilmente qual o número de diagonais do heptágono:
Ã_ 7(7-3) ________ 7.+2 J: 2
O heptágono tem 14 diagonais.
Também podemos uttTízar essa fórmula na situação inversa, isto é,
podemos descobrir o número de lados de um polígono sabendo quantas
são suas diagonais. Nesse caso, a resolução pode exigir o uso de uma
equação de 20 grau com uma incógnita.
--------+ d: + --------- d.:74
95
Quontos
diogonois tem um
guodrodo? Esta é f ócill
5õo duos diagonois.
E se fosse dodo o número
de diogonois poro descobrir
guol o polígono convexo?
Por exemplo, guol
o polígono convexo gue tem
E sa oumentormos o
número da diogonois:
f ico mois complicodo
ídentif icor o polígono?
rô
(-r.-,
.f/f
Vamos explorar a seguinte sitúação-problema:
Qual é o número n de lados de um polígono que tem 9 diagonais?
Pela situaçã0, temos que d : g.
Substituindo nafórmula, temos a equacão:
ô n(n-3) ú:lL :ot: Z au-1-:y
n2-3n -o
n2-3n 18
2 -2
n2 - 3n: 18
n2-3n-18:o
â:1 b:-3 C-
A : b2 - 4ac: (-3)2 -
-18
4(1X-18) :9+72:8L
n- -b t,f -(-3) t r,EI2a 2(l)
A resposta -3 não serve para o problema,
polígono.
['l': 3+9 :6
n":
pois n deve representar o número de lados de um
:12
2
3=9: -^6 :_322
0 polígono tem 6 lados, ou seja, é um hexágono.
L A soma do quadrado com o quÍntuplo de um
mesmo número real x é igual a 36. Qual é esse
número r? 4 ou -e
2 A soma de um número real inteiro diferente
de zero com o seu inverso O, + Qual é o nú-
mero inteiro considerado? 3
3 A soma de um número real positivo Í com o
seu quadrado dá 42. Determine esse número. o
4 Multiplique o quadrado de um número in-
teiro por 3. O resultado é igual ao quÍntuplo do
mesmo número arrmentado de 2 unidades. Qual
é esse número? Z
5 Um terreno retangular tem 300 m' de área.
A frente do terreno tem 13 m a menos que a la-
teral. Determine as dimensões desse terreno.
25me12n
(6 Um polígono convexo tem vinte diagonais.
Quantos lados tem esse polígono? o potísono procu-
rado tem oito ados (oclógono)
xarclcl(75
96
7 Um retângulo apresenta as seguintes
didas:
,I
5m
Se aumentarmos o comprimento e a largura na
mesma quantidade, a área do novo retânguio
será7 vezes a ârea do retângulo oti8i.ul.o,., 
", _a) Quais as dimensões do novo retângulo?
b) Qual é o perímetro do novo retângulo? s+,
€B A soma S dos n primeiros números inteiros
positivos é dada por S : *.(n + 1). Quando
eSSa Soma é 21,0? Para n : 20
9 O retângulo seguinte tem 140 cm2 de área.
x1-2
a) Qualéamedida*r^**lr, , 
' 
-.14cme'l0cm
b) Quais as dimensões desse retângulo?
c) Qual é a ârea de um quadrado cujo lado tem
a mesma medida do comprimento desse retân-
gulo? r e6 cm2
L(O Em um terreno retangular de 80 m por
50 m foi construído um barracáo para servir
como depósito de uma firma. Esse depósito ocu-
pa uma área de 1 000 m'. Em torno do barracão
foi deixado um recuo de x metros de cada lado,
para um gramado (ver Íigura abaixo). Qual é a
medida x do recuo? rb m
E
rJ)
80m I
97
11 O número p de partidas que devem ser
disputadas em um torneio de basquete com tur-
no e returno pode ser calculado pela fórmula
p : x(x - 1), onde x indica o número de equipes
que participam desse torneio. Quantas equipes
participam de um torneio em que é disputado
um total de 132 partidas? 12 equipes
LZ Atela de um quadro tem a forma retan-
gular e mede 50 cm e 30 cm. Nessa tela, foi colo-
cada uma moldura, também retangular, de lar-
grfia x uniforme. Calcule essa largura sabendo
que o quadro todo passou a ocupar uma área de
2 400 crn'. 5cm
50 cm
L3 Um pedaço de arame de 40 cm de com-
primento foi cortado em dois pedaços de com-
primentos diferentes. Os pedaços Íoram usados
para Íazer dois quadrados que, juntos, formam
uma área de 58 cm'. Determine o comprimento
em que cada pedaço foi cortado. za cm-e t2 cm
L4 O quadrado e o triângulo abaixo têm a
mesma área.
a) Qual a medida r do lado do quadrado? 8
b) Qual é a área do quadrado? 64
c) Qual é a ârea do triângulo? 64
x
(x+8)
x
L5 A distância entre São Paulo e Barra Bonita é de aproximadamente 300 km. Para cobrir essa
distância, a uma certa velocidade média, um carro levou x horas. Sabe-se que a mesma distância seria
percorrida em 2 horas a menos se o carro aumentasse 40 km/h a sua velo-cidade média. Lembrando
que velocidade média : dotiTl? P:lcorrída
tempo gasto , qual o tempo x de horas que o carro gastou Para
percorÍeÍ os 300 km? s horas
Z0 &ltu,dando rc raízqt da
aILoLçao deZn 3 rcilt
Por estudos realizados anteriormente, sabemos que:
) Um número real r é raiz de uma equacão de 2e grau axz + bx + c : 0 quando, substituindo a
incógnita x pelo número real r, obtemos uma sentenca verdadeira.
) Quando A > 0, a equação tem duas raízes diferentes.
) Quando A : 0, a equacão tem uma única raiz real (ou diremos que ela tem duas raízes reais iguais).
) Quando A < 0, a equacão não tem raízes reais.
Vamos usar esses conhecimentos para resolver alguns problemas:
I Verificar se o número real -5 é raiz da equação 2x2 + 9x - 5 : 0.
parax:_5 ---------.} 2.(_il2 +g(_5) _5:Q _______+ 50_45_5:0
(verdadeuo)
Logo, o número -5 é raiz da equação dada.
2 Sabe-sequeonúmero 7éraizdaequacão ax2 - 6x+ 1 :0.Calcularovalordocoeficientea.
ax2 - 6x + 1 :0
Conhecendo um pouco maÍs sobre Barra Bonita
Localizada no interior do estado de São
Paulo, Barra Bonita é uma cidade turística pela
qual passa o rio Tietê. E 1á, também, que se
localizam a represa e a eclusa de Barra Bonita.
As eclusas são construídas em trechos de rio ou
canal onde há grande desnível do leito, para
permitir a descida ou a subida de embarcações.
Desde 7973, a ecluSa de Barra Bonita tornou-se a
primeira da América do Sul a ser explorada
turisticamente.
I-
L
C
E
E
õo
98
Como I éraiz da equacão, vamos substituir a incognita x pelo número 1:
a(t)2 - 6(1) + 1 :0
a-6+1:0
a - 5 - 0 ---------- equação de 7e grau na incógnita a
a:5
Logo, o valor do coeficiente a é 5.
3 Sabe-se que a equaÇão 5x2 - 4x + 2m: 0 tem duas raízes reais e diferentes. Nessas condi-
ções, determinar o valor real de m.
/ A equação tem duas raízes reais diferentes quando A > 0.
Vamos, então, determinar A:
5x2 - 4x+ 2m: O
â:5 b:-4 c:2m
L,: b2 - 4ac: (-4)2 - 4 . (5) .(2m): 16 - 40m
De acordo com o problema, A > 0. Daí:
16 _ 40m > 0 ---------> inequação de 7t grau na incognita m
-40m > -16
4om<16 
- 
r.# -------> ^.+
Logo,devemosterm< f .
4 Determinarovalordepnaequaçãox2 - px + 9:0 paraqueessaequaÇãotenha uma única
raiz real.
Para que a equação tenha uma única raiz real, devemos ter A : 0.
Vamos calcular A:
x2-Px*9:0
à:l b:-p C:9
a: b2 - 4ac: (-p)2 - 4(1Xg) : p2 - 36
De acordo com o problema, A : 0. Daí:
p2 - 36 - 0 ---------- equaÇão incompleta de 2e grau na incognita p
P2:36
r*
P : tr/Jb
P:t6
Logo, devemos ter p : 6 ou p : -6.
LDe
raízes
úmeros seguintes, quais são
^uox'-2x-8:0? -2e4
2 O número 2 * "6 e raiz da equação x2 -- 4x - 2:0. Essa afirmação é correta? sm
3 O número -3 é rarz da equação x' - 7x -
- 2c :0. Nessas condições, determine o valor de c.
c: 15
4 Determine o coeficiente b na equação 2x2 -
- bx -F 10 : 0, sabendo que o número 5 é raiz
dessa equação. tr - 12
Verifique se o númer 
" + U raiz daequação-l 7x - 2: 0. sim
Gi Sabe-se que a equaçâo 9x2 - 6x * 2rr-:0
tem raízes reais. Qual é o valor de m? , = +
Determine o valor de k de modo que a eq
gx2 + gx* k : 0 náo tenha raízei reais.
k> 
4
Qual deve ser o valor do coeficiente b para
e a equação 2x2 + bx+ 8 : 0 tenha uma-úni-
caraizreal? b:8oub:-8
Determine o valor de p para que a equação
- 4x * 2p - 1: 0 tenha raizes reais e dife-
rentes. p < r
Determine o valor dempara que a equa-
+ (m - 1)x * m - 2 - 0 tenhaumaúnica
ratz real (ou duas raizes reais iguais). m : 3
-/o -b-7{- 
a
oc.D
coqliciqnlqt
Considere a equaÇão axz + bx + c : 0, com a + O, e selam x' e x" as raízes reais dessa
equaÇã0.
Entre essas raízes x' e x" e os coeficientes a, b, c da equacão existem duas relações importantes:
le relação: Sendo x' e x" as raízes da equaçã0, temos:
X, -o + ",/l O X,,: -u-Ja
2a
Somando membro a membro as duas igualdades:
X,*X,,: -b+^,f -b-rf
J =,2-b+ín -b-.{n
2a 2a
h
Em toda equacão de2egrau onde x'e x" são raízes reais, temos que x' + x'- -u
a
2z relação: Sendo x' e x" as raízes reais da equacão, temos:
-b + ,f -b - ",/^
2a
2a
X,:
t
2a 2a
Multiplicando membro a membro as duas igualdades:
-b+^/l -b-Hf (-b+Jltt-o-^'fl (-b)2-(ía)' - b2-l.za Za ---- 4* 4a2 4a2
ComoA:b2-4ac
x,.x,, - b2 
_ lb2:4ac) -,ú -t J+ac : 4u? - c'^ - 
-+* 
4a2 4a2 a
Em toda equaÇão de 2o- grauonde x' e x" São raízes reais, temos que x' ' *" : *.
Vamos, entã0, usar essas duas relações importantes para resolver alguns problemas'
I Aequação 3x2 - 8x - 3:0apresenta duasraízesreaisediferentes. Sem resolveraequação,
determinar a soma e o produto dessas duas raízes.
z
/' Pela equaÇão dada:/ a:3 b:-8 c:-3
De acordo com as relacões, podemos escrever:
x,+x,,- -b: -(_8) :g x, x,,:+:-1--1a 3--T a 3
DeterminarovalordemnaequaÇãol2x2-mx-1:0,demodoqueasomadasraízesdessa
6
equaÇão seja *.
o
Pela equação:
a:L2 b:-111 C:-1
De acordo com a relação da soma, podemos escrever:
1'**":+:-P:+
Segundo os dados do problema, temos:
x'+x":g
b
Comparando e@ podemos escrever a equacão:
m5
n- 6
6m:60
,: 6=o = m: 1o6
Logo, devemos ter m : 10.
0 produto das raízes reais da equação gx2 - 9x + c : 0 é isuar a f.Calcular o valor do coeficiente c.
De acordo com a equacão dada:
a:8 b:-9 c:c
Pela relação do produto, podemos escrever:
x'.x" - c - ca8
De acordo com os dados do problema, temos:
x''x"- 3
4
4Ca
equacão
ComparandoOeO podemos escrever a equacão:
c3
8-4
4c: 24
^24u- 
4
C:6
Logo, devemos ter c : 6.
lcular a soma dos inversos das raízes reais da equacão 6x2 - 5x - 1 : 0, sem resolver a
Na equacão dada, temos:
à:6 b:-5 C:-1
h -(-5) 5 n -1X'+X"- rJ :--;--:---=- e X,.X,r- ç - -1aoba6
Observe, agorai
I 1 x'+x":-x' x" x, . x,,
Substituindo x' + x" por * . *' . x,, por -+,temos:ob
5
1* 1 - 6 - 5.f-1)- 5x,'x,, - 1 -á'[-u.j :i'F6):-5
6
Logo, a soma dos inversos das raízes dá -5.
102
L A equaçáo x2 - 6x - 2: 0 tem duas raízes
reais diferentes, expressas Por x' e x". Determi-
ne, sem resolver a equação, o valor de:
a)x'*x"o b)x"x" 2 c) +-+
-3
2 Calcule a soma e o produto das raízes teais
das seguintes equações, sem resolvê-las:
a) *'- x - 20:0 x'+x":1,x' x": 20
b)16x2 .r8x-l 1:0 x'+x": *,o o':*
d) 10x2 t 3x - 4: O x'+x"- -+,.' . - -+
3 Os números reais x' e x" são astaízes da equa-
ção 3x2 - 7x * 2: O. Sem resolver a equação,
calcule o valor da expressão (x' + x") + (x' ' x").
3
4 Dad,aa equação 2x2 - 5x * c : 0, determi-
ne o valor do coeficiente c de maneira que o
produto das raízes reais dessa equação seja
rí5
tgl7at a 4 .
5 Qual deve ser o valor do coeficiente bpara que
a soma das raízes da equação Z* + bx * L : 0
n1 I n 
,-- 
JseJalgualu- 6, - 3
(6 O produto das raizesreais"da equação 2x2 +
*5x* 2m- 3:0éigualaf .Quatéovalor
dem? ,: +
7 Na equação 2p*' - 3x - 2: 0, com P + 0,
a soma das duas raízesreais é igual a f . O"uf
éovalordep? p-6
€3 Na equação 4x2 - 3px * P - 4: O, à soma
das raízes é igual ao produto dessas raízes.De-
termine o valor de p. p: -2
€) As raízesreaisdaequação 2* + Sx* m - 5 :
: 0 são tais que uma delas é igual ao inverso da
outra ír,' : -L). Determin e o valor de m.\ x") ^l
LO Na equação 4x2 - 2(m - 1)* - 7 : O,
as taízes são opostas ou simétricas (x' - -x").
Nessas condições, qual é o valor de m? m = 1
qndo u,n^c^ Le xraw
o coytÜÚ.ca- rc^íza5EE:
Uma das aplicaÇões da relação entre as raízes e os coeficientes da equacão de 2e grau é
permitir escrever a equaÇão na forma axz + bx + c : 0 quando são dados dois números reais
(x' e x") como raízes da equaçã0.
Consideremos a equaÇáo ax2 + bx + c : 0.
Como a + O, vamos dividir todos os termos pelo coeficiente a:
aaaaa
Sendo x' e x" as raízes reais da equaÇão, temos:
O 
- 
-b - x, + x,, ----------> b - -(x, + x,,) ----------- Oaaa
C - x, .Xr, --------> @
a
X,*X,,:
x' . x": C
a
103
Substituindo @ e @ nu equação @:
x' - (*' + x")x + x, .x,, : 0
Se indicarmos por S a soma das raízes (x' + x" : S) e por P o produto dessas raízes
(x' . x" : P), escrevemos a equação na forma:
x2-Sx+P:0
Essa equacão permite escrever uma equacão de 2e grau na variável x quando são dadas as
raízes x' e x".
0s exemplos a seguir mostram como podemos formar a equacão:
1 As raízes reais de uma equaÇão de 2e grau,na incognita x, s;ão os números 7 e -3.Escrever,
entã0, essa equacã0.
S:7 + (-3) :l _3:4 p:7.(_3) : _21
A equacão procurada será:
x2-Sx+P:0 ------------> x2-(4)x+(-21) :0 
- 
x2_4x_2I:O
Logo, a equacão procurada é x2 - 4x - 2l : O.
2 Sejam ? , -1 as raízes reais de uma equacão de 2e grau,na incógnita x. Vamos escrever,5
essa equacã0.
s:++(-1):+-1: 2--5 :-A p:a.(-1) :-Z5 5 - 5 5 ' t\'r 5
x2 - sx + p : 0 -............> -, - (-+)- . (-+) : o -......-.....> r, + ]* - ! : o55
Essa mesma equacão pode ser escrita assim: 5x2 + 3x - 2 : 0
Logo, a equacão procurada é x2 + 9* - + :0 ou 5x2 -r 3x - 2: O.55
3 Vamos escrever a equacão de 2e grau, na incógnita x, sabendo que as raízes dessa equacão
são os números reais -3 + ,E e -3 - ",/í.
S:(-3+"uE) +(-3-rEl :-3 +"ff -3- ^,6:-o
p: (-3 + \,8) .(-3 - Jí) : (-3)2 - (rEtr:9 _ 3 == 6
x2 - Sx + p : 0 
--------> 
x2 - (_6)x + 6 : 0 _) x2 + 6x+ 6 : 0
Logo, a equacão procurada éx2 + 6x + 6:0.
104
I- Os seguintes Pares de números reais são
raízes de uma equação de 2" grat na incógnita
r. Escreva cada uma das equações:
a) 5e7 x'-12*+3b=oe) -8e8 x'-64:o
b) 6e6x'-12^*ao:o f) -9e0 x2+ex:o
j) n[T "5J2 m)-1+ í10 e -1- ,ío,'- o./2, + 10 : o x2+2x-g=o
2 Escreva a equação de 2" grau, na incógnita
x, qrLe permite calcular dois números reais quan-
do a soma dos números:
a) é7 e o produto é 10' *'- 7x + 10 - o
b) é -4 e o produto é -60. x2 + 4x - 60: o
A é+eoproduto e-j-. ,* x-1:o
..22t) E:^-T 1) -4+^tTe-a-rEx2+8x+14:0
s)
h)
c)
d)
-2 e11.
x2 -gx-22:o
-8e-5
x2 + 13x + 40:0
2x'+7x-4=o
16x2-24x+9-o
1
2 e-+
JJ
4e 4
O cálculo mental e as raizes
de uma equação de 2 e grau
Paulo desafiou seus colegas de classe...
ft".o dcontr W"*
Lembrando da forma *' - S* + P : 0, procure descobrir, mentalmente, as raízes de cada uma
das equações:
a) *z'-5x+6:O zez c) x2- 7Ox+24:0 o"+ e) *2- 4x-12:0 oe-z
b) ^'- 7x+10:0 
s"z d) *'-8x+7:0 z"t
encontror, "de cobeço" , os raízes
dex2-Bx+t?=O?
105
A somo á 8...
...eoprodutoé72.
2+6=8
2'6 = 12
Oo
tsRqsoLvqndo apn^çóqg hiq wadradaE
Denomina-se equacão biquadrada, na incógnita x, toda equação da forma axa + bx2 + c : 0,
onde a, b, c são números reais e a + O.
Essas equacões a seguir, são biquadradas:
) xa-10x2+9:0 ) xa-5x2+4:O ) 9xa_6x2:0
Você nota que as equações biquadradas são equações incompletas de 4s grau, desprovidas
dos termos em que a incógnita teria expoente ímpar.
A resolucão das equacões biquadradas envolve um artifício, conforme veremos nos exemplos a
segurr.
I Resolveraequacãoxa - 5x2 + 4:0.
Vamos, inicialmente, indicar x2 : p, usando a incógnita auxil[ar p.
Substituindo x2 por p na equacão dada, temos:
x4- sxz+4:o
(x2)r- 5x2+ 4:O
p2 - 5p + 4 : 0 -------------> equação de 2e grau na incognita p
Nesta equacão, temos:
à:7 b:-5 C:4
A:b2 -4ac:(-5)2 -40)(4):25- 16:9
As raízes 4 e 1 são valores da incógnita p; como fizemos X2 = p, vamos obter os valores de x,que serão as raízes da equação biquadrada.
Assim:
Para p : 4, temos x2 : 4 ------------> x : +r/4 ---------------- \,: +2
Para p : 1, temos x2 : I 
- 
x : +,f --------------> X : +1
Então: S : {-2, 2, -l,ll.
2 No conjunto R*, vamos determinar a solucão da equacão x2 : I * 4.x'
n_ -otJa -(-5) tJg 5t3"- 2a ---2u -: 2
r0ó
Vamos, inicialmente, escrever a equaÇão dada na sua forma normal:
, . 2 x4 x2+2I-J-:
^-Ita-)) x' x- x-
x4:x2+2+xo-x2-2:0
Vamos, agora, usar a incognita auxiliar s, fazendo x2 : s:
52 - S - 2 : 0 equaÇão de 2e grau na incógnita s
a:l b:-1 c:-2
L,:b2 - 4ac: (-1)2 - 4fiN-2):1 + 8:9
S_
S,, :
1-3
As raízes 2 e - 1 são valores da incognita s.
Como fizemos x2 : s, vamos obter os valores de x, que serão as raízes da equação biquadrada'
Assim:
2Í)2a
. 1+3 4 ô\_--22
_')Lí
z
Paras:2,temos:x2:2
Para s - - 1, temos x2 :
Logo,S:{-Jr,Jrl.
L Determine, no conjunto [R, o conjunto solu-
ção das equações biquadradas:
a) *a - g* + rc:r9,o d) ,n - 4:3x2 t-2,21
b) *n - 8x2 - 9: Pr,., e) xa - 5x2 + 70: o a
c) *' - 1.6* : O o, 4,41
2 Determine o conjunto solução de cada uma
das equações, sendo fI : [R:
a) (x2 - 1X*' - 12) + 24:0 { e, s, z,z}
b) (*' + 2)2 :2' (x2 + 6) {-.tr .,T}
c) (x + 2Xx - 2)(x + 1Xx - 1) + 5x2 :20l-z,z\
d) x2(x2 - 9) : - 20 {-'Ç , Js , -2, z}
x: *rC ou X : -rã
-1 ---.--------- x: *JITÉ IRex: -J-1 É tB
3 Para quais valores reais de z vamos ter
-.2 _1n- - l2:*',1comx*- x*2)?
x. _ 4 _^t_ ^tr ^tr\
Quais são os valores reais de x Pata os quais
xpressão xn - 26*' + 25 é igual a 0?{ s, s, -r r}
5 Quais os valores reais de / que tornam
^ x'+1verdadeiraaigualdadex' -, : * _ n,(com
x* -2ex*2)? { ,tr,"tr,-.,r}
Determineos valores reais de xPara os quais
expressões 11xa - 6x2 e xz + 4 apresentam
valores iguais. -T ou 1
107
ru Rego[v qndo aILc,.çüeE i rraci onait
Você já sabe que toda equacão que apresenta a incógnita no radicando é chamada equacão
irracional.
São equações irracionais:
I x: Ja
2 ,ç-1 :x*3 /*'-ox+a:o
A resolucão de uma equacão irracional é feita elevando-se os; dois membros da equação a uma
potência conveniente, para transformá-la em uma equaÇão racional, que já sabemos resolver.
Veja os exemplos:
I Resolver, no conjunto tR, a equacão ,& + 5 : x - 1.
Nessa equacão devemos ter x > -5 para que, no conjunto rCos números reais, a expressão
',e .5 tenha sentido.
(!ç + 5 )'z : (x - l)2 
- 
ebvamosos dois membros ao quadrado
x+5:x2-2x+l
x+5- x2+2x-7:O
-x2 + 3x + 4:0
x2-3x-4:0
â:1 b:-3 c:-4
A: b2 - 4ac: (-3)2 - 4(1X-4) :9 + 16:25
X,: 3+5 -4
X_
2ft)2a
3 ,[- x==2
Parax--1,temos:
t-1) +5:(-1) -i
f 1+s : -1 - 1
J4:-2
1taa f -z
?-Ã .)
vl _ J .J -L 1
^--_:_l 22
Determinamos as raízes da equação de 2e grau. Para determinar as raízesda equação irracional
dada, precisamos fazer uma verificacão com os valores obtidos para avariável x, pois, ao elevar os
dois membros da equacão ao quadrado, podemos encontrar raízes estranhas à equação dada.
Veja, então, a verificaÇão:
' Para X : 4, temos:
í7+5 :4-l
-E-av/ - J
a_)J_J
108
4
Logo, apenas o número 4 verifica a equaÇão irracional dada.
Então: S : {4},
Vamos resolver a equação !"x L * 5 : X.
Nessa equaÇã0, devemos ter x > 3 para que a expressão ,ç L tenha sentido em R.
Ao olharmos a equaÇã0, notamos que o radical não está isolado em um dos membros, como no
caso anterior. para facilitar nosso cálculo, o primeiro passo é isolar o radical em qualquer um dos
membros da equação.
--^VX-J *5:X
J-L -X-5 isolamosoradicalnoprimeiromembro
([- , ,' : (x - 5)2 
- 
elevamos os dois membros ao quadrado
x-3:x2-10x+25
-x2 + x + 10x - 3 - 25:0
-x2 + l1x - 28 : 0
x2 - llX + 28 : 0 
- 
equação racionala ser resolvida
â:1 b:-11 c:28
A : b2 - 4ac: (-1D2 - 4{.1N28) : 12I - ll2 : 9
X,: 11+ 3
-b l1r -(- 11) t JtX:
2(1)
X,, :
2a
74-: 
2:,
i1-3 g À
n , '-t.'a-L
Fazendo a verificação:
Parax:7,temos:
^F-s 
i5:7
J+ +5:7
2+5:7
Logo, S : {7}.
L Resolva, no conjunto [R, a equação irracional
^,e-T:3-x. 
t2l
2 Quais os valores reais de x Paraos quais a
expressão ,V - o"+te é igual azJT ? qouz
Parax:4,temos:
,Al3*5:4
^/t + 5:4
t+5+4
3 Quat é o conjunto solução da equação 4 - x:
: 
^ft 
+ 2 ,no conjunto R? tz\
4 Sabendo que as expÍesro", ',,Ç-í "
{ç + 11 apresentam o mesmo valor, determi-
ne os valores reais de x. -4 ou 5
5 Sabendo que araíz quadrada de um núme-
ro real positivo r é igual à diferença entre 2 e o
mesmo número x, determine o número r. 1
6 Resolva a equação irracional
no conjunto [R. r,4t
7 QuaIé o valor do número real x que torna a
expressão 
^1"' - x-1 4 igual a 4?
€3 Sabendo que as expressõur a,ÇTffi
J7 te- o mesmo valor numérico, determine o
valor do número real x. s
€) Quat é a solução da equação
l4- x-
1/--- n- (com x # 4)?\Z
LO Se a ufir número real x adicionarmos o
número real Jx + 2 , vamos obter 10. Nessas
condições, qual é o valor do número r? t
b RaEol,vqndo EisL«r^ffi da-
apnoçÕqs dele Sraw
Veja os exemplos a seguir.
1 Construíum retângulo dobrando um arame com 6 metros de comprimento. Esse retângulo ficou
com uma área de 2 m2. Quais são as dimensões do retângulo formado com o pedaÇo de úme?
se representarmos por x e por y as dimensões do retângulo, podemos escrever:
2x+2y:6 ou x+y:3 e xy=.2
Então, formamos o sistema:
Ix+v:3)-
I
l*Y:2
Esse sistema é de 2e grau, pois uma das equacões é de le grau.
Para resolvêlo, usamos o método da substituicã0.
110
Da primeira equaçã0, temos:
X*Y:]
x:3-Y
Substituindo x pelo seu valor 3 - y na segunda equaÇão, temos:
XY :2
(3-fly:2
3y-y2:2
-y2+3y-2:0
y2 - 3y + 2 : 0 
- 
equação de 2e grau na incógnitay
â:1 b:-3 c:2
A: b2 - 4ac: (-3)2 - 4(1N2):9 - 8:1
v: -brx"f -(-3) riT 3t1
. 3+1 4 ^Y -- ^------LZI
2$) .. 3-1 2 .
y _ 
^- 
_.;__r
ZZ
Determinamos, assim, os valores paraa incógnita y. Como x: 3 - y, vamos determinar os
valores da incógnita x.
Quando Y :2, então x : 3 - 2: l'
QuandoY : 1, entãox : 3 - I : 2.
Logo, temos como solução do sistema os pares ordenados fi,2)e(2,1l'.
Entã0, S: {(1 ,2),(2,1)}.
Assim, as dimensões do retângulo feito quando se dobrou o pedaço de arame são 1 m e 2 m.
2 Resolver o sistema de equaçõet 
1 X'.:r'jl'
Da segunda equacão, temos:
X+Y:4
x:4-y
Substituindo, na outra equacão, x pelo seu valor 4 - y:
x2:6+xy
(O-fi':6+(4-Y)Y
16-8y *Y2:6+4Y-Y2
y'+y' -8y- 4y+16 -6:0
y2 - 6y * 5:0 simplificamosaexpressão
111
2a
â:1 b:-6 C:5
A: b2 - 4ac: (-6)2 - 4(1X5) :36 - 20:
-btr/l -(-6) r1/ria- 6r4
16
Y,:
v--
20)2a
Y,, :
Assim, obtivemos os valores da incógnita y.
Como x : 4 - y, vamos determinar os valores da incógnita x.
Paray : 5, tem6sX :-4 - 5 : -1.
Paray : 1, temos x: 4- 1 : 3.
A solução do sistema é dada pelos pares ordenados (-1, 5) e (3, 1).
Logo, S : {(-1, 5), (3, 1)}.
1 Resolva os seguintes sistemas de equações
nasincógnitasxey:
a) lx:2y e) [x + y:6))lr),[x+y':35 [x'-y(x+y):28
(10, 5), (-T4, -7i 12, tt, i4,2)
b)yx+y:9 illy:3-x ,l1 r)t1
l*y : 1.4,/ 2 t2,, l(*-y), +x(2y_l):4
c) lx:5-2y n) [ "-?Y:z] " 
, 
", 1:*ry -,(x*_2y)ly'-7:-3x lx'+y:6
11,2),1-3,4) (2,2\,,3 3r
d)Jx+y:4
l2
[x -xy:6 i ir ,
2 Muttiplicando x poÍ y vamos obter 80, e di-
vidindo x.poÍ y, obtemos 5. Determine os núme-
fOSX ey. duaspossbiidades:r=20ev- 4rur: 2aey = 4
abaixo, o perímetro é 30 cm e
Determine as medidas x e y
:12otx:9ev=7
i x+l I
4 Determine dois números inteiros e positivos
tais que o produto entre eles é 140 e a diferença
entre eles é 4. T4 e'ro
5 Se você dividir um número real positivo r
por um número real positivo y vaí encontrar 3
como resultado. Se o quadrado do número y é
igual ao número x aumentado de 10 unidades,
determine os doisnúmeros. x = rsey= b
Vamos decompor o número 12 em duas par-
as de tal modo que o quadrado da pariela
maior menos o quÍntuplo da menor resulte 66.
9 e 3 ou -'14 e 26
7 TJm galpão de forma retangular tem 96 m2
de área. Se aumentarmos o comprimento desse
galpão em 3 rm e a largura em 2 m, a área do
galpão passa a ser 150 m'. Calcule as dimensões
originais do galpão. r2 n, e 8 nn
xarclclos
112
€l Sabendo que x * 0 e x *
valores reais positivos de x e
x*v 10-yJ 
- 
ô ^ ..x-y x
figura
enqua
alcule
duas possiblidades: x - 5cm ey : 3cm ou x : 6cm ey : 2,5crr
Na figura abaixo, a área da região retan-
maior é 88 cm', enquanto a região retan-
menor (colorida de verde) tern54 cm'de
área. Determine as medidas x e y indicadas.
x:6cmey-9cm
y, determine os
y de modo que
:3ey=l
A soma das áreas dos quadrados abaixo dá
cm'. Sabendo que a diferença entre as medi-
das dos lados desses quadrados é 2 cm, calcule
a átea de cada quadrado. 36 cm2 e 16 cm2
v
LO Carlos tinha 5 anos quando Eduardo nas-
ceu. Atualmente, a razáo entre os quadrados das
idades de Eduardo e Carlos é +.Determine a
9
idade atual de cada um. carlos tem l5 anos e Eduardo tem
1 0 anos
L L Um fazendeiro, percorrendo comum jipe
todo o contorno de sua Íazenda, de forma re-
tangular, perfaz exatamente 26krn. A área ocu-
padã petJf azendaé de 40 km2. Quais são as di-
mensões da fazenda? 8 km e s km
!Q"* 
ando o qtla a1ra^da.L
L Quais são os valores reais de x para que as
expressões 5x f 9 
" 
5 1 -1-, com x * 0, sejam
iguais?,:1oux: , *
2 Sem efetuar o produto indicado no primei-
ro membro, determine as raízes da equação
(" - 5)'(3x + 1):0. sou -f
3 A equaçãopx2 - 2(p - 1)x * 3 : 0 admite
I
l;rma raiz igual a - -t Qual é o valor de p? o - z
4 Sejam x' e x" as duas raízesreais da equação
12x - - -=- : 1, com x # 0. Determine o valor de:
2
L4 Adiferença entre as medidas dos lados de
dois quadrados é 5 m e a soma das suas áreas
é325 r.r.t. Determine a soma dos perímetros des-
ses dois quadrados. 1oo m
5 Expresse em números decimais as raízes re-
ais da equação x(4x - 1) : 3(x + 1). 1,5 ou -o,b
(5 Consideremos a equação *3 - 4x + x2- 4: O.
Nessas condições:
a) Escreva a forma fatorada do primeiro mem-
bro dessa equação. (x + 2)(x - 2)(x + 1): o
b) Determine as raízes dessa equação. t-2,2,1l
7 Qual é o valor que você encontra para a ex-
_1. 1
pressão ---í- - --i, sabendo que os númerosao
a eb, com a * 0,b + 0 e a ) b, correspondem às
raízes reais da equação x' - x - 12: O? +
113
a) (x' - *")2 4e b)x'2-*"2 7ou 7
€B Dada a equação *3 - 12x2 * 11x : 0, res-
ponda:
a) Qual a forma Íatorada do primeiro membro
dessa equação? (x r 1)(x r l
b) Qual é o conjunto solução da equação?,, , ,,,
c) Qual é a média aritmética das raízes dessa
equação? 4
€) A equaçáo ax2 - 4x - 16 : O tem uma raiz
cujo valor é 4. Determine a outra raiz dessa
equação. 2
LO Aproveitando parte de um muro já exis-
tente e com 120 m de arame, deseja-se construir
um alambrado retangular para proteger uma
determinada área. Quais devem ser as dimen-
sões do alambrado para que a área cercada seja
de 1 000 m'? (Veja figura abaixo.)
duas possiblldades: 50m e 20 m ou rO m e 100 m
i t2o-2x
LL Considerando a equação
. k2 -5x' - kx * + : 0, determine os valores
reais de k para que o produto das raízes seja igual
à soma das raízes dessa equação. < : 5 ou k : l
L 2 Qual deve ser o valor real (ou valores reais)
*_+
de x paraque a igualdade # : +T,
comx * -2ex* ,sejaverdadeira? oo, *
L 3 O produto de dois números reais positivos
aumenta de 71 se substituirmos os fatores inici-
ais por seus consecutivos. Determine esses nú-
meros sabendo que a diÍerença entre eles é 34.
52e18
Q-ual é_a solução da equação
2)' : *'+ 180? { 4,4t
Qual deve ser o valor de m, cornrn * 2,pma
soma das raíz.es da equação (m - 2)x2 -
- 3mx * 1 : 0 sejaigualaseuproduto? m =
Ao resolver um problema, um aluno con-
umontaraequaçãox3 + 5 : (x * \3 - 32.
Nessas condições, determine os valores reais de
Í queverificamaequação. x:3oux=,1
L7 Determine a solucão do sistema
:4i_v' ,(comx+ -3)
2
L€i Quando você subtrai 3 de um certo nú-
mero real x, você obtém o dobro daraiz quadra-
da desse número. Qual é o número procurado?
9
L9 Aequação x2 + (2m- 3)x + m2 + 3 : 0
tem duas raízes reais diferentes. Nessas condi-
ções, qual é o valor de m? Devemos rer m < 1
4
20 Seja S o número que expressa a soma e
seja P o número que expressa o produto das
raízes da equação 2x' + 5x - 3 - 0. Nessas con-
dições, determine o valor de:
'16
15
2L Dado o polinômio x3 - 2x2 - 3x * 6, de-
termine:
a) a forma fatorada do polinômio. (* - r'T)(x - r: )
b) os valores de x para os quais o polinômio é
iguala0. 2 -,i r3
22 Escreva a equação de 2" grau na incógnita
r sabendo que as raízes reais dessa equação são
os inversos dasraízes da equação
2x1Y--f -- - -0, . 3t.5-l=c18 54
23 Calcule a soma das raízes da equação
21
x'-l x*1
A soma e o produto das raízes da equa-
x' - 2(n- 1)x + 6 : 0 são -3 e3,respecti-
vamente. Determine o valor de 4. 2
Determine as raízes reais da equação
*0,1x:0,6.+" + 
I
x
,:
20
nJ-r_
+y
b) +.+
x
114
26 Calcule a soma dos quadrados das raízes
da equação *' - 4, * 1 : 0. 14
27 Sabe-se que o inverso de (x - 1) é x + 1.
Calcule o valor de x. 12 o r2
-lloto^a,
28 A soma dos quadrados de dois números
pares, positivos e consecutivosé244. Nessas con-
dições, determine a razáo entre o menor e o
maior desses números.
"Novos estudos revelam que uma dose mínima de exercícios iá reduz
ern40o/o o risco de doenças.
Os novos estudos também comprovam que não fazer exercícios pode
ser pior do que se imaginava. Passar a vida sentado é quase tão prejudicial
quanto fumar um maço de cigarros por dia. Além de prejudicar o coração, o
sedentarismo contribui para o desenvolvimento de doenças gÍaves, como
câncer, diabete e osteoporose (veja quadro). No mundo inteiro, gasta-se
cadavezmais dinheiro com essas doenças. Por essarazáo, a atividade física
está se tornando um quesito de saúde pública em vários países."
FonLe: Veja,2 ort. 1996.
O sedentarismo é um dos principais
Íatores de risco à saúde.
cotesterol atto lz+t"
sedenlarismo I SZV.
O sedentarismo
está relacionado a:
ConÍorme aumenta a atividade fÍsica, diminui
o risco de mofte por acidente cardiovascular.
64o/"
as rnortes por
roblemas
'cardiovasculares
das mortes PoÍ
câncer de colo
Pressão arta I t+t"
Mexa-se!
Uma pessoa que gasta 150 kcal
por dia em atividade física já não é
considerada sedentária.
Veja no quadro ao lado, em que
atividades e em quanto tempo se pode
atingir essa meta.
Para atingir a meta apresentada,
sugere-se também correr 3 quilômetros
durante r minutos. Determine esse
tempo, sabendo que:
'15 minutos
das mortes
por diabete
547_+-x x*1 72
Jnbl^oç,^o
Veja em quanto:
Redução do risco
115
minutos
minutos
Jogar basquete
sTyo y
30 minutos
Andar de bicicleta
6 qui!ômetros em
minutos
tutn oLinoA^ia(,
A iaéia àe funçào eatá preoeníe
nae maie diveraae aituaçõea àa
atividaàehumana, _/N
O conaumo àe combuolível àe um veículo
numa roàovia àepenàe ou é àaào em funçào
àa velociàaàe àeaee veículo,
\i
V
\
O preço que ee ?aga ?or uma ligaçào
telefônica àepenàe ou é àaào em funçào ào
da-le f CIJL
O grâfiao a oequir, publicaào na revieta Veia, em Ot12t99, noe mootra o aumenLo da
expeclativa àe viàa noo paíoes riaoe,bem aomo o aumenl,o àa altura dao peseoae.
Eese fato foi oboervado al,é 1999 e, a Tarlir deosa àala, é eelimaào em funçào àa
época aoneiàeraàa.
'O 
comprimenío àe umabarra
àe ferro àepenàe ou é àaào em funçào
.àatemperatura, poie o ferro ae àilata
Não apenas a expectativa de vida aumentou nos países ricos, mas também a altura das pessoas
mais de 110 anos
Neeía Uniàaàe, àesenvolveremoe a noçào àe Íun7ào e, àe moào espeoial,
a funçào polinomial àe le Orau e oua re?reeentaçào gráfica'
Fonte: Washington Post/Graham T T Molitor,/Population Reference Bureau
--
I urrus ALro E MAts vELHo
ZL ili*ev^a de- coord,qnadr$ cr,trtqgianr$
Em 1637, ao publicar seu livro La
Geometrie, o filósofo e matemático francês
René Descartes (1596-1650) lancou a idéia
de que um par de números, disposto numa
certa ordem, poderia determinar uma
posição no plano.
0 primeiro número representava a
distância medida horizontalmente, enquanto o
segundo representava a distância medida
verticalmente em relacão a um ponto.
Descartes mostrou que, usando como
referência um par de retas que se
interceptavam, seria possvel construir um
sistema no qual números poderiam estar
associados a pontos.
Em relação ao ponto 0, intersecção das retas, P tem uma distância horizontal de 5 unidades e
uma distância vertical de 2 unidades. Para indicar a posicão do ponto P usamos o par de números $,2).
0 sistema cartesiano é utilizado, por exemplo, para fazer gráficos, mapas de ruas e até mesmo
mapas-múndi.
A posição geográfica de uma cidade em um mapa é obtida tomando-se como referência a linha
do Equador e o meridiano de Greenwich.
Nesse caso, a medida, em
graus, e tirada entre o ponto que
representa a cidade e a linha do
Equador - latitude - e entreesse mesmo ponto e o meridiano
de Greenwich - longitude.
A cidade de Brasília, por
exemplo, está situada a 18" de
latitude sul e 47'de longitude oeste.
distância
vertical
118
/
Dr nres
õ
.91
0-
C
=6
E
õô
Você mora numa cidade planejada? Já visitou alguma cidade assim?
Veja alguns exemplos de cidade cuja construÇão foi planejada'
Em cidades planejadas é mais fácil localizar um ponto qualquer. Vamos supor que o mapa
abaixo represente o centro de uma cidade planejada. Três amigos, Ana, Beto e Carlos, combinaram
de se encontrar no centro da praÇa XV de Novembro. Ana está na esquina indicada pela letra A, Beto
na esquina indicada pela letra B e Carlos na esquina indicada pela letra C.
o
É
>
=!c
,qô
à
a
ô
Tomando como referência o centro da praÇa XV de Novembro, podemos dizer que:
Ana está na esquina do Cine Joia, indicada pela letra A, que fica 4 quadras à direita e 2 quadras
acima do centro da praça XV.
Beto está na esquina do Restaurante do Lago, indicada pela letra B, que fica 5 quadras à esquerda
e 3 quadras abaixo do centro da praça XV'
Carlos está na esquinado Parque das Crianças, indicada pela letra C, que fica 1 quadra à direita e
2 quadras abaixo do centro da praÇa XV'
Brasília DF) Rio Claro (SP)
119
fV
III
.i
G
.Dil
vamos esquematizar a planta desse mapa do seguinte modo:
) Tracamos duas retas perpendícuÍares, uma horizontal, chamada eixo x, e outra vertícal, chamada
erxo y.
) 0 ponto de intersecção das duas retas, que coincide com o centro da
identificado pelo ponto 0 e recebe o nome de origem.
praca XV de Novembro, é
) Usando segmentos de mesma medida, associamos o lado de cada quadra a esse segmento.
Usaremos:
para identificar as quadras situadas à direita e acima da praca XV;
para identificar as quadras situadas à esquerda e abaixo da praca )u.
B
a
Assim:
I Ana está na posição A(4,2)
D Beto está na posição B (-5, -3)
D Carlos está na posição C (1, -2)
0s pares de números (4, 2), (-5, -3) e (1, -2) são chamados pares ordenados porque
convencionamos uma ordem para escrever os seus números: em primeiro lugar o número do eixo x e,
em seguida, o número do eixo y.
A figura seguinte nos mostra uma maquete de parte de uma cidade e um sistema de referência indi-
cado por letras e números. Vamos combinar que a letra deve ser o primeiro elemento do Par e o
número deve ser o segundo elemento.
a
I
HG
L Obsene alocalização da torre da igreja na
maquete. Esta localização pode ser representa-
da pelo par ordenado (C,9).
Dê a localizaçáo do:
a) restaurante e, e) e r, e)
b) chafariz tr, or
2 O que você encontra em:
a) (L,9)?
CA SA
b) (C,5)? c) (I,5)?
oomba de gasolina arvore
3 Faça um projeto de maquete como este e
desenhe: um cruzador/ um submarino/ uma
ilha, um porta-aviões etc. Aproveite a maquete
e jogue batalha naval com um colega que tenha
feito o mesmo exercício.
121
xs-rclcl(79
I na^ln§ÍE
Vamos ver como se constroi um sistema de coordenadas cartesianas.
) Traçamos duas retas perpendiculares, uma horizontal, chamada eixo x, e outra vertical, chamada
eixo y.
) 0 ponto de interseccão dos dois eixos recebe o nome de
ordenado (0, 0).
e corresponde ao par
) Nos eixos, a cada ponto fazemos corresponder um número: os números positivos à direita e acima
da origem; os números negativos à esquerda e abaixo da origem.
0 sistema assim formado recebe o nome de
Assim, todo ponto do plano fica definido a partir de dois valores: um no eixo x, e outro no eixo y,
seja, todo ponto pode ser representado como um (x, y). Esses valores são as
Observe os pontos destacados no sistema de coordenadas cartesianas:
A(2,2) ------- Íx:2lY:2
B (4, 3) --------- J x: 4tY:3
c (s, _ 2) ------- Í X 
: 5
lY:-,
D (-2, -l)
E (-1, 3)
F (3, 0)
Ix:-2
---------- l
IY : -1
I x: -1
--------- l
lY:3
f*:3€(
lY:o
G (0, 4)
H (6, 5)
l(0, 0)
v
H
G
E B
A
I F
-2 0 x
D
C
Geometria
Observe o desenho de um tabuleiro d.exadrez. Cada casa pode ser identificada Por um Par
ordenado de números: o 1q identifica a fila vertical (coluna) e o2e, a fila horizontal 
(linha)'
1. Os pares ordenados que indicam as
casas Pretas da 1a e da 2a filas
horizontais são:
1ê fila horizo ntal: (2, 7), (4, 7), (6, 1) e (8, 1)
2a fílahorizontal: (1, 2) , (3, 2) , (5 , 2) e (7 , 2)
Escreva os PaÍes ordenados que
indicam as casas Pretas da 3a e 4a filas
horizontais.3r fila horizontal: 12,3), \4,3), (6, 3) e (8, 3)
4? Íila horizontal: (1, 4), (3, 4, 5, 4) e l, a)
2. Os pares ordenados que rePresentam
ut 
"ãsat 
brancas da 1ê fila horizontal
são: (1., 7), (3, 1), (5, l) s (7, 7).
Escreva os Pares que rePresentam
as casas brancas da 5a e da
6a filas horizontais.
5aÍila horizontal: (1,5), (3,5), (5,5) e (7,5);
6ê flla horrzontal: \2,6), \4' 6), (6, 6) e (8, 6)
Dado um desses pares ord.enados, você consegue dizer de imediato, sem olhar na figura' se 
ele
representa r*u 
"àru 
branca ou preta? : L'"J.""'.";?,:T;':'.::.'[:ilorcienado 
forma um nÚmero Ímpar então a casê e
Dados d.ois desses pares ord.enados, você consegue dizer, deimediato, sem olhar na figura' 
se
ambas são da mesÃa cor ou de cores diferentes? Se a soma dos quairo números que aparecem nos do s 
pares
nrclcnacjos Íor urn nún'ero Ímoar as casas têm cores diÍererltes, caso conirárlo' têm a nlesma cor
3.
4.
L Em um auditório, as poltronas estão dispos-
tas em 6 colunas e 4linhas, conforme mostra a
figura. Sabendo que o primeiro núme1o do par
inãica a coluna e o segundo indica a linha, es-
creva o par ordenado que corresPonde:
a) àpoltronaA \2,=
b) àpoltronaB p,z
c) àpoltronac \4,4)
4C
3A
2B
1
123456
2 Dêas coordenadas cartesianas dospontos as-
2-1r -1
.2
5
4
5
N
xarclclos
123
8
7
b
5
4
3
2
1
o
7
6
5
4
3
2
1
3 Nas figuras, você está vendo um tabuleiro
d.e 
-dama. 
Na figura 1, temos as pedras em po_
sição de partida. Afigura 2 mostia a movimen_
a) a posição ocupada, na Íigtra 1, pela pedra
que se movimentou.
b) a posição ocupada, na figura 2, pela mesma
pedra.
ABCDEFGH ABCDEFGH
4 Observe as retas / e s, que se interceptam no
ponto P. Dê as coordenadas cartesianas:
a) do ponto P
b) do ponto Á, intersecção da reta s com o eixo x
:^) 9" ponto D, intersecção da reta 7.com o eíxa y
5 Observando o plano cartesiano, responda:
D
3
L
1
-5-4-3-
A
-1
-1
01 3 4 5 x
-3
B
figura 1 figurn 2
124
a) Quais são as coordenadas dos vértices do
quadrado ABCD?
b) Quantas unidades dr: comprimento tem cada
lado do qua«1rado?
Observando o triângulo ABC, no plano car_
iano seguinte, responda:
a) Quais são as coordenadas dos vértices desse
triângulo?
b) Como você classificaria esse triângulo quan_
to aos ângulos?
c) Quantas unidades de comprrmento tem o ca-
teto AB?
d) Quantas unidades de comprrmento tem o ca-
teto AC?
7 Observea circunferência no plano cartesiano
e responda:
123 4 5 6 7I
a) Quais as coordenadas do centro dessa circun-
ferência?
b) Quantas unidades de comprimento tem o raio
dessa circunferência?
c) Qual é o eix:o tangente à circunferência?
€i Localize no mesmo plano cartesiano os pontos:
a) A (2,5) c) C (4, - 4) e) E (0, 3)
b) B (-3,6) d) D (-1, -1) f) F (_9, _3)
6
5
4
3+--
r-T-fl---l--f--r-] I-l
\ tu
€) Use papel milimetrado e construa os seg-
mentos AB e PR, sendo dados:
a) A(5,2)eB(-7,4)
b) P (-2, -2) e R (3, -4)
L(O Sabendo que R (5, L), S (5,3) e T (3,1) são
os vértices de um triângulo, desenhe o triângu-
1o e responda:
a) O triângulo RST é retângulo? ' n,
b) O triângulo RST é escaleno ou isósceles?
isósceles
L L Os vértices de um triângulo ABC são os
pontos A (0, 5), B (0, 0) e C (3, 0). Desenhe esse
iriângulo no plano cartesiano e diga se o triân-
gulo é retângulo. .ln,
Os pontos A(4,4),8 (-4,4),C (-4, -4) e
-4) sáo os vértices de um quadrado. Loca-
Iize esses pontos no plano cartesiano e construa
o quadrado. A seguir resPonda:
a) Qual é o comprimento de cada lado desse
quadrado? I un oooêS
b) De quantas unidades é o seu perímetro?
32.lnldades
n A noçao d,a-/iurnçao
Com bastante freqüência, encontramos situações que envolvem relacões entre duas 
grandezas
variáveis. Consideremos algumas dessas situações:
13 Uma caneta custa 30 reais. Se representamos por x 0
comprar e por y o preco correspondente a pagar, em reais, I
número dessas canetas que queremos
podemos organizar a seguinte tabela:
Num sistema
cartesiano, os Pontos
A(-2,-3)eC(5,4)
são vértices de um
quadrado ABCD
(notação cíclica anti-
horária).
ft".o ó conn \fi*,
1. Descubra as coordenadas dos outros
dois vértices. B (5, -3); D l-2, 4)
2. Represente o Polígono em PaPel
quadriculado.
3. Calcule o perímetro e a área do
quadrado.
2
3
4
10
11
PreÇo a pagar (y)
1 .30: 30
2'30: 60
3'30: 90
4.30 :120
10.30:300
11 '30:330
Número de canetas (x)
1
125
Olhando a tabela você percebe que o preco y a pagar vai depender do número x de canetas queforem compradas. Entie as grandezas y e x existã umírebÇao expressa pela sentença matemáticaY:X.30ouy:30x.
Você nota também que:
) o número x de canetas é uma grandeza variável
) o preco y a pagar é uma grandeza variável
) a todos os valores de x estão associados valores de y
) para cada valor de x está associadoum único valor de y
Nessas condições podemos dizer:
0 preço y a pagar é dado em funcão do número x de canetas
e a sentençày :30x é chamada lei de formação da funcão.
Uma vez estabelecid a arelacão entre as variáveis numero de canetas e preÇo a pagar,podemos
responder a questões como:
a) Quanto vou pagar por 50 canetas iguais a essa?
Y:30xãy:30.50ãy:1500
Logo, vou pagar R$ 1 500,00 por 50 canetas.
b) Se eu tiver R$ 780,00, quantas dessas canetas consigo comprar?
780Y: 30x + 780:30x ã X: :26
Portanto, vou conseguir comprar 26 canetas.
21 Márcia ligou seu computador à rede internacional de computadores lnternet. para fazer uso
dessa rede, ela paga uma mensalidadefixa de R$ 30,00, mais 15 centavos de real (R$ 0,15) a cada
minuto de uso. 0 valor a ser pago por Márcia ao final do mês depende, entã0, do tempo que ela gasta
acessando a lnternet.
30
Observe a tabela que relaciona o valor a ser pago com o tempo de acesso à rede:
Tempo de acesso Valor a ser Pago
(em minutos) (em RS)
1 30 + 0,15 : 30,15
2 30 + 0,15'2: 30,30
3 30 + 0,15'3 : 30,45
4 30 + 0,15'4 : 30,60
10 30 + 0,15' 10 : 31,50
,O 30 + 0,1 5 20: 33,00
60 30 + 0,15'60 : 39,00
, ,o * ã,15 't
Podemos, então, estabelecer uma relação entre o tempo de utilizaÇão da rede e o valor a ser
pago por Márcia no final do mês, através da fórmula V : 30 + 0,15 't, onde Vé o valor a ser pago
(em rears) e t o tempo de utilizaÇão (em minutos).
Nessa fórmula:
B t é uma grandeza variável
P Yé uma grandezauariável
s a variável V depende da variável t, ou seja, a variável V é dada em funcão da variável t
Estabelecid a a relaçáo entre as variáveis tempo e valor, podemos responder às questões:
a) Quanto gastará Márcia se, durante o mês, utilizar alnternetpor 10h 20min?
10h 20min : 10 . 60 + 20 : 620 min
V:30 + 0,15'620: 123,00
Ela gastará RS 123,00.
b) Quantas horas ela poderá utilizar alnternet, se quer gastar, no máximo, RS 90,00 no mês?
V:90 90:30 + 0,15't + 60:0,15't + t: jL:400 minr- L 0,15
400 I 60 --------* 400 min : 6h 40min
406
Nesse caso, ela poderá utilizar a lnternet por 6h 40min.
Quando escrevemos a lei de formação de uma funÇã0, utilizamos, em 
ge-ral, as letras xe y para
represàntar as variáveis que estamos relacionando, sendo y dada em funcão de x. Desse modo,
estamos uniformizando a notaÇão de funções.
127
Oba! Férias no camping. Veja os preços e as promoções:
Algebra
2 4 14 | 2 2
Camping do Sol
* f,"risls,o Pernoite . .!
a 1i semana (7 noÍtes)
x<5
y<5e5<x<15
y<5ex>15
y>5ex<15
5<y<15ex>15
y>75
4 reais o pernoite
(por pessoa) durante
a 2ê semana (7 noites)
3 reais o pernoite
(por pessoa) para o
restante da estada
A família Soares - Paí, mãe e 2 filhos - vai acampar durante 2 semanas (14 noites) em ummesmo camplng.
Q,e camping eles devem escolher? Isso depende da idade das crianças.
Como podemos ajudá-los a fazer essa escolha?
Para responder essa pergunta construa uma tabela, onde x rep:resenta a idade de um dos
filhos, o mais velho, er7 a idade do outro.
2 reais o pernoite
para pessoas com
menos de 15 anos
I
. '189
/
4 reais o pernoite
valor por pessoa a
partir dê 15 anos
Camping do Sol
128
L A área de um quadrado é dada em função
da medida do seulado. Sendo y aâreae sendo x
a medida do lado, qual é a lei de formação des-
sa função? y:,'
2 Quando compramos laranja na feira, o Pre-
çoy qsepagamos ao feirante depende ou é dado
em função do número x de dízias de laranja que
compramos. Se a dúzia de laranja custa 3 reais,
qual é a lei de formação dessa função? v - e'
3 Um vendedor trabalha à base de comissão.
Assim, seu ganho mensal y depende ou é dado
em função do total x de vendas que ele tealíza
durante o mês. Sabendo-se que esse vendedor
recebe 15% do total que vende, qual lei de
formaçáo dessa função? v : 0,15x ou v : x
4lJma firma que conserta geladeiras cobra
uma taxa fixa de 20 reais pela visita e mais 0,30
real, por hora, de PÍeçoY
que se paga pelo é dado
em função dessas que fo-
ram empregadas x horas de mão-de-obra, qual
é a lei de formação que define essa função?
y:20+0,30x
5 Uma academia Paga a seus professores a
quantia de 15 reais por aula mais uma quantia
fixa de 200 reais como abono mensal. Então, a
quantia y quLeo professor recebe por mês é dada
em função do número x de aulas que ele dá du-
rante esse mês. Qual é a lei de formação dessa
função? y:2oo + 15x
6 Uma máquina proút2L200
peças por hora. Então, a Produção
y de peças por dia dePende do
número r de horas que a
máquina trabalha durante
o dia. Encontre a lei de
formação dessa
função. y: 1 2oox
7 Yamos escrever a lei de formação de cada
uma das seguintes funções:
a) A cada número real x associar um número
realy que representa o triplo do número l. v = 3"
b) A cada número real x associar um número
realy que representa o dobro de r mengs-1r9. ,o
c) A cada número real positivo r associar um
número realy que representa o inverso dç {.f
d) A cada número real r associar um númeio
realy que rePresenta o quadrado de x menos 4'Y:x2-4
e) A cada número real x associar um número
realy que representa a metade de x aumentada
,1
Oe). Y:;-x +b
129
O COt/lAO fqlua' no entre dois con u;ntoE
Observe os quadrados abaixo onde estão assinaladas as medidas de seus lados.
L]
I
I
0,5 cm
Podemos construir uma tabela relacionando as medidas dos lados desses quadrados com as
medidas dos seus perímetros (soma das medidas dos lados).
Essa tabela também pode ser representada na forma de um diagrama, pelo qual relacionamos
dois conjuntos: A, conjunto formado pelas medidas dos lados, e B, conjúto formaoo pelos perímetros.
As flechas indicam a relacão:
lado 0,5 cm -------+ perímetro 2 cm
lado 1 cm -------> perímetro 4 cm
E assim por diante.
Nessa relacão, você pode notar que:
) todos os elementos do conjunto A estão associados a um valor do conjunto B.
) cada elemento do conjunto A está associado a um único valor do conjunto B.
Nessas condicões, dizemos que a relação entre os conjuntos A e B é uma função de A em B.
lndicamos:
f: A------ B
---------- 
funcão deA em B
Podemos também escrever a fórmula matemática ou lei de formacão dessa função:y : 4x,onde yé o perímetro e x a medida do lado.
,-+
ttl
1,5 cm 2,0 cm ll 3,0 cm
130
Medida do lado (em cm)
Perímetro (em cm)
2,51,5
6
0,5
2 T210
1
1,5
2
2,5
5
São dados os conjuntos A: {0, 1, 2l eB: {0, 1 ,2,3,4, 5} e a relação entre A e B expressa
pela fórmula matemática y : x2, com x € A e y e B'
Vamos representar essa relação através de um diagrama: 
B
xeA y€B
x:0 Y:02:0
x:1 ---------> y:!2:L
x:2 --------> Y:22:4
2+
.5
Observe que:
) todos os elementos do conjunto A estão associados a um valor no conjunto B.
) cada elemento do conjunto A está associado a um único valor no conjunto B.
Nessas condições, dizemos que a relação entre A e B é uma função de A em B'
Notação: f: A--* B
Y:Y,2
Sejam os conjuntos A : l-2, -1, 0, 1, 2\,8: {y G Zl --6< y < 6} e uma relação entre A e
Bexpressa pela lei deformaçãoy: 2x- I' comx e Aey e B'
vamos representar essa relação por meio de um diagrama: 
B
XEA
x: -2 ---r
x--1 -------*
X:0
X:1
x:2 #
yeB
Y:2(-2)-1:-5
y:2(-1) -1:-3
y:2Q) - 1 : -1
Y:2(]J-1:1
Y :2(2) - 1 : 3
Observe que:
) todos os elementos do conjunto A estão associados a um valor no conjunto B.
) cada elemento do conjunto A está associado a um único valor no conjunto B.
Nessas condições, dizemos que a relação entre A e B é uma função de A em B.
Notação: f: A-----* B
Y:2x-l
De maneira geral:
Sendo A e B dois conjuntos não-vazios, uma relação entre
A e B é chamada função quando a cada elemento x do cÔnjunto A
está associado um único elemento y do conjunto B.
131
0
A
0 .--
1.-
-2 -5 
o-4
-'r -3 o -2
O -1 o0
1 1 o2
3 .42 .o.5
Observe os diagramas abaixo que representam relaçõ s entre os conjuntos A e B:
Y:2x2+7
E funçã0, pois todo elemento x e A tem
correspondente em B, e cada elemento
tem um único correspondente em B.
Y :2*
Não é função, pois há elementos de A
que não possuem correspondentes em B
(sendo x - -1, por exemplo, y : * e g).z
Y:x4
E funcã0, poistodo elemento x e A tem
correspondente em B, e cada elemento
tem um único correspondente em B.
.,2 _Y-:X
Não é função, pois há elementos de A
que possuem mais de um correspondente
emB(sendoX:1,y:+1).
L Observe os diagramas que representam relações e assinale as que são funções de Á em B:
a)
132
e)
E funçáo
Náo é função
B
-4.
-2.
-1.
.3
AB-48
b)A t d)a B f) A
-2\
A B I) A.-4
.-1 2^ 8
B
-1
.t0
-1
0r
2
4 to
,-1 4 8
94í o12
' , 10
B
-1
.0
1
2t
4
ejam os conjuntos A: 12, 4, 6,81 e
-3,-2, -7;0,'1.,2,31e uma relação entre Á
s XtT,ondexcAe
y ão Por meio de um
d ou não função' Jus-
tifique sua resposta.
Náo é Íunçáo, pois ao elemento 2 do conjunto A náo está associado
nenhum elemento de B
3 Seja a relação entre dois conjuntos Á e B dada
pela fórmulay : | + 3, onde x € Ae Y € B'
SendoA: {0,4, L0} eB : {0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,101,
represente essa relação Por meio de um diagra-
mã e verifique se ela é ou não função'
É uma função
4 Sejam os conjuntos A:{0, 1.,4,9,L6},
B : {0, 1,2,3,4, 5} e uma relação entre A e B
dadapela fórmula y : Jx,onde x c Ae y € B'
Represente essa relação por meio de um diagra-
ma e verifique se ela é ou não função' É uma runçáo
o valor 0 (zero), Pois a
x pode assumir qualquer
x. Para cada valor de x
Quando estamos relacionando duas variáveis 
por meio de uma funçã0, devemos estar atentos
aos poisÍveis valores que as variáveis podem assumir na funÇã6.
Anteriormente, vimos que o perímetro de um quadrado é dado em função da medida do seu
lado, pela lei de formaÇão Y : 4x.
Nesse caso, xtem que ser um número real positivo, ou seia, x e tRl, pois não existe medida de
lado nula ou negativa. Assim, x nunca pode assumir o valor ,-2, por exemplo'
Os valores que y irá assumir dependem dos valores assumidos por x. Para cada valor de x
teremos um valor correspondente para y.
Na função dada pela fórmula y : +, a variável x não pode assumirx
1
fração f tOiritao por zero) não é definida em Matemática. Assim, a 
variável
valor real, menos o zero, ou seia, x € R*.
Os valores que y irá assumir dependem dos valores assumidos por
teremos um valor correspondente para y.
Vamos definir:
DonnÍtrio a- tA^cL da u;u^a
O conjunto de valores que a variável x pode assumir chama-se domínio da função.
Vamos indicá-lo por D.
0 valor da variável y Corresponde a um determinado valor de x chamado
imagem do número x pela funçã0, O conjunto formado por todos os valores
oe v e chamado conjunto imagem da funÇã0, vamos indicá-lo 
por lm.
133
Exemplos:
0 perímetro de um triângulo eqüilátero é dado em funcão da medida do seu lado.
Sendo x a medida do lado e y o perímetro do triângulo eqüilátero, essa função tem a seguintefórmula matemátrcat y : 3x.
Apartir do que vimos acima, o domínio dafuncão é D : Ri ou D : {x e R I x > 0}.
Nessas condições, podemos determinar a imagem de cada valor de x:
SendoX:3, entãoy:3.(3) :9 ____-- 9é a imagem donúmero 3 pelafunçã0.
Sex:2,5, entãoy:3 .(2,5):1,5 _- 7,5é a imagem do número 2,5 pelafunçã0.
Sex:.,h0 ,entãoy:3 (ú0-) :3^ha 
- 
3r,/iCéaimagemdonúmeroú0 pela
funçã0.
sex:f,entãoY:3 (+) :í 
- íulmagemdonúmero ftou,ufunçã0.
Considere a função dada pela fórmula y : +. Nessa função a variávelx pode assumir qualquerx
valor real, menos aqueles que anulem o denominador, uma vez que não definimos fracão com denomi-
nador zero.
Nesse caso, o domínio dafuncão é D : R* or.r D : {x e tR I x + 0}.
Se x : 10, então y : + ---- f e a imagem do número 10 pela funcã0.
Sex: -2,enlãor:-l 
- 
I
sex: f,, entãoy: +:8 - 
Béa imagemdo número 
f,o.,ufunçã0.
8
$ Quando-a um número real associamos o seu triplo aumentado de 2 unidades, temos uma funcão
definida pela fórmula matemática y : 3x + 2. Nessa funcão não há restricões para os valores que xpode assumir. Nesse caso, x pode assumir todos os valores reais. Logo, o áomínio da funcão e O : rB.
Assim, podemos determinar a imagem de qualquer elemento do domínio.
se x : -10, então Y : 3(-10) + 2: -28 -----* -28é a imagem do número -10 pela função.
sex:0,5, entãoy:3(0,5) + 2:3,5 -------- 3,5 é a imagem do número0,5 pelafunção.
sex : -+, entãoy : 3 i-+) + 2 :1 ----.+ 1 éa imagemdonúmero -+ petafunçã0.
Celsius X Fahrenheit
para graduar um termômetro nas escalas Celsius e Fahrenheit são utilizados dois estados
térmicos com temPeraturas bem definidas:
7) ponto do gelo + temPeratura de fusão do gelo sob pressão normal
2) ponto do oapor -+ temperatura de ebulição da água sob pressão normal
Na escala Celsius são atribuídos, respectivamente, os valores 0 e 100 Para essas temperaturas' 
A
seguir, o intervalo entre esses dois pontos_fixos é dividido em 100 Partes iguais'
Na escala Fahrenheit, atribui-ãe o valor 32 à temperatura de fusão do gelo, e 212 à temperatura
de ebulição da água. O intervalo entre esses pontos é dividido em 180 partes iguais'
Observando a Íigrra, pode-se estabelecer entre as
duas escalas a seguinte relação:
Daí, obtemos: +32
C-
100
oF: -1-C
5
A transformação de uma temPeratura na escala Celsius (C) para a correspondente temperatura
na escala Fahrenheit (F) é um impõrtante exemplo de função polinomial do 1q grau:
t: +. + 32 -------'i' v : lx + ez
lft"'o dcotu \Á"u
Utilizando a última sentença matemática, responda:
1. Se x : 50, qual o corresPondente valor de y? n2
2. A quanto corresponde, na escala Celsius, -40 "F? 40 "c
72.
xarclcl(79
perímetro y de um quadrado é dado em
j da medid a x do lado. Essa função é defi-
nida pela fórmula matemática y : 4x' Nessas
condições, responda:
a) QuaI é o domínio da função? o = ni
b) Qual é a imagem do número 27 pela função?e+
c) Qual é a imagem do número 10,5 pela hnçáo?+z
d) Qual é o número real x cuja imagem pela fun-
çáoé28? t
^ M. ár"u de um quadrado é dada em função
medida do lado. Sendo y a áreae r a medida
do lado, a função é definida pela fórmula mate-
mática y : x2. Nessas condições, determine:
a) a imagem do número 0,4 pela função o,ro
b) a imagem do número "v,,F peh função s
c) o número real x cuiaimagem pela função é 81 s
135
-
Fahnnhdt
3 O preço de um sorvete é2,50 reais. Se você
comprar / sorvetes, deverá pag ar y reais,ou seja,
a- quantia que você vai pagar é dada em funçâo
do número de sorvetes que vai comprar. Nessas
condições, responda:
c) Qual é o número real z cuja imagem pela fun-
eaoé f? so
d) Qual é o número real x cuja imagem pela fun-
ção é -L? s,E
^12
6 Um motorista, saindo de um
ponto A, viaja por uma estrada e
verifica que a distância percorri-
da, desde o ponto inicial, pode
ser calculad apoÍ y : 51x * 17 ,
em quey é dado em quilôme-
trosexédadoemhoras.
Nessas condições, deter-
mine as disl;âncias per-
corridas de hora em
hora, desde x : 1, até
'l h: 68 km; 2 h: 1]9 km;
3 h: '170 km: 4 h:221 km
a) Qual a fórmula matemática que define essa
função? :2,50x
você comprou? s
e) Qual é o número x ctjaimagem pela função
é20? a
4 Quando a um número'real associamos o seu
dobro diminuído de 5 unidades, temos uma fun-
ção definida pela fórmula matemática y : 2x - 5.
Nessas condições, determine:
a) o domínio dessa função n
b) a.imagem do número 3,5 pela função z
c) a imagem do númer" +pela função o
d) o número real x cuja imagem pela função é -72
e)r o número real x cuja imagem pela funçao é !
4
5 Sabemos que uma função é definida pela fór-
mula matemática y : 19 e seu domínio é ox
conjunto [R*. Nessas condições:
a) Qual é a imagem do número ^,8 peh função?
z",is
b) Qual é a imagem do número 0,1 pela função?
retângulo, cujo comprimento é 50
âreay é dada em função da largura
ndições:
a) Escreva a fórmula matemática que define essa
função. y: so*
b) Qual é a imagem do número lZp"tufunção?
1 600
c) QuaI é o número real xcuja imagem pela fun-
ção é750? rc
Z|Fwnçao polinonnia], da-1e gran
Vejamos as seguintes situacões:
l! Consideremos um hexágono regular cujo lado mede x unidades'
se indicarmos o perímetro desse hexágono regular por y, veremos 
que o perímetro é dado em
funÇão da medida do lado e que essa função é definida pela formula matemática'
22 Consideremos um retângulo ondeo comprimento mede x unidades e a largura mede-10 unida-
des. Se indicarmos pó, y o peiímetro desse retângulo, veremos que o 
perímetro é dado em funcão do
comprimento e que essa função é definida pela formula matemática'
podemos observar, então, que nas duas fórmulas matemáticas o 2e membro é um 
polinômio de
1e grau na variável x.
Y :.6!
It
polinômio de 7e grau
na variável x
Y:.2x+20
I
polinômio de le grau
na variável x
uma função é chamada polinomial de 1e grau quando é definida pela formula
matemáticaY : ax + b, com a G [R, b e tBe a + 0'
137
Pela definiçã0, são funções polinomiais de 1e grau:
y:3x-1 )y: {x-zx
7 -5x)y:-6x
) y: )-x+s
observe, a seguir, alguns exemplos de questões que envolvem funções de 1e grau.
I Dada a função definida POr y : -7x + 5, determinar a imagem do número real -3 pela funcão.
Neste caso, temos x : -3.
Daí:
Y:-7x+5
y--7(-3) +5
Logo, 26 é a imagem do número -3 pela função.
Dadaafunçãodefinida0ory:5-4x,qualéonúmerorealxcujaimagempelafunçãou#,
Neste caso, temot V : #.
Daí:
1
10
1
:5-4x
50 - 40x
10 10
1:50-40x
Logo, o número real procurado é
49
40
) y:
) y: l2x
Y:21 +5
Y :26
1 + 40x :'50
40x:50 - I
40x: 49
*:#
Uma função polinomial de 1q grau é defini_
por y : 5x * 3. Nessas condições, determine
a imagem do número -2petafunção. _z
Dada a função polinomial de 1a grau defini_
por y : -8x * 4, determine o número real x
cuja imagem pela função é0. +
3 O perÍmetro y de unr quadrado é dado em fun_
ção da medida r do lado, função esta definida pela
fórmula matemática y : 4x. Nessas condições:
a-) Organíze uma tabela para as seguintes me-
didas do lado:
5 cm;7,2 cm; 11 cm;20,5 cm e 10J3 cm.
b) observando a tabeta qJ"'T:.."[L';#"",
qual é 
_a 
imagem do número real 10í3 pela
função? +o rf
c) Observando a tabela que você organizou,
qual é o número realx cuja image-, p"l-u tabela,
é44? tt
138
4 O chefe do departamento de promoção de
uma loja verificou que quanto mais anunciava
na televisão, mais ele vendia. Logo, a venda era
dada em função dos anúncios feitos na televi-
são. Após estudos, verificou-se que essa fun-
ção era definida pela fórmuluy 
: j-x + 1'50'
em que y representa a quantidade de mercado-
rias vendidas na semana e Í rePresenta o nú-
mero de comerciais de televisão durante essa
semana.
Nessas condições:
a) Quantas mercadorias a loja vendeu durante
a semana em que o seu comercial aparccett 42
vezes na televisão? ztz
b) Quantas vezes o comercial da loja aPareceu
na televisão durante a semana em que a loja ven-
dgu240 mercadorias? 60 u"'"'
'5 Descubra o número real x cttjaimagem pela
funiãoY:7-9xê:
a)79 -z b)0,1 or
(5 Dada a função Y : t" - 2, determine a
imagem pela função de cada um dos números
reais.
a)o Z b)4-, .)-8-o
ângulo, a largura mede 72 crne o
mede r cm. Se você indicar o Pe-
retângulo Por !, esse Perímetro
será definido pela função y :2x + 744' Nessas
condições:
a) Qual é o perímetro se o comprimento mede
102 cm? e+e..
b) Qual será o comprimento desse retângulo
quando o perímetro for 402 cm? tzg "'
wncpto f?o(,i nonn\a],
podemos representar graficamente uma função polinomial de 1s grau utilizando 
para isso um
sistema de coordenadas cartesianas.
Na verdade, a representação gráfica de uma função deve nos dar todas 
as informaÇões sobre
como se comporta essa função e, por ser de fácil visualizaçáo, é muito 
utilizada'
Sabemos que cada valor de x tem o seu correspondente valor de 
y, pela funÇão; marcamos,
entã., no plano cartesrano os pontos decoordenadas (x, y). Dessa maneira, 
obtemos um conjunto de
pontos e esse conjunto é chamado gráfico da funÇão'
gbservando os exemplos seguintes, vamos compreender melhor o que significa o 
gráfico de
uma funÇão.
139
I vamos construir, no prano cartesiano, o gráfico da funcão !, : 2x.
lnicialmente, vamos organizar uma tabela atribuindo valores arbitrários para xe determinandoos valores correspondentes para y:
x:0 -------> y:2.(0) :0
X : 1 --------+ y : 2 . (7) : 2
X - -1 -------- y :2.(-1) : -2
x:2 -------+ y:2.(2):4
x - -2 -------- y : 2. (-2) - -4
A cada par ordenado (x, y) da tabela
associamos um ponto do plano cartesiano.
0 gráfico da função é o conjunto de
todos os pontos (x, y) com x real e y : 2x.
. Observe que o gráfico da função y : 2x
é uma reta.
0
1
-1
2
-2
0
2
-2
4
-4
(0, 0)
(7,2)
/_T, _21
Q,4)
F2, -4)
2 Vamos representar, no prano cartesiano, o gráfico da função y : 2x - 3.
lnicialmente, vamos elaborar a tabela:
x:0 
- 
y:2.(0)-3:-3
x: 1 -----+ y:2.(1) - 3: -1
x - -1 ------ y:2.(_1) _ 3: _5
x: 2 ------> y : 2.(2) _3 : 1
-3
-1
-5
1
0
1
-1
2
(0, -3)
(1, -1)
(-1, -5)
Q,l)
140
No plano cartesiano, ao lado, a cada par
(x, y) associamos um Ponto'
O conjunto de todos os Pontos (x, Y),
com x real e Y : 2x- 3, é o gráfico da
função, que, neste caso, também é uma reta.
Podemos dizer:
O gráfico de uma função polinomial de le grau, no plano cartesiano, é sempre uma reta.
Veja outros exemPlos:
Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da função Y 
: -3x'
Como o gráfico de uma função polinomial de 1e grau é uma reta e como uma reta fica determi-
nada por 2 ponlos, basta determinar, na tabela, dois pares (x, y).
:0 --------+ y:-3.(0) :0
: -1 -----r y : -3 . (-1) : 3
\
\ tt
\
\
I
\
7- I
\
X
X
X
0
-1
v
0
3
Y
\
141
4 Construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y : _x + 3.
Para construir a tabera, devemos obter dois pares (x, y).
x:0 
-*y:_(0) +3:3X:2 -----* y:-(2)+3:1
a)y:x*1
b)y:x
c) y: -x* 4
d)y:7-2x
e)y:-4x
Í) y:3x * 1
s)y:!"*z
h) y:2-3x
uir, no plano cartesiano, o grá_
das seguintes funções polino_
3 Num mesmo plano cartesiano, trace as retas
que representam os gráficos das funções y : x * 3
e y : x - 2. Como são essas duas retas? paratetas
4 Um carro se movimenta em velocidade cons-
tante segundo, a fórmula matemática
assume apenas valores reais não-negativos).
5 Usando o plano çartesiano, determine as co-
ordenadas dopont{ de encontro das retas que
representam os gráficos das funções y : 6 - x ey:x-2.@,a I
um mesmo plano cartesiano,
nçõesy:3x-2ey:2x-7.
ndo o gráfrco, responda:
a) As retas que você traçou são concorrentes ou
paralelas? concorrentes
b) Se são concorrentes, quais as coordenadas do
ponto de encontro das duas retas? rr, rr
xa_rclcl(,9
142
3)Lero d,a[w
d,ele yatt
nçao poLinottnial,
Ovalordonúmerorealx,paraoqual setemy:0(ouax+b=Q),denomina-sezeroouraizda
funÇão polinomial de 1e grau.
Exemplo:
Vamos determinar o zero da função definida por y : x - 3'
Algebricamente, devemos fazer x - 3 : 0 e resolver a equaÇão obtida:
x-3-0--------* x:3
Geometricamente, construímos o gráfico da funÇão.
Pelográfico,vemosquey:0nopontoassociadoaoparordenado(3'0)'
Logo, o zero da função é dado pelo valor x : 3.
Você pode notar que, geometricamente, o zero da função está associado ao ponto em que a
reta corta o eixo x.
L Determine, algebricamente, o zero de cada
uma das seguintes funções:
2 Fazendo o grâÍtco, dê o zero de cada função:
a)y: x*1x- I
b)y:-x*3x:s
c) Y : 2 - x ^:z
a)y:x-6x:o d)y:2x-3"-
b)y:-x-4 *= + e) Y:1--5x *:
c) y: -x*10 x ro f) y: )-"*Z
3
2
1
5
x: -6
143
,t
0 )(
)
-2
[tco deun^a, [unçao
yau,
consideremos os gráficos das funções polinomiais de 1s grau a seguir;
Y:--x+3
Você nota que:
) na funcão y : 2x - 3,o coeficiente a é um número real positivo, (a > 0).
Essa funcão é crescente (aumentando o valor de x, aumenta o valor correspondente de y).
) na funcão y : -x + 3, o coeficiente a é um número real negativo (a < 0).
Essa função é decrescente (aumentando o valor de x, o valor correspondente de y diminui).
Daí podemos dizer:
Função crescente
Uma função y : ax + b é crescente quando a > 0.
Esboço:
Função decrescente
Y:2x-3
Uma funcão v : âX + b é decrescente quando a < 0.
Esboço:
144
Tomando como base esses conhecimentos, podemos fazer as seguintes análises:
) Dada a funÇão Y : X - 5, dar os valores reais de x para os quais:
a)y:0 b)y>0 c)y<o
Vamos calcular o zerc da função:
x-5:0 = x:5
Como à : I ) 0, â funçãoé crescente.
Desses dois fatos, temos o esboço:
V:0Pâíâx:5
y > 0 para ointervalo {x e n I x >
y < 0 para o intervalo {x e n I x <
) Dada a função Y : _3x + 5, dar os valores reais de x para os quais se tem:
a) y:0 b)y>0 c) y<0
Calculando o zero da funçã0, temos:
-3x+5:0
-3x : -5
63x:5 = x:* 5
Como â : -3 < 0, a iunção é decrescente.
Desses dois fatos, temos o esboço:
6
Y:0Parax:ã
y>0paraointervalo
y<0paraointervalo
emcadaumadasseguintesfunções,osvaloresreaisdexParaosquaissetemY:0,y>0ey<0:
fc,loll-jtn
ao
=ãl
Cr
Ili
fila
F
E.
5)
5)
a)Y:x-6
b)y:x*7
c)y:-x-1
d) Y: 6x- 6
e)Y:2x-3
Í) Y:1'o-2x
fÊ'
g)Y: -3x-12
ft* 
ando o qw,-apr..nd<u
I Localtzeno mesmo plano cartesiano os pontos:
a) M (-2,5) c) P (5, -4)
b) N (-4, -1) d) Q7,o)
2 Desenhe o quadrilátero que tem como vérti-
ces os pontos A(-4,7),8 (-4, -2), C (2, -2) e
D (2,7). Feito o desenho, responda:
a) Qual o quadrilátero que você desenhou no
plano cartesiano? rerênsuio
b) Qual éaâreadoquadrilátero? ,8
eus vértices nos pontoE
" 
D (3, 0). Faça o dese-
seguir, determine o seu
perímetro. 12
5 Uma função é definida pela fórmula mate-
mática y : 1- 7x, sendo o seu domínio dado
por D : lR. Nessas condições:
a) Qual é a imagem do número real -3 pela
função? 22
b) Qual é a imagem do número 0,2 pelafunçt??*
c) Qual é o número real x cuja imagem pela fuÃ-
ção é -47? 6
6 Atarifa de uma corrida de táxi, numa deter-
Sendo y o preço a pagar pela corrida e r o nú-
mero de quilômetros percorridos, a tarifa final
passa a ser definida pela função y : 2 * 0,53x.
Nessas condições:
a) Quanto se deverá pagar por uma corrida em
que o táxi percorreu 16 km? r0,48 rea,s
b) Quantos quilômetros percorreu o táxi se o
passageiro ao descer pagou 8,36 reais pela cor_
rida? 12 km
Resposta ex
a) Para qual valor real de r temos y : O? x:3
b) Para quais valores reais de I vamos ter valo-
res positivos de y (y > 0)? r > 3
c) Para quais valores reais de Í vamos ter valo-
res negativos de y (y < 0)? x .:3
A figura a seguir nos mostra o gráfico da fun-
y : -x * 2. Nessas condições, responda:
a) Para qual valor real de x temos y : 0? y :2
b) Para quais valores reais de Í vamos ter valo-
res positivos de y (y > 0)? x < 2
c) Para quais valores reais de Í vamos ter valo-
res negativos de y (y < 0)? x > 2
9-Determine, algebricamente, o zeÍo de cada
uma das funções:
a)Y:x-7 c) y
b) y:4 * 8x d,) y
A figura a seguir nos mostra o gráfico da fun-
y -- x - 3. Nessas condições, responda:
Dê, em cada uma das seguintes funções,
ores reais de x para os quais se tem y : 0,
ey(0:
c)y: )-*+z
d)y: -2x*6
ô- ^-cx-z
1_: , xf 5
a) y:x-9
b)y:-5x+20
resposias no Í nal do i'rro
146
Iratando Víveremos cada vez 
maís
L C^ Veja alguns trechos da matéria assinada por Alexandre Kalache e
/nfOfnnaçaO publicadanárevista ÉpocadeT/7/2001.
O maior desafio do 
novo milê-
,t";tu t;;antir quatiaade 
de vida
aos sobreviventes 
-- nós' adultos
ã"i"i", *"sos de amanhã' 
Na mar-
;;;"; países' os governos 
não se
ã"; conta de que a PoPulacão
;'"il. É m2025'1 5% dos bra-
sileiros serão idosos'"'"ôuuriaude de vida em qualquer
id"d: - t;bretudo 
na velhice --
está condicionada 
à caPacidade
ffi ;;;i,'^9:P'11'Juili iS-
estirna .- em última t
;".'Eir sua Declaração 
de Brasília ;' ento ativo' a Or- t
de Saúde
1996: "Um
lm fecurso para
sua família ' Para a 
comunidade' 
il
PaÍà aeconomia"' 
,)
Em 2020, a população acima de 60 anos terá triplicado
e a de jovens de até 15 anos diminuído (em %)
até'15 42
anos
a)
b)
c)
d)
Fonte: IBGE.
Analisando esse gráfico, determine:
O número de brasileiros com mais de 60 anos err-7999, considerando a população do país
estimada em 160 000 000 de habitantes. l2 Íroc 100
O número de brasileiros com mais de 60 anos ern2O2O, supondo que a população do Brasil seja,
nessa época , de 200 milhões de pessoas. 24 ooc 000
A redução percentual de jovens de até 15 anos, de 1940 até 2020. 11 1't.
A provável população desses jovens ern2020. 1 e00 000
147
fo B"^s" ENVELHECE
hr-.-..
mals de | 4
60 anos
ttm
Você já àeve ter
viato uma aurva que lembra
uma parâbola.
*
uradrAli
Y
.J
J-J'-
' >
-+ .-=j.-
Considere as seguintes situacões:
Calcular a soma dos 7 primeiros números é rápido:
Sz:1+2+3+4+5+6+7 ou Sz:28
x Formacão triangular
1
0s números dados por somas como essas podem, apartv de uma disposicão conveniente depontos, representar um triângulo. Por isso esses números são conhecidos como números triangularei,
Veja no quadro que a cada valor de x corresponde um único valor de S*, soma dos x primeiros
números inteiros positivos.
Epara obter a soma dos 100 primeiros números inteiros positivos, você acha que é rápido?
conta-se que um professor de Gauss, um dos grandes matenráticos que a humanidade conhe-
ceu, achava que não. Tanto achava que teria pedido aós alunos o cálculo de d,06, num dia em que elesestavam bastante "agitados". lmaginou que esse cálculo os manteria quietos por um bom tempo.
13
28
2
3
4
5
6
7
s*
1
3
6
10
15
2t
150
Mas eis que, em poucos minutos, o menino Gauss levava ao mestre a resposta correta:
Veja como Gauss raciocinou:
Sroo: 1 + 2 + 3 +
Sroo:100+ 99 + 98 +
+97+98+
+4+3+
4+
97+
99 + 100
2 + 1
100 parcelas
100 parcelas
2 .S,oo : 101 + 101 + 101 +
2'S,oo:100'101
(\ _ 100'101 ou§Ioo : 
2
Sroo : 5 050
101+ +101+101+101+101 = 100 parcelas
100 .(100 + 1)
Sroo
O raciocínio de Gauss, aplicado para asoma dos x primeiros números inteiros 
positivos, nos faz
associar a cada número x um único número y dado por
x(x+l) x2 xY: -T ouY: 2 * 2'
I potinômio do 2e grau
2t Se observarmos a figura seguinte, veremos que a área y do retângulo ABCD é dada em função
da medida x indicada na figura:
cD
A
Y:X'x+7 'x+4'x+7'4
y:x2+7x+4x+28
v:
polinômio 6s /e Srau
151
@
Nas duas situacões apresentadas, pudemos observar que o 2e membro daformulamatemáticaque define a função é um polinômio de 2e grau na variável x.
lsso nos leva a dizer que:
Funcão polinomial de 2e grau ou funcão quadrática é toda funcão definida pela
fórmulamatemáticay: rx2 + bx + c, com a,becnúrnerosreaise a+0.
Assim, são funções polinomiais de 2r grau:
y:x2+2x-B y:x2-9 Y:-2x2+rG-
Y:-x2 +9x-18 y:4x2-4x+1 y:-3x2 -2x+I
Considerando as definições dadas e os conhecimentos que você já tem, observe os exemplos:
1 Dado o número realT,qual é a sua imagem pela funcãoy : 3x2 _ 4x.r l?
Nesse caso, temos x : 7. Daí:
y:3U)2-4(7)+1--_> y:747-2g+ I ------+ y:1.20
Logo, a imagem do número real 7 , pela f unção , é l2O.
-2 ,Dadaafuncão definida pory: x2 + 5x - 4, determinaro número real xcuja imagem, pela
função, é 20.
Nesse caso, temos y : 20.
Daí, podemos escrever:
x2 + 5x - 4: 20 
- 
x2 + 5x - 4 _ 20 : O----_-> X2 + 5x _ 24 :O
Vamos, entã0, resolver a equacão de 2o- grau x2 + 5x _ 24 : O.
Nessa equacão, temos:
â:1 b:5 c:-24
A : b2 - 4ac : (5)2- 4 . (i) . (-24) : 25 + 96 : 727
v_ -btía -(5) t^lt^ -5t11
" - --2a 2.fi) : -- 2
Logo,temosx: -8ouX:3.
152
AsdÍagonaiseafunçáo
Observe os polígonos e suas diagonais'
/t"to ícovrn fo"a,
1. Copie e complete a tabela no seu caderno'
Pentágono
?
a
5
4'7 - ô-2 -'
?
?
7.Ã' - :'ta.2"
?
?
,or, : ru
Heptágono
?
a
?
8
J
?
a
?
a
Eneágono
Decágono
?
a
?
a
6
?
a
A1
, Considere um polígono de n lados.
a) Quantos vértices ele tem? n
b) Quantas diagonais Partem de cada vértice? n - s
.) Ar diagonais Ãr.A.5 e ÃrA, d"rre.t ser contadas como se
fossem duas diagonais diferentes? rão
d) O número de diagonais desse polígono de z lados é dado
por um polinômio do 2q grau? Quat? 5,6 -l h- rL ^ + - +" 
As
3. O númeroy dediagonais d.e um polígono é dado em função do número r de lados do polígono'
a) Qual é o número y de diagonais quando o polígono temx 
: 8 lados? zo
b)Qualéonúmeroxdeladosquandoopolígonotem9diagonais?o
Polígonos Quantidade
de vértices
Quantidade de
diagonais em
cada vértice
Total de
diagonais
1
2
153
que deÍineerrrru.rçaãi' \|---_---_-]Jl
? !::.ly do retângu- ^ 6 x s
O volume y do paralelepípedo é dado em
ção da medida x in-u rLuruq ^ It l-
dicada nafigura. Qual é
^ 
ÍA-*.-7^ *^L^---.1:
4 Dada a ftrnção y : x2 - 15x * 26, determine
elimagem do número real10 pela função. z+
da a função y : g*' - x - 3, qual é a ima-
o número red f peh função? z
Usando a fórmula descrita na 1a situação do
ítulo:
a) calcule a soma dos 1 000 primeiros números
inteiros positivos. 5oo 5oo
b) calcule o número inteiro positivo para que S,
seja igual a 66. l
y dos x primeiros números ímpares
uma função definida pela fórmula
y:x2'
a) Calcule a soma dos 100 primeiros números
ímpares posillivos. ioooo
b) Calcule a quantidade dos primeiros núme-
ros ímpares positivos cuja soma é256. ro
c)-.Qual é a maior parcela (número ímpar) da
adição referente ao item b? 3r
a fórmula matemática
ne essa função.
3 A área y da reglão
Quadrados na função guadrátÍca
Observe a seqüência de figuras:
I
figura 1 figura figura 3 figura 4
1. Copie e complete a tabela no caderno.
Figura 1
1
1
0
J
9
6
Esr
tÉ.
4
2
76 25 ll+s É o+
»17 )B 8
[l,qz E soQuadradinhos amarelos 6
, A figura n tem:
a) quantos quadradinhos?
b) quantos quadradinhos vermelhos?
c) quantos quadradinhos amarelos?
Escreva a fórmula matemática que fornece a quantidad e y do número de quadradinhos amarelos
em função do número n da figura.
J.
154
tmd,rintica
Já vrmos que o gráfico de uma função polinomial de 1e grau, no plano cartesiano, é uma reta.
Veremos, nos exemplos a seguir, qual a figura que representa o gráfico de uma função 
polinomial
de 2e grau ou função quadrática.
1 Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y : x2 - 4.
Vamos atribuir alguns valores reais arbitrários para x; neste caso, atribuímos os valores -3,
-2,0,2,3, por exemPlo.
Construindo a tabela para determinar os pares (x, y), temos:
(-3, 5)
(-2,0)
(0, -4)
(2,0)
(3, 5)
-3
-2
0
2
3
5
0
-4
0
5
Vamos localizar esses pontos no plano
cartesiano.
O conjunto de todos os pontos (x, y), com
x real e y : x2 - 4, é o gráfico da funçã0, repre-
sentado por uma curva chamada parábola. 0
ponto V, que você observa na figura, chama-se
vértice da parábola.
01
155
2 Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y : -xz + 4x.
lnicialmente, vamos construir a tabela para determinar alguns pontos (x, y):
Localizando esses pontos no plano cartesiano, temos:
0 conjun^to de todos os pontos (x, y) com x
real e y : -x2 + 4x, que é o gráfico dá função,
nos dá a parábola da figura ao lado.
Observe, novamente, o ponto V, que se cons_
titui no vértice da parábola.
Você pode notar a existência de um ponto Vem cada parábola que foiconstruída nos exemplos
dados: o vértice, cujas coordenadas vamos indicar por (xu, yu).
No ls exemplo (y : x2 - 4) vimos que V (0, -4).
Pode-se demonstrar (e você verá essa demonstracão no 2e grau) que:
go, v (0, -4).
Yu:x2-4- (o)2- 4:-4
No 2s exemplo (y : -x2 + 4x), vimos que V (2, 4).
0bserve:
v_-b -(4) -4 ^nu- 2a - 2.cD: -7-:'
yu : -X2 + 4x : -22 + 4. (2) : -4+ 8 : 4
1
I
Finalmente, observando o gráfico da função
y : x2 + 2x - 3, vemos que V (-i, -4).
-b -Q\ -2 1xu:2à:2\l): 2 --r
yv: X2 + 2x- 3 : (-l)'+ 2.(-1) - 3:
:1-2-3:-4
Logo,V(-1,-4\.
0 vértice tem uma função importante na pa-
rábola, conforme veremos a segulr.
' termine as coordenadas (x, Y) do vértice
auma das parábolas que representam gra-
ficamente as seguintes funções:
a)y:x2+6xt8t:, 1)
b)y:x'- 2*-Brr,-gt
a
c) y: -x'+ 8x-15,+',
e)y:x'+6xf-11.r:zt
f) y : -*' + 36 ro, aot
g)y: -x'+7x-70 ( +)
h)y:r'-10*+24\5, 1)
1) y:2x2-4x-1tr,-st
j) Y:-4x2-2"1);)
2 (UMC-SP) Uma loja fez campanha publici-
târía p ar a vender seus produtos importados' Su-
ponhã que Í dias após o término da campanha,
ãs vendas diárias tivessem sido calculadas se-
gundo a função Y : -2x2 * ZOx+ 150, conÍor-
me o gráfico.
y (unidades)
yv
150
Calcule:
a) Depois de quantos dias (x,,), após encerrada
a campanha, a venda atingiu o valor máximo. s oi.'
b) Depois de quantos dias as vendas se reduzi-
ram a zero (y : 0). 15 dlas
A construção do gráfico de uma função quadrática no plano cartesiano não e tão simples como
construir a reta, que é o gráfico da função de 1e grau.
Na construção de uma parábola, é conveniente seguir um roteiro para obter de forma clara e
precisa o gráfico desejado. Veja esse roteiro:
7-.
xarclcl05
157
\
\
l-1 (
I
I
1e) Determinamos as coordenadas do vértice: V (x,, y,).
2\ Organizamos uma tabela atribuindo à variável x alguns valores menores que xv e alguns valores
matores que xv.
3s) Marcamos os pontos (x, y) no plano cartesiano.
4s) Unindo esses pontos, construímos a parábola.
Veja os exemplos a seguir.
I Construir no plano cartesiano o gráfico da função y : x2 + 2x _ 3.
lnicialmente, vamos determinar as coordenadas do vértice.
v_-b -(A -2 1nu- 
2a - 2\t): 2 :-r
y,:x2 + 2x- 3: (-t)2 + 2.(-1) - 3: I - 2- 3: -4
)rganízamos a tabela: Marcamos os pontos(*,y),
0
-3
-4
-3
0
-xz + 4x - 5,
-3
-2
-1
0
1
Vaío's construir, no plano cartesiano, o gráfico da funcão y :
Determinando as coordenadas do vértice:
Construindo a tabela:
-5
-2
-1
-2
-5
Marcando os pontos: Construindo o gráfico:
0
1
2
3
4
Construímos o gráfico:
I
158
I
,l
Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da funÇão Y 
: x2 - 4x + 4.
Determinando as coordenadas do vértice:
-b -(-4) 4 _.:-:'
^v - za 2'(1) 2
yu:\2 -4x+ 4:(2)2-4.Q) +4:0
Construindo a tabela:
Construindo a tabela: Marcando os Pontos:
Construindo o gráfico:
Construindo o gráfico:
v
4
1
0
1
4
x
0
1
2
3
4
Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da função Y 
: -v,2 - 2x + 3'
Determinando as coordenadas do vértice:
-b-?21 2,'1xu: za:2.çl\:-1 --r f vt-t,+l
Yu: -X2 -2x+ 3: -(-7), -2.(-1) + 3:4J
x
-3
-2
-1
0
1
cartesiano:
a)Y:*-t
b)Y:-*'
c)Y:x2+2x-8
d)y:x2-zx
e) Y: *'-2*+ 4
f) y:-*2+6x-9
v
0
3
4
3
0
Dadas as seguintes funções, dê as coordena-
do vértice, organizeuma tabela convenien-
te e faça o gráfico de cada funçáo no plano
2 (Enem) Considerando o modelo anterior-
mente descrito, se o público-a1vo é de 44 000 pes-
soas, então a máxima rapidez de propagação
ocorrerá quando o boato for conhecido por um
número de pessoas igual a:
a) 11 000 c) 33 000
- b) 22 o0o d) 38 ooo
159
e) 44 000
1
0 4 x
I
t;
3 01 x
v
\
\ I
1
0
\
I
-sl )- 1 0 \1 x
boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essamente proporcional ao número de pessoas desse púb1ico que conhecem o boato eporcional também ao núm,ero de peisoas que não à conhecôm. Em outras palavras,
P o público-arvo e x o número de pessoas que conhecem o boato,
k é uma constante positiva característica do boato.
presenta a função R(x), para x real, é:
c)a) e)
um caminhão, andando numa estrada que liga as cidades á e B, teve sua
velocidade variando com o tempo, segundo ó gÍáfIco a seguir. As verocidades
positivas indicam que ele caminhava de Apa,rí B,e as neg"ativa s, d.e B para A.
v (km/h)
a)
31ffi1t;trff:'#". 
começou a ser observado, qual era a velocidade do caminhão e em que
Nessa experiência, o caminhão parou arguma vez? Em que instani:e? , : ,r ,
Nessa experiência, durante quanto tempo o caminhão foi no sentirfo da cidade A para B? Edurante quanto tempo ele vóltou de B para A? 1....1 , ,
Aproximadamente, em que instante o caminhão atingiu maior velocidade, quando estava indoda cidade B para a cidade Á?
b)
c)
.d)
Fonte: Reaista de Educação Matemrítica,SBEM,
ne 8, ano 7.
.-
lratando
lnlof^oç,^o
05 doI
Le yaw
wnçao po[,i nottnia],
Dada a funÇão definida por y : axz + bx + c, os valores reais de x para os quais se tem
y : 0 (ou ax2 + bx + c : 0) são denominados zeros da função quadrática'
Algebricamente, os zeros da função quadrática são obtidos quando resolvemos a equaÇão de
2t grau'aii i n* * c = 0. O discriminante (À) da equaÇão é, também, o discriminante da funcão:
Se  > 0, a função Y : ax2 + bx + c tem dois zeros reais diferentes'
Se A : 0, a função Y : ax2 + bx + c tem um único zero real'
Se A < 0, a funcão Y : axz + bx + c não tem zeros reais'
Observe os exemPlos:
Determinar os zeros da função Y: x2 + 2x - 3.
x2+2x-3:0
à:l b:2 C:-3
A:b2 _ 4ac:12)2 -4'(1) '(-3) :4+L2:16
-2+4x':
2
-2'- 4
-nt^,f -zt^Eí -2x4
2.fi)
x":
Logo, os zeros da função são os números 1 e -3.
Vamos determinar os zeros da função Y : -x2 + 4x - 5'
-x2 + 4x - 5:0
a--1 b:4 c:-5
A : b2 - 4ac : (4\2 - 4' (-1)' (-5) : 16 - 2o : -4
Como L,: -4 < 0, a função não tem zeros reais.
Determinar os zeros da função Y : x2 - 4x + 4.
x2-4x+4:0
Na equaÇão acima, temos:
a:1 b: -4 c:4
2
2
-6^
^JZ
X-
2a
A:b2 -4ac:F4)2 -4'(1) '(4) :16-16:o
-b -(-4) 4 õ_-:^- 2a 2.0 2 '
Logo, a funcão tem um único zero real, que é o número 2.
1ó1
Geometricamente, os zeros da função correspondem aos valores de x nos pontos de interseccão
da parábola com o eixo x, pois nesses pontos tem-se y : 0.
Exemplos:
I No gráfico dafuncãoY: x2 + 2x- 3, a parábola corta o erixoxem dois pontos.
2 No gráfico da funcão y :
a parábola não corta o eixo x.
-x2 + 4x - 5, 3 No gráfico da funcão y : x2 - 4x +
parábola toca o eixo x em um só ponto.
4,a
Essas condições têm relação com o discriminante a da seguinte maneira:
Se A > 0, a parábola corta o eixo x em dois pontos.
Se A < 0, a parábola não corta o eixo x.
Se À : 0, a parábola toca o eixo x em apenas um ponto, ou seja, ela tangencia o eixo x.
162
podemos fazer um resumo dessas condições, usando um srmples esboço do gráfico da funÇão
quadráttca:
Acompanhe mais esses exemPlos.
1 Verificar se a parábola que corresponde ao gráfrco da função Y : x2 - 3x - 4 corta ou não o
erxo x.
x2-3x-4:o
a:l b:-3 C: -4
A : b2 - Aac: (-3)2 - 4'(1) '(-4) :9 + L6:25
Como^>0,temos:
3+5 8 :4X,:
-Otrf -(-3) t {25X: 2.$)2a
3-5 -2 -;.ttl 
- 
-: 
-: 
-l^-^^ z/-
Sendo 
^ 
> 0, a parábola corta o eixo x nos pontos
163
de coordenadas (-1, 0) e (4, 0).
A>0
A parábola corta
o eixo x em 2 pontos.
^<0A parábola não
corta o eixo x.
a:0
A parábola tangencia
o eixo x.
xoUV
0u
2 A parábola que representa o gráfico da função y : -x2+ 5x _ l0 corta ou não o eixo x?
-x2 + 5x - 10 : 0
x2-5x+10:0
â:1 b:_5 C:10
À: b2 - 4ac: (-5)2 - 4.(t) .(10) :25 _ 40: _15 < 0
Como A < 0, a parábola não corta o eixo x.
'l u4o
2 Verifiq-Lre se a parábola que representa o grá-L Determine, algebricamente, os zeros de cadauma das funções de 2a grau:
A
d) y: x'+ 4* * 8 NaoremzerosTeais
e) y: -x'+ x*6 2e3
DY:9x2-7 - "+
dy:-4x2+4x-7 +
h)y=6x2+6x0"-t
fico de 
"uáu 
r-u àr; ;"g;il* fáç*r;ffi;
não o eixo r:
. Cortà ros oontos 16, 0) e r. 4, O) Cortê nos oo-.ros Í2, 0r e r7, O,a)y:x'-2x-24 c) y: -*'+9x_ 14
b) y:x'-6x+g d)y: xr-7x+13
Corta apenês no ponto (3, O) Náo corta o erxo x
3 Sem Íazer o gráÍico, determine as coordena-
das (x, X) do_s pontos em que a parábola que re-
presenta cada uma das funções corta o eixo x:
a)y:*t-16 /or e,4()) ,.í7
b) y : -x' + 12x - 36 o o, 
,r, ürr(
c)y:3xz- 27x oo^7o ÍJ-
35 LEt,,d,ando cnr concc^vidada- da pc^r*thol,a-
Considere as funcões quadráticas e os esbocos dos gráficos de cada uma delas:
Em todos esses gráficos, notamos que a > 0 e que a parábola tem a concavidade voltada para
crma.
164
Y:x2-9 Y:2x2-3x+1 y:4x2-4x+l
Em todos esses gráficos, notamos que a < 0 e que a parábola tem a concavidade voltada 
para
baixo.
Dizemos que:
Quando a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Quando a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
sem fazer o gráfico e observando apenas o coeficiente a,,veriÍique se a parábola que 
representa o
fico de cada uma das seguintes funções tem a concavt-Mde voitada para cima ou para 
baixo:
a) y:x'_ 7xt10 a-T>0i paracima c) Y: _ x2+25 ": 1<0i parabaixo e) y: -:'-'!::!7,à,"ou,*o
b) y: 3xz -7xt 4 a-3>0;paracrma d)l:..Ílr2.,1í-"., Í) y:7x2 -2xa=I>0,Paracima
2 Osesboços seguintes representam gráficos de uma função quadrática definidos pela fórmula
y:axz*bc*c,coma*0.
a)
a>0
^<0
e)c)
a<0
a<0
a>0
^>0
a<0
a>0
a<0
a:0a>0A-0
Para cada esboço, escreva o sinal do coeficiente a e do A'
Y:-x2+4x y---x2+4x-5 Y:-x2+10x-25
3LPonto da- nníninno ott ponto de nnixittno
Afigura nos mostra o gráfico da função y : x2 + 2x _3, onde a > 0.
Percorrendo o gráfico da esquerd a para a direita, notamos que os valores de y vão diminuindoaté se chegar ao vértice. Depois os valores de y vão aumentando.
Nesse caso, dizemos que o vértice é o ponto de mínimo da função.
Agoravejaestaoutrafigura,quenosmostraográficodafunçãoy:-x2+4x_ 5,ondea<0.
Percorrendo o gráficn, da esquerd a para a direita, notamos que os valores de y vão aumentandoaté se chegar ao vértice. Depois, os valores de y vão diminuindo.
Nesse caso, dizemos que o vértice é o ponto de máximo da funcã0.
Então:
Quando, ;' 0, a funcão y : ax2 + bx + c tem um ponto de mínimo no vértice.
Quando a < 0, a funcão y : ax2 + bx + c tem um ponto de máximo no vértice.
166
Observe os exemPlos a seguir.
Afunção V : x2 - 3x - 18 tem ponto de mínimo ou ponto de máximo? Dar as coordenadas
do ponto,
pela funÇão dada, vemos que a : 1 > 0. Logo, essa função tem um ponto de mínimo, cujas
coordenadas são:
-b -(-3) 3\u: 2a: 2\t\ :z
9-t8-72 __ 81
4
y,: X2 - 3x -,r : (+)' -, (+) - 18 : + - * - tr:
Logo, a funÇão tem ponto de mínimo de coordenaoas 
í1 - 81 )(2' 4 )
2 A funÇão y : -x2 - 2x + 24lem ponto de mínimo ou ponto de máximo? Dar as coordenadas
do ponto.
pelafunção dada, temos que a: -1 < 0. Logo, essafuncãotem um ponto de máximo.
As coordenadas desse Ponto são:
_b _(_A : 2 :_1xr: 2à: 2.?l): 1 -
yv : -X2 - 2x+ 24 : -(-D2 - 2. (-1) + 24 : -1 + 2 + 24 : 25
Logo, a função tem ponto de máximo de coordenadas (-1,25\'
éy : -f * 4x. Quais são as coordenadas do pon-
to no qual esse dardo atinge sua altura máxima?
\2,4)ordenadas desse ponto:
a)y:x'-Bx+6 e)
ponto de mínimo; (4, 10)
b)y: -*'+4x.r5 f)
ponto de máximo; (2, 9)
c) y: -6x2 + 6x g)
oon,o o" már ro: Í ] :l
d) Y: x'- 16" ' ' h)
ponto de mínimo; (0, 16)
y:x2-4x-45
ponto de minimo, (2, -49)
y:3* + 6x
ponto de mínimo; ( 'l , -3)
Y:-x2+9
ponto de máximo; (0, 9)
y:5x2-8 +3
oonto oe minimo; -a t )' s' s]
2ÍJmdardo é lançado da origem, segundo um
referencial dado, e Percorre a trajetória de uma
parâbola. A função que rePresenta essa parábola
3 Você sabe que a função Y : 3x2 - 6x - 2 tem
um ponto de mínimo. Quais são as coordena-
das desse ponto de mínimo? lr, -sl
fique se as seguintes funções têm ponto
mínimo ou ponto de máximo, dando as co-
167
31 Anali 5an ooU = cü, + hx + c
qnanto ao
Considere os exemplos a seguir.
I Dada a funcão Y : x2 - 2x - 8, verifique quais são os valores reais de xparaque se tenha:
lnicialmente, vamos analisar o coeficiente a e o discriminante A da função para podermos fazer
um esboco do gráfico da funcão:
A : b2 - 4ac: (-2)2 - 4.(t) .(-g) : 4 + 32 : 36 > 0
. 2+6X': -2
-btíl -ç2)tfiO 2x6
-:
a)y:g b) y>0 c)y.:0
X_ 2a 2.fi) - 2
x":
Agora podemos fazer o esboco do gráfico e dar a resposta:
Esboço:
B _A
2.
2-6 -4 _.)
22L
y:0parax:-2ouX:4
y > 0 para o intervalo {x e p I x < -2 ou x > 4}
y < 0 para o intervalo {x e rc | -2 <x < 4}
Comoo:1>0,oporábolo
tem o concovidode voltodo
POro ctmo.
A parábola corta o eixo x em dois pontos de abscissas x, e x,,:
-2<x<4
168
2 Dada a função y : x2 - 4x + 4, verifique para quais valores reais de x vamos ter:
a) y:g b)y>0 c)y<0
como a : I > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima.
A:b2 - 4ac:?4)2 -4'(i) '(4) :16-16:0
A parábola tangencia o eixo x:
__ -b _ -(-4) _ 4 _)^- 2a 2.0) 2
Esboco:
i
Y:0Pàtàx:)
y>0para{xenlx+2}
y nunca será negativo
Dada a função y : -x2 + 2x - 10, determine para quais valores reais de x vamos ter:
a)y:0 b)Y>O c)Y'O
A: b2 - 4ac: (2)2 - 4.?1) .(-10) : 4 - 40: -36 < 0
A parábola não vai cortar o eixo x'
Esboço:
Nesse caso, y será sempre negativo para qualquer valor real de x.
169
Como o: -1 < 0,
o concovidode do
porríbolo estó voltado
poro boixo.
Para quais valores reais de x a função y : -5x2 + 4x + 1 é positiva?
como a : -5 < 0, a concavidade da parábora está vortada para baixo.
A: b2 - 4ac: (4)2 - 4.(-il.(1) : 16 + 20:36
A parábola corta o eíxo x em dois pontos:
X,:
-G4) t 186 -4 x 6
2. (-5) -10
_ 2 __1
-10 5
-10-10 - 
rX,, :
Esboço:
Pelo esboço do gráfico, a funcão é positiva para o intervalo -|. x < I, ou seja:
y>0ruru {*e Rl-1.*.tl'L'5-l
5 Resolverainequacão-9x2 + 6x- 1<0.
A inequação dada é uma inequacão de 2e grau na incógnit a x. para resolvê-la, vamos aplicar oque aprendemos com a análise da função quadrática quantoão sinal. Assim, temos:
como â : -9 < 0, a concavidade da parábora representada por y : -9x2 + 6x - 1 estávoltada para baixo.
A:b2-4ac:(6)2-4
-b -(6)"- 2a:7.p;:
Esboço:
'(-9) .(-1) : 36 - 36 : 0, logo a parábola tangencia o eixo x:
-6:1
-18
1
3
como a inequação pede varores de x tais que y < 0, a sorucão dessa inequacão é:
,: {*eRlx.+}
170
6 Determinar os valores reais de xparaos quais o produto (x - 7Xx + 3) é maior que 11.
Pelo problema apresentado, temos:
(x - 7Xx + 3) > il
x2-4x-27>71
x2-4x-21 -11 >o
X2 - 4X - 32 > 0 --------+ ínequação de 2e grau
Comoâ:1>0,aconcavidadedaparábolarepresentadapory:x2-4x-32estávoltada
para cima.
A: b2 - 4ac:F4)2 - 4.(1) '(-32):16 + t2B:144>0
A parábola corta o eixo x em dois pontos:
-btJ^ -(-4) t\844 4xl2
*':!*:*:,
X_ 2. t)
X,, : :_4
nos pede valores reais de x para os quais temos y > 0, a solucão dessa
S:{xeRlx<-4oux>8}
7Xx + 3) é maior que 11 para {x e IR lx < -4 ou x > 8}
171
Esboço:
Como a inequaÇão
inequaÇão é:
Então o produto (x -
xarclcloS
Para quais valores reais de x a funçàoz'x -x-be:
a)nula(y:0)? .2oux-3
b) positiva (y > 0)? ' € : r ..: .2 ou r-: 3)
c) negativa (y ( 0)? 1, e . -2. r 3i
2 Dada a função y :9x2 - 8x - 1, determine
os valores reais de x para os quais se tem:
a)y:g* ] ",,=r
b)y>0{e. , i
c) y<0 {'=,' 'r. r}
3 Dada a função y : -xz -l 5x, determine os
valores reais de x pata que se tenha:
a) y:0 r=oorr=b
b) y>0 l. i r)-r ..)
C) y<0 {re . x:oôLrx:5)
4 Sabendo que y : -x2 * 10x - 25, determine
os valores reais de x para que se tenha:
a) y:0 " s
b) y > 0 i',,,,,.ulefenrosy,-o
c) y<0 {re-- r=si
5 Sendo dada a função y : x2 - 6x -l15, ana-
lise essa função quanto ao sinal.
L 'f r ., -: será pos i'v? r-ara qua qL,er va c, real de :
6 Sendodadaafunção y:x2 - 9x - 10,calcu-
le os valores reais de x para que se tenha y > 0.''€? x'< 1c.,-,.lO)
7 Exjstem valores reais de x para os quais se
temx2-8x-|16(0? nao
172
stem valores reais de x para os quais a
y : 2xz - x + 3 é positiva (y > 0)i
,_ ii. r< '::ê:..- )r O<..o
Para quais valores reais de x o produto
-7)(x+3)épositivo? \E : \ 3oJ\
Determine a solução da inequação de 2a
x'+3x(0.,.8: -3 :o)
L Dada a inequação de 20 grau
- 7)' + * I 3, determine a sua solução no
conjunto [R. t.. e -. ,.. i c.r i 2l
Para quais valores reais de x a expressão
é meno1, numericamente, que a expres-
-x'+5x-5?,.€. ..4t
Qual é o menor inteiro positivo Í que ve-
a inequação (3x - 1)(x - 2) > 2(xz 1 2)?
L4 Qual é o menor e qual é o maior número
inteiro x que Íazcom que a expressão i - Sx - Ze
Seja menor q].te zero? o ,renor e 3 e o nra cr é 8
Existe algum valor,real de x que verifica a
açào4x'- 3 < 1.2(x - 1)?
Qual é a solução, no conjunto lR, da
ação8(x2 - 3) + 1 < 5(x2 - ú - ez{re; 2 \ ?'
Determine os valores reais de / para os
a área do retângulo seja maior que 9. _ :
x+6
A soma y dos x primeiros números inteiros
sitivos é uma função dada pela fórmula:
lz1Y: zx * z*
a) Qual a soma dos 40 primeiros números intei-
ros positivos? 820
b) Determine a quantidade de números inteiros
positivos quando a soma é270- 2a
2 Para cada função quadrática dada a seguir,
dê as coordenadas do vértice, organíze uma ta-
bela conveniente e faça o gráfico cartesiano:
a)Y:-*'+g
b) y: *'- 5x
a-
c) Y:x'-4x-5
-. ) 1d)Y:x-+x* q
Uma função quadrática é dada pela fórmula
(k - 3)x2 * x. Para que valores de k o gráÍi-
co dessa função é uma tarâbola com a concavi-
dade voltada para cima? k - 3
4 Para cada Íunção quadrática seguinte, veri-
fique se ela tem um ponto de máximo ou de mí-
nimo e dê as suas coordenadas'
a) y : *' - 25 Ponto cle nrín mo, (o' 25)
b) y : -rz + 25 ponro de méxlmo (0, 25)
c) y : -*2 + 10x Ponto de minimo; (5' 25)
d) y : 4x2 + 4x + 1 ponto de 6!1irro, (- , 0)
5 É aada a função y : -xz * 9' Para quais va-
lores reais de x vamos ter:
7 LJrnmíssil é iançado de um submarino e de-
senvolve a trajetória da patábola descrita pela
' t + L"-2.Omíssilinter-fórmulay: -á* 3
rompe a sua trajetória ao atingir um barco que
navega num lago.
a) Para quais valores de x esse míssil voa Íora
daâglua? 1<x<6
b) Que coordenadas (x, y) dão a posição do
barco? (6, o)
€i Determine a solução da inequaçã o I - 36 < 0.
{x€R -6<x<6)
€) A função y : * - z* + 8 é Positiva Para
todo valor real de r. Essa afirmação é verdadei-
ra ou falsa? vercladelra
LO Determine o maior inteiro positivo Í que
verifica a inequação -x2 * 13x - 22> 0. 10
L L Determine os valores reais de .r Para os
quais o volume do paralelepípedo retângulo seja
maior que 20. * > z
a)
b)
Y:0? ": 3oux:3
y>0? {x€Rl-3<x<3)
y<0? {x€rRlx<-3oux>3}c)
(Ei Determine o menor inteiro negativo Í que
verifica a inequação x' + 3x - 10 < 0' -4
173
x-l 3
n^guutoE
p,rz:(conrs
-5à
,3
I
.e
o
OfCl0trrí^|5
L
p
E
I
o
O
õ
I
àz
I
ô
9
.q_
E
s
ê
§
3.
€:
U
!
p
I
I
O pentagrama é um 7olíqono regular
eetrelaào àe ainco ponlae, inecrilo num
penlágono regulan
?itâgorao buoaou expliaar,tambêm, qual eeria
a proporgào geométrica iàeal, eegunào eua
concepçào ào belo, doe aepecloe freicoe dae
coisas naturais,inaluindo ai as meàidae do
aor?o humano. Foi no ?eníaOrama que àefiniu
uma relaçào de proporgào parlicularz a àa
divieào àe um eegmento em méàia e exLrema
razà o, ?o st eri o r m enle, Eu cli d eo à efiniri a es e e
conceilo assim:"1)m eegmento ee àivide em
méàia e extrema razào quanào o eeOYnenlo
toào está ?ara a parte maior, assim aomo
esta última eslá ?ara a menor". = Õ = 1,6100339,.
Deriva ào conceito àe méàia e e*rema razào o que
veio a ee aonhecer como relàngulo áureo, ieto é, um
relângulo auja razào enlre os ladoe maior e menor ê
equivalente a (D = 1,6100Ó39,,, chamaào número
àe ouro,
Apôs a làaàe Média, o uxe de volla
oinleresee peloo aonh güiàade e,
aom ele,o eeluào àas ricao.
LeonardoDaVinci usou as relações
de proporÇão no rosto humano'
lo
1eM).
A pintura ao laào foi
inepiraàa numa vieita que
Monàrian tez a Nova lorque.
Aa Íormaa geométricae àa
pintura ee regem pelae
proporções àa razào àe ouro. New York City, 1941-242, Mondrian.
36 Razao a. proporçao
A ,lao de proporçao e a suf, aptxaçto eru Geometrw são Lcrstante mngas.
. . Aproximadamente em 600 antes de Cristo, Tales, um rico comerciante da cidade grega
de Mileto, desenvolveu um dos trabarhos mais importantes nesse sentido.
Eb observou qLle, num mesmo instante, a razáoentre a altura de um objeto e o compri-
mento da sombra que esse objeto projetava no chão era sempre a mesma para quaisquer
objetos.
lPo, ,r, comerciante, Tales teve a oportunidade de entrar em contato com outros povos.
Conta-se que, numa de suas viagens ao Egito, ele foi desafiado a medir a altura da grande
pirâmide de Quéops.
Usandoum bastão, Tales aplicou seus conhecimentos sobre segmentos proporcionais,
pois a razão entre a altura da pirâmide e o comprimento da sombra õrojetada pela pirâmide(aumentado pela metade do comprimento da aresta da base) ér igual à' razão entre a altura do
bastão e o comprimento da sombra projetada por esse bastão.
176
na HistÍria
Rcaõ^o a-
Já estudamos que arazáode dois números aeb, com b + O,é o 
quociente do primeiro pelo
segundo: a'Oouf.
ABandeira Nacional brasileira, adotada pelo decreto de 19 de novembro 
de 1889, tem largura
igual a 14 modulos e comprimento igual a 20 modulos'
Arazáoentre a largura e o comprimento da bandeira é14 :20 ou *,que é igual a +
A lei ns 5 700, de 1e de setembro de 1971, dispõe: "Poderão ser fabricados tipos 
extraordiná-
rios de dimensões maiores, menores ou intermediárias, conforme as condições 
de uso, mantidas,
entretanto, as devidas proporções".
Em outras palavras, a lei garante que você pode fazer a nossa bandeira com 
qualquer tamanho,
desde que mantenha constanliarazáoentrea largura e o comprimento. Você 
pode desenhá-la com
14 cm x 20 cm, num caderno, ou com 35 cm X 50 cm, numa cartolina' Veja:
: 20 ou +,que é igual a +
#,queéigual 
a +
, verificamos que as razões * , S sao iguais:
1 A razáo entre 14 e 20 é,14
2 Arazão entre 35 e 50 é 35 : 50 ou
Nos exemplos
147
N- to
35_7
50 10
14_35
20 50
1 2 g 4.5 6,7 8,9,10,11,12,13,14'15r16r17r18r19t20
Baseado no desenho modular da Bandeira Nacional'
177
Dizemos, entã0, que as rarões fo ?Ã
74,20,35 e 50.r.,';::::::::,",ilo,.:,.fr%."'mam 
uma proporcão ou' aínda, que os números
Então:
Proporcão é a igualdade entre duas razões.
Quatro números 
-a, 
b, c e d são,..nessa ordem, proporcionais quand o a razão entre os doisprimeiros é igual à razão entre os dois últimos.
a_ c
bd
Em toda proporcão L :
b
, temos:
aed ------* extremos
bec -----+ melos
C
d
Já vimos também algumas propriedades que são válidas para as proporcões:
Propriedade fundamental
AC
b 
: 
d = a.d:b.c
ac
-:b d-
I
) auto dos mejos
I-- -> sextremos
Propriedade da soma
a+b c+d a+b
a :-a o'--b :
Propriedade da diferença
a-b : c-d ou a-b :acb
c+d
ac
bd-
178
c-d
Iratando
ÀbÍ*"t o
' A cidadê
Com a tabela a seguiç podemos Íazer um estudo comparativo do
panorama cultural de três grandes cidades'
População
Teatros
Bibliotecas
'to4U252
63
(10 públicos)
70
(37 são inÍanto-iuvenis)
57-
(4 nacionais e 6 municiPais)
74
(7 especializadas)
134
(15 municipais e '14 nacionais)
197
4
100
63
(80 públicos)
480
82Museus 29
(15 Públicos)
Salas de cinema 89
Circos Dados não
disPonÍveis
lem ainda 3 óp€Ías, í25 catás toatros ê 25 salas dê êspetáculog
Fonte'. Folha de S ' Paulo, 37 jan' 2002'
Com base na tabela, resPonda:
a) Aproximadamente, quantos teatros há, em cada cidade, par o de habitantes? Quantas
bibliotecas? Quantos museus? E quantas salas de cinema? 
e.Paris 27' 35' 63' e3;
b) A razão quantidade de teatros: população é a mesma para são Paulo e Paris? E para Paris e
Moscou? não; não
c) Em valores absolutos, que cidade tem mais teatros, São Paulo ou Paris? E em valores relativos à
população? São Paulo; Par s
d) Em valores absolutos, qual tem mais teatros, Paris ou Moscou? E em valores relativos à
população? Moscou; Paris
e) podemos dizer que as quantidades de teatros de São Paulo e de Paris e as respectivas populações
são, nessa ordem, números proporcionais? náo
f) E* valores absolutos, onde há mais bibliotecas, em Paris ou em Moscou? E em valores relativos à
população? Moscou;Moscou
g) As quantidades de bibliotecas de Paris e de Moscou e a,s respectivas populações são, nessa
ordem, números ProPorcionais? nao
h) As quantidades de salas de cinema de São Paulo e de Moscou e as respectivas populações são'
nessa ordem, números proporcionais? náo
i) E* valores relativos à população, que cidad.e possui mais museus, são Paulo ou Moscou? Moscou
179
j1 Razao d,a- doiE 5qyn^qnfog
Chamamos razáo de dois segmentos arazão ou quociente rentre os números que exprimem asmedidas desses segmentos, tomados na mesma unidade.
Veja alguns exemplos:
I Determinar arazão entre os segmentos AB e CD, sendo ,embre-se:ABrepresentaAB:6cmeCD:l2cm. L(
a À'edidado segmento 
AB '
.o
AB61_:_:_
CD122
IL--> ratzao procurad,a
2 Dados wIN e PQ, cujas medidas são, respectivamente, .,,!2 cm e 5 cm, determinar a razao
entre MNe pQ.
MN:,7
PQ5
l------> razão ltrocurada
3 Qual a razão entre os segmentos nB e DE, sabendo-se que AB : 2m e DE : 60 cm?
Nesse caso, precisamos, inicialmente, transformar as duas rnedidas na mesma unidade:
AB:2m:200cm :10 t2
DE:60cm AB_200:20_10
DE 60-6 -3
I'| > razao procurada
Você pode perceber, pelos exemplos, que a razáo entre dois segmentos é sempre um númeroreal positivo.
Sendo um número real, a razão pode ser:
' ) um número racional. Neste caso dizemos que os segmentos são comensuráveis.
AB:1_
CB - 2 
- 
AB e CD são segmentos comensuráveis
i , número racional
AB:10
DE - 3 
- 
AB e DE sao segmentos comensuráveis
I r número racional
) um número irracional. Neste caso dizemos que os segmentos são incomensuráveis,
MN : ,lzpa - 5 .-._ MIV e PQ são segmentos incomensuráyeis
I r número irracional
180
L Determine a razão entre os segmentos AB e
CD, sabendo queAB : B cm e CD : 20 cm' +
2 Sejam AB e CD dois segmentos tais que
AB : 2cm e # : +. Qual a medida de
CD? 6 cm
3 Determine arazáo entre os segmentos cu;as
medidas estão indicadas em cada item' Aseguir,
diga se os segmentos são comensuráveis ou in-
comensuráveis.
a) 15 cme 10 cm c) 3me3 ;come'su,'áver+-
b)1me8Ocm2''- d)J20 cme{5 cm
f ; comensuráveis
Arazáoentre dois segmentos é +'Saben-U5
-se que o maior mede B cm, qual a medida do
segmento menor? 3,2cm
5 SejaM o ponto médio de um segmento ABr'
Nessas condições, determine: 1
7 Dado um segmento RQ, determinamos um
ponto P e RQ, distante 6 cm de R. Sabend se
PRqrr" ô 
: à, qual a medida de RQ? cTn
€3 O jornalkibuna dalmprensa, de28-3-02,no-
ticiou:
Prédio de 12 andares
no Centro é coberto
pela Bandeira nacional
Fernando SamPaio
O prédio do Conselho Regional de Engenha-
ria, Arquitetura e Agronomia do Estado do Rio
de Janeiro (Crea-RJ), no Centro do Rio, foi co-
berto pela maior Bandeira do Brasil já confeccio-
nada - 55 metros 
de comprimento, no total de
410 quilos -, ontem Pela 
manhã'
Para que esta bandeira esteja de acordo com a
legislação, quantos metros deve ter de largura?
38,5 m
1
2
t;
J' ; 
incomensuráveis
m
2: comensuráveis
.AM
'' trrtB 1
.ABt) 
tras
Gi Nafiguraabaixo, AM = MN = NB' Saben-
do que AB : 1'2 crrr, determine:
AM1D)AB2
M
+0 Sayrnqnlw proporcio ít ais
Pelas definições de proporÇão erazáo de segmentos, podemos dizer 
que quatro segmentos,
RA, CD, fT . en, nessa ordem, são proporcionais, quando arazáo entre os dois primeiros for igual
à razáo entre os dois Últimos, ou seja:
AB, CD, EF e GH sã0, nessa ordem, proporcionais, quando +r: +i
Lembre-se de que as medidas dos segmentos devem estar na mesma unidade 
para formar a
proporÇão.
181
Veja alguns exemplos:
I 0s segmentosAB:4cm, CD:6cm, EF: gcmeGH: 12 cm formam, nessa ordem, umaproporcão, pois:
AB4
CD_6
:2
EF:g:4
GH126Y
AB EF
-_:_.CD GH
Quatro segmentos, AB, l\/rN, pQ- e xy, nessa ordem, são proporcionais.
SeAB : 5cm, MN : 15cm e pQ : 4cm,qual a medida de Xyi
Como AB, [VlN, PQ e XV são proporcionais =r 48, : pqMN XY':5
Mu.AB_ 5 _1MN 15 3'
\__/
.tr
'J
Então: :9 :l =XY3 + XY : l2cm.4:lXY3
+1 Feixa- de-retaE paroleias
r//s
paratehs )
você já sabe que duas retas de um plano são paralelas quando não possuem pontos em co-mum, 0u seja:
e rÀs:A
-+ interseccão
Se tomarmos três ou mais retas paralelas entre si, obterenros um feixe de retas paralelas,denominado simplesmente feixe de paralelas.
Uma reta que corta um feixe de paralelas é denominada reta transversal.
feixe de retas paralelas: r // s // m // u // v
t: transversal
182
r
S
m
u
\adada- da- wn^ le\xe de retat ral,eLas
consideremos um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal 
t. Assim, na transversal
ficam determinados oS segmentos Rg, ilC, CD e DE, como mostra afigura'
tos
Medindo os segmentos com uma régua, obtemos:
AB:BC:CD:DE: lcm + ÃB - :CO = DE
congruente
Vamos, agora,traçar uma reta m, transversal aofeixe de paralelas, determinando 
os segmen-
[vlN, M, PQ . QR.
Medindo os segmentos, obtemos:
MN : NP: PQ : QR: 1,5cm = MN = NP : PQ = QR
Repetindo esse procedimento, tracamos outras transversais ao feixe de 
paralelas e verificamos
que os segmentos determinados em cada transversal serão congruentes entre 
si'
Dizemos então:
se um Íeixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal,
também determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal'
183
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
vamos fazer a demonstracão usando um feixe de três retas paralelas.
Sejam a//b//ce temduastransversais,taisque AB = BC.Vamosprovarque MN: M.
Tracamos por M e /V retas paralelas à reta t.
ABRM é um paralelogramo = AB = MR)
) BCSN é um paralelogramo) BCSN é um paralelogramo = BC= trlS
) Como AB - BC (dado) + MR: NS O
) RMN = SNP (correspondentes) @
) MRN = NSP (b//ceffi// NS) (p
Por , @ e @, temos AMRN = ANSp (caso ALA)
Portanto, MN- = 51p.
Essa demonstracão pode facilmente ser estendida a um feixe de mais de três retas paralelas.
+ZTeorqrhc^ da-Taiet
vamos ver o que acontece quando os segmentos determinados por um feixe de paralelas sobreuma transversal não são congruentes entre si.
) Sejam as retas a // b // c, que determinam sobre a trans_
versal t os segmentos AB e BC e sobre a transversal m
os segmentos MN e lVp.
Vamos tomar uma unidade u tal que AB : 2u e BC : 3u.
Dividimos, assim, os segmentos AB e BC em duas e três
partes, respectivamente, de modo que os 5 segmentos
obtidos sejam congruentes.
184
Pelos pontos de divisã0, traçamos retas paralelas às re-
tas a, b e c. Pela propriedade vista no capÍtulo anterior,
se os segmentos determinados em t são congruentes,
então os segmentos determinados em m também são
congruentes, Chamamos essas medidas de v'
Então:
AB 2u
BC-3u AB MN= ff : fii, o que significa que os segmentos
AB, BC, MN . M são ProPorcionais.
Essa relação é conhecida como teorema de Tales, em homenagem ao matemático 
grego Tales,
que a desenvolveu.
Podemos, então, enunciar o teorema da seguinte maneira:
Um feixe de paralelas determina em duas transversais segmentos proporcionais.
_2
3
MN_2v
NP 3v
a//b//c MN_MAB1Bc
Podemos considerar, ainda, outras proporÇões a partir do teorema de Tales:
AB MN
AC_MP
BC NP
AC-MP
AB
MN
BC
NP
veja alguns exemplos nos quais utilizamos o teorema de Tales:
Na figura r // s // t, determinar a medida x indicada.
Pelo teorema de Tales, temos:
10_8
10x:2.8 _-*
10x: 16
16*: 
10
x:1,6
propriedade f undamental
das proporÇões
m
185
Determinar na figura a medida y, sabendo-se que a // b // c.
Pelo teorema de Tales, temos:
y+2 : y_zv3
3(y+2):y(y_2) *
3y + 6 :.y2 - 2y
-y2+3y+2y+6:0
-Y2+5y+6:0
y2 - 5y - 6 : 0 ------------; equacão de 2e grau
A : (-5)2 - 4fi) (-6) : 25 + 24: 4g
-(-5) t"{49 5xl Y,:Y:
propriedade f undamental
das proporções
l2
2 :o
Y": -+: -1
como y - -1 não serve, pois não existe medida negativa, então y:6.
Para verificar se a resposta obtida está certa, basta substituir o valor encontrado na figura everificar a validade do teorema de Tales:
3 Na figura, r // s // t. Sabendo-se que AB
medidas DE e EF.
: 5 cm, BC : 9 cm e DF : 28 cm, determinar as
Considerando DE : X o EF : y, temos:
8:4
63
I
I
ü4:4
33
2
Pelo teorema de Tales, temos:
5xe-t
Aplicando a propriedade da soma nas proporcões:
28
5+9 x+y 74 28:- -----+5x5x
14x: 5:28
14x: 140
*: 140 : 1oA_Á
-Comox*y:13 4 Y:28-x
Y:28 - 10
Y:18
Então, DE : 10 cm e EF : 18 cm.
L Verifique se os segmentos AB : 25 crn,
MN : 15 cm, PQ : 10 cm e RS : 6 cm são, nes-
sa ordem, proporcionais. sim
2 Estabeleça duas outras ordens entre os qua-
tro segmentos do exercício 1., para que eles per-
maneçam proporcionais.
3 Quatro segmentos , AB, CD, EF e GH, são,
nessa ordem, proporcionais. Sabendo-se que
AB : 15cm, CD : 12cme EF : 8cm; qual a
medidade GH? 6.4cm
4 Na figura,a //b // c //d.Sabendoque
AB = BC : CD e EF: 3 cm, determine as me-
didas de FG e GU.
5 Nas figuras, a / / b / f c, determine os valo-
a
b
s^E
(5 Na figura seguinte, r / / s // t. Nessas condi-
ções, determine o valor de x.
x:8
OU
x=0,5
res de x.
187
l-G:3cm
GH:3cm a
b
a)
c
d
a
b
d)
r
S
7 Nas figuras abaixo, deterrnine os valores de
x ey, sendo a // b // c.
a)
a
b
A'=-3,y:r5 x=1,y=12
€3 Um feixe de três retas paralelas encontra
duas transversais r e s, determinando em / os
pontosÁ, B e C,e ems os pontos p, e eR. Saben-
do-se queAB : 6 cm., BC : 15 cm e pe : g cm,
qual a medida de QR-Z 2o cm
Na figura, a / / b / / c. Sabendo-se que: 74, AC : 42 e DE : 18, qual a medida de
DF? E4
LO Determine nas figuras as medidas x e y.
a)a//b//c x:10,y:26
a
b
b)a//b//c//d
LL Três paralelas encontram duas transver-
sais r e s. As paralelas encontram a transversal r
nos pontos A, B eC e encontram a transversal s
nos pontos D, E e F. Sabendo-se que AB : 6 cm,
BC : 10 cm e DF : 40 cm, determine as medi-
das DE e Ef'. DE = 15 cm. EF = 25 cm
b
x:1,y=12
çozt d,o
a de-Tal,eg
Consideremos o AABC (figura @ ).
Tracamos uma reta r, paralela ao lado BC, interceptando os lados AB e AC nos pontos Me p,
respectivamente (figura @ ).
a
b
Teoreu^a deTaLeE n05
Se traÇarmos pelo ponto A uma reta s, paralela à reta r, obteremos três retas paralelas
€ e €
(BC, r e s) e duas transversais (AB e AC).
r//s//fr
Pelo teorema de Tales, {$
Podemos enunciar, então:
:AP
PC
Toda paralela a um lado de um triângulo que encontra os outros dois lados em pontos
distintos determina, sobre esses dois lados, segmentos que são proporcionais.
Assim:
-,AMSe MP // BC, então ffi :
Veja alguns exemplos:
Na figura, * // BC. Determinar a medida de x.
Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos:
2x _ x+4
X X+I
2x(x+1) :x(x+4)
2x2+2x:x2+4x
2x2+2x-x2-4x:0
x2-2x:0
AP
rc
Como x : 0 não serve, então Y,: 2.
1
189
2 Num AABC, uma rela r, paralela ao lado BC, irá dividir o lado AB em dois segmentos cujas
medidas são 20 cm e 30 cm' Sabendo que o lado AC mede B0 cm, obter as medidas dos segmentos
determinados neste lado AC pela reta r.
Pelo enunciado do problema, temos a figura abaixo, em que x e y são as medidas dos segmen-
tos formados em AC pela reta r.
Aplicando o teorema de Tales nos triângulos, temos:
_4_20: x _ 20+30 x+y3ov20
50 80
n- x
50x: 1 600
1 600"50
x:32
Como x + y : 80 --------+ y : B0 - x
Y: 80 - 32: 48
Entã0, os segmentos medem 32 cm e 48 cm.
TeorryÁa da hiEsqlriz tntqrna de wnn lr Ujl,,tl
Considerando o AABC à esquerda, tracamos a bissetriz interna nS Oo ângulo  (a Oireita).
Tracamos pelo vértice C uma reta paralela à bissetriz AS, que irá encontrar o prolongamento do
lado AB no ponto E.
E
Considerando o ABCE e AS // EC, temos:
AB BS /?_:_
AE SC LI-/
Mas:
Í'll : â1 --------> ângulos Correspondentes
Íl : àz - -> ângulos alternos internos
à1 : à2 ----> AS é bissetriz de Â.
Entã0, ffi : r't = AAEC é isósceles = AE - rc
190
Substituindo AE por AC na proporÇão @, temos, # : S
Podemos, entã0, enunciar:
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina,
sobre o lado oposto, segmentos que são proporcionais aos lados
do triângulo que formam o ângulo considerado.
Se AS é bissetriz do ângulo Â, então:
AB BS
rc-SC
AB ACou BS:sc
Veja alguns exemplos:
Na figura, BD é bissetriz interna do ângulo ê. Determinar o valor de x.
Pelo teorema da bissetriz interna:
X: o 
- 
x.x:6.46x
x2 :24
X: ,84
x: 2J6
Então, x: 2{6 .
2 Num AMNP, a bissetriz interna MC do ângulo Íü determina no lado M os segmentos tttC e Cp
cuia razão é +F 
: +. Sabendo-se que MN 
: 12 cm, determinar a medida do lado MP.
Pelo enunciado do problema, temos a figura, em que x é a medida do lado MP.
Pelo teorema da bissetriz interna:
T2 NC
CP
122
x3
2x:12.3 = 2x:36 =
Entã0, MP : 18 cm.
Én,
urr,{}:+=
36*: 
2
:18
L Determine a medida x indicada:
a) MP // K.
x:24 A
x*1 E
2 No AABC, sabe-se que DE // re.Calcule
as medidas dos lados ÃE e R do triângulo.
AB:8
AC: 16 A
3 Num AABC, o lado AB mede 20 cm. por um
ponto D, em AB, a 72 cmdo vértice A,traça-se a
paralela ao lado Ee , que corta o lado AC no pon-
to E. SeAE : 15 cm, qual a medida do tado Ãe ?
25 cm
Sabe-se que DE- // R. e que AB : 27 cm.
termine as medidas x e !. x : 14 cm, y : 7 cm
D 5cm
5 NumAABC,oslados ÃB e Ãe medem,res-
pectivamente, 18 cm e 12 cm. Traçamos uma reta
paralela ao lado Be ao triângulo que irá cortar
o lado AB no ponto P e o lado Ãe no ponto e,
de tal forma queAQ : 9 cm e QC : 3 cm. Quais
as medidas dos segmentos ÃP e pB?
AP - 13,5 cm e PB.= 4,5 cm
Duas avenidas partem de um mesmo ponto
cortam duas ruas paralelas, como mostra a
figura. Na primeira avenida, os quarteirões de-
terminados pelas ruas paralelas medem 50 m e
80 m, respectivamente. Na segunda avenida, um
dos quarteirões determinados mede 60 m. euat
a medida do outro quarteirão? e6 m
7 Dois postes perpendiculares ao solo estão auma distância de 4 m um do outro, e um fio bem
esticado de 5 m liga seus topos, como mostra a
figura. Prolorrgando esse fio até prendê-lo no
solo, são utilizados mais 4 m de fiô. Determine
a distância entre o ponto onde o fio foi preso ao
solo e o poste mais próximo a ele. 3,2m
DE // BC
x=3
c)
D
3
A
3x- 1
N
192
€i Nas figuras seguintes, determine o valor de x.
a) ÃD é a bissetriz do ângulo Â. r ' 5
A
^b) eM é a bissetriz do ângulo C.
c) BP é a bissetriz do ângulo Ê.
A
^d) m é a bissetriz do ângulo A.
§) NumAABC,oslados ÃB e Ãe medem,tes-
pectivamente, 15 cm e 20 cm. Abissetriz do ân-
gulo interno  d"t".*ina sobre o lado oposto
Ee os segmentos BD e De , cujas medidas são
expressas, em centímetros, por x - 4 e Í/ resPec-
tivamente. Nessas condições, determine a me-
dida do lado Be desse triângulo. dC '= 2u cm
LO Na figura abaixo, determine os vafores de
x 
" 
y, rend.J ÃD a bissetriz do ângulo Â.
x:6cm,y:9cnr A
LL No AABC abaixo, N // Be e ÃD é a
bissetriz interna de Â. Nessas condições, de-
termine: 
A
P
2
B
a) a medida r
b) a medida y
c) a medida z
d) o perímetro do AABC
e) o perímetro do AAPM
fr* 
c,odo o qwa e1ra-^daw
L No quadrado daÍigtra, o lado mede 3 cm e
sua diagonal mede 3rEcm. Determine:
b) arazáo entre um lado e sua diagonal. Z
c) arazáo entre a diagonal e um lado. i
d) arazáo entre um lado e o perímetro do qua-
drado. )
2 Ossegmentos m, eD, EF- e Gtr são,nessa
ordem, proporcionais. Sabendo que AB : 6 m,
CD : 8 m e EF + GH : 27 m, calcule as medi-
das de E-F e Gtr. EF - e r'É, GH 12tt
A 3cm B
a) arazáo entre dois lados do quadrado.
193
11
8*= -
um Ponto N,
dições:
a) Faça uma
3 Seja um segmento AB : 32 cm. Sobre a reta
suporte de ÃB e externo ao segmento, tomamos
9 Na figara abaixo, a // b // c.eralo valor
dexey?
No AABC da figura, eD O a bissetriz do
oô.s"AD:3cm,DB:2cme
AC:6cm,determine:
C
a) a medida do lado BC 4 cm
b) o perímetro do AABC 15 cm
L I- A bissetriz do ângulo  d" r* AABC in-
tercepta o lado BC em um ponto D tal que
BD : 9 cm e CD : 6 cm. Calcule as medidas
dos lados Ã-B e Ãe do triângulo, sabendo que
o seu perímetro é 45 cm. AB = tBcm eAC = 12cm
L2 lJmaantena de tevê é colocada sobre um
bloco de concreto, como mostra a figura. Esse
bloco tem 1 m de altura. Em certo ústante, a
antena projeta uma sombra de 6 m, enquanto o
bloco projeta uma sombra de 1,5 m. Nesias con-
dições, qual é a altura da antena? 4 m
L3 Calcule o perímetro de um AMNp, saben-
do que as medidas dos lados W e MP aife-
rem de 3 cm e que a bissetriz de ü determina
no lado NP segmentos de 6 cm e 5 cm. 44cm
tal que #: +.Nessas con-
figura que represente a situação
aclma.
BN
b) A que distância do ponto B deve ser marca-
do o ponto N? r2 cm
4 Dado um segmento Ã8, cuja medida é
42 crn, tomamos um ponto M, interno ao seg_
mento Ã8, tal q"" # : + Calcule as me-
didasde NIA e MB. MA:12cmeMB:3ocm
5 Na figura abaixo, a // b // c.Determine o
valor de.x. x:6
a
b
5a
7 Nafiguraseguinte, r // s // t //
condições, determine x e y.
x-'10; y=25
m. Nessas
r
s
t
m
€B Um feixe de paralelas determina sobre uma
transversal os segmentos AB-, Be e eD, tal que
AB : 3 cm, BC : 5 cm e CD : 7 cm. Calcule as
medidas dos segmentos MN, NP e pe-, deter-
minados pelo mesmo Íeixe sobre outra transver-
sal, sabendo que MQ : 60 cm.
MN = 12 cnr, NP:20crn e pO = 2gcm
6 A planta abaixo nos mostra três terrenos
cujas laterais são paralelas. Calcule, em metros,
as medidas x, y e zindicadas.
x : 16 m
Y:24.rl
z:40m
1,5 m
194
8cm
baixo está indicada a unidade
Qual é arazáo entre a medida
a medida da base maior do
trapézio? 0,6
L4 Na figura abaixo, N' / / BD. Nessas con-
dições, determine os valores de a e b.
a:2cm,b:6cm
E
L7 Num triângulo ABC, o lado AB mede
24cm. Por um ponto D, sobre o lado AB, dis-
tante 10 cm do vértice A, traça-se a paralela ao
lado Be, que corta o lado Ãe no ponto E' Sa-
bendo-se que o segmento AE tem 15 cm de com-
primento, determine a medida do lado AC' eo'n'
a€! Na figura abaixo, sabe-se que RS // fr'
e que AE = 42 cm. Nessas condições, determine
as medidasx eyindicadas. x - 14cmev:28cm
A
19 A figura abaixo nos mostra duas aveni-
mente. Na segunda avenida, um dos quarteirões
determinados mede 60 m. Qual o comprimento
I
I
I
L6 No triângulo ABC da frgtxa, sabe-se que
fr. // Ee . Calcule as medidas dos lados AB e
Ãe do triângulo.
AB:40eAC-80 A
195
õz
.t
ô
,a
6
Dizemoa que doio obieboe com a meâma
forma e tamanhoa diferentes repreoentam
figuraa aemelhanteo, É o que vamoô eatudar
nesta Uniàaàe,
T
a
L
ó
As foLografiae poàem eer reduziàas ou ampliaàas, manlenào a meema forma,
porém com lamanhos àiferentes,
T:-=--_ \ \'., \. 
----\ 
\-
+ + tiytr at 5qr^al,hantqg
Em Geometria, dizemos que duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma. Veja-
mos melhor o que significa "ter a mesma forma" 0u "ser semelhante" em Geometria.
0s mapas a seguir são do estado doParaná, mas estão em escalas diferentes. Neles destaca-
mos algumas cidades.
mapa 2
Você pode notar que os dois mapas têm a mesma forma, embora tenham tamanhos diferentes,
pois o mapa2 é uma ampliacão do mapa 1. Dizemos que esses mapas representam figuras semelhantes.
Você já ouvlu falar de alguma cidade do paraná?
I
E
ô
Maringá e uma cidade planejada. Tão ptanejada
que cada uma de suas avenidas é diferenciada das
demais pela especie de árvore ptantada.
Londrina é uma importante cidade do eixo que
une o Sul e o lVorfe do país. Conta com mais de
400 milhabitantes.
o
r
c
o
Y
.s)
N
-0-
Eo
=õô
I f
I
o-
C
,m§
o
o
Í
oY
.g)
N
A região onde fica a cidade de Cascavel é responsável
pela produção de 26% dos grãos de todo o Estado.
Cascavel conta com cerca de 220 nil habitantes.
Capital do estado do Paraná, se autodenomina
Capital Ecologica, por causa da grande quantidade
de parques.
mapa 1
r98
., .- Iaiil:.
?:t
Voltando aos mapas, vamos assinalar as distâncias, em linha reta, entre Curitiba 
(capital) e
Londrina (norte do estado) e entre Curitiba e Cascavel (oeste do estado)' Vamos assinalar também 
o
ângulo formado por esses segmentos que traÇamos, cujo vértrce está em Curitiba.
Observando os mapas, você nota que:
Os ângulos correspondentes têm medidas rguais (47").
As razões entre as distâncias correspondentes são iguais, pois:
Curitiba - Londrina : ?'?- : :4,0 8
Curitiba - Cascavel :
Logo, as distâncias correspondentes são
Vejamos agora o quadrilátero formado
2,5:3,5_5
4,0 5,6 8
proporcionais.
pelas cidades de Curitiba, Londrina, Maringá e Cascavel.
3,5_5
5,6 8
mapa 7 mapa 2
Vamos considerar como vértices os pontos que representam essas cidades no mapa, e as
distâncias em linha reta entre as cidades, como as medidas dos lados do quadrilátero.
mapa 1
Paranaguá
mapa 2
199
)rganizando uma tabela com essas informacões:
Distâncias
Curitiba - Londrina
Londrina - Maringá
Maringá - Cascavel
Cascavel - Curitiba
Mapa 1
2,5 cm
0,7 cm
2,0 cm
3,5 cm
ltlapa 2
4,0 cm
I,72 cm
3,2 cm
5,6 cnr
)
)
Note que:
0s ângulos correspondentes possuem medidas iguais.
As distâncias correspondentes (medidas dos lados dos quadriláteros) são proporcionais, pois:
li:0,625
+#:0,625
3L :0,625
# :0,625
:+: .0,.7_ : 3+: 11 :0.6254,0 l,r2 3,2 5,6 v'!
Portanto:
Em Geometria, dua es quando todos
os ângulos corresp guais e quandcr
todas as distâncias lsporcionais.
+? P oL$o 
^o5 
5an^alhantet
Para que duas figuras sejam semelhantes, é necessário que tenham ângulos correspondentes
de mesma medida e os lados correspondentes proporcionais.
Dois polígonos com o mesmo número de rados são semelhantes
quando possuem os ângulos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionais.
200
Observe os quadriláteros ABCD e MNPQ:
A
Note que:
Os ângulos correspondentes possuem a mesma medida:
Os lados correspondentes são proporcionais.
AB 6 -.tr- ÉtvMN 2,4
Â=ü,â=fi,ô=Ê,ô=ô.)
)
BC
M_T2
cD:5_
CD
PQ
: 2,5
2,5
AB BC
MN NP
AD -.tr
MQ
PQ
AD 4 -oÃMQ 1,6
Dizemos, entãg, que os quadriláteros ABCD e MNPQ são semelhantes e indicamos:quadrilátero ABCD .- quadrilátero MNPQ
simbolo de semelhança
gbserve que a razáoentre qualquer lado do quadrilátero ABCD e o lado correspondente no quadri-
látero MNPQ é sempre a mesma, 2,5' Dizemos, então, que 2,5 é do 
quadrilá-
tero ABCD para o quadrilátero MNPQ,
para saber se dois polígonos são semelhantes, devemos verificar sempre as duas condicões:
ângulos respectivamente congruentes e lados correspondentes proporcionais, 
pois apenas uma das
.oãdiçõ.r não garante a semãlhanca, como podemos comprovar pelos exemplos:
8cm
8cm
6cm
6cm
6cm
D
6cm
201
)
)
se considerarmos os quadriláteros ABCD e MNpQ, verífícamos que:
0s ângulos são congruentes (são retos).
0s lados correspondentes não são proporcionais.
AB__B:4
MN63
BC6_- /
NP 3 
_L
Logo, neste caso, os quadriráteros ABCD e MNpQ não são semelhantes.
Observe agora estes outros dois quadriláteros:
Verificamos que:
) 0s lados correspondentes são proporcionais
) 0s ângulos não são congruentes
Neste caso, os quadriláteros ABCD e MNpQ não são semelhantes.
.. Observe, agora, alguns exemplos em que vamos usar o conceito de semelhanca entre doispolígonos.
I verificar se os paralelogramos ABCD e MNpQ são semelhantes.
AB BC
MN NP
202
6cm
8cm
8cm
6cm
)
)
pelas propriedades dos paralelogramos, que estudamos no ano anterior, completamos as medi-
das dos ângulos e dos lados nas figuras.
Verificamos que:
Os ângulos são respectivamente congruentes.
Os lados correspondentes são proporcionais.
IVIN: 6 
_T
Então, concluímos que ABCD - MNPQ e a razáode semelhancu . {.
2 Os quadriláteros ABCD e EFGH são semelhantes. O lado ng Oo primeiro corresponde ao lado EF
do segundo. Sabendo que a razáode semelhança do primeiro para o segundo é de !, qual é a3
medida do lado ff Oo quadrilátero EFGH?
Como ABCD - EFGH, temos:
AB2
razão de semelhança
AB
PN
BC
4
3
20
15
8 4
-:-
trtr2Ll -,
5 - 2 --------- 2x: !5 ------x3
Logo, EF : 7,5 cm.
15*: 
2
+ X:7,5Cm
203
Descubra no 2q quadro a planificação correspondente a cada um dos sólidos do 1q quadro.
GeoDêtria
Ar1 ct ffi
89 DlO F8
rlanla-
Observe os pentágonos ABCDE e A'B'C'D'E':
D
3cm
Você nota que:
Os ângulos são respectivamente congruentes.
0s lados correspondentes são proporcionais.
D'
)
)
CD 2,6 .:+:Z
C,D, 1,3
Entã0, ABCDE - A'B'C'D'E' e a razáo de semelhança é 2'
Vamos, agora, calcular os perímetros dos dois pentágonos'
Perímetro de ABCDE (P):
P:3cm + 2,6cm + 2,6 cm + 2,2cm + 2,8cm
P : 13,2 cm
Perímetro de A'B'C'D'E' (P'):
P':1,5cm + 1,3cm + 1,3cm + 1,1 cm + 1,4cm
P' : 6,6 cm
Calculando a razáo entre os perímetros:
P_13,2_
P' 6,6
razão de semelhança ou razão entre os lados correspondentes
Concluímos que:
Quando dois polígonos são semelhantes, os perímetros desses 
polígonos
tão ptopotcionaii às medrdas de dois lados correspondentes quaisquer'
Nos pentágonos que acabamos de ver, temos:
perímetro de ABCDE - AB : BC : CD : DE : =EÔ
perímetro de A'B'C'D'E' A'B' B'C' C'D'
205
D,E, E'A'
Veja um exemplo de aplicacão dessa propriedade:
Um triângulo MNP, de perímetro igual a 36 cm, é
semelhante ao triângulo ao lado. Determinar as medidas
dos lados do AMNP.
Como AABC - AMNP, então os lados correspon_
dentes são proporcionais.
lndicando as medidas do AMNp por x, y e z, temos:
X _ y _ Z _ perímetrodoAMNP5 e 10-ffi
5cm
:36_3242
l__|. razão de semelhanca
x- 3 ô..
n --------> 2x: 15 ------> x: 7,5
u : + -----) 2Y :27 Y: 13'5
z3- i - 
22: 30 -------> z: 15
Entã0, os lados do AMNP medem 7,5 cm,13,5 cm e 15 cm.
GeometrÍa
A figura mostra a projeção A'B'C'D' do quadrilátero ABCD a partir do ponto o, chamado
centro de projeção.
IJse uma téguapara medir os lados dos quadriláteros. A seguil, calcule as razões da projeção:
' A,B, B,C,u)üü- b)+à 
") += o,*#
Trrdas as razóes de prlleqão são iquars â 3
206
, Agora calcule as razões:
. oA'a) 66
Todas sáo tguais a 3
Qual é arazáo entre os perímetros dos quadriláteros A'B'C'D' e ABCD? s
O quadrilátero ABCD é trntrapézro, pois os lados Ag e CD são paralelos' O quadrilátero
A'B'C'D' também éumtrapézio? Por quê? sin-,,, pois os ados A'B' e D'c sáo paralelos
OB'b) oe
3.
4.
I- Dado o retângulo ABCD abaixo, verifique
quais dos retângulos seguintes são semelhantes
a ele.
B
15 cm
c)
40 cm
25 cm
2 Verifique se são semelhantes os paralelogra-
mos a seguir, justificando sua resposta.
a)
sim, f =f "o.
ângulos correspondentes
são congruentes
8cm
30 cm
70"
3cm
6cm
,)B. OC't) oc
não, pois 80'+ 45" A'
3 Os hexágonos H1 e H2 são semelhantes'
F2OE
a) Qual é arazáode semelhança entre H1 e H2?{
b) Qual é a razáo de semelhança entre os perí-
metros de H1 e}i'2? !
c) O que podemos afirmar sobre os ângulos in-
ternos de H1 e H2? sao respectivamente congruentes
4 Responda:
a) Dois retângulos são semPre semelhantes? nao
b) Dois quadrados são sempre semelhantes? sim
c) Dois triângulos são semPre semelhantes? nao
d) Dois triângulos eqüiláteros são sempre seme-
Ihantes?.i,
e) Dois polígonos regulares com o mesmo nú-
mero de lados são sempre semelhantes? 'im
Um retângulo ABCD de lados AB : 12rr.e
: 8 m é semelhante a um retângulo MNPQ'
c
15
B
s!m
b)
20 cm
Sabendo que a razáo de semelhança de ABCD
para MNPQ e de a, determine as medidas dos
4
Iados do retângulo MNPQ. 48 n, e 32 .
6 Os dois trapézios abaixo são semelhantes.
a) Qual é arazáo de semelhança entre os trapé-
zios ABCD e MNPQ? :
b) Calcule as medidas x, y e z indica_das.
c) Sem fazer cálculos, determi"" ã ,ã)áo'%lir"
os perímetros de ABCD e MNpe. z
7 Umquadrado tem lado medindo 5 cm. eual
será o perímetro de um outro quadrado, saben-
do-se que arazáo de semelhança entre o primei-)
roeosegundoé f? so..
€l Um retângulo ABCD é semelhante ao retân-
gulo abaixo e tem perímetro igual a 90 cm. Cal-
cule as medidas dos lados do retângulo
ABCD. 27 ctr e 18 cr
15 cm
10 cm
€) Os pentágonosABCDE eA,B,C,D,E, seguin-
tes são semelhantes. O lado CD corresponde ao
lado C'Dr e o lado AB- corresponde ao lado
A'B'
2,1 cm
c
a) Qual arazáo de semelhança entre ABCDE e
A'B'C'D'E'?
208
b) Qual a medida x indicada?
c) QuaI a m,edida y indicada?
Os trapézios abaixo são semelhantes e o pe_
ro do trapézio @ e ZZ cm. Determine
as medidas x, y, z ezu.dos lados do trapézio @.
28
L L Em um pentágono ABCDE, o perímetro
mede 245 cme o lado ÃB mede 52 cm. eual é o
perímetro do pentágono GHIJL, semelhante a
ABCDE, se o lado GH, correspondente ao lado
AB, mede 13 cm? rjr,25 cl
L2 Dois terrenos retangulares são semelhan-
tes e a razáoentre seus lados é Z.Se o terreno
5
maior tem 50 m de frente e seu contorno (perí
metro) mede 400 m, determine:
a) as dimensões do terreno menor 20 rr Dcr ô0
b) a medida do contorno do terreno menor r6c .
I-3 Dois polígonos são semelhantes e arazáo
de semelhança do primeiro para o segundo é
a
f . Determine o perímetro do segundo polí
gono, sabendo que o do primeiro é 27 Crr. 3r :^
7-4 Aplanta de uma casa, que é uma reduçâo
da casa no real, foi feita na escala + (razáo
de semelhanÇa). Uma sala retangular dàssa casa
tem 5 cm e 6 cm de dimensão nessa planta.
a) Quais as dirnensões reais dessa sala? r o nr e -1
b) Qual a ârea da sala na planta? :o ..
c) Qual a área da sala no real? ,zo n.'
D'
L Diga se os pares de triângulos são ou
semelhantes.
a)
M
nao
b)
c)
d)
sim M
213
2 Na figura abaixo, temos os triângulos ABC e
DEF. Pelas indicações, resPonda:
a) Ot triângulos são semelhantes? sim
b) Caso sejam semelhantes, quais são os lados
homólogos? ns " +, ec e or, ,qc 
e or
3 Na figura a seguir, temos FQ tt x..
a:55',b:60",c:65'
a) Quais são as medidas a,b e c indicadas?
b) Quais os triângulos que são semelhantes nes-
safigara? aABCeaAPo
4 Conforme as indicações, AABC - AMNP'
ne e PM, eC e FN, AC e tult"l
a) Quais os lados homólogos nos dois triângulos?
b) Qual a relação que podemos estabelecer en-
trex,Yez? +:+ oux2:Y'z
co
guras abaixo nos mostram pares de tri_
semelhantes. Calcule x e y em cada uma
a)
b)
c)
d)
NT
al o valor de r, sabendo que
- ADEF ?
De acordo com as indicações feitas na figuraixo, responda:
A
F
a) Os triângulos ABC e DEF são semelhantes? .
b) Caso sejam semelhantes, quais os lados ho_
mólogos? .E 
" > qt e DF .a " ,.
c) Calcule o valor de x. r:6
€B Determine os valores de r e y rras figuras
abaixo.
a)A
B
=:l
b)
§) (Saresp) Um prédio projeta uma sombra de
40 m ao mesmo tempo em que um poste de 2 m
projeta uma sombra de 5 m. Então, a altura do
prédio é de:
a) 10m b) 1.2m c) 14m .d) 16m
y+4
A
214
€l Na figura, AB
CE:75 cmeCD:
de AE.
// CO. Se AB : 136 cm,
50 cm, determine a medida
LO Um AABC é isósceles, tal queAB :.AC :
: 20 cm. Por um ponto D do lado AB, tal que
AD : 5 cm, traça-se uma paralela ao lado BC
do triângulo, que irá encontrar o lado AC no
ponto E. Sabendo-se que DE : 4 cm, qual a me-
dida da base do triângulo isósceles ABC? 16 cm
êI t Na figura,
ABCD é um
quadrado inscrito
no AAEF. De acordo
com as indicações,
calcule a medida x
do lado do
quadrado ABCD.
amedida *.' ,o^
a ârea ocupada Pela casa
(área do retângulo : base x altura)' 288m2
€) As bases de um lrapézio medem 18 cm e
25 crr., e a altura mede L4 cm. Calcule a altura
do menor triângulo que se obtém prolongando-
se os lados não-paralelos até se encontrarem'
36c
fr*ando 
o qwaaPra^dqw
L Dois triângulos, T1eT2,são semelhantes, sen-
Á.
Oo á a razáo de semelhança. O 
triângulo T1
tem 38 cm de perímetro e dois lados do triângu-
1o T2 medem 6 cm e 9 cm' Determine as medi-
das dos lados do triângulo T1 e a medida do lado
desconhecido do triângulo T2.
I cnr, 12 cn I I cm; 13,5 ctrr
2 Paradeterminar u ul,r.u de uma árvore uti-
lizou-se o esquema mostrado. Nessas condições,
qual é a altura da árvore? sz,s,
I
I
3 Num terreno em forma de triângulo retân-
gulo, conforme nos mostra a Íígtra, deseja-se
construir uma casa retangular cujas dimensões
são indicad.as, em metros, por x. +' Nessas
condições, determine:
4
a)
b)
altura do poste? o.
219
30
E
5 Na Íigtra, o triângulo ACM é isósceles
(CA : CM). Sabendo que CA : 10 cm,
MQ : 6 cm, GP : 5 cm e CQ : 8 cm, calcule:
Na figura, você nota que os triângulos AEC
DB são semelhantes. Determine õ número f
indicado na figura. r: ro,S
LO Na figr.rra, Ít : 2 cm/ Í2: 6 cm e
AO1 : 5 cm. Determine a distância d entre os
centros 01 e 02. ro cm
L2 Um quadrado está inscrito em um triân-
uti-
ob-
lar-
glÍa x do lago. soo.
PO
a) a medida x do segmento CG-.
b) a mediday do segmento eP.
c) arazáo x 5y4
25 
"^3
2o 
".a
6 Na figora,temos que BC : 15 cm,AH : 10 cm
e PQRS é um quadrado cujos lados medem x.
Determine o perímetro desse quadrado.
24 cm
7 A perspectiva da figura abaixo mostra que
os triângulos ABC e XyZ são semelhantes. No
triângulo ABC, temos AB : 15 cm, BC : 1g cm
e AC : 27 crr.. Se o perímetro do triângulo XyZ
é20 cm, qual é a medida do lado XZ? g"^
A
€3 A porta de entrada e a fachada de uma casa
são figuras retangulares semelhantes e a razão
de semelhança da aitura da casa para a altura
da porta é +.Se a altura da casa é 6,0 m, qual
é a altura da porta? z,+ ^
220
L4 Na figura abaixo, tem-se AB : 4 cm e
BC : 10 cm. Nessas condições, determine a me-
drdax do lado BD. t,0".
ê
L5 Considerando a Íigrra,determine as me-
didas dos lados DE e AD do triângulo ADE'
or: +ou2,5; AD= *ouu,u
LG Na figura, AB : 6 cm, M é Ponto médio
do lado K.,2 é ponto médio do lado AC e
PA: AC : 6"lT cm. Determine a medidaxdo
segmento NA. z ".
L7 As bases de um trapézio medem 8 cm e
1.2 cm,enquanto os lados não-paralelos medem
3 cm e 5 cm. Prolongam-se os lados não-parale-
los até se encontrarem. Determine:
a) as medidas dos lados do menor triângulo as-
sim obtido. 8 cm, 6 cm, 1o cm
b) o perímetro desse triânguIo. za ".
c) o perímetro do maior triângulo obtido' eo "n.
Íotonao
Jn[ot^oçao
OjornalFolhadeS.Paulo,emsuaediçãode29dejaneirode2002'
publicou alguns gráficos relativos à produção e exportação da maçã
brasileira.
Observe-os com atenção.
mil toneladas f e. US$ milhões
PÍodugão
Em mil loíoledag
Agora responda:
a) Quantas toneladas de maçã foram exportadas no ano 2000? aq,s mil toneladas
b) Quanto foi arrecadado com essa exportação? so,z milhÓes de dólares
c)Aquantidadeexportadaem200lfoimaioroumenordoqueem2000?meno'
d) euàl a estimativa da produção de maçãs para o ano 2001? 630,7 mil toneladas
e) De acordo com a projàçao, a quantidade produzida em 2002 será maior ou menor do que em 
2001?
0 Quantas toneladas de maçãs serão produzidas em 2002? tso mil toneladas
Fontes: Secex/ABPM/Agapomi/Frutipar/IBGE/DataÍruta/Ibraf '
221
I
LEttrdando
o triângulo retângulo oem?re exerceu uma atraçào eepertiar eobre o homem, àesàe
a Antigüiàade.
Ae deacoberrae feitae pelos babilônioa no cam,,o àa Astronomia eram
baeeaàae no triângulo retângulo.lseo veio a facilitar a noçào de localizaçào, otraçaào de rotae teresbrea e àe naveqaçào,
Mc'aaicoe como o da figura a seguir, em que a?arecem vârioe triânguloo retânguloe
àe àiferentee tamanhoe, eào enaonlraàoo nao culturae maio anligao.
I
I
,A^úri no triâng
Eoseo moeaicos àeram ao homem a opor'f,uniàaàe àe Teroeber que, ueando cadalaào
ào triàngulo rel.,ângulo aomo um laào de um quaàrado, ele eempre enoont'rava a
rneoma relaçào:
-v
A área do quadrado construído
sobre o maior lado do triângulo retângulo e
igual à soma das áreas dos quadraàos
construídos sobre os dois menore.s /ados.
C
Eeea relaçào tornou-ee importanLíesima no àeeenvolvimento àos conheciment'os
geomélriaoâ, corno veremoe neoía Uniàaàe'
urk)
-t
7'I
I
4| o tqorqv^c^ dapitayrc$
sabemos que um triângulo é retângulo quando tem um ângulo reto.
A figura seguinte nos mostra um triângulo retângulo ABC, no qual destacamos:
0 lado BC, oposto ao ângulo reto, chama-se hipo-
tenusa e vamos indicar su;a medida por a.
0s lados AC e ,Ag, que formam o ângulo reto, cha-
mam-se catetos. Suas medidas estão indicadas por
b e c, respectivamente.
Baseados no triângulo retângulo particular dos egípcios, e construindo quadrados sobre oslados desse triângulo, podemos obter a figura a seguii que nos permite estabelecer uma relacão
entre as medidas dos lados desse triângulo particulai.
0s antigos egípcios, usando uma
corda com 1 2 nos, parecem ter construído
um triângulo retângulo particular para obter
"cantos" em ângulos retos. Esse triângulo
particular tem lados medindo 3 unidades,
4 unidades e 5 unidades de comprimento.
Neste triângulo, o ângulo formado pelos
dois lados menores é um ângulo reto.
,+ : 1 unidade de comprimento
25:76+9
[l == 1 unidade de área
5z
I
:42 + 32^l
224
5x5:52
Assim, temos:
ll
4X
Nessas condições, confirma-se a relação:
A área do quadrado construído sobre o maior lado do triângulo retângulo é igual à soma
das áreas dos quadrados construídos sobre os dois menores lados'
Dizem que pitágoras, filosofo e matemático grego que viveu na cidade de Samos, no século
Vl a.C., conseguiu provar que essa relaÇão métrica era ratioa para todos os triângulos retângulos. 
Até
hoje essa retação métrica é utilizada, sendo um dos mais importantes teoremas da Matemática.
Podemos, entã0, enunciar o teorema de Pitágoras:
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados das medidas dos catetos.
Existem inúmeras maneiras de demonstrar esse teorema. Veremos uma delas, baseada
cálculo de áreas de figuras geométricas planas.
Consideremos o triângulo retângulo da figura:
a : medida da hipotenusa
b : medida de um cateto
c : medida do outro cateto
c
Observe, agora, os quadrados MNPQ
quadrado mede (b + c).
e DEFG, que têm a mesma área, pois o lado de cada
)
)
A partir desses dois quadrados, temos:
área do quadrado MNPQ : área do quadrado RSW
área do quadrado DEFG : áreado quadrado IELJ +
DIJH) . 2
+ (área do triângulo RNS) ' 4
área do quadrado GHJK + (área do retângulo
K
cl:
à----.- b
f,
:/
I
225
o
c
Í1
Jc
c
) área do quadrado RSW: a2
) áreado triângulo RNS : -q+
2
) área do quadrado IELJ : c2
) área do quadrado GHJK : b2
) área do retângulo DIJH : b . c
como as áreas dos quadrados MNpQ e DEFG são iguais, podemos escrever:
u'*(+\;:c2+bz+(bc).2\2)
a2 + 2bc: c2 + b2 + 2bc
Cancelando 2bc, temos:
a2:b2+c2
A demonstracão algébrica do teorema de Pitágoras será feita adiante, nesta Unidade.
veja, agora, alguns exempros em que aplicaremos o teoremia de pitágoras.
I Determinar a medida a indicada no triânguro retânguro.
Aplicando o teorema de pitágoras, escrevemos:
a2 :52 * (rT)'
a ^_a' :25 + 3 ------------- a2 :28 
- 
a: ^l2B ------------> a:2^[T
-2 Em um triângulo retângulo ABC, a hipotenusa mede a : 13 cm e um dos catetos mede b : !2 cm.Determinar a medida do outro cateto,
De acordo com o teorema de pitágoras.. a2 :'b2 + c2.
Como são dados â: l3 e b: 12, podemos escrever:
a2 : b2 + c2 I32 : 122 + c2 -______-__> 169 : t44 + c?
Resolvendo a equacão 169 : 144 + c2:
c2 : 169 - 144 ---------> c2 :25 -----------> c: {25 c : 5
Então, o outro cateto mede 5 cm.
226
xtt
3 Qual e a expressão que representa a medida a da hipotenusa no triângulo retângulo abaixo?
Aplicando o teorema de Pitágoras, escrevemos:
a2:l2x+1)2+(x+3)2
a2:4x2+4x+1+x2+6x+9
a2:4x2+x2+4x+6x+1+9
a2 :5x2 + 10x + 10
Logo, a expressão algébrica que representa a medida da hipotenusa é
4 Verificar se o triângulo cujos lados medem 16 cm, 30 cm e 34 cm é um triângulo retângulo'
Sendo a hipotenusa o maior lado do triângulo retângulo, escrevemgs:
a:34cm b:30cm c:16cm
Daífazemos:
Uma vez que as medidas dos lados satisfazem a relacão de Pitágoras, podemos dizer 
que o
trrângulo é retângulo.
5 Construir um segmento AB cuja medida é rD unidades, e um segmento AC cuja medida é Htr
unidades.
Considerando como 1 unidade de comprimento, obtemos:
Justificattva:
x2 :12 + 12
x2:1+1
x2 :2
r-Yr: "'l I
A partir desse resultado, podemos obter:
Justif icativa:' .,
y2 : t2 + l"'lz )'
Y2:I+2
u: 
^f 
sxz + 10x + 10
+10x+10
xe-rclcloS
gulos retângulos:
Aplicando o teorema de pitágoras, determi_
a medida x indicada em cada um dos triân_
x-40
de um triângulo ABC medem
26 crn. Você pode afumar que esse
ngulo? s,m pos 26? = 24: + 1o:'
3 Em um triângulo retângulo, a hipotenusa
mede 14 cm e um dos catetos mede 5 
^,Ecm.Determine a medida do outro cateto.
t 4 A, medidas dos catetos de um triângulo re-
tângulomedem (2+ {{1cm e (-2 + r,F) cm.
Determine a medida da hipotenusa. 3.E ",
5 Um terreno triangular tem frentes de 12 m e
16 m em duas ruas que formam um ângulo de
90o. Quanto mede o terceiro lado desse tãrrenooJ
6 O portão de entrada de uma casa tem 4 m
de comprimento e 3 m de altura. eue compri-
mento teria uma trave de madeira que se esten_
desse do ponto A até o ponto C? 5 -.
d)
c)
J 1o'
228
Dois navios partem de um mesmo ponto,
mesmo instante, e viajam com veloõidade
constante ern di
reto. Depois de
cia entre os dois
é- 7 milhas por hora mais rápido que o outro,
determine a velocidade de cada rrurrio.
§ t h35,/f sr; ;. '12 rri haç/har:
Durante um incêndio num edifício de apar_
entos, os bombeiros utilizaram uma escada
Magirus de 10 m para atingir a janela do apar-
tamento sinistrado. A escada estava colocaàa a
1 m do chão, sobre um caminhão que se encon_
trava afastado 6 m do edifício. eúal é a altura
do apartamento sinistrado em relação ao chão?
Quantos metros de fio são necessários para
xar htz" de um poste de 6 m de altura até a
caixa de luz que está ao lado da casa e a g m da
base do poste? r o n
2 mi has/hora
a)
x
I-O Na figtxa,o triângulo BCD é eqüilátero'
C
Determine:
a) o perímetro do triângulo BCD. 45
b) o perímetro do quadrilátero ABCD. 51
L L Na figura tem-se que AB = BC e F é o
ponto médio do lado gE ao retângulo BCDE'
L.
" t'x}çi
&$).",,,
tt
I,,
(
0
D
['.('
,/
*
Determine:
a) a medida x indicada na Íigura. o
b) a ârea do retângulo BCDE. 72
L2 Considerando a figura,
determine:
a) a medida a. z,E
b) a medida b. 4.,6
c) a medida c. ro o
2
d) o perímetro do M
trapézioMNPQ. 28
L3 Nafiguratem-seque AB = ED' Nessas
condições, determine:
a) a medida do segmento AB. 20
b) a medida do lado AD. rz./to
b
L4 Determine as medidas x ey indícadas na
figura. r 5ev'i3
b
1-5 Qual é
do quadrado
o polinômio que exPressa a átea
ABCD, em que *, +?
- "^ 2
D
A
2x-1
M 3x+1 B
Lí6 O perímetro do quadrado DSCR é 8 cmSa-
bendo que o triânguloARD é isósceles ( AR = RD),
o triângulo DSB é isósceles (DS = 5B) e o
ponto D é o ponto médio do segmento AB,
determine:
C
a) amedidadosegmento AB. "r2 cm
b) o perímetro do triângulo ABC' (B ' 1112
b
L7 Considere a figura e determine:
EYo
)cm
6
x_lGF
x
AXB
a) o perímetro do quadrado ABGF 32
b) o perímetro do quadrado BCDE' 56
c) o perímetro do polígono ACDEF 68
229
n#e
D
I
A
p
Dado o triângulo, determine
ssão x2 + y2. 'ru
o valor da
0
L€) Determine as medidas I e h indicadas na
figuraabaixo. x.=7 =24
i,11 lrl
2|o Em um triângulo retângulo isósceles, cada
cateto mede lOnT cm. eual é a medida da hi-
potenusa desse triângulo? 20 cm
2l Sabemos que, num triângulo isósceles, a
altura e a mediana relativas à base coincidem.
No triângulo isóscelesABC da Íigura,cada lado
congruente mede 40 cm e a base BC mede
48 cm. Determine a medida h da alfitrarelativa
à base. h : 32 cm
s dê um retângulo são 36 cm
a medida d da diagonal des_
Os lados de um retângulo medem 30 cm
m. Calcule as medidas dos lados de um
retângulo semelhante, cuja diagonal mede
10cm. 6cmeScm
230
24 Em um losango, as diagonais cortam-se
mutuamente ao meio, ou seja, o ponto de en_
contro das diagonais é o ponto médio de cada
diagonal. No losango peRS, a diagonal maior
PR mede 80 cm e a diagonal menor eS mede
18 cm.
D
7
C
Nessas condições, calcule:
a) a medida x do lado do losango. 4
b) o perímetro desse losango. 164 cm
25 Afiguraéumtrapézíorc- A
tângulo. Nela, as medidas estão
indicadas em centímetros. De-
termine: 15
a) a medida x do lado BC. -0.n.
l),3 aoto 
a y da diagonal BD. 
B
lcm
26 A figura abaixo é um trapézio isósceles,
em que as meriidas indicadas estão expressas em
centímetros.
Calcule:
a) a medida x de cada lado não paralelo do
trapézio. s cm
b) operímetro do trapézioABcD. 44cín
U:n pedaço de arame de 60 cm de compri_
é dobrado convenientemente na formá de
um triângulo retângulo. Se a hipotenusa desse
triângulo retângulo mede 26 cm)qual o compri_
mento dos outros dois lados do triângulo?
24cme10cm
2€3 Uma árvore foi quebrada pelo vento e a
parte do tronco que restou em pé forma um
ângulo reto com o solo. Se a altura da árvore
antes de se quebrar era 9 m, e sabendo-se que
a ponta da parte quebrada está a 3 m da base
da árvore, qual a altura do tronco da árvore
que restou em Pé? 4m
A figura ao lado é um quadrado onde:
í : medida do lado
d : medida da diagonal
No triângulo retângulo ABC, aplicando o
teorema de Pitágoras, podemos escrever:
d2:(,2+(,2
Determine a
medida x do lado Be
do quadrilátero ABCD,
em que as diagonais' 
são perpendiculares e
AM = givl. As medidas indicadas na figura
estão expressas em centímetros. x = 2Jtt cm
D
{
1e aplicação: O teorema de Pitágoras no quadrado
Aplicando o teorema de pitágoras, podemos estabelecer uma relaÇão importante entre 
a medi-
da d da diagonal e a medida Ú do lado do quadrado'
d2:
d:
2c2
r -^
12e'
(^[,
Acompanhe os exemplos:
Quanto mede a diagonal de um quadrado 
que tem 8 cm de lado?
Pela fórmula, temos d : ( {, .
Substituindo-se { por 8, vem: d : 8^ã cm.
Logo, a medidatda diagonal desse quadrado é 8^,'ã cm'
tE-.
d:
Dwat a caç0a5 lA^ orlanleg
A diagonal de um quadrado mede 10 cm. Determinar a medida ú do lado desse quadrado.
Pelo problema, temos d : 10 cm.
Substituindo na fórmula d : (JT,temos:
LO:(JT * eJz:lO -----+ e : J!-
"12
Logo, o lado do quadrado mede 5JT cm.
----------+ (: loF ---------> (:5JT
2
2= aplicação: 0 teorema de pitágoras no triânguro eqüilátero
Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos estabelecer uma relação importante entre a medi-da h da altura e a medida ( dolado do triângulo eqüiláteio.
A figura ao lado é um triângulo eqüilátero, em que:
í : medida do lado
h : medida da altura
No triângulo eqüilátero, a altura e a mediana coincidem, logo, o ponto H é ponto médio do
lado BC.
No triângulo retânguloAHC (Ê e reto), de acordo com o teorema de pitágoras, temos:
t2:h2.(+)' 
- 
h2:(2-+ ------------> hr:3!4 -------------> h:F
, / 3e' r:rh:./ ---) h: "'l 3(' , h:v4 ,T
4JT
Veja os exemplos:
Vamos determinar a medida h da altura de um triângulo eqüilátero de lado 20 cm.
Substituind o 4 por 20 nafórmula h : J Jt ^^r^-^^ -2 ' pooemos escrever:
6: 2ol5 : lorE
2
Logo, a altura desse triângulo eqüilátero mede 10J3 cm.
232
Z A altura de um triângulo eqüilátero é 9 cm. Determinar a medida { do lado desse triângulo'
Substituindo h : 9 na fórmula h : 4!I
q: cq --------r> ({t: lg ---------+ (-z
Logo, a medida do lado desse triângulo é 6
, temos:
- o_ 18rT_ -______-_+ C:6]34 O:- 
3
I
Geometria
É possível determinar na reta numérica, abscissa é um
número irracional. Para isso, basta construir t unidade de
medida usada na reta, e, depois, transportar para número zeto' as
medidas das hiPotenusas obtidas.
-Jt ís
4 3 2 -1 o r I z ls +
IJsando o processo acima, represente em uma reta numérica os número' 1E " 
.uE' f J8
Usando o compasso, verifique r" .6 é o dobro de "E' 
sim
Depois de obtido o ponto de abscissa Jí, como você faria para obter o ponto de abscissa ^[tZ Z
Com o compasso, transPortar a medid
t.
,
3.
I- Um quadrado tem 4 cm de lado' Determine
a medida da sua diagonal:
a) usando a fórmula.
b) sem usar a fórmula.
233
l-^r,
-^iã
de um quadrado mede 11 JI cm.
edida do lado e o perímetro des_
11cme44cm
ulo eqüilátero a altura mede
o perímetro desse triângulo
de um triângulo pode ser calculada
ndo-se a medida de um lado pela
altura relativa a esse lado e dividin_
do-s9 o resultado por 2. Nessas condições e fa_
zendo V3 : 7,73, determine a área de um tri_
ângulo eqüilátero cujo lado mede 4 cm. 6,e2 cm2
Na figura abaixo, as medidas estão expres_
em centímetros.
P
D
10
B 10 -c
Determine:
a) a medida do lado do quadrado BDpe. ro.,f ."
b) o perímetro desse quadrado. 40 1T cn
c) a área desse quadrado. 2oo cm2
€3 A medida do lado de um triângulo eqüilá_
tero_é igual à medida da diagonal áe um qua_
drado de lado 6 cm. Determiie a medida da al_
tura do triângulo. s.,,F .r,
)
)
)
óqt nnítrico\5
yilrt rqtànyilo
Além do teorema de Pitágoras, existem outras relacões métricas entre os elementos de umtriângulo retângulo.
Vamos, inicialmente, identificar esses eíementos considerando o triângulo retângulo abaixo:
BC é a hipotenusa; sua medida é indicad a por a.
AC é um cateto; sua medida é indicada por b.
AB é um cateto; sua medida é indicada por c.
234
) AH é a altura relativa à hipotenusa; sua medida é indicada por h.
) BH é a projeção ortogonal do cateto AB sobre a hipotenusa; sua medrda é indicada por n.
) HC é a projeÇão ortogonal do cateto AC sobre a hipotenusa; sua medida é indicada por m.
podemos estabelecer relações entre essas medidas, demonstradas a 
partir da semelhanca de
triângulos e baseadas na seguinte propriedade:
AABC
AABC
AHAC
AHBA -
AHBA -
,;^, il'r
ېt, (ol'
/É" r
Agora, vejamos essas relacões:
le relação: Considerando os triângulos HBA e ABC, temos:
,
DaÍ, temos a proporção * : +.'ac
Dessa proporçã0, podemos escrever: c n = c2:an
Em qualquer triângulo retângulo, a altura relattva à base divide o triângulo em dois
outros triângulos retangutosl semelhantes ao triângulo dado e semelhantes entre si'
Considerando os triângulos HAC e ABC, temos:
=+ AHAC - AABC
Daí,temosaproporcão b : T.'ab
Dessa proporcão podemos escrever: b . b :
Fica, então, demonstrada a relacão métrica:
a.m b2 : afÍt
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto
da medida da hipotenusa pela medida da projeção do cateto considerado sobre a
hipotenusa.
b2:affiouC2:an
2e rehção: Considerando os triângulos HBA e HAC, temos:
Daí, temos a proporcão h : -n .' m h'
Dessa proporcão, podemos escrever: h . h : rn . Í.1
236
h2:mn
Fica, assim, demonstrada a relação métrica:
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é
igual ao produto das medidas dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa.
3e relaçáo: Da 1c relação métrica, temos que:
b2:am c2:an
Multiplicando membro a membro as igualdades:
b2.c2:â11 .â[ 
-------r> 
b2.c2:a2.n.m b2C2:A2h2 --------- 
bC:ah
-F-
Fica, assim, demonstradaa relação métrica:
Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto
da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.
43 relacão: Vamos dar, agora, a demonstração algebrica do teorema de Pitágoras:
Da 1? relacã0, temos:
b2:am c2:an
Adicionando membro a membro as duas igualdades:
b2 + c2 : âm * âÍl # b2 + c2 : uql! -------------+ b2 + c2 : a2 ou a2 : b2 + cz
a
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma
dos quadrados das medidas dos catetos'
237
Observe, agor4 os exemplos:
I No triângulo retângulo, determinar as medidas a,
medidas da figura são dadas em centímetros.
h, b e c indicadas, considerando-se que as
No triângulo retângulo, vamos determinar as medidas a, b, h e m indicadas.
A
â: ÍIl * l'l
â:3,2 + 1,8
a:5cm
62:4a
4a: 36
^36o: 
4à:9
h2:mn
h2:1,8.3,2
h2 :5,76
h : 1876
h:2,4cm
b2:am
b2 :5 .3,2
b2 :16
b: 
^,/i6
b:4cm
c2:an
c2: 5' 1,8
c2 :9
c:Jí
c:3cm
b2:a'm
b2:9.5
b2:45
b : l?t
b : 3Jt
ÍTl*4:â
mf4:9
m:9-4
m:5
h2:5.4
h2 :20
h: J2o
h: 2"{í
Escreva todas as relações métricas que você
de formar com as medidas indicadas no tri-
ângulo retângulo ABC: *, - y2 + z? ,p, - ,.; y, : xr; z. : xs;
2 Quat a relação métrica que você pode for-
mar envolvendo as medidas t, x e y indicadas
no triângulo retângulo abaixo? r = xy
238
3 Determine as medidas fit e n indicadas no
triângulo retângulo. m: 4; n: 12
0
4 No triângulo retângulo, determine as medi-
das b e /z indicadas. b : 18; n : p nE
5 Determine as medidas a en indicadas no tri-
ângulo retângulo abaixo. n :25; a:34
6 As medidas indicadas no triângulo retângu-
1o ABC são tomadas em milímetros. Determine
as medidas a, h, b e c nele indicadas.
a : 100mm, h : 48mm; b : 80 mm; c : 60mm
0
7 Emum triângulo retângulo, os catetos me-
dem 7 cme24 cm. Determine:
a) a medida da hipotenusa. 2b cm
b) a medida da altura relativa à hipotenusa.
239
€l Em um triângulo retângulo, um cateto mede
10 cm e sua projeção sobre a hipotenusa mede
5 cm. Nessas condições, determine:
a) a medida da hipotenusa. 2o cm
b) a medida do outro cateto. 10 crn
c) a medida da altura relativa à hipotenu_sa.
5!J Cm
€) Todo triângulo inscrito numa semicircun-
ferência é retângulo. Na figura abaixo, uma cor-
da AB é projetada ortogonalmente sobre o
diâmetro BC, determinando um segmento BD
que mede 9 cm. Se o raio da circunferência mede
8 cm, calcule a medida x da corda AB. 
" 
: 12cm
LO Por um ponto Á de uma circunferência
traça-se o segmento AH perpendicular a um
diâmetro BC, conforme a figura. Se o ponto H
determina no diâmetro segmentos de 4 cm e
9 cm, determine a medida x do segmento AH,
a medida y da corda AB e a medida z da cor-
da AC.
x:6cm
y:2rfi3 cm
z: sJt3 cm
L L Nummapa, as cidades A,B eC são os vér-
tices de um triângulo retângulo, e o ângulo reto
está em Á. A estrada AB tem 80 km e a estrada
BC tem 100 km. Um rio impede a construção
de uma estrada que ligue diretamente a cidade
Á com a cidade C. Por esse motivo, projetou-se
uma estrada saindo da cidade Á e perpendicu-
lar à estrada BC, para que ela seja a mais curta
possíveI. Qual será o comprimento da estrada
que será construída? +s k',
L 2 Em um retângulo, a perpendicular traçada
de um vértice sobre uma diagonal determina
sobre esta diagonal segmentos de 64 cm e 36 cm.
Calcule o perímetro desse retângulo. 24a :,^
I- 3 No triângulo retângulo daÍigura,o cateto
AB mede 15 cm e o segmento HC mede 16 cm.
Determine a medida x da hipotenusa BC do tri-
ângulo. A
x=25
A matemátÍca chinesa e Bhaskara
A história documentada da matemática chinesa começa por volta de 1500 a.C., com algumas
inscrições em ossos e carapaças de tartaruga. O mais importante texto de matemática chinesa antigo
é oChiu Chang Suan Shu ouNoae capítulos sobre a arte da Matemdtica. O livro é de autor desconhecido
e contém 246 problemas, a maior parte deles envolvendo situações práticas.
O famoso problema do "bambu
quebrado", que aparece no último capítulo
desse livro, apresenta o seguinte texto:
Um bambu corr.l zhang de altura
partiu-se, e a parte de cima toca o chão a 3
chih da base do bambu. Qual é a altura da
quebra?
Hg
ü
fr.
íÍ
+
afi
t'r+
FT
ffi
+
*
â
ql
Ír
*+<-+gt
{.
ü
*-
(Nota: 7 zhang = 70 chih)
I
fr
)
I
t
ü
O problema do bambu quebrado,
de um trabalho de Yang Hui (L267).
No século XII, o matemático hindu Bhaskara publicou o mesmo problema assim:
"Se um bambu de 32 cúbitos de altura é quebrado pelo vento de modo que a ponta encontra o
chão a 16 cúbitos da base, a que altura a partir do chão ele foi quebrado?" F.
fr
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rtlil
x
*
fr
+{
*
E
Que tal você resolver esse problema?
l2 cúbrtos rfl
h
240
|Q"* 
and,o o qwa aPrandaa
a (UFSU-RS) Observe na figura os três qua-
drados identificados por I, II e III. Se a área do
quadrado I é36 cm'ã a área do quadrado II é
100 cm', qual é, em centímetros quadrados, a
área do quadrado III? 64 cn,:
2 Dá-seum triângulo retângulo, cujos catetos
medem L8 cm e24cm.
a) Qual a medida da hipotenusa? 30 cm
b) Qual a medida da altura relativa à hipote-
nusa? 14,4 cm
c) Quais as medidas dos segmentos que a altu-
ra determina sobre a hipotenusa? 1e,2 cm e 10,8 c',
3 Na figura abaixo, o quadrado ABCD tem
16Jícm de perímetro e C e D pertencem ao
diâmetro EF de tal modo que OC = OD. Cal-
cule a medida do raio da circunferência e a me-
dida do segmento EC. rocm, (ro - z.'s ).,
4 Emqualquer triângulo retângulo, a medida
da mediana relativa à hipotenusa é igual à me-
tade da medida da hipotenusa. Em um triângu-
lo retângulo, os catetos medem 7 cm e 24 cm.
Nessas condições, calcule a medida da mediana
relativa à hipotenusa nesse triângulo. r2,s cm
5 A figura nos mostra um triângulo ABC
eqüilátero, de lado 6 cm. Sabendo que os seg-
mentos AP, PQ, QH têmamesmamedida,de-
termine a medida do segmento BQ. 2, j-.n
6 ABCD é um paralelogramo. Se BC mede
15 cm, DM mede 16 cm, KC mede 12 cm e AK
mede 11 cm, determine:
a) a medida do segmento KB. e cm
b) o perímetro do AKBC. ?6rr
c) o perímetro do paralelogramo ABCD. 70 cm
d) a medida do segmento CM. 12ct)
e) o perímetro do quadrilátero ABMD. 78 cm
7 TJmacorda AB de um círculo mede 6 cm e a
distância dessa corda ao centro do círculo é 3 cm.
Determine o comprimento do raio do círculo.
3r 2 c'r
€3 Na figura, ABCD é um quadrado de lado
J6 "* e BDE é um triângulo eqüilátero. Nes-
sas condições, determine:
a) a medida do lado do triângulo eqüilátero.
b) a,medida da altura desse triângulo.
241
9 O perímetro de um triângulo retângulo é
24 crrt e as medidas de seus lados estão expres-
sas por x - 2,r e x * 2. Determine:
a) a medida da altura relativa à hipotenusâ. 4,8 cm
b) as medidas dos segmentos que a altura de-
termina sobre a hipotenusa. 3,6 cm e 6,4 cm
As respostas devem ser dadas na forma de nú-
mero decimal.
LO Para calcular a medida do lado AD na
figura, pode-se dividi-la em dois triângulos: o
triângulo BCD (retânqulo em C) e o triângulo
ABD (retângulo em B). Qual é a medida do
lado AD? 25
L L Em um triângulo retângulo, as medidas
dos catetos são expressas por x e 2x. Qual é a
razáo entre o maior e o menor dos segmentos
determinados pela altura sobre a hipotenusa? +
L2 Na Íigtxa, um móvel P percorre a semi-
circunferência onde o diâmetro AB mede 2 cm
e PQ é perpendicular a AB.
a) Qual a relação métrica que se pode estabele-
cer entre as medidas x e y indicadas? y' = 2x - x'
b) Se y : 1, qual é o valor de r? x: l
L3 No triângulo retângulo representado pela
figora,o lado AC mede 16 cm e o lado BC mede
20 cm. Sabendo que med ( AD) : + med ( AB)
1
e med (CE) : -i med (AC), determine as+
medidas dos lados do triângulo DAE.
4 cÍ,,12 cm 4r I 0 cr
a4 (Saresp) Pedro precisa de uma tâbuapara
fazer um reforço diagonal numa porteira de
1,5 m de altura por 2 m de comprimento. O com-
primento dessa tábua deverá ser de:
a)1,5m b)2,0m *c)2,5m d)3,0m
L 5 Qual a distância percorrida, em linha reta,
por um avião do ponto A até o ponto B, quando
ele alcança a altura indicada na figura? 1,3 km
LG O desenho seguinte nos mostra duas tor-
res distantes 60 m uma da outra (RS : 60 m) e
entre elas se encontra uma Íonte de centro no
ponto F. Amenor das torres tem 30 m de altura,
e se esticarmos uma corda de um de seus pon-
tos mais altos (ponto A) até F teremos 50 m de
corda. Se de um dos pontos mais altos da se-
EY
lr)
d
242
gunda torre (ponto B) esticarmos uma corda até
F, teremos 20 "15 m de corda.
-1
lratando
aos empregados
6:- 
-I1
71 21
78 19
166367
a)
b)
c)
ÀfuÍ*"o^o
Norte
Cêntro-Oeste
Sul
Nordeste
Sudeste
Fonte: O Estado de S. Paulo,1,6 abr.2002.
Com base nesses gráficos, responda:
Que região do país apresenta o menor percentual de empresas com atendimento a comunidades?
E maior? Norte; Sudeste
Que região do país apresenta o menor percentual de empresas com atendimento aos
empregados? E maior? sut; Nordeste
Quais os respectivos percentuais de empresas que nada investem no social, considerando cada
região brasileira? Noíte: 27%; Centro-oeste: 21%; Sul: 34%i Nordeste: 19%; Sudeste: 16%
Determine:
a) a distância de E até o ponto R, na base da tor-
re mais baixa. 40 m
b) a distância de F até o ponto S, na base da tor-
re mais alta. 20 m
c) a altura da torre mais alta. 40 m
L7 Édado um triângulo retângulo no qual a
altura relativa à hipotenusa mede 24 cm. Saben-
do que a soma das medidas dos dois catetos
desse triângulo é 70 crn, determine as medidas
dos lados desse triângulo. 50 cm, 40 cm, 30 cm
A jornalista Luciana Garbin analisou os resultados de uma pesquisa feita
pelo Ipea (Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada) sobre os investimentos
de empresas brasileiras em projetos sociais.
Observe os gráficos de barras apresentados:
243
.-,,1
f
tl
IEÍ
IÍ
;l
,' irt
T
'Iri
q
aitri
"%X:l:,y^;;"':?;:í:"1:Íi:'"^aeretacionadoo
LEtudrando cLb
\ ,2q
ononnúrictng tuo5 wlnt
Eseee problemao lraziam a neceeeiàaàe de aalcular grandee àislànaiae, que nào poàiam
eer àeterminaàae com oo inetrumentoe àa époaa. No entanto,taie àietànciae poàiam aer
aalculaàas a partir àe relaçõee entre as meàiàas àos laàoe e àos ânquloo àe um triàngulo,
?or esse motivo, em gua origem, aÍrigonometria foi coneiàeraàa uma exlenoào àa
Geometria,
AÍrigonomelria nào ee limiía ao eef,uào
de triàngulos. Enconlramoe apliaagões na
Énqenharia, na Eletrônica, na Meàicina, na
Aeronáutica e até na Música.
p
.E
e
a
ú
E
!
a
O
9
Hâ inàíaioe àe que oe babilônioo (habitantes da anl,iga Meeopot'âmia, atual l.raque)
efeluaram estudos rudimentareo àeÍrigonometria, Mais laràe, a Aslronomia, eOluàaàa
por egípcioâ e greyoe,foi a granàeimpuleionadora do àesenvolvimento àaÍrigonomelria,
ítri;caE
wl,o
No triângulo retângulo ABC, destacamos a hipotenusa BC e os catetos ng e rc.
Se usamos como referência o ângulo â, podemos escrever:
) AC é o cateto oposto ao ângulo â
) AB é o cateto adjacente ao ângulo â
E se usamos como referência o ângulo ô,
podemos escrever:
) AB é o cateto oposto ao ângulo ô
) AC é o cateto adjacente ao ângulo ô
Vamos, agora, considerar que a figura seguinte seja uma rampa na qual destacamos o ângulo
de medida cr (ou simplesmente ângulo alfa), chamado ângulo de subida.
Sobre um dos lados da rampa marcamos os pontos B, /V e Q, e por esses pontos tracamos
perpendiculares sobre o outro lado.
Por semelhanca de triângulos notamos que:
aOAB-aOMN-AOPQ-a...
Podemos, então, estabelecer as seguintes razÕes:
AB : MN:_lOB ON Oü : "' : kt (constante)
OA OM OP
oB - .N- - õ 
: "' : kz(constante)
âP : Y.ry : jg : ... : ka (constante)OA OM OP
2460 número k, é chamado seno do ângulo agudo ü e represenlaarazáo entre a medida do cateto
oposto ao ângulo o e a medida da hipotenusa em qualquer triângulo retângulo, conforme você obser-
va nas figuras seguintes, obtidas a partir da figura original:
MO
nr:#,MNxr: 
oN
fr:**
seno do ângulo cr: kr : +r: +t: #
0u
sOÍl d, : medida do cateto oposto ao ângulo cr
medida'da hipotenusa
0 número k, é chamado cosseno do ângulo agudo o e representa a razáo entre a medida do
cateto adjacente ao ângulo o e a medida da hipotenusa em qualquer triângulo retângulo, conforme
você observa nas figuras seguintes, obtidas a partir da figura original:
to
,OAttz : r0B
MO
OM
ON
kr:&
P
kz:
cosseno do ângulo d: kz: # : *H : #
0u
medida do cateto adjacente ao ângulo o
medida da hipotenusa
COSO:
247
0 nÚmero k, é chamado tangente do ângulo agudo o e representa a razão entre a medida do
cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo cr em qualquer triângulo retângulo. Observe
as figuras seguintes, obtidas a partir da figura original:
rr:#,MNl\a - 
-
,OMt. _ AB"s- oA
tangente do ângulo o( : ks : 'AL : Xll : +ABoA
tgcr:
0u
medida do cateto oposto ao ângulo o
medida do cateto adjacente ao ângulo cr
0s números k,, k, e kr, que expressam, respectivamente, o seno, o cosseno e a tangente do
ângulo agudo u, são denominados razões trigonométricas relativas ao ângulcl u.
No exemplo seguinte, você observa uma aplicacão dessas r:erações.
No triâng^ulo retângulo ABC da figura, calcular o valor do seno, do cosseno e da tangente do
ângulo agudo C, considerando r/3 : L,73.
senC:
^cateto oposto a C +: i: o,uhipotenusa
cateto adjacente a ô 2"'ttr
N
M
M
o
cosC:
hipotenusa
A
cateto oposto a C
: - r,!3 :0,g622
:+:+-+-0,57
2"ttr
248
tg c:
^cateto adjacente a C
zJí
x€-rclclo?
L Considerando qrr" ,E:2,23, determine o
valor do seno^, do cosseno e da tangente do ân-
gulo agudo B no triângulo retângulo ABC da
figura. sen lr : 0,74; côs p : 0,66 t9 p : 1,1r
2 No triângulo retângulo, determine o valor
do seno, do cosseno e da tangente do ângulo de
45o, deixando a resposta na forma de radical.
sen 45" : --l-
cos 45' :
tg45':1
l2
I
3 No triângulo retângulo,
de sen 35o, cos 35'e tg 35".
ser dados em decimal.
sen 35' = 0,56
cos 35' : 0,83
tg 35" : 0,68
4 AÍrgxa seguinte é um triângulo eqüilátero
ABC, onde cada ângulo interno vale 60o. Tra-
çando-se a altura AH, teremos um triângulo re-
tângulo AHC. Sabendo que h : t+ (você
já conhece essa fórmula), considere o triângulo
determine o valor
Os valores devem
1
2
tg oo': rE
retângulo AHC e determine o valor de sen 60",
cos 60o e tg 60", deixando esses valores na for-
ma de radical.
.n=
sen 60" - ü- A
5 Vamos usar a mesma figura e o mesmo tri-
ângulo retângulo AHC para determinar o valor
de sen 30o, cos 30' e tg 30", pois a altura AH
coincide com a bissetriz do ângulo interno Â,
no triângulo eqüilátero ABC.
1
sen 30" : 2-
,t
cos JU- = -l-
t;
rs 30" - -lã-
Determine o valor do seno, do cosseno e da
gente do ângulo B, no triângulo retângulo
ABC. Dar os valores em decimal.
sen Ê : 0,6
cos íl : 0,8
e
2
{
2
249
tsB:0,75 A
| - >,tl
Hip *ro (p or v o [ta íe tg O - t Z 5 a.C .) é consiíeraío o msts etnínerute do s qsLr&w -
mos dalnügnlísíz aui.do,íoso, e[e{esenvotveu ífiortantestrcríol[hostw obseruató-
no {e Roús. Cre{ítrrttí-se a e[e feítos cotÍto a determiwçna do fiês hmar medio, um
cÁ{auto {a ítrctmr4ro [o p[arc da or6íto terrestre e a organkaç.ã,o de um critatogo de
850 estretas. Sq.be-setmúémffníoíe[equemíntroútzíunaGréciasdlvtsoo do íircu-
t9 an 
160" : propôs o tocntkação de pontas sobre o supefície doTenc por meia de
[aatuíes e [ongíaíes.
do entanto, pelo fato de escrever a primeira tabela trigonométrica, Hiparco ficou conhe-
cido como o "Pai da Trigonometria"
Essencialmente, a idéia de Hiparco é tão simples que poucos se dão conta de sua
genialidade. Na verdade, ele introduziu uma única funcão trigonométrica: a função corda.
Pela figura abaixo, nota-se que uma tábua de cordas é equivalente a uma tábua de senos
trigonométricos.
SEO CX, : corda de 2u = corda de 2a : 2r .sen cr2r
AM_AB:
OA AC
Acredlta-se que uma tábua de cordas posterior, devida ao matemático Cláudio ptolomeu
(c.85-c. 165), foi desenvolvida a partir da descoberta de Hipar,:0.
Tahql,a da- razÕa
Em muitos casos, para resolver problemas com triângulos reti)ngulos é necessário conhecer as
razões trigonométricas dos ângulos agudos do triângulo. Como a cada ângulo agudo está associado
um único valor para o seno, para o cosseno e para a tangente, podemos eiaborar uma tabela que nos
forneca esses valores, evitando assim a necessidade de calculá-los a toda hora.
A tabela a seguir foi construída há séculos, e nos dá os valores do seno, do cosseno e da
tangente de ângulos de 1" até 89', com aproximacão até milésimos.
250
Ângulo sen cos tg Ângulo sen cos tg
10
2"
30
4"
5"
o
J"
8'
9"
10"
11'
12"
13'
r4"
15"
16'
17"
1B'
19"
20'
21"
22"
ZJ
24"
25"
26"
27"
28'
29"
30"
31"
32"
33'
34"
35"
JO
37"
38'
39'
40'
41"
42'
43'
44"
45"
0,017
0,035
0,052
0,070
0,087
0,105
0,722
0,1 39
0,1 56
0,17 4
0,191
0,208
0,225
0,242
0,259
0,276
0,292
0,309
0,326
0,342
0,358
0,375
0,391
0,407
0,423
0,438
0,454
0,469
0,485
0,500
0,515
0,530
0,545
0,559
0,574
0,588
0,602
0,616
0,629
0,643
0,656
0,669
0,682
0,695
0,707
1,000
0,999
0,999
0,998
0,996
0,995
0,993
0,990
0,988
0,985
0,982
0,978
0,974
0,970
0,966
0,961
0,956
0,951
0,946
0,940
0,934
0,927
0,92t
0,914
0,906
0,899
0,891
0,883
0,875
0,866
0,857
0,848
0,839
0,829
0,819
0,809
0,799
0,788
0,777
0,766
0,755
0,743
0,731
0,719
0,107
0,017
0,035
0,052
0,070
0,087
0,1 05
0,123
0,141
0,1 58
0,176
0,194
0,213
0,237
0,249
0,268
0,287
0,306
0,325
0,344
0,364
0,384
0,404
0,424
0,445
0,466
0,488
0,510
0,532
0,554
0,577
0,601
0,625
0,649
0,675
0,700
0,727
0,754
0,781
0,810
0,839
0,869
0,900
0,933
0,966
1,000
46"
4J'
48'
49'
50'
51"
52"
53'
54'
55"
56'
57"
58'
59'
60'
61'
62"
63'
64'
65"
66'
67"
68'
69"
70"
7r"
72"
73"
74"
75"
76"
77"
78"
79"
80'
81'
82"
83"
84'
85'
B6'
87'
B8'
89'
0,719
0,731
0,743
0,755
0,766
0,777
0,788
0,199
0,809
0,819
0,829
0,839
0,848
0,857
0,866
0,875
0,883
0,891
0,899
0,906
0,914
0,92r
0,927
0,934
0,940
0,946
0,951
0,956
0,961
0,966
0,970
0,974
0,978
0,982
0,985
0,988
0,990
0,993
0,995
0,996
0,998
0,999
0,999
1,000
0,695
0,682
0,669
0,656
0,643
0,629
0,616
0,602
0,588
0,574
0,559
0,545
0,530
0,515
0,500
0,485
0,469
0,454
0,438
0,423
0,407
0,391
0,375
0,358
0,342
0,326
0,309
0,292
0,276
0,259
0,242
0,225
0,208
0,1 91
0,17 4
0,156
0,1 39
0,122
0,105
0,087
0,070
0,052
0,035
0,017
1,036
r,072
1,111
1,150
1,192
1,235
1,280
t,327
1,376
1,428
1,483
1,540
1,600
7,664
1,732
1,804
1,881
1,963
2,050
2,145
2,246
2,356
2,475
2,605
2,7 47
2,904
3,078
3,277
3,481
3,732
4,011
4,332
4,705
5,145
5,671
6,314
7,775
8,144
9,5t4
11,430
14,301
19,081
28,636
57,290
Se quisermos, por exemplo, conhecer o valor do seno de 43', procuramos, na tabela, o ângulo
de 43' e na coluna seno encontraremos o valor procurado, ou seja, 0,682.
Então, sen 43' :0,682.
A maioria das calculadoras, hoje em dia, fornece esses valores,
251
l- TABELA DE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Na resolução de alguns problemas é mais conveniente usar os valores da seguinte tabela:
Por extensão de definicã0, consideramos:
RaEol,,vando rohLeu^a5 no triân
Usando os valores do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo agudo de um triângulo
retângulo, podemos resolver problemas como os dos exemplos a seguir.
I No triângulo retângulo da figura, determinar as medidas x e y dos catetos.
De acordo com os dados do problema, temos:
20 cm : medida da hipotenusa
x : medida do cateto oposto ao ângulo de 32"
y : medida do cateto adjacente ao ângulo de 32"
Daí podemos escrever:
sen 32'
Ii
0,53 --
X
20
x: 20. 0,53
x : 10,60 cm
Logo, temos: x :
.ôo YJZ:20
o, g:#
Y : 20' 0,848
y : 16,96 cm
16,96 cm.
252
X
20
10,60cffiey:
TahelaE
-t
Ângulo
45"
60'
00
90'
GOS
,tr
2
"T2
1
T
GOS
1
0
sen
1
T
"1,
2
,T2
30'
0
1
1
,tr
!s
0
não
existe
2 Em um triângulo isósceles, cada ângulo da base mede 71". Sabendo-se que a base desse
triângulo mede 8 cm, determinar a medida h da altura relativa à base.
Vamos fazer um esboço do triângulo dado:
A
----------------)
De acordo com os dados do problema, temos:
4 cm: medida do cateto adjacente ao ângulo de 71"
h : medida do cateto oposto ao ângulo de 71'
Entã0, podemos escrever:
h
tqJl" : ;
2, 04: + ---------> h: 4.2,904 # h : 11,616 cm,4
Logo, a altura pedida mede 11,616 cm.
3 Determinar as medidas x e y dos lados não-paralelos do trapézio retângulo ABCD.
Vamos considerar a figura dada e observar que:
:BC:Y
:AB-CD:6cm
No triângulo retângulo AHD, temos:
6 cm : medida do cateto adjacente ao ângulo de 60'
x : medida da htpotenusa
y : medida do cateto oposto ao ângulo de 60"
DH
AH
20 cm
c
v
14 cm C
253
Daípodemos escrever:
2x
x: 2'6
x: 12
Entã0, os lados não-paralelos do trapézio medem 12 cm e 6r/í cm.
4 Queremos saber alarguraí de um rio, sem atravessá-lo .Paraisso, adotamos o seguinte processo.
) Marcamos dois pontos, A (uma estaca) e B (uma árvore), um em cada margem, de tal modo
que o ângulo no ponto A seja reto.
) Marcamos um ponto C, distante 8 m de A, onde fixamos o aparelho de medir âlgulos (teodolito).
) Medimos o ângulo de 70" no ponto C.
Nessas condicões, qual a largura ( do rio?
A representação matemática do problema está esbocada na figura abaixo, em que:
{ : medida do cateto oposto a 70"
8 : medida do cateto adjacente a70"
Daítemos:
+^ 7^o cateto oposto a70" tg 70" :
cateto adjacente a70"
Como tg 70" : 2,75 (olhando a tabela), temos:
2,75:+ --------> 4:2,70.g r (:22,Oam
Entã0, a largura do rio é de 22 metros.
!
6
X
(
s
254
E
7r.
xarclcl05
L Determine as medidas x e y indicadas
triângulo retângulo. x: 8,re;y = s,7B
Use: sen 65" : g,g,
cos 65o : 0,42
tg 65" : 2,14
no
2 Determine no triângulo retângulo
medidas a e c indícadas. u : 20; c : ro ri3
ABC as
3 Sabendo que sen 40o : 0,64, cos 40o : 0,77 e
tg 40' : 0,84, determine as medidas x e y
indicadas no triângulo retângulo. x:4,48, y : E,3e
4 Considerando o triângulo retângulo ABC,
determine as medidas a e b indícadas. . : 24, ó : 12
c
n"[T
255
x : 9,5 cm, y : 3,1 cm; perÍmetro = 25,2 cm
5 Determine o comprimento
triânguloABC. +"'I.,
do lado BC no
6 Sabe-se que, num triângulo isósceles, cada
lado congruente mede 40 cm. Se cada ângulo da
base desse triângulo mede 62o, determine:
a) a medid a x d,abase sz,oo "^ 
use: sen 62" : 0,88
cos 62" : 0,47
b) a medidah da altura 3b,20 cm tg 62" : 1.6g
7 Determine as medidas dos catetos de um
triângulo retângulo sabendo que a hipotenusa
mede 50 cm e um dos ângulos agudos mede 37".
30cme40cm
Use: sen 37" = 9,69
cos 37" : 0,g0
tg 37" = 9,75
€i A diagonal de um quadrado mede 6 ^lT crr.,
conforme nos mostra a figura. Qual é o períme-
tro desse quadrado? z+.,
€) A diagonal de um retângulo forma com o
maior lado desse retângulo um ângulo de 18o,
conforme mostra a Íígura. Se a diagonal mede
10 cm, determine as medidas x ey dos lados do
retângulo, bem como o seu perímetro.
Use: sen 7g" : 0,37
cos 79" : 0,95
tg 78. : 6,j2 y
x
10
x
LO A figura seguinte é um trapézio retângu-
Io, sendo x ey as medidas dos lados não-parale-
Ios desse trapézio. Determine x e y.
x- 12,y=6\3
L L Na figura, temos que PA : 18 crn.
Calcule: r-61i3 6a
a) o comprimento r do raio da circunferência;
b) a distância x do ponto P ao centro O da cir-
cunferência. x = T2 r3 cm
L2 Observando a Íigura seguinte, determine:
c
,t
a)amedidaxindicadâ x=TOo : cm
b) a mediday indicadâ y . 1ooc,.
c) a medida do segmento AD oo 2oo
L3 Calcuie as medidas x e y indicadas
gura abaixo. ,2 r 6
na fi-
256
L4 Determine as
fígwa. \ j
medidas x e y indicadas na
L5 Qual é a altura h do poste representado
pela figura? :0 .
LG Uma rampa lisa com 10 m de comprimen-
to faz ângulo de 15o com o plano horizontal.
Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se
verticalmente a quantos metros? 2,ô ,r
7-Ise:-sen 15o : 0 ,26
cos 15" -- 0,97
tg 1,5" : 0,27
L7 Adeterminação feita por radares da altu-
ra de uma nuvem em relação ao solo é impor-
tante para previsões meteorológicas e na orien-
tação de aviões para que evitem turbulências.
Nessas condições, determine a altura das nuvens
detectadas pelos radares conforme o desenho se-
guinte. 6,30 i
l..lse: sen 28' -- 0,47
cos 28o : 0,88
g28o :0;53
<.-\-.--
L€! Auma distância de 40 m, uma torre é vis-
ta sob um ângulo c[, como nos mostra a Íigura.
Determine a altura h da torre se:
a) cr : 20o b) cr : 40'
L§) Qual é a largura do rio representado a se-
guir? oo.
(Use: sen 53o : 0,80; cos 53" : 0,60;
tg 53' : 1.,32.)
50
20 O ângulo de elevação do pé de uma árvo-
re ao topo de uma encosta é de 60". Sabendo-se
que a árvore está distante 50 m da base da en-
costa, que medida deve ter um cabo de aço Para
lígar abase da árvore ao topo da encosta? roo.
50m
2L Um navio, navegando em linha reta, vai
de um ponto B até um ponto Á. Quando o navio
está no ponto B, é possível observar um farol
situado num ponto C de tal forma que o a"g*19
ACB mede 60o. Sabendo que o ângulo CAB
é reto e que a distância entre os pontos A e B é
de 9 milhas, calcule a distância, em milhas:
a) do ponto Á ao farol s,rg
b) do ponto B ao farol ro,se
22lJma escada de um carro de bombeiros
pode estender-se até um comprimento máximo
de 30 m, quando é levantada a um ângulo máxi-
mo de 70o. Sabe-se que a base da escada está co-
locada sobre um caminhão, a uma altura de 2 m
do solo. Que altura, em relação ao solo, essa es-
cada poderá alcançar?
(Use: sen 70" : 0,94; cos70" : 0,34;
t970" :2,75.)
23 Na construção de um telhado, foram usa'
das telhas francesas e o "caimento" do telhado
é de 20o em relação ao plano horizontal. Saben-
do que, em cada lado da casa, foram construídos
4 m de telhado e que, até a laje do teto, a casa
tem 3 m de altura, determine a que altura se en-
contra o ponto mais alto do telhado dessa casa.
(Use: sen 20o :0,34; cos 20" : 0,94;
tg20' :0,36.)
257
-'- B
I
I
I
t.
b____
A
Considere a seguinte situação:
Um navio se encontra num ponto A, distante 6 milhas de um farol F. No mesmo instante, um
outro navio se encontra num ponto B, distante 15 milhas do farol F, de talmodo que o ângulo de visão
de um observador que se encontra no farol F e vê os dois navios é de 60'. Qual a distância entre os
dois navios nesse instante?
Pelo desenho, é possível observar que devemos determinar a medida de um lado de um triângu-
lo que não é triângulo retângulo, quando conhecemos as medidas dos outros dois lados e do ângúlo
oposto ao lado cuja medida se quer encontrar.
Como o triângulo não é retângulo, não podemos aplicar as relacões já conhecidas. Vamos,
entã0, estudar outras relacões possíveis de ser aplicadas em um tnângulo acutângulo ou obtusângulo
e que são muito Úteis não só no estudo da Matemática como também da Física, principalmente nas
questões de Mecânica.
Lqi (ow leorr«tval doE 5q 05
Vamos considerar o triângulo acutângulo ABC, em que:
) a, b, c são as medidas dos lados
) h1 é a medida da altura AH,
) h2 é a medida da altura CH2
258
Observe a demonstração:
) Considere os triângulos ABH, e ACHr, que são triângulos retângulos.
No triângulo retângulo ABH1, temos: sen B :
No triângulo retângulo ACH1, temos: sen C :
No triângulo retângulo BCH2, temos: sen B :
No triângulo retângulo ACH2, temos: sen A :
Comparando @ e @, podemos escrever:
H1
h,
C
h,r ____>
b
ht:C'senB
hr:b'senC
c.senB:b'senC
Daí resulta:
) Considere os triângulos BCH, e ACHr, que são triângulos retângulos.
o
A
b
C
H2
h2
- ---}|a
h,
--->b
hz:à'senB
hz:b'senA
Daí resulta:
a.senB:b'senA
senc - senB
@
Finalmente, comparando e @, podemos escrever a seguinte igualdade de razões:
a_b
sen A sen B sen C
Essa igualdade denomina-se /ei dos senos e é válida para qualquer trrângulo.
Vejamos uma aplicaÇão:
Determinar a medida x indicada no triângulo acutângulo da frgura abaixo.
Pela lei dos senos, temos: B-=^-:
sen 45'
Como sen 45" esen 60' : , podemos escrever:
8_x
^lz
2
JT'*
,T
2
8'HE
:J'
2
J'
X_
Logo, a medida x procurada é 4^[6 cm.
Lei (ow teorqu^al dos co55arro5
Considere o triângulo acutângulo ABC, em que:
A
) a, b, c são as medidas dos lados do triângulo
) h é a medida da altura relativa ao lado gC Oo triângulo
) xe y são as medidas dos segmentos que a altura deter-
mina sobre o lado BC
260
Observe, agora'.
No triângulo retângulo ABH, aplicando o
c2 : h2 + x2 ---------> h2 : c2 - x2
No triângulo retângulo ACH, aplicando o
b2:h2+y2 h2:b2_y2
b2-Y2:c2-x2
b2:c2-x'+y'
Como y : à - x, substituindo Y, temos:
b2:c2-x2+(a-x)2
b2:a2+c2-2ax
No triângulo retângulo ABH, temos:
cosB- X X:c'cosB
C
de Pitágoras, temos:
de Pitágoras, temos:
t ema
t ema
Substituindo x por c ' cos B na igualdade @, temos:
b2 : a2 + c'- 2a.k 'cos B)
b2:a2+c2-2ac'cosB
Essa igualdade é conhecida como lei dos cossenos e é válida para qualquer triângulo.
Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma
dos quadrados das medidas dos outros dors lados menos duas vezes o produto
das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.
a2:b2+c2-2bc'cosA
b2:a2+c2-2ac'cosB
c2:a2+b2-2ab'cosC
Veja as aplicações da lei dos cossenos na resolução de problemas:
Determinar a medida x indicada no triângulo:
10 cm
261
1
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
x2: 102 + G2 - Z.lO.6.cos 60.
Sendo cos 60" : + e substituindo na equação anterior:2
x2: 100 + 36 - t2O. I
2
x2: 100 + 36 - 60
X2:76 -----> X: r,'76 # X:2r19
Logo, a medida x procurada é 2",89 cm.
0bservação
Tanto a lei dos senos como a lei dos cossenos foram demonstradas para triângulos acutângulos.
Entretanto, essas leis também são válidas para triângulos obtusân5Julos e retângulos.
2 Determinar a medida x da diagonal maior do paralelogramo da figura, dado cos !2O :
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo obtusângulo ABC da figura, temos:
x2 :82 + 62 - 2.8.6 . cos 120"
Como cos 120' : - +, substituindo na equacão:
x2:64+36-96 ( I )'[-z.,J
x2:64+36+48
x2 : L48 ---------> x : ú?8 --------> x: 2"hl
Logo, a medida x da diagonal maior e 2Jü cm.
.e
1-T'
I- Sendodadossen3O.: +esen4So 
: +,
determine a medida x indicada no triângulo.
x = 10
2 No triângulo ABC da figura seguinte, as me-
didas indicadas são consideradas em centíme-
tros. Sabendo que sen 30o : +,sen 80o :0,982'
e sen 70o : 0,94, determine as medidas a e b.
a:31,6 cm; b :39,2 cm
A
3 No triânguloABC da fígtra,36 : 2g1Ecm
e AB : 16 cm. Nessas condições, e sabendo que
t-,
cos 30o : n: , determine a medida Í. 4 r31 cmz
4 No triângulo isósceles ABC da figura seguin-
te, cada lado congruente mede 10 cm. Determi-
ne a medidax da base BC.
/ l) \
lUsecos30': aY eJ3 :1.,73. I x:s,rcm[z)
A
5 Consideremos o triângulo ABC da frgtrra,
^cujo ângulo C mede 45o. Se a : B cm e b :
: 6^lT cm, determine a medida c'
(rr".o, nu": g -) 
1
b
c:2r/10 cm
6 Qual é o valor do cos B no triângulo ABC da
figura?
^ t1
14
7 No triângulo ABC, sabe-se que cos
Determine a medida r indicada. *: o
€! Em um paralelogramo, dois lados consecu-
tivos medem 7 cm e 4 cm. Se o seu ângulo obtu-
so mede L20", calcule a medida x da maior
diagonal desse paralelogramo.
í Ur" 
"os 
120" : - -1 
\
\ ,'J 
x - \',e3 cm
§) No losango da figura seguinte, cada lado
mede B cm. Nessas condições, calcule a medida
x da diagonal maior BD do losango.
^1f\ -:
263
x : 8",'3 cm
LO No trapézio retângulo a seguir, AB :
: 7 cm e AD : 5 cm, enquanto a diagonal DB
mede r,69 cm. Qual é a medida r do ângulo
agudo do trapézio?
x=ô0"
L L No triângulo ABC da figura, as medidas
indicadas estão em centímetros. Sabendo que
sen 40o : 0,64, sen 64o : 0,90 e sen 76o : 0,97,
determine as medidas a e b.
a: 19.4 cnr: b : 12 8 cm
L2 Numa Íazenda, o galpão fica 50 metros
distante da casa. Sejam x p. !r respectivamente,
as distâncias da casa e do gaipão à tuansforma-
dor de energia, conforme mostra a figura abai-
xo. Calcule as medidas z e y indicadas.
(Use senSO o - f_ ,sen78o :0,98, sen72o: 0,95.)
I
No quadrilátero ABCD ao lado, temos:
BC:CD:3CM
AB :2 cm
^med (ADC) :60o
mea (AÊC): go'
Qual é o perímetro desse quadrilátero?
I tott.,..
Para resolver esse problema, sugerimos que você e seu colega:
façam um desenho do quadrilátero, indicando as medidas dadas
dividam o quadrilátero em dois triângulos pela diagonal AC
Feito isso, Procurem verificar qual medida pode ser determinada com os dados disponíveis.e
Com o valor obtido, é possível determinar AD? eue "lei" vocês podem aplicar?
264
aoI
d )'
fr* 
ando o qwa- aPrand<u
I- No triângulo ABC, h : 4 cm. Determine:
a) a medida do segmento BH 4ricm
b) a medida do segmento HC + ".
c) medida do lado BC, sendo ^[T 
:1,73
10,92 cm 
A
2 OtriànguloABC da figura abaixo é retângu-
to (Â é reto), e AO O a altura relativa à hipote-
nusa. Sabendo que PQ é perpendicular ao lado
Ãe ao triângulo e que AP mede 6 cm, deter-
mine a medida do segmento PQ. Po = 3 cm
4 Na Íigtsra, A,B e C são pontos de tangência.
Se o raio r :9 cm, determine:
a) a medida r do segmento PA zz ..
b) amedidaydosegmento PB er3 cm
c) o perímetro do quadrilátero PBOC
5 Duas árvores localizam-se em lados opostos
de um lago. O ângulo entre as linhas de visão de
um observador que as vê é 720", e o ângulo for-
mado por urna dessas linhas e a linha que une as
árvores é 45o. Sabendo que uma das árvores está
a 100 m do observador (ou seja, a 3a linha mede
100 m), determine a distância d entre as árvores.
6 Um ponto P pertence a um dos lados de um
ângulo de 60'e dista 2,8 cm do vértice. Qual é a
distância desse ponto à bissetriz do ângulo?
x : 1,4 cm
2,8 cm p
7 Afigtranos mostra o triângulo ABC inscri-
to numa semicircunferência de raio r. Determine
o valor de r. r : 12 cm
3 Considerando o triângulo
mine a medida a do lado BC.
(ur..or ro": J, )
D
da
I
fígrra, deter-
18t 18\3 cm I n
265
€i Um navio se desloca, em linha reta, de um
ponto Aparaum ponto B, percorrendo assim 15
milhas. No ponto B, sob um ângulo de 60", o
navio muda de rumo e, continuando em linha
reta, atinge um ponto C distante 12 milhas do
ponto B. QuaI é a distância d, em linha reta, do
ponto C ao ponto Á?
(Use 
^,81 
: 4,58.) d: 13,74 mirhas
Calcule as medidas h e x índicadas na figura
ixo, sendo dados tg o : 0,5, tg p : 1,5 e
d:40cm. x:2ocm,h-3ocm
LO Um avião voa numa reta horizontal de al-
fura 10 km em relação a um observador P, sifua-
do na projeção ortogonal da trajetória. No instan-
te tr, o avião é visto sob um ânguio de 60o e no
instante t2, sob um ângulo de 30". Quat é a dis-
tância percorrida pelo avião no intervalo tl até t2?
zo.tT o.
3
15 milhas
O triângulo ABC da figura abaixo é eqüi-
e seu lado mede 4 cm. Sabendo que
MC : 2 cm, AP : 3 cm e usandõ ",lT :
:2,64, determine:
a) a medida do segmento PM 2,64 cm
b) o perímetro do triângulo APM z,o+ ",
c) o perímetro do quadrilátero BCMP e,64 cm
L2 Um móvel parte de um ponto á e segue
numa direção A-, que forma com a semi-reta
At um ângulo de 30'. Sabe-se que o móvel ca-
minha a uma velocidade constante de 50 km/h.
Após 3 horas de percurso, a que distância o
móvel se encontra da semi-reta etZ 75 km
L 3 Determine a medida da diagonal maior de
um losango, sabendo que cada lado mede 6 cm
e g1n de seus ângulos internos mede 120..
613 cm
L4 Dois lados de um triângulo medem 2 e 3
unidades de comprimento, respectivamente.
O ângulo formado por esses lados é de 60o.
Quantas unidades de comprimento mede o ter-
ceiro lado desse triângulo? ,l
266
L5 Num triângulo ABC, o ângulo  mede
60o e o lado oposto mede 7 cm. Se um dos lados
adjacentes ao ângulo  mede 3 cm, qual a me-
dida do outro lado do triângulo? a ,
LG Calcule a medida x da diagonal menor do
paralelogramo ABCD da figura. x : 7 cm
-llotonao
O retrato da Educação brasÍleira
lnlot^or*ro
8cm
no ano 2000
a
I
I
De acordo com o Censo 2000, na última década houve um avanÇo significativo na área
educacional no Brasil. As crianças entre 7 e 14 anos de idade aPresentaram a maior taxa de
universalizaçãoescolar. Nessa faixa etâría,94,9% delas estão na escola. No entanto, quase um terço
dos brasileiros com 10 anos ou mais não conseguem passar dos quatro anos de escolaridade, sendo
por isso considerados analfabetos funcionais.
Veja o gráfico:
Fonles: Gazeta Mercantil, g maio 2002. IBGE/Tabulação avançada do
Censo Demográfico 2000.
1. De acordo com o gráfico, e considerando os diÍerentes grupos de estudo, determine qual deles apresentou:
a) o maior percentual no ano 2000 e o respectivo valor + a7 aoos,2},So/o
b) a maior variação percentual, de1,997 a2000, e o seu valor relativo sern instruÇáo e menos de 1 aoo, 9,2o/o
c) a menor variação percentual, de 7997 a 2000 15 anos ou mais
2. Como você justifica a afirmação: "Quase um terço dos brasileiros com 10 anos ou mais não
conseguem passar dos quatro anos de escolaridade"?
33,7
267
(Distdbuição das pessoas de 10 anos ou mais de
idade, por grupo de anos de estudo, Brasil - em %)
991 92000
10,2
2O,5
4a
411
Egtwdando c^
ngt aníemenle na natureza
A microscópica planta marinha forma
um círculo quase perfeito.
Apá e um pequeno cesto, usado como coador ou
'-t/§
htorrn
"or"trrçõ").
A presença de um círculo noe
traz a beleza àa música,,,
cl rclün arAnciaa-o cftcttl,o
No cinema, rolo6 de filme e en7rena7eno íambém têm formas ciraulares,
e anunaiam o ?rogreâeo e euae coneeqÜênaiae,
Aforma aircular também eolâ preoente na bueaa do homem pelo conhecimento ào
Univereo,
Astrolábio islâmico do período de 1350'1450.
Um dos instrumentos cíentíficos mais
importantes de sua época, possibilitava a
medida da latitude e do tempo.
Monge medieval - astrônomo primitivo - avista uma
estrela pela barra do astrolábio. Um aiudante faz leituras
em uma tábua astronômica e outro registra as
observacões.
Nesta Uniàade, ?rocu?aremoe estuàar ao relaçõeo que exisíem entre oe elemenloe de
uma aircunÍerência e euao aplicações na Matemáíica,
--.irüffi
Àl
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L-
q
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z
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ç
z
ts
o
Eo
+;'i: rli;
)rl 
:\
a:'J^,
5l Rzl,açüeg nnítrica5 nci, cirutn{erància
A circunferência também apresenta relacões métricas entre seus elementos. Vejamos essas
relacões.
Na circunferência abaixo, temos duas cordas, AB e CD, que se cortam em um certo ponto p,
distinto do centro 0 dessa circunferência.
Entre os segmentos que o ponto P determina sobre cada uma das cordas, pode-se escrever
uma relacão métrica, como veremos a seguir.
Considerando os triângulos APC e DPB, temos:
) AÊc - oÊB (são ângulos o.p.v.)
^^) A = D (são ânguflos inscritos no mesmo arco)
Pela definicão de sernelhanca, temos:
AAPC - ADPB
Como conseqüência, podemos escreverl
Na circunferência seguinte, temos duas secantes tracadas de um mesmo ponto exterior p.
PA é um segmento de reta secante e
PB é a parte externa desse segmento.
PC é um segmento de reta secante e
PD e a pante externa desse segmento.
qnlra- c,,5 corda5
o enlre 5qcctnla5
PA.PB:PC.PD
270
Entre esses quatro segmentos que acabamos de destacar pode-se escrever uma relacão mé-
trica. Veja:
Considerando os triângulos PAD e PCB, temos:
I Êoângulocomum
^^) A = C (são ângulos inscritos no mesmop arco)
Pela definição de semelhança, temos:
APAD - APCB
Como conseqüência, podemos escrever:
Na circunferência abaixo, temos uma secante e uma tangente traçadas de um mesmo ponto
externo P.
PA é um segmento de reta secante e PB é a parte externa desse segmento.
PC é um segmento de reta tangente.
Entre esses três segmentos que acabamos de destacar, pode-se escrever uma relaÇão métrica:
Como conseqüência, podemos escrever:
Considerando os triângulos PAC e PCB,
temos:
) Péângulocomum
I Â : ô (ângutos inscritos no mesmo
arco)
Pela definicão de semelhança, temos:
APAC - APCB
ou PC2 : PA'PB
271
PA PC
rc_PB
+| : +r ou PA'PB : PC'PD
qnlre sacanla a
Vamos resumir as três relações no quadro seguinte:
Observe os exemplos a seguir.
Determinar a medida x do segmento PD, sabendo que PA :7 cm, pB : 4 cm e pC :2cm.
Pela relação das cordas, temos:
PA.PB:PC.PD
Pelos dados do problema, podemos escrever:
7'4:2.x
28:2x
2x: 28
Logo, a medida do segmento PD é 14 cm.
2 Calcular o comprimento r do raio da circunferência, sendo dados PA : 20 cm e PC : 10 cm.
Pela relação entre secante e tangente, temos:
PA2 : PB'PC
De acordo com os dados do problema:
202: (10 + 2tl0
400: 100 + 20r
20r :400 - 100
Logo, o comprimento do raio é 15 cm.
PA.PB: PC.PD
PA.PB: PC.PD
PC2: PA'PB
272
L Determine a medida
x indicada na figura.
x:6
2 Na circunferência da
figura ao lado, determi-
ne a medida x indicada.
x: 10
3 Determine a
medida x indicada na
circunferência da
figura ao lado. x:8
4 Determine a medida x indicada na circunfe-
rência da figura. x: e
5 Determine a medidax, do segmento de reta
tangente, indicada na circunferência da figura
abaixo.
x-9
6 Na figura seguinte, determine as medidas x
eyindicadâs. x:12;y:1
7 Determine a medi-
da r do raio da circun-
ferência da figura
ao lado. r:6 ú
€l Na hgaraabaixo, PA: 3x, PB : x
e PD : 4x - 7. Nessas condições,
I 1,PC: X
não impor-
tando a unidade, determine: A
a) amedidar 4
b) o comprimento de
cada uma das cordas
AB : 17-, CD : 19
§) O raio de uma circunferência é 6 cm. De um
ponto P externo, traçamos uma tangente e uma
secante a essa circunferência. A secante, que en-
contra a circunferência nos Pontos A e B, passa
pelo centro e é tal que o seu segmento externo
mede 8 cm. Determine a medida do segmento
da tangente que foi traçada do ponto P' +.ío ..
LO Uma corda AB, que mede 18 cm, corta
uma corda CD de tal forma que os segmentos
determinados sobre CD medem x e2x cm/ res-
pectivamente. Sabendo que a corda CD mede
72 cm, calcule as medidas dos segmentos deter-
minados sobre a corda AB.
Os segmentos medem 16 cm e 2 cm,
I- L Por um ponto P, distante 18 cm do centro
de uma circunferência, traça-se uma secante que
determina na circunferência uma corda AB, que
mede 8 cm. Se o comprimento do raio da cir-
cunferência é 12 cm, determine:
a) o comprimento do segmento de secante tra-
çada do ponto P t8 ".
b) o comprimento do segmento externo dessa
secante 1o cm
L2 Deum ponto P, situado a 3 cm de uma cir-
cunÍerência, tràça-se um segmento de tangente PC
cuja medida é 9 cm. Nessas condições, determi-
ne o comprimento do raio dessa circunÍerência.
12 cm
I-3 Numa circunferência de centro O e raio
6 cm, traça-se uma corda AB. Sobre essa corda,
toma-se um ponto M de tal forma que AM :
: 5 cm e OM : 4 cm. Determine a medida do
segmento MB. +.'n
273
14 De um ponto P, externo a uma circunfe-
rência, traçamos um segmento de tangente pA
e um segmento de secante. O segmento externo
da secante mede 4 cm e o segmento interno tem
a mesma medida que o segmento PA. Nessas
condições, fazendo J5 : 2,23, determine:
a) a medida do segmento PA 6,46 cm
b) o comprimento do segmento de secante
10,46 cm
L5 Na figura abaixo, temos que PO : 20 cm
e o comprimento do raio da circunferência é
16 cm. Nessas condições, determine a medida
do segmento PT. 12cm
vejam a reportagem que Cido leu na página da uol-, da Internet, no dia
1.3/6/02, e ajudem-no a tirar as suas dúvidas.
Possom paro
os oitovos-de-finol os
dois primeiros colocodos.
O Eguodor oindo tem
chqnce2
Nesse grupo oindo
foltom Mé,xico x ftólio e
Croácio x Eguodor.
bfr'loo* I
óiard. oit, I
caoacidade: 43 000 I3
Nos 4 jogos onteriores,
guem seró quevenceu guem?
PG
México 6Itália 3Croácia 3Equadorr 
O
VED
200
101
191
062
Codo vitório somo 3 pontos gonhos,
e codo empote somo 1 ponto gonho.
A clossif icoçõo de
dois poíses com o mesmo
número de pontos gonhos
é Íeito pelo soldo
274
México venceu Croácia e Equador, Croácia venceu ltália, ltália venceu Equador; o Equador ainda tem chance.
Veja as figuras:
c
Triângulo ínscríto
na circunferência
Chamaremos aS Cordas AB, BC, CD, DE etc. de cordas Consecutivas.
Quando consideramos 3,4,5,6,...pontos distintos sobre uma circunferência, as cordas con-
secutivas determinam polígonos inscritos na circunferência.
Quando dividimos uma circunferência em n(com n>2) arcos congruentes, as cordas consecu-
tivas delimitam um polígono regular de n lados, inscrito na circunferência.
Quando tracamos dors diâmeÍros perpendiculares, dividrmos a circunferência em 4 arcos con-
gruentes; as cordas consecutivas AB, BC, CD e DA delimitam um quadrado inscrito (figura verde).
Tomando-se o comprimento do raio, marcamos 6 arcos congruentes na circunferência; as 6
cordas consecutivas delimitam um hexágono regular inscrito (figura lilás).
Tomando-se o comprimento do raio, marcamos 6 arcos congruentes na circunferência; as 3
cordas consecutivas AB, BC e CA delimitam um triângulo eqüilátero inscrito.
Quadrílátero inscrito
na circunferência
Pentágono inscrito
na circunferência
Hexágono inscrito
na circunferênc,ia
275
LLeA^enktE da wA^
Na figura ao lado, o raio de comprimento r da
circunferência onde está inscrito o polígono regular
é também chamado raio do polígono regular.
O ângulo â, cujo vértice está no centro da
circunferência e cujos lados passam por dois
vértices consecutivos do polígono, chama-se ângulo
central. Sua medida é dada po, !§Q1, sendo n o
n
número de lados do polígono.
0s ângulos cujos lados são dois lados consecu-
tivos do polígono são chamados ângulos internos.
Todos os ângulos internos são congruentes e, se o
polígono tem n lados, a medida de cada um é dada
(n - 2). 180"
0 segmento do centro 0 até o ponto médio M
de um lado do polígono regular chama-se apótema
do polígono, Sua medida é, normalmente,
representada por a. Como o triângulo A0B é
isósceles, o apótema 0M representa a altura e a
mediana relativas ao lado AB.
l,ar inEcnto
Quando estudamos a Unidade Semethança, vimos que dois polígonos regulares que têm o
mesmo número de lados são semelhantes.
Assim, podemos demonstrar (e você pode fazer isso junto com seu professor) as seguintes
propriedades:
276
--'-t-'-,.l
le Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados,
os perímetros são proporcionais aos comprimentos dos respectivos raios'
22Emdois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados,
os perímetros São proporcionais às medidas dos respectivos lados.
3e Em dois polígonos regulares inscritos e Com o mesmo número de lados,
os perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos apótemas.
Vejamos, agora, alguns exemplos:
Determinar a medida do ângulo central e a do ângulo interno de um pentágono regular inscrito.
lndicando por ac a medida do ângulo central, temos:
^ 360' 360' _ -lcoü^ - 
- 
- -- - , -"n5
lndicando por ai a medida do ângulo interno, temos:
âi:
(n-2\'180' : $-A'180' 3.180' 540" : 108'
2 Dois hexágonos regulares estão inscritos em circunferências de raios 14 cm e 21 cm. Se o
perímetro do heiágono inscrito na menor delas é 84 cm, determinar o perímetro do outro hexágono.
lndicando o perímetro desconhecido por x e aplicando a propriedade, podemos escrever:
+:+ -* 14x: 1764.........+ f,: + ---> f,:126
Logo, o perímetro do outro hexágono é 126 cm.
L Determine a medida do ângulo central e a
medida do ângulo interno de cada um dos se-
guintes polígonos regulares inscritos:
a) triângulo eqüilátero r2o"e6o"
b) quadrado eo" e eo"
c) hexágono regular 6o' e 120'
d) octógono regular 4s'e r35"
2 O perímetro de um polígono regular inscri-
to numa circunferência cujo raio mede x é 60 crr..
Sabe-se que outro polígono regular com o mes-
mo número de lados está inscrito numa circun-
ferência de raio 25 cm e tem 150 cm de períme-
tro. Quanto mede o comprimento r do raio da
primeira circunferência? * : 10 cm
3 Os perímetros de dois polígonos regulares
com o mesmo número de lados medem 48 cm e
60 cm, respectivamente. Quanto mede o apóte-
ma:!o segundo, se o apótema do primeiro mede
4 r/3 cm? s 'I ",
4 Os perímetros de dois polígonos regulares
com o mesmo número de lados estão entre si
como 2 eslâ para 5. Sabendo qqe a medida do
lado do segundo polígono é20 ^12 cm, calcule 
a
medida do lado do primeiro polígono. aú c.
5 Os perímetros de dois polígonos regulares
com o mesmo número de lados são, respectiva-
mente,28,28 cm e 39,592 cin. Quanto mede o raio
e o apótema do primeiro se o raio e o apótema do
segundo medem, respectivamente, T cm e 3,5 cm?
5cme2,5cm
277
Reí,a ttnílricaE
Quando consideramos a medid a ( do lado do polígono regular, a medida a do apótema do
mesmo polígono e o comprimento r do raio da circunferência onde o polígono está inscrito, podemos
estabelecer relações métricas entre essas medidas.
Estudaremos, porém, essas relações métricas apenas no quadrado, no hexágono regular e no
triângulo eqüilátero inscrito numa circunferência.
Qradrado inscrito
{ : medida do lado do quadrado
a : medida do apótema
r' : coÍ1pt'imento do naio
medida do ângulo central : +:eoo
Considerando o triângulo OMA da figura, temos:
M
c
sen45": ? -g: 
! -.------^,[r:t 
-r.ZZrr
cos 45" ^r-là:1"'l I ------>
Acompanhe o exemplo a seguir.
Um quadrado está inscrito numa circunferência de raio 24 cm. Nessas condicões, vamos
determinar:
a) a medida do lado do quadrado
( : rrE ----- ( :24^[T cm
b) a medida do apótema do quadrado
, JT 24"7u:; -------> ã:T _-_+ a:l2rTcm
- a --------+ g: â ,r2r
278
c) o perímetro do quadrado
perímetro : 4 ( ------- perímetro : 4' (24{T \ -------- perímetro : 96J2 cm
d) a área do quadrado
S : ( --- S : (24{T l, --------- S : 1 1 52 cm2
Haxágono rqltilar ingcrito
{ : medida do lado do hexágono
a : medida do apótema do hexágono
Í : cofitpÍimento do raio da circunferência
medida do ângulo central : + 
: 60o
Se considerarmos o triângulo retângulo oMA da figura, teremos:
o
+ -------* 1 : 1- ---------. 4 : I
)n:ç^ft --
Vejaoexemploaseguir.
Vamos determinar a medida do lado e a medida do apótema de um hexágono regular inscrito
numa circunferência de raio 30 cm.
a) Calculando a medida do lado:
(:t -------- (:30Cm
b) Calculando a medida do apótema:
r ^/.3 30 x7u: -; ------+ t: -rtj- ---> à: 15.,,3 cm
,e
â1
sen 30' :r2
cos30": à 
- 
q :r2
a
r
279
M
Triângulo qi)lí^laro i nscri to
í : medida do lado do triângulo
a : medida do apótema do triângulo
r' : cOfi1pt'imento do raio
ângulo central ' 360' 1 ^^ô- 3 :tzv
Considerando o triângulo OMC da figura, temos:
I
2
(
sen 60' : ? -- 'g 
: :, ---------- HE : ( ------- (: r^,[{rZZrr
cos60'- â . 1 - a
' 
';:í-2a:r-------- a: r
2
Vejaoexemploaseguir.
Um triângulo eqüilátero está inscrito numa circunferência de raio 60nE cm. Vamos determinar:
a) a medida do lado do triângulo
t : r.,[T ------- 4: 60Jt ,T _._____- (: 1g0 cm
b) a medida do apótema do triângulo
- r 60Jtu: Z ------.-> a: :7- --------+ a: 3013 cm
Calculando a área de um círculo
Veja duas maneiras de calcular a ârea de um círculo.
A ilustração de 7670 mostra a obtenção da área
do círculo por meio de retângulos. Esse cálculo,
denominado yenri (princípio do círculo), é atribuído
ao matemático japonês Seki Kowa.
Os gregos calcularam a área de um círculo por
meio da soma de triângulos infinitamente
pequenos/ dispostos em torno do centro do círculo.
Observe que, quanto menor o triângulo, menor é a
diferença (em laranja) entre as áreas desse triângulo
e do setor circular correspondente.
*-t/\ ,-gt
à+
^.f4^
=fi+Ô)
L14
Árv(
+t,;_
1?^
,í1
ifi
à0)
+_ry
@t"
?.À{1.
,&,,-i
tír
'-- d
2-.
xarctct(]5
a) 14 cm
*b) 28cm
c) 35 cm
d) 56 cm
L (Saresp) Tenho um pedaço de papel de seda
de forma circular cujo raio mede 20 cm. Quero
fazer uma pipa quadrada, do maior tamanho
possíveI, com esse pedaço de papel de seda' O
lado desse quadrado terá: llse "fl : 1,4
O raio do círculo mede:
a-
'a) f"u,7 cm c) 3r,7cm
)-
b) +v3 cm d) 9 cm
ó
3 Uma circunferência tem 40 cm de raio. De-
termine a medida do lado de cada um dos se-
guintes polígonos regulares inscritos nessa cir-
cunferência:
a) quadrado 4o r,2 cm
b) hexágono regular ao..
c) triângulo eqüilátero 40 ri3 cm
2 (Saresp) Considere um
quadrado com 3 cm de
lado, inscrito em um
círculo como mostra a
figura.
281
3cm
4 Usando "tT :1,41e -vf : 1,73, determine
a medida do apótem a de cada um dos seguintes
polígonos regularesinscritos numa circunferên-
cia que tem 15 cm de raio:
a) quadrado 10,575 cm
b) hexágono regular 12,et5 cm
c) triângulo eqüilátero 7,b cm
Quais são o perímetro e a ârea de um qua-
do inscrito numa circunferência que tem
32 ctn de raio? 128 \2 cm, 2o4lcn/
16 O apótema de um triângulo eqüilátero ins-
crito numa circunferência de raio r mede 6,25 cm.
Determine o valor der. tz.s 
"^
7 Observando o triângulo eqüilátero inscrito,
conforme a fígr:rr a, determine:
a) a medida do ângulo ROS rzo.
b) amedidadosegmento RS e13 cm
c) a medida do segmento OM +,s..
d) a medida do segmento SM r3,5 cm
€i Um quadrado, cujo lado mede 2O"uT cm,
está inscrito em uma circunferência de raio r.
Qu4l é a medida do apótema desse quadrado?
1012 cm
€) Sabendo que o apótema de um triângulo
eqüilátero inscrito numa circunferência de raio
r mede 15 cm, determine:
a) o comprimento do raio so ".
b) a medida do lado do triângulo, fazendo
"lT :1.,73 sr,eo cm
LO (Saresp) Afigura abaixo representa um he-
xágono inscrito numa circunferência cujo raio
mede 8 cm.
282
Considerando Jí :7,7, o lado e o apótema
desse hexágono medem, respectivamente:
,a) 8cme6,8cm
b) 8 cm e 13,6 cm
c) 5,Bcme8cm
d)4cme6,8cm
L L (Saresp) O apótema e o lado de umhexá-
gono regular inscrito numa circunferência de
raio igual a 4^13 cm são, respectivamente:
a) 4cme4rEcm
b) 4Hrtcme4cm
c) 6cme6cm
* d) 6 cm e 4rEcm
L 2 Em uma circunferência de raio r estão ins-
critos um quadrado e um hexágono regular.
Considerando que o lado do hexágono mede
50 cm e fazendo ",tT :1,41, determine a medi-
da do lado do quadrado. 70,50 cm
L3 Determine a razáo entre o lado de um he-
xágono regular e o lado de um triângulo
eqüilátero inscritos numa mesma circunferên-
cia de raio r. , ã
3
L4 Na figura a seguir, o raio da circunferên-
cia mede 3 cm, o segmento AB representa o lado
€r* hexágnno regular inscrito e o segmento
BC representa o lado de um quadrado inscrito.
Nessas condições, determine:
A
a) a medida do segmento AB 3 cm
b) a medida do segmento BC, considerando
^l 
2 :7,4 4,2c,.
c) a distância que se percorre indo de A até C,
passando por B 7,2 cm
L5 Num triângulo retângulo, as medidas dos
catetos correspondem às medidas do lado e do
apótema de um triângulo eqüilátero inscrito
numa circunferência de raio 10 cm. Nessas con-
dições, determine a medida da hipotenusa des-
se triângulo retângulo. s,iã cm
e7 l,)u'",;
LG Afigura abaixo é um triângulo eqüiIátero.
Seu perímetro é de 27 cm. Calcule:
a) a medida do lado do quadrado inscrito +,2 .
b) a medida do lado do quadrado circunscrito.n
c) arazáo entre a medida do lado do quadrado
inscrito e a medida do lado do quadrado circuns-
crito r2
2
L€3 Seja r a medida do lado do quadrado cir-
cunscrito e seja y amedida do lado do quadra-
do inscrito numa circunferência de raio r (veja a
figura). Nessas condições, determine o valor de
x
v
A
a) a medida do segmento
b) a medida do segmento
L7 Afigura nos mostra
um quadrado inscrito e
um quadrado circunscrito
a uma circunferência de
raio 4 cm. Nessas condições,
determine:
OP s.'/e .,
^ 
i.
oM ri.,
c^o[rn1rittnento dre
rq[wla
Qr** f"[anws tafomw círcu[ar, ímediatonente prartsamos tw ramrcro il;"rqcio-
no[ n (pt), ,")o vq[or na jomw deLínut é 3,L475692... e culo descoberta é utfls- df,s
grffiíÊs pogí* dahkúrte daMqtenúLk*
!a erquimedes, na Grécia Antiga, atribuía a n um valor intermediário entre 3 i " r#
Os matemáticos egípcios utilizavam o valor de 3,16 parao n, isso 1500 anos antes de
Cristo!
SaOe-se também que um matemático chinês, por volta de 480, chegou a um valor inter-
mediário entre 3,7415926 e 3,1415927, resultado surpreendente para a época.
Entreos matemáticos árabes, destaca-se o cálculo feito por al-Kashi, que, por volta de
1430, escreveu o número 7r com 16 decimais.
f(u frrooa, no período de 1600 a 1700, o n foi calculado
Atualmen-[e, Com oS modernos computadores, podemos calçular o
i00 000 casas decimais.
com 30
valor de
casas decimais.
7r com mais de
283
Vamos supor que você tenha um aro da roda de uma biciclelra e que o raio desse aro tenha um
comprimento r.
Consideremos que seja possÍvel adaptar, perfeitamente, sobre esse arg um barbante qualquer.
Cortando esse barbante e esticando-0, obteremos o comprimento desse aro.
Como o aro da roda de uma bicicleta lembra uma circunferência, a medida assim obtida é
chamada comprimento da circunferência, e é representada por c,
Se dividirmos o comprimento C da circunferência pelo comprimento 2r do seu diâmetro,
encontraremos o número irracional n (isso você já aprendeu, e ocorre sempre, qualquer que seja a
circ unferência).
---Ç:2f.1-r.C:2nf
Essa fórmula matemática nos permite calcular o comprimento de qualquer circunferência, co-
nhecido o comprimento r do seu raio.
Nos problemas que vamos resolver a seguir, consideraremos 7r: 3,14.
I Determinar o comprimento de uma circunferência que tem 9 cm de raio.
C:2nr 
- 
C:2.3,14.9 = C:5G,52cm
Logo, o comprimento da circunferência é 56,52 cm.
2 Qual e o comprimento r do raio de uma circunferência que tem i8,84 cm de comprimento?
i
Z
Et
oô
,ao
@
ao
oI
C
^ 
,9
zr
C :2nr
18,84 : 2. 3,14-r
6,28r: 18,84
Logo, o raio da circunferência é 3 cm.
comprimento do aro comprimento da circunferência (C)
284
3 Qual é o comprimento x de um arco de 60o numa circunferência que tem 21 cm de raio?
Sabemos que a medida completa da circunferência, em graus, é 360. Portanto, para resolver
esse problema vamos usar uma regra de três simples e direta:
2nr
x
Daí:
360' 2nr
360"
60'
60" x
6 _ 2. 3,14 .21
6x : 131,88
131.88v-l^-6
x: 21,98
Logo, o comprimento do arco pedido é 21,98 cm.
Geometria
Todo domingo Carla passeia pelo parque com sua bicicleta.
7.. Sabendo que 1 polegada equivale, aproximadamente, a2,54 crn, quantos centímetros tem uma
volta da roda da bicicleta de Carla? zsg ",
No último domingo, Carla andou 4 km com sua bicicleta. Quantas voltas deu cada roda? I 673 voltas
De casa ao clube, ida e volta, cada roda dá 2 000 voltas. A que distância aproximada da casa de
Carla fica o clube? z.sg t.
,
3.
rodo de minho bícicleto,
contondo opneu,éde
285
xarclcloS
L Uma pista circular tem 25 m de raio. Quantos
metros percorre uma pessoa que dá 20 voltas em
torno dessa pista? 3 r4o m
2Uma circunferência tem 10,5 cm de diâme-
tro. Nessas condições, qual é o comprimento
dessa circunferêncía? szgt .^
3 Amedida do raio de uma circunferência cor-
responde à medida da hipotenusa de um triân-
gulo retângulo de catetos 9 cm e 12 cm. Deter-
mine o comprimento da circunferência. e4,2 c,:,
4 O comprimento de uma circunferência é
50,24 crn. Nessas condições, determine:
a) o comprimento do raio dessa circunferên%iâ'
b) as medidas dos lados de um quadrado, de
um hexágono regular e de um triângulo eqüi-
látero inscritos nessa circunferência
8 2 cm,€,cme8..3 cm
5 Amedida do raio de uma circunferência, em
centímetro, corresponde ao valor da raiz positi-
va da equação x' - 10x - 24:0. Calcule, então,
o comprimento dessa circunÍerência. u5,36 .,,
6 Um triângulo eqüilátero está inscrito numa
circunferência de raio r. O lado do triângulo
eqüilátero mede 2O"lT cm. Nessas condiçães,
calcule:
a) o comprimento r do raio da circunfe.êâ%iã
b) o comprimento da circunferência 125,6 cm
7 Amedida r do raio da circunferência inscri-
ta em um triângulo eqüilátero correspond", +
da medida da altura desse triângulo. Sabendo
que o triângulo eqüilátero tem 4l8 cm de lado,
determine o comprimento da circunferência ins-
crita nesse triângulo. 12,56 cm
286
€l O quadrado ABCD da figura tem 80 cm de
lado. QuaI é o comprimento da circunÍerência
inscrita nesse quadrado? 25r,20 cf
9 Ao percorrer uma distância de 6 280 m, uma
roda dá 2 000 voltas completas. Qual é o raio
dessaroda? 05.,
L(O A roda de uma bicicleta tem 0,90 m de di-
âmetro. Nessas condições:
a) Qual é o comprimento da circunferência des-
sa roda? z,szo ,,
b) Quantas voltas completas a roda dá, num per-
curso de 9 891 rrr? 3 boo v,r tas
L I- Se uma pessoa der 10 voltas completas em
torno de unrjardim circular, ela percorrerá
2 798 rn. Qual é o diâmetro desse jardim? zo ,.
L2 Qual é o comprimento r de um arco de
120o, numa circunferência que tem 30 cm de
raio? 62.8 m
L3 Um arco de 30o tem 6,28 crn de compri-
mento, numa circunferência de raio r. Determi-
ne o valor de r. tz r^
L4 Qual é a medida de uma correia acoplada
a duas rodas iguais de 10 cm de raio e cujos cen-
tros estão a 50 cm de distância um do outro?
162,8 : n
Geometría
Em uma apresentação de
ginástica, 16 alunos posicionam-
se igualmente espaçados na
circunferência central da quadra.
Um fotógrafo, situado em P, cujo
ângulo máximo de visão da
máquina é APB, só consegue
fotografar 8 alunos, conforme
mostra a figura: 
p
VaIe lembrar que:
ffi Dois ângulos inscritos que determinam o mesmo arco são congruentes.
* A medida de um ângulo central é o dobro da medida de um ângulo inscrito quando eles
determinam um mesmo arco.
Calcule a medida do ângulo máximo de visão dessa máqulna (AÊB). Para isso, obtenha antes
as medidas de:
^A^^Aa) AOB, ADB e PDB s0",45'e135' b) DOC e DBC 4s"e22"30'
Observe o gráfico a seguil, que ilustra uma pesquisa sobre acidentes
de trânsito.
Agora responda:
causas de
a) Do que trata o gráfico? i,?13,?J"'0"
b) QuaI é o tipo desse gráficr? 3:fl:;,0"
c) A partir do grâhco, como se
obtém a conclusão de que o fator
veículo está presente em27Vo dos
acidentes? E como se conclui que
o fator via/ambiente está presente
ern3TVo dos acidentes?
9a/o + 191o : 277o: \a/o + 29% - 37a/o
d) Lembrando que a medida do
ângulo central correspondente ao
círculo todo é 360o, qual é a
medida aproximada do ângulo
central de cada setor do gráhco?
Áreas urbanas e rodovlárlas
só humano + '1 58'; humano + vialambiente + 104";
.,i^ /^^
Fonte: Eolha de S. Paulo,3 maio 2002.
ya-
lratando
In{ot^orp,o
l0
humano
dos acidentes
O fator veículo I
está presente
em27!"
dos acidentes
O Íalor
vla/ambiente
está presente
êm37%
. dos acidentes
287
Rr^ 
andro o qwa aYtrzndeu
I- Duas cord.as, AB e CD, de uma circunferên-
cia cortam-se em um ponto P, de tai forma que
PA : 9cm e PB : 4 cm. Sabendo que a corda
CD mede 15 cm, calcule as medidas dbs segmen-
tos que o ponto P determina sobre essa corda.
12 cm e 3 :m
2 Sabe-se que a medida de um meridiano ter-
restre é de aproximadamente 40 000 km. Quan-
tos quilômetros mede o raio da Têrra?
aproxlmadamente 6 369 km
3 Na figura a seguir, o segmento AB corres-
ponde ao lado dS1L* hexágono regular enquan-
to o segmento BC corresponde ao lado de um
quadrado. Considerando-se ,T : 7,47, qual é
a distância que se percorre indo de A até C, pas-
sando por B? z+,t 
"n
4 O mostrador de um relógio é circular e o pon-
teiro maior mede 1,5 cm. Qual é a distância per-
corrida pela extremidade desse ponteiro, das72
horas até as 77 }.oras? 4'7,10 cm
5 O lado de um quadrado inscrito em uma cir-
cunferência é de 6 cm. Quanto mede o lado do
triângulo eqüilátero inscrito nessa mesma cir-
cunferência? s.o ".
6 Em uma circunferência de raio 11 cm, um di-
âmetro divide uma corda em dois segmentos de
6 cm e 12 crn, respectivamente. Calcule as me-
didas dos dois segmentos em que o diâmetro
fica dividido pela corda. 4 cm e r 8 cm
7 Duas pessoas partem do mesmo ponto Á,
conforme mostra a figura. Uma deias percorre o
contorno do quadrado e a outra percorre o con-
torno da circunferência, voltando ambas ao pon-
to Á. Qual dellas vai percorrer uma distância mai-
or? Quantos metros a mais?
A pessoa que coito-na o quadrado; 1 2,04 m a ma s
€3 Quando um ponto está situado a 8 cm de
uma circunferência de raio 5 cm, quanto vai
medir o segÍnento da tangente compreendido
entre esse ponto e o ponto de tangêncía? tz "^
€) O comprimento do raio de uma circunferên-
cia inscrita em um triângulo eqüilátero corres-
1
ponde a f da medida da altura desse triângu-
lo. O triânguio eqüilátero tem 6^,8 cm de lado.
Nessas condições, determine:
a) a medidar do raio da circunferência inscrita
nesse triângulo s..
b) o comprimento dessa circunferência re,a+.,
c) o comprimento de um arco de 36o nessa cir-
cunferênciâ 1,884 cm
LO De um ponto P, exterior a uma circunfe-
rência, traçamos uma secante e uma tangente a
essa circunferência. Sabe-se que a parte interna
e a parte externa da seca.nte têm a mesma medi-
da e que o segmento de tangente mede 8 rEcm.
Determine o,comprimento do segmento da se-
cante traçado do ponto P. to.,
288
L L Duas circunÍerências, cujos raios sào ex-
pressos por (2x 'l 1)m e (x - 3)m, são tangentes
externamente, conforme nos mostra a figura se-
guinte. Sabe-se que a distância entre os centros
A e B das circunferências é 19 m. Nessas condi-
ções, quem sai do ponto P, percorre o contorno
das duas circunferências e retorna ao ponto P,
quantos metros vai percorrer? r !r ::' .'
L2 Observando afígtra,na qualABCD é um
quadrado, determine a distância percorrida por
uma pessoa que sai do vértice Á e percorre os
contornos das semicircunferências, retornando
ao ponto Á (não importa a unidade de compri-
mento considerada). :z,os uf ri.r:rc:
L3 O raio de uma circunferência correspon-
de à medida da diagonal de um retângulo cujos
lados medem 24 cm e 7 cm. Nessas condições,
determine o perímetro e a âreade um quadrado
que está inscrito nessa circunferência.
r00 '7 c.r c ' 2sO
L4 Na fugt:rra, os segmentos PA, AB e o raio
da circunferência têm a mesma medida x. Sa-
bendo que PC : 2 cm, determine:
a) amedidadosegmentox tr + ,.3 )cm
b) a medida do segmento PB (z + z.ã )..
c) a medida do segmento PD (+ + z ','í)"o
289
LEtndand,o c$ ônrqaE dat
0 astrônomo alemão Johannes Kepler
(1571-1630), apoiado na teoria
heliocêntrica. . .
... de Nicolau Copérnico
fi473-1549, que tem o Sol
num centro das orbitas
planetárias, e...
... nos cálculos de Tycho Brahé
(1546-1601), em sua segunda lei sobre
a gravitação universal, enuncia:
WfCr$ qoA^úriur$
Íambém ?ara a aorn?reeneáo do Univereo,
o conceito de área ê usaào.
W, A2, A3, ,.,, varriàas pelo oegmento imaginário que une o aentro ào 5ol ao
aentro do plaieta-, eào proporcionais aoo lempoo Ltr, 61,,, Lt3, ,,,, gaotoe em varrê-las,
No jardim de sua casa, Zildo quer
fazer um gramado retangular de 6 m por
4 m. Quantas placas quadradas de grama,
com lados de 1 m, ele vaí usar?
Zildo desenhou um esquema do gra-
mado e pensou:
6 placas
4 placas
Entã0, ao todo cabem 6 . 4 : 24 placas.
Em um retângulo, é costume chamar um dos lados de comprimento (ou base) e o outro de
largura (ou altura).
lndicamos por:
b : medida do comprimento ou da base
h : medida dalargura ou da altura
Temos:
plocos dafrente
292
áreadoretângulo:b.h
L Quat é a ârea da figura, sabendo que as me-
didas indicadas são dadas em metto? az n,-
2 (Saresp) Amélia deseja ladrilhar sua cozinha
retangular de 3,45 m Por 4,2 m com ladrilhos
quadrados de 30 cm de lado. Qual é o número
de ladrilhos necessários?
u) 49 b) 51 * c) 161 d) 483
3 A área de um retângulo é 35 cm2. As medi-
das dos lados desse retângulo são expressas Por
Í e x - 2. QuaI é o perímetro desse retângulo?
24 cm
4 Use o teorema de Pitágoras Para determinar
a medida x indicada no retângulo ABCD da Íí-
gura. A seguir, caicule a área do retângulo sa-
bendo que as medidas são dadas em centímetro.
x : 6 cm; área : 18 cm'
5 As raízes da equação x' - 15x * 26 : 0 são
as medidas, em centímetros, dos lados de um
retângulo. Determine a ârea desse retângulo.
26 cm'
t6 Em um retângulo, a perpendicular traçada
de um vértice sobre a diagonal determina sobre
esta diagonal segmentos de 64 cm e 36 cm. Qual
a área desse retângulo? 4 8oo cm2
7 Utilize as razóes trigo-
nométricas para encontrar a
medida x indicada no retân-
gulo. A seguir, determine a
ârea do retângulo.
área - 18,80 cm2; r = 3,76 cm
do losango inscrito no retân-
gonal menor do losango tem
diagonal maior mede:
€) Em um muro de 18,25 m de comprimento, se-
rão aplicadas duas faixas de ladrilhos, paralelas
entre si em toda a sua extensão. Aprimeira faixa
tem 1,25 m de altura e a segunda 0,75 m. Cada
ladrilho ocupa uma área de 0,0625 m'. Quantos
ladrilhos serão colocados ao todonesse muro?
584 ladrilhos
LO (Saresp) Se para cobrir cada m2 de telha-
do são usadas 20 telhas francesas, então, para
cobrir um telhado com as dimensões indicadas
na figura, serão necessárias:
a) 1 000 telhas
b) 1 200 telhas
* c) 1 600 telhas
d) 1 800 telhas
L L (Saresp) Observe as figuras:
caixa caixaPlanificada
Sabendo-se que a caixa tem L7 cm de comprimen-
to,5 cm de largura e24 cm de altura, o papelão
necessário para montar essa embalagem terá:
a) 2 040 cm2
b) 1.226cmz
c) 1 106 cm2
d) 1 056 cm2
293
x
-t
l.
I
A
a) 5m
b) 6m
*c) 8m
d) 10m
II scm I
M
Ãrqa de wn^ ulad,rado
Sendo ú a medida do lado de um quadrado, temos:
área do quadrado: É
GeometrÍa
O tangram é um conhecido quebra-cabeça chinês. Com as 7 peças que o compõem é possível
criar diferentes figuras. Veja:
cada
Observe o esquema e construa um tangram a partir de um quaclriculado com 16 quadrados,
um com 1 cm de lado.
1. No esquema do tangram, cada
área do:
a) triângulo maior a .-
b) quadrado 2 cn'
representa 1 cm2. Calcule, em centímetros quadrados, a
c)
d)
triângulo médio z .,,
triângulo menor :l
e) paralelogramo 2 -l
I
294
, Determine, em centímetros quadrados, a área de um:
a) quadrado formado pelos 2 triângulos b)
maiores. I cm'
triângulo formado pelos 2 triângulos
menores e pelo triângulo médio. + cm'
3. Das figuras a seguir, quais têm a mesma área?
O trapézio retângulo e o hexágonoformadostêm a mesma área O paralelogramo, o triângulo e o retânguloÍormados também têm a mesma área
L Considerando o quadrado ABCD, escreva o
polinômio que representa a área da região ver-
de da figura. x'
2 ÍJrnaparede foi revestida com azulejos qua-
drados de 15 cm de lado. Sabendo-se que foram
colocadas 20 fileiras de azulejos e que em cada
fileira hâ 40 antlejos, quantos metros quadra-
dos tem a área revestida? 18 m2
3 Um número natural x. é20 unidades menor
que o seu quadrado. Se esse número representa
a medida do lado de um quadrado, calcule a ârea
desse quadrado. zs ".'
4 Na Íígtra, determine a ârea do quadrado
ABDE. 225 cmz
c
5 Na Íigwa, ABCD é um
quadradoeMéoponto
médio do lado AB. Deter-
mine a medida r do lado, o
perímetro e a área do qua-
drado. x: 4 5
perlmetro : lo\ 5
área = 80
(6 Um quadrado e um retângulo têm áreas
iguais. Os lados do retângulo são exPressos Por
dois números naturais consecutivos, enquanto
o quadrado tem 2"uE cm de lado. Qual é o perí-
metro do retângulo? 18 cm
B
Õ
A_
295
x
7 Apliqre o teorema de Pitágoras para de-
terminar a medida x do lado do quadrado des-
tacado na figura. Aseguir, determine a área desse
quadrado, sabendo que as medidas indicadas
são dadas em centímetros. ,r. *.
ll
ll
" , 
i', 1
Uma metalúrgica utiliza chapas de aço qua-
das de 1 m de lado para recortar quadrados
de 30 cm de lado. Ao sair da máquina, da chapa
original sobra uma parte que é reaproveitada
posteriormente. Quantos centímekos quadrados
de cada chapa são reaproveitados? 1 eOo :,,r1
1m r
9 A área do retângulo ABCD é91. cm2. Qual é
a ârea do quadrado verde na figura?
c-1-
ls"-
I
9cm
aO (Saresp) A aresta de um cubo mede 2 m.
Qual é a área total da superÍície desse cubo?
"a) 24rn2
b) 20 m2
c) 18 m2
d) 16 m2
L I- (Vunesp-SP) Para ladrilhar uma sala são
necessárias exatamente 400 peças iguais de ce-
râmica na forma de um quadrado. Sabendo que
a área da sala é 36 m', determine: j,rje ,
a) a área de cada peça, em metros quadrados
b) o perímetro de cada peça, em metros 1,2 n:
7.. o
o
!À
o
@
o
O
Quadrados no vestíbular
Façam de conta que estão prestando o vestibular e resolvam as seguintes questões:
(Vunesp-SP) O menor país do
mundo em extensão é o Estado do
Vaticano, com uma área de O,4krn2.
Se o território do Vaticano tivesse a
forma de um quadrado, então a
medida de seus lados estaria entre:
a) 200 me201 m
b) 220rr.e227m
c) 401me402m
d) 632me633m
e) 802me803m
296
2. (Unicamp-SP) Uma folha retangular de cartolina
mede 35 cm de largura por 75 cm de comprimento.
Dos quatro cantos da Íolha são cortados quatro
quadrados iguais, sendo que o lado de cada um
desses quadrados mede r cm de comprimento.
a) Calcule a área do retângulo inicial. 2 625 cm'
b) Calcuie x, de modo que a área da figura obtida,
após o co:te dos quatro cantos, seja igual a
7725 crn". tscm
(Vunesp-SP) O mosaico da figura foi desenhado em
papel quadriculado 7 x 1,. Arazão entre a área da
parte escura eaârea da parte clara, na região
compreendida pelo quadrado ABCD, é igual a:
.1 3,5
'a) , .) S e) g
75-x
J.
o)+ 6üí
Ãrea de u,A^ triân
Observe as figuras:
c
wl,o
Você nota que, em qualquer uma das figuras, aárea do triângulo ABC é igual à metade da área
do retângulo.
Assim, temos, de um modo geral:
c
medida da base AB
medida da altura relativa ao lado
b:
h:
297
área do triângulo : b.h
AB
-1-
lxI
,t
135-x
+-r-
lx
I
Podemos considerar como base, no caso, quarquer rado do trrângulo;
será a correspondente a esse lado.
No caso particular dos triângulos retângulos:
área : produto das medidas dos catetos
a altura a ser considerada
12 cm
6 Um quadrilátero de zinco foi recortado de
acordo com a figura e as
medidas indicadas. Saben-
do que essas:medidas es-
tão em centímetros, deter-
mine a área desse quadri-
látero. ô ooo cm2
I- Determine a medid a x do cateto eg ao triân-
gulo retângulo da figura. A seguir, calcule a ánea
desse triângulo. x: 12 cm, área = 30 cm2
2 Nesse triângulo isósceles, cada iado con-
gruente mede 20 cm e a base mede 24 cm. Use o
teorema de Pitágoras para calcular a medida fu
da altura relativa à base e calcule, a seguir, a ârea
do triângulo ABC. h : 16 cm; área = 1e2 cm2
3 Um pedaço de tecido tem a forma e as medi-
das indicadas na figura. Qual é a área desse pe-
daço de tecido? 65,6 cm2
4 Qual é a áreade um triângulo retângulo cujas
medidas, em centímetros, estão indicadas na fi-
g:ta? 60 cm2
5 Calcule a medida h da altwa do triângulo
eqüilátero a seguir. D"po§, calcule a área desse
triângulo. (Considere: J3 :1,73.)
' - l0 38 c., I Éc 6-.2a .-
-A-
cateto
C
A
16 cm
298
7 No triângulo retângulo a seguir, determine
as medidas x e y dos catetos e, depois, a área do
triângulo ABC (as medidas na figura são dadas
em centímetros). x: ,3 cn-:y 1cm, ,"6: -rL "-'
U^ m triângulo escaleno ABC tem área igual
q'. Seprn M, N e P os pontos médios dos
lados AB, ACe BC, respectivamente. Caicule a
área do quadrilátero BMNC. 36 m2
A'
€3 Utilize as razões trigonométricas e calcule a
medida hindícadana figura. Aseguir, determi-
ne a área do triângulo ABC. h : 4,s cm;área - 2e,25 cm2
€) Na Íigrra, temos DM = MN = NP = rc.
Nessas condições, determine:
a) a medida do segmento AD + c.
b) a área do triângulo ADM o ".'
c) a área do retângulo ABCD +e.,'
d) a área do quadrilátero ABPM so "m'
12 cm
L(O Calcule a área de um quadrilátero conve-
xo ABCD, cuja diagonal AC mede 12 cm e os
vértices B eD distam, respectivamente,3 cm e
5 cm da diagonal AC. 48 cm2
D
t,
B
I
Nas malhas da
Geometría
t. IJsem um papel quadriculado para
reproduzir a figrra.
a
Consid.erem que cada E Ou malha tenha
área igual a 1 unidade quadrada.
Qual é a ârea da região pintada de
amarelo? 8 unidades quadradas
Agora, em outro papel quadriculado,
reproduzam e depois recortem a figura
pelo seu contorno.
A seguir, faç m um único corte na figura
obtida, de modo que:
a) ela fique com duas partes iguais;
b) justapondo essas duas partes, seja
possível formar um quadrado com a
mesma área da figura acima.
ó
\2-§«> ,/
CA
,al\
l'
'//-r
Arqa de wtv
A figura a seguir é um paralelogramo de base medindo b e altura medindo h.
c
Observe, a seguir, que o triângulo AHD é congruente ao triângulo BEC. Podemos, entã0,
o triângulo AHD e colocá-lo sobre BEC.
A área do paralelogramo é igual à área do retânguro formado. Assim:
área do paralelograffio : b . h
separar
c
L Uma folha de papelão tem a forma e as di-
mensões indicadas na figura. Qual é a área des-
sa folha? 2 580 cm2
2 No paralelogramo ABCD, aN = NO.
Determine:
a) a medida x indicadà 282 *.
b) a ârea do paralelogramo ABCD r ôe2 c,.
c) a área dotriângulo AND +oo .n,
d) a ârea do quadrilátero BCDN (Considere:
,l 2 : 7 ,41.) 2sa 38 c
.D
60 cm
300
A figura representa um losango MNPQ em que:
o
MP é a diagonal maior, cuja medida
indicaremos por D.
NQ é a diagonal menor, cuja medida
indicaremos por d.
D'
0bserve:
A área do losango MNPQ é a metade da área do retângulo cujas dimensões são as medidas das
diagonais do losango.
Então:
área do losango : D.d
L Determine a medida x indicada no losango
e calcule, a seguir, a ârea da figura.
x:2i5
área : 80
2 Você quer Íazer uma pipa em forma de
losango, e tem varetas que medem 75 cm e
50 cm. Quantos centímetros quadrados de pa-
pel de seda você irá usar para Íazer essa pipa?
1 875 cm2
3 Em um losango, cada lado mede 30 cm. Sa-
bendo que a diagonal maior mede 48 cm, deter-
mine a área desse losango. 864 cm2
4 Quantos centímetros quadrados de vidro se-
riam gastos para fazer um vitral colorido cuja
forma e medidas estão indicadas na Íiglura?
1 925 cm2
5 As medidas das diagonais de um losango
correspondem à solução do sistema
Jx + y:31
|.5* - y :77
Determine a âtea desse losango. 84 unidades de área
10
10
<0
\
2x
301
Ãrqa da- y,n^
35 cm
Gi Usando as razões trigonométricas, determi-
ne as medidas x e y indicadas na figura. A se-
gui4, determine a área do losango ABCD. (As
medidas são dadas em centímetros.) , = 20 \3 cm;
y :20 Cr.l, áre- - oô^ " ^-' .. D
€B O quadriláteroABCD é um losango no qual
está inscrita uma circunferência de raio 2 cm.
Sabendo que OA: x e OB : y, determine:
a) as medidas x ey = 4 cm; \,= 
= 
cm
b) a ârea do losango ABCD ? *-
Hr
I\^1-
B
7 Sabendo que as medidas das diagonais de
um losango correspondem às raízes da equação
x' - 13x + 40 : 0, determine a área desse
lOSangO. 20 unioades de area
No trapézio EFGH:
) EF é a base maior, cuja medida indicamos por B.
) GH é a base menor, cuja medida indicamos por b.
) A distâncía entre as bases é a altura do trapézio, cuja medida indicamos por h.
Se tracarmos a diagonal EG, vamos obter dois triângulos, EFG e EGH, que têm a mesma altura
h. Assim:
área do trapézio: áreado AEFG + áreado AEGH
áreadotrapézio: +. +
Bh+bh
área do trapézio
área do trapézio - h(B i b)
2
T
302
c
Ãrea de u,n^
xarclc!q2
L As medidas do trapézio a seguir são dadas
em centÍmetros. Determine a área desse trapézio.
51 cm2 , 5,5 r
B
2 No ttapézio retângulo, as medidas são indi-
cadas em centímetros. Determine a área desse
trapézio. 80,5 cm2 r 1o I
3 Qual é a ârea do trapézío retângulo cujas me-
didas, em centímetros, estão indicadas na figura?
150 cm'
4lJlan terreno tem a forma de um fiapézio de
bases 35 m e 24 rn, com altura 22 m. Nesse ter-
reno, foi construída uma piscina retangular de
10,5 m por 6 m. No restante do terreno, colocou-
se grama. Qual a área da parte do terreno que
foi gramada? 586 m2
5 Feito o levantamento de um terreno, foram
obtidos os dados indicados na figura. Qual é a
área desse terreno? 2 320 m2
6 Na hgtxa, BE : 60 cm,
AII : 20 cm, CD : DE
e CE : 24",[T cm.
Determine a área do B
pentágono ABCDE.
1 608 cm2
7 No trapêzío retângulo, determine a medida
r indicada e a área do trapézio.
D2oc
x = 9 unidades de comprimento; área : 294 unidades de área
€i O trapézio ABCD é isósceles. IJse as razões
trigonométricas para determinar a medida h da
altura e, a seguil, calcule a ârea do trapézio. (As
medidas são dadas em centímetros.) tgz .r'
€) Na figwa, AB éumdiâmetro, CD éparalela
ao diâmetro eM é ponto médio de CD. Sabendo
que CD : 8 cm e OM : 3 cm, determine:
a) a medida x do raio
5cm
b) a medida do diâme-
tro AB to ". A
c) a área dotrapézio
ABCD zz ",'
LO Na figura abaixo, ABCD é um trapézio e
AECD é um paralelogramo. As medidas indica-
das são dadas em centímetros. Nessas condições,
determine:
a) amedidàx x:rctE
b) a ârea do trapézio
ABCD 22ocm2
19
C
x
303
h
cm
Ãrea de uA^
Consideremos o pentágono regular:
A partir do centro, vamos decompor esse pentágono
congruentes. Em cada um desses triângulos, temos:
em triângulos que são isósceles e
a base do triângulo, que corresponde ao lado do
polígono e cuja medida indicaremos por ú.
a altura relativa à base do triângulo, que corresponde
ao apótema do polígono, e cuja medida indicare-
mos por a.
A área de cada triângulo é dada po, 1:3-.
2
Como são cinco triângulos, a área do polígono seria dada por:
. (.a 5(a S(,. Z ou 2 ou,ainda, , 
.a
Como 5 ( é o perímetro do pentágono, então ff ,rorrsenta a metade do perímetro ou o
semiperímetro do pentágono.
Assim:
área do pentágono : ff.u
- ç medida do apotema
--- - semiperíme,tro
Generalizando para todos os polígonos regulares, temos:
área do polígono regular : semiperímetro . medida do apótema
304
iti
ll
7-.
XarcÇ!o5
L Um hexágono regular está inscrito numa cir-
cunferência de raio 18 cm. Determine:
a) a medida do lado desse hexágono ra..
b) o semiperímetro do hexágono E4 cm
c) a medida do apótema do hexágoÍIo e 13 cm
d) a área desse hexágono +86.,ã c,n'
2 Afígtra é um pentágono regular cujo lado
mede 8 cm. Usando as razões trigonométricas,
você pode calcular a medida a do apótema des-
se pentágono. QuaI é aârea do pentágono?
(sen 36" : 0,59; cos 36o : 0,81; tg 36" : 0,73)
a:5,4-7 cm
área : 109,40 cm2
3 Afigura a seguir é um octógono regular cujo
lado mede 20 cm. Se você usar as razões trigo-
nométricas, obterâ a medida a do apótema. De-
termine a e a área desse octógono regular.
(sen22" 30' : 0,38; cos22o 30' :0,92;
tg22" 30' : 0,41)
4 TJma região poligonal, em forma de hexá-
gono regular, foirecortada de uma folha de car-
tolina. O lado do hexágono mede 80 cm' Deter-
mine:
a) o semiperímetro desse hexágono z+o "-
b) a medid a a do apótema do hexágono, saben-. e"lt
clo que a: ----- .10 3 cm ou 6e,2 cm
c) a área da região poligonal, considerando
J{ : 1.,73 16 608 cm'7
5 A figura é um decágono regular onde OA
mede 10 cm.
a) Use as razóestrigonométricas e calcule a me-
dída ( do lado e a medida a do apótema desse
decágono. t : 6,2cm.a : 9,6cm
(sen 18o : 0,37; cos 18o :0,95; tg L8' : 0,32)
b) Calcule o semiperímetro do decágono. sr ".
c) Determine a área do decágono. 2e7,6 cm2
(ô Uma peça como a da figura a seguir ê Íot-
mada por dois hexágonos regulares e seis retân-
gulos, conforme nos mostra a mesma peça des-
montada ou planificada. Se num hexágoflo Í€:
P-lq
gular temo, u : t i-, determine aproxima-
damente quantos cm'de papelão serão necessá-
rios para fazer essa peça. (Considere: ^,8 
: 1,7.)
(
(
I
I
I
I
planificado
305
a :24,39 cm
área : 1 951 ,2 cm2
Ãrqa d,e re isqs circal,ares
Observe a seqüência de regiões poligonais regulares inscritas numa circunferência:
A medida que o número de lados aumenta, o polígono regular tende a confundir-se com a
própria circunferência. lsto fazcom que a região limitada pelo polígono regulartenda a se confundir
com a região limitada pela circunferência, ou seja, o círculo.
Assim:
o perímetro do polígono regular tende a se confundir com o comprimento C : 2nr da circunferência.
o semiperímetro do polígono regular tende ao valor 2- : n .
o apótema do polígono regular tende a se confundir com o próprio raio.
Daí:
Aárea do polígono regular tende a coincidir com a área do círculo. Logo:
área do círculo : nr . r ou área do círculo : rÍr2
)
)
GeometrÍa
Podemos verificar experimentalmente a fórmula que nos d,á, a âreade um círculo:
I - Usando a área de um triângulo retângulo
Você vai precisar de: barbante, cola, papel e tesoura.
Com esse material, faça o seguinte:
a) Corte pedaços de barbante, de modo a cobrir os espaços
entre as linhas da figura ao lado.
306
b) Co1e-os em um papel, do maior para o menol, de modo que fiquem e-qticados, um ao lado do
outro, e que/ uolir,ul, assim dispostos, formem um triângulo retânguIo.
c) Verifique que a medida d.o cateto menor é igual à medida r do raio do círculo acima. Observe
tambãm que o pedaço de barbante que dá o cateto maior é o mesmo que dá a circunferência
desse círculo cujo comprimento é2xt-
Agora compâre as áreas do círculo e do triângulo retângulo:
Considerandoque o mesmo barbante que cobre o círculo também cobre o triângulo, temos:
área do círculo : âtea do triângulo
área do círculo : 't'' 
: n '
II -Usando a área de um retângulo
Veja como éfâct7:
a) Divida e recorte um disco em partes iguais.
b) Junte as partes encaixand.o-as e observe. Note que quanto maior é o número de partes em que
dividimós o círculo, mais próxima de um retângulo fica a Íigura'
Agora que você já sabe, calcule a ârea do retângulo, cuja base tem a metade do comprimento da
circunÍerência e a altura tem a medida do raio. n: o"
-D
-r---
I
I
altura
I
_tl
Ai
\/\/\/\\/\/\/\
307
Observe o gráfico a seguir.
A espera de valorização
do dólar, exportadores
de soja sêguram vendas
externas do produto para 
1
lentar lucrar mais \
Exportações caem em
relação aos primeiros
meses de 2001, apesâr
da saÍra maior esperada
para este ano
21,O*
mato
-à
Média diária de exportação da soja nos primeiros meses de 2a12em comparação com 2001
Em US$ milhões
2002
12,4
816
J
6
6
0)
Jan. Íev. abr, jun
Fonte: Folha de S. paulo,23 jrn. 2002.
Para calcular a redução das vendas, em porcentagem, basta aplicar a igualdade:
I x1 é o valor exportado em 2001
/emque i
1 
x, é o valor exportado em 2002
Em janeiro, por exemplo, temos:
8,6 - 12.4 _? RrectuÇao : 
-DÃ- 
: 1rT - -0,306 : -30,6%
Apenas observando os gráÍicos, isto é, sem eÍetuar contas, estime em qual mês a redução, em
US$ milhões, Íoi maior.
Agora, pata cada mês, calcule a redução, em US$ milhões, e compare com a sua estimativa feita
no item a.
Apenas observando os gráficos, estime em qual mês a redução, em porcentagem, foi maior.
Agora, para cada mês, calcule a redução, em porcentagem, e compare com a sua estimativa feita
no item c.
Xr -Xr
'x.
a)
b)
c)
d)
308
xarclctoS
L Qual é a área de um círculo cujo raio mede
6nE cr;? 226,aEeo'
2lJrndisco de cobre tem 80 cm de diâmetro.
Determine a área desse disco. r?,: ,
3 Um quadrado que tem 5 ,E c* de lado está
inscrito numa circunferência. Determine a área
da região circular limitada Por essa circunferên-
cia. 78,s r;r -
4 Qual é a ârea da região circular limitada por
uma circunferência onde está inscrito um hexá-
gono.regular que tem 60 cm de perímetro?
314 cr'"
5 Afigura nos mostra um círculo inscrito num
quadrado, cujo perímetro é 48 cm. Determine a
área do círculo. 3 r 'i ;'r,
6 Observando a Íigtlra, responda:
a) Aque fração do círculo corresponde a região
colorida de vermelho? )
b) Qual é a ârea dessa região colorida de ver-
melho? s0,24 ct
7 TJsando uma regra de três, determine a ârea
do setor circular que está colorido de azul na
figura.
309
€3 A figura nos mostra duas circunferências
concêntricas, formando uma coroa circular (re-
gião colorida). Determine a área dessa coroa cir-
cular. z. ,-.'2
§) Os círculos da figura são tangentes externa-
mente. Adistância entre os centros Á e B é 19 cm'
O raio do círculo maior tem (2x * L) cm de com-
primento, enquanto o raio do círculo menor tem
(x - 3) cm de comprimento. Determine:
a) a ârea do círculo de centro Á io6:t
b) a área do círculo de centro B E(. :
LO Determine a medida r indicada na figura
e a área da região colorida de lilás.
L L ABCD é um quadrado cuja diagonal mede
lOnT cm. Determine a área da figura. zsu .,,
<-17cm,
irea - 1 13,4!
L2 Use as razões trigonométricas para deter-
minar as medidas x e y da Íígara. A segui4, de-
termine a ârea da região colorida. (Considere:
"E 
: t,ZZ.)
x:8cm; !-8r3 ou
13,84 cm; área : 80.48 cm2
l- v -ir-l
L3 Se o comprimento de uma circunferência
é 56,52 cm, determine a área da região limitada
por essa circunferência. 25q,2+ cm,
L4 Qual é a área da região colorida na figu-
ra, seAB : 32 crn, AC : +AB e DB : )_ rcz502,40 cm2
,r^ando o qwq a'?re dau
aresp) Na figura a seguir há dois quadra-
A área do quadrado maior é 25 m2
e BG mede 2 m. A área da região pintada de
azttl é:
a) 9m2 E
a5 (Sa.esp) Cortando-se um cilindro na linha
tracejada indicada na hgara, obtém-se sua pla-
nificação. Veja:
Se o raio de cada base mede 5 cm
tem 10 cm de altura, qual é a área
superfície? (Use n : 3,7.)
a) 465 crn2 c) 310 cm2
b) 425 cm2 d) 133 cm2
e o cilindro
total de sua
*b) 16m2
c) 18 m2
d) 21m2
2 Qtal é a área, em metros quadrados, de um
terreno que tem a forma da figura a seguir? zse r,
20
LG Quat aáreadaregião 
D
colorida de verde na figu-
ra, se ABCD e um quadra-
do cuja diagonal mede
1,2 crn? 2o.52crn2 
A
3 A divisão do número 0,5 por x tem o mesmo
resultado que a adição do número 0,S com r.
Nessas condições, e sendo Í um número real
positivo, calcule aâreado círculo cujo raio mede
Í Cm. 0,785 cm2
4 (Unicamp-SP) O retângulo de uma bandeira
do Brasil, cuja parte externa ao losango é pinta-
da de verde, mede 2 m de comprimento por
1,40 m de largura. Os vértices do losango, cttja
parte externa ao círculo é pintada de amarelo,
distam 17 cm dos lados do retângulo, e o raio
do círculo mede 35 cm. Para calcular a área do
círculo, use a fórmula A : rt ' e, parafacilitar os
cálculos, tome n "o o ?.
19 209 cn,'
a) QuaI é a ârea da região pintada de verde?
b) Qual é a porcentagem da área da região pin-
tada de amarelo, em relação à área total da ban-
310
deira? Dê sua resposta com duas casas decimais
depois da vírgula. i,otak
5 (FGV) Na figura, AB // CD, AB : 6 crr.,
AD : 4 cm e os ângulos internos de vértices Á e
B têm as medidas indicadas. A área do quadri-
Iátero ABCD, em centímetros quadrados, é:
c) aJí
d) 6Jt
B
- e) BJí
6 O desenho representa uma Praça circular de
60 m de diâmetro. Os jardins estão representa-
dos pelas regiões pintadas de verde que são se-
torei circulares cujo ângulo central é 30'. Qual é
a ârea ocupada pelos iardins? e42 m2
9 ABCD é um quadrado e M, N, O, P são Pon-
tos médios dos seus lados. Qual a Íração que a
área do quadrado azul representa da área do
quadradóABcD? +
a) J3
O zn E
7 Num triângulo retângulo, a altura relativa à
hipotenusa determina sobre essa hipotenusa
segmentos quemedem 32cme 18 cm. Calcule a
área desse triângulo. 6o0 cm2
€3 Na figura abaixo PA: 2 cm e AB : 4 cm.
a) Usando as razões trigonométricas, calcule as
medidas x,A,ffie n indiiadut.;-:':;J*:l].u ..
b) Determine a área do trapézioretângulo ABCD.
4 r3 cm2
L0 Determine a ârea da hgttta, em centíme-
tros quadrados. 11,14cm2
L L Na figura a seguir, os pontos Á e B são os
pontos médios de dois lados paralelos do hexá-
gono regular inscrito na circunferência. Saben-
do que AB : 60 cm, determine:
a) a medida x do raio x : 2o r3 cm
b) a área do círculo 3 768 cm2
c) a área do hexágono regular 1 800 13 cm2
é4 cm. CaI-
cm2
311
\i
L3 Na figtra, gC = eO = OD - DF eABCD
é um quadrado de 48 cm2 de área. Determine as
l"_tl"r x ey dos catetos do triângulo retângu_
lo EFG e dê a área desse triângulo.
ea 3
a4 (Su.esp) Uma circunferência de 10 cm de
raio circunscreve um triângulo ABC eqüilátero.
(IJse r,E :7,7.)
L(6 Na figura, AB : 6 cm e OM : 4 cm. De-
termine:
o
E
\ t: /
a) amedidardoraio sc.
b) a área do cÍrculo 78,5 om2
c) a área do retângulo DMOC 2ocm-
d) a área dotrapézioABEc 32cm2
No triângulo retângulo da figura, temos
15 cm e HC : 16 cm. Determine a área do
triângulo. r sc cm2
L€i Se cada lado de um quadrado é acrescido
de 6 cm, sua área aumenta de 108 cmr. Nessas
condições, determine:
a) a área do quadrado original so 
"n,,
b) a área do quadrado que tem o valor do lado
aumentado 144cm2
I-§) De uma madeira quadrada com g0 cm de
Iado, deve ser retirada a peça colorida de verde
cujas medidas estão indicadas na figura. euan-
tos centímetros quadrados da madeira restarão?
2 500 cm'
A superfície desse triângulo mede:
a) 255 cm2
b) 21,6,75 cm2
c) 150,5 cm2
d) 727,5 crn2
L5 Na figura, PT : 6 cm e PB : 18 cm.
sas condições, determine:
a) a ârea do círculo de centro O 314 cm2
b) a área do trapézio PBOT s+ c.,
Nes-
312
B
C o D
2(o No quadrado ABCD da figura, o Ponto M
é ponto médio do lado AB. Nessas condições,
determine:
D
a) a medida r do lado
do quadrado ABCP
4 r5 cm
b) a área desse
quadrado 80 cm2
c) a ârea do trapézio
BCDM 6o cm2A
23 Na figura abaixo temos três semicírculos
e a medida do segmento AC é igual ao dobro
da medida do segmento CB. Nessas condições,
qual a área da região colorida de rosa?
rx2 unidades de área
2
24 Na figura a seguir temos um círculo de
centro O e raio 6 cm, e outro círculo de centro
O e raio 10 cm. Os dois círculos são divididos
em seis partes iguais por semi-retas partindo
de O, que interceptam o círculo menor nos
pontos A, B, C, D, E e F. Os pontos A' ,B' , C' ,
D' ,E' e F' pertencem às bissetrizes dos ângu-
^^^^^4los AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA, res-
OeCtiVamgnte. Prof . Avalie a converilência de sugerir ao aluno
' que inicie pela classiÍicação do triângulo ABO.
a) Determine os comPrimentos das cordas AB,
m, cD, DE, EF e FA. 6cm
b) Calcule a área do quadrilátero AOBA'. 30.-'
c) Calcu1e a soma das áreas das regiões pinta-
das de laranja. 36(5 - n) cm2
10 cm
M
2L Na figura AB : 6 cm e AC : 8 cm. Sa-
bendo-se que BC é o diâmetro do círculo, qual
é a ârea da região colorida de amarelo? oz,2a"^'
22 Afígura abaixo mostra três circunferênci-
as tangentes duas a duas. Qual é aáreado triân-
gulo ABC, se r : 4 cm? 16 r3 cm2
313
;
o
qLq,A^entare5No
Lenào um jornal, uma reviota,
ou aesisf,inào ao noliciário àa
televisào, entramo s etn
quantiàaàe àe númeroe e
grâficoo que noe trazem
uma séríe de informagõee.
Veja alguns exemploe;
Freqüência escotar por grupo de idade (%)
t}rser i! zooo
Se6anos
5,9
àl
18 e Í915a17
Fonte: 0 Estado de S. Paulo, 77 maio 2002.
de- Lslalí5l\c,cn
por eno, e varieção percentual
Dlvleão do bolo
Em 2001 , por meios
FatuÍamênto por meloe
Em R$ bilhÕes, por ano
O levantamento àae informaçõeo e a eua expoeiçào em tabelae e gráficos sào feitoo,
em geral, de forma cienlífica, ulilizanào um àoe tamoo àa Matemáliaa - a Estatietioa,
Neeta Uniàaàe, vamoe esludar alguno elementoe àe Estatísliaa que noo aiudarào a
entenàer melhor eooe imporlante ramo àa Matemálioa,
Soja em grãos em Chicago, 1ã entrega, em US$ por tonelada (média do ano)
Fonte: Folha de S. Paulo, 17 abr.2002.
1986 í987 198S 1989 1990 199í 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
J
7
J
7 0rSanizand,o og dadot
la aLttatÉtica
Acompanhe a situação a seguir.
Para se chegar ao resultado pretendido
Matemática chamado Estatística.
Numa pesquisa, onde se queira determinar a
intencão de votcl na eleicão para prefeito de uma
cidade, inicialmente devem-se colher os dados, ou
seja, a intenção de voto de uma parcela previamen-
te escolhida da populacã0. Em seguida, esses da-
dos devem ser organizados para, finalmente, se-
rem submetidos a uma análise.
A partir dos primeiros votos apurados (da-
dos organizados) numa eleicã0, podemos fazer
uma projecão dos resultados dessa eleicão (análi-
se dos dados).
nos exemplos apresentados, utiliza-se um ramo da
Poro projetormos
o número de hobítontes
gue o Terro teráno
Precísomos iniciolmente
obter os dodos sobre o
crescimento do populoção
nos últimos onos.
Em saguido, orgonizor
esses dados e, f inolmente,
onalisó-los poro tiror umo
A Estatística trata do conjunto de métodos utilizados para a obtenção de
dados, sua organizacão em tabelas e gráficos e a análise desses dados.
A Estatística alcancou grande desenvolvimento a partir das máquinas de calcular e dos compu-
tadores, que agilizam o cálculo matemático e, hoje, está presente em quase todas as atividades do
homem.
316
A partir da análise dos dados coletados e organizados, podemos, em muitos casos, prever
determinadas tendências que auxiliam a tomada de decisoes, permitindo elaborar um 
planejamento
mais adequado.
Nesta Unidade, aprenderemos a organizar um grupo de dados em tabelas e a construir gráficos
a partir desses dados.
Para isso, utilizaremos conteúdos estudados anteriormente, tais como: fracao, porcentagem,
proporcionalidade, ângulo central e sistema de coordenadas carteSianas.
Conno anizar os dado5 qA^ lahqlaE
Após reunir uma série de informaÇões (dados) sobre determinado assunto, o primeiro passo é
organiz.ar essas informações. Geralmente, utilizamos para isso tabelas de dados.
Como organizar essas tabelas? Veja algumas situações:
l3 Num grupo de 40 pessoas, 16 preferem vôlei e 24 preferem futebol.
Vamos construir uma tabela de dados quanto à preferência por esporte desse grupo. Para isso,
seguimos o roteiro:
) Damos um tÍtulo à tabela que explique o tipo de informaÇão que ela contém. Nesse caso poderia
ser: Número de pessoas segundo a preferência esportiva.
) Escrevemos em cada coluna o tipo de informação que ela contém. Veja:
Número de peeooae oegundo a preferência eepoft,iva
?orcentagem
esctev emos o por cent ogem
do número de pessoos que
escolherom cada esporte em
reloçõo oo número totol
No 29 coluno
esctevemos o número de
pessoos quepreÍerem
No 19 coluno
escrevemos vôlei
e ÍuIe5ol.
317
Eoporae - ..^rrequencê
)'
I
) Preenchemos as colunas com as informações (dados) de que dispomos.
Na coluna Porcentagem, basta calcular quanto por cento 24 e 16 representam de 40, que é o
total de pessoas.
Núnrero àe peeeoae oegunào a preferência espor,tiva
Espofte Freqüência Porcentagem
Vôlei 16 40%
Futebol 24 60%
Total 40 100%
21 Numa eleicão para representante de classe, três alunos se candidataram: Alexandre, Juliana e
Daniel. Na apuracão dos votos, o professor colocou os três nomes no quadro-negro e, a cada voto,
assinalava um traco ao lado do nome do candidato. A eleição teve o seguinte resultado:
No construçdo de
tobelos, o visuolizoção é
muíto importonte.
\=r'
U\
NNI
Vamos construir uma tabela com os resultados dessa eleiÇão.
) Escolhemos um tÍtulo: Resultado da eleição para representante de classe.
) Determinamos o número de votos de cada candidato, o número de votos brancos e nulos e o total
de eleitores (para o cálculo da porcentagem):
Alexandre: 11 votos i Brancos: 2 votos
Juliana: 20 votos Nulos: 1 voto
Daniel: 8 votos I totat de eleitores: 42
) Escrevemos em cada coluna o tipo de rnformação
que ela contém: Candidato, Número de votos e Por-
centagem, A seguir, preenchemos as colunas com
os dados disponÍveis. Para melhor visualização e
análise dos dados, devemos dispÔ-los sempre numa
ordem conveniente. Neste caso, podemos dispor o
número de votos na ordem decrescente, ou seja, do
mais votado para o menos votado.
Resultado da eleição para representante de classe
Um pouco da hístória
da EstatístÍca
As primeiras estatísticas foram
realizadas para os governantes das
grandes civilizações antigas, com a
finalidade de registrar os bens que o
Estado possuía.
Três séculos antes do nascimento
de Cristo já se faziam censos/ mas a
palavra estatística apareceu pela
primeira vez somente no século XVIII,
sugerida pelo alemão Gottfried
Achemmel (7779-7772).
Alguns autores consideram quatro
períodos na história da Estatística.
Primeiro período: desde a queda
do Império Romano, ern476, Passou
praticamente um milênio sem que se
conhecessem estatísticas importantes,
a não ser as realizadas em758 e762.
Segundo período: no século XVII,
na Inglaterra, já se analisavam gruPos
de observações numéricas relativas à
saúde pública, a nascimentos e ao
comércio.
Terceiro período: o
desenvolvimento do Cálculo das
Probabilidades, também no século
XVII, veio dar uma nova dimensão à
Estatística. Três nomes importantes
estão ligados a esse período: Fermat
(7601-1665), Pascal (1623-1662) e
Huygens (7629-7695).
Quarto período: dá-se início a
uma dependência dos diferentes
ramos do saber relativamente à
Estatística. Dois nomes estão
associados a esse desenvolvimento:
Ronald Fisher (7890-7962) e Karl
Pearson (7857-1936).
Hoje, a Estatística amPliou seu
campo de atuação e tornou-se
fundamental em estudos de Biologia,
Medicina, Física, Psicologia, Indústria,
Comércio, Educação etc.
Número de votos
42
Note que a coluna Porcentagem pode ser muito
útil se ficar estabelecido, por exemplo, que, para ser
eleito no 1e turno, o candidato deve ter 50% do total
dos votos mais um voto (maioria absoluta). Caso isso
não ocorra, haverá um 2e turno entre os dois candida-tos mais votados.
Pela tabela, você verifica facilmente que o candi-
dato mais votado não atingiu maioria absoluta. Tería-
mos, então, 2e turno.
Candidato
Juliana
Alexandre
Daniel
Brancos
Nulos
Total
20
11
Porcentagem
47,6%
26,20/o
19,00/o
4,80/o
2, ',/o
100%
319
xs-rclcl(75
sua classe o número de alunos do sexo masculino e do sexo feminino. Em seguida,
bela que indique a quantidade de alunos por sexo, assim como a respectiva por:centa-
ao número total de alunos. resoosta enr aberro
2 tJmdado foi lançado 20 vezes, sendo obtidos os seguintes pontos:
15 6222 5
Construa uma tabela que indique a quantidade de vezes que cada número de pontos aparece, bem
como a respectiva porcentagem em relação ao número total de vezes em que o âado foi iançado.
3 Os dados seguintes se referem às notas obtidas pelos alunos erl-n uma prova de Matemática.
4652337665542
Número7z34s67Bg
do aluno
Nota 8,0 4,0 5,0 7,0 3,0 7,0 5,0 3,0 3,0
4 Um grupo de alunos do 1q grau foi escolhido para
uma olimpíada esportiva. Pesquisando as idadeJdos
idades (em anos):
10 11 12 13 14 15 76 77 18 79 20 21. 22 2g 24 25 26
4,0 9,0 7,0 3,0 2,0 2,0 5,0 6,0 6,0 8,0 7,0 4,0 7,0 5,0 4,0 7,0 9,0
Construa uma tabela que indique as notas, a quantidade de alunos que obteve cada nota e a respecti-
va porcentagem em relação ao número total de alunos.
A seguir, responda:
a) Quantos alunos obtiveram notas menores que 5,0? 1r
b) Que porcentagem de alunos obtiveram nota iguar ou superior a s,o? s6%
c) Qual é a nota que aparece com maior freqüência? t,o tzo.t"t
15 17 13
14 13 15
13 15 1,4
1.4 72 15
1.4 1,4 15
12 13 74
11 1,2 15
13 13 74
representar a escola no desfile de abertura de
alunos escolhidos, obtiveram-se as seguintes
14 76 13 1.2
15 72 14 74
73 15 1.6 15
1.2 1,4 15 1,4
Construa, então, uma tabela em que apareçam as colunas Idade, Número de alunos associados a cada
idade e Porcentagem (de cada idade em relação ao número total de alunos).
5 Observando-se a altura dos 40 alunos de uma sala de aula, foram obtidos os seguintes dados:
) 11 alunos tinham menos que 1,80 m de altura.
) 22 ahtnos tinham altura entre.1,80 m (inclusive) e 2,00 m de altura.
) 7 alunos tinham 2,00 m ou mais de altura.
Nessas condições, construa uma tabela em que apareçam as colunas Altura, euantidade de alunos e
Porcentagem (em relação ao número total dã alunos).
320
S|Lgtndando ya[icot
0s gráficos são um dos meios mais usados para representar e analisar dados. Neste capÍtulo,
estudaremos alguns tipos de gráficos utilizados em Estatística: gráficos de segmentos ou de linha,
gráficos de barras e gráficos circulares ou de setores.
Os gráficos de linha são utilizados, em geral, para mostrar a variação de algum fenômeno
durante certo tempo. Observe a situação seguinte.
Crescimento da população brasileira de 19OO a 2O0O
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 x
an-os
para construir o gráfico, utilizamos um sistema de coordenadas cartesianas: o eixo x (horizontal) é
usado para mostàr avariacão do tempo, e o eixo y(vertical), para mostrar avariacão da populaçã0.
Note que cada intervalo entre duas datas consecutivas assinaladas no eixo x corresponde a 10
anos; de modo semelhante, cada intervalo no eixo y corresponde a 10 milhões de habitantes. A
escoiha do intervalo entre duas datas depende do número de datas e do espaÇo que você possui
para representá-las. O importante é que, para intervalos iguais de anos, sejam usadas medidas
iguais. Usamos o mesmo raciocínio para o eixo y (vertical).
para construir o gráfico, marcamos os pontos que correspondem à populaÇão referente a cada
ano. Depois, unimos esses pontos por meio de segmentos. Assim, cada Oo$o do gráfico está
associado a uma data (no eixo horizontal) e a uma populaÇão (no eixo vertical). E importante ressal-
tar que a populaÇão encontrada será Sempre um nÚmero aproximado.
321
A partir do gráfico, podemos fazer uma série de análises acerca da populacão do Brasil de
1900 a 2000. Veja os exemplos a seguir.
I Qual era a populacão aproximada em 1930?
Pelo gráfico, o ponto que está associado ao ano de 1930 (eixo horizontal) corresponde ao
número 36 000 000 para a população (eixo vertical). Esse número é uma aproximacão, pois não
podemos garantir que a população cresceu de modo uniforme de 1920 a1940.
2 Qual era a populacão aproximada em 1990?
Pelo gráfico, o ponto que está associado ao ano 1980 corresponde ao número 145 000 000
para a populaçã0.
3 Em número de habitantes, o Brasil apresentou maior crescinnento entre 1960 e 1980 ou entre
1980 e 2000?
Pelo gráfico, verificamos que, de 1960 a 1980, o crescimento foi de aproximadamente 50 000 000
de habitantes, igual ao observado no período de 1980 a 2000.
Gra[icos de harraE
0s gráficos de barras são utilizados, em geral, para comparar coisas de mesma natureza. Veja
o exemplo a seguir.
A tabela abaixo mostra o número total de medalhas que o Brasil ganhou em olimpíadas, entre
7972 e 2000.
Ano
t972
1976
1980
7984
1988
1992
1996
2000
Sede
Munique
Montreal
Moscou
Los Angeles
Seul
Barcelona
Atlanta
Sydney
Número de medalhas
2
2
4
8
6
3
15
12
Vamos construir um gráfico de barras com os dados da tabela, seguindo este roteiro:
a)Utílizando o sistema de coordenadas cartesianas, marcamos no eixo horizontal segmentos de mes-
ma medida (essa medida vai corresponder à largura das barras), espacadas igualmLnte entre sr. No
eixo vertical, marcamos o número de medalhas.
b)Para cada ano, determinamos a altura da barra, que vai corresponder ao número de medalhas
ganhas.
322
Número de medalhas conquistadas pelo Brasil
o
(E
6
E
Ê,u
*r+
ottr13
12
11
10
I
8
7
6
5
4
3
2
1
Barcelona
Olimpíadas
0bservação
As bases dos retângulos que formam as barras devem ter sempre a mesma medida.
A partir do gráfico, você pode levantar questões como:
o número de medolhos
conquistodo s pelo Brosil
foi moior gue nos anos
0u, entã0, pesquisar
para satisfazer curiosida-
des do tipo:
Em guois esportes
o Brosil obteve medolhos
no Olimpíoda de 7988?
323
Munique Montreal
Esse gráfico também pode ser representado por ilustracão no lugar das barras.
Número de medalhas conquistadas pelo Brasil
oo
Olimpíadas
0s gráficos de setores ou circulares são utilizados para representar as relacões entre as
partes de um todo. Em geral, usamos as taxas percentuais para relacionar as partes.
Veja, como exemplo, a área que cada região do Brasil ocupa. A partir daí, vamos construir um
gráfico circular que represente os dados da tabela a seguir.
a)Trace uma circunferência de raio qualquer.
o
o
o)
G
íD
oo
Et,o 1trtr'"i r+
Irs
12
11
10
9
I
7
6
5
4
3
2
1
setores
577 214,0
Região
Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro-Oeste
Brasil
Taxa percentual
de ocupação
45%
t8%,
tt%
7Yo
t9%
n00%
Area
(em km2)
324
b)Lembrando que o ângulo central correspondente ao arco de uma volta tem 360' e representa
lO0o/o, calculamos os ângulos centrais relativos às taxas percentuais.
Região Norte
Região Nordeste
Região Sudeste
Região Sul
. 45o/o de 360" : 162"
--------+ 18% de 360" : 65"
--> 
llo/o de 360' : 40'
+ 7o/o de 360o : 25"
Região Centro-Oeste --------- 19% de 360' - 68"
c)Usando um transferidor, assinalamos os ângulos correspondentes.
S"ü'dêste
d)Utilizando legendas, representamos o gráfico da seguinte forma:
Regiões
[--l ruo.t"
[--l Nordeste
f-_l srd".t"
f-_l s,r
f--l centro-oeste
Veja de que outra forma podemos construir um gráfico para representar os dados da tabela:
Norte
162
325
xurclcl09
7. O grâÍico seguinte mostra a evolução de ven-
da de dois produtos, Ae B, nos seis bimestres de
2002.
6o
!
Ê60
=50
E+o
E
930
o
*20c
910
produto Á --
produto B 
-
jan/fev marlabr maio/iun jul/ago seVout nov/dez
meses
Analisando o grâfico, responda:
a) Quantas unidades do produto B foram ven-
didas em julho € âgosto? ,:. -,0., : r--s
b) Em que bimestre a venda do produto Á foi
de 20 000 unidades? ..u ,
c) Qual o índice de vendasmais baixo do pro-
dUtO B? jan/Íer, ,1C 000 L,: crair:
d) O número de unidades vendidas do produto
Á foi igual ao número de unidades vendidas do
produto B em algum bimestre? 
"e:,
2 No colégio onde estudo, fizemos um levan-
tamento sobre a idade dos alunos, em anos, que
resultou nesta tabela.
agra
dadr
dia
OSC
de barras,
essa tabela.
ma
rsddos
Ijsando um
gráfico com
construa um
326
3 O gráÍico mostra o crescimento aproximado
das exportações de flores e plantas ornamentais
brasileiras entre 2000 e 2001.
Em US$ milhões
t
80
a
/-zJ -.-
41
í999 2000 2001
'Estimaliva
Fonte: Secex e Ibraflor.
Analisando o grâÍico, responda:
a) Qual foi o aumento real nas exportações en-
tre 2000 e2001? - io :
b) Qual é a meta a ser atingida pelas exporta-
ções em 2004? BO rôi:: 3o :,c ares
4 (Saresp) Um terreno foi dividido em quatro
partes, de modo qte257o são para a construção
da casa, 50Vo parao pomar, 20% paraa horta e o
restante para o jardim. A representação gráfica
que corresponde a essa divisão é:
2ooz' 200/.'
casa ^y
Número de alunos
Er
t
H
a)
5 Ao realízar uma pesquisa para saber a Pre-
ferência dos funcionários em relação à bebida
que deveria ser servida no lanche, o departa-
mento de Recursos Flumanos de uma emPresa
elaborou o grâÍico seguinte:
f--l café
f__l tette
chá
f__l sem preferência
Sabendo que a emPresa possui 180 empregados,
responda:
a) Quantos manifestaram preferência pelo café? n
b) Quantos manifestaram preferência pelo châ? sq
c) Qual a bebida que teve a menor preferênciafi,"
d) Quantos não manifestaram preÍerência por
nenhuma bebida? 36
(6 Construa um gráfico de setores com os da-
dos da tabela abaixo.
Urbana
Rural
Total
80Vo
20%
700Vo
Fonte: IBGE - Censo Demográfico 2000.
7 A tabela a seguir mostra a população de
om sua respectiva Por-
população total brasi-
construa um gráfico de
setores.
LElwdanfut trnídias
Região População Porcentagem
Norte 12 900 000 8%
Nordeste
Centro-Oeste
Sudeste
Sul
Total
47 741.000
11 636 000
28%
7%
Fonte: IBGE - Censo Demográfico 2000.
€l Uma pesquisa entre 1 200 alunos revelou as
atividades esportivas que eles gostariam de ter
na escola. O resultado obtido está na tabela abai-
xo. Com base nessa tabela, construa um gráfico
de setores.
72 472000 42%
25 107 000 1,5%
769796000 700Vo
600
200
100
50
250
Voleibol
Basquete
Futebol
Natação
Outros
Quando pretendemos estudar um fenômeno estatístico, recorremos a certos 
parâmetros que
represàntam, de forma precisa, as propriedades da distribuiÇão dos dados relativos a esse fenômeno.
Neste capítulo, vamos estudar os parâmetros de tendência central: a média aritmética e
a média aritmética ponderada.
327
Acompanhe os exemplos a seguir.
I As idades dos jogadores titulares de uma equipe de basquete são: 25 anos, 2l anos,
22anos,30 anos e 31 anos. Qual é a idade média dos jogadores;titulares dessa equipe?
Para resolver esse problema, devemos fazer:
25 +27 +22+ 30 + 31 :*:r,
Entã0, a idade média dos jogadores titulares dessa equipe é 27 anos.
0 número 27 échamado média aritmética dos números 25, 27,22,30 e 31.
Assim, podemos escrever:
A média aritmética de n números representa a soma de todos os números dividida por n.
2 A diretoria de um clube é formada por 10 membros. As idades deles estão indicadas em anos,
a seguir: 27,30,30,32,30,32, 30,27,30 e 32. Qual é a idade media dos membros da diretoria
desse clube?
Considerando os dados do problema, observamos que: o valor 27 se repete 2vezesi o valor 30
se repete 5 vezes; o valor 32 se repete 3 vezes.
Assim, a média das idades pode ser calcurada de forma mais simples:
27.2 + 30.5+32.3 s4+1S0+96
2+5+3 10
Então, a idade média dos membros da diretoria é 30 anos.
0 número 30 assim obtido é chamado media aritmética.
Para responder a essa questã0, devemos levar em consideração dois aspectos:
0 professor não atribui pesos diferentes para as notas.
Nesse caso, pode-se calcular a média do aluno adicionando-se as três notas e dividindo-se o resul-
tado por 3.
6,0+7,0+5,0
:#:ro
: +:6,0
0 número 6,0 obtido é chamado média aritmética dos números 6,0; 7,0; 5,0.
Ás minhos notos-
em Motemático,
no 29 bímestre,
Quol voi ser
o minho média no
328
O professor atribui pesos diferentes para cada nota, conforme o seguinte critério: a nota da 1e
prova tem peso 3; a nota do trabalho de pesquisa tem peso 2; a nota 6u l? prova tem peso 5.
Nesse caso, a média do aluno é calculada assim:
6,0'3 +7,0.2 + 5,0'5 18+14+25 :57 : 5,73+2+5 10
Portanto, o aluno teve média 5,7.
Nesse caso, o número 5,7 é chamado média aritmética ponderada dos números 6,0; 7,0; 5,0.
Pelos exemplos dados, observamos que a média de um aluno pode ser diferente, embora as
notas sejam as mesmas. Logo, vemos que uma média depende das regras estabelecidas para o seu
cálculo.
L QuaI é a média aritmética dos números -25,
-22, -13,15 e 30? -s
2 Determine a média aritmética ponderada dos
números 8, 15 e 20, com Pesos 2,2 e 7, respecti-
vamente. rc,2
3 Uma livraria vende a seguinte quantidade de
livros de literatura durante uma certa semana.
4 Qual é a média aritmética dos números
2z feira 3e feira 4e feira 5e feira G feira sábado
13 23 22 27 22 25
Número de empregados Salário (em reais)
72 800
Qual foi a média diária de livros vendidos du-
rante essa semana? zz
1 200
2 000
10
2
--O- t
J
1o 3? ls
6- 4'36
5 Karina comprou 3 canetas por 20 reais cada
uma e 2 canetas por 15 reais cada uma. Quanto
ela pagou, em média, por caneta? 18 reais
6 As alturas dos jogadores de uma equipe de
basquete são: 1,98 rn;2,02m;2,08rn;1.,92rn e
1,95 m. Qual a média de altura dessa equipe?
1,99 m
7 lJrna indústria produz um certo produto.
Vendeu 3 500 unidades desse produto por 30
reais cada e 8 500 unidades por 24 reais cada.
QuaI foi o preço médio, por unidade? B$ 25,7s
€! Numa empresa com 20 funcionários, a dis-
tribuição dos salários está representada no qua-
dro abaixo. Qual é o salário médio dos empre-
gados dessa empresa? R$ l oao,oo
329
9 Num torneio de basquete, uma equipe mar-
cou 104 pontos, 96pontos,117pontos e 103 pon-
tos nas 4 partidas que disputou na 1a fase. eual
a média de pontos que essa equipe marcou nes-
sa fase do torneio? 1ob ponros
lO Um colégio tem 8 professores e suas ida-
des são: 26 anos,28 anos, 34 anos,40 anos,28
anos, 30 anos, 38 anos e 32 anos. Qual a idade
média dos professores desse colégio? 32 anos
L L Preparamos um refresco com 8 copos de
Se o copo
al e o copo
I, qual é o
custo de cada copo de refresco? 9 centavos de rea
L2 Numa classe de 35 alunoshá22homens e
13 mulheres. Numa prova de Matemática, a nota
média dos homens Íoi 4,8 e a nota média das
mulheres Íoí 4,0. Qual foi, aproximadamente, a
nota média da classe? 4.s
I
o teste a seguir foi apresentado numa das provas do Enem. procure
resolvê-lo, trocando idéias com o seu colega.
Um sistema de camente a
velocidade de todos de passam
em média 300 veícul idaàe
permitida. um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a
elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com sua
velocidade aproximada. A media das velocidades é dada por
,, _ 20-5+30.15+40. 30+50.40+60.6+70.3+80.1
100
veículos 45
l"/"1
30
I
I
I
I
I
________t
15
10
70 80 90 100
velocidade
(km/hl
A velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é de:
a) 35 km/h
b) 44krn/h
c) 55 km/h
d) 76km/h
v. - 44 km/h
e) 85 km/h
--l
40i
330
fr^ 
,.wdo o gua aYtrendau
I- Num grupo de 20 pessoas, 5 preferem vôlei,
12 futebol e 3 basquete. Construa uma tabela de
dados quanto à preferência por esporte desse
grupo, bem como a respectiva porcentagem em
relação ao número total dessas Pessoas.
2 Forampesquisadas as idades das pessoas de
um grupo e obtiveram-se os resultados organi-
zados na tabela a seguir.
3 Um levantamento sobre a idade, em anos,
dos alunos de uma escola, resultou na tabela a
seguir. Construa um gráfico de barras com os
dados dessa tabela.
Idade Número de alunos
4 Qual é a média aritmética dos números 12'
5 Determine a média aritmética ponderadados
números 9,1,5,26 e 30, com Pesos 1,2,3 e 4, res-
pectivamente. 23,1
(6 Uma clínica odontológica possui 5 dentistas.
As idades deles são 27,29,30,38 e 46 anos. Qual
é a idade média dessa equiPe? 34 anos
13
74
15
76
4
11
2^3?
54
Idade
(anos)
74
27
35
42
O gráfico de setores representa a distribuição
dada na tabela.
De acordo com a tabela e o gráfico, determine cr.
ü:55'
331
lndicaçao d,a.Leitura
vamos comeÇar com a história do homem 
que conseguru medir arerra' E não pense que ele
usou computadores, satélites ou quaisquer métodos 
modernos' Kathryn Lasky nos conta um pouco
áá,iou o. o bibliotecário que mediu aTerra, da Editora salamandra.
o auior Egidio Trambaiolli Neto escreveu a série o contador de histórias 
e outras histórias
da Matemática, Editora FTD. Se você gosta de mistério e 
enigmas' essa série tem dois títulos
ideais para a sua leitura:
<ÊiãEmOsoeregrinos,umgrupodeadolescentesprecisaresolverumgrandeclesafio:evitarumvã§Í 
cataclisma, que extinguirá toda a vida terrestre'
(jsEmAmíssão,umgrupodeadolescentesprocuraevitarqueumhomemsemescrúpulosesua
máqutnadotempoaltereopassado,colocandoemriscoaexistênciademilhõesdepessoas.
E se você ainda tem dúvida sobre a Íinalidade da Matemática, 
Fra que serve Matemática? é
uma série que veio a calhar. lndicamos para vàcê Equação 
do 2e grau, escrito pelos matemáticos
tr.n.t, Jakubo e Lellis e publicado pela Atual Editora'
E aquivão mais alguns livros bem interessantes 
para a sua leitura:
Em As mil e uma equações,de Ernesto Rosa Neto, Editora Atica, três 
amigos se perdem no
deserto e são salvos pela caravana de um emir- Lóvaoos 
para a cidade' assistem a um torneio
entre dois pretendenteJ ffi;il;, Núria. O grupo de amigos descobre uma conspiração'
Do mesmo autor e editora, Geometría na Amazônia conta 
a aventura de wander' lsabela e
Andre que enÍrentam situações perigosas na floresta 
amazônica'
Ahistoria da equação do 2.e graué contada por oscar Guelli, 
na coleÇão contando a História
da Matemática, Editora Atica'
Ggr
Bom divertrmento!
tsihí,i oyo,,{ia\
ASOCIACION DE MAESTROS ROSA SENSAT. Didáctica de los número.s enteros. Madrid, Nuestra Cultura, 1980.
BERLOQUIN, Pierre. 100 iogos geométrÍcos. Trad. Luís Filipe Coelho e Maria do Rosário Pedreira. Lisboa, Gradiva, 1991.
100 jogoslogicos. Trad. Luís Filipe Coelho e Maria do Rosário Pedreira. Lisboa, Gradiva, 1991.
100 jogos numéricos. Trad. Luís Filipe Coelho e Maria do Rosário Pedrerra. Lisboa, Gradiva, 1991.
BORDENAVE, Juan DÍaz; PEREIRA, Adair Martins . Estrategias de ensino-aprendizagem.7. ed. petrópolis, Vozes, 1985.
BOR|N, iÚlia. Jogos e resolucão de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática. vol. 6. São paulo, CAEM-USP,
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334
Respo EtaE
1 Potôrrcia de. wm níMqro rsal"
coÍh eXí?oehle- natwral
p'11
I a)49
2
3
4
5
6
7
8
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g) 5,29
h) -36
t) 243
j) -0,276
c):
d):
d) a'o
")P
b) 121
c) -125
Ld) 2i
e) J3
32
4
2
380 jogos
a) 9 diagonais
b) 35 diagonais
sim
a):
b)+
9 a\ (20 + 21 + 2' + 23 + 2a) clnrrz
b) (zo + 21 + 22 + 2' + 24 + 2s +
+ 26 + 27) cmz
c) 512 cm2
Calculadora... p. 12
7. 71' : L21.,173: 1 331 e
774 : 1.4 641
2 O Íato não se repete:
115 :1.61.051 e 116 :7771'567
p.15
1 a) 210 f)
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c) 5"
d) 313
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(7,7)20
(0,7)2
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3 a) x3y3
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Troque idéias... p. L7
4 moedas L6:2a
5 moedas 32: 25
6 moedas 64:26
7 moedas 128:27
8 moedas 256:28
9 moedas 512: 2e
10 moedas 7 024: 210
/ Potància de.ura nínnqro rqal,
corr^ ü?osrtte ihteiro naSativo
p.27
1 a)81
b) 27
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a soma dos 30 primeiros números
ímpares naturais.
Retomando... p.27
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h) í63
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Calculadora... p. 35
1 a) Sim, suas raízes quadradas
são respectivamente 13 e 31.
b) Sim, suas raízes quadradas
são respectivamente 772 e277.
c) Sim, suas raízes quadradas
são respectivamente 113 e 311.
d) Sim, suas raízes quadradas
são respectivamente 722 e 227.
5 Radicat aritnnótico a 5ua5
propriedades
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Calculadora... p.40
ú Sn+zn :1111
ô {tn lsarlzr : 11111
d {zsu es+zn : 111111
á Sirrnpí,i tic ando r adicais:
wlraçi^o dzlaloret do
radicando
p.42
a il 2^[77
d 76J'
c) 3íí
d) 3ln0
2 il xzJx
u) viF
.L-c) x'{x
^_t^d) y't/v'
3 a) 3l8
b) 10Jt
c) 10rE
ü 33"12
d 2\lT
4 a) 4,23
b) 6,92
c) 5,64
5 a) 2x^,87
d zy3 
^py
c) 3x21/x
d) 7}x2y2 ^pf
o a)(x-y)
b)(x+1)
c) 2(x - 1)
e) 551E
0 23",1,
g) 8\lT
h) 6Jt
e) xyJí
o "yú'
d v'^F
h) "'t/t'
0
d 25J6
D 2{11
í) 2o^lT
p 5ví
d)14,7
e) 72,69
f) 8,65
e) xy'J77
D zy^pxy
g) x2y'^l3x
h) 5x2J2x
d)(a+ôJ2
") ,.lt
7 a)45 b)64
a2
337
c)6
e a) 5' (r + -lD-)
u)a.(r-"{r)
"r 
z. (s - Jt)
d)10.(r+Jz )
to 34,60
at ú1+ JT
]ri)2- nT
12 a1 a\[6
13 (a+b)x6-b
Troque idéias... p. 43
7 894,4m2
p.47
I a)F
b)v
c)V
1 lnttod,*indo rrnn fator
qxterno no radiu,,ndo
p.44
t a) J7a7
b)lDo
c) J2oo
ü J175
2 a) 
^136a
b) ^[4;;
3a){F
e) 1,,F
r) e,l64o
d llT
h) \tT
") {z"u
d) tFlad
r--
b) 1x,y,
$ Ad,icionando,
aí,3e.loricanne ntz, doit ou
mais radicais
d)r
")v
2ú72"{í D2w
d 4"tT fl 6x^,E
c) 3úo h) 1+ eJ6
d) 3q,,ft i) 11 3ú0
e) arF j) 1o"vF
3 a) 11J5 il -2ax/ax
d rc3.tT gt -*r'^fy
c) -5r,7 h)+"E'31s
d) sa^,í{ i) 31}/t
6
e) 3r,6
4 25^1,
5 71.tT
6 14JT0 cm
7 82",[6 cm
8a)J3 -4nT
D 24,1T - 11.tT
I 702,08
10 J5
2
11 a) r,f O 2"tT
,r7
J
7.3 a) 4 - 4"tT b) -2
a4+
5
J llu[tip\icando ruprs55óa5 cou^
radicab de lt^qtfi^o tndice
p.s0
1 a) "rT
b) i,/6#
c) 3",E
d) x1,[
d a'\lí
0 1o1f
2 ü 28"1T cm
b) 90 cm2
3 25,95 cmz
aü2^t.F-r?
$ tr,F
h) 70"16
i) my{[t
D +"/o
1y 2ax [2n 13
b)7+Ju
c) io"vE - eo
d)7Js +s
e) 3rE+snF
f) -10 + 2^lT
g) 1s
h) g + z"rT
i)s
5 22 cm; (zs + "f )"-'
- 5 + 4",tTlr_
2
7 2JT
8a)6+2Jí
b)7 - 4^tT
c) 8 + 2nTí
d)e - 2lT4
e -4+ 21,
ao 21T1
fi. s+?J',
a2 -6
13 31rio
a4 ü6
p.52
1 a)5 + 2^16
b)8- 2nT
c)7
d)14 + 4JTO
e)4
28
3 a)72+ 6nT
4 a)6+ 4J,
5 sirn
677
b)1
J
Í) 29 + 6\[6
g) 3o
h) 44
1) 73 + 124 35
b)32 - lo"tT
b)u
338
7 2+ ^lT
8 10 + z^tT
9 7x * 2*^lTO
'10 Dlidindo u?rs55óa5 cott^
radicais
p.s31, ü "lT e) 2r,fi0
b) q/F fl 4.,1í
c) 2^127 g) 3^,1,
d) xif h) atE
, ,, ,F;znlT
b't ^F! ;svo
o^ff;sJe
ar,/{L-; s.,rz
",1s;*^ti
frl, íi- ; *'J,
r>'ff,2W
^ 3 + 2',tT, ----T-
ll nn*iy,ticando e dividindo
upra55os5 cotw radicais de-
fudicu dirqrentes
p.55
a ú'w, '{8"
D 4{f , qr"
d) '.9/F , ql6 ,,w
2 a) 3W .\F
b) 3fim , rÍfsu
c) ry21s ,'W
al'{z' .'W
s a)'í1d e) '{F
b),W Í) çJT
.) i/t' s) +\12
d)'W h)'W
a ul 'fl" + yt' , 't/Grf
b) ot/G + bf , *fl; b),8
s a) '?frilb b)'fr%-
p. 58
1 a)S:Í12]r
b)s:{e}
Ôs:a
d)s: {4}
, r:{+}
3 s:{2}
4 S:{8}
"; 
5: {16}
f) S:{3}
g)S:{3}
h)s:{2}
|/ Polanciaçt^o de.wla
wpra:rlt^o com radicait
p.56
t a)77
ô 23^lT
2 a) azb
b) aba 1/a
3 ql,
4 276
50
lJ Racional,izando
deno,a^i nado r s5 da v,tt^c^
") 
72
o)+
c) anbt íb
d) a3
b
upra55fuo f racionária
. ^lTre)2
l^ôt,f?
zil^lv
*^F
b) __+r-
zy
zil)fi-
o,g
"t;dt
4 a) 7,224
b) 0,632
sf.z
s a) r{-
b) 3i,,G'z
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a lo. .)-\l /6il ,
D ^tT -rf
c) 3+-uF
d)2+Jt
7 2^1,
. 5+r[Ool-õ'5
q"[c - th)ff
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C,,_
5
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4
, 3^/10
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10
c) 0,707
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d) 2'v3'
, t,Fe) -=í-
Í) 2'fi0'
e) z"vE + r
- 73- iTt,s
-4- nTol-õ'3
h) 5-2nF
| $ Sin^pLi[icando axprs55Õs5
coü^ radicai5
p.63
7.7
, _ 23-2
320
44
9-"tT
4
1+ s-vE
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0
1
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") 1G'--f) í8'
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h) t^F{
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L
1
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2 *l;
SúJí
4 5^1,
5 arx:
b)x:
60
li Volància5 cort^ axfoahta
racionaI
p,66
3
1 a) 27
4
b)10s
2
c)73
5
d) 2'
- zf:2 il "'15'
_-
b) í3'
tt- ^c) i/10'
üJ7
7
3 a) 210
1
b) 22
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4 a)76
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s x7'6í*5
1
6 a) 36
5
b)36
1
71.04
18 -+-
25
9 a)2xyz
b) 2a3b5
10 11
Retomando... p. 66
b) 72
^-3^12 ç) v: \12'
,f d)x:6
339
47 + 72níí
1
2
76
1o 3a + --L- -4a'
7,1 bee
t2 2axJi
13 -10
7.4 3
ntr;
1s 18 ou 6J3
",/3
Tratqndo a Informaçõo 2... p. 67
1 Á: Rg 900,00 B: Rg 2 131,50
2 R$ SO 000,00
lf, fqu.açAo dzle yau
cott^ v 
^a 
incrfunita
p.72
1 equações a,d,e,f
2 a)a:10,b:3,c:-1
b)a:1,b:2,c:-8
c) a : 1,b: -3,c: -4
d)a:7,b:70,c:3
e)a: -4,b:6,c:O
f)a:7,b:0,c:-76
8)a: -6,b:7,c:7
h)a:5,b:-10,c:0
3 a)x2 *6x*9:0
b) 4x2 - 6x * 2:0
c) 4x2 - 25:0
d) -27x2 r 7x:0
e) ax2 -2x- 1 :o'23
f) -9x2 +1:0
g)7,5x2*x*0,2:0
4 a) completa d) completa
b) completa e) incompleta
c) incompleta f) incompleta
p.74
1 a)x2 -x-12:0
b)x'-5x-6:o
c)2x2-8x*4:0
d)2x2-2x*3:0
e)3x2-2:0
f) 2x2 - 5x:0
g)*'-lox*12:o
h)4x2 + 1 :0
2x2-3x-70:0
3 x2 +2x-35:o
4 4x2-4x-24:0ou
x2-x-6:0
5 n2-3n-20:0
p78
1 a) {0,6}
b) {-4,4}
c) {-1,1}
d) {0, -1}
,{0,í}
f)Õ
sr{0, f}
h) {0,3}
l {0, f}
lJ Ruo\vendo oquaçóu
incomytLolas dele yau
2 a) {-9,91
b) {0,9}
c) (0, 11)
d) {-6,61
e) {0, 1}
, {-+,+}
d {-"16 , "16 }
h) l-2,2|
i) {-3,3}
j'{+}
340
34
4 0ou5
5 -11 ou 11
6 0ot7
7 -3ou3
8 a)10cm c)40cm
61 -4- .rr', d) 1696',3t-
9 27rne19m
10 a) {-5a,5a} d) {-6m,6m}
b) {0,3b} e) {-2a,2a}
, {0,â}
'l$ RercLvendo rnma aqr^ção
cohytLeta da-Le yau conn
wuaincíytla
p.85
7. a)9
b) 25
c)1
d)1.6
.rÃe) "i
4
f) 81
4
e) 3e
h) -l-4
2 a) {2,41 D {7,2}
b) 17,9) g) {-1,5}
c) {-a} nl {}, +}
d) {3} 1) Í4,6}
e){-2,3} i,{-+,+}
koque idéias... p. 87
As medidas dos lados do cartão de
crédito são 55 mm e 87 mm.
p.93
1 a) A : 25 (raízesreais diferentes)
b) A : 36 (ratzesreais diÍerentes)
c) A : 0 (uma só raiz real)
d) A : -1i (não tem raízes reais)
e) À : 0 (uma única raiz real)
0 A : -72 (náo tem raízes reais)
1l,21
11,31
üa
3 a) {-1, 4}
da
c) {1}
d)l- 1L5
"ri-aL5
fla
e) {6}
rr {-r,f}
8) {-+,6}
nr{-f,r}
-7
, {-*,,}
f) Í-6,u
g) {1,5}
nr{-f,o}
, {*,u}
, {-+}
g) {1, 5}
h) {1,4}
4 a) e b) {0,2}
-15 x: 4 oux:
6 2ou6
7 a1 {-4, -7lr
b) {-5,1}
ç) {-7, -6lr
d) {_4,5}
8x:-aorx:-2
6
92
| ] nuolvtndo prohl,unat
p.96
I 4ou -9
23
36
42
5 25me12m
6 O polígono procurado tem oito
lados (octógono).
7 a) 10me7m b)34m
I paran:20
9 a)8
b)14cme10cm
c) 196 cm2
10 15m
1l lzequipes
12 5cm
13 28cme12cm
14 a)8 b)64
15 5 horas
p.103
I a)6
b) _2
2 a)x']-/':7,x'
b) x' + *": -)-
'x" : -20
,x''x": +
c) 64
05 coeticisntst da equaçô,,o
ax'+bxic=o
c) -3
a -.r- 1.) *' * *" : -l-,x' .x": -t
d) x, + 1, : _+, *, .*,, : -í
33
nr:*
/Qr*uaando m raízss da
s1rc^çAo do-Le yau
p.100
7. -2e4
2 sim
3 c:15
4 b:72
5 sim
16 *= f
7k> 9
4
8 b:8 oub: -8
9 P<1
1O m:3
Z1 Relacionando a5 ra(za5 a-
5 b:
6 m:
7 p:6
I p: -2
9 m:7
10m:1
// Lscrzvsndo vrv.a ellr,içô^o da
Le jrau. qlahdo conhqcefl^o5
a5 dva5 raízs5
p.105
| ilx2-72x-t 35:o
b)x2- 72x+36:o
") 
,'- 9x- 22: o
d)*'* 13x + 4o : o
e)x2- 64:o
D.l+9x:o
d2*+7x-4:o
h)16x2 -24x+9:0
i) 49x2 -4x:0
) x'- eJú + 1o: o
1) x2+8x+14:o
rn)r'*2x-9:o
2 il* -7xl_ 10: o
b)^'*4x-60:0
")2*'-x-1:0
koque idéias... p. L05
a)3e2 d)7e1
b)5e2 e)6e-2
c) 6e4
/j Renl,vendo aquaçôet
biquadradat
p.107
7. a) 1-2,21 d) Í-2,21
b) t-3,3) d a
c) 10, -4,4j
2 a) l-3,3, -2,2\
ô {-JT , "lr}
7--;-
J
9
4
341
3
4
5
6
c) {-2,2}
{Jt,-rF ,lr , -Jr}
{-5,5, -7,U
{-^,F, J{ , -2, z}
-1 ou1
24 Rqso\vendo e-quaçôzs
irracionais
p. L09
a Í2j
2 4ow2
3 {2}
4 -4ouS
51
6 {7,4}
7 x:4oux:-3
85
e {2}
107
/i Rew\vqndo sittqnaas de
a1lrtçós5 dele yaw
p.112
1 a) (10, 5), (-74, -7)
b) (7 , 2), (2,7)
c) (7,2), (-3, 4)
d) (-1, 5), (3, 1)
e) (2, 4), (4,2)
f) 1,2),(+,+)
g) (2,2), (-3, -3)
2 duas possibilidades:
x:20 ey:4 ou
x: -20 ey : -4
3 x : 4ey :72 ou x:9 ey :7
4 74e70
5 x:15ey:5
6 9e3 ot -74e26
7 12me8m
8 x:3ey:1
9 36 cm2 e 16 cm2
1O Carlos tem 15 anos e Eduardo
tem 10 anos.
11 Skme5km
12 duas possibilidades:
x:5cmey:3cm ou
x:6cmey:2,5cm
13 x:6cmey:9cm
L4 100 m
Retomando... p.113
1 x: l orx: -15
2 5ou- 7--ã-
J
3p:-e
4 a)49 b)7ou-7
5 1,5 ou -0,5
6 a)(x+2)(x-2)(x+1):0
b) {-2,2,11
-7
744
8 a) (x - 11)(x - 1)
b) s: {0,1,11}
c)4
9-2
10 duas possibilidades:
50me20m ou
10me100m
11 k:5ouk:-1
12 Oou 11
2
13 52e18
t4 Í-4,4|
f5 m: IJ
16 x:3oux:-4
a7 (2,0), (7,7)
L89
19 Devemosterm< - 14'
2oa) 5 h)-16315
342
c) (4,4)
21 a) (x - "EXx * Jt)
U2, -JT, J{
22 x2 - 3x - 54:0
23 -7
24 -2
25 3 e-253
26 74
27 +^lT ou -rlT
28 -L6
Tratando a lnt'ormação 3... p. 115
15 minutos
/f, Si*ztwat de. coordahadc$
cartqtianas
p.127
1 a) (H, 9) e (I,9)
b) (H,6)
2 a) casa
b) bomba de gasolina
c) árvore
Explorando... p.123
| 3a fila horizontal: (2,3), (4,3),
(6,3) e (8,3);
4a Ílla horuontal: (1, 4), (3, 4), (5, 4)
e (7,4)
2 5a hla horizontal: (1,5), (3,5),
(5,5) e (7,5);
6a hlahorizontal: (2,6), (4,6), (6,6)
e (8, 6)
3 Se a soma dos números de um
par ordenado forma um número
ímpar, então a casa é preta. Caso
contrário, a casa é branca.
4 Se a soma dos quatro números
que aparecerem nos dois pares or-
denados for um número ímpar, as
casas têm cores diÍerentes; caso con-
trário, têm a mesma cor.
p.723
1 a) (5, 3)
b) (3,2)
2 A (5, 4),8 (-4, 3), C (-2, -2),
D (6, -3), M (-5,0), N (0, -4),
P (2,0)
3 a) (E,6)
4 a) (4,2)
b) (6,0)
5 a) A (-2, -2),8 (2, -2),C(2,2),
D (-2,2)
b)4
6 a) A (1,1), B (5,1), C (1,3)
b) retângulo
c)4
d)2
7 a) (4,3)
b)3
1O a) sim
11 sim
12 a) 8 unidades b) 32 unidades
koque idéins... p,125
1 B (5, -e); D (-2,4)
2
3 28;49
b) (E,7)
c) (0, -2)
c) eixo x
b) isósceles
Ü A noçâo de [u;nçô^o
Explorando... p. L28
2.5.7+2.4.7:"126
3'5'7+3'4'7:L89
3'5'7 + 3'4'7 :789
4'5'7 + 4'4'7 :252
4'5'7 +4'4'7:252
4'5'7 + 4'4'7 :252
2' 4' 74 + 2'2' 74: 768
2' 4'74 + 2'2'74:768
3'4'L4+1'2'74:796
2' 4' 74 + 2'2' 74: 768
3.4.74+7-2.74:796
4' 4' 14: 224
p. L29
I y:*'
2y:3*
y:0,15xouy= +#,
y :20 -F 0,30x
5 y:2oo + 15x
6 y :1 200x
7 a)y:3x d)y::l-+
b)y:2x- 70 e)y:fx+s
,1c) y: 
-'x
p.132
r a) É função.
b) É funçao.
c) Não é função.
d) Não é função.
e) É função.
f) Não é função.
2 Não é função, pois ao elemento
2 do conjunto Á não está associado
nenhum elemento de B.
3 É uma função.
4 É uma função.
p. L35
L 722
2 -40"c
p.135
1a)D:R c)42
b) 84 ü7
2a)0,76 b)5 c)9
3 a) y :2,50x
b) 7,50 reais
c) 77,50
4 a)tR
b)2
c)0
5ú2Jí
b) 100
d)5
e)8
c) 50
ü 5"1,
d)2
")+
6 t h: 68 km; 2}:.:7L9kyrr;
3h:770 km;4 h: 221krn
7 6 ott2
8 a) y:50x
b) 1 600
") 
15
3a)
b) 401F
") 
11
4 a)273
5 a)-2
6 a)-2
b) _1
7a) 348 cm
p.142
2 a) concorrentes
b) (1,1)
3 paralelas
5 (4,2)
b) 60 vezes
b) 0,1
c) -4
b) 129 cm
21 gralico da{unçt^o
po{,irronniaí, de. le yau
d)x: +
,1e/x: _
J
f\ x: -6
c) x:2
26lwnçl,o po[inorrnial, da le grarr
p.138
t-7
,7-2
x Y:4x
5cm 20 cm
7,2crr. 28,8 cm
11 cm 44cm
20,5 cm 82 cm
10r,8 cm 4oJ3 cm
JQ ter o da !unçô,0 po[,i norrniaÍ,
dole yau
p.743
I a)x:6
fi) y: _4
s) x: 10
2 a)x: -7
b)x:3
343
3'l Anal,bando o yalico
de un^a [unção ytolinonnia|
dele jraw
p.145
a)y:0p/x:6
y>0p/x>6
y<0p/x<6
b)y:0p/ x: -7
y>0p/x>-7
y <0p/ x1-7
c)y:0p/x:-7
y>0p/x(-1
y<0p/x)-1
d)y: 0p/ x:7
y>0p/x>7
y <0p/ x<7
e)y:0p/x:
y>0p/ x>
y <0p/ x>
J
2
ôJ
2
J
2
0y:0p/x:5
y>0p/x<5
y<0plx>5
dy:0p/ x: -4
y>0p/x<-4
y <0p/ x) -4
h)y:0p/x:6
y>0p/x>6
y<0p/x<6
Retomando... p.146
2 a) retângulo b) 18
3 losango
472
5 a) 22 b) -0,q c) 6
6 a) 10,48 reais b) 12 km
7 a) v:3
b)x>3
E a) x:2
b)x <2
9 a)x:7
A)x: -l
c)x<3
c)x>2
1c/x: 
3
d)x : -10
1O a)y:Qparax:9
y>0parax>9
y<0parax<9
b)y:0parax:4
y>0parax<4
y<0parax>4
c)Y:0parax:-8
y>0parax>-8
y<0parax<-8
d)Y: oparax:3
y>0parax<3
y<0parax>3
Tratando a informação 4... p.747
a) 12 800 000
b) 24 000 000
c) 77,7%
d) 48 600 000
jf lunçao po[inonniaí, d,ele yau
lou lunçô,0 qndr i,tical
Troque idéias... p.753
1 quadrilátero: 4; pentágono: 5; he-
xágono: 6 e 9;heptâgono: 7 e 4; oc-
tógono: 5 e20; eneágono: 9 e27; de-
cágono: 10 e 7
2 a)n
b)n-3
c) não
d)sim, f]:xo"
n'3
2 - 2"
3 a)20
p.754
lY:x2+x
2y:x2+8x+12
3 y:25-5x*x2
b)6
4 -24
5-2
6 a) 500 500 b) 11
7 a) 10 000
b) 16
c) 31
Troque idéias... p.154
1 total de quadradinh os:36, 49 e 64
quadradinhos vermelho s: 3, 4, 5, 6,
7 eB
quadradinhos amarelos: 2, 12, 20,
30,42 e 56
2 a)n2
b)n
3 Y: n'- tt
c)n2-n
jj }ra[ico da [nnçao
quadríttica no [tl,atw
carta5ic^Ao
p.157
1 a) (-3, -1)
b) (1, _e)
c) (4,7)
aría q )'\4',4)
e) (-3,2)
f) (0,36)
,t( 7 9 \o'(2',4)
h) (5, -1)
i) (1, -3)
,, (-+,+)
2 a) 5 dias b) 15 dias
p.159
2 alternatlab
3 alternativa e
Tratando a informação 5... p.160
a) 60 km/h, de AparaB
b)sim,1he6h
c) 2h,5h
d) 3,5 h
344
J{ ttrot dalrunçt^o poí,inonnial
dole yaw
p.164
L a) -5e5
b)3e7
c) 0e6
d) Náo tem zeros reais.
e) -2e3
.. 11l)-^ e 
^JJ
.192
h)0e-1
2 a) Cortanospontos (6, 0) e (-4, 0).
b) Corta apenas no ponto (3, 0).
c) Corta nos pontos (2,0) e (7 ,0).
d) Não corta o eixo x.
3 a) (-4, g) s (4,0)
b) (6,0)
c) (0,0) e(7,0)
Ji z*wdando a concavidado.
d'a parahol,a
p. L65
I a) a: 1 > 0j para cima
b)a:3>0;paracima
c)a: -1<O;parabaixo
d) a : -6 <0; para baixo
e) a : -1 < 0; para baixo
f) a:7>0;paracima
2 a)a>0;Â<0
b)a>0;A:0
c) a<0;A<0
d)a<0;A>0
e)a>0;À>0
f) a<0;A:0
)f, Ponto da ÍhÍni/ho otr fonto
ds- 
^^í^xiu^o
p.167
1 a) ponto de mínimo; (4, -10)
b) ponto de máximo; (2,9)
c) ponto de máximo; [+, +)
d) ponto de mínimo; (0, -16)
e) ponto de mínimo; (2, -49)
f) ponto de mínimoi (-1, -3)
g) ponto de máximo; (0,9)
h) ponto de mínimo;
(4 1\(5' s)
2 (2,4)
3 (1, -5)
31 Analitando a [unçt^o
Y=c'J"+bx+c
qrahto ao sinal,
p.172
1a)x:-2oux:3
b){xeRlr.<-2oux>3}
c){x€lRl-2<x<3}
12a)x:-;oux:1
.1b){xeRl*.--ioux>1}
.1c){x€Rl-;<x<1}
a)x:0oux:5
b){x€Rl0<x<5}
c){x€Rl*<0oux>5}
a)x:5
b) Nunca teremos y > 0.
c){x€Rlx+5}
5 A função será positiva para qual-
quer valor real de r.
6 {xERlr.-1oux>10}
7 náo
8 Qualquer valor real de r torna a
função positiva.
9 {x€Rl*<-3oux>7}
1O {xcRl-3<x<0}
11 {x€Rl*.-1oux>2}
t2 {xcRl1<x<4}
Í,37
14 O menor é -3 e o maior é 8.
15
a6
t7
18
[xeRls<x<21
não
{xeRl-z<x<21
x>3
Retomando.., p. L73
1 a) 820 b) 20
3 k>3
4 a) ponto de mínimo; (0, -25)
b) ponto de máximo; (0,25)
c) ponto de mínimo; (5,25)
d) ponto de máximo; [-*, O)/
5 a)x:-3oux:3
b){xelRl-3<x<3}
c){xeRl*<-3oux>3}
6-4
7 ú7<x<6 b)(6,0)
8 {x€Rl-6<x<6}
9 verdadeira
10 10
A7. x>2
36 nnao a proforç(^o
Tratando a informnção 6... p.179
a) São Paulo: 6,7,3,9; Paris: 27,35,
63, 93;Moscou: 79, 56, 70, 72
b) não; não
c) São Paulo; Paris
d) Moscou; Paris
e) não
f) Moscou; Moscou
g) não
h) não
i) Moscou
J] Raú,0 da. doit 5aYÂento5
p.187
1Z
5
2 6cm
345
7 5 mílhas/hora e l2 milhas/hora
8 9m
9 10m
10 a) 45
7l a)6
tZ a) 2",15
b) 41f
a3 ü20
14x:5ey:13
15 13x2 + 2x -l 2
t6 ü 4^lT cm
b) (s + +"lT) cm
b) 51
b)72
c) 10
d) 28
b) 12Ji0
c) 6817 a) 32
b) 56
18 85
19 x:7,h-24
2O 20 cm
27, h:32 cm
22 45 cm
23 6cme8cm
24 a) 47 crn
25 a) 10 cm
26 a)Scm
27 24cme10cm
28 4cm
b) L64 crn
b) 3"129 cm
b) 44 cm
Troque idéias... p.231
x : 2"uf1 cm
Explorando... p.233
I .-___-
,-\ -:]W .{, J8
2 sim
Com o compasso, transportar a
edida r/3 duas vezes para a di-
reita, a partir da origem.
p.233
1 b)d: 4^,8 cm
2 b)h:6^,Ecm
3 11cme44cm
4 l8cm
5 21,15 cm
6 6,92 crrl
7 a) 7O^,lT crn c) 200 cm2
b) 40^,lT crn
8 3rF cm
46 e, roiaçóu mílricas no
triângrrÍ,0 ratân3 uí.0
p.238
I xz: y, + ,r;p, : rr;yz : *r;
2z-:xs;PX:zy;x:r*s
2 t2:xy
3 m:4;n:72
4b:18;h:12J,
5 n: 25;a:34
6 a: 100 mm; h : 48 mm;
b:80mm;c:60mm
7 a) 25 cm b) 6,72cm
8 a) 20 cm c) 5v3 cm
b) 10Jí cm
9 x:12cm
1O x:6cm
y: 2^lB cm
z : 3J13 cm
11 48km
7.2 240 cm
13 x:25 cm
p.240
12 cúbitos
16
Retomando... p.241
1 64cm2
2 a)30cm
b) 74,4 cm
c) 19,2 cm e 10,8 cm
3 1o cm; (ro - z"E).*
4 72,5 cm
5 2J3 cm
6 a)9cm d)12cm
b) 36 cm e) 78 cm
c) 70 cm
7 3"12 cm
8 a) 2r,E cm b) 3 cm
9 a) 4,8 cm
b) 3,6 cm e 6,4 cm
ao 25
47. 4
t2 ilt?:2x-xz
b)x:1
13 4 cm, 12 cm, 4 v10 cm
14 alternativa c
15 1,3 km
16 a) 40m c) 40m
b)20m
A7 50 crn,40 cm, 30 cm
Tratando a informação 8... p.243
a) Norte; Sudeste
b) Sul; Nordeste
c) Norte: 27%; Centro-Oeste:27Vo;
Srrl: 34%; Nordeste: 79Vo; Sudeste:
76%
l] RzLaçOer trigonorrn itricat no
kiân5ulo retân3rr{,o
p.249
1 sen P:0,74
cos p : 0,66
tgP:7,77
2 sen 45": JT
2
cos 45o : "l'
2
tg45 :7
3 sen 35o : 0,56
cos 35o : 0,83
tg 35" : 0,68
348
4 sen UO": g
cos60o : +
tg 60' : J3
5 senr0": +
cos3oo : +
tg 30' :
6 sen F: 0,e
cos P : 0,8
tg B : 0,75
p.255
1x:8,79;y:3,78
2 a:20;ç:10Jt
3 x : 4,48;y:5,39
4 a:24,b:72
5 4^12 crn
6 a) 37,60 cn b) 35,20 cm
7 30 cme40 cm
I24crn
9 x : 9,5 cm; y :3,1 cm;
perímetro : 25,2 cm
1O x: 72,y: 61?
11 a) r : 6^13 cm
b) x: 12"u8 cm
t2 x:100J3 cm
Y: 100 cm
AD : 200 cm
13 x: ,{;y: v6
7.4 x: tO"'E; y : 10
l.
!J
15 6,0 cm
t6 2,6m
a7 6,36km
18 a) 14,40 m
A9 66lr.
2O 100m
2l a) 5,79
22 30,20 rn
23 4,36 rn
b) 32,20 m
b) 10,38
349
50 t*uaondo m r rl,agu
trigononnótri ca5 s^^ uA^
kiân3uüo qml,Imr
p.263
1x:10
2 a) 37,6 cm; b : 39,2 cm
3 4",6I cm
4 x:5,1 cm
5 c:2r,I10 cm
6 cosB: 11
74
7 x:6
g x: "',8í "*
9 x: SrE cm
10 x:60"
7l a:79,4crn;b:12,8cm
12x:98m,y:95m
Troque idéias... p.264
1 AABC:AC2 : 22 - 32 =
= AC 
: .Jra cm
, 
-\2
2 AACD: (Jta 
,1
:a'+32-2.3'a'cos6oo
1.3: a2 + g - 2.3 .a.a =2
=u'-3a-4:o
(a - 4)(a + 1) : 0 + a : -1 (não
serve) oua:4
3 Perímetro do quadrilátero
eBCD: 2p
2p:2+3+3+4+2P:72c
D
Retomando... p.265
1 a) 4rE cm c) 10,92cm
b)4cm
2 PQ: 3.*
39
4 a)27 cm
b) eJí cm
c) 18 + 18rE cm
5 d:722m
6 x:1,4cm
7 r:72cm
8 d: 73,74rn1lhas
9 x:20 crn, h : 30 cm
ro 2of r.^
17. a) 2,64 crn
b) 7,64 cm
12 75krn
ag 6^.13 cm
a4 ^17
15 8m
16 x:7 crn
c) 9,64 crn
Tratando a informação 9... p. 267
I a) 4a7 anos;28/57o
b) sem instrução e menos de 1
ano; -9,2Vo
c) 15 anos ou mais
2 Asoma dos percentuais dos gru-
pos "sem instrução e menos de 1
ano" e de"7 a3 anos" é37,4Vo,qua-
se um terço de 100%.
51 Raüaçôer nnítricas na
clrcInüersncla
p.273
7, x:6
2 x:10
3 x:8
4 x:9
5 x:9
6 x:72;y:7
7 r: 6^,8
8 a)4
b) AB : 77;CD:79
9 4J1o cm
10 Os segmentos medem 16 cm e
2crr..
1L a) 18 cm
A2 1.2crr.
13 4cm
a4 a) 6,46 crn
15 12 cm
b) 10 cm
b) 10,46 cm
Troque idéins... p.274
México venceu Croácia e Equadol,
Croácia venceu Itália, Itália venceu
Equador; o Equador ainda tem
chance.
52 Votqo^o5 rsyll,are5 in:critos
na circunlerància
- )77
1 a) 120'e 60" c) 60" e 120'
b) 90' e 90' d) 45' e 135'
2 x:10cm
3 5^,8 cm
4 B",IT cm
5 5 cm e2,5 cm
p.287
1 alternativa b
2 alternativa a
3 a) 40"1T cm c) 40rE cm
b) 40 cm
4 a) 10,575 cm c) 7,5 cm
b) 12,975 cm
5 128"1, cm,2048cmz
6 72,5 crn
7 a) 720"c) 4,5 cm
b) 9Jí cm d) 13,5 cm
8 10J2 cm
9 a) 30 cm b) 51,90 cm
1O alternativa a
11 alternativa d
12 70,50 crn
lc
13 ^/:
3
14 a) 3 cm c) 7,2 crn
b) 4,2 cm
15
t6
J'
2
7.7
5J13 cm
a) 3r,F cm
ofa
b) $- cm
d 4^lT cm c)
b)8cm
J'
iJ Caluil,ahdo o cotl^prin^srio
de- ilu^a cir cun[zr dncia
Explorando... p.285
7,239cm
2 7 673 voltas
3 2,39km
p.286
1 3 140m
2 32,97 crn
3 94,2 crn
4 a) 8cm
D \nT cm,8 cm e 8rE cm
5 75,36 cm
6 a)20cm
b) 125,6 cm
7 L2,56 cm
8 251,20 cm
9 0,5m
AO ü 2,826 m b) 3 500 voltas
17,70rn
72 62,8 rn
1,3 72 crn
A4 762,8 crn
Explorando... p.287
a) 90",45' e 135"
b) 45",22" 30',
AfB:22 30'
18
350
Tratando a informação 10... p. 287
a) causas de acidentes de trânsito
b) gráfico de setores
c) 87o + 79% -- 27%;8% + 29%:
:37%
d) só humano * 158o; humano *
+ via/ambiente -*104o;humano f
veículo+ 68'; humano t veículo
* via/ambiente *29o
Retomando... p.288
172clr.e3cm
2 aproximadamente 6 369 km
3 24,7 crm
4 47,70 crn
- ^ t-5 Jlb cm
6 4cme18cm
7 Apessoa que contorna o quadra-
do;72,04 m a mais.
8 12cm
9 a) 3 cm c) 1,884 cm
b) 18,84 cm
10 16 cm
7,1 779,32m
X2 37,68unidades
a3 TOONT cm e 1 250 cmz
l.ail(t+J3).'"
D (z+ 2",,8) cm
c) (+ + 2"F) cm
jl Caicuic$do a í,rqa do-
allumm [\ur at lwnnítricas
p.293
1, 42m2
2 alternativa c
3 24cm
4 x: 6 cm; área: 18 cm2
')5 Zb cm-
6 4 800 cm2
7 área: 18,80 cm'; * : 3,76 cm
8 alternativa c
9 SS4ladrilhos
10 alternativa c
11 alternativa b
Explorando... p.294
I a)4cr# d)1cm2
b)2cmz e) 2cm2
c) 2 crri
2 a)Bcm2 b)4cm2
3 O trapézio retângulo e o hexágo-
no formados têm a mesma área. O
paralelogramo, o triângulo e o re-
tângulo formados também têm a
mesma área.
p.295
1c1 i*
2 1.8n-2
3 25cri
4 225 cr#
5 x: 4r,E
perímetro : t6ri'í
área : 80
6 18cm
7 50 cm2
8 1 900 cm2
9 l6crt
10 alternativa a
11 a) 0,09 m2 b)7,2m
Troque idéias... p. 296
1 alternativa d
2 a) 2625 crnz b) 15 cm
3 alternativa a
p.298
1 x : 12 crn; ârea :30 cm2
2 h : 16 cm; ârea: 192 cr*
3 65,6 crrf
4 60 crrl
5
6
7
h : 10,38 cm; área : 62,28 cr#
6 000 cm2
*: J3 cm;y:1cm;
la
ârea: --! !-- crr(
8 h : 4,5 cm; ârea: 29,25 clrr-z
c) 48 cm2
d) 36 cm2
koque idéias... p.299
1 8 unidades quadradas
2
p.300
1 2 580 cm2
2 a) 28,2 crn c) 400 cm2
b) 7 692 cr# d) 7 294,38 cnÊ
9 a) 4cm
b) 6cm2
10 48 cm2
al 36m2
p.
1
2
3
4
5
6
307
x: 2"rlí
área : 80
2I õ/5 CM
864clrr.2
7925 crrÊ
84 unidades de área
x : 2oJ3 smi Y : 20 cm;
ârea: g00^,F cm2
20 unidades de área
4"lTa)x:4crn;y:-=1-cm
32,13 2b) *- cm
7
8
p.303
1 51 cm2
2 80,5 cm2
3 150 cm2
4 586m2
5 2320m2
6 1 608 cm2
7 x:9 unidades de comprimen-
to; área :294snidades de área
8 192cm2
9 a)5cm à27cm2
b) 10 cm
1O a) x: 10J2 cm
b)220 cmz
p.305
1 a)18cm b)54cm
c) 9^,8 cm d) 486"u8 cm2
2 a: 5,47 crn
ârea:109,40 cm2
3 a:24,39 cm
área:7957,2cr*
4 a)240crr.
b) 40Jt cm ou 69,2crlr
c) 16 608 cm2
5 il(:6,2cm;a:9,6cm
b) 31 cm
c) 297,6 crn2
6 :2310 cm2
Explorando... p.307
A: nrz
p.309
1 226,08 cmz
2 5024cri
3 78,5 crrÊ
4 374 cr.r.z
5 113,04 cm2
5 u) -1-4 ô 50,2a cr#
7 6n cmz: 18,84 cm2
8 226,08 crri
9 a) 706,5 crrr.2 b) 50,24 crt
351
1O x : 17 cm; área : 113,43 cm2
A7, 257 crnz
A2x-8cm;y:SvTou
73,84 cm; ârea :80,48 cm2
13 254,34 cm2
7,4 502,40 cmz
15 alternativa a
7,6 20,52 crn2
Retomando... p.310
1 alternativa ú
2 288m2
3 0,785 crn2
4 a) 19 209 crn2 b) 77,67%
5 alternativa e
6 942m2
7 600 cr.r.2
8 a)x:1cm;y:3cm;
m : Js- cmi n: 2^[3 cm
D 4"13 .m'
s+
5
1.O 77,74 crnz
11 a) x: 20^,8 cm
b) 3768 crn2
c) 1800r,8 cm2
12 áreado AO: 6,25 cmz
área do A@:2,25 cmz
13 x:72cm
y: 4^lT cm
área: 24^JT cmz
14 alternativa d
15 a) 314 cm2 b) g4 cm2
16 a) 5 cm c) 20 cm2
b) 78,5 cm2 d)32crrr2
A7 750 crn2
18 a) 36 cm2 b) 744 crrrz
19 2 500 cm2
20 a) 4^,F cm c) 60 cm2
b) 80 cm2
21 63,25 crn2
22 76^,!T cmz
,l tt_ unidades de área
24 a)6cm
b) 30 cm2
c) 36(5 - n) cm2
ii }rynizando os dadot
p.320
3 a)11
b) s6%
c) 7,0 (20%)
5L r*naondo ya[icos
p.326
1 a) 40 000unidades
b) nov/dez
c) jan/fev; (10 000 unidades)
d) não
3 a) 1 milhão de dólares
b) 80 milhões de dólares
4 alternativa d
5 a)72
b) 54
c) leite
d) 36
p.329
t-3
2 73,2
322
479
36
5 18 reais
6 7,99 rn
7 R§25,75
8 R$ r 080,00
9 105 pontos
10 32 anos
11 9 centavos de real
12 4,5
Troque idéias... p. 330
alternativa b
A média das velocidades é dada
POI:
v*: (20'5 + 30 . 15 + 40 .30 +
+ 50.40 + 60.6 + 70.3 +
+ 80 . 1)/100
v^:44 km/h
Retomando... p.331
2 o,:55"
417
20
s 23,7
6 34 anos
352
Gl,o$í^rio
Apótema
que vai do
dos lados
de um polígono regular Segmento
centro 0 até o ponto médio M de um
do polígono.
õú ------ apótema do triângulo eqüilátero
Área Medida de uma superfície.
b
Bhaskara 0 mais importante matemático
hindu do século Xll. Em seu tratado mais
conhecido, Lilav att, apresentou numerosos
problemas envolvendo equações do primeiro e
do segundo graus.
Bissetriz Semi-reta com origem no vértice de
um ângulo e que o divide em dois ângulos
congruentes. Veja a construção com régua e
compasso:
C
Cateto Num triângulo retângulo, qualquer um
dos lados que formam o ângulo reto.
ateto
Circunferência Curva plana e fechada na qual
todos os pontos são eqüidistantes de um
mesmo ponto fixo chamado centro.
Corda Segmento com as extremidades numa
circunferência.
AB --+ corda
Cosseno de um ângulo agudo Num triângulo
retângulo, a razáo entre a medida do cateto
adjacente a esse ângulo e a medida da
hipotenusa.
Descartes René Descartes (1596-1650),
filósofo e matemático francês, um dos criadores
da geometria analÍtica.
L
Equação biquadrada Toda equação da fiorma
axa + bx2 + c : 0, onde a, b ec são números
reaise a+0.
353
F
Equacão 6s fe grau Toda equacão da forma
ax2 + bx + c : 0, onde a, b ecsão números
reaisea+0.
Equação irracional Toda equacão que
apresenta incógnita no radicando.
Jr-f:X*3
Estatística Conjunto de métodos utilizados
para a obtencão de dados, sua organizacão em
tabelas e gráficos e a análise desses dados.
Feixe de retas paralelas
paralelas entre si.
Três ou mais retas
Figuras semelhantes Figuras que têm a
mesma forma.
Função Relacão entre duas grandezas
variáveis em que o valor de uma delas depende,
sob determinadas condicões, do valor da outra.
Formalmente, é uma relação especial entre dois
conjuntos A e B de modo que:
) todos os elementos de A estão associados a
um elemento de B.
) cada elemento de A está associado a um
único elemento de B.
B
0
1
o2
o3
Funcão polinomial 6q ls grau Funcão
definida pela fórmula matemáticê y : ax + b,
comaeR,bcRea+0.
Veja o gráfico da função y: -x + 3:
Função polinomial 6s lz grau Funcão
definida pela fórmula matemática y : axz + bx + c,
com a, b e c números reais e a + 0.
Veja o gráfico da funcão y : x2 + 2x - 3:
Funcão quadrática 0 mesmo que funcão
polinomial do 2e grau.
354
l.
-a - u
-1
-2
G
Gráfico RepresentaÇão visual de certas
situações que, em geral, envolvem dados
numéricos relacionando duas grandezas.
aie alto...
Alturâ ftnâl máda do homêm, por âno de nascimenio
(em metÍos)
'Pro,ۃo
1,71 1,7_3 1
... com os pés
maiores...
Número médio de
calçpdo masculino
1 965
41,5
39
Fontes: Monteiro, Benício & Gouveia, Evolução da Altura dos
Brasileiros; Monteiro, Mondini. Souza & Popkin, A Transicâo
Nutricional no Brasil', CalÇados Sândalo; IBGE.
o a pele mals escura...
Negío8 ê pados na população brasilaka (em %)
Gráfico cartesiano Tipo de gráfico usado
para representar funcões, utilizando o sistema
cartesiano.
Em 2020, a populgÇão scima de 60 anos teÉ lriplicado
e a de jovss de até 15 arcs diminuido (êm oÁ)
Fonte: IBGE.
Gráfico de barras Tipo
valores são representados
verticais.
de gráfico em que os
por retângulos
veículos
l"/"1
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
"l?f,Xl
0 gráfico mostra a distribuição percentual de
veículos de acordo com sua velocidade
aproximada, registrada por um radar.
Gráfico de linha Tipo de gráfico em que os
valores são representados por linhas verticais
cujas extremidades superiores são ligadas por
segmentos