A Conquista da Matemática 9 ano

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JIrí
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^,tt'iÊg JJ ;v
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Bacharel e li
nela Pontific Ucill)
'piof..tot o. ensrno
irnàrrentut e ensino medio desde 1960'
l\-,-ad F Ê I\./.1JYIJ J
ncias Mqtemáticas Pela
ntificia Universidade
o Paulo.
ç particulares de ensino
Ê '| rifJl Jr-}- \"!
las de ensino
desde 1985.
«( FrD
'. ??:CJIIC''r'-i = i:]'SC' P-'
A Conquista da Matemática: a + nova
Copyngrl( @ Jose RuV Giovz
Jose Ruy Giovanni .lr. - zoolni' 
Benedito castrucci,
eservados à
Matrrz: Rua rr, ,.rb*lãr.,. U,.ru
Dados lnteÍnacionais de Catalogaçáo na publícacáo íClpl(Câmara Brasiteira aoliúro, ai'B;;ü'-- ,"'',
lndice. par" catálogo sistemático:
l. Matemática : Ensino Íundame ntal 372 7
lsBN 85_322_4986_8
Ano de publicacâo: 2002
Giovanni, Jose Ruy, 1937_
",^,1j^1ror,r,. 
da mâtêmárica : a. I noya ,/ José RuyGiovannr, ,;; RJ;ó;#ff ^
Júnior. -conquista oo2 - (colecão a
Edicão não-consumívei.
0bra em 4 v. para alunos de 5e a ge séries.
DUptementado pelo manual do proÍessor.
_ L,Matemática (Ensino Íundamental) | Castrucci.
pgl._oilS, r909_. il. Giovanni Júniàr, jãle nrv, 
''""""
1963-. Ilt. Títuto. IV. Série.
02-4719
cDD-372.7
Editora
Júnia La Scala
Editorqs agsistenlcs
Arnaldo Rodrisues
Dario Martins
Fabiano A. L. Wolff
Sandra Lucia Abrano
Sorel Hernandes L. Silva
Col,ahoraçõ,o
Esmeralda Silva Ribeiro
Margaret Presser (elaboração de projetos)
Pre,ltaraçô,o
Lucila Baneiros Facchlni
Revilâo
Eliete Soares da Silva
Luciana pereira Azevedo
lconoSrafia
Coordonago: Sônia Oddi
Pergrrisa: Denise Durand Kremer.
Assistcnlq: Maria Rosa Alexandre
il ill.h Tj;,ã [',il.t, :..a/ i *
l|ustraçoot
Vinhefas: Lúcta Hiratsuka
Aberturas: José Luís Juhas
Mioto: Alberto De Stefano, Alexandre
Argozino Neto, José Luís Juhas
Cayra
Claudson Rocha sobre imagens de
PhotoDisc
Digitaçâo
José Aparecido A. da Silva
A:iajr amaçô,o e editor açào eLetrônica
EXATA Editoracão
Lstwdando ag raluaçoas tri3ononn ílricas nos triân }Á,ot
Resoüendo problemas no triângulo retângulo 252
Tabelas importa ntes 252
Tratando a inÍormaçáo 9 267
LEtwdand,o a circtrn{erância ao círull'o
,1 ff:1;:n: 
tunfuffiÍ. 
secantes 270 R raçãoentresecanteetangente 271
Troque ideias 74
iZ Polígonos regulares inscritos na circunÍerência 
2
Elementosdeumpolígonoregularinscrito2T6Proprides2T6Relaçõesmétricas278
Calculando aáreade um círculo 281
lorando Geometria 287
Tratando a informação 70 287
Lgtwd,ando c^5 í^raag dal {qu rc^5 laon^ítricas pl,anas
ométricas 292
ExPloran
7 fro ega 299
Área
es 306 etria 306
o que aPrendeu 310
Noçõas el,qn^qntc.ra5 de Lst atÉlica
,5 Organizando os dados 316
O que representa a EstatÍstlca 316 Como organizar os dados em tabelas 317
Um pouco da histÓria da Estatistica 319
it Estudando gráficos 321
Gráficos de linha 321 Gráficos debarras 322 Gráficos de setores 324 Estudando 
médias 327
Troque idéias com o colega 330 Retomando o que aprendeú 331
lndicaçâo de-l,q\lvra $2
bihí,io9ra{ia T2
Reqotlrc 335
Gl,o*í^rio 353
I
I
I
Q
a
Projato 360
org.:nua
5e àobrarmoa ao
,"i?-y^u fotha de papet
duae partes
àe mesmo
lamanho.
5e àobrarmoo novamenle ao
meio, oblemos quatro ?arteâ
de mesmo tamanho.
Dobranào ao meio uma leraeira
vez, oblemoa oito partee àe
mesmo lamanho.
Ez
Ê
ô
I
ô
!
Número de
dobras ao melo
1
2
3
4
Número de Partes de
r.n.i*o tamanho obtidas
2
4
8
16
Potências
de2
2t
22
23
24
Oemoàoserat'aol'b'^'\:i:::",t:,,\2^":;:l;rrr';:;:i::";:
wa5 r0
oào oVüàao 
na qua
io
Permilieoe 
novao
u"';':;:^:S:;:io, poàeriam"::1:^::::z':::^ 
i::'o;i|::'
ao meio " 
o ndl'i"i àe part'eo -àe 
meomol'a
^ -^nn^nhe eooa 
relaçào na
oo
o-0-
-
"0.3;f#lx#ÍffifJ:i ffifl,!fl,.::r, turat n,, . ,
. 
"' " n tatores iguais uo ,ürl.';rir:, a expressão a,, denominada
Assim, por exemplo:
)4J= =Bi
4 vezes
2 (- 2)5 = F2) .(_2).t?_t?.--2) : _32
Â
/ . ,33 Í-1) :f_ t )\ 6i | 6)
VEZCS
(t
Io ) r- I )- 1) \ 6 )--216
3 vezes
4 (-7,4)2: (-1 ,4) .(-1,4) :
2 vezes
5 i01: 10
+ 1,96
Observe que;
-22--(2.21 :-t
Na.p-a+êncla an,temo", { 
o número real a chama-se baae
I o número natural n chama_se expoente
da firiEtíria daE otânciaE
Jar*/tnttgíii.dsíe, os 6aÍí[.ôri,ros uss.voÍtlos 
potêtrcros coÍno s-tn(íLi.s.res doÍwL
dpCiíoç*, orqí*rto os gregos anharu uma especiat- predít'eçao pebs ryníroíos e
No século lll da nossa era, o matemático grego
Diofante rdealizou as seguintes notações das potências:
xpara expressar a primeira potência;
xxpara expressar a segunda potência;
xxx para expressar a terceira potência'
No século XVll, o pensador e matemático fran-
cês René Descartes (1596-1650) introduziu as nota-
ções x, x2, x3, X4, ... para potências, notações essas
que usamos até ho1e.
Unn po
I
pe[os cubos.
U
Aplicando a definição, calcule:
72 0s 0 (-+)'
6; 1-11)2 121 g) (-2,3)2 5,2s
c) (-S)3 125
o,(-+)' +
e) (Jí)1 .,t
4 Determine o valor de xY. ,
, : 11-1)3 - (-1)s. (-1)41 + (-1)7
y:(-2)n:23_ 42:(-2)2
5 Um campeonato de pingue-pongue é dispu-
tado por 20 duplas, que jogam entre si em turno
e returno. O número total de jogos nesse tipo de
campeonato é dado pela expressão algébrica
*' -- *, onde x representa o número de duplas.
Quantos jogos tem esse camPeonato? 380 josos
(6 O número de diagonais de um polígono pode
ser obtido pela expressão algébri ru *,
onde n representa o número de lados do polígo-
no. Nessas condições, quantas diagonais tem um
polígono de:
a) 6 lados? e diasonais b) 10 lados? 35 d usonu''
1
32
h) -62 -30
35 zqz
( - 0,6)3 o,210
2 Qual é o valor da expressão r?r-rmérica
i t-z)'- (-1)2 + (-3)2 - ( 2)5? 32
u
3 Qual é o número real exPresso Por
.-»2 - (-+)' : (+3)2. (-*)',
1l
Verifiq-ue se o númer" -+ é raizda equa-3x'-2x-1:0.
Assim:
) A área da primeira figura é 1 cm2 ou (20) cm2
) A área da segunda figura é 3 cm2 ou
(20 + 21) cm2
) Aárea da terceira figura é7 crnz ott
(20 + 21 -t 2') cm,
) A área da quarta figura é 15 cm2 ou
(20 + 21 + 22 + 23) cm2
Supondo que as próximas figuras da seqüência
slgam o mesmo padráo, responda:
c) A área da décima figura da seqüência terá
quantos centímetros quadrados a mais que a
área da nona figura? :
cálculo de potências em calculadoras. Acompanhe o
8 Usando os sinais : ou *, compare as potên-
cias:
a) 72 e (-7)2
b) -92 e eg)2
Vamos explorar o
procedimento a seguir.
c) (-2)5 e -2s
d) (-4)3 e -43
a seqüência de figuras, cada quadrado tem
de área:
a
x2 - > Essa tecla é usada para elevar
números à segunda potência ou
ao quadrado.
Para elevar 10 à segunda potência ou ao
quadrado (102), basta teãhr
y* 5 Elssa tecla é usada para elevar
um número Er uma potência de
sua escolha.
Para elev'ar 10 à terceira potência ou ao
cubo (103), bas;ta teclar
1
e aparecerá no visor
o multíplícoçõo poro
ouxilior no cólculo de
10
e aparecerá no visor I t-tnI UIJ
0y*t=x2
lembre-se de que
hó olgumos vorioções de
um tipo de colculadoro
poro outro.
12
t calculadoro for do tipo\
comum, você poderá usar
fto.,. dconn \/""a
7,. Hâuma curiosidade no cálculo do quadrado,
do cubo e da quarta potência do número 11'
Os resultados são números palíndromos'
Usando uma calculadora, determine o valor
de112,113 e 114. 112 - 121,11:= 1 331 e11a = 14641
2. Investigue, com o auxílio de uma calculadora,
se o fató se rePete com a quinta e a sexta potências
do número 11.
OÍatonáoserepete: 115=161 051 e'l 1'=1711561
Observe as multiPlicaÇões:
) 23 . 22 : (2 ' 2 ' 2) ' Q ' 2) : 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 : 25
Então: 23 '22 : 25 ott23+2.
Como esse fato sempre ocorre quando temos uma multiplicação com potências de
base, isso nos permite escrever a seguinte propriedade:
Dado um nÚmero real a, não-nulo, e Sendo m e n dois números naturais,
então am ' an : a* * n.
Observe as divisões:
)5 : )2 : 2u - z'z'.2'.2'2 --2.2.2 : 232z 2'z
Então: 25 : 22 : 23 ou 25 - 2.
,(+) (+)':(+) (+ + +):+ + + +:(+)-
Então: (+) (+)':(+)-ou (+)'.'
políndromo é aquele que
nõo se oltero quondo lido
do direito Poro o esquerdo
ou do esquerdo Poro o
13
,(+)',[+ I :
)
Então: (+)',(+) :(+)'., (+)'-'
Como esse fato sempre ocorre quando temos uma divisão com potênciasde mesma base, íssonos permite escrever a seguinte propriedade:
Dado um número real a, não-nulo, e sendo m é n dois números naturais,
então am : an : a, - n.
Observe as potenciaÇões:
) (25)2 : 25 - 25 : 25- 5 - 2to
Então: (2512 : 2to ou 25'2.
, [(+)-]': ( +)^ (+)- (+)-: (+)4+4+4: (+)"
Então: [(+)-]' 
: (+)" o, (+)-'
Como esse fato sempre ocorre quando temos uma potência de outra potência, isso nos permite
escrever a seguinte propriedade:
Dado um número real a, não-nulo, e sendo m e n dois números naturais,
então (a')n : u,,'n.
Observe as potências:
(3.5)2: (3.5) .(3.5) :3.5.3.5: 2
Q : 712 : (+)' : (+) (+): # : + : 22 : 72
Podemos escrever a seguinte propriedade:
:+ +:(+)'
,2
3
2
T
2/
7T
Dada a potência (a.b)'ou (a : b)n, sendo ae bdois números reais não-nulos e num
número natural diferente de 0, temos:
(a'b)':an.bn ou
14
(a:b)n:an:bn
I- Aplicando as propriedades, escreva na Íor-
ma de uma só potência:
u) 2u .2n 2'
b) 710 : 76 r'
c) (52)6 5'
d)34.38.3 3"'
",(+)''(+)'t )'
2 Aplicando as propriedades, transforme
numa só potência as exPressões:
a) x2 . x .*8'x3 (x + o) x'o
b)*'2:xe(x+o) x'
c) (x5)4 (x + o) x2a
d) a. a7 . a'(u + o) a'o
e)pa:p3(p+o) p
3 Transforme num produto de potências:
a) (x'y)' *'y'
b) @'b12 a'b'
c) (x3'f)a *''y'
d) (a2 ' bu ' c')' a'b'ocu
Vamos calcular o quociente de 25 : 25.
) Aplicando a definiçã o'. 25 : 25 : 32 : 32 : I
) Aplicando a propriedade da divisão de potências de mesma base: 25 : 25 : 25 - s : 20
Comparando os dois resultados, podemos escrever que 20 : 1, o que ocorre com qualquer
número real não-nulo.
De modo geral:
Para todo número real a, com a # 0, temos a0 : 1.
Veja a seguir como podemos, também, considerar o expoente zero.
) Observando a última coluna da direita, de cima para baixo, notamos que cada nÚmero representa a
terça parte do nÚmero anterior:
Base
3
3
3
3
3
Expoente
5
4
3
2
1
Potência
35 :243
34: 81
33: 27
32: 9
31 : 3
l5
) se prosseguirmos com a tabela, incluindo o expoente 0, veja o que ocorre:
3
3
3
3
3
3
5
4
3
2
1
0
35 :243
34: 81
33: 27
3z- g
31 : 3
) t, : + de243
) ,r:+de81
) e: + de2t
) s:{oeo
) t:{oes
I- Determine o valor de:
a) 50 b) -50 c) (-5)o d) -(-5)o
\
^Q"ul é o valor numérico da expressãoo+30 
-(-4)o?
\\3 quat é o valor numérico da expressão
íá + (o'77)o?
\'4 Calcule o valor numérico da expressão
,or 1t'2
1 ^o4 -'
5 Se você simplificar a expressão 
*Ltr,
que resultado vai obter? -l
5e lançormos
oo or umo moedo,
poderemos ter
doís resultodos
possíveis.
5e lonçormos oo or
simultoneomente duos
moedos, poderemos
ter guatro resultodos
c)roa e coroa
4 moedas to= I
5 moedas
6 moedas 64:2"
7 moedas 128: 2'
I moedas l)o: z
I moedas .512 =
10 moedas 1 024:2'u
It'
..#
Prosseguindo dessa forma, pod.emos estabelecer uma relação entre o número de moedas
Iançadas aoãr e o número de resultados possíveis, como vemos na tabela:
Ne
2l
I
3l
. De um modo geral,
no lançamento similtâneo de nmoedas, o número de resuttado,s
possíveis é dado por 2n.
o-o7
4:22
8:23
lft"'o dcoru fi.a,
Construa uma tabela como essa/ acrescentando o número de resultados possíveis no lançamento de
4,5,6,7,8,9 e 10 moedas.
Se lançormos oo or
simultoneom ente tràs
moedos, poderemos ler
oito resultodos
17
afT faÀ,,l,
rray^tivo
Aplicando a propriedade do quociente de potências que têm a mesma base:
23:2a:23_4:2 l
Considerando o quociente na forma de uma fracão: 23 : 2a : 2t : ?'4'2 - 12+ -Z-Z.Z-2 -T
Comparando os dois resultados, podemos dizer que 2-t
número real não-nulo.
De modo geral:
Para todo número real a, com a * 0, temos a
Exemplos:
,o-, : 
i'o
:)-,o que ocorre com qualquer
-r - 1
a
(-3)-1 - - 1
3
r3)' 1 5
\5/ 3 3
5
Vomos cqlculor o
quociznle de 23 : 2q
18
Vamos calcular agora o quociente de 25 : 28.
) Aplicando a propriedade do quociente de potências de mesma base: 25 :28 :25-a :2-3
) Considerando o quociente na forma de uma fraçáo:
c5.)B-25 - Z'Z'Z'Z'Z : 1:í+)'l":l-:2r:6- f -\Z)
Comparando os dois resultados, podemos dizer que 2-3 :+ : í+t'
qualquer número real não-nulo. 
lodemos dizer que'z - : » 
: 
\T )' 0 que ocorre com
De modo geral:
Para todo número real a,com a * 0, temos â-n : + : (+)'
sendo n um nÚmero natural diferente de zero.
Exemplos:
1-25
(-+) '
Considere a tabela a seguir:
5-2:(+)'
2a :16
23:8
22: 4
2r:2
Observe a última coluna da direita, de cima para baixo. Note que cada número representa a
metade do anterior.
4
3
2
1
19
Base
2
2
2
2
Se considerarmos o expoente zero e os números inteiros negativos como expoentes, podemos
montar esta outra tabela:
2
2
2
2
2
2
2
4
3
2
1
0
-1
-2
2a :16
23:8
22: 4
2r:2
2o:1
a-1 Iz :-
2
o-2 1z :-
4
\ a-) .)-
\ A-
\ .-) L-
\ 1-I L-
\1t-/2
\1/4
Observando a última coluna, de cima para baixo, temos:
Veja a seguir como aplicar esses conhecimentos na resolucão de problemas.
Determinar o valor da expressão 3-1 + 2-2 - (-4)-1.
3-1 + 2-z _ (_4)-1 :
_ 1 *( r )'_r_ 1 ):-T-(z)-l-4):
111:- 344
433:-
12 t2 t2
:10_5126
\
1
\-__
20
Simplificar a expressão (2a3x-1)-', para a + 0e x *
. ( ^ 1\-' (2at )-1 x(2a3x-t)-t:[rr' T] :[.t,,l :#
Calcular o valor de (9-1 + 6-2)-1.
(e-1 + 6-2)-' : [+.(+)']'
0.
F
L Calcule e observe a seqüência:
u) 3n 81
b) 33 21
.)3'e
d)31 3
2 Vamos calcular:
u) 2-' +
b) 2-u +
c) G2)-2 +
d)-zn -+
")30 
1
0 3-'
8) 3-'
h) 3-3
e) -(-4)-3 +
0 _(_10)-1
s) 1o-3 +il
h) -(-n-2 +
,l
3
1
I
1
27
d)-L 2'2/
.1
e ) ------:- 6
6"
f) -l--.,0' 
100
^-3d) z^ J=
3
.30e)-32' 
2-r
r) s-2 .33 +
\ 3 cul.rrl"'
, (+)-' z Í, (-+) ' +
o,(+)-'4 E;,(-+) ' -+
.,(-+)-' , n,-(-+)-' 6
o,(-+)-' + i) -(-+) ' e
",(+)-' + j) -(-+) ' +
4 Você sabe que a-' : -J-. pslu propriedade
a
simétrica da igualdade, podemos escrever
:[+.#í':[1*] ':(+) ':+
1, :a-o. Nessas condições, escreva na forma
a'
de potência com exPoente inteiro negativo as ex-
pressões:
.1a) 
--" 
ro'
70"
1
b) --+- r.'75
.1C) 
- 
5', 
FÔ
J
It
5 Vamos calcular:
.1
à) - . 16' 2-+
)
b) ----:" 32
4-L
, ^-3 - 1c)z / 8
\ 6 Qrrut é o valor da expressão
(40 + 4-11 (40 - 4-1)? +
\, 
,uo"rrdo que a base é um número real não-
nulo, simplifique as expressões algébricas dan-
do a resposta com expoentes inteiros positivos:
a) (2x2)-3 ;- d) (**y-2)-3 -l-1'
b) (3a2x-r)-; l- e) (a-2'b')-' *
.,(+)-'+ r)tÉ) +
21
2
q
3
€B Calcule:
a) (-3)-1 + (-1)-3 *c) (!,-1 a 2-\', ..
b) 2-+ - rz 
- 
d) (6-2 .g,)-í , "'
9 Sabendo que a base é um número real não-
nulo, efetue as operações indicadas e simplifi-
que as expressões algébricas:
a) (xy-2) : (x-3y) - b) (a2b-')-' .(-^ \-r' \ l)-
I-O Qual é o número real expresso por \
2o + (-2)n.4 2 - Gz)32 .)
L L simplifique a expressão algébrica
ab
b-, * ulcoma+0eb+0. 2ao
7-2 Calcule o valor da expressão numérica
-22+(+) '
5
-24 + (-il2 + qo 6
Simplifiqueaexpressão 
* * Y- edêova-x-y
mérico dessa expressão quando, : y : 3.
xy+1 5
xy-t 4
As mesmas propriedades estudadas para as potências com expoentes naturais valem também
para as potências com expoentes inteiros e base real não-nula.
Assim, temos:
) Para multiplicacão de potências de mesma base: a, . an : a, + n
Exemplos:
I 52.5-6:52*(-ot :52- u:5-o
2 10-3. 10-2: 10-3*{ z) _ 1g_s 2: 1O_s
3 2n . 23 : 2n * 3, sendo n um número inteiro
) Para divisão de potências de mesma base: am : an : am , o, j+ : 3m - n
Exemplos:
L 64 i 6,- :6+-t _ 6-t
2 103 : 1O-2 :103-( 2) : 103*2 : 105
)-53 +_.:2-5-t7)-2t-t-22I
cn-24 :3n- 2-(n_r): g. 2_z_ r:3_3, sendo num número inteiro3n+r
) Para potência de uma potência: (â,)n : 2,'n
Exemplos:
1 (103)-2 : 103 {-z)- 16-o
2 (5 1)-s : 5{-1) { 3) - 53
3 (10-)5 : 10*'s : 105', sendo x um número inteiro
intqirolCl0L5 COtllA
22
t Q. 5)-4 : 2-4 '5 4
2 (10'x)-2 : !O-2 ' x-2
\
I- Tiansforme n rma só Potência:
u) 7' .7-u r,
b) 10-e ' 10 ' 105 To ' Lembre-se: aqui
c) 83.8 6 " 
obaseésemPreum
número real não_nulo.
d)x3'x-5'xn x2
,R-8-1e) a-'a 'a .
{'2 Continue a transformar em uma só potência:
a) 6a :65 e d) ++ ,l'10'
b) 27 :2-2 2" à + r'x
c) 7-a:7-1 0 +
3Tiansforme n ma só Potência:
a) (6-1)4 ô'
b) (101-2 10 ''
c) (5 ')-3
d) (*u)-'
4 Transforme em um produto de potências:
a) (5 . 11)-2 5,.11 2 c) (2-a '5\-2 2" 5 u
b) (3'102)-1 3 '.10' d) (7-1 'x)-3 r''x'
5 Tiansforme em um quociente de potências:
a) (8:3)-2 82:32 c) (6-2:5)-a 68:sa
o; 13 : 8)-2 3' . B ' d) (7-2 : 2-')-3 rc :23
(6 Identifique como verdadeira ou falsa cada
uma das igualdades:
a) (25 .75) : (2'n5 v c) xs ' y'o : (* ' yu)u
b) x :x': x-' v d) xy-1 : 11-1'Y)-1
F
V
para transformar potência de um produto em um produto de potências e potêncla de um quociente
em um quociente de potências: (a ' b)n : an' bn e (a : b)n : an : bn
Exemplos:
3 17 : 2)-3 : 7-3 ' 2-t
4 (x:5) 1:X-l :5-1,COmX+0
7 Sabendo que a : 1O-7,b : 1011 e c : 10-4,
determine:
a) a'b ro'
b) a'c ro '
Él Escreva cada uma das expressões com exPo-
ente positivo:
a) (5-5;z
6y 23 .2-5
-a.:)c) _4
f,
\\S) Sendo r um número inteiro, escreva na for-
ma de uma só potência cada uma das expres-
sões:
a) 2"'23 2 '
b) 7" :73 r' ''
c) (5.)3 g
d) 33* . 3-2" I
") 
10" : 1o-2* 1o'"
'1O Quat é a forma mais simples de escrever
cada uma das seguintes expressões, sendo x um
número real não-nulo?
r2
ul Í41 ., c) (x"'r'r2-n;-2 t''\x-'l
b) (x-3'x)-1 x'
QuaI é a forma mais simples de escrever a
ssão a2'- 1' a^*1, sendo a * 0 e n umnú-
inteiro? ."
.) b' . 10'
d)a'b'c 1ooou1
f) 7"'7"+3 J2\:'
,2"orl 
- 
)o' zn-r
h) (22)" - 1 2' ,
.r aX*1 ax-1
l) ó 'J J
.. 10'* 3
l) 10- 
1o'
23
3 f t ans{or A^c^ndo e- tutt^yrLil/icando
tLi/|A1, upra5lao
Muitas vezes é conveniente escrever um número em forma rce potência.
Observe os exemplos a seguir.
I Escrever o número 0,0000001 na forma de potência de 10.
0,0000001 : 11 :_
10 000 000 107
-> 7 zeros
7 casas decimais
aplicando as propriedades
Esso forma de
escrevet os números é
muito usodo no simplif ícoção
de expressões em que
'= 10 7
Escrever a expressã 256'4eto ,z na forma de uma única potência de 2.
Decompondo256,4 e 8 em fatores primos, temos: 256:28,4:22,g:23
Daíteremos a seguinte expressão:
256. 4e 28 .(221e 2a . 2re
8', (23 )7 221
226
221
:25
Simplificar a expressã o lui??.!) .
[a'bu)o
(a5b2)4 _ (a5)4'(b2)4 _ u20.58
(a2b4)6 (a2)6 . (bo)6 ur2 .62t
a.o 5a ^B r-16-;;- ----=;--o'u :ar. br* I l,-- * 
-i=r
^8 1 a8d'-i-
b'o b'o
24
3
4 Simplificar a expressão
72.10-3.10-4 .10e
3.10-1 .104
12.10-3 .10-4 .10e
3.10-1 .104
72.702
3. 103
4.10 1
-J
:12
3
.14: 4. --:-: -=-- OU 0,410 10
L Escreva na forma de potência de 2 cada um
dos números:
a) 64zu b) fi- r' ") fi- r " d) 20482'
2 O número729 pode ser escrito na forma de
potência de 3. Qual é essa forma? 3'
3 Se você escrev 
", #na forma de potência
de 5, qual será essa potência? s '
4 Os números a seguir podem ser escritos na
forma de potência de 10. Escreva-os dessa forma:
a) 100 000 000 ro'
b) 0,00001 10 u
c) 0,0000001 ro'
d) 1 000 ro'
5 Dada a expressão (81)-2,escreva essa exPres-
são na forma de potência de 3 com expoente in-
teiro positivo.
A dístâncÍa da Terra ao Sol e a notação cíentífica
A distância média da Terra ao Sol é de
150 000 000 km. Como escrever essa distância
usando a notação científica?
Na notação científica, um dos fatores deve
ser maior que 1 e menor que 10, enquanto o outro
fator deve ser uma potência de 10.
No caso, 15 foi dividido Por 10 e, ao
mesmo tempo, multiplicamos 10 000 000 por 10,
para não alterar o número.
150 000 000 : 15 ' 10 000 000 :
: 1,5 ' 190 000 000 :1,5 ' 108
I zeros
Então, a distância média da Terra ao Sol é
1,5 ' 108 km.
2-.
xarclct(75
25
d
Escreva cada um dos seguintes números na
ma de um produto de dois fatores, sendo um
dos fatores um número inteiro maior que 1 e
menor que 10, e o outro, uma potência de 10:
a) 700
b) 0,06
c) 0,00007
d) o,oo2
e) 0,000009
f) 0,5
(*u . y-')u
{*' . y-n )t
x-y
escrevendo o resultado
Descubra
o segredo
Observe a seqüência:
7:72
7 Avelocidade dal:uzé de 300 000 km/s. Use
a notação científica para escrever a velocidade
dahlz. 3 to,knr/s
€3 Aplicando as propriedades das potências,
escreva na forma de uma única potência de 2 a
expressão (tO2 .A+\ : 7 0242. 2"
9 Aplicando as propriedades das potências,
escreva na forma de uma única potência de 3 a
93 .274 .g-7
expressão
3-1 .2432
LO Aplicando as propriedades das potências,
vamos escrever a expressã o J?:Y- nu(5') ".25'
forma de uma única potência de 5. 5.
L L Dada a expressão algébrica T., deter-
mine o valor numérico dessa expressão saben-
doque a: 16-6,b : 8-3ec : 4'10. 2 rt32
L2 Sabendo que x ey sáo dois números reais
não-nulos, use as propriedades da potenciação
para simplificar cada uma das expressões:
----------------)
1+3:4:22
(soma dos dois
primeiros números
ímpares naturais)
1+3+5:9:32
(soma dos três
primeiros números
ímpares naturais)
t.
,
3.
4.
Qual é a soma dos 20 primeiros números
ímpares naturais? 20 . 4oo
Qual é a soma dos 100 primeiros números
ímpares naturais? ioo = lo ooJ
Qual é a expressão que representa a soma
dos n primeiros números ímpares
naturais? n2
O número 900 representa a soma de
quantos e quais números ímpares
natufais? Como g00 - 302, ele representa a soma dos
30 primeiros números ímpares naturais
L3 Simplifique a expressão
6.10-3 .10-4 .108
6.10 1 .104 ',
com expoente positivo.
L4 QuaI é o valor numérico da expressão
a-' .b-'
É quando a 
: 6 5,b : 66 e c: 6'2? o.
o
o
o
o
----+ 1+3+5+7:
: 76 :42 (soma dos
quatro primeiros
números ímpares
naturais)
o segredo?
26
o
o
2 Escreva na forma
/ -1 '-1- I a" IexPressao I _+ I\a )
Qual é o valor numérico da expressã o ! nf ,
siderando n : 3,14er : f3? 113,04
€i Simplifique a expressão:
9 Calcule:
(o-''3-') ' (-+)'
10 Sendo x : (2')',y : 82 e z : 76-3,deter-
mine o valor de x'y ' z.
simplifique a expressão 
ol -,ur' 
, r".,-
' - a'\ +õ. -,-- a' -b'
I- 2 Qual é o valor da expressão? -
(o-'*z-'),(so++-')
a3 Simplifique a expressão, sendo y + 0. t
-l- + 8r,6y-b (y')-'
L4 Simplifique a expressão, sendo a * -b.
ma
1
^
is simples possível a
3 Qual é o número real expresso pela exPres-
são a seguir? a
^lq -')
-10+23 +(-2)2
4 Usando as propriedades da potenciação,
escreva da forma mais simples possível a exPres-
são (x2)3 . (*o)s . l*t) ', onde x + o. .
5 Determine o valor da expressão numérica:
(6 Transforme numa só potência as expressões:
\-43a) X 'X x
b) (t2)-3 . '
4.aC) 
- 
a'' a-b
d) +, x,x
7 Use as propriedades da potenciação e sim-
prifiqueaexpressão [ «o'oo1L 
'roo' 
l.«o,oD'.rr^1105_l 
,,
I-5 Simplifique a expressão: s.r
r------- -------------l
!srt*1i
! t-' ' s-l (ts)-l :L------- ---J
t'
Aqui a base é
sempre um número
real não_nulo.
(a + b)2(a+b)7 .(a + b)3
(a+b)
27
20
2'x-1
Y-1 -2x-'
2y
x2y
I
A alimentação muda as edidas
d.os brasileíros, gue se a roximam daaltura oa popuiação oos úiles ,i"n_*
JIr,tona,
lnbÍ^oçoo
'*----ar-+-;Êr\ãa>
Esta afirmação é parte da matéria publicada na revista veja de 7T /7 /96.
Leia um trecho dessa matéria:
O brasileiro está mudando a I pertodeseusavósemesmodospais' 
'
olhos vistos. E,m q"in'e uno'' u tt- | o"ut" sempre 
mais baixos' Esses:o-
acao eolhos vrstos. Em qurrrzç o""",j -:, I ação e
tatura média da população no 
Brastl I Urr*
aumentou 4 centímetros - 2'5 
cen- I or" uaumentou + cgllttlrrrtrvr -)e --- I oue a
tímetros acima do esperado 
pelos es- | oo' esLau 
urv§vvrrev
pecialistas .* .""t'J"'io : ffi i: \ ::.1':"i,:', tá: :::::';*::#;["J"H':'.'ffTil"ll.'.'];;;. \'r"'u«"*"-^o:T'^" as mãos' maio-
favorecidas, o. udol"''t"t""t;iJ;j; \ t": ".::i:iltunuo' 
acompanham
parecem gigantes att""go"çadàt I tttu tendência'
O lado negativo, aponta o artigo, é que o brasileiro não se limita ao crescimento vertical - eletambém está aumentando de tamanho nas laterais, devido ao consumo excessivo de calorias.
"Comer mais não signiÍica comer melhor", continua a matéria, sendo que a carne continua fora do
cardápio da maioria da população. O consumo de óleo e margarina poi pesrou duplicou nas últimas
três décad de 7%. A explicação é simples: pelo preço de
1 quilo de olacha ou de macarrao.É por isio que, no mesmo
período, o bres da população ,r*"^to, quatrà vezes -o dobro da incidência entre os 30% mais ricos.
Aprenda a calcular, aproximadamente, a altura guê seus Íilhos terão na idade adulta (em metros)
i)Some a altura do pai e da
mãe e divida por dois
OA partir da altura média
dos pais, some 10 cm se
a criança Íor menino e
subtraia 4 cm se a criança
Íor menina
Obs.: Esta regra valê para um casat om quê a módia
dê idadê €ntre o homêm e a mulhêr é de 30 anos Se
Íosse dê 20 anos, os valores mudaíam para g cm a
rois rc m do menim e 3 cm a mêrcs para a menina
1,75 + 1,65 1,7S . '1,65
22
1,75 1,80
1,65 1,66
28
Pa Máe
7
3.
4.
Com base nos infográficos
apresentados, resolva as questões a
seguir.
1. Mantendo-se o ritmo de crescimento
verificado de 1980 a7990, qual será
a altura média do homem brasileiro
adulto no ano 2000? t,zz m
Num casal, a média das idades é de
30 anos. Se o pai tem 1,82 m e a mãe
7,68 m, qual a provável altura do
filho na idade adulta? r,8s,,
Flávio, com 21 anos e 1,78 m de
altura, e sua esposa Cláudia, com 19
anos e 1 ,64 m, tiveram uma filha,
]uliana. Qual a provável altura de
]uliana aos 18 anos? t,og m
Supondo que o pé masculino
continue crescendo na mesma
proporção que cresceu entre 1965
e 7990, qual deverá ser, então,
o número médio do calçado
masculino em2075? +q
5. Reflita sobre o texto a seguir:
Além da balança, os novos hábitos
alimentares do brasileiro podem ser
constatados na cadeira do dentista.
As comidas industrializadas (como o
iogurte ou sucos industrializados) são
mais macias e pastosas do que os
vegetais ou as frutas, o que diminui o
esforço na mastigação. A boca, como
qualquer parte do corpo, fica flácida
se não se exercitar. E o que está
acontecendo com uma geração inteira.
As dimensões dos ossos também
diminuíram. O maxilar ficou menos
proeminente e a arcada dentária,
menor. Na história da evolução,
o homem chegou a ter quatro molares.
Na arcada dentária atual não há lugar
sequer para o dente do siso, o terceiro
molar, que desponta aos 16 anos.
Fontes: Monteiro, Benício & Gouveia, Eaolução da Altura
dos Brasileiros; Monteiro, Mondini. Souza & Popkin, Á
Transição Nutricional no BrasiL Calçados Sândalo; IBGE.
mais alto...
Altura final média do homem, por ano de nascimento
1974
Númerc médb de
calçado masculino
39
41,5
e a pele mais escuE...
Nêgtos o paÍÍlo6 na população brasileira (em %)
1940 19s0 1960 1980 19m
29
1rffi 1,69 1,71
í,75
5r7
198S
37
4
Cal,urLando
Já eetuàamos oo
números ircaaionais,
5ào os númeroo cuja representaçào àeaimal
apreeenLa infinitas cagao decimais, mae nào
eào númeroe periôàicos (àízima).
( , ^ ^o",u6oZiíWr"*^t o'o-'uo"oo'u:"
nat'
*:?::;:^::**
Fsemploo de números irracionaie:
1. ^lT , cuja repreeentaçào decimal é 1,41421356i2,.,
2. .lT , cuja representaçào àecimal é1,T3zo5oooo..
3. n, cuja representaçào decimal é2,1415926...,
cort^ rcdicnnig
Veja, por exemplo,
t;a ex?reesao o' \l 4 ,
) 9e conoiàerarmoo o número real ^[í , com a?roximagào àe uma casa àecimal'
o valor da expressào eerâ 6 ' 1,4 : O,4,
) 9e consiàerarmoe o número r"al Jí , aom a?roximaçào àe àuae caeas deci-
maio, o valor àa expreooào eerâ 6 ' 1,41 : b,46.
) 5e aoneiàerarmoo o número ,eal Jí , com a?roximaçào de írês casas àeai'
maiâ, o valor àa expreeeào eerâ 6 ' 1,414 : O,4O4,
E asoim por àiante.,
ObEervanào oo exemploo àaàoo, ourge
uma ?etgunLaz Nào oeria poseível
o?erar com números reais ircaaionaio e
obler reoult aàos exalos?
A reapoota é aim,
ôe o?erarrnoo aoln o9
númer o s ir ra ai o n aie eo crit o s
na forma àe raàical e nào
na forma àecima|
?arr" 
Y"Y1,'^
cÍri'o;"nais-q'te
'poà"m u"
?ii"!ii"". 
:^ 
Íor«a
'íJ..z.aioar'
4noiz qnítinna dewt^ ninnqro real,
consideremos um número real a e um número naturar n, corn n > 2.
Vamos examinar o conceito de raiz enésima desse número, indicada pela expressão:
Temos dois casos a examinar:
lecaso:0índicenépar.
0bserve os exemplos:
t ítO : 2,pois 2a :2.2.2.2:16
\1n : 3, pois36 : 3.3. 3. 3. 3.3 :
Já vimos que não se define a raiz quadrada de um número real negativo, pois ao elevarmos um
número real ao quadrado não obtemos um número real negativo. Esse fato se estende quando temos
araiz quarta ouaraiz sexta ou araiz oitava, ... e assim por diante, de um número real negativo.
Exemplos:
V-81 não se define em R.
V- 1 não se define em R.
Podemos dizer que:
radicando
Quando o nÚmero real aé positivo (a > 0) e n é um número natural par, diferente de
zero, dizemos que a expressão iã é igual ao número real positivo b tal que bn : 3.
Quando o número real aé negativo (a < 0) e n é um número natural par, diferente de
zero, a expressão Va não é definida no conjunto dos núnreros reais.
A raiz guodrodo de 81
éiguol o 9, pois 9 oo
guodrado éigualo8l.
2e caso: 0 índice n é ímpar.
Observe os exemplos:
1
2
3
4
v-B - -2, pois (-2)3 : (-2) 'e2\'e2): -8
1/t125 : 5, pois 55 : 5. 5. 5. 5. 5 : 3125
{/-3 125 - -5, pois (-5)5 :
: (-5) . (-5) . (-5) . (-5) . (-5) : -3125
Pelos exemplos dados, podemos dizer:
A i,tr8 é iguol a -?,
pois (-2) ' (-?) é iguol o 4,
e4.(-2)éíguol o-8.
Dado um número real ae sendo n um número natural ímpar, a expressão Va é um
único número real b tal que bn : a.
Sendo n um número natural diferente de zero, define-se: V0 : 0.
33
Élmpo*ante notar a àiferença entre ae exrlreoea"t -'[í " '[5 '
) -6 é o oposto a"'[í ;bgo,-Jí = -$'
Ê-impo*ante,tambêm, notar a dilerenga entre as ex,lreooA"u ,[ç{ " {=t .
{@ =.1T25 -J25 -g
J -5' - ,[ã , que nào oe defrne no conjunt'o IR.
1-
L Diga se é definida ou não no conjunto
raiz quadrada de:
lRa
a) 49 sim
b) 721, s m
c) -25 náo
d) 64 sim
e)
0
10 srm
-9 não
2 Dentre as expressões seguintes, identifique:
a) as que são definidas no conjunto lR.
b) as que não são definidas no conjunto [R.
respostas no final do livro
V-8 '{T *l-16 Pln J4e
{-nb ^,[t 1-1 ?'tE6
3 Verifique se a expressão V"b' - 4* repre-
senta um número real quando a : 10, b : -1 e
C:-J. Sim,poise.gLar a\121 :11
4 Sendo x : 5 e y : 4, verifique se a expres-
i. ^são 1x' - y' é definida no conjunto R.
Sim, pois e igua a rrE : 3
5 Todas as expressões seguintes são definidas
no conjunto [R. Então, calcule o valor de:
a) J25 u f) -V-8 2
6 z;) \84 2
O P,142 2 -2
d) Jo.o1 o,l
e) -t8t 3
(6 Determine o valor de cada uma das expres-
sões numéricas:
ü *,1T6 - Vr8 4
D \l-L25 - *lT + .,t=f -3
c) i,Ez - 1-27 + ,,lT ô
ü ?11 - J16 - 4-u -1
o (flEr-e-' ), (tE'+B-)
r) rt-4fFsf - fi.t l
7 Use os sinais : ou *
meros reais n eb.
a:{'36 +^t6+
para comparar os nú-
b: 
^p6+64
oSa:rt6 +",,"25 eb: j'16+25,
e os números d e & usando os sinais
: ou *. a+b
Sendo Í um número real positivo e y um
mero real positivo, simplifique a expressão
t, l.!x- 'trY' '\v
Os hindus e as raizes
quadradas e cúbÍcas
Os hindus foram os primeiros a usar
regras para a extração de raízes quadradas e
cúbicas.
É curioso conhecer a terminologia que
eles empregavam:
para a palavra raiz, usavam o vocábulo
MULA;
pararaiz quadrada, usavam VARGA
MULA;
pararaiz cribica, usavam GHANA MULA.
34
6.
a) Basta teclar
b) Basta teclar
Observe que os números 744 e 447 são formados pelos mesmos algarismos, porém escritos
em ordem inversa. O mesmo fato curioso pode ser observado nas raízes quadradas desses
números (1.2 e 27).
/t"t'' dcotrn W"u
Colculor o segundo potâncio
Vamos explorar atecla J- para calcular araizquadrada de744e 447.
e aDarecera no vlsor
e aDarecera no vlsor
de um número rocionol positivo
e zxtrair oraiz quodrodo do
resultqdo são operoções
1. Investigue/ com o auxílio de uma
calculadora, se o fato se repete com
os seguintes pares de números:
a) 769 e967
Sim, suas raÍzes quadradas são respectlvamente T 3 e 31
b) 72544e44527
Srm, suas raízes quadradas sáo respectvamenrell2e2ll
c) 72769 e96727
Sinr, suas raízes quadradas sáo respect vanrente T 1 3 e 31 '1
d) 14 884 e48847
S m, suas raízes quadradas são respectivêmenÍe 122 e 221
2. Em Erupo,explore a tecla J- I
5 Radical, antnnítico a5urc$ propriqdadqE
Toda expressão matemática da forma\,ã, com a € lR+, n c N e n > 2, recebe o nome de
radical aritmético.
0bserve:
roíz cúbicq de dez.
Là-se:
roiz guorto de
dois tarços.
35
lÊ
tacar:
Como já vimos, em todo radical devemos des-
Assim:
No radical Jí, o índice é 2 e oradicando é 5.
No radical i,TC, o índíce é 3 e o radicando é 10.
A orígem da palavra
"radÍcal"
A palavra "radical" vem do latim
radix ort radicis, que significa "raiz" . Os
ârabes, que haviam aprendido a
radiciação com os hindus, usavam,
para designar os radicais, a palavra
gidr,fiaduçáo de uma palawa
sânscrita que significa raiz quadrada.
fhmbém na Grécia, os pitagóricos
jálinham conhecimento do radical
^lZ dlesde o final do século V a.C.,
quandLo relacionaram a medida da
diagorral de um quadrado com a
medidla do lado desse quadrado.
O símbolo ^[ a" radical(adotado talvez porque lembra um r
minúsculo, de raiz) foi introduzido em
1525, por Christoff Rudolff em seu
livro de álgebra Die coss.
tE1 :3 e 81 :34
Então:
{81 :í3t::
-- índice
L
nl^
1d
-- radicando
0s radicais aritméticos apresentam propriedades importantes não só para o estudo dos radi-
cais como também para estudos futuros de outros temas em Matemática.
le propriedade
Observe:
W:2 e 32:25
Então:
w:w:2l+
Em geral, podemos escrever:
3
\,ã' : a,coma € lR+, n c N en > 1
Veja os exemplos:
t ",0-:l i,lid : to
36
:x+3,comxeR+
Propnedades
Consideremos as expressões i[Ot e úd .
Usando a primeira propriedade, temos:
- 
Comparando, temos eT0t : .,/iõ, .
Veja o que fizemot' t/ioÉ : 8'{,[6É* : ^/iõ'
Em geral, podemos escrever:
\/a, : n'$'+, com p + o e pdivisorcomum de me n.
Essa propriedade nos auxilia na simplificação de um radical do
divisor comum para os números n e m.
Veja alguns exemplos de simplificaçáo:
1 !,/m- : u,figo' : tha' 3 '<[64 :'<[2u - rz'{2as : ^tT
tipo Va' , quando existe um
2 ztrfy _ zo5^@s : \[,
observe as expressões {-/6a e Vo+ .
Calculando, temos:
Veja o que fizemos, {@ - ''1[u : W
Em geral, podemos escrever:
tF :''{/a, coma e R*, m € N, n e N, m > 1 en > 1
Veja os exemplos:
4 ,i[y),il: zs'1[xy;ro's : tfitf
1 lli.,z -512 :',{' 2 ^l :'ffio : t[C
4.25
4-" propriedade
Consideremos as expressões e Ja .J% . Calculando, temos:
1
2
3
Veja os exemplos:
I- Dê o valor de cada uma das expressões:
ul nTír ,o ") \[e"f 2r
b) i,6s :, f 1 @.sY 2 .
ô \[z' 2 s) 1Gr'f .:
, coma e R+, b e nl, n e N e n > 1
,comaelR+
2 Decomponha o radicando em fatores pri-
mos; a seguir, usando a propriedade dos radi-
cais aritméticos, dê o valor das expressões:
nl^
Hd-6-
uE--xã
r/ s-F
ir4 25 : -r,ToC : 10 I
I ---* Comparando, temos 44 25 : i4 f 25 .14 ' "t25 :2.5: 10 
J
Em geral, podemos escrever:
iãt : i/t.i/t, coma e R*, b € [R*, n G N en > 1
Veja os exemplos:
18111 : Jt .,,T 1
t"2.5 : {/Z.i',F
W:W {,[.íy,corx,y€tR+
5e propriedade
Em geral, podemos escrever:
a
b
d)W 7 h) XG1.)' ,,y
38
3 Dividindo o índice do radical e o expoente
do radicando por um mesmo número, diferente
de zero, simplifique os radicais:
u) '\lz' clz el 'Vf 'G;
r) '{E ",'a o'Wtç
c) 'írot t"To gl i,&t .,r
dl 1Ç' ltt nl '-ffir l,'ãr
4 Determine o valor do número x em cada uma
das igualdades:
u)'\[zr :d{ ,=t c) V# : fi''=,
b) 'V105 : {/10* , : , d) 'Vo" : Q,l6 ^: z
5 Decomponha o radicando em fatores primos
e, a seguir, simplifique cada um dos radicais:
a)'{zz "ir
b) <127 ','c
c) '{Et tt
ü \T6 .{1
dWtE:
0 -,4foz+ {í
(6 Escreva sob a forma de uma única raiz:
-
a) íVx 'q,; a> \h,T 'o
u) ilo tru ") Vrrio 's!o
cl {F'<;
t-r) tr4"t2 '"tr
7 Escrevana forma mais simples possível cada
um dos radicais:
a) \lW ,r b) JRl243
€i Sendo r um número real positivo, transfor-
me em uma única raiz:
al r,F c,f
r---
.) ííJ* tÇ
.r 
-
b) i/í2x '42"
-t,._
d) ííx' 4^u
€) Determine o número real x em cada uma das
igualdades:
u) di/ro :24lto x = + b) tF : §F^ =:
39
G'
íx
tEzc)
L(O Escreva como um produto de radicais:
ú ^P'z lí "7 d) í-y tr i[
b) Vax i'u d "lTab ,E ,. Jo
-
úr 0 í*'y 'lr' 'J,
L L Decomponha o radicando em fatores pri-
mos e escreva cada expressão na forma de um
produto de radicais:
a) "uffi .,,I rF
d §,[n q,t i,7
c) i./35 i/t ii7
L2 Transforme em um único radical as mul-
tiplicações:
a) -'/í' 
"/í
D iT.W
d)
e)
zln o 1í r,r
{fí ,li, ,q7;
?,854 {, ;l ."fr1
\tT .\ltz z
"lT."lí'lT t^
c)ús
d)V14
L3 Sendo x ey dois números reais positivos,
transforme em um único radical cada um dos
produtos, simplificando o radical obtido:
a) 'iÇt. 'í* ,r" c) 'fif ' 'frf ',,r,
b) 'tÇ' 4í ç d)'Ú', '\Fn '^16
L4 Tiansforme em um quociente de radicais
cada uma das expressões:
d)
e)
0
L5 Os números a eb sáo números reais posi-
tivos. Nessas condições, simplifique os radicais
ít' "'{ú,calculando a seguiraexpressão
que representa o produto dos radicais obtidos.
,/r g
l2
q,T
q,[t
\14
í5
f1z
\2
.a2ol_
\13
"f4
1s
âr*radorcu 
vamos explorar a tecla J- para irrvesti gar araizquadrada de
\fr- -.: alguns números Palíndromos.
quondo lido do direito
poro o esguerdo ou do
esquerda poro o
direíto.
tall
llllll
b) 72345 654327
is:
o ro\dticando
Observe as seguintes expressões:
l'ecle 1 2 t ^{- eapareceránovisor
l'ecle 1 2 3 2 1 [ eapareceránovisor
It"'o \/à,.a
Investigue, com o auxílio de uma calculadora/ o que acontece com a raiz quadrad.a do número
palíndromo 7 234327
E o que você acha que vai acontecer com os números palíndromos a seguir?
a) 123454327
,15' '7 = lo' ' iz = 5.
-.-v-
Transforman
dado em um produto APlicam,os 1
de raàicaie, propriedaàe i,i a" = a,
',t6.s" t" =g {í fi" =tr|i.?_=_T_ _-
Transformamos o radiaal fli, = S
àado em um produto
de adicaie.
Desse modo, temos que:
Se um ou mais fatores do radicando têm o expoente igual ao
índice do radical, esses fatores podem ser extraídos do radicando
e escritos como fatores externos (sem o expoente).
3
2
---=-
5
Em alguns casos, o expoente do fator é maior que o índice do radical. Procura-se, entã0, fazer
'ansformaçies convenientes no radicando, como você pode ver nos seguintes exemplos:
I .,hot : .[õ' .10 : .,'io' ,[o- : loJia-
2 W :XF .* t :W W''"tT :2'2'{, : trT
3 ,W'*:\E'T*'5':',8 ,T ^F ^F:2'5'5'./':50^tT.52
Há situações, porém, em que temos necessidade de fazer a fatoração completa do radicando
antes de fazer a extração dos fatores.
Veja alguns exemplos:
1 Simplificar aexpressão i1í .
Fatorando de forma completa o radicando 75, vamos encontrar 3'52.
Daítemos:
^,[75 : Jg.f : ,8 ']5' -- 5^/3
2 Slmplificar a expressã o lltOZ .
A fatoração completa do radicand o 162 nos dá 2 ' 34.
Daítemos:
?'E6r:?tp4 :
0s números x e y são números reais positivos. Nessas condições, simplifique a expressão
A fatoração completa do radicando 50 nos dá 2 ' 52
22 .2-52
iE .-tã :1lT 31 lE I : 31,6
4 Simplifique a expressão 2a2 - 4ab + 2b2, fatorando o radicando.
It
fatoração do
trinômio quadrado
perfeito
41
: 2xtEí
50x3y
2az -4ab+2b2
0bservação
Usando essa forma de simplificar um radical, podemos determinar araizenésima exata de um
número real.
Vamos, entã0, extrair araiz quadrada exata do número 2304.
A fatoração completa do número 2 304 dá 28 . 32.
Daítemos:
n73o4 : ^,t@ 4 : rF.2, .* Z .3, :2. 2. 2.2. 3:4g
Logo, a raiz quadrada exata de 2 304 é 48.
L Retirando fatores do radicando, vamos sim-
plificar os seguintes radicais:
t-g) 12' s'2
n) 1D'-f u,,
2 Os números x ey sáo números reais positi-
vos. Nessas condições, simplifique cada um dos
radicais, retirando fatores do radicando:
o 1F- uiv
c) l&t ,0.''i
d) i/Y' v'iv'
dw vv
4 Considerando qlre ^lT :1,47 e "vE :1.,73(aproximação com duas casas decimais), simpli-
fique os radicais e determine, na forma decimal,
o valor de:
ü ^118 +zt
b) ",148 aez
d ..b2 u,uo
d) rD00 ,0,,
d "J'!.62 ,ru,
Í) J75 , u,
5 Os números reais x ey sáopositivos. Nessas
condições, vamos simplificar cada um dos se-
guintes radicais:
e)
Í)
s)
h)
,y'./1 1
c)
d)
(5 Fatorando, o radicando,
pressões:
ú&y1u',a;
-L^/50;' sx,zxx
simplifique as ex-3 Simplifique cada um dos seguintes radicais,
retirando fatores do radicando:
ú "las 3s
b) í3oo ,o.s
c) "600 1o\5
d) 164z:,2
e) \hn- z\.i
f) 
^Eo
s) F,l1,e,
il *,m6
3\,'30
2i'o
z$t
b)
,y ^fJ -8*+4 ,,^ r)
*4ah+2b2 ia-rr) 2
F-e"+o
d)
e)
xarctcl05
il 
^f 
22-77 z,it
al \lz.z6 t f
c) {/sn 's r 5
u) ,6*i ,*.ra
i--
b) yl20y' 2y sy
a) lx' - 2xy -t yz
* 2x-t 1
i) "tí2f,í 2a.3
i) '"'Mí s, s
t
42
x'-9 /comx*3ex+-3.
1
x+3
7 lJsando a simplificação de radicais, com a ex-
tração de fatores do radicando, calcule:
a) araiz quadrada exata de 2025. qs
b) araíz quadrada exata de 4096. aq
c) araíz quarta exata de 1,296, a
€i Simplificando os radicais, calcule o valor da
expressão \To% + 9{7» - 4725 . ,
9 Simplificando o radical, fatore cada uma das
seguintes expressões, colocando em evidência
o fator comum:
a) 5 + ^,60 s.(r *,tr) c) 10 - J8 z (s 'tr)
b) 3 - Jií a (r-"tr) d) 10 + xm ro (r*^r)
LO Adotando que .,/E : 1,73, escreva na for-
ma decimal a expressão 
^,[ 
200 . ar,oo
L I- Simplificando o radical existente no nu-
merador e colocando em evidência o fator co-
mum, simplifique as seguintes frações:
, 2+J12 , 3+J18ai - ,-- , .: .) a 
-.-
10-vEo z d) 7-.xry} , ;,b) U z-r:
L2 Transforme em um só ra ical e, a seguir,
simplifique cada uma das expressões:
4i6 b)
L3 Fatore o radicando da expressão
@ e, a seguir, simplifique
o radical. (a + b)\a - b
a) {4 o%
I
Fórmula de Heron
Uma das maneiras de calcular a âteade um triângulo qualquer, quando
são conhecidas as medidas a,b, c dos lados desse triângulo, é aplicando a
fórmula de Heron, matemático greSo que viveu em Alexandria, no século I a.C.
Área :
í ^rl^r
I o : 
u * 
3 
t t (semiperímetrodo triângulo)
/ coml z
I a,b, c são as medidas dos lados do triângulo.
/t"to íconn S"a,
Suponha que exista um terreno triangular, como o da figura:
96+80+48 224
y----------ã-__
ZZ
Area : ./r rz . 112- 96l .\112 80) .(1 12 48) :
: \íir.164r.64 = E.?n^.r'a6 -
: uz -,!t+ :512-3,7 = 1 894,4 m2
Fazendo "lT{ :3,7, determinar, na Íorma de número decimal, a ârea desse terreno.
p(p - aXp -
43
7 lntrodwindo aA^ ator ulerno
yro radicand,o
Observe os exemplos:
Se .[' '3 : 2^8, então zrtt : .t7i .
Se {E . z' : 711í , então 7V5 : ffi:7-
se 1,6a : \l» : 2W, então 2\T : :W,
Assim, podemos escrever:
I
2
3
Um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando
para isso escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical.
Acompanhe mais esses exemplos:
Nesse problema, devemos inicialmente introduzir o fator x no radical mais interno:
à ?/....- çizt ;
VxVx : íi/x' .x I5I A: !X
2 Sendo a > 0 eb > 0, introduza o fator exter-
no no radicando:
ú 6lí , 6a c) aV2a ,2a.
d 2allb : .' d) 3bVab - ,
3 Sendo e y dois números reais positivos,
transforme en:r um só radical as expressões:
I lntroduzir no radicando o fator externo da expressão 5r,8.
2 Transformar em um só radical a expressão i,[Vi , sendo x > 0.
I- Nas expressões seguintes, introduza o fator
externo no radicando:
a) 7JT 1t d 51,1T .,r50
b) 2"1í za f) zf,lT} .o+o
c) 1o^12 2aa g) t?,lT ',2
ü 5e ,r75 h) 2*lT \32
xa_rclclos
44
.l -:7-, oi Jl )a, 1x1/ x
Consideremos a expressão algébrica inteira 9x + 3x - 15x + 8x - x. Comotodos ostermos
dessa expressão são semelhantes, podemos reduzir a expressão a um so termo:
9x + 3x - 15x + 8x - x: (9 + 3 - 15 + 8 - 1)x : 4x
Quando uma expressão contiver radicais semelhantes, procedemos da mesma forma, ou seja,
podemos reduzi-la a um só termo.
Veja os exemplos:
1 Escrever na forma mais simples possÍvel a expressão 10rE + 5^/í - 11Jt + 2J{ .
p"'tí +e",,8 -,n.r[í *zJí =(1o+ 5-11 +4nE =6",6
Dó poro colculor
mentolmente. Bosto
encontror o resultodo
de10+5-It+2.
Logo, 6HE é a forma mais simples da expressão dada.
Qual é o valor da expressáo 7 JT - 5"'[, - 3"'[, + "Tl
7"t2 - s"E - 3"[, + nE : (7 -5 - 3 + :-)t[T : o^,[2 : o
Logo, o valor procurado é 0.
Simplificar a expressão 6^/í - 2^{T - s-vtr + 3^[7.
6Jt- 2"[T -5ít+ 3^[T:6Htr-5it- zJT +3"{T:hE+ t^F:"tr *",[T
Logo, "uE + ^[T e a forma mais simples de escrever a expressão 
dada.
Observe que expressões como
l- 1-v5 + v7 não podam ser
tornados mois simples, Pois:
2
iorma decímat aproximada de 'J5 
'/Vl'
0 mesmo ocorre com expressões como:
,tr- "tr+^tsltrtii
2,23 - 1,41+ 1,73
^p 
.z * /-# 2"{T + 5J3
3+.'6+4Jatti
3+7,73+6,92
Há expressões que exigem a simplificacão dos seus termos antes de se realiz ar a adicáoalgébrica.
Veja os exemplos:
Calcular o valor de r,60 + HIS .
Já sabemos que 
^/50 
+ HriS + ^[aa 
.
Vamos, entã0, simplificar cada radical com a extracão de fatores do radicando:
fio-+.,/i8 :8.5' +r0.3, :5"tT +3"{T:BJT
Logo, o valor procurado é 8",tT .
2 Escrever na forma mais simples possível a expressão i[7Sú -
Vamos, inicialmente, simplificar cada radical:
1Fn.^í - XTlí + {,Ex\7 :
: í5' .x3 .x.y - íSt .x3 .x.y +lxT
: 5x{xy - 3x{/xy + 2x1/xy : 4xVxy
Logo, a forma mais simples de escrever a expressão dada e 4x{i[.
Simplificar a expressão ,EOO + J500 + .,E- - ,E .
xmo + H6oo + r,,5- - "{4s :
: 
^tTi 
.s' + 
^p 
.s' .s + -rE r:
: lO"tT + 10rE + 2J2 - 3.,,F :
: 7oJ, + Z^,IT + 1o^,8 - 3HE : tz^tT + 7Jí
12"12 + t"E
Logo, aforma mais simples da expressão dada é12"{2 + l^[í.
4 Simplificar a fracão
"Íz + lls
Ju +",11í
2",lT4t
tz"'tT +
2^847
46
14HE
L Escreva V se a igualdade for verdadeira e F
se a igualdade for falsa:
a) JT +HE:rl1o r
b) lE + jí :2.;,,5 u
ô "lT +1:7+",,T vd)r5*{J:i6 ,
2 Escreva na forma mais simples possível cada
uma das expressões:
u) 2E + 1oJí rz'r
b) 9"vE - sJt + gJt q"Ç
c) ./io + ",/io +.,,ío súo
ü 7W - a41,1, z'.1'
e) Ja +"vf +Jt+Jt(coma>o) qÇ
0 W +zW -8W +64T zctr
g) 3x^lT +9x",,T - 6x.'lT a*Jz
h)2+7"16 +2"16 - 1 r,g,6
i) Jto +10+Jio +1-51T0 rr-súo
j) 2"trí + B"íT - e",T + 8Jí - 2^lí rc"Ç
3 Calcule as somas algébricas.
a) a^11,25 -3J45 11
61 +trÍo + 23J1,n 16
c) r,[ox - í36>< - J9, -s,rr
d) ",82a, + r,EF - lEf satEa
e) -J5+ + "lí - ",/iso + 2"124 s.iF
0 3arãrC -7"t[f x + ax.J4ry '2ax-u6í
gl f"ü'y - *tP; - *"'.,[y *,'[
It
1s
1
6
h)
"112 ,tr
47
4 Qtalé o número realx exPresso Por
^r'19 
+ 3v5o + 1"9í? zs.')
5 Determine o perímetro do triângulo onde es-
tão assinaladas as medidas dos lados. r rJz
(6 As medidas do retângrrlo são dadas em cení-
metros. Determine o perímetro desse retângulo.
t+Jto 
".n
úso
7 Osladosdeumtriângulomedem 4"196 crn,
5^[Z16 crne 4J 496 r^. Qual é o perímetro des-
se triângulo? sz/o "-
€l Escreva na forma mais simples possível cada
uma das expressões:
a) Jso -"lz$ -"1T62 +Jgoo ú -+,2
b) 418 -7"tT8 +51U8 +"Doo 24t3 -t1tl
€) Considerando que ^/5 
:2,23 e ^lT 
:7,41
(aproximação com duas casas decimais), dê o
valor do número real r na forma decimal, sendo
x : 16 ooo + ,600 + 1Eo + Jí. roz,oe
LO Simplificando o numeradol, escreva na for-
mairredut ívelaÍraçáo 
g"'w +^@ -2"{a5 
.
8
!5
2
Dados u : ^,/i+ Jí eb : Ji-rF,
x e y sáo números positivos, determine o
vaior de:
. a-lba)_'2
L2 Qual é a forma simplificada da fração
^,[zg + ^lvs ., ,-
"@3
Dessa maneira, podemos fazer:
Daípodemos escrever:
a3 São daLdos os números reais a, b e c taís
quea - 1- Jg ,b:1+ "80 e c:2- "lgy .Nessas cond:ições, determine o valor de:
a)a+b*c: i: b)a-b-c
L4 Quat é a forma mais simples de escrever a
. - ^[so -"vTgfraÇão ----' - ?- 
^l2oo
b)a-b
l,icand,o rufi r a5sô qE ca fh
iE dra- A^a5[t^o indicerr=
Recordando as propriedades dos radicais aritméticos, uma rlelas nos mostra que:
tE.b : Vt.i/t, coma > o, b > o, n € N en > 1
Usando a propriedade simétrica das igualdades, podemos escrever:
t/t itr : !ã.b, com u2O,b >0, n e N en > 1
0 produto de dois ou mais radicais de mesmo índice é unr radical com o mesmo
índice dos fatores cujo radicando é igual ao produto dos radicandos dos fatores.
48
) ,[, .^tí - Jri -.lií
) ít .{6 = \p .a - \lií
P'2{, = 2o^[í
)
)
)
2a. h- 5b) : 2a' a - 2a' 5b : 2a2 - l}ab.-=1 _'--/
(3x + 1X2x - 5) : 3x' 2x - 3x' 5 + !' 2x -
6x2 15x + 2x
: 6x2-13x-5
13
Veja, entã0, as situações em que usamos essa técnica:
Vamos calcular ,ç' (s^tr - Jt)
):i'tr.3.lã-v,F'n,F:
: 3",[o - rF : 3rli0 - 5
Vamos calcular (^,tr * 2^lr)' (^lf - 5rZ).
zã_____>
("tr* 2"7).(rf - 5rT):J3 Jt- ,tr srT +2",E ,T- 2^[T'5nT:
: ^[{ - 516 +z^[6 -rc^[t :
:3-s.,,,,,6+2i6 -20:
:3 - 20 - 5r./6 +2^E : -17 - 3\E
-í ---;o-
Vamos calcular (z - '7) ' (s * tT)
,ã-\
( ):2.b+2.",[T -{T'5-"tT 'JT:
: 10 + 2-{T - 5^[T - ^n- :
:10+2"8-5J7-7:
:.10.- 7 + 2^[T -5^tT :3 - 3C
3-sJ7
49
Em olguns cosos, temos que usar
o tétnico do multiPlicoçõo de
polinômios, ou sejo:
I- Efetue as multiplicações:
u) E.[
ü w{.eE
c) JF'"G-
f)
8)
h)
r;-
Xx
l2a
1/. "
1)
i) G-y iãr,
E
s^[,
3 A área de um triângulo é dada pela metade
do produto da medida da base pela medida da
altura..Nessas condições, calcule, na forma de-
cimal, a área do triângulo da figura, adotando
d) fit içt-
e) Va' 'Va' 'Va'
n5o .úo
,Gt-' ,tr
2-[n .5nT .nT
2 No retângulo seguinte, as medidas indicadas
são dadas.em centímetros. Determine:
a) o perímetro do retângulo. 2,, ,
b) a área do retângulo. 
".
Todas as asridtseis . .
representaffi números
reais Positiaos'
ab
x
s^,6c-
50
4 Caicule:
il ^'tT (« - !3-)
D ^17("lT +"lT)
cl ^/ro (súr - s"uto )
d) "uE- (z + "tr)
e) .'rií.(*r + "'/í)
0 (O - !F) (]T t 216 )
s) (5 - ",F',|(s + ^lr )
nl (sJt - zX"6- + s)
i) (+ + "'ri5 )(+ - Jra )
5 Determine o perímetro e a áreado retângulo:
(5+J-s)cm 
I
Aârea de um tiiângulo retângulo é dada pela
tade do produto das medidas dos áois
catetos. Qual é a ârea do triângulo retângulo da
ftgura? z + ).t-
é o número real x expresso por
+1)-"T'^l{2.
€l Usando a multiplicação, vamos calcular:
, ..
a)(1 +Js)' .
, ..b)(2-Js)'
C)
d)
_. )(Js + Je )-
' ,)
lrT - ^lz )'
€) Sendoa : L - rE eb : ^,F - 1,determineo produto ab.
LO Efetue a multiplicação
7 + Jí '12 - Jí , simplificando o resul-
tado.
I-2 Escreva na forma mais simples possível a
expressão (-s * zxT)(4 + ",7) - 3"tT .
13 Qual é o número realx exPresso por
Jro + Jto 10-ú0 ?
L4 Apropriedade fundamental das proPor-
ções nos diz que o "produto dos extremos é igual
ao produto dos meios". Usando essa proprieda-
de, determine o valor de r nas proporções:
.xNT :-d) ------ - ^{62
x ,T3 - río
"urig + "ulio
11
fração
Escreva na forma mais simples possívela
(z+^lT).(++"T) b+3\2
-
(g - .'/t).(g + Jt)
) Quadrado da soma de dois termos
b)
(x+y;2:x2+2xy+y2
r Quadrado da diferenÇa de dois termos
i
l
,l
+
IJ
t+
r!
(t - Y)' xy
xy y''
51
Record ando oE
x2 xy
xy Y,
Vocà deve estor lembrodo
dos produtos notóveis jó
(x- y)2:y2-Zxy+yz
I
) Produto da soma pela diferença de dois termos
(x+Y11x-Y) :x2-Y'
Nas expressões que envolvem radicais, também podemos aplicar as regras que regem os
produtos notáveis. Veja os exemplos:
I (vE * íT)' : (-vE ;' + 2 . ^l{. íT + (ís ;' :: 5*2-ri15 +3:
: 5+3 +2$5 :8+ 2"{15
\2 t-t2 . 1 j;;- ' 
-' 
)
) : t7)2-2.7..,,'10 +(^l'10)':
quadradoda : 49 _ 14ú0- + 10 :
diferénca de
doistermos : 49 + 10 _ 14.,ti6 :
: 59 _ 14Ji0-
3 (Jí * ,T) (Jt - -/t) : (rE)' - (^/t)' :
produto da soma pela
diferenca de dois termos
:5-3:2
I- Aplicando a regra dos produtos notáveis,
calcule:
-. 
,
a) (íg +"lz) F 2Ç/ 
-, 
)
b) (1 - 47 f d 2-
c> (+",T + sX+"uT - s)
d)(z+^/To)' r L a
e) (úr + "lT)(^ln - "T) ^.,f) (eís + ^lz )' ,-o L
il 0 + ,rs )0 - úe ) ,o
trl (-snrí + r)(-e",/í - 1) ,.,,i) \z"lz + 3J5 )' /: r ?=
2 Sendo dados a: 6-r ^,lT eb : 6 - ^[2 ,cal-
cule o valor numérico da expressão a' - 2ub + b'.
8
3 Você sabe que a ârea de um quadrado é dad.a
pelo quadrado damedida do seulado. Nessas con-
dições, calcule a ârea dos seguintes quadrados:
4 Sabendo-se que x : 3 * ^lT, qualé o valornumérico das expressões abaixo?
a)x'-Zx:-n 6+4\2 b)x2-6JT ,-
Verifique se x : Z + -'lZ torna verdadeira a
aldade x' -- 4x * 2 : 0. sim
quadrado da
soma de dois
termos
xarclcl(75
52
ltl
ltl
";i
6 Escreva na forma mais simples possível a ex-
pressão (a + zJs )' - "lzzo - 18. rr
7 Simptifique a fração:
-' '(ío + "12 )
€! Qual é aÍorma mais simples de escrever a ex-
pressão ("7 + "E)' - (O + -.-5)çlT - J5)?
10 + 2r35
9 Qual é a expressão algébrica que representa
o quadrado da expressão lEx + 1Ex para
x > 0? 7x + 2x\10Qí+TEXJz-xF)
Note que o quociente de dois radicais de mesmo índice é um radical com o mesmo índice dos
termos cujo radicando é igual ao quociente dos radicandos dos termos.
c)
d)
e)
l0 Dividind,o uprassÕaE cort^ radicn*ig
Por uma das propriedades dos radicais, sabemos que:
:jft-,coma>o,b>o
Vb
E pela propriedade simétrica das igualdades podemos escrever:
: 
F,então F: F,com a > o, b > o'
Agora, observe os exemPlos:
J4o,^[r:F '40 :\8.5:2^[í{2-:\ 2 :
t-2 ,E,e : #
3 186,{T:E
L Efetue as divisões:
a) úo :",,8 2 e) r,2oo :^fí ,,n
D WZ :Pl+ i3 0 "@:^,lT 4,.b
d ^[te8 :"8 2,21 g) "uDo :"'8 3',"2
d) i/*' 'il'x' ,*>o h) t/'aif :*iab ,ab+s*ii ui,
2 Escreva as expressões seguintes na forma
3 Simplifique a expressão
^/í+2 "lí-2
",le +z' ,f
a
b
7-.
xql.
53
1
2ri10
idind
d,icet
aw
Rzdtnçao de d,otE ott mats radicaiE ao n^e5n^o fudrtce
Acompanhe as situacões:
13 Vamos considerar os radicais trF- , \t{ .
Podemos reduzir esses radicais a um mesmo índice, que deve ser múltiplo comum de 3
e 4. Portanto, esse índice poderá ser 12, 24,36,48, 60, ...Parafacilitar nosso trabalho, vamos
escolher o menor deles: 12.
Agora, observe:
Então:
w,{ü
radicais com
índices diferentes
'<,7' , '{ü
radicais equivalentes
com ct mesmo índice
radicais com
índices diferentes
ztr]s , 'W
radicais equivalentes
com o mesmo índice
2? Consideremos, agora, os radicais i,[- . {,G3, com a > 0.
lnicialmente, vamos reduzir esses radicais a um mesmo índice, que deverá ser múltiplo comum
de B e 6: 24, 48,72,96, 120,... por facilidade, vamos escolher o menor deles, o 24.
Então:
tG. , 1,ãr
54
Veja os exempÍos:
Vamos calcular \,7 '],!fí .
lnicialmente, reduzimos os dois radicais ao mesmo índice e,
Como os rodícoís tâm
índices diÍerentes,
precisomos reduzi-los ao
mesmo indice e, a seguir,
eÍ etuar a multiPl icoçã0.
\[, .'{í :'W "\[V : "\E' z" :'{{
l4wtlipLict^çao e divitdo da- radicai5 con^ índiceE di[erantzs
Com a redução de dois ou mais radicais ao mesmo índice, é possível efetuar a multiplicaÇão e
a divisão de radicais quando estes apresentam índices dtferentes.
Calcular.,ho , í10 .
a seguir, efetuamos a divisão:
-- -- -
Jto 
' 
Vto : Vlo' : Vlo' : eiot' 10- : q,[õ
L Reduzir ao mesmo índice os seguintes ra-
dicais:
ul Vt' ,tE c) '&F , u^{z )W
b)'w,\T ál 1,6r, 'W , ^[a
i'3o , \J6 , í2
2 Reduza os radicais ao mesmo índice; a se-
guir, compare cada par de radicais usando os
sinais ) ou (.
u) 'W "'{Fz'X'
") 
Í,/# 
"Ví
s) {f {{ ''W
-. 6/-5 ól-2f) 1/- '.\/ h) Vaj ,'{{
4 Considerando os radicandos número.s reais
positivos, reduzaao mesmo índice os radicais:
uy ^[i+ 
y) ,{f,, +, i,' , ; ir'
Sabendo qrLe a e b são dois números reais po-
vos, escreva a exPressão literal que rePresen-
ta o resultado de:
u) lEuÉ ,{ "*
c) \[zu "W
b) '-iF' .'t/3" d) iIt' "'{f
il :113'
3 Efetue as oPerações indicadas'
,) 3.!To 'tTÚ
t- \ tã
b) ^l/ :1/
. Ll^ l^c) !J'1r d) "vf ,'\[{
55
b) ?,646 f{f* :
b) {7G + bt' ,'&fu - b)'
Resolva cada uma das seguintes equações:
a) ^,6i :6 e) 3"v[ : t2
b)!Tx-z :s 01çr+-r_e :'
c) ./2x+r :-3 g 1Ex+5 :!ç+B
d) 2"Ç : + h) 3"uDi : o
ne o conjur.rto solução da equação
xfl.
equação
rmine o número realxparaque se tenha
a
J: ___/ COm X * S. :.
{x-5
ô
o
oco
ôo
o
L
Consideremos, inicialmente,,a expressão 
#
considerando ,E : 1,732 (aproximacão com três casas iiecimais), vamos encontrar o valor
decimal da expressao -L:ís
11
5 : l,7n :0,577
Voltemos a considerar a expressao _L
í3
usando a propriedade da equivalência de frações, multiplicamos o numerador e o denominador
dessa fração pelo mesm o numero 
^,lT 
, calculando, a seguir, o valor decimal do resultado:
58
1,732
23
22
1
10000
13400
12760
o636
o,577
1,8
Como você pôde observar, as expressões -i e -li- são equivalentes e obtivemos o mes-í35
mo resultado na forma decimal: 0,577 . Porém, você deve ter notado que foi muito mais simples dividir
.'8 por 3 do que dividir 1 por lE.
Por esse motivo, usamos transformar a express ao 1., +, na qual o denominador év5 J
um númeroracional.
A essa transformação ou a uma transformaÇão desse tipo
damos o nome de racionalização de denominadores.
Veremos, entã0, alguns casos simples de racionalizaçáo de denominadores, que, como já sabe-
mos, consiste em transformar um denominador expresso por um nÚmero irracional em um denomina-
dor expresso por um número racional.
I Vamos tornar racional o denominador da expressão +
Se multiplicarmos o denomina dor ^[l 
pelo número JT, teremos:
i- i- i-2 1\l / '4/ :^l/' - /
Por esse motivo, dizemos qre 
^/7 
é o fator racionalizante da expressao -L.1t
Conhecido o fator racionalizante, vamos, entã0, multiplicar o numerador e o denominador da
expressão dada pelo fator racionalizante e teremos:
t t. ^[T ,T {T,T 'F Jt n'
expr e s s ão e quiv alente c om
denominador racional
2 Racionalizar o denominador da expressao .-!.
3J10
Se multiplicarmos 3.v[0 por ",,[C, teremos 3ú0 ,[0: 3 ' úat: 3 ' 10 : 30.
Entã0, dizemos que n4õ é o fator racionalizante da expressao --L.3í10
5.úo 5^[c - bm ^ho31ri0 ú0 3 ltõr - 3 )y -T-21
I
IL-------> expressão equivalente com
denominador racional
59
3 Escrever na forma mais simples a expressão
-----+ Aplicamos uma das propriedades dos radicais.
produto da soma pela
diferenca de dois termos
,tr
Considerando a expres ,ao E , o fator racionalizante éí3
,t, Jz ,T 76--/t Jt Jt 
^ls,
Vamos tornar racional o denominador da expressão .+, com a > 0.
),1 a.
Quando o índice do radical existente no denominador for diferente de 2, devemos ter um pouco
,T.
,tr
3
mais de cuidado para achar o fator racionalizante. Na expressão -!-,0 fator racionalizante
é dado por, l,/F- : 1ãs 
Ta'
Daíteremos:
Racionalizar o denominador da express ão -L.í3',
Nessa expressã0, o fator racionalizante é í3'/-5 : \T .
Daíteremos:
2t 2t.tlT 211a, 2t\B- z,Uy -t r^c
-
ísu ,l{ ,"h, ,{* e ,rE. I - / v-)
Vamos tornar racional o denominador da expressão -J-:V5 +"8'
Lembrando daregra dos produtos notáveis, observamos que:
(^,tr*rZ)(rtr _ NT): (r5 )' -(rT)':5- 2:3
expressão equivalente
com denominador racional
6
L*
2
3
60
expressão racional
5
Entã0, você nota que o fator racionalizante da expressão dada é (Jt - {r)
1 (Jt - {r) ,T-rT
(",/í* ,T) (-utr-rZ) (rtr)' -(rT)'
,T -rT J5 -JT
5-2
I > expressão equivalente com
denominador racional
l, Racionalizar o denominador da express ao 4. E2- "12
Considerando o exemplo anterior e observando a expressão dada, dizemos que o fator raciona-
lizante dessa expressão e (Z + "{r)
(z + "tr) (z + 
.,tÍ) 4+2J, +2nE +^[t
. .)
e)2 -l^12 )'
6+4J2
24-2
Z(t + 2^tr)
2
Colocamos o fator 2
em evidência no
numerador e
.simplificamos, pelo
cancelamento.
6
1,/ J
,tr
r
V5
b)
c)
z./s
_ t-"rí
t)
í93
expressão equivalente
com denominador racional
5 + 110
xy
5{x
xrf
yJ"
mais simples possível as
Y.i x
5
l'xY
c)
d)
E.+ e)
.F+o
115
5
",tw
JoÉ
(z - "tr) (z + ^tT)
4+2J, +zJT +2
L Torne racional o denominador das seguin-
tes expressões:
NE
àl : --:-
^le 
r
2rh o
3
2 Sabendo que x e y sáo números reais positi-
vos, racionalize o denominador das seguintes
expressões:
,xa)_
!X
b) --= t.LztrY 2Y
3 Escreva na forma
expressões:
3
10
rão
't0
4 Sendo 6 Vamos racionalizar o denominador de cada
uma das seguintes expressões:
a) --- l:- o\ ---4-3+^lZ 2"13 -1
na forma mais simples a expressão
+ JT.
"16 =.2,449 ^lT : t,+t+ JTo : 3,162
calcule o valor decimal das expressões:
,t>
"l+ 0632 c) -1-l!s vl\2"'
5 Racionalize o denominador das expressões:
al -! d)=g -:'^16' 'Vau
2
,íT + "T
7+^lz
Jt -nT
nT -"lT
Js + ^lT15b)n
vs
sEt
l+ sinnpLr{ican do axprq5tüqs con^ radiu,,i5 -Vamos usar as operacões com radicais já conhecidas para simplificar algumas expressões.
t Slmplif icar aexpressão -=' 3+í7 3-,17
r(s - "7) * 1(3 + HZ)(s*^/7X3-rZ)
3- [í +s+[í
^ , 
-.)(3)' - (Jz )-
+, calcular o valor de x - Y'
ú8 ",tr -+
,Eo -+ G-4
,T J,
2"tT z"{T
^lz' z
9-7
2 Sendox:.,/3 ,6êy:
x-y:vt3 v"6 : ,ti8 -
tT
,T 'rT
3 Simplificar a expressã o Jz - -12:I _J''
t; ,T lz(t-"lz)-^lz
^l 
,vÉ t-^lz l-"tT
-z(t + {T)
r^
- 12'
t- nT
-2 - 2"'tT
-2
1- 12
-2 - 2"[,
I- Qual é o número inteiro que se obtém quan-
do simplificamos a expressão
3-v3 3+13
2 Qual é o resultado da multiplicação?
( z+3Jt ) ( z- 3Jt )
[--:r-)l--o-)
3 QuaI é a forma mais simples de escrever a
expressão a seguir?
1o"lT .ç,lT + 4T . "lT - zl 
)i'
102: 100
Potân cias con^ ax(toanta- rclctonc^|,
(t - "',U) (t + ^,tr)
-2 - 2^[, :2 + 2"[,
- .) .)
(t)' - l4z )' (r)'- (rT)'
4 Calcule a soma.
1-r+E - 2-"JT
5 Simptifique a expressão.
/\19-.í^rt-r*-J-Iz ["" JT-t)
6 Qual é a forma mais simples de escrever
tt-2-uí,1/.) -f 
--T
Yv z- "f z+ v't
I
J
7
Nos capÍtulos anteriores, estudamos expressões da forma !02,6-r e 20, que são potências
com expoente inteiro cujo significado já conhecemos, ou se1a:
Qual será, entã0, o significado de uma potência com expoente fracionário, como, por exemplo,
2
aexpressão2a?
Consideremos um número real x, tal que * : {t .
Usando a definição que já vimos anteriormente, escrevemos:
x:423 =x4:23 O
63
6-,: a
b
20:!
72.
xa_rclcl05
-1
3
Consideremos, entã0, um número real y, tal que y : ZT .
Se elevarmos os dois membros à 4e potêncía, teremos:
33
y:27 + y4: (27)a = ya:23
Comparando O e @, obtemos:
Daí, podemos escrever:
*o : r'i
Yo :2')
l.Ã
=x':y'=X:y.-\._
t_
Como os expoentes
são iguais, as bases, positÀras,
também são iguais.
2
2+:il23
20u^lzro :24:2s
0 mesmo podemos fazer quando temos, por exemplo:
12 30
f 3.,it012 : 10T ) i,,,'730 :2i
5
) X25 :27
2
) 1/102 : 1oT
1
) xF :57
?
) 64 : í63
Consideremos, agora, o radical W
Como o radicando 220 pode ser escrito na forma (2a)5, podemos fazer:
Ocorre que o expoente 4 pode ser escrito na forma +0, +são numerais do mesmo nrr.ro).
w:?JQof
Você observou que, nos exemplos dados, o expoente do radicando e múltiplo do índice do radical.
Porém, procedemos dessa maneira mesmo quando isso não ocorre, ou seja:
Ã
) t/35 :37
Aexpressão, T, com a e R*, me z,n=Zl, que representa Va, , ou seja: u*: rtã, .
0bservacões
l.Todo radical pode ser escrito na forma de potência com expoente fracionário:
1
) x[0 : loT ^-2) V5z :53
2.Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita na forrna de radical:
1
) 2.:\T
64
Pro qE das ahu0,5 COll^ ta- racional,
Produto de potências de mesma base:
1111 325
62.63:62 3:66 6:66
Quociente de potências de mesma base:
1 2 1_2 5 - 6. -110T:105:103 5:10 15 15:10 15
Potência de uma potência:
Como aplicação dessas propriedades, vejamos os exemplos a seguir:
1
Qual é o valor da expressão 125 
3 ?
Decompondo 125 em fatores primos, encontramos 125 : 53.
1 1 4. 1
l2ST: (53)T: 5' z :51 :5
1
Logo:1253:5.
Qual é o valor da expressão Blo'75?
lnicialmente,fazemos 0,75 :# : +V
Decompondo 81 em fatores primos, temos 81 : 34.
Logo: 310'zs : 27.
1
Qual é o número real expresso por 36 2 ?
Decompondo 36 em fatores primos, encontramos22'32 : (2'3)2 :62.
I I "( 1)
36-; : (621-i : O' l-;J : 6-' : 1
-t ', 
" - 6
Logo:36 ' : t.
25
Determinar o valor da expressãto27 3 + 42 .
2525
27a + 4z : ({)z + (/)z :
:32 + 25 :9 + 32: 47
25
Logo'.273 + 42 :41.
As mesmas propriadades
que jó estudomos poro
expoen!es infeiros volem Poro
os potêncios com exPoente.
65
1
2
3
4
r
Escreva na forma de potência com expoente
cionário os seguintes radicais:
3 Escreva na forma de potência de 2:
5 Sabendo que x é um número real positivo,
escreva sob a forma de uma única potência de "r
11 
I
a expressão x 2 x 3 . A seguir, escreva a ex-
pressão obtida na forma de radical. 
^ '' 6,F
(6 Escreva na forma de potência única de 3:
1
c) 276
5
cL)9+
4 Determine o valor da soma.
a) 7^[f . e) u,lz
-. ô/:f) í5
1
26
1
5e10
2
l3
a) 5" is'
5
b) g' ,35
3
c) 10 n ,,oa
1
d)zz ,7
11
a) 25 '22
33
b) 24 2
") 2n 
.2
g) "vT1
h) \tF
e) 63
f) 87
3
8) 6',
4
h)7e
3
d) +a
2
e) 163
-1
z''- f) e-2) 4 , :
1
/ I \r
al (sT/'
27
b) 3 3 ;3 6
1
6
4 Determine o valor das potências:
4
a) 8 3 16 b) 2560,2s +
L Qual é o resultado da multiplicação?
3c) 647
2 Sendo u I 0, qual é a forma mais simples de
-a^esCrever i-- (;6
XJa
3 Sendo a: "lr4 eb : fl36 , pede-se:
a) a forma simplificada do número b. , o
b) o valor do produto a .b. tz
5 Qual é o valor do número real x das
dades?
5r?
igual-
a) .,lT+x: ^,lT d 1,12 .x:2,
b) "lT '*:J6 ü{.tT :'41,
6 Sendox : 1 - "Ee y 
: 
"T - 1, calculeonúmero real que expressa o valor de x2 - y2. ,.
d) J25 ,:
2 Escreva na forma de radical cada uma das
seguintes potências com expoente fracionário:
24
1
7 Escrevaa expressão [(1, )']t .u forma de
potência. r o-
Qual é.a fração que corresponde à potência
-u,57 1'25
€) Considerando as variáveis números reais po-
sitivos, escreva a expressão algébrica represen-
tada por:
LO Determine o valor da expressão numérica.
66
7 Qual é o valor que você encontra quando
simplifica a expressão seguinte? 4t 12 1,s
i,F, sendo a um número real posi-
: 4 ab , sendo a eb nímeros reais
' ab, sendo a e b números reais po-
.;1ffi:,
tivo.
d) i,f 1E
positivos.--
e) Va'b' :
sitivos. o 
" 
e€! Usando os produtos notáveis e a fatoração,
simplifique a fração
1
2x-2y ,ondex * 
y.
I Calcule o valor da expressão.
11
gT+764 _(_Z)z+
Qual é a expressão algébrica que expres-
uadrado a" í 'Eu - J-). sendo a um\ za)'
número real positivo? f,6 - +
L L Duas das expressões seguintes são verda-
deiras. Indique quais são elas.
,l fit +d :al-b,sendo nebnúmerosreais
positivos.
3
b) aT : a^lí,sendoaumnúmerorealpositivo.
L2 Simplificando a expressão
urã"- + r.rãÇ, qual a expressão algébrica
que você vai obter sabendo que a > 0 ex> 0?
2axr:r
L3 Qual é o número inteiro que você obtém
quando simplifica a expressáo
3',fo- ='[ ? oJ10 -3
I"4 Determine o valor da expressão
271
273-16r-42.t
L5 Calcule a soma.
8+l
ru 6r/3
Parcelas a deduzir (R$)
Até 10 800,00
Aoima de 1O800,O0 até 21 600,ü) 15"/o 1 620,00
Acima de 21 600,00
Observando a tabela progressiva, calcule:
O imposto devido pelos contribuintes Á e B
relacionados ao lado:
': . r,
27,5"/" 4320,00
Contribuinte Base de cálculo (R$)
A 16 800,00
B 23 460,00
, O valor da base de cálculo para um contribuinte C, sabendo que o imposto devido é
R$ 3 930,00. R$ 30 ooo,oo
(t+2,/í)' * O.lT)' - xqp + ^8160
Ír.tona,
18
.i?
1
^lzs + --=í3
JnloÍ^or,o,o
Iabela progressiva anual para o cálculo do imposto
Base de cálculo (R$) Alíquota
Veja a seguir a tabela progressiva Para o cáIculo anual do imposto
de renda de pessoa fisica2002, ano-base 2001:
67
sotttoonâ::::::,:?:::",":i!i7',-u-nr*enà
ab\\bn\o 
s' ee 
i' ),uáú "^ 
o u 
\":: :." ^ 
o o e qu a çõ e s à e 2e n ru ui .- 
" "' u u P'o b t 
",n 
-
'''^n'^i malo 
oornune 'n:u:"'u- de+^''
#i$t::" ::#:Í;:;::';":;:n,:i,;iiiretângulo cc -"'l tÇbt
Í\s r"-- )aÀaa ,,ttc c?,,tr't ..*^'::?-'londiam"uiiÁ,(r*"ros daàos, que eram aem?re naturaie.
I
)
ó
,9
ó
J,;lÀtol3
Li&
da-Le f Crúl
lLLymçao d
CoA^ tt0^a i
Considere a situacão:
A figura seguinte representa parte da planta de um escritirrio. As duas salas quadradas e o
corredor retangular têm, juntos , 40 m2 de área. Cada sala tem x rnetros de lado e o corredor tem 1
metro de largura. Qual é a medida x de cada sala quadrada?
Aárea de cada sala é dada por x2. Aárea do corredoré dada por 1 . 2xou2x.
De acordo com os dados do problema, podemos escrever a equacão:
2f + ?L: 40
II área do corredor
lI arc s duas salas
Obtivemos uma equaÇão que não é de 1e grau na incógnita x (que você já sabe resolver), pois
existe um termo em que a incógnita x se apresenta com expoente 2.
Equações desse tipo são denominadas equacões de 2e grau com uma incógnita.
Denomina-se equacão de 2o- grau na incógnita x toda equacão da forma
ax2 + bx + c : 0, onde a, b, csão números reais e a # 0.
Exemplos:
I 2x2 +2x- 40:0éumaequacão de2egraunaincógnitax, onde à:2,b:2e c: -40.
2 x2 - 7x+ 10 : 0 é uma equaÇão de2egrauna incógnitax, onde a : 1, b : -7 e c : 10.
3 5y'-7y + 2:0éumaequacãode 2egraunaincógnitay, ondeâ:5, b: -7 ec:2.
4 -t2+ 4t-4:oéumaequacãode 2egraunaincógnitat,onde a- -l,b: 4ec: -4.
5 6xz - 9x:0éumaequaçãode2lgraunaincognitax,onde â:6, b: -9êc:0,
6 x2 - 25: 0 é uma equacão de 2egrau na incógnita x, onde à: l, b : 0 êc: -25.
Nas equações de 2o- grau com uma incógnita, os números reais a, b e c são chamados coefici-
entes da equaÇã0. Assim, se a equacãofor na incógnita x, temos:
a é sempre o coeficiente do termo em x2
b é sempre o coeficiente do termo em x
c é o coeficiente ou termo independente de x
Pela definiÇã0, devemos ter sempre a + 0. Entretanto, podemos ter b : 0 ou C : 0.
Assim:
) Quando b + 0 ec+ 0, a equacãode 2egrau sediz completa.
Exemplos:
1 5x2 - 8x + 3:0éumaequaçãocompleta(a:5, b: -8ec:3).
2 y2 + !2y + 20 : O é uma equacão completa (a : 1, b : 12 e c : 20).
) Quando b : 0 ou c : 0 ou b : c : 0, a equaÇão de 2sgrau se drz incompleta'
Exemplos:
1 x2 - 81 :0 é uma equaÇão incompleta (a: 1, b:0 0 c: -81).
2 10t2 + 2t:0 é uma equaÇão incompleta (a: 10, b:2 e c:0).
3 5y' :0 é uma equacão incompleta (a : 5, b : 0 e c : 0).
A contrÍbuição de VÍête e
O francês François Viête (1540-1603), conhecido como o "Paí
da Álgebra", foi quem introduziu os símbolos na Matemática,
substituindo palavras por símbolos. Assim, Viête passou a
representar:
a incógnita por uma vogal
apalavramals pelo símbolo p (do francêsplus) eapalavtamenos
pelo símbolo m (do francês moins); o traço sobre a letra indicava
que ela estava sendo usada como símbolo matemático
no caso da equação de2e grau, usava a palavra "área" para
indicar "quadrado"
Descartes
wo,çao connytLeta e y[açao lÍlco/v\
71
Assim:
Nossa linguagem
)^x' :9
2x2-5x+2:O
Nossa linguagem
x2 :9
2x2-5x+2:0
L Escreva no caderno as equações que são de
2e grat com uma incógnita:
a) gx2- 5x * 1 : 0 e) 4x2- x : 0
b)10x4-3x2+1:0 Í) gx2 -1:0
c) 2x- 3:0 g) 2xa * 5:0
d) -x2-3xr 2:o h) ox2-5x+6:o
eolraccesa a e:
2 Todas as equações seguintes são de 2e grate
estão escritas na forma ax' + bx * c : 0.
Nessas condições, identifique os coeficientes de
cada equação:
Linguagem de Viête
Aárea éiguala9
A2ârea mA5 F 2éigtala0
Linguagem de Viête
A área é igual a 9
A2área-A5+2éiguala0
3 Escrevaaequação ax2 +bx* c:0,quando:
Mais tarde, Viête adotou o símbolo + para substituir p e o símlbolo - para substituir m.
Assim:
A passagem Para a álgebra simbólica, iniciada por Viête, foi cornpletada por René Descartes
(1596-1650), que praticamente criou a notação que rriamos até hoje.
Descartes introduziu o uso das últimas letra.s do alfabeto para representar as incógnitas, o sinal: para substituir a palavra "ig:ual" e o símbolo xz para substituir u puiurrr, ,,âtea,,.Assim,
Aáreaéigualag 
- 
ficou 
- 
x2:9
A2área - A5 + 2éiguala} 2x2 - Sx+ 2: O
a)10x2+3x-1:0
b)x2+2x-B:0
,)y'-3y-4:O
a)7p'+10p*3:0
e) -4x2 *6x:0
Í) 12- 16:0
g)-6x2*x-t1:0
h) 5m2 - 10m:0
b:6, c:9 or-9=o
b: -6, c:2 4x 6r-2-L
b:0, c:-25 -. h o
d)x2-x-72:O
e) 9x2 - 4:0
f) 7x2 *14x:0
a) a: 7,
b) a:4,
c) a: 4,
d)a:-27, b:7, c:0
1,^1e)a:2, b:-2, a:-3
Í) a:-), b:0, c:1
g)a:1,5, b:7, c:0,2
Identifique) como corrrpleta ou incompleta a
equação de 2e grau:
a)x2-7x*10:o
b) -2x2 + 3x - 1 :0
c) -4x2 * 6x ,= 0
72
rncompleta
Lgcrevqndo wt^ot aqwaçao dele Sraw
con^ tltu^a incóqnilã na 5ulo, lornna nortval,
Essas equaÇões estão escritas na forma ax2 + bx + c : 0, que é denominada forma normal ou
forma reduzida de uma equação de 2e grau com uma incógnita.
Há, porém, algumas equacões 6s le grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c : 0,
como por exemplo:
Observe as seguintes equações 6s)egrau com uma incógnita:
x2-5x+6:0 y2-25:O -3t2+4t-1:0 -2x2+8x:0
x-4
equação dada
reduzimos todos os termos ao mesmo denominador
eliminamos os denomin adores pelo princípio multtplicativo
aplicamos a propriedade distributiva
pelo princípio adit:o
forma normal da equação dada
3x2-6x:x-3
Por meio de transformações, nas quais
equaÇões podem ser reduzidas a essa forma.
21
-:x2
aplicamos os princípios aditivo e multiplicativo, tais
Veja os seguintes exemplos:
1 Dada a equacão 2x2 - 7x + 4 : I - x2, escrevê-la na forma normal.
2x2-7x+4:!-xzequação dada
aplicamos o princípio aditrvo
forma normal da equação dada
2x2-7x+4-1+x2:0
3x2-7x+3:0
2 Qual eaformanormal daequaÇão Qx+ 3)2:10-(x+ 4)(x-2)?
(2x + 3)2 : 10 - (x + 4)(x - 2) , equaÇão dada
4x2 + t2x+ 9:10 - (x2 + 2x - 8)
4x2+!2x+ 9:10 - x2- 2x+8 - 
,' eliminamososparênteses
4x2+l2x+9:-x2-2x+18
4x2 + X2+ 12x+2x + 9 - 18:0 ..,=+ petoprincípioaditivo
5x2+ l4x- 9:0 + formanormaldaequaçãodada
3 Escreveraequação + - +: l+, (comx + 0ex + 4) na suaforma normal.
2 _ 1_ x
x 2 x-4
4(x - 4) - x(x - 4) : 2x2 ____________>
2x(x - 4) 2x$ - 4l
4(x-4) -x(x -4):2x2
4x-16-x2+4x:2x2
-x2+Bx-16:2x2
-x2-2x2+8x-16:o
-3x2+8x-16:0
73
- xarctclo5
f) +: i+
I- Escreva na forma ax' + bx t c : 0 (forma
normal) as seguintes equações de 2a grau:
a)x2- 1:x*11 x \ 12:a
b)x'-7x:6-2x x 5r-6:o
c)x(x-3)+(x-1)(x-4):O 2,, . .::o
d) (x - 3)2 + (x -l 2)2 : lO 2x' - 2r .,:o
") 
*': I"' *
2x2-5x:0
g) x-3 : --3*,(com x* 4) x2-rox +12:ox-+
h)-+, *-l . : -:*' ,(comx*-7e' x-f1 x-1 x'-7 /\!v.r"t
x*7) 4x2+1:o
2 Em um retângulo de área 60 cm2, a medida
do comprimento é expressa por (x f 2) cm e a
medida da largura é expressa por (x - 5) cm.
Escreva na forma normal a equação de 2a grau
que se pode formar com essqs dados.
x2-3x-70:o
A átea de um retôngulo
é calculada multiPlicando-se 
a
" 
nrl'dida do com"Yimento Pela
medidq da largura'
3 Preste atenção no que Rosa está dizendo.
Escreva na forma normal a equação de 2q grau
que se pode formar com os dados que Rosa apre-
SentOU. r +2x-3b:0
4 Amedida do lado de um quadrado é expres-
sa po{ (2x - 1) cm e a ârea desse quadrado é
25 cm'. QuaI é a equação de 2a grau, na forma
normal, que se pode obter com os dados deste
problema? 4x2-4r 24:ooux2 x 6:o
5 O número de diagonais de um polígono
pode ser obtido pela fórmula d : n(n-- 3) .
2
Sendo d : n0, escreva, na forma normal, a
equação de 2a grau na incógnitan que se pode
Obtef. ir' - 3n 2o = o
1.
23r
2x
10
f C^ll
Você já sabe que resolver uma equacão significa determinar o conjunto solucão dessa equacão.
Na resolucão das equacões incompletas de 2s grau, usaremos a fatoracão, quê você já apren-
deu no ano anterior, e duas propriedades importantes dos números reais:
Sendo xe ydois números reais quaisquer e X . y : 0, então, x : 0 ou ! : 0.
Sendoxeydois números reais quaisquerex2: y, ofltão, *: *.,/y ou X: -rf
O guadrodo de um número
oume.ntodo do tríplo_
desse número
é, igual
ao próprio
númaro mois
35.
74
Refil,vendo e waçÕes d,a [orma c^x' + hx = o
Observe os exemplos:
I Resolver a equaçã o x2 - 9x : 0 no conjunto IR.
x'-9x:o
x . (x - 9) : 0 --------------> coÍocamos x em evidência
Pela propriedade dos números reais, temos:
X:0
OU
uma raiz da equação
x - 9 : 0 + X : 9 -------------+ outra raiz da equação
Logo, S : {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equaÇã0.
No conjunto R, determinar o conjunto soluÇão da equaÇão (x - 2)2 : 4 - x' (x + 3).
(x-2]r2:4-x'(x+3)
Vamos, inicialmente, escrever a equação na sua forma normal:
x2-4x+4:4-x2- 3x
x2+x2-4x+3x+,4-,4:0
2x2 - x:0 formanormal
x' (2x - 1) : 0 
- 
colocamosx em evidência
x:0 umaraiz
ou
2x-l:O + 2x:! -----------> 1x: i 
-------------> outraraiz
Logo, t : 
{0, +}. os números o , isão as raízesda equação.
Um número real é tal que seu quadrado é igual ao seu triplo. Qual é esse número?
Representando por x o número procurado, podemos escrever a equaÇão:
x2:3x
x2-3x:o
x(x-3) :0
x:0
OU
X-3:0 --------------> X:3
75
Logo, o número procurado e 0 ou 3.
2
3
ReEoÍ,ve ndo a- u,açóet da
Observe os seguintes exemplos:
I Resolver a equacão x2 - 49 : O no conjunto R.
x2- 49:o
x2 : 49 peto princípio aditivo
Pela propriedade dos números reais, temos:
x:+J49 ouX: -.r[qg
x: t7 ou X : -7 Podemos escrever x: *7
Logo, S: {-7, 7} e os números 7 e -7 são as raízes da equacã0.
2 Qual é a solucão da equação l6x2 - 1 : 0, no conjunto R?
pelo princípio aditivo
pelo princípio multiplicaüvo
- 
pela propriedade dos números reais
,':+
\,_] 1"- - 4
Logo, t : {-+,+} e os número, -+ e } sao as raízes da equação.
3 Determinar os valores reais de xpara que se tenha 3x2 - 60 : 0.
Como todos os termos da equacão são divisíveis por 3, vamos simplificar a equacão dividindo
todos os termos por 3:
3x2 - 60 : 0 -----------+ lÉ - g : g ---.-----> x2 - 20 : o
xz:20 
3 3 3
Y: +'r,N
Como l0 não apresenta raiz quadrada exata, vamos simplificar o ,riadical:
x:+"r,72.5:t2!"5
Logo, s : {-2"8,2"8} e os números -2",,8 e +2^,8 são as raízesda equaçã0.
76
CüL + C = O
Determinar a solução da equação x2 + 4: 0 no conjunto re.
x2 + 4:0
x2:-4+x-t.E
Como ^t4 não existe no conjunto 
R, não temos valores reais para x.
Logo, S : Ae a equação não tem raízes reais.
Vamos resolver, no conjunto IR, a equaÇáo(2y + 1)2: B + 2'(2y + l).
lnicialmente, vamos escrever a equaÇão dada na sua forma normal:
(2y+ 1)2:8 +2(2y+l)
4y'+4y+l:8+4y+2
4y'+4y+l:10+4y
4y'+rí- +1-10:0
4y'- 9:0 
---------+ 
formanormal
4y' : 9 peto princípio aditlo
,9Y': 4
tqv: t!Í =
Logo, t : {-+ +} e os númerot -+ , + são as raízesda equaÇã0.
6 Aárea de uma praca quadrada é144 m2. Quanto mede o lado dessa praça?
lndicando por x a medida do lado dessa praca,
podemos escrever a equaÇão:
x2 :144
v: +J144
x: *12
Como a medida de um lado não pode ser um
número negativo, a solução x - - 72 náo serve para
o problema.
Logo, a medida do lado da praça é L2 m.
pelo princípio mulüplicativo
,3Y: tZ
:
:
H
:
-
I
77
xarclclos
I- Determine, no conjunto [R, o conjunto solu-
ção das seguintes equações:
a)x2-6x:0 10,6i g)'8x2-6x:0 : 
I
b)x2-16:0 .r,.1 h)-4x2*12x:0 íi3
c).x2 - 1 : o
d) x2 + x:0
1) 6x2 -x:0
j) x2-18:o{
e)7x2-2x:o ]'flu rcf :e J +l
f) x2+ 49:O m)-20x2-5x:0
2 Determine o conjunto solução das equações
de 2e gratt, sendo IJ : [R:
a) (x - 6Xx + 5) + x:51
b) x2 + 3*.(* - 12) : p
c) (x-3)2:5x+9
d) 2x(x + 1) - x(x + 5) :3(12 - x)
e) 5x(x + 1) + (x- 4)2 : 16 + 3x
f) gx-*:0,(comx*o)
1-,x-5g, t+ 4 
: 
2
x8'tl) ,, : . +-L,(comx*_ 1ex*1)x-rt J I-x
i) +1 *1: 1-,(comx*-2ex*2)x'-4 x-z
3 Em um quadrado, o número que expressa a
área é igual ao número que expressa o períme-
tro. Sendo x a medida do lado desse quadrado,
determine o valor de x. 4
4 Determine um número real x tal que o seu
quadrado seja igual ao seu quíntuplo. o ou 5
5 Do quadrado de um número real x subtraí-
mos 12, obtendo o número 109. Qual é o núme-
ro real x? -11 ou 1i
o número realy para que se te-
v-v'
-Y- 3 'oor7
., z 1-x 5 1)) * ---Z-:ã- *
7 Ql;.al deve ser o valor do número rcalt para
que sejam iguais as expressõ s t2 + -2t 
+ 1 
e
t2 +Zt+6 ? "-ô -_
J
€3 O quadrado e o retângulo abaixo têm áreas
iguais.
Pede-se:
a) a medida do lado do quadrado r0 crr
b) a medida da largura do retângulo cm.
c) o perímetro do quadrado 40 cm
d) o perímetro do retângulo cm
€) A área do retângulo é 399 m2. As medidas
do retângulo estão indicadas na figura. Deter-
mine essas medidas. 21 T e 1e m
LO As seguintes equações são literais de 2a
grau na incógnita r. Resolva cada uma delas.
a) x2 - 25a2: o , 5a ,:,1
b)x2-3bx:0 ,,..
d 2x2 I ax:2ax i, -
d) (x + a)(x - a) :36m2 - a2 i,-- .r-
e) (x - a)2 + (x -t a)2 : 1gu2 ,, 2z 2a
2x
78
5
-x6
Baseado na interpretação geométrica dada pelos gregos à expressão (a + b)2, o matemático
árabe alKhowarizmi, no século lX, estabeleceu um processo geométrico para a resolucão de equa-
ções de 2e grau com uma incógnita.
lnicialmente, observamos a figura que é a re-
presentação geométrica da expressão (a + b)2.
Pela figura, vemos que:
(a+b)2:a2+2ab+b2
A interpretação geométrica é:
área do quadrado de lado a
Baseados nessa interpretaÇão, acompanhe-
mos as situações a seguir, que mostram como
al-Khowarizmi desenvolveu seus estudos.
Matemático e astrônomo,
al-Khowarizmi viveu entre 780 e 850. A
maioria de suas obras são conhecidas de
forma indireta ou por traduções feitas
para o latim. EIe escreveu uma aritmética
com exposição completa sobre os
numerais hindus e um tratado de
Álgebra. Essas obras exerceram enorme
influência na Europa do século XII,
. quando foram traduzidas para o latim.
lE