Movimento Circular Uniforme e Uniformemente Variado

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FÍSICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Tadeu Carvalho
assunto: MCu e MCuv
frente: FísiCa i
005.511 – 131455/18
AULAS 07 A 09
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Movimentos Circulares
Para deduzir as equações desse movimento, iremos utilizar 
sistemas de coordenadas polares, onde a posição de qualquer ponto 
é dada por r e q.
ˆ . ˆθ = i r
θ
θ
r
r
P
traj.
^
^
Lembre-se que:
iθ= =
�
ˆ. .ˆ ˆr r r e r e i
operador vetorial
Logo: r r e ii
� �= . .θ
Assim, podemos calcular a velocidade da partícula:
v
dr
dt
v
d
dt
r
v
dr
dt
d
dt
e
v
dr
d
i
i i
�
�
� �
� � �
�
= = ( )
= + ( )
=
, . e i
. e . i r . . i
θ
θ θ
tt
r
d
dt
i e
ou
v
dr
dt
r
r d
dt
v v
i i
r
. e . i . . . i
.
.
.
θ θθ
θ θ
� �
� �
�
�
��� ��
�
+
= +
↓ ↓��
θ
Foi demonstrado que a velocidade da partícula tem duas 
componentes:
vr
�
 (componente radial, na direção de r� ) e v
�
θ (componente rotacional, 
na direção de θ� ).
traj.
0
r
v θ
v r
v
θ
P
Onde v
�
 é sempre tangente à trajetória.
Supondo uma trajetória circular com centro em O, temos que 
r cte
dr
dt
= → =��� 0.
Assim: v e v vr
� � �
= =0 θ (movimento circular)
Logo: v r
d
dt
ou v r
� � � �= =. . . .θ θ ω θ
onde: 
d
dt
θ ω= (velocidade angular)
v
r
θ
0
r̂
θ̂
Para obter a aceleração desse movimento, basta calcular: 
a
dv
dt
�
�
=
a
d
dt
d
dt
i e i
a
d
dt
r i e i
d
dt
r i e
i
i
� � �
� �
�
= ( ) = ( )
= +
ω θ ω
ω ω
θ
θ
. r . . r .
. . . . . ii
i
i
a
d
dt
r r
d
dt
e i
θ
θω θ ω
�
� � �
( )
= + ( ). . . . . i .
θω θ= θ + ω
�
id d ˆˆ .. . . . . . .a r r i e i i
dt dt
ω
a
d
dt
r r r
a at cp
� � �
� �� �� ��� ��� �
= −ω θ ω. . . .2
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Módulo de estudo
005.511 – 131455/18
A aceleração de um movimento circular pode ter duas 
componentes:
at
�
 (aceleração tangencial), na direção θ� .
acp
�
 (aceleração centrípeta), na direção r� .
θ^
r
a
t
a
cp
^
onde: 
a
d
dt
d
dt
acel angular
a r r
t
cp
� �
� �
= = ( )
= −




ω θ ω α
ω
. r . , .
. .2
Finalmente: d r
a r
t
cp
��
��
=
=
α
ω
.
.2
a a a at cp
� � � �2 2 2
2 4= + → = +α ω . r
Movimento Circular Uniforme (MCU)
Nesse movimento, temos a = 0 ou d
dt
ω = 0 ou ω = cte 
(cte = constante), logo: 
v r v r cte
� � �= → = ( )ω θ ω. . .
a r at t
� �= → =α θ. . 0
a r a r ctecp cp
� � �= − → = ( )ω ω2 2. r . .
Se a = 0, ω = cte:
d
dt
d dt
tθ ω θ ω
θ
θ
= → =∫ ∫
0 0
. (supor t
0
 = 0)
q – q
0
 = ω · t → q = q
0
 + ω · t Se t0 = 0
ou
q = q
0
 + ω · (t – t
0
) Se t0 ≠ 0
Como esse movimento é repetitivo (periódico), podemos 
calcular a frequência e o período:
T = Dt
1 volta
 e t = θ θ
ω
− 0
1 volta = 2π rad
T e f= =2
2
π
ω
ω
π
Movimento Circular 
Uniformemente Variado (MCUV)
Nesse momento, α ω= =d
dt
cte, logo:
d
dt
d dt
tω α ω α
ω
ω
= → =∫ ∫
0 0
. (supor t
0
 = 0)
ω – ω
0
 = a · t → ω = ω
0
 + a · t Se t0 = 0
ou
ω = ω
0
 + a · (t – t
0
) Se t0 ≠ 0
ω θ θ ω= → =d
dt
d . dt
dq (ω
0
 + a · t) · dt (supor t
0
 = 0)
d dt t dt
t t
θ ω α
θ
θ
0
0
0 0
∫ ∫ ∫= +. .
θ θ ω α− = +0 0
2
2
. t
t
ou
θ θ ω α= + +0 0
2
2
. t
. t
 Se t
0
 = 0
ou
θ θ ω
α
= + −( ) + −( )0 0 0 0
2
2
t t
t t
 Se t
0
 ≠ 0
Analogamente ao MRUV, é possível obter cinco equações para 
o MCUV que relaciona as seguintes grandezas:
ωo
t
t
0
∆θ
ω α
0
Dq → Deslocamento angular
Dt → Variação do tempo
a → Aceleração angular
ω → Velocidade angular final
ω
0 
→ Velocidade angular inicial
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Módulo de estudo
Equações ∅
ω = ω
0
 + a · Dt Dq
ω2 = ω2
0
 + 2a · Dq Dt
Dq = ω
0 
Dt + 
1
2
a · Dt2 ω
Dq = ω ·
 
Dt – 
1
2
a · Dt2 ω
0
∆
∆
θ
t
= 1
2
 (ω
 
+ ω
0
) a
Exercícios
01. (ITA) Um carro partindo do repouso percorre um arco de 
círculo de raio R, com aceleração tangencial uniforme. 
Depois de percorrer a distância S
1
 na curva, o carro atinge a 
velocidade V
1
. Nessas condições, a velocidade do carro no instante 
em que percorreu a distância 
S1
2
 contada do ponto de partida é:
A) 
V1
2
 
B) 
2
3
1V 
C) 
V1
2
 
D) V1 2 
E) V1 
02. (IME) Um ponto P tem um movimento de trajetória circular com 
sentido igual ao dos ponteiros do relógio. O arco descrito tem 
para equação S = 3t2 + 1,85 t, sendo S em metros, para valores 
de t em segundos. Sendo de 10 m o raio de trajetória, no instante 
em que t = 2 s, a componente da velocidade segundo o eixo 
coordenado x será:
y
P
R
θ
V
x
A) +1,385 m/s 
B) nula
C) +1,57 m/s 
D) +13,85 m/s
E) +15,7 m/s
03. (ITA/1972) No movimento circular uniforme de uma partícula, 
considerando-se como vetores as grandezas físicas envolvidas, 
podemos afirmar que:
A) força, aceleração, velocidade tangencial e velocidade angular 
são constantes.
B) aceleração, velocidade tangencial e velocidade angular são 
constantes.
C) velocidade tangencial e velocidade angular são constantes.
D) velocidade angular é constante.
E) nenhuma das grandezas é constante.
04. (ITA/1974) Uma partícula descreve um movimento circular de 
raio R, partindo do repouso e com uma aceleração tangencial 
a
T
 = cte. A relação entre a aceleração centrípeta aC e a aceleração 
tangencial 
a
a
C
t
 é:
A) 
a t
R
T
2
 
B) 
R
a tT
2
 
C) 
y
R
2
 
D) 
a t
R
T
 
E) a t
R
T
2
 
05. Dois ciclistas partem de um mesmo ponto de uma pista circular 
de raio igual a 100 m, no mesmo instante e em sentidos 
contrários. Suas velocidades escalares lineares valem 2 m/s e 3 m/s. 
Após quanto tempo eles se encontrarão pela primeira vez?
06. Às 12 horas, o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos de um 
relógio se sobrepõem. Depois de quanto tempo ocorre a próxima 
sobreposição?
07. (ITA) Acima de um disco horizontal de centro O, que gira em 
torno do seu eixo, no vácuo, dando 50,0 voltas por minuto, estão 
suspensas duas pequenas esferas, M e N. 
A primeira está a 2,00 m acima do disco e a segunda a 
4,50 m acima do disco; ambas em uma mesma vertical. Elas são 
abandonadas simultaneamente e, ao chocar-se com o disco, 
deixam sobre ele pequenas marcas, M’ e N’, tais que o ângulo 
M’ON’ é igual a 95,5º. Podemos concluir que a aceleração de 
gravidade local vale:
A) 10,1 m/s2
B) 49,3 m/s2
C) 9,86 m/s2
D) 11,1 m/s2
E) 3,14 m/s2
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Módulo de estudo
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08. (ITA/1984) Na figura, vemos dois discos finos, separados de 
1,10 m, presos a um eixo e postos a girar a 1800 rotações por 
minuto. Qual é a velocidade de um projétil atirado paralelamente 
ao eixo se os furos ficarem a 18º afastados?
A) 1.800 m/s B) 183 m/s 
C) 180 m/s D) 660 m/s
E) 1.320 m/s
09. (IME) A velocidade angular de rotação da Terra, em rad/s, vale, 
aproximadamente:
A) 7,3 . 10–5 B) 7,3 . 10–4
C) 0,26 D) 0,52
E) 15 . 10–5
10. (ITA/1968) Em um relógio, o ponteiro dos minutos se superpõe 
ao ponteiro das horas exatamente às:
A) 6 h e 355
11
 min B) 6 h e 
358
11
 min
C) 6 h e 
360
11
 min D) 6 h e 
365
11
 min
E) 6 h
11. (IME) Uma partícula, partindo do repouso, percorre uma 
circunferência de raio igual a 12 cm. O módulo da aceleração 
angular de seu movimento vale 1,0 rad/s2. Podemos concluir 
que o módulo da aceleração linear total, no instante t = 1,0 s, 
é de:
A) 4,0 5 cm/s2 B) 12 2 cm/s2
C) 2,0 12 cm/s2 D) 4,0 2 cm/s2
E) 12,0 cm/s2
12. (FEI) Um ponto material está em movimento em uma circunferência 
de raio 2,00 m, obedecendo à equação horária dos espaços: 
s = 2,00 – 5,00 t (em unidades do S.I.). No instante t = 10,0 s 
sua velocidade linear e sua aceleração vetorial têm intensidades 
dadas, respectivamente, por:
A) 0 e 0 B) 5,00 m/s e 12,5 m/s2
C) 12,0 m/s e 5,00 m/s2 D) 5,00 m/s e 2,00 m/s2
E) 2,00 m/s e 5,00 m/s2
13. (Faap) Uma partícula descreve uma circunferência de raio R com 
equação horária, sob a forma angular, dada por ϕ = +1 0 6 02, ,t , 
com ϕ medido em radianos e t em segundos.
 Sabendo que, parat = 1,0 s, a aceleração vetorial da partícula 
tem intensidade igual a 10 m/s2, podemos concluir que R vale:
A) 5 m B) 5,0 m
C) 25 m D) 5,0 · 10–1 m
E) 2,5 m
14. Um disco horizontal, de raio R = 95 m, gira em torno de seu eixo 
com velocidade angular ω = π rad/s.
V
O
R
P Q
ω
R
O
2
Um projétil é lançado de fora, no mesmo plano do disco e rasante 
a ele, sem tocá-lo, com velocidade V
0
, passando sobre o ponto P. 
O projétil sai do disco pelo ponto Q, no instante em que o ponto P 
está passando por aí pela primeira vez. Qual é a velocidade de V
0
?
15. Na figura, temos duas polias coaxiais, A e B, de raios 
R
A
 = 20 cm e R
B
 = 10 cm e uma outra R
C
 = 50 cm. 
O bloco X, que parte do repouso em t = 0, desce com aceleração 
escalar constante e igual a 4 m/s2. Não há deslizamento entre as 
polias. Calcule a velocidade angular da polia C em um instante 
genérico t.
 
c
A
B
PAVIMENTO
R
B
R
A
R
c
Gabarito
01 02 03 04 05
C B D E *
06 07 08 09 10
* C * A C
11 12 13 14 15
B B A * 16t
* 05. 40 π segundos
 06. t = 
12
11
h
 08. 
 A) X =
1
1800
min
 B) Y =
0 01
360
,
min
 C) V = 660 m/s 
 14. 142,5 3 m/s⋅
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: TADEU CARVALHO
DIG.: REJANE – 28/09/18 – REV.: SARAH