Teoria das Probabilidades

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Prof. Antonio Luis Neves
Probabilidades: Definição
- A teoria das probabilidades busca
Determinar as chances de ocorrer um dado
acontecimento.
- É um ramo da matemática que cria, elabora
e pesquisa modelos para estudar
experimentos ou fenômenos aleatórios.
 Experimento aleatório: É um experimento que
pode apresentar resultados diferentes, quando
repetido nas mesmas condições.
 Espaço amostral: É o conjunto de todos os
resultados possíveis de um experimento
aleatório. Indicamos o espaço amostral por U.
Ex. lançamento de um dado: U={1,2,3,4,5,6}
Definições iniciais
 Evento: Chama-se evento a qualquer subconjunto
do espaço amostral.
Ex: Evento A: Num lançamento de um dado, cair
numero par (A = {2, 4, 6})
 Obs.: Dizemos que um espaço amostral é
equiprovável quando seus elementos têm a mesma
chance de ocorrer.
Definições iniciais
Evento certo: Ocorre quando um evento
coincide com o espaço amostral.
P(EC) = 100%
Evento impossível: Ocorre quando um
evento é vazio.
P(EI) = 0%
Definições iniciais
Exemplos:
Ex.: 1 Lançar um dado e registrar os resultados:
Espaço amostral: U = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Evento A: Ocorrência de um número menor que 7 e 
maior que zero.
A = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Portanto A = U , logo o evento é certo.
Evento B: Ocorrência de um número maior que 6
B =  ( Evento Impossível)
PROBABILIDADE DE OCORRER UM 
EVENTO
)(
)(
)(
 de elementos de número
A de elementos de número
)(
Un
An
AP
U
AP 
Considere um Evento A com n(A) elementos dentro
de um Espaço amostral U com n(U) elementos. A
probabilidade de ocorrer o evento A, P(A), é
calculado como:
Exemplo:
Consideremos o experimento Aleatório do
lançamento de um moeda perfeita. Calcule a
probabilidade de sair cara.
Espaço amostral: U = cara, coroa  n(U) = 2
Evento A: A = cara  n(A) = 1
%505,0
2
1
)(
)(
)( 
Bn
An
AP
No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas 
distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas:
a) Pelo menos 2 caras?
b) Exatamente 2 caras?
C = cara K = coroa
U= CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK 
n(U) = 8
Exemplo:
a) A = CCC, CCK, CKC, KCC  n(A) = 4
b) B = CCK, CKC, KCC  n(B) = 3
%50
2
1
8
4
)( AP
%5,37375,0
8
3
)( BP
Exemplos:
Considere a probabilidade de se obter sucesso 
em um evento A por P(A) e a probabilidade 
de insucesso neste mesmo evento P( 𝐴)
𝐴 𝑒 𝐴 são chamados de Eventos complementares
Daí P(A) + P( 𝐴) = 1 (100%)  P( 𝐴) = 1 – P(A)
Probabilidade de Eventos 
Complementares
Exemplos:
Se a probabilidade de um dado candidato 
ganhar uma eleição é de 45%, então a 
probabilidade dele não vencer a eleição é 
de 100% - 45% = 55%
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE 
DOIS EVENTOS
Consideremos dois eventos A e B de um mesmo espaço 
amostral U. Da teoria dos conjuntos sabemos que:
Dividindo os membros da equação por n(U), temos:
)()()()( BAnBnAnBAn 




)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
Un
BAn
Un
Bn
Un
An
Un
BAn
)()()()( BAPBPAPBAP 
Ex.: Ao retirar uma carta de um baralho de 52
cartas, qual é a probabilidade de que essa carta seja
vermelha ou um ás?
n(U) = 52
Evento A: a carta é vermelha  n(A) = 26
Evento B: a carta é ás  n(B) = 4
n(A  B) = 2
)()()()( BAPBPAPBAP 
Exemplo:
52
2
52
4
52
26
)(  BAP
52
28
)(  BAP
%8,53
13
7
)(  BAP
Exemplos:
Dois eventos são independentes quando a
realização ou não realização de um dos
eventos não afeta a probabilidade de
realização do outro e vice-versa.
Se A e B são eventos independentes então:
P(A e B) = P(A).P(B)
Eventos independentes
Eventos independentes
EX. Lançando-se um dado duas vezes qual
a probabilidade de se obter o número 2 no
primeiro lançamento e 6 no segundo
lançamento?
P(2 e 6) = P(2).P(6) = 
1
6
.
1
6
=
1
36
Dizemos que dois ou mais eventos são
mutuamente exclusivos quando a realização de um
exclui a realização do outro:
Ex. Lançamento de uma moeda:
O resultado “cara” exclui ao acontecer exclui o
evento “coroa”.
Eventos mutuamente exclusivos
Em eventos mutuamente exclusivos a
probabilidade de um ou outro evento acontecer é
igual a soma da probabilidade que cada um deles
se realize:
Sendo A e B dois evento mutuamente exclusivos
então:
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0
Eventos mutuamento exclusivos
Ex.: Lançando-se um dado. A probabilidade
de se tirar 3 ou 5 é:
P(3 ou 5) = P(3) + P(5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Eventos mutuamente exclusivos
Probabilidade Condicional
Sejam A e B dois eventos. A probabilidade de
acontecer um evento A sendo que o evento B
já aconteceu (probabilidade condicional)
P(A/B), pode ser calculado como:
𝑃 𝐴/𝐵 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
Uma família planejou ter 3 crianças. Qual é a
probabilidade de que a família tenha 3 homens, já
que a primeira criança que nasceu é homem?
Nesse caso, chamando M: mulher e H: homem, 
temos: 
U = {HHH, HHM, HMM, MMM, MMH, MHH, HMH, 
MHM}  n(U) = 8
Exemplo:
Evento A: a família tem 3 homens  A = {HHH}
Evento B: a primeira criança é homem 
B= {HHH, HMM, HHM, HMH}
A  B = {HHH}; p(A  B) = 1/8; p(B)= 4/8
Exemplo: