Probabilidades

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probabilidades
Experimentos aleatórios
Chamamos de experimentos aleatórios aqueles que, repetidos em idênticas condições, produzem resultados diferentes.
Embora não saibamos qual o resultado que irá ocorrer num experimento, em geral, conseguimos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer. 
As variações de resultados, de experimento para experimento, são devidas a uma multiplicidade de causas que não podemos controlar, as quais denominamos acaso.
Exemplos de experimentos aleatórios
Lançar uma moeda e observar a face de cima;
Lançar um dado e observar o número da face de cima;
Lançar duas moedas e observar as sequências de caras e coroas obtidas;
De um lote de 80 peças boas e 20 defeituosas, selecionar 10 peças e observar o número de peças defeituosas;
De uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 2 bolas brancas, selecionar uma bola e observar sua cor;
De um baralho de 52 cartas, selecionar uma carta, e observar seu naipe;
Numa cidade onde 10% dos habitantes possuem determinada moléstia, selecionar 20 pessoas e observar o número de portadores de moléstia;
Observar o tempo que um certo aluno gasta para ir de ônibus de sua casa até a escola;
Injetar uma dose de insulina em uma pessoa e observar a quantidade de açúcar que diminui;
Sujeitar uma barra metálica a tração e observar sua resistência.
Espaço amostral
Chamamos de espaço amostral, e indicamos por , um conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Exemplos:
Lançar uma moeda e observar a face de cima.  = (K, C);
Lançar um dado e observar o número da face de cima.  = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6);
De uma urna contendo 2 bolas vermelhas (V), 2 bolas brancas (B) e 5 bolas azuis (A), extrair uma bola e observar sua cor.  = (V, B, A)
Lançar uma moeda duas vezes e observar a sequência de caras e coroas.  = ((k, k), (K, C), (C, K), (C, C);
Lançar uma moeda duas vezes e observar o número de caras.  = (0, 1, 2);
Um lote tem 20 peças. Uma a uma elas são ensaiadas e observa-se o número de defeituosas.  = (0, 1, 2, 3, 4, .........19, 20)
evento
Consideramos um experimento aleatório, cujo espaço amostral é  . Em geral, indicamos um evento por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, D....X, Y, Z
Dizemos que um evento A ocorre se, realizado o experimento, o resultado obtido for pertencente a A. Os eventos que possuem um único elemento serão chamados de eventos elementares.
Exemplo para um espaço amostral de um dado lançado.  = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
A: Ocorrência de um número ímpar; A = (1, 3, 5)
B: Ocorrência de número primo; B = (2, 3, 5)
C: Ocorrência de número menor que quatro; C = (1, 2, 3)
D: Ocorrência de número menor que 7; D = (1, 2, 3, 4, 5, 6) = 
E: Ocorrência de número maior ou igual a 7; E = 
Combinação de eventos
A) União de dois eventos: Sejam A e B dois eventos, então A  B será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A ou B (ou ambos) ocorrerem. Dizemos que A U B é a união entre o evento A e o evento B.
B) Intersecção de dois eventos: Sejam A e B dois eventos, então A  B será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem simultaneamente. Dizemos que A  B é a interseção entre o evento A e o evento B. Se A  B = , A e B são chamados mutuamente exclusivos.
C) Complementar de um evento: Seja A um evento; então o complementar de A será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A não ocorrer.
TEORIA DAS PROBABILIDADES
 A teoria das probabilidades busca estimar as chances de ocorrer um determinado acontecimento. É um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.
1. Espaço Amostral
Experimento aleatório: É um experimento que pode apresentar resultados diferentes, quando repetido nas mesmas condições.
Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Indicamos o espaço amostral por S.
Ex. lançamento de um dado: S={1,2,3,4,5,6}
	
1. Espaço Amostral
Evento: Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço amostral. 
Obs.: Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus elementos têm a mesma chance de ocorrer.
2. Eventos certo, impossível e mutuamente exclusivos
Evento certo: Ocorre quando um evento coincide com o espaço amostral.
Evento impossível: Ocorre quando um evento é vazio.
Exemplos:
Ex.: 1 Lançar um dado e registrar os resultados:
 Espaço amostral: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6
 Evento A: Ocorrência de um número menor que 7 e maior que zero.
 A = 1, 2, 3, 4, 5, 6
 Portanto A = S , logo o evento é certo.
Evento B: Ocorrência de um número maior que 6.
				
					B = 
 	
Não existe número maior que 6 no dado, portanto o evento é impossível.
Exemplos:
Evento C: Ocorrência de um número par.
 C = 2, 4, 6
Evento D: Ocorrência de múltiplo de 3. 
 D = 3, 6
Exemplos:
Evento E: Ocorrência de número par ou número múltiplo de 3.
 E = C  D  E = 2, 4, 6  3, 6  
 E = 2, 3, 4, 6 - União de eventos
Evento F: Ocorrência de número par e múltiplo de 3.
F = C  D  F = 2, 4, 6  3, 6  F = 6
 Intersecção de eventos
Exemplos:
Evento H: Ocorrência de número ímpar
 H = 1, 3, 5
Obs.: C e H são chamados eventos complementares. Observe que C  H = . Quando a interseção de dois eventos é o conjunto vazio, eles são chamados eventos mutuamente exclusivos.
Exemplos:
PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO
Exemplos
 Ex.: 1 Consideremos o experimento Aleatório do lançamento de um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair cara.
 Espaço amostral:  = cara, coroa  n() = 2 
	Evento A: A = cara  n(A) = 1
 Como , temos ou 0,50 = 50%
Ex.: 2 No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair número maior do que 4?
Espaço amostral:  = 1, 2, 3, 4, 5, 6  n() = 6
Evento A: A = 5, 6  n(A) = 2
Exemplos:
Ex.: 3 No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas:
a) Pelo menos 2 caras?
b) Exatamente 2 caras? 
 C = cara K = coroa
= CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK 
 n() = 8  
Exemplos:
a) A = CCC, CCK, CKC, KCC  n(A) = 4
b) B = CCK, CKC, KCC  n(B) = 3
 Ex.: 4 Vamos formar todos os números de 3 algarismos distintos, permutando os dígitos 7, 8 e 9. Qual é a probabilidade de, escolhendo um número desses ao acaso, ele ser:
a) ímpar?
b) par?
c) múltiplo de 6?
d) múltiplo de 4?
e) maior que 780?
 
  = 789, 798, 879, 897, 978, 987  n() = 6
Exemplos:
Evento A: ser ímpar  A = 789, 879, 897, 987  n(A) = 4
b) Evento B: ser par  B = 798, 978  n(B) = 2
Exemplos:
c) Evento C: ser múltiplo de 6  C = 798, 978
d) Evento D: ser múltiplo de 4 D= n(D) = 0
e) Evento E: ser maior que 780  E =  n(E) = 6
Exemplos:
 Ex.: 5: Consideremos todos os números naturais de 4 algarismos distintos que se podem formar com os algarismos 1, 3, 4, 7, 8 e 9. Escolhendo um deles ao acaso, qual é a probabilidade de sair um número que comece por 3 e termine por 7?
 
	___ ___ ___ ___ 
 3 ___ ___ 7	
 
Exemplos:
 Exemplo 6: Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte e 5 gostam somente de leitura. CALCULE a probabilidade de escolher, ao acaso, um desses jovens:
	a) ele gostar de música;
		b) ele não gostar de nenhuma dessas atividades.  
Exemplos:
n() = 75
gostam de música: 6 + 8 + 16 + 14 = 44
não gostam de nenhuma dessas atividades: 
75 – (6 + 9 + 5 + 8 + 6 + 14 + 16) = 75 – 64 = 11
9
M
L
E
6
8
16
 6
14
5
11
Exemplos:
a) a probabilidade degostar de música:
b) probabilidade de não gostar de nenhuma dessas atividades:
Exemplos:
A probabilidade de se obter sucesso em um evento é dado por p.
A probabilidade de insucesso em um evento é dado por q.
Então 	p + q = 1 (100%)
Neste caso p e q são complementares.
Eventos complementares
Dois eventos são independentes quando a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade de realização do outro e vice-versa.
Ex. Lançando-se um dado duas vezes qual a probabilidade de se obter 6 no segundo lançamento sendo que no primeiro lançamento o resultado foi 2.
Eventos independentes
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do outro:
Ex. Lançamento de uma moeda:
O resultado “cara” exclui ao acontecer o evento “coroa”.
Em eventos mutuamento exclusivos a probabilidade de um ou outro acontecer é igual a soma da probabilidade que cada um deles se realize
			P = P1 + P2
Eventos mutuamento exclusivos
Exemplo: Lançando-se um dado. A probabilidade de se tirar 3 ou 5 é:
	P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Eventos mutuamento exclusivos
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS
Consideremos dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral . Da teoria dos conjuntos sabemos que:
Dividindo os membros da equação por n(), temos:
 Exemplo 7 : No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter o número 3 ou um número ímpar?
Espaço amostral:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  n() = 6
Evento A: número 3  A = {3}  n(A) = 1
Evento B: número ímpar  b = {1, 3, 5}  n(B) = 3
Exemplos:
A  B = {3}  {1, 3, 5} = {3}
n(A  B) = 1
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
P(A  B) = 
 P(A  B) = 
Exemplos:
 Exemplo 8: Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de que essa carta seja vermelha ou um ás? n() = 52; Evento A: a carta é vermelha  n(A) = 26; Evento B: a carta é ás  n(B) = 4; n(A  B) = 2
Exemplos:
PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR
 A probabilidade de não ocorrer o evento A é a probabilidade de ocorrer o evento complementar de A, representado por .
Nessas condições, temos :
 
						 
	Então, 				 
Exemplo 9: No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, vamos calcular a probabilidade de NÃO sair soma 5.
 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}.  n() = 36.
Seja A o evento “sair soma 5”. Então:
A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}  n(A) = 4
Exemplos:
Probabilidade (objetiva)
Proporção de ocorrência de um evento
Freqüência relativa: (resultados favoráveis) / (resultados possíveis)
Assume valores entre 0 e 1
Probabilidade (subjetiva)
Interpretação subjetiva: é uma estimativa do que o indivíduo pensa que seja a viabilidade de ocorrência de um evento.
Exemplo: Há 30% de chance de chuva nas próximas 24 horas
Probabilidade da União
Eventos mutuamente excludentes ,i.e. , P(A  B) =0
P(A  B) = P(A) + P(B)
Eventos não excludentes
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
Probabilidade Condicionada
Probabilidade de um evento A, dado que aconteceu um outro evento B
P(A | B) = P(A  B) / P(B)
Probabilidade da Interseção
Ocorrência simultânea de A e B
P(A  B) = P(A | B) * P(B)
Eventos independentes
A e B são independentes se a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Formalmente:
P(A | B) = P(A)
Pela expressão anterior, se A e B são independentes:
P(A  B) = P(A).P(B)
Note que neste caso A  B denota a possibilidade de ocorrência simultânea dos dois eventos
)
(
)
(
)
(
 
de
 
elementos
 
de
 
número
A
 
de
 
elementos
 
de
 
número
)
(
W
=
Þ
W
=
n
A
n
A
P
A
P
)
(
)
(
)
(
B
n
A
n
A
P
=
2
1
)
(
=
A
P
3
1
)
(
6
2
)
(
)
(
)
(
)
(
=
Þ
=
Þ
W
=
A
P
A
P
n
A
n
A
P
%
50
2
1
8
4
)
(
=
=
=
A
P
5
,
37
375
,
0
8
3
)
(
=
=
=
B
P
%
66
66
,
0
3
2
6
4
)
(
=
=
=
=
A
P
%
33
33
,
0
3
1
6
2
)
(
=
=
=
=
B
P
%
33
33
,
0
6
2
)
(
=
=
=
C
P
%
0
0
6
0
)
(
)
(
)
(
=
=
=
W
=
n
D
n
D
P
%
100
1
6
6
)
(
)
(
)
(
=
=
=
W
=
n
E
n
E
P
360
!
2
!
2
.
3
.
4
.
5
.
6
!
2
!
6
)!
4
6
(
!
6
)
(
4
,
6
=
=
=
-
=
=
W
A
n
12
!
2
!
2
.
3
.
4
)!
2
4
(
!
4
)
(
2
,
4
=
=
-
=
=
A
A
n
%
33
,
3
033
,
0
30
1
360
12
)
(
)
(
)
(
=
@
=
=
W
=
n
A
n
A
P
%
58
75
44
)
(
)
(
)
(
@
=
W
=
n
A
n
A
P
%
14
75
11
)
(
)
(
)
(
@
=
W
=
n
B
n
B
P
)
(
)
(
)
(
)
(
B
A
n
B
n
A
n
B
A
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Ç
-
+
=
È
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
W
Ç
-
W
+
W
=
W
È
n
B
A
n
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B
n
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A
n
n
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A
n
)
(
)
(
)
(
)
(
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
Ç
-
+
=
È
6
1
6
3
6
1
-
+
6
3
)
(
)
(
)
(
)
(
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
Ç
-
+
=
È
52
2
52
4
52
26
)
(
-
+
=
È
B
A
P
52
28
)
(
=
È
B
A
P
%
8
,
53
13
7
)
(
@
=
È
B
A
P
=
Ç
W
=
È
A
A
A
A
 
e
 
)
(
)
(
A
A
P
P
È
=
W
)
(
)
(
1
A
P
A
P
+
=
)
(
1
)
(
A
P
A
P
-
=
9
1
36
4
)
(
)
(
)
(
=
=
W
=
n
A
n
A
P
9
1
1
)
(
)
(
1
)
(
-
=
Þ
-
=
A
P
A
P
A
P
9
8
)
(
=
A
P