Experimentos Aleatórios e Probabilidade

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A água da chuva vai para o chão
Tipos de Experimentos
Determinístico
Os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o número de 
ocorrências verificadas
Lançar dois dados e verificar as 
faces para cima
Tipos de Experimentos
Probabilísticos ou Aleatórios
Os resultados não serão previsíveis, mesmo que haja um grande 
número de repetições do fenômeno.
Retirar uma carta em um baralho 
completo
Eventos: faces 1, 2, 3, 4, 5, 6
Tipos de Experimentos
Probabilísticos ou Aleatórios
Eventos: cara e caroa
Exemplos:
a) Lançamento de uma moeda honesta;
b) Lançamento de um dado não viciado;
c) Lançamento de duas moedas;
d) Retirada de uma carta de um baralho completo com 52 cartas
Tipos de Experimentos
Probabilísticos ou Aleatórios
• Características:
I. Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas
condições;
II. Não se conhece um particular valor do experimento “a priori”, porém
pode-se descrever todos os possíveis resultados (as possibilidades);
III. Quando um experimento for repetido um grande número de vezes
surgirá uma regularidade, isto é, haverá uma estabilidade da fração:
P = M / N
• onde “N” é o número de repetições e “M” é o número de sucessos de um
particular resultado estabelecido antes da realização.
Evento (E)
o conjunto de resultados do experimento, em termos de conjunto, é um 
subconjunto de Ω.
• OBS: Ω e Φ (conjunto vazio) são eventos. Ω é dito como evento certo e Φ
como evento impossível.
• Utilizando-se operações com conjuntos, podem-se formar novos eventos.
Assim:
I) A U B → é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem;
II) A ∩ B → é o evento que ocorre se A e B ocorrem;
III) Ǡ → é o evento complementar; ocorre se A não ocorre.
Evento União
I) A U B → é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem;
A U B
Ocorre o
evento união
quando algum
dos eventos
ocorrer.
Evento União
Exemplo – União:
A = {a, b, c, d, e}
B = {d, e, f, h, g}
a
b
c
d
e
f
g
h
A U B = {a, b, c, d, e, f, h, g}
a
b
c
d
e
f
g
h
Evento União
Exemplo – União:
A = {100}
B = {90}
60 5040
A U B = {150}
60
40 50
Evento Intersecção
II) A ∩ B → é o evento que ocorre se A e B ocorrem;
Ocorre os dois
eventos ou
todos os
eventos.
Evento Intersecção
Exemplo – Intersecção:
a
b
c
d
e
f
g
h
a
b
c
d
e
f
g
h
A = {a, b, c, d, e}
B = {d, e, f, h, g}
A ∩ B = {e, d}
Evento Intersecção
Exemplo – Intersecção:
60 40 50
60 5040
A = {100}
B = {90}
A ∩ B = {40}
Evento Complementar
III) Ǡ → é o evento complementar; ocorre se A não ocorre.
Significa a não
ocorrência do evento 
considerado
Evento Complementar
Exemplo – Evento completar
A = {a, b, c, d}
Ǡ = {e, f, g, h}
a
b
c
d
e
f
g
h
Evento (E)
Lançam-se duas moedas. Seja A: saída de faces iguais e B: 
saída de cara na primeira moeda.
Determinar os eventos:
_ _ ______ _____ _ _ _ _ _ _
A U B; A ∩ B; A; B; (A U B); (A ∩ B); A ∩ B; A U B; A ∩ B; e B ∩ A; 
B – A; A – B;
Evento (E)
O evento aleatório pode ser um único ponto amostral ou uma 
reunião deles:
Ex: Lançam-se dois dados. Enumerar os seguintes eventos:
A: saída de faces iguais;
B: saída de faces cuja soma seja igual a 10;
C: saída de faces cuja soma seja menor que 2;
D: saída de faces cuja soma seja menor que 15;
E: Saída de faces onde uma face é o dobro da outra.
Evento (E)
É o conjunto de resultados do experimento, em
termos de conjunto, é um subconjunto de Ω.
Ex: Lançam-se dois dados. Enumerar os seguintes eventos:
A: {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
B: {(4,6), (5,5), (6,4)}
C: Φ – evento impossível
D: Ω (evento certo)
E: {(1,2), (2,1), (2, 4), (3,6), (4,2), (6,3)}
Evento (E)
Outra maneira de determinar
o espaço amostral (Ω), bem
como os eventos possíveis
(E), é o diagrama de árvore.
Evento (E)
Ex2: Seja o experimento E: jogar três moedas e observar os 
resultados:
Seja o evento A o evento: ocorrer pelo menos duas caras:
Ex3: Seja o experimento E: lançar um dado e observar o 
número de cima:
Seja o evento B o evento: ocorrer múltilplo de 2:
Evento (E)
Ex2: Seja o experimento E: jogar três moedas e observar os
resultados:
Ω = {(c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c), (k,k,k), (k,k,c), (k,c,k), (c,k,k)}, onde c = 
cara e k = coroa;
Seja o evento A o evento: ocorrer pelo menos duas caras:
A = {(c,c,c}, (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c)}
Ex3: Seja o experimento E: lançar um dado e observar o número
de cima:
Ω = {1,2,3,4,5,6}
Seja o evento B o evento: ocorrer múltilplo de 2:
A = {2, 4, 6}
Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos são denominados mutuamente exclusivos, se eles
não puderem ocorrer simultaneamente, isto é A ∩ B = Φ
(conjunto vazio)
Ex: Seja o experimento E: jogar um dado e observar o resultado
Ω = {1,2,3,4,5,6}
Sejam os eventos:
A: ocorrer número par
B: ocorrer número impar
A = {2,4,6}
B = {1,3,5}
A ∩ B = Φ , assim A e B são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um
número par e impar não pode ser verificada como decorrência de uma mesma
experiência
Probabilidade
É uma medida de incerteza dos fenômenos aleatórios. Traduz-se
por um valor real compreendido entre 0 e 1, que é a mesma
coisa, entre 0 e 100%
Probabilidade a Priori ou Clássica
Dada um experiência aleatória uniforme definida em um 
espaço amostral Ω, a probabilidade de ocorrer um evento E, 
contido em Ω, é o quociente entre o número de elementos do 
evento E e o número de elementos do espaço amostral Ω. O 
Espaço amostral é equiprovável.
P (E) = n (E)/n (Ω)
E
Ω
Probabilidade a Priori ou Clássica
É o quociente entre o número de casos favoráveis e o número total de 
eventos;
P (E) = n (E)/n (Ω)
P(E) = 1 / 100 ou 1%
P(E) = 5 /100 ou 5 %
Probabilidade a Posteriori ou Frequencialista
Trata-se da probabilidade avaliada, empírica. Ela tem por objetivo estabelecer um
modelo adequado à interpretação de certa classe de fenômenos observados (não
todos). Portanto, ela depende da amostra considerada: quanto maior a amostra (e de
melhor qualidade), mais confiável é o valor da probabilidade a posteriori.
P (E) = número de ocorrências de E
número total de provas ou ocorrências
Número de eventos que tende ao infinito
Axiomas da Probabilidade
Dado um experimento aleatório E e Ω o espaço amostral, a
probabilidade de um evento A - P(A) – é uma função definida de em que
Ω que associa a cada evento um número real, satisfazendo os seguintes
axiomas:
I) 0 < P(A) < 1;
II) P(Ω) = 1 (evento certo);
III) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos (A∩ B = Φ), 
então P (A U B) = P(A) + P(B)
Principais Teoremas
1. O evento impossível possui probabilidade 0, P(Φ) = 0
2. Se Ǡ é o evento complementar de A, então:
P(Ǡ) = 1 – P(A)
3. Se A B, então P(A) < P(B);
4. Teorema da soma: Se A e B são dois eventos quaisquer, então:
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(A U B) = P(A) + P(B) → mutuamente exclusivos
Eventos Equiprováveis
Os eventos ei, i =1, 2, ..., n, são equiprováveis quando 
P(e1) = P(e2) = ... = P(en) = p. 
Isto é, quando todos tem a mesma probabilidade de ocorrer.
Logo, se os N pontos amostras (eventos) são equiprováveis, a
probabilidade de cada um dos pontos amostrais é 1/N
Exemplo: Retira-se uma carta de um baralho completo
de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma
carta de espada?
Eventos Equiprováveis
Exemplo: Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual 
a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espada?
Então:
A = {Ro, Re, Rc, Rp} = P(A) = 4/52
B = {Ae, 2e, 3e, ..., Re} = P(B) = 13/52
A ∩ B = {Re} = 1/52
Logo, P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(A U B) = 4/52 + 13/52 – 1/52
P(A U B) = 16/52
Exercícios
Descrever o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos: 
a) Observar o sexo de uma criança ao nascer. 
b) Lançar uma moeda três vezes sucessivamente e observar a face voltada para cima. 
Anotar a sequência de caras e coroas. 
c) Lançar uma moeda três vezes sucessivamente e observar a face voltada para cima.Registrar o número de caras ocorrido. 
d) Registrar o número de pessoas atendidas num ambulatório no período de vinte e 
quatro horas. 
e) Lançar uma moeda e um dado, simultaneamente, e registrar os resultados ocorridos 
nas faces voltadas para cima. 
f) De uma baralho completo de 52 cartas retira-se, ao acaso, uma carta e observa-se o 
resultado. 
Exercícios
Descrever o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos: 
a) Observar o sexo de uma criança ao nascer. 
b) Lançar uma moeda três vezes sucessivamente e observar a face voltada para cima. 
Anotar a sequência de caras e coroas. 
c) Lançar uma moeda três vezes sucessivamente e observar a face voltada para cima. 
Registrar o número de caras ocorrido. 
d) Registrar o número de pessoas atendidas num ambulatório no período de vinte e 
quatro horas. 
e) Lançar uma moeda e um dado, simultaneamente, e registrar os resultados ocorridos 
nas faces voltadas para cima. 
f) De uma baralho completo de 52 cartas retira-se, ao acaso, uma carta e observa-se o 
resultado. 
Exercícios
A Companhia de Seguros Security Ltda. analisou a frequência com que os 500 segurados 
usaram o hospital, apresentando os resultados na tabela que se segue: 
Usa o 
hospital
Sexo
Total
Masculino Feminino 
SIM 25 40 65
NÃO 225 210 435
TOTAL 250 250 500
Sejam os eventos:
A = “A pessoa segurada usa o hospital.”
B = “A pessoa segurada é do sexo masculino.”
C = “A pessoa segurada é do sexo feminino.”
Pede-se determinar P(A), P(B), P(C), P(AꓵB), P(A ꓵC)
Exercícios
Se P(A) = 1/2; P(B)= 1/4 e A e B são mutuamente exclusivos, calcular:
a) P(Ᾱ)
b) P(B)
C) P(A ꓵ B)
d) P (A U B)
Se P(A) = 1/2; P(B)= 1/3 e P(A ꓵ B) = 1/4. Calcule
P(A U B)
P(A U B)
P (A ꓵ B)