SISTEMAS ESTRUTURAIS I

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SISTEMAS 
ESTRUTURAIS I
PROF. ME. ARTHUR ROSINSKI DO NASCIMENTO
Reitor: 
Prof. Me. Ricardo Benedito de 
Oliveira
Pró-Reitoria Acadêmica
Maria Albertina Ferreira do 
Nascimento
Diretoria EAD:
Prof.a Dra. Gisele Caroline
Novakowski
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
Diagramação:
Alan Michel Bariani
Thiago Bruno Peraro
Revisão Textual:
Fernando Sachetti Bomfim
Marta Yumi Ando
Simone Barbosa
Produção Audiovisual:
Adriano Vieira Marques
Márcio Alexandre Júnior Lara
Osmar da Conceição Calisto
Gestão de Produção: 
Cristiane Alves
© Direitos reservados à UNINGÁ - Reprodução Proibida. - Rodovia PR 317 (Av. Morangueira), n° 6114
 Prezado (a) Acadêmico (a), bem-vindo 
(a) à UNINGÁ – Centro Universitário Ingá.
 Primeiramente, deixo uma frase de 
Sócrates para reflexão: “a vida sem desafios 
não vale a pena ser vivida.”
 Cada um de nós tem uma grande 
responsabilidade sobre as escolhas que 
fazemos, e essas nos guiarão por toda a vida 
acadêmica e profissional, refletindo diretamente 
em nossa vida pessoal e em nossas relações 
com a sociedade. Hoje em dia, essa sociedade 
é exigente e busca por tecnologia, informação 
e conhecimento advindos de profissionais que 
possuam novas habilidades para liderança e 
sobrevivência no mercado de trabalho.
 De fato, a tecnologia e a comunicação 
têm nos aproximado cada vez mais de pessoas, 
diminuindo distâncias, rompendo fronteiras e 
nos proporcionando momentos inesquecíveis. 
Assim, a UNINGÁ se dispõe, através do Ensino a 
Distância, a proporcionar um ensino de qualidade, 
capaz de formar cidadãos integrantes de uma 
sociedade justa, preparados para o mercado de 
trabalho, como planejadores e líderes atuantes.
 Que esta nova caminhada lhes traga 
muita experiência, conhecimento e sucesso. 
Prof. Me. Ricardo Benedito de Oliveira
REITOR
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01
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................5
1. MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS ...........................................................................................................................6
1.1 DEFINIÇÃO DE ESTRUTURA E TIPOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS ................................................................6
1.2 CLASSIFICAÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS ............................................................................................9
2. GRANDEZAS FÍSICAS .............................................................................................................................................. 11
3. REVISÃO DE TRIGONOMETRIA ............................................................................................................................. 12
3.1 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS PARA UM TRIÂNGULO RETÂNGULO ............................................................ 12
3.2 LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS .............................................................................................................. 13
4. VETORES .................................................................................................................................................................. 15
5. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA ....................................................................................................... 16
5.1 LEI DO PARALELOGRAMO PARA ADIÇÃO DE FORÇAS ...................................................................................... 16
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS E FÍSICA 
APLICADA
PROF. ME. ARTHUR ROSINSKI DO NASCIMENTO
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
SISTEMAS ESTRUTURAIS I
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5.2 PRINCÍPIO DA TRANSMISSIBILIDADE ............................................................................................................... 16
5.3 PRIMEIRA LEI DE NEWTON ................................................................................................................................ 17
5.4 SEGUNDA LEI DE NEWTON ................................................................................................................................. 17
5.5 TERCEIRA LEI DE NEWTON ................................................................................................................................ 17
5.6 LEI DE GRAVITAÇÃO DE NEWTON ...................................................................................................................... 17
6. ADIÇÃO DE VETORES ............................................................................................................................................. 18
6.1 COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA ...........................................................................................20
6.2 ADIÇÃO DE FORÇAS PELA SOMA DAS COMPONENTES RETANGULARES..................................................... 21
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INTRODUÇÃO
A ciência que estuda os fenômenos da natureza é denominada Física. Ela é dividida em seis 
ramos: Mecânica, Termologia, Movimento Ondulatório, Ótica, Eletricidade e Física Moderna. A 
parte da Física que estuda as condições de repouso ou movimento de corpos submetidos a forças 
é a Mecânica. Esta pode ser subdividida em outras três partes: dos corpos rígidos, dos corpos 
deformáveis e dos fluidos. 
Na primeira, consideram-se os corpos como sendo indeformáveis, e a análise passa a ser 
se o corpo está em repouso (estática) ou em movimento (dinâmica). 
É fácil perceber que as estruturas arquitetônicas devem ser estáticas e estáveis para a sua 
utilização. Desse modo, os conceitos da estática são aplicados diretamente na análise de todos os 
sistemas estruturais. 
Esta unidade, com uma abordagem introdutória, traz os primeiros conceitos de estruturas, 
elementos estruturais e tipos de sistemas estruturais, assim como uma breve revisão de assuntos 
da física e da matemática, que serão aplicados nas unidades seguintes.
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1. MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS
1.1 Definição de Estrutura e Tipos de Sistemas Estruturais
De acordo com Silva e Souto (2015), a palavra “estrutura” tem significado amplo. De 
modo genérico, significa a maneira especial em que estão dispostas, umas em relação às outras, 
as diferentes partes de um corpo. De maneira especial, entretanto, a palavra “estrutura” é usada 
para designar a composição, construção, organização e disposição arquitetônica de um edifício. 
De modo mais particularizado, quando falamos em estrutura na Engenharia Civil, por 
definição, designamos as partes que suportam as cargas de uma construção e as transmitem 
às fundações. Nesse sentido, estruturas são sistemas compostos de uma ou mais peças, ligadas 
entre si e ao meio exterior, de modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de 
receber solicitações externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios, onde essas 
solicitações externas encontrarão seu sistema estático equilibrante.
Engel (2018) explica que a estrutura faz funcionar as três operações seguintes:
a) Recepção de carga.
b) Transmissão de carga.
c) Descarga.
O autor ainda define esse processo como fluxo de forças. Problemas com o fluxo de 
forças ocorrerão quando houver a necessidade de desviar a rota direta das forças gravitacionais. 
Engel (2018) também esclarece que o transporte de forças tem que ser guiado por rotas insólitas.
Rebello (2000) explica o fluxo de forças e as melhores escolhas para solução estrutural por 
meio da Figura 1, que ilustra três possíveis situações para apoio de uma estátua.
Figura 1 - Soluções estruturais. Fonte: Adaptado de Rebello (2000).
Na situação 1(a), a solução é simples, por meio do apoio direto da estátua em um pedestal. 
Na situação 1(b), foi proposta com a intenção de passagens de pedestres sob a estátua, estando 
apoiada em dois pilares inclinados. A situação 1(c) deveria ser empregadacaso se necessitasse de 
um espaço mais amplo embaixo da estátua. 
Todas as propostas são eficientes do ponto de vista estrutural. A escolha deverá ser feita 
de acordo com os requisitos e necessidades. Desse modo, a melhor solução estrutural é aquela 
que atenda aos requisitos impostos, além de considerar a facilidade de construção, estética e 
economia.
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Segundo Silva e Souto (2015), o conhecimento do arquiteto nesse assunto deve prender-
se, predominantemente, a:
• Conhecimento do mecanismo que faz as forças mudarem sua direção.
• Conhecimento dos sistemas para cobrir espaços e resistir a deformações.
Isso simplifica bastante o campo da Engenharia Estrutural e o estabelecimento de uma 
organização simples dos sistemas estruturais.
a) Estruturas que atuam principalmente por meio de sua forma material: sistemas de 
estruturas de forma ativa ou sistemas estruturais em estado de tração ou compressão simples. 
Exemplos: cabos, tirantes e arcos funiculares.
Figura 2 – Sistemas estruturais de forma ativa. Fonte: Adaptado de Engel (2018).
b) Estruturas que atuam principalmente por meio de composição de elementos com 
compressão e tração: sistemas estruturais de vetor ativo ou sistemas estruturais com tração e 
compressão concorrentes. Exemplos: treliças planas e espaciais.
Figura 3 – Sistemas estruturais de vetor ativo. Fonte: Adaptado de Engel (2018).
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c) Estruturas que atuam principalmente por massa e continuidade material: sistemas 
estruturais de massa ativa ou sistemas estruturais em estado de flexão. Exemplos: vigas e placas.
Figura 4 – Sistemas estruturais de massa ativa. Fonte: Adaptado de Engel (2018).
d) Estruturas que atuam principalmente por continuidade de superfície: sistemas 
estruturais de superfície ativa ou sistemas estruturais de tensão de membrana. Exemplos: 
membranas e cascas delgadas.
Figura 5 - Sistemas estruturais de superfície ativa. Fonte: Adaptado de Engel (2018).
e) Estruturas que atuam principalmente por transmissão vertical de carga: sistemas 
estruturais verticais ou de altura ativa. Exemplo: pilares e colunas de um edifício.
Figura 6 – Sistemas estruturais de altura ativa. Fonte: Adaptado de Engel (2018).
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1.2 Classificação dos Elementos Estruturais
Conforme afirmam Silva e Souto (2015), peças ou elementos estruturais são todos os 
sólidos dotados de propriedades elásticas, capazes de receber e transmitir cargas. A associação 
de elementos estruturais convenientemente ligados constitui uma estrutura. Os elementos 
estruturais podem ser classificados em lineares, de superfície e de volume.
a) Elementos lineares: são gerados por uma superfície plana, na qual o baricentro percorre 
uma curva plana ou reversa, cujo comprimento é consideravelmente maior que as dimensões da 
superfície. São exemplos: a viga, o arco, a mola, o pilar, as árvores de transmissão (eixos), a escora, 
o tirante, o cabo etc.
Viga Cabos
Figura 7 – Elementos lineares. Fonte: Adaptado de Silva e Souto (2015).
b) Elementos de superfície: caracterizam-se por duas dimensões consideravelmente 
maiores que a terceira (espessura). São exemplos: a viga-parede, a placa, a casca, a membrana etc.
Laje Lisa Cascas
Figura 8 – Elementos de superfície. Fonte: Adaptado de Silva e Souto (2015).
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c) Elementos de volume: neles, as três dimensões são consideráveis e, em geral, as cargas 
são predominantemente compressivas. São exemplos: os blocos de fundação, as sapatas, os blocos 
de coroamento (sobre estacas de fundação) etc.
Bloco sobre estacas
Figura 9 – Elementos de volume. Fonte: O autor.
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2. GRANDEZAS FÍSICAS
Segundo Viero (2008), medir é comparar grandezas de mesma espécie: distância com 
distância, peso com peso, por exemplo. O ato de medir implica o estabelecimento de uma relação 
entre a grandeza desejada e a unidade padrão tomada para a comparação.
O sistema de unidades básico no Sistema Internacional de Unidades (doravante, SI) é o 
mks: metro, quilograma e segundo. Todas as outras unidades podem ser derivadas dessas três 
unidades básicas.
Usando-se o múltiplo ou submúltiplo apropriado de uma dada unidade, é possível evitar 
a escrita de números muito grandes ou muito pequenos. Por exemplo: pode-se escrever 5,78 mm 
ao invés de 0,00578 m.
Tabela 1 – Prefixos e fatores de multiplicação para unidades. Fonte: Beer et al. (2012).
Unidades de área, volume, massa específica, força, peso específico e tensões são muito 
utilizadas em análises de problemas de engenharia e arquitetura. Essas unidades são derivadas 
das unidades básicas e estão apresentadas na Tabela 2.
Tabela 2 – Principais unidades usadas na Mecânica Estática. Fonte: Viero (2008).
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3. REVISÃO DE TRIGONOMETRIA
3.1 Relações Trigonométricas para um Triângulo Retângulo
Viero (2008) informa que a palavra “trigonometria” é de origem grega e é formada por três 
radicais: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Ela tem por objetivo o cálculo das medidas 
dos lados e ângulos de um triângulo.
Sejam dois segmentos de retas concorrentes no ponto A com um ângulo a entre si. 
Trançando-se retas verticais em B1 e B2, definem-se dois triângulos retângulos com mesmos 
ângulos internos. Diz-se, então, que esses triângulos são semelhantes e mantêm a proporção entre 
seus lados.
Figura 10 - Proporção entre lados de um triângulo. Fonte: O autor.
 As relações entre os lados do triângulo podem ser escritas da seguinte maneira:
Qualquer triângulo semelhante a esses pode ser definido uma vez que a proporção entre 
as dimensões é mantida. Os valores adimensionais , e correspondem às constantes de 
proporcionalidade entre as dimensões.
Chamam-se os lados e de catetos adjacentes ao ângulo a. Os lados e 
 correspondem aos catetos opostos ao ângulo a. Já os lados e são denominados de 
hipotenusa. A hipotenusa será sempre o maior lado de um triângulo retângulo e é o lado oposto 
ao ângulo reto (90°).
As constantes , e podem ser chamadas de tangente do ângulo a, seno do ângulo 
a e cosseno do ângulo a, respectivamente.
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Para formalizar essas três relações trigonométricas para um triângulo retângulo, veja a 
Figura 11.
Figura 11 - Relações trigonométricas para triângulo retângulo. Fonte: O autor.
Equação (1.1)
Equação (1.2)
Equação (1.3)
 
De modo semelhante, tais relações podem ser escritas para o ângulo b da seguinte maneira:
3.2 Lei dos Senos e Lei dos Cossenos
As relações trigonométricas das Equações 1.1, 1.2 e 1.3 são válidas somente para triângulo 
retângulo. Para um triângulo qualquer, deve-se utilizar a Lei dos Senos ou a Lei dos Cossenos 
para a obtenção de dimensões de lados ou ângulos internos.
Figura 12 - Relações trigonométricas para um triângulo qualquer. Fonte: O autor.
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Pela Lei dos Senos, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. 
A Equação 1.4 define essa lei. As proporções devem ser utilizadas duas a duas.
Equação (1.4)
Pela Lei dos Cossenos, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto dessas medidas pelo 
cosseno do ângulo formado por eles. A Equação 1.5 define essa lei.
Equação (1.5)
De modo semelhante, se se deseja obter o lado B ou C, a Equação 1.5 poderá ser reescrita 
nas formas:
Uma revisão interessantedas razões trigonométricas, Lei dos Senos e dos 
Cossenos encontra-se na série de vídeos a seguir:
Trigonometria – Razões trigonométricas, disponível em 
https://www.youtube.com/watch?v=aSTKZwzCnJg.
Trigonometria – Ângulos notáveis e exercícios, disponível em 
https://www.youtube.com/watch?v=3iHUX_oOcX0.
Lei dos senos – Matemática, disponível em 
https://www.youtube.com/watch?v=RBMqSUo29hc.
Lei dos senos – Trigonometria (Aula 02), disponível em 
https://www.youtube.com/watch?v=jo8LRHp2LYU.
Lei dos cossenos – Matemática, disponível em 
https://www.youtube.com/watch?v=f_lzV1lZHbw&t=73s.
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4. VETORES
Beer et al. (2012) atestam que uma força representa a ação de um corpo sobre outro e, 
geralmente, é caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, sua direção e seu sentido.
A intensidade da força é caracterizada por certo número de unidades. No SI, a força é 
medida em Newton (N) e seus múltiplos. A direção de uma força é definida pela sua linha de 
ação e seu sentido. A força propriamente dita é representada por um segmento dessa linha, cujo 
comprimento representa, em uma escala definida, a intensidade da força.
Figura 13 - Vetor de uma força. Fonte: Beer et al. (2012).
As forças, como vetores, não obedecem às regras de adição definidas na álgebra ou 
aritmética comuns. Por exemplo: duas forças que atuam em um ângulo reto entre si, uma de 4 N 
e a outra de 3 N, somadas, resultam em uma força de 5 N, e não em uma força de 7 N. A adição 
de forças segue a Lei do Paralelogramo, que será estudada ainda nesta unidade.
Dois vetores que têm a mesma intensidade, a mesma direção e o mesmo sentido são 
considerados iguais, independentemente de terem, ou não, o mesmo ponto de aplicação, podendo 
ser representados pela mesma letra.
Figura 14 - Forças iguais. Fonte: Beer et al. (2012).
O vetor oposto de um dado vetor P é definido como um vetor que tem a mesma intensidade 
e a mesma direção de P e um sentido oposto ao de P. O vetor oposto a P é denotado por -P. São 
geralmente referidos como vetores iguais e opostos. A soma deles resulta em um vetor nulo.
Figura 15 – Vetores iguais e opostos. Fonte: Beer et al. (2012).
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5. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA
5.1 Lei do Paralelogramo para Adição de Forças
A força representa a ação de um corpo sobre outro. Ela corresponde a uma grandeza 
vetorial, sendo, dessa maneira, definida como ente matemático que possui intensidade, direção e 
sentido. As forças, como vetores, se adicionam pela Lei do Paralelogramo.
Na Figura 16, há a representação gráfica de um vetor. Nela, a linha tracejada e o ângulo de 
orientação definem a direção. A ponta da seta define o sentido sobre essa direção. A intensidade 
corresponde graficamente ao segmento de reta sobre a linha de ação uma vez definido o seu 
ponto de aplicação A.
Figura 16 – Representação de uma força. Fonte: O autor.
 
Beer et al. (2012) informam que duas forças que atuam sobre uma partícula podem 
ser substituídas por uma, denominada de força resultante, correspondente à diagonal do 
paralelogramo, cujos lados correspondem às duas forças dadas. Como exemplo, traz-se a Figura 
17.
Figura 17 – Lei do paralelogramo. Fonte: O autor.
Na Figura 17, as forças A e B estão aplicadas em uma mesma partícula. Por meio dessas 
forças e de linhas paralelas a elas, conseguem-se definir os quatro lados do paralelogramo. A força 
R, correspondente à diagonal desse paralelogramo, é a força resultante que tem o mesmo efeito da 
ação simultânea das forças A e B.
A intensidade da força resultante pode ser obtida por meio gráfico ou analiticamente 
pelas relações trigonométricas de seno, cosseno, tangente, lei dos senos e lei dos cossenos.
5.2 Princípio da Transmissibilidade
Segundo Beer et al. (2012), este princípio estabelece que as condições de equilíbrio do 
corpo rígido não sofrem alterações se uma força F for substituída por uma força F’, de mesma 
intensidade, direção e sentido, se esta estiver na mesma linha de ação daquela.
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5.3 Primeira Lei de Newton
Quando a força resultante sobre um corpo for nula, esse corpo se manterá em repouso ou 
se moverá à velocidade constante caso ele, respectivamente, esteja em repouso ou em movimento, 
antes da aplicação das forças.
5.4 Segunda Lei de Newton
Quando a força resultante sobre um corpo não for nula, ele estará acelerado, e essa força 
resultante será proporcional à massa de seu corpo e à aceleração empregada. Dessa maneira, 
define-se a Segunda Lei de Newton pela Equação 1.6.
Equação (1.6)
5.5 Terceira Lei de Newton
Esta lei estabelece que as forças sempre ocorrerão aos pares, ou seja, ação e reação, com 
intensidades e direções iguais, porém, com sentidos contrários.
5.6 Lei de Gravitação de Newton
Segundo Beer et al. (2012), esta lei estabelece que duas partículas de massa M e m são 
mutuamente atraídas com forças iguais e opostas de magnitude F, definidas pela Equação 1.7.
Equação (1.7)
Nela, G é a constante gravitacional, e r é a distância entre dois corpos.
Uma aplicação da Lei da Gravitação de Newton é a definição da aceleração da 
gravidade no planeta Terra. Para isso, M é considerado a massa da Terra, r o raio 
da Terra, e F é a força peso de um corpo de massa m. Desse modo:
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6. ADIÇÃO DE VETORES
Conforme mencionado anteriormente, duas forças, como vetores, são adicionadas pela 
Lei do Paralelogramo, na qual se forma um paralelogramo de lados iguais às forças em análise. 
A diagonal dessa figura corresponderá à força resultante que representará a ação das duas forças 
avaliadas.
Figura 18 – Regra do triângulo. Fonte: O autor.
Observam-se, na Figura 18, duas forças, A e B, aplicadas na mesma partícula. Em um 
primeiro momento, aplicou-se a regra do paralelogramo para adição, resultando na força R. Na 
sequência, dispuseram-se as forças sequencialmente no padrão ponta-cauda, iniciando ora com 
a força A, ora com a força B. Percebe-se que a distância entre o início da primeira força e o final 
da segunda é idêntica à diagonal do paralelogramo. Dessa maneira, para a adição de duas forças 
aplicadas à mesma partícula, pode-se também utilizar a Regra do Triângulo ao invés da Lei do 
Paralelogramo.
Para a soma de três ou mais vetores, deve-se inicialmente somar duas forças pela Lei do 
Paralelogramo ou pela Regra do Triângulo, e, da força resultante delas, adiciona-se uma terceira 
força, gerando uma nova força resultante. Aplica-se esse conceito sucessivamente até resultar 
somente em uma força resultante.
No caso de as forças aplicadas à mesma partícula serem coplanares, aplicando-se os 
conceitos dos parágrafos anteriores, torna-se fácil definir a força resultante graficamente, como 
ilustrado na Figura 19. Na primeira parte da figura, as forças A, B e C foram adicionadas, duas a 
duas, pela Lei do Paralelogramo até obter a força resultante A+B+C. 
De modo semelhante, pela Regra do Triângulo, podem-se dispor sequencialmente as 
forças no padrão ponta-cauda e obter graficamente a mesma força resultante, como ilustrado na 
segunda parte da Figura 19. Esse método gráfico de obtenção da força resultante é chamado de 
Regra do Polígono, sendo equivalente à aplicação repetida da Lei do Paralelogramo.
Figura 19 – Adição de três forças. Fonte: O autor.
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EXEMPLO 1
As duas forças, P e Q, atuam sobre um parafuso A. Determine sua resultante.
Figura 20 – Exemplo 1. Fonte: Adaptado de Beer et al. (2012).
Pela regra do triângulo, percebe-se que o ângulo entre as forças P e Q é igual a 155°. Desse 
modo, é possível aplicar a Lei dos Cossenos para definir a forçaresultante R.
A direção (ângulo de inclinação) da força resultante poderá ser definida pela Lei dos 
Senos.
Assim, a inclinação de R, em relação ao eixo horizontal, é:
O que ocorreria se, ao aplicar a Regra do Polígono, a ponta da última força 
encontrasse a cauda da primeira? Nessa situação, a força resultante seria igual a 
zero, e a partícula permaneceria em equilíbrio.
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6.1 Componentes Retangulares de uma Força
Forças que atuam sobre uma mesma partícula podem ser representadas por uma força 
resultante que gere o mesmo efeito de todas juntas. Assim, diz-se que as forças aplicadas nessa 
partícula são as componentes da força resultante.
Decompor uma força em suas componentes corresponde ao processo inverso da adição de 
forças. Para isso, é preciso definir a direção das componentes em relação à força cuja decomposição 
se deseja fazer. É de interesse na análise de forças em partículas conhecer os componentes da 
força nos eixos horizontal e vertical. Assim, as componentes nessas direções são chamadas de 
componentes retangulares.
Seja uma força A com inclinação θ em relação ao eixo horizontal x, como se observa na 
Figura 21. A força A corresponde à soma das forças Ax e Ay (pela Lei do Paralelogramo ou Regra 
do Triângulo). Como os eixos x e y são ortogonais, forma-se um triângulo retângulo, permitindo 
o uso das relações trigonométricas de seno, cosseno e tangente. 
Figura 21 – Componentes retangulares de uma força. Fonte: O autor.
Uma notação vetorial pode ser determinada para a força A em função de suas componentes, 
multiplicando-se os escalares Ax e Ay pelos vetores unitários i e j, respectivamente. Dessa maneira, 
o vetor força A pode ser representado da seguinte maneira:
Equação (1.8)
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EXEMPLO 2
Sabendo que uma força de 800 N é exercida sobre um mastro de bandeira por um cabo 
de aço, determine as componentes horizontal e vertical dessa força no ponto de fixação do cabo 
com o solo.
Figura 22 – Exemplo 2. Fonte: Viero (2008).
A notação anterior é a representação escalar das componentes de força. A notação vetorial 
pode ser feita da seguinte maneira:
6.2 Adição de Forças pela Soma das Componentes Retangulares
A resultante de duas ou mais forças coplanares pode ser feita de maneira analítica pela 
adição das suas componentes retangulares nas direções i e j. Para exemplificar, a Figura 23 ilustra 
três forças R, S e P, aplicadas em uma mesma partícula. A resultante R delas é definida pela 
relação:
Equação (1.9)
Figura 23 – Adição de forças pelas componentes retangulares. Fonte: Adaptado de Beer et al. (2012).
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Decompondo cada força em suas componentes retangulares, tem-se:
Equação (1.10)
Equação (1.11)
 
Dessa maneira, a componente escalar da força resultante nas direções x e y é obtida 
somando-se as componentes escalares de cada força aplicada.
Equação (1.12)
Equação (1.13)
EXEMPLO 3
Um olhal está submetido a duas forças F1 e F2. Determine a intensidade e a direção da 
força resultante.
Figura 24 – Exemplo 3. Fonte: Adaptado de Hibbeler (2011).
As componentes retangulares de cada uma das forças podem ser obtidas pelas razões 
trigonométricas para um triângulo retângulo. A decomposição das forças inclinadas está ilustrada 
na Figura 24. Foi considerado que as forças horizontais, direcionadas para a direita, e as verticais, 
direcionadas para cima, são positivas. A componente escalar da força resultante na direção x é:
A componente escalar da força resultante na direção y é:
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A inclinação da força resultante pode ser obtida pela relação de tangente de um triângulo 
retângulo.
EXEMPLO 4
Quatro forças atuam no parafuso A. Determine a resultante das forças no parafuso.
Figura 25 – Exemplo 4-a. Fonte: Beer et al. (2012).
Uma possível solução para esse problema é adicionar as forças, duas a duas, pela Lei do 
Paralelogramo até restar uma única força, a força resultante. Contudo, aqui será apresentada uma 
solução mais direta, adicionando-se as forças por suas componentes retangulares.
As componentes retangulares de cada uma das forças podem ser obtidas pelas razões 
trigonométricas para um triângulo retângulo. A decomposição das forças inclinadas está ilustrada 
na Figura 26. Foi considerado que as forças horizontais, direcionadas para a direita, e as verticais, 
direcionadas para cima, são positivas.
Figura 26 – Exemplo 4-b. Fonte: Beer et al. (2012).
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A componente escalar da força resultante na direção x é:
A componente escalar da força resultante na direção y é:
A representação vetorial da força resultante fica da seguinte maneira:
Figura 27 – Exemplo 4-c. Fonte: Beer et al. (2012).
A inclinação da força resultante pode ser obtida pela relação de tangente de um triângulo 
retângulo.
Para você compreender a adição de forças no espaço (três dimensões), 
recomendamos a leitura das seções 2.5, 2.6 e 2.7 de Hibbeler (2011) – referência 
completa ao final desta apostila.
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02
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................................................26
1. EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA .........................................................................................................................27
2. DEFINIÇÃO DE MOMENTO DE UMA FORÇA ........................................................................................................30
3. FORÇAS NAS ESTRUTURAS ...................................................................................................................................33
3.1 REDUÇÃO DE UM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO SIMPLES ..........................................................................35
4. EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS .......................................................................................................................37
4.1 APOIOS EM ESTRUTURAS PLANAS ....................................................................................................................38
4.2 MODELOS IDEALIZADOS ...................................................................................................................................... 41
4.3 CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO EM ESTRUTURAS PLANAS ....................................................................43
5. ESTATICIDADE E ESTABILIDADE ...........................................................................................................................44
ESTÁTICA
PROF. ME. ARTHUR ROSINSKI DO NASCIMENTO
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
SISTEMAS ESTRUTURAIS I
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INTRODUÇÃO
Na Unidade 1, foram revisados alguns conceitos da Física e da Matemática, fundamentais 
nas análises da estática. Quando se fala em estática, objetiva-se determinar as condições 
necessárias e suficientes para que o corpo permaneça em equilíbrio.
Inicialmente, na Unidade 2, a análise estática será feita sobre partículas, condição na qual 
a geometria do corpo não influencia o equilíbrio. Para tanto, veremos que a partícula estará em 
equilíbrio se a resultante das forças que atuam sobre ela corresponder ao vetor nulo.
Outra aplicação muito importante da estática é a verificação do equilíbrio de corpos 
rígidos. Nesse momento, será visto os tipos de vínculos, apoios, que podem ser considerados para 
impedir os movimentos translacionais e rotacionais. É por meio deles que o corpo é mantido 
em repouso. Para que isso seja atendido, não bastaque o somatório de forças seja zero: também 
deve ser verificada a possibilidade de a estrutura girar em torno de algum ponto. Isso é garantido 
verificando-se o somatório de momentos igual a zero.
Durante a explicação dos conteúdos, uma abordagem sobre tipos de forças que podem agir 
nas estruturas será dada uma vez que são elas que podem modificar as condições de repouso de 
um corpo. A partir do término desta unidade, você terá condições de estudar as particularidades 
de cada sistema estrutural existente.
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1. EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA
Uma partícula é todo objeto cujas dimensões são desprezíveis quando comparadas com 
o movimento estudado. Pode ser um corpo com qualquer tamanho ou forma, assim entendido 
na abstração de cálculo como um objeto adimensional, pois suas dimensões são desprezíveis 
ou não interferem significativamente nos resultados matemáticos das análises físicas. “Quando 
a resultante de todas as forças que atuam sobre uma partícula é igual a zero, a partícula está em 
equilíbrio” (BEER et al., 2012, p. 37).
Pela Primeira Lei de Newton, pode-se concluir que, se a resultante das forças que atuam 
em um corpo for igual a zero, esse corpo estará em repouso ou se moverá a velocidade constante 
caso esteja, respectivamente, em repouso ou em movimento antes da aplicação das forças.
Duas forças estarão em equilíbrio se as duas tiverem a mesma intensidade e direção, 
porém, de sentidos opostos. Caso haja três ou mais forças coplanares em equilíbrio, seguindo a 
Regra do Polígono para adição dessas forças pelo padrão de adição ponta-cauda, perceber-se-á 
que a ponta da última força coincidirá com a cauda da primeira, fechando-se o polígono. Dessa 
maneira, conclui-se que a resultante das forças será igual a zero. A Figura 1 ilustra essas situações.
Figura 1 – Partícula em equilíbrio; processo gráfico. Fonte: O autor.
Uma força nula tem suas componentes escalares nulas. Assim, consegue-se expressar 
analiticamente o equilíbrio de uma partícula, solicitando as forças coplanares a partir das 
Equações (1.12) e (1.13), da Unidade 1, da seguinte maneira:
Equação (2.1)
Equação (2.2)
Para forças no espaço aplicadas em um ponto, é necessário também ser verificado 
o somatório da componente retangular no eixo z. 
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EXEMPLO 1
Dois cabos estão ligados em C e são carregados como mostra a Figura 2. Determine as 
forças que agem nos cabos AC e BC.
Figura 2 – Exemplo 1-a. Fonte: Beer et al. (2012).
Como as forças estão em equilíbrio, o polígono formado pelas três forças é fechado. 
Considera-se em cada cabo uma força agindo na direção do elemento. Como não se sabe se o 
cabo está tracionado ou comprimido, é suposto, a princípio, que está solicitado por uma força 
de tração. Dessa maneira, é traçado o diagrama de corpo rígido da partícula C, considerando as 
forças que agem nos cabos AC e BC saindo desse nó.
Figura 3 – Exemplo 1-b. Fonte: O autor.
Inicialmente, o problema foi resolvido pelo processo gráfico por meio das relações 
trigonométricas (três forças correspondem aos três lados do triângulo). Como são conhecidos 
todos os ângulos internos do triângulo e uma força, aplica-se facilmente a Lei dos Senos para o 
cálculo das forças Fbc e Fac, como segue:
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Analiticamente, o problema pode ser resolvido pelo somatório das componentes 
retangulares conforme Equações (2.1) e (2.2).
EXEMPLO 2
Considere que uma passarela para pedestres, cujo peso no ponto A é de 736 N, está 
suspensa por dois cabos de aço presos a dois pilares B e C, conforme mostra a Figura 4. Determine 
as forças internas em cada cabo.
Figura 4 – Exemplo 2. Fonte: Beer et al. (2012).
A solução será feita de forma analítica, considerando inicialmente que as barras estejam 
tracionadas. O diagrama de corpo livre do ponto A implica as forças saindo do ponto. Será 
considerada positiva a força que estiver para cima ou para a direita.
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2. DEFINIÇÃO DE MOMENTO DE UMA FORÇA
O momento mede a tendência que uma força faz ao girar um corpo rígido em torno de 
algum eixo. Para exemplificar essa afirmação, apresenta-se a Figura 5. Na imagem, uma força F, 
com intensidade, direção e sentido conhecidos, é aplicada no ponto A. A posição do ponto A 
em relação ao ponto O pode ser determinada pelo vetor r. Define-se o momento da força F em 
relação a O de acordo com a Equação 2.3.
Figura 5 - Momento de uma força. Fonte: Adaptado de Beer et al. (2012).
Equação (2.3)
 
A Equação 2.3 define o momento de uma força com o produto vetorial entre os vetores 
F e r. Assim, a direção de deve ser perpendicular ao plano que contém F e o ponto O. O 
seu sentido pode ser determinado pela regra da mão direita, quando se posiciona a mão sob o 
ponto O e fecha-a, encurvando os dedos no sentido da força F. O polegar indicará o sentido do 
momento .
A intensidade do momento de uma força, conhecido o ângulo θ entre os vetores F e r, 
é dada pela Equação 2.4. Nessa equação, d é a distância perpendicular entre a linha de ação da 
força F e o ponto O. No SI, a intensidade é expressa por N.m (unidade de força vezes unidade de 
comprimento). 
Equação (2.4)
Beer et al. (2012) explicam um binário como sendo um par de forças F e -F de mesma 
intensidade, linhas de ação paralelas e sentidos opostos conforme ilustrado na Figura 6. Assim, a 
força resultante entre as duas forças resulta no vetor nulo. Entretanto, a soma dos momentos das 
duas forças em relação a um ponto é diferente de zero.
Figura 6 – Binário de forças. Fonte: Adaptado de Beer et al. (2012).
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O vetor momento resultante das duas forças que compõem o binário tem direção 
perpendicular ao plano que contém as duas forças. Seu sentido é definido pela regra da mão 
direita, e sua intensidade é calculada pela Equação 2.5.
Equação (2.5)
em que é a distância perpendicular entre as linhas de ação de F e -F. 
A definição anterior parece um pouco complexa. Rebello (2000) explica o que é o momento 
por meio de um exemplo simples e didático ilustrado na Figura 7. Nela, um disco está fixado ao 
seu centro, tendo, na extremidade de um de seus raios, uma carga pendurada por um cabo. Se o 
disco for colocado em uma posição em que o cabo que sustenta a carga não esteja alinhado com 
o seu centro, ele girará até que ocorra o equilíbrio, quando a carga, o cabo e o centro estiverem 
alinhados.
Figura 7 - Momento de uma força. Fonte: Rebello (2000).
A análise das forças que atuam no disco mostra a existência de duas forças: uma de ação, 
representada pelo peso, e outra de reação a esse peso, aplicada no centro do disco, onde ele é 
fixado. Enquanto a linha de ação dessas forças permanecer não alinhada, o disco girará.
Dessa experiência, conclui-se que o giro ocorre enquanto estiver aplicado no disco um 
par de forças, de mesma direção (paralelas verticais), sentidos contrários (uma para cima e outra 
para baixo) e enquanto não estiverem colineares. A um par de forças nessa situação, dá-se o 
nome de binário. Sempre que ocorrer um binário ocorrerá um giro. A esse giro, dá-se o nome de 
momento.
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EXEMPLO 3
Para exemplificar o momento de uma força em uma estrutura bidimensional, é apresentada 
a Figura 8. Aqui, o objetivo é calcular o momento da força de 135 N em relação ao ponto O.
Figura 8 – Exemplo 3. Fonte: Adaptado de Beer et al. (2012).
Nesse exemplo, a força foi substituída por suas componentes P e Q, sendo P na direção 
OA, e Q perpendicular a OA. A intensidade de P é igual a 126,86 N (135.cos20°), e Q é iguala 
46,17 N (135.sen20°). 
De acordo com a Equação 2.4, a intensidade do momento é igual à força vezes d (distância 
perpendicular da linha de ação até o ponto avaliado). Assim, como a linha de ação da força P está 
alinhada com o ponto O, d para essa força é igual a zero, ou seja, a força P não faz o corpo girar 
em torno do ponto O.
Avaliando a força Q, sua linha de ação que passa pelo ponto A distancia-se 
perpendicularmente do ponto O em 0,9 m. Assim:
O sinal negativo do momento indica que a tendência que a força Q provoca na alavanca 
é no sentido horário.
Para saber mais sobre torque ou momento de uma força, acesse 
Torque ou Momento de uma Força, disponível em 
https://www.youtube.com/watch?v=1HxmzkE0HXQ .
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3. FORÇAS NAS ESTRUTURAS
 
Conforme já mencionado, a estrutura corresponde à parte resistente da edificação e tem 
como principal função receber e transmitir forças, mantendo a estabilidade da construção. As 
solicitações nas estruturas são diversas, podendo-se exemplificar o peso dos materiais, cargas de 
vento, cargas de utilização, reação de um pilar sobre uma viga etc. Estudaremos agora os tipos de 
forças nas estruturas.
De maneira primária, pode-se dizer que existem dois tipos de forças: internas e externas. 
As forças internas são esforços que ocorrem no interior dos elementos estruturais, provenientes 
da transferência das forças externas para os apoios. Essas forças serão estudadas na Unidade 3.
As forças externas, por sua vez, são forças provenientes da ação de um corpo sobre 
outro e podem ser subdivididas em dois grupos: forças ativas e forças reativas. As forças ativas 
correspondem aos carregamentos na estrutura e são classificadas de diversos modos, como será 
visto a seguir. As forças reativas correspondem às forças que mantêm o corpo em equilíbrio e 
ocorrerão nos locais onde o elemento, ou a estrutura, estiver conectado ou apoiado. As forças 
reativas são dependentes do tipo de apoio e das forças externas que agem na estrutura.
As forças ativas, classificadas quanto à sua variabilidade no tempo, podem ser, segundo a 
NBR 8681 (ABNT, 2003):
a) Ações permanentes: ocorrem com valores constantes ou de pequena variação em 
torno de sua média, durante praticamente toda a vida da construção. Em outras palavras, as 
ações permanentes são aquelas que atuam constantemente na estrutura. Podem ser permanentes 
diretas (como peso próprio da estrutura e elementos construtivos, peso de empuxos de solos não 
removíveis etc.) ou permanentes indiretas (efeitos da protensão, recalques de apoio e retração de 
materiais).
b) Ações variáveis: ocorrem com valores que apresentam variações significativas em 
torno de sua média durante a vida da construção, ou seja, não possuem um valor fixo para sua 
intensidade ao longo do tempo. Podem estar atuando na estrutura ou não. São exemplos de ações 
variáveis as cargas acidentais (de uso da edificação): forças de frenagem, vento, efeitos da variação 
de temperatura etc.
c) Ações excepcionais: são as que têm duração extremamente curta e muito baixa 
probabilidade de ocorrência durante a vida da construção, mas que devem ser consideradas nos 
projetos de determinadas estruturas. Consideram-se como excepcionais as ações decorrentes de 
causas, tais como: explosões, choques de veículos, incêndios, enchentes ou sismos excepcionais.
As forças ativas também podem ser classificadas quanto à sua lei de distribuição no 
elemento.
a) Forças de superfície: surgem pelo contato direto entre os corpos. Podem ser 
concentradas ou distribuídas:
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• Forças concentradas: são aquelas em que a superfície de contato entre os corpos é tão 
pequena em relação à sua extensão, que convém considerá-la aplicada em um ponto. 
Esse tipo de força é representado por um vetor fixo (possui intensidade, direção, sentido 
e ponto de aplicação definidos).
Figura 9 – Cargas concentradas. Fonte: Rebello (2000).
• Forças distribuídas superficialmente: são aquelas em que o contato se dá em uma região/
área parcial ou total do elemento. Como exemplo, tem-se a pressão de vento sobre as 
paredes de uma edificação ou a carga de uso (pessoas, mobílias etc.) sobre uma laje.
Figura 10 – Cargas distribuídas superficialmente. Fonte: Rebello (2000).
• Forças distribuídas linearmente: são aquelas em que o contato se dá em uma faixa extensa 
e estreita, podendo considerá-la agindo ao longo de uma linha. Como exemplo, tem-se 
a carga de parede sobre uma laje ou viga. Em elementos de barra (unidimensionais), 
costuma-se considerar o peso próprio distribuído ao longo de seu eixo.
Figura 11 – Cargas distribuídas linearmente. Fonte: O autor.
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b) Forças de volume: cargas que se processam por ações à distância, sem contato, como 
a ação gravitacional (peso) ou ações de origem eletromagnética. São distribuídas pelo volume do 
corpo.
A NBR 6120 (ABNT, 1980) fixa as condições exigíveis para determinação dos valores das 
cargas que devem ser consideradas no projeto de estrutura de edificações. Nela, estão especificados 
os pesos específicos dos materiais de construção mais frequentes, assim como os valores mínimos 
de cargas variáveis de utilização que devem ser consideradas nas edificações.
Como exemplo de pesos específicos aparentes definidos pela NBR 6120 (ABNT, 1980), 
temos:
a) Lajotas cerâmicas: 18 kN/m³.
b) Tijolo furado: 13 kN/m³.
c) Tijolo maciço: 18 kN/m³.
d) Argamassa de cal, cimento e areia: 19 kN/m³.
e) Argamassa de cimento e areia: 21 kN/m³.
f) Concreto simples: 24 kN/m³.
g) Concreto armado: 25 kN/m³.
Como exemplo de valores mínimos para carga de utilização, segundo o local de uso, 
definidos pela NBR 6120 (ABNT, 1980), temos:
a) Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro de edificações residenciais: 1,5 kN/m².
b) Despensa, área de serviço e lavanderia de edificações residenciais: 2 kN/m².
c) Escritórios: 2 kN/m².
d) Forros sem acesso a pessoas: 0,5 kN/m².
e) Arquibancadas: 4 kN/m².
f) Salas de aula de escolas: 3 kN/m².
3.1 Redução de um Carregamento Distribuído Simples
Um corpo pode estar sujeito a um carregamento distribuído em sua superfície, como 
cargas de utilização, cargas de vento, pressão de água sobre as paredes de um reservatório etc. A 
pressão exercida em cada ponto da superfície determina a intensidade da carga e é medida em 
Pascal (N/m²) no SI.
Quando se analisa um elemento reticulado e unidimensional (uma das dimensões é 
muito maior que as outras duas), como vigas e pilares, a carga distribuída é considerada ao longo 
de sua extensão. Cargas desse tipo podem ser exemplificadas pelo peso próprio dos elementos e 
carga de paredes. A intensidade das cargas distribuídas ao longo do eixo é medida em N/m no SI.
Hibbeler (2011) define que a intensidade da força resultante de um carregamento 
distribuído é igual à área total A sob o diagrama de carregamento. O sentido da força resultante 
segue o sentido do carregamento distribuído. Essa força resultante equivalente é localizada no 
centroide da área, , sob o carregamento distribuído, ou seja, a força resultante tem a linha de 
ação que passa pelo centro geométrico da área sob o carregamento distribuído. 
Os principais carregamentos distribuídos estão ilustrados na Figura 12, com suas 
respectivas forças equivalentes e localização.
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Figura 12 – Forças equivalentes. Fonte: O autor.
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4. EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS
Diz-se que um corpo está em equilíbrio se a força e o momento resultante das ações 
externas que agem em um corpo forem iguais ao vetor nulo. Beer et al. (2012) estabelecem que as 
condições necessárias e suficientespara o equilíbrio de um corpo são:
Equação (2.6)
Equação (2.7)
 
Decompondo as forças e momentos que agem no corpo rígido, em suas componentes 
retangulares, partindo-se das equações 2.6 e 2.7, podem-se indicar as condições necessárias e 
suficientes para o seu equilíbrio em seis equações escalares:
Equação (2.8)
Equação (2.9)
 
Essas equações, também chamadas de equações de equilíbrio, garantem que, se um corpo 
estiver inicialmente em repouso, após a aplicação das forças e momentos, não sofrerá translações 
ou rotações. Tais equações podem ser utilizadas para o cálculo de forças desconhecidas, como as 
reações que ocorrem nos apoios.
Martha (2010) estabelece que as condições de equilíbrio sejam condições que garantam 
o equilíbrio estático de qualquer porção isolada da estrutura ou da estrutura como um todo. O 
equilíbrio tem de ser garantido globalmente, isto é, para a estrutura como um todo, em cada barra 
isolada e em cada nó isolado.
As condições de equilíbrio das Equações 2.8 e 2.9 são escritas considerando-se a geometria 
original (indeformada) da estrutura. Elas só são válidas quando os deslocamentos que a estrutura 
sofrerá forem muito pequenos em relação às dimensões da estrutura. Essa hipótese é denominada 
de hipótese de pequenos deslocamentos. A análise de estruturas com essa consideração denomina-
se análise de primeira ordem ou elástica.
 O primeiro passo para a solução do problema relativo ao equilíbrio de um corpo 
rígido é traçar o diagrama de corpo livre. Todas as forças externas devem ser representadas nesse 
diagrama. 
As forças podem ser ativas ou reativas. As primeiras são as forças conhecidas e têm 
intensidade, direção e sentido conhecidos, podendo ser exemplificadas pelas cargas permanentes 
e acidentais. Por sua vez, as forças reativas correspondem à reação de outro corpo, ou solo, sobre 
o que está em análise e se opõem a um possível movimento. Elas ocorrem nos pontos em que o 
corpo é apoiado.
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4.1 Apoios em Estruturas Planas
Segundo Almeida (2009), quando uma força é aplicada em um corpo rígido, impõe a ele 
a tendência de deslocamento linear (translação). Já a aplicação de um momento impõe ao corpo 
rígido a tendência de rotação, sintetizando força, que está associada à translação e momento a 
uma rotação.
O vetor deslocamento, linear e angular, pode ser definido pelas componentes nos eixos 
x, y e z. Dessa maneira, qualquer movimento de um ponto no espaço é definido por meio dessas 
seis componentes (três translações e três rotações). Esses movimentos são também chamados de 
graus de liberdade.
Estruturas planas são aquelas em que todos os seus elementos são vinculados em um 
plano, e todas as forças atuantes (ativas ou reativas) também estão contidas nele. 
Quando se trata de estruturas planas, os graus de liberdade são reduzidos a três: duas 
translações (uma em cada direção do plano) e uma rotação (em torno do eixo perpendicular 
ao plano da estrutura). Para que um corpo esteja em repouso, os deslocamentos devem ser 
restringidos pelos apoios.
Rebello (2000) explica o equilíbrio por meio do exemplo da Figura 13. Nela, uma viga 
de massa M está solicitada somente à força de seu peso. Como o elemento está totalmente 
desvinculado, a barra irá deslocar na vertical, em direção ao centro da Terra.
Figura 13 – Translação vertical. Fonte: Rebello (2000).
Uma forma de evitar que a barra se desloque na vertical é criando-se uma vinculação 
que exerça uma reação no sentido contrário ao movimento de translação. Assim, o apoio na 
extremidade da barra impedirá esse movimento. Contudo, a barra ainda estará instável, pois 
pode rotacionar em torno do seu apoio, como se vê na Figura 14.
Figura 14 – Rotação. Fonte: Rebello (2000).
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Uma maneira eficiente de evitar o giro seria inserindo outro apoio na outra extremidade. 
Essa configuração de vínculos impediria a translação vertical e a rotação. Entretanto, caso haja 
alguma força horizontal, ela provocaria o movimento do elemento nessa direção, como se vê à 
esquerda da Figura 15.
Esse movimento translacional pode ser impedido inserindo-se uma trava em qualquer 
dos apoios existentes (ver Figura 15, à direita). Uma estrutura plana estará em equilíbrio estático 
se os movimentos de translação e rotação estiverem impedidos.
Figura 15 – Translação horizontal. Fonte: Adaptado de Rebello (2000).
Os principais tipos de vinculações (apoios ou conexões) que podem ser utilizados em 
estruturas planas estão ilustrados na Figura 16. Nela, apresenta-se a simbologia dos apoios e as 
direções das reações que ocorrerão nessas conexões.
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Figura 16 – Apoios em estruturas planas. Fonte: Beer et al. (2012).
Para cada movimento impedido, aparecerá uma força ou momento no vínculo. Por 
exemplo, os roletes ilustrados impedirão a estrutura de transladar na vertical; dessa maneira, uma 
reação de força aparecerá nesse vínculo, direcionada na vertical, no sentido oposto ao possível 
movimento. Já o apoio do tipo engaste impedirá a estrutura de transladar nas duas direções e 
também de rotacionar. Dessa maneira, surgirão no local do vínculo três reações: duas forças e 
um momento.
Destaque-se que, se o vínculo impedir uma translação, no local da conexão surgirá uma 
força na direção do movimento impedido, porém, no sentido oposto. Se o vínculo impedir uma 
rotação, no local surgirá um momento de binário na direção da rotação, mas no sentido oposto, 
conforme afirma Hibbeler (2011).
Apoios que impedem uma translação são chamados de apoios de primeiro gênero ou 
apoios móveis. Os que impedem duas translações são chamados de segundo gênero ou apoios 
fixos. Já os que impedem duas translações e uma rotação são chamados de apoios de terceiro 
gênero ou engastes.
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Os apoios de primeiro e segundo gêneros, por não impedirem a rotação entre o elemento 
de apoio e o apoiado, são chamados de apoios articulados ou rotulados. Diz-se que os elementos 
conectados por esses tipos de apoios possuem uma ligação flexível. 
Diz-se que a ligação entre o elemento de apoio e o apoiado, cuja rotação relativa entre si 
está impedida, é uma ligação rígida.
4.2 Modelos Idealizados
Hibbeler (2011) informa que, quando se realiza uma análise de estruturas, deve-se 
considerar um modelo analítico ou idealizado, que se comporte o mais próximo possível da 
estrutura real. Martha (2010) afirma que esse modelo deve idealizar a geometria, as condições de 
suporte, o comportamento dos materiais e as solicitações que agem na estrutura real.
Como exemplo de idealização, apresentado na Figura 17, a viga de aço apoia outras três 
vigas treliçadas de uma cobertura. Para análise das forças, é razoável assumir que a viga de aço 
é rígida, pois as deformações não afetarão as condições de equilíbrio da estrutura. No ponto A, 
percebe-se que a viga está impedida de transladar nas direções vertical e horizontal; já o apoio 
B restringe apenas o deslocamento vertical. Assim, é aceitável considerar o apoio A como de 
segundo gênero uma vez que o único deslocamento livre é a rotação, e o apoio B como de primeiro 
gênero, pois restringe somente o deslocamento vertical.
Figura 17 – Idealização de uma viga. Fonte: Adaptado de Hibbeler (2011).
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Cada situação merece ser avaliada isoladamente de forma a identificar as particularidades 
da estrutura. Nesse material, serão considerados modelos idealizados para as análises de forças.
A opção por um ou outro tipo de vínculo depende do modelo físico idealizado para o 
comportamento da estrutura. Por exemplo: quando se quer que as dilataçõestérmicas de uma 
viga não influenciem os pilares sobre os quais ela se apoia, projeta-se um vínculo de primeiro 
gênero num dos pilares de apoio da viga de maneira que ela possa dilatar-se livremente, sem 
aplicar uma força horizontal ao pilar (Figura 18).
Figura 18 – Idealização de uma viga sob variação térmica. Fonte: Rebello (2000).
Como saber se o apoio impedirá uma rotação para considerá-lo um engaste? O 
projetista deve ter ciência de que, para se considerar uma ligação engastada, não 
poderá haver rotação relativa entre o elemento e o seu apoio, ou seja, se a ligação 
é feita com um ângulo de 90° entre os membros estruturais, após a aplicação das 
cargas e a estrutura deformada. O ângulo de 90° deverá ser mantido, e a ligação 
não poderá sofrer rotação. Isso ocorrerá se o membro de apoio possuir grandes 
dimensões e se a estrutura foi detalhada corretamente. O detalhamento do projeto 
é fundamental para validar o modelo idealizado. Não confunda engaste com 
ligações rígidas. Consideram-se ligações rígidas aquelas em que não há rotação 
relativa entre os elementos conectados, porém, a ligação poderá girar. Procure 
saber mais sobre ligações rígidas, flexíveis e semirrígidas.
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4.3 Cálculo das Reações de Apoio em Estruturas Planas
Uma estrutura plana suposta, contida no plano xy, por definição, não possuirá forças 
na direção do eixo z nem momentos nas direções dos eixos x e y. Dessa maneira, das Equações 
2.8 e 2.9, , e já estarão satisfeitas. Isso implica que as 
equações de equilíbrio que necessitarão ser verificadas são:
; ; Equação (2.10)
EXEMPLO 4
Desejam-se calcular as reações nos apoios A e B, desprezando o peso próprio da viga, 
considerando P = 67,5 kN.
Figura 19 – Exemplo 4. Fonte: Adaptado de Beer et al. (2012).
No apoio A, de primeiro gênero, haverá uma força vertical e, no apoio B, uma vertical e 
uma horizontal, pois assim estão orientados. Arbitra-se inicialmente o sentido das forças, pois 
não se conhece o seu sentido correto. Aqui, as forças reativas serão consideradas para cima e para 
a direita como se vê na Figura 19.
As reações de apoio são definidas a partir da Equação 2.10.
OBSERVAÇÃO: nesse problema, considerou-se como positivas as forças direcionadas 
para cima e para a direita e os momentos que tendem a girar no sentido anti-horário. Os sinais 
positivos das forças reativas indicam que os sentidos adotados inicialmente estão corretos.
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5. ESTATICIDADE E ESTABILIDADE
Quando os apoios estão dispostos de maneira que restringem todos os movimentos 
de corpo rígido, diz-se que o corpo está completamente vinculado. Em estruturas planas, as 
vinculações devem impedir as translações nos eixos globais que definem o plano da estrutura e a 
rotação em qualquer ponto em torno do seu eixo normal.
Se a quantidade de apoios for igual ao número de equações de equilíbrio e a estrutura for 
completamente vinculada, diz-se que a estrutura é estaticamente determinada ou isostática. 
Assim, o número de apoios deve ser o estritamente necessário para impedir os deslocamentos de 
corpo rígido. Particularmente, estruturas planas necessitam de, no mínimo, três apoios para se 
manterem estáveis. 
Beer et al. (2012) enfatizam que o fato de o número de incógnitas (reações de apoio) ser 
igual ao número de equações não é garantia de que o corpo esteja completamente vinculado ou 
de que as reações sejam estaticamente determinadas.
 
Figura 20 – Determinação estática. Fonte: O autor.
Na Figura 20, ilustra-se uma treliça, com três disposições diferentes de vinculações. 
Em 20(a), a estrutura é vinculada por um apoio fixo, de segundo gênero, e um apoio móvel, de 
primeiro gênero. Nessa treliça plana, todos os deslocamentos de corpo rígido foram restringidos, 
e o número de reações de apoio (incógnitas) é igual ao número de equações de equilíbrio. Desse 
modo, a estrutura é classificada como estaticamente determinada ou isostática.
Em 20(b), a disposição dos apoios impede todos os deslocamentos de corpo rígido, 
sendo definida como completamente vinculada. O número de incógnitas nessa estrutura é 
maior que o número de equações de equilíbrio, ou seja, essas equações são insuficientes para o 
cálculo das reações. Quando isso ocorre, chama-se a estrutura de estaticamente indeterminada 
ou hiperestática. Nesse tipo de estrutura, há vínculos excedentes ao necessário para evitar os 
deslocamentos de corpo rígido. Chamam-se os vínculos excedentes de apoios redundantes. Para 
determinar todas as forças internas e reativas, será necessário o uso de equações de compatibilidade 
de deslocamentos e/ou de forças nodais.
Para mais exemplos resolvidos, recomenda-se a leitura da seção 5.3, páginas 157 
a 164, de Hibbeler (2011) – referência completa ao final desta apostila.
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Em 20(c), o número de incógnitas é inferior ao número de equações de equilíbrio. Isso 
caracteriza uma estrutura instável, pois não tem vínculos suficientes para impedir o deslocamento 
de corpo rígido. Chama-se esse tipo de estrutura de parcialmente vinculada. Quando o movimento 
de corpo rígido é permitido, a estrutura também pode ser chamada de mecanismo ou estrutura 
hipostática. Comprova-se o movimento da estrutura quando se aplica o e não há 
uma reação para se opor à força horizontal de 10 kN. Caso a estrutura não estivesse solicitada à 
força horizontal de 10 kN, essa estrutura estaria em um equilíbrio instável.
A Figura 21 mostra os casos de estruturas impropriamente vinculadas. Beer et al. 
(2012) concluem que um corpo rígido estará impropriamente vinculado sempre que os suportes, 
mesmo que forneçam um número suficiente de reações, estiverem dispostos de tal modo que as 
reações sejam concorrentes em um mesmo ponto ou paralelas. Em 21(a), a translação horizontal 
é permitida enquanto que, em 21(b), a rotação em torno do apoio inferior esquerdo não é 
restringida.
Figura 21 – Vinculações. Fonte: O autor.
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03
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................................................47
1. DEFINIÇÃO DE ESFORÇOS INTERNOS ..................................................................................................................48
1.1 FORÇA NORMAL .....................................................................................................................................................50
1.2 FORÇA CORTANTE ................................................................................................................................................. 51
1.3 MOMENTO TORÇOR ............................................................................................................................................. 51
1.4 MOMENTO FLETOR ...............................................................................................................................................52
2. CÁLCULO DOS ESFORÇOS INTERNOS ..................................................................................................................53
2.1 CONVENÇÃO DE SINAL .........................................................................................................................................54
3. VIGAS ........................................................................................................................................................................56
3.1 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS EM VIGAS ...........................................................................................57
3.2 ANÁLISE QUALITATIVA DE VIGAS .......................................................................................................................64FORÇAS INTERNAS E ESTUDO DE VIGAS
PROF. ME. ARTHUR ROSINSKI DO NASCIMENTO
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
SISTEMAS ESTRUTURAIS I
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INTRODUÇÃO
Na Unidade 2, foram apresentados os tipos de forças que podem ocorrer em uma 
estrutura. Foram especificadas as forças externas ativas e reativas. As condições necessárias e 
suficientes para que uma estrutura se mantenha em equilíbrio foram mostradas. Tais condições 
são diretamente influenciadas pelas vinculações com outros elementos.
Para que um corpo se mantenha em repouso, é necessário verificar se a força e o momento 
resultante são nulos. O sistema estrutural estará em equilíbrio se as forças externas puderem ser 
transferidas para seus apoios. Para isso, tais forças percorrem os elementos estruturais, produzindo 
o que chamamos de esforços internos.
Nesta unidade, serão definidos os esforços internos que poderão ocorrer em um elemento 
estrutural qualquer. Na sequência, uma análise quantitativa será apresentada para o cálculo dos 
esforços internos em vigas isostáticas. Neste momento, o Método das Seções será estudado.
Contudo, veremos que a análise de vigas por esse método é bastante trabalhosa. Assim, 
far-se-á uma análise qualitativa dos esforços e comportamentos de vigas, sujeitas a diversos 
modos de vinculação.
 
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1. DEFINIÇÃO DE ESFORÇOS INTERNOS
Uma viga biapoiada com uma carga P, concentrada no meio do vão, se mantém em 
equilíbrio pelas vinculações nas suas extremidades. É fácil de saber que as reações verticais serão 
iguais a P/2. O que se pode imaginar é que metade da carga P percorrerá a distância correspondente 
à metade da viga até seus apoios. Desse modo, intuitivamente, sabe-se que haverá esforços no 
interior dos elementos estruturais solicitados por forças externas.
Para se dimensionar um elemento de qualquer material, seja metal, madeira ou concreto, 
é necessário conhecer a intensidade desses esforços internos. Para tal, talvez a principal aplicação 
da estática na análise das estruturas seja o cálculo das forças internas.
As equações de equilíbrio da estática serão utilizadas para o cálculo dos esforços internos 
em uma estrutura. Contudo, será preciso conhecer o tipo de esforço que ocorrerá no local 
seccionado. Para defini-lo, será utilizado o corpo sujeito a forças externas, ilustrado na Figura 1.
Nela, o corpo está em equilíbrio por meio das quatro forças aplicadas. Deseja-se definir 
as forças internas em uma seção específica. Para isso, o Método das Seções é aplicado. Esse 
método consiste em efetuar um corte imaginário, passando pelo local em que os esforços deverão 
ser determinados (1(a)). A análise deverá ser feita em qualquer uma das duas partes do corpo 
seccionado. Nesse trecho, o diagrama de corpo livre deverá ser desenhado. Em 1(b), percebe-se 
uma complexidade na distribuição das forças que agem na seção do trecho avaliado. Essas forças 
correspondem aos efeitos das forças externas naquele local e é de grande dificuldade determiná-
las.
As equações de equilíbrio devem ser utilizadas para definir a resultante de força e momento 
(FR e MRO) para essa distribuição de forças internas. Normalmente, é escolhido o centroide da 
seção transversal para localizar a força e o momento resultantes (1(c)). Essas resultantes podem 
ser decompostas em suas componentes nos eixos de interesse (1(d)).
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Figura 1 – Forças internas. Fonte: Hibbeler (2010).
Na Figura 2, é ilustrado um corpo seccionado perpendicularmente ao eixo longitudinal 
do elemento no plano XZ, pelo Método das Seções, com as componentes retangulares da força e 
momento resultante nos três eixos espaciais: X, Y e Z.
Figura 2 – Componentes das forças internas. Fonte: Hibbeler (2011).
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A componente de força Ny, que atua perpendicularmente à seção transversal, é chamada 
de força normal. As componentes de força Vx e Vz, que são tangentes à seção transversal, são 
chamadas de forças cortantes (ou cisalhantes). O momento de binário My, que atua na direção 
y (ou em torno do eixo y), é chamado de momento torçor (ou torcional). Já as componentes 
do momento resultante, Mx e Mz, são denominadas de momento fletor. Normalmente, esses 
esforços são calculados para atuarem no centroide da seção transversal.
1.1 Força Normal
Se a força interna na direção da barra sair da seção transversal, diz-se que a barra está 
solicitada a uma força de tração. Essa configuração de esforço provoca o alongamento da barra 
no seu eixo longitudinal. Elementos solicitados exclusivamente à força normal de tração são 
chamados de tirantes.
Agora, se a força normal estiver direcionada para dentro da seção, diz-se que a peça está 
solicitada a uma força de compressão. Elementos solicitados à compressão tendem a encurtar de 
tamanho. Quando a peça estiver sujeita exclusivamente a uma força axial de compressão, essa 
peça é denominada de escora.
Figura 3 – Força normal de tração e compressão. Fonte: Adaptado de Rebello (2000).
Elementos comprimidos podem sofrer instabilidade lateral, que é influenciada 
principalmente pela geometria da seção transversal. Essa instabilidade é chamada de flambagem 
e deve ser tratada com extrema importância, pois poderá levar uma peça à ruína antes mesmo que 
o material esgote sua capacidade resistente por compressão. O efeito da flambagem será estudado 
em Sistemas Estruturais 2, mas pode ser ilustrado conforme a Figura 4.
Figura 4 – Flambagem em elementos comprimidos. Fonte: Rebello (2000).
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1.2 Força Cortante
Segundo Silva e Souto (2015), corte ou cisalhamento é o estado de tensão no qual as 
partículas do material deslizam com movimento relativo, umas em relação às outras. Em uniões 
parafusadas, os parafusos tendem a se cortar. Uma perfuradora emprega o corte para produzir 
furos em uma folha de papel. O peso de uma viga em balanço engastada em uma parede tende a 
cortar a viga junto ao engaste.
Figura 5 – Força cortante. Fonte: Hibbeler (2010).
Na Figura 5, há uma tendência de corte nas seções AB e CD, pois correspondem ao local 
com força cortante máxima no elemento.
1.3 Momento Torçor
Momento é a tendência de rotação em torno de algum eixo. Quando esse eixo corresponde 
ao eixo longitudinal do elemento, esse momento é denominado momento torçor ou torque. 
Uma peça retilínea solicitada por esse esforço permanecerá reta após a aplicação do momento. 
Entretanto, as seções transversais sofrerão deslizamento umas em relação às outras, provocando 
uma variação angular ao longo do eixo (Figura 6).
Figura 6 – Momento torçor. Fonte: Hibbeler (2010).
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1.4 Momento Fletor
Silva e Souto (2015) afirmam que a compressão e a tração em distintas fibras do mesmo 
elemento estrutural denominam-se flexão e desempenham um papel fundamental na maioria 
dos sistemas estruturais. As deformações provocadas pelo esforço de momento fletor ocorrem ao 
longo da peça, encurvando-a.
Figura 7 – Deformações devido ao momento fletor. Fonte: Rebello (2000).
Figura 8 – Flexão. Fonte: Silva e Souto (2015).
A tração e a compressão aumentam em proporção direta à distância das fibras à linha 
neutra. A flexão pode ser considerada um mecanismo estrutural capaz de canalizar cargas 
verticais em direção horizontal, sendo muito importante a sua análise em sistemas estruturais de 
massa ativa.
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2. CÁLCULO DOS ESFORÇOS INTERNOS
De acordo com Hibbeler (2011), as componentes ilustradas na Figura2 podem ser 
definidas pelas equações de equilíbrio apresentadas na Unidade 1 e transcritas a seguir.
Equação (3.1)
Equação (3.2)
 
Quando se analisa um corpo solicitado por um sistema de forças coplanares, haverá na 
seção apenas a componente de força normal, uma componente da força cisalhante (na direção 
da força) e uma componente do momento fletor (perpendicular ao plano das forças). Tais 
informações podem ser ilustradas na Figura 9.
Figura 9 – Forças internas em estruturas planas. Fonte: Adaptado de Hibbeler (2010).
Desse modo, em estruturas planas, as equações utilizadas na determinação dos esforços 
internos na seção são reduzidas a três. Considerando os eixos ilustrados na Figura 9, as equações 
de equilíbrio serão:
Equação (3.3)
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2.1 Convenção de Sinal
A convenção de sinais, segundo Hibbeler (2011), pode ser adotada arbitrariamente. 
Contudo, é comum utilizar a convenção apresentada na Figura 10 para os esforços em uma 
estrutura plana. 
Figura 10 – Convenção de sinais. Fonte: Adaptado de Hibbeler (2011).
EXEMPLO 1
Desejam-se calcular os esforços internos na seção C do pórtico a seguir.
Figura 11 – Exemplo 1-a. Fonte: O autor.
Inicialmente, deve-se calcular o equilíbrio de corpo rígido para o pórtico, obtendo-se, 
assim, as reações de apoio em A e B. Para isso, arbitraram-se os sentidos das forças reativas em 
cada apoio.
Para resolver o equilíbrio, deve-se definir a força concentrada equivalente do carregamento 
distribuído. Essa força concentrada tem o valor da área do retângulo que representa o carregamento. 
Como ela está distribuída em 4,00 m com 10 kN/m, a força concentrada terá o valor de 40 kN, 
localizada no centro da barra vertical.
Figura 12 – Exemplo 1-b. Fonte: O autor.
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Não foram consideradas as forças Ax e Ay na equação de somatório de momentos, pois a 
linha de ação dessas forças coincide com o ponto A. O sinal Negativo de indica que a orientação 
correta dessa força é para baixo.
Para o cálculo dos esforços internos, a estrutura é seccionada em duas partes no ponto 
C. Foi escolhido o lado direito para análise, pois é o trecho menos trabalhoso matematicamente.
Figura 13 – Exemplo 1-c. Fonte: O autor
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3. VIGAS
Segundo Engel (2018), sistemas estruturais de massa ativa são sistemas de elementos 
lineares rígidos e superficiais, nos quais a redistribuição de forças é efetuada por meio da 
mobilização das forças internas. Os elementos do sistema são submetidos principalmente à flexão, 
mas também podem estar solicitados por forças axiais e cortantes. As principais características 
desses sistemas são o perfil da seção transversal e a continuidade da massa.
Engel (2018) ainda define viga como elementos lineares, resistentes à flexão, e que não 
só são capazes de resistir às forças que atuam na direção de seu eixo, mas também, por meio de 
esforços seccionais, são capazes de suportar forças perpendiculares a seu eixo e transmiti-las 
lateralmente até seus apoios extremos. As vigas são os elementos básicos dos sistemas estruturais 
de massa ativa.
Rebello (2000) cita que a alma de uma viga é a porção vertical de sua seção. Desse 
modo, uma viga de alma cheia é aquela que não apresenta vazios em sua alma. Quando uma 
barra horizontal, apoiada em seus extremos, é solicitada por cargas transversais ao seu eixo, 
ela se deforma. Ao sofrer essas deformações, as seções transversais giram em torno do seu eixo 
horizontal, deformando-se verticalmente. Aos deslocamentos verticais, dá-se o nome de flecha 
(Figura 14). O giro das seções é provocado por um binário de forças denominado momento 
fletor, que provoca a flexão. 
Figura 14 – Flecha em vigas. Fonte: Adaptado de Rebello (2000).
Percebe-se, pela Figura 14, que uma viga biapoiada, solicitada a um carregamento 
vertical gravitacional, irá fletir, aumentando suavemente a parte inferior da viga e encurtando a 
parte superior. Isso ocorre quando uma força de tração ocorre na região inferior e uma força de 
compressão na região superior da seção transversal. Essas forças geram o binário de momento 
fletor e, em contrapartida, a flexão.
Engel (2018) enfatiza que a seção da viga, isto é, a distribuição de sua massa com relação 
ao eixo neutro, é decisiva para o mecanismo resistente de sistemas estruturais de massa ativa. 
Quanto mais distante do eixo neutro estiver a massa, maior será a resistência à flexão.
 
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3.1 Diagramas de Esforços Internos em Vigas
Pelo Exemplo 1, foi possível definir as forças internas no ponto C, pelo Método das 
Seções e equações de equilíbrio. Contudo, na maioria das vezes, desejam-se conhecer os esforços 
internos ao longo do elemento, com o intuito de obter os esforços máximos e a sua distribuição 
longitudinal.
Para isso, a seção deve ser feita a uma distância X a partir de um referencial. Normalmente, 
a origem do eixo x é considerada na extremidade esquerda da viga, e os esforços corresponderão 
a uma função de x. Os gráficos dessas funções são chamados de diagramas de esforços internos.
A cada intervalo de carregamento, uma nova seção deverá ser feita uma vez que alterará 
a distribuição das forças internas.
Conhecer a distribuição de esforços é de extrema importância para o 
dimensionamento dos elementos estruturais, sejam eles um pilar, uma viga, uma 
laje, um cabo ou qualquer outro componente estrutural. O sistema construtivo mais 
utilizado no Brasil para elementos estruturais é executado em concreto armado. 
Esse sistema consiste em associar o concreto com barras de aço. A principal 
aplicação das armaduras é resistir aos esforços de tração. Portanto, o detalhamento 
correto dos diagramas de força normal e momento fletor é fundamental para 
o dimensionamento das barras que serão dispostas longitudinalmente. Outra 
aplicação das armaduras é melhorar a capacidade resistente aos esforços de 
cisalhamento. Armaduras para essa finalidade são chamadas de estribos, e seu 
dimensionamento é fundamentado no correto detalhamento do diagrama da força 
cortante.
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EXEMPLO 2 
Desejam-se obter as equações que definem os esforços internos para a viga a seguir e os 
respectivos diagramas.
Figura 15 – Exemplo 2-a. Fonte: O autor.
De acordo com o intervalo de carregamento, é definida uma seção diferente. Portanto, 
neste problema, deverão ser consideradas duas seções: uma de A até C, e outra de C até B.
• Seção 1 (domínio das funções: ).
Uma seção deverá ser passada a uma distância X, a partir da extremidade esquerda, 
considerada aqui a origem do eixo horizontal. Para a seção 1, X somente poderá assumir valores 
de 0 a L/2.
Figura 16 – Exemplo 2-b. Fonte: O autor.
Para desenvolver as equações dos esforços internos, optou-se por considerar o equilíbrio 
da parte esquerda da seção.
Equação 1 Equação 2 Equação 3
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• Seção 2 (domínio das funções: ).
Uma seção deverá ser passada a uma distância X, a partir da extremidade esquerda, 
considerada aqui a origem do eixo horizontal. Para a seção 2, X somente poderá assumir valores 
de L/2 a L.
Figura 17 – Exemplo 2-c. Fonte: O autor.
Para desenvolver as equações dos esforços internos, optou-se por considerar o equilíbrio 
da parte direita da seção.
Equação 4 Equação 5 Equação 6
Para desenhar os diagramas de esforços internos, devem-se atribuir valores para as 
funções e representar esses valores em um gráfico.
• Esforço normal: esse esforço está representado pelas equações 1 e 4. Ambas as equações 
são constantes, com valor nulo. Desse modo, para a