16 Aula - Dinamica de corpos rigidos - rotação em torno de um eixo fixo

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Dinâmica de corpos rígidos: rotação em 
torno de um eixo fixo
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem estudaremos a cinética de um movimento, especialmente a 
rotação em torno de um eixo fixo. Identificaremos as principais características do movimento de 
um corpo rígido tridimensionalmente e estudaremos as forças, bem como o momento angular 
envolvido.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar as características da Rotação em Torno de um Eixo Fixo quanto aos Aspectos 
da Dinâmica de Corpos Rígidos.
•
Expressar as equações que participam do movimento de rotação.•
Determinar forças, momento angular e quantidade de momento angular a partir do estudo 
da rotação em torno de um eixo fixo.
•
DESAFIO
Uma empresa de desenvolvimento de ferramentas de cortes, pediu para determinada equipe de 
engenheiros fazer um dispositivo em que se fixe uma serra portátil, na qual tem um rotor de seu 
motor com uma massa total de 2,0 kg e raio de giração combinado de 0,05 m.
Sabendo que a lâmina de corte gira a uma taxa ω1=1.800 rpm e que este dispositivo deve fazer 
a serra girar a uma velocidade angular constante de ω2= -3,5 rad/s, busque determinar para esta 
aplicação funcionar, a intensidade e direção do binário M na qual o dispositivo deve exercer 
sobre a alça da serra portátil.
INFOGRÁFICO
Veja no esquema o que veremos nesta unidade de aprendizagem.
CONTEÚDO DO LIVRO
Para compreendermos a Dinâmica de Corpos Rígidos e a Rotação em Torno de Um Eixo 
Fixo é importante entender como são estudados os movimentos e forças de um corpo 
rígido tridimensional.
Aprofunde seus conhecimentos neste capítulo Dinâmica de Corpos Rígidos: Rotação em Torno 
de um Eixo Fixo do livro Dinâmica, base teórica para esta unidade de aprendizagem.
Boa leitura.
DINÂMICA
Ivan Rodrigo Kaufman
Revisão técnica:
Eduardo Vinícius Galle 
Bacharel em Física
Catalogação na publicação: Karin Lorien Menoncin – CRB 10/2147
D583 Dinâmica / Ivan Rodrigo Kaufmann... [et al.] ; [revisão técnica:
Eduardo Vinícius Galle]. – Porto Alegre : SAGAH, 2018.
348 p. : il. ; 22,5 cm 
ISBN 978-85-9502-365-9
1. Física. I. Kaufmann, Ivan Rodrigo.
CDU 531.3
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Dinâmica de corpos 
rígidos: rotação em 
torno de um eixo fixo
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Identificar as características da rotação em torno de um eixo fixo 
quanto aos aspectos da dinâmica de corpos rígidos.
  Expressar as equações que participam do movimento de rotação.
  Determinar forças, momento angular e quantidade de momento 
angular a partir do estudo da rotação em torno de um eixo fixo.
Introdução
Neste capítulo, estudaremos a cinética de um movimento, especial-
mente a rotação em torno de um eixo fixo. Identificaremos as principais 
características do movimento de um corpo rígido tridimensionalmente 
e estudaremos as forças, bem como o momento angular envolvido.
Características da rotação de um corpo 
rígido em torno de um eixo fixo
Toda vez que você abre uma porta, está rotacionando um corpo rígido em 
torno de um eixo fixo. Quando abre uma torneira, quando centrifuga roupa ou 
quando se diverte em um parque de diversões no brinquedo kamikaze ou barco 
viking, você está sujeito a forças e torques atuando sobre um corpo rígido em 
movimento de rotação em torno de um eixo fixo. Aqui, não trataremos das 
situações físicas envolvendo rotação e translação, como é o exemplo da roda 
de um carro, que, ao se deslocar, tem um movimento de rotação em torno do 
seu centro de massa concomitantemente com um deslocamento translacional. 
Somente vamos analisar os movimentos de rotação em torno de um eixo fixo 
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que não muda de posição. Por isso é dito eixo fixo. O movimento de rotação 
pode ter o eixo fixado no centro de massa do objeto, mas também pode estar 
fixado em qualquer ponto arbitrário do corpo rígido.
A Figura 1 mostra duas situações de rotação do mesmo objeto rígido, 
representado por um disco dependurado na vertical, sob ação da gravidade. 
O primeiro eixo de rotação passa pelo seu centro de massa (representado 
em preto na figura) e é perpendicular ao seu movimento de rotação. A 
segunda situação mostra um eixo de rotação fixado em uma das extre-
midades do disco. Digamos que você aplique uma força na extremidade 
de cada um dos discos; que tipo de movimento poderia observar em cada 
uma das situações?
Note que, em ambos os discos, existiria o movimento de rotação, em 
que o eixo de rotação é diferente para cada um dos casos. Portanto, um 
eixo de rotação fixo pode estar localizado em um local no disco que não 
seja o centro de massa. Além de um disco, você pode pensar em qualquer 
forma de um objeto rígido fixado por um eixo de rotação em qualquer 
parte dele. Se o eixo de rotação permanece estático frente ao movimento 
de rotação, teremos um movimento de rotação puro em torno de um eixo 
predeterminado.
Figura 1. Disco da esquerda com eixo de rotação no centro de massa (representado 
em preto) e disco da direita com eixo de rotação fixado na borda, dependurado 
e sob efeito da gravidade.
Agora pense no primeiro disco (que tem o eixo de rotação fixado no seu 
centro de massa) como sendo composto por vários pedaços infinitesimais 
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(com elemento de massa dm). Digamos que o disco esteja rotacionando; que 
tipo de trajetória cada um desses pedaços dm descreve? É fácil visualizar que 
o movimento descrito pelas massas dm é uma trajetória circular, com raio de 
curvatura indo do centro de rotação até o pedaço dm. No caso do segundo 
disco, que tem um movimento parecido com um pêndulo quando dependurado 
por uma das suas extremidades e sob efeito da gravidade, a trajetória de cada 
pedaço infinitesimal de massa também pode ser descrita por um movimento 
circular. Porém, se não possuir energia suficiente, descreverá somente uma 
parte desse movimento circular, em um movimento de vai e vem em torno do 
raio de curvatura em relação ao eixo fixado.
As variáveis físicas que descrevem o movimento de rotação em torno de um eixo 
fixo são a posição angular, o deslocamento angular, velocidade angular e acelera-
ção angular. A partir dessas variáveis, podemos inferir outras propriedades físicas 
relacionadas com força, torque (ou momento de força), momento angular e energia 
cinética de rotação.
Equações que participam 
do movimento de rotação
O movimento de rotação pode ser descrito utilizando algumas propriedades 
físicas angulares, da mesma forma como um movimento translacional é descrito 
pelas propriedades físicas lineares. As equações que descrevem o movimento 
de rotação em torno de um eixo fixo são apresentadas a seguir.
A posição angular (θ, em graus ou radianos) é uma medida de ângulo rela-
tiva a posição em que o corpo rígido se encontra no sistema de coordenadas. 
Quando você quiser inferir a posição final em relação a uma posição inicial 
do corpo rígido, pode expressar essa rotação com uma medida de ângulo, 
referente ao deslocamento angular que o corpo se moveu (Δθ, em graus ou 
radianos). O deslocamento angular pode resultar em uma medida de ângulo 
negativa quando o movimento acontece no sentido horário, e positiva quando 
acontece no sentido anti-horário. Uma revolução completa, ou seja, uma volta 
completa do movimento de rotação, significa um deslocamento angular de 
2π rad, ou 360°.
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Os ângulos de Euler são medidas angulares para um corpo rígido em um espaço 
tridimensional. No link abaixo, você verá uma breve introdução sobre como estão 
localizados esses ângulos e como eles são importantes no movimento de rotação.
https://goo.gl/6pSdMb
A descrição matemática dos ângulosde Euler pode ser encontrada neste link:
https://goo.gl/H8XgTJ
Já a velocidade angular (ω) é a taxa temporal com que o deslocamento 
angular acontece, ou seja:
Podemos, ainda, calcular a velocidade angular instantânea, quando o limite 
da variação no tempo Δt tende a zero:
Se o movimento de rotação está sob a influência de uma força externa, 
causando um torque no sistema, é interessante expressar a taxa de variação 
da velocidade angular, representada pela aceleração angular:
A unidade geralmente utilizada para a velocidade angular é de rad/s; para 
a aceleração angular, de rad/s2.
A relação entre as variáveis lineares de um ponto no corpo e angulares de 
velocidade e aceleração são expressas pelas seguintes equações:
onde v é a velocidade linear (em m/s), a a aceleração linear (em m/s2) 
e r a distância (em metros) do centro de rotação ao ponto de análise dos 
vetores lineares.
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Quando o corpo rígido, que tem um movimento de rotação, é submetido 
a forças externas, um momento de força (ou torque) pode ser inferido. Em 
um sistema submetido a várias forças externas, como o mostrado na Figura 
2, é interessante expressarmos o somatório das forças atuando na direção 
tangencial e normal do sistema.
Figura 2. Corpo rígido qualquer com eixo de rota-
ção ficado em O, submetido a várias forças externas.
Fonte: Hibbeler (2016, p. 441).
De modo que temos:
onde Fn, Ft, (aG)n e (aG)t são as forças e acelerações lineares atuando nas 
direções normal e tangencial. rG é a distância do eixo de rotação ao centro de 
massa do objeto. O momento de inércia em torno de um eixo fixo passando 
pelo centro de massa G é representado por IG, bem como o momento de força 
MG quando o eixo de rotação está passando pelo centro de massa. Quando 
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o eixo de rotação não coincide com o centro de massa do objeto, podemos 
calcular o somatório dos momentos de força para um ponto P qualquer, 
representado por MP, onde (aG)t é a aceleração no sentido tangencial do 
movimento de rotação.
A (aG)t é a aceleração linear perpendicular ao vetor posição que vai do 
eixo de rotação localizado em P até o centro de massa do sistema. Por 
isso podemos assumir que (aG)t = ar. Já a (aG)n é a aceleração centrípeta, 
direcionada sobre eixo que vai do centro de massa até o ponto P. Como a 
aceleração centrípeta é denotada como a = v2/r, podemos substituir v por 
ωr e, assim, obter ω²r.
Da mesma forma como o movimento translacional, no movimento rotacional as 
equações dinâmicas são mais facilmente entendidas quando desenhamos o diagrama 
de corpo livre e o diagrama cinético. Dessa maneira, temos uma visualização mais 
nítidas das forças e da dinâmica envolvida nos movimentos, facilitando a resolução 
de problemas físicos mais complexos.
Forças, momento angular e quantidade de 
momento angular do movimento de rotação 
em torno de um eixo fixo
Um objeto rígido que tem um movimento de rotação permanece nesse movi-
mento até que uma força externa, que causa um torque resultante no objeto, 
é aplicada ao corpo. Essa característica do objeto continuar rotacionando em 
torno de um eixo fixo é chamada inércia rotacional. Similarmente ao conceito 
de momento linear (p) (que é o produto da massa multiplicado pela velocidade 
linear), o objeto rígido submetido ao movimento de rotação resulta em um 
momento angular (l). Todos os objetos que tem um movimento de rotação 
possuem uma quantidade de momento angular associada.
O momento angular l de uma partícula com movimento de rotação é definido 
como o produto vetorial entre o momento linear e o vetor posição:
Dinâmica de corpos rígidos: rotação em torno de um eixo fixo6
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Vamos agora avaliar o momento angular de um sistema de partículas que 
compõem um corpo rígido em movimento de rotação em torno de um eixo fixo. 
Para tanto, digamos que temos um objeto rígido com movimento de rotação 
em torno do eixo z, passando pelo centro de massa, como ilustrado na Figura 
3. Vamos analisar o movimento para uma velocidade angular constante, com 
aceleração angular nula. Ou seja, a resultante de forças e de torque aplicadas 
ao corpo é zero.
Figura 3. Um corpo rígido qualquer com rotação em torno de um eixo 
fixo passando pela coordenada z.
Podemos encontrar o momento angular total de um corpo rígido so-
mando todos os momentos angulares dos elementos de massa. Digamos 
que acompanhamos o movimento angular de um elemento infinitesimal 
de massa Δmi, que descreve um movimento circular em torno do eixo de 
rotação em z, de raio Ri. Note que Ri é perpendicular ao eixo de rotação 
do corpo rígido. O elemento de massa Δmi está localizando em relação à 
origem do sistema de coordenadas O pelo vetor ri. O valor do momento 
angular li do elemento de massa Δmi em respeito à origem do sistema de 
coordenadas é dado por:
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onde pi e vi são os valores do momento linear e velocidade 
linear do elemento de massa Δmi, e 90° é o ângulo formado entre os vetores 
ri e pi. Note que o vetor pi está na direção tangencial do movimento, paralelo 
ao plano x e y. Pela regra da mão direita, quando fechamos o vetor ri com o 
vetor pi (que são perpendiculares entre si), o vetor momento angular li aponta 
na direção negativa do eixo x, fazendo um ângulo θ em relação ao eixo z (o 
elemento Δmi está sobre o terceiro quadrante do plano x e y, conforme ilustrado 
pela linha tracejada na figura). Como o movimento de rotação do corpo rígido 
acontece paralelamente aos planos x e y, o momento angular total aponta na 
direção z com um ângulo θ. Por isso, estamos interessados no momento angular 
li na direção z, liz. Desse modo, escrevemos:
Como ri.senθ = Ri, reescrevemos a equação como:
E, por fim, somamos todos os momentos angulares para todas as massas 
mi para obter o momento angular total do corpo rígido, Lz.
Como vi = ωRi e ω é uma constante,
O somatório é o momento de inércia do corpo rígido em 
torno de um eixo fixo. Esse somatório poderia ser substituído por uma 
integral, já que estamos somando partes infinitesimais de um corpo rígido. 
Porém, o raciocínio não muda quando usamos um somatório. A equação 
acima se reduz a:
Uma força externa resultante atuando no corpo rígido e que gere um torque 
resultante causará uma mudança na velocidade angular e, assim, também 
causará uma mudança no momento angular. Se a geometria do corpo rígido 
muda em um movimento de rotação, sem atuação de um torque resultante 
sobre o sistema, o momento de inércia muda e a velocidade angular também 
muda, conservando a quantidade de momento angular.
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Você já deve ter feito a brincadeira em uma feira de ciências na qual você senta em 
uma cadeira que gira livremente e segura massas em cada uma de suas mãos. Quando 
você é posto a girar por alguém, você é aconselhado a recolher as massas para perto 
de si. Após atingir uma certa velocidade de rotação, a força externa cessa e você é 
aconselhado a estender as suas mãos, com as massas, para fora. O que acontece? 
Quando você coloca as massas em uma posição mais distante do eixo de rotação da 
cadeira, você está mudando o momento de inércia do sistema, uma vez que a geometria 
do sistema mudou (agora as massas estão mais afastadas do eixo de rotação). Porém, 
como a força havia cessado e você tinha certa velocidade de rotação com as massas 
recolhidas para perto de si, após estender as suas mãos, o momento angular total é 
mantido (já que não existe mais força externa sendo aplicada). 
Assim, para conservar o momento angular, como o momento de inércia aumenta 
quando estendidos os braços para fora, a velocidadeangular diminui. Você pode fazer 
esse experimento na sua casa com auxílio de alguém. Segurando massas pesadas em 
cada uma das mãos, recolha os braços e peça para alguém colocar você em rotação 
na cadeira giratória. Após atingir uma certa velocidade, peça para a pessoa parar de 
girar você e estenda os braços para fora. Note que a sua velocidade angular de rotação 
diminui, conservando o momento angular total adquirido inicialmente pelo momento 
de força induzido pelo seu colega.
1. A barra metálica AB está presa 
ao braço BCD que gira com uma 
velocidade angular constante ω 
em torno da linha do centro da sua 
porção vertical CD. Determine a 
intensidade da velocidade angular ω.
a) ω = 2058,63 rad/s.
b) ω = 808,72 rad/s.
c) ω = 45,37 rad/s.
d) ω = 28,44 rad/s.
e) ω = 32,15 rad/s.
2. A barra delgada AB está presa por um 
grampo ao braço BCD que gira com 
uma velocidade angular constante 
ω em torno da linha do centro da 
sua porção vertical CD. Determine a 
intensidade da velocidade angular ω.
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a) ω = 2,02 rad/s.
b) ω = 2,46 rad/s.
c) ω = 4,08 rad/s.
d) ω = 1,57 rad/s.
e) ω = 3,06 rad/s.
3. Dois discos, cada um com massa 
de 7 kg e raio de 150 mm, giram 
a uma taxa de ω 1 = 2.000 rpm 
em torno de uma barra AB de 
massa desprezível, que, por sua 
vez, gira em torno do eixo vertical 
à taxa ω 2. Determine o máximo 
valor admissível de ω 2 para 
que as intensidades das reações 
dinâmicas nos pontos C e D não 
excedam 320 N cada uma.
a) ω 2 = 61,65 rpm.
b) ω 2 = 21,13 rpm.
c) ω 2 = 42,67 rpm.
d) ω 2 = 56,17 rpm.
e) ω 2 = 37,05 rpm.
4. Um disco de 500 g, com velocidade 
angular ω 1= 1200 rpm, possui 
uma segunda rotação no eixo 
AB, conforme mostrado na 
figura, com velocidade angular 
ω 2. Determine as reações 
dinâmicas em A e B desde que não 
ultrapasse de 1,25 N cada um.
a) ω 2 = 43,67 rad/s.
b) ω 2= 26,53 rad/s.
c) ω 2= 44,98 rad/s.
d) ω 2= 62,45 rad/s.
e) ω 2= 15,66 rad/s.
5. Um disco de 400 g, com velocidade 
angular ω 1= 1.000 rpm, possui 
uma segunda rotação no eixo 
AB, conforme mostrado na 
figura, com velocidade angular 
ω 2 de 10 rad/s. Determine as 
reações dinâmicas em A e B.
a) A = (0,7235 N)k.
B = - (0,7235 N)k.
b) A = (0,2157 N)k.
B = - (0,2157 N)k.
c) A = (0,5236 N)k.
B = - (0,5236 N)k.
d) A = (0,3384 N)k.
B = - (0,3384 N)k.
e) A = (0,4242 N)k.
B = - (0,4242 N)k.
Dinâmica de corpos rígidos: rotação em torno de um eixo fixo10
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HIBBELER, R. C. Statics and dynamics. 14. ed. New Jersey: Pearson, 2016.
Leituras recomendadas
BEER, P. F. et al. Vector mechanics for engineers: statics and dynamics. 9. ed. New York: 
McGraw-Hill, 2010.
WALKER, J.; HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentals of physics. 10. Ed. New Jersey: 
John Wiley & Sons, 2014.
Referência
11Dinâmica de corpos rígidos: rotação em torno de um eixo fixo
Cap_19_Dinamica.indd 11 23/02/2018 09:58:20
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DICA DO PROFESSOR
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Eixo Fixo.
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EXERCÍCIOS
1) A barra metálica AB está presa ao braço BCD que gira com uma velocidade angular 
constante ω em torno da linha do centro de sua porção vertical CD. Determine a 
intensidade da velocidade angular ω.
A) ω = 2058,63 rad/s.
B) ω = 808,72 rad/s.
C) ω = 45,37 rad/s.
D) ω = 28,44 rad/s.
E) ω = 32,15 rad/s.
2) A barra delgada AB está presa por um grampo ao braço BCD que gira com uma 
velocidade angular constante ω em torno da linha do centro de sua porção vertical CD. 
Determine a intensidade da velocidade angular ω.
A) ω= 2,02 rad/s.
B) ω = 2,46 rad/s.
C) ω = 4,08 rad/s.
D) ω = 1,57 rad/s.
E) ω = 3,06 rad/s.
3) Dois discos, cada qual com massa de 7 kg e raio de 150 mm, giram a uma taxa de ω1= 
2.000 rpm em torno de uma barra AB de massa desprezível que, por sua vez, gira em torno 
do eixo vertical à taxa ω2. Determine o máximo valor admissível de ω2 para que as 
intensidades das reações dinâmicas nos pontos C e D não excedam 320N cada uma.
A) ω2 = 61,65 rpm.
B) ω2 = 21,13 rpm.
C) ω2 = 42,67 rpm.
D) ω2 = 56,17 rpm.
E) ω2 = 37,05 rpm.
4) Um disco de 500 g, com velocidade angular ω1= 1200 rpm, possui um a segunda rotação no 
eixo AB, conforme mostrado na figura com velocidade angular ω2. Determine as reações 
dinâmicas em A e B desde que não ultrapasse de 1,25 N cada um.
A) ω2= 43,67 rad/s.
B) ω2= 26,53 rad/s.
C) ω2= 44,98 rad/s.
D) ω2= 62,45 rad/s.
E) ω2= 15,66 rad/s.
Um disco de 400 g, com velocidade angular ω1= 1000 rpm, possui um a segunda rotação no 
eixo AB, conforme mostrado na figura com velocidade angular ω2 de 10 rad/s. Determine 
as reações dinâmicas em A e B.
5) 
A) A = (0,7235 N)k 
B = -(0,7235 N)k.
B) A = (0,2157 N)k 
B = -(0,2157 N)k.
C) A = (0,5236 N)k 
B = -(0,5236 N)k.
D) A = (0,3384 N)k 
B = -(0,3384 N)k.
E) A = (0,4242 N)k 
B = -(0,4242 N)k.
NA PRÁTICA
Acompanhe um exemplo prático da aplicação na mecânica dos efeitos da rotação em torno 
de um eixo fixo.
 
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Física 1 - Dinâmica das rotações (vídeo 2 de 4)
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Física 1 - Dinâmica das rotações (vídeo 3 de 4)
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Física 1 - Dinâmica das rotações (vídeo 4 de 4)
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Rotação em torno de um eixo fixo
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