Prévia do material em texto
3ª Lista de Exercícios 1)Um oscilador harmônico não amortecido possui massa m = 15 kg e rigidez k = 600 kN/m. Determinar a amplitude da resposta a uma força harmônica de amplitude F0= 30 N e freqüência: (a) ω = 50 rad/s; Resp. 53,33x 10-6 (b) ω =190 rad/s; Resp. 512,8x 10-6 (c) ω = 500 rad/s; Resp. -9,524x 10-6 2)Um oscilador harmônico não amortecido possui massa m = 0,3 kg e rigidez k = 1 kN/m. Determinar a magnitude da força atuante que produz uma vibração com amplitude 0,5 mm e freqüência 377 rad/s. Resp. Fo = -20,82N 3)Uma massam está suspensa por uma mola de rigidez 4 kN/m e é submetida a uma força harmônica com amplitude de 100 N e frequência de 5 Hz. Observa-se que a amplitude do movimento forçado da massa é 20 mm. Determinar o valor da massam. Resp. m=9,119kg 4)Em um sistema massa-mola é aplicada uma força harmônica F(t) = F0 cos t em um ponto da mola localizado a uma distância de 25% de seu comprimento, como mostra a Fig. 3.1, medida a partir da extremidade fixa. Assumindo que não há amortecimento, determinar a resposta de regime permanente da massam. Resp. x(t) =(F0/4(k-mω²))cosωt 5) Um oscilador harmônico não amortecido possui massam = 6 kg e rigidez desconhecida. Executou-se um teste com uma força harmônica de amplitude F0 = 1 kN e freqüência ω = 250 rad/s e a amplitude de vibração medida foi 2,5 mm. Determinar a rigidez da mola. Resp. k= 775,00KN/m 6)Um oscilador harmônico não amortecido sofre a atuação de uma força de magnitude F0 = 30 N. Quando a freqüência com que a força é aplicada é ω = 350 rad/s, a amplitude de vibração é 0,2 mm e quando a freqüência muda para ω= 500 rad/s a amplitude se torna 1,2 mm. Determinar a massa e a rigidez do sistema. Resp. Situação 1: ωn≥ 500rad/s k=270,1KN/m e m=0,9804kg , ωn=524,9rad/s ; Situação 2: 350≤ ωn≤ 500rad/s k=318,1KN/m e m=1,373kg , ωn=481,4rad/s ; Situação 3: ωn≤ 350rad/s k=-- 270,1KN/m e m=-0,9804kg , Solução impossível. 7)Um compressor de refrigeração, mostrado na Fig. 3.2, está montado sobre quatro molas de rigidez k = 20 kN/m cada, possuindo uma massam = 55 kg. As molas possuem um amortecimento desprezível. Devido ao projeto do compressor, existe uma força harmônica vertical de 12 N oscilando na freqüência de operação de 1750 rpm. Determinar a amplitude da vibração vertical do compressor. Resp. X= -6,791x 10-6m . 8)Para medir uma força harmônica causada por um desbalanceamento em um compressor de ar de pistão de massa m = 80 kg, como ilustra a Fig. 3.3, um engenheiro o montou sobre uma plataforma de massaM = 50 kg, que pode oscilar horizontalmente sem atrito, por meio de um suporte elástico com rigidez na direção horizontal k = 3500 N/m. A amplitude de vibração medida na freqüência de operação foi 0,0005 m. Calcular a magnitude da força de desbalanceamento horizontal, desconsiderando o amortecimento. Resp.F0 = 940,9N 9)Um motor elétrico de massa m = 22 kg, mostrado na Fig. 3.4, está localizado no centro de uma viga de aço de seção transversal retangular, com b = 0,2 m e t = 10 mm, bi-apoiada, de comprimento L = 1 m. A magnitude da força harmônica vertical (causada por desbalanceamento) é 55 N quando a freqüência de rotação do motor é 58 Hz. Determinar a amplitude da vibração resultante, desprezando o amortecimento. (E = 210 GPa). Resp. X= - 19,97 x 10-6m 10)O núcleo móvel do relé eletromagnético mostrado na Fig. 3.5 possui massa m = 12 gr. Ele está apoiado na extremidade inferior na mola de rigidez k = 3000 N/m e na extremidade superior, na posição de contato fechado, lâminas elásticas que proporcionam o contato elétrico possuem rigidez total de 1200 N/m, na direção do movimento do núcleo. Uma força harmônica causada pelo campo elétrico, de magnitude 1,3 N atua ao longo do eixo do núcleo na freqüência síncrona de 60 Hz. Determinar a amplitude de vibração do núcleo, desprezando o amortecimento. Resp.X=0,5211m 11)Um sistema massa-mola é submetido a uma força harmônica cuja frequência está próxima à frequência natural do sistema. Se a frequência com que a força é aplicada é 39,8 Hz e a frequência natural é 40,0 Hz, determinar o período de batimento. Resp. T=2,5s. 12)Um oscilador harmônico possui massam = 15 kg, constante de amortecimento c = 1200 N.s/m, e rigidez 600000 N/m. Determinar a amplitude da resposta a uma força harmônica de magnitude F0 = 30 N e freqüência: (a) ω = 50 rad/s; Resp. X=53,03x10-6m (b) ω =190 rad/s; Resp. X=127,5x10-6m (c) ω =500 rad/s Resp. X=9,356x10-6m 13)Um oscilador harmônico possui massam = 0,3 kg, coeficiente de amortecimento c = 21 N.s/m e rigidez k = 1000 N/m. Determinar a magnitude da força harmônica atuante com uma freqüência ω = 377 rad/s que resulta em uma amplitude de vibração de 0,5 mm. Resp.F0=21,19N 14)Um oscilador harmônico amortecido com fator de amortecimento ζ = 0,2 sofre a ação de uma força harmônica de amplitude F0 = 30 N. Quando a freqüência com que a força atua é = 350 rad/s a amplitude de vibração é 0,2 mm e quando a freqüência é ω = 500 rad/s a amplitude torna-se 0,12 mm. Determinar a massa e a rigidez do oscilador. Resp. k=349,2KN/m e m=2,122kg. 15)Um sistema massa-mola-amortecedor está submetido a uma força harmônica. Achou-se uma amplitude na ressonância de 20 mm e de 10 mm em uma frequência 0,75 vezes a frequência de ressonância. Determinar o fator de amortecimento do sistema. Resp.ζ=0,1180 16) Resolver o Problema 3.7 assumindo que o sistema possui amortecimento e que foi medido um decremento logarítmico de 0,05. Resp.X=6,791x10-6m. 17)Resolver o Problema 3.10 assumindo que o sistema está criticamente amortecido. Resp.X=0,2201mm. 18)Em um sistema vibratório,m = 10 kg, k = 2,5 kN/m, e c = 45 N.s/m. Sobre a massa, atua uma força harmônica de amplitude 180 N e frequência 3,5 Hz. Se o deslocamento inicial e a velocidade inicial da massa são 15 mm e 5 m/seg, determinar a expressão que representa o movimento da massa. Resp. X=70,95mm , Φ=--0,4007 rad ; X0 =0,3547m , Φ=--1,428rad. 19)Observou-se que a amplitude de pico de um sistema de um grau de liberdade, sob excitação harmônica é 0,5 cm. Se a frequência natural do sistema é 5 Hz, e a deflexão estática da massa sob a ação da força máxima é 0,25 cm, (a) estimar o fator de amortecimento do sistema, e Resp.ζ =0,2588 (b) determinar as frequências correspondentes à amplitude de meia potência. Resp. f1 =7,004Hz e f2=1,657Hz. 20)No sistema mostrado na Fig. 3.6, x é o deslocamento da massam e y é o deslocamento do ponto Q (extremidade da mola de rigidez k1). Quando o ponto Q está submetido a um movimento harmônico y(t) = Y cosωt, determinar: (a) a equação do movimento da massam, (b) o deslocamento de regime permanente da mesma e, (c) a magnitude da força transmitida ao suporte em P, 21)No sistema mostrado na Fig. 3.7, x é o deslocamento da massam e y é o deslocamento do ponto Q (extremidade do amortecedor de constante c1). Quando o ponto Q está submetido a um movimento harmônico y(t) = Y cos t, determinar: (a) a equação do movimento da massam, (b) o deslocamento de regime permanente da mesma e, (c) a magnitude da força transmitida ao suporte em P, 22)No sistema mostrado na Fig. 3.8, x é o deslocamento da massam e y é o deslocamento do ponto Q (extremidade do da mola de rigidez k1 e do amortecedor de constante c1). Quando o ponto Q está submetido a um movimento harmônico y(t) = Y cos t, determinar: (a) a equação do movimento da massam, (b) o deslocamento de regime permanente da mesma e, (c) a magnitude da força transmitida ao suporte em P, 23) Modelou-se um automóvel como um sistema de um grau de liberdade vibrando na direção vertical. Este veículo trafega em uma estrada cuja elevação varia senoidalmente. A distância entre pico e vale é 0,1 m e a distância ao longo da estrada entre dois picos é 35 m. Se a frequência natural do automóvel é 1 Hz e o fator de amortecimento dos absorvedores de choque é 0,15, determinar a amplitude de vibração do automóvel quando está com uma velocidade de 60 km/h. Resp. X=0,06423m 24)Um oscilador harmônico possui massam = 2 kg e rigidez k = 4500 N/m. O suporte vibra na freqüência de 50 Hzcom amplitude 0,5 mm. Determinar a amplitude da vibração resultante não amortecida. Resp. X=11,66 x 10-6m. 25)Um oscilador harmônico possui massam = 15 kg, rigidez k = 6 x 107 N/m e fator de amortecimento = 0,05. O suporte vibra na freqüência de 200 Hz com amplitude de 1 mm. Determinar (a) a amplitude da vibração resultante; Resp.X=1,647 mm (b) A amplitude da força transmitida. Resp.F=39,01 kN 26)Um automóvel de massam = 1000 kg trafega com uma velocidade de 80 km/h em uma superfície irregular com perfil senoidal de amplitude 60 mm e distância entre picos 0,3 m. Se a freqüência natural do carro é 0,8 Hz, com amortecimento crítico, determinar: (a) a amplitude de vibração vertical; Resp.X=1,296 x 10-3 m (b) a força transmitida para o veículo. Resp.F=280,7 KN 27)Um compressor de ar, pesando 4500 N e operando a 1500 rpm, é montado sobre um isolador. Existem disponíveis para utilização duas molas helicoidais, uma de rigidez igual a 80 kN/cm e a outra de rigidez igual a 25 kN/cm, e um absorvedor de choque com fator de amortecimento igual a 0,15. Selecionar o melhor sistema de isolamento para o compressor. 28)Um sistema torsional consiste de um disco com momento de inércia de massa J0 = 10 kg.m2, um amortecedor torsional de constante c = 300 N.m.s/rad, e um eixo de aço de diâmetro igual a 4 cm e comprimento de 1 m (fixo em uma extremidade e contendo o disco na outra extremidade), com G = 85 GPa. Observou-se uma amplitude de regime permanente de 2o quando um torque de magnitude 1000 N.m foi aplicado no disco. Determinar: (a) a frequência com que o torque foi aplicado; Resp. ω=65,06 rad/s (b) o máximo torque transmitido ao suporte. Resp. T=1,010 x 103 KN.m 29) Um eixo de aço vazado (E = 210 GPa), de comprimento 2,5 m, diâmetro externo 10 cm e diâmetro interno 9 cm, contém um rotor de turbina que pesa 2200 N, no centro de seu comprimento e está apoiado em mancais de rolamento nas suas extremidades. A folga entre o rotor e o estator é 1,25 cm. O rotor tem uma excentricidade equivalente a um peso de 2 N situado em um raio de 5 cm. Foi instalado um sistema que interrompe a rotação do rotor sempre que o mesmo estiver na iminência de tocar o estator. Se o rotor operar na ressonância, quanto tempo levará para que o sistema de proteção seja ativado? Assumir que as condições iniciais são nulas. 30)Um eixo possui uma rigidez no seu centro k = 1,2×106 N/m possuindo neste ponto um disco de massam = 200 kg. O eixo gira a 3600 rpm, possui fator de amortecimento ζ = 0,05, e uma massa desbalanceadame = 50 gr com uma excentricidade e = 0,20 m. Determinar a amplitude de vibração. Resp.X=52,19 x 10-6m 31)Quando um exaustor de massa 380 kg está apoiado em molas com amortecimento desprezível, a deflexão estática resultante é 45 mm. Se o exaustor tem um desbalanceamento rotativo de 0,15 kg.m, determinar: (a) a amplitude de vibração a 1750 rpm e Resp.X=0,3973mm (b) a força transmitida para a base nesta velocidade. Resp.F= 32,91N