12 Aula - Colisões elásticas

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Colisões elásticas 
APRESENTAÇÃO
Em praticamente todas as colisões, parte da energia mecânica é convertida em outra(s) forma(s) 
de energia como calor, vibração ou som, por exemplo. Esse é um princípio da física que orienta 
a produção dos instrumentos de percussão. No entanto, existe também um tipo de colisão em 
que os corpos conservam sua energia mecânica. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir colisão elástica.•
Relacionar colisão elástica com as leis de conservação de energia.•
Aplicar os conceitos de colisão elástica e conservação de energia em situações do 
cotidiano.
•
DESAFIO
Em uma colisão elástica, a energia cinética total do sistema é conservada. Isto é um efeito que é 
difícil encontrar em situações cotidianas. Entretanto, em nível atômico e subatômico estas 
colisões são comuns, possuindo diversas aplicações em engenharia, como a caracterização 
estrutural de materiais.
Considere que um nêutron, de massa mn, move-se a 270 m/s quando sofre uma colisão frontal 
com uma partícula α (núcleo de um átomo de hélio), que possui uma massa mα = 3,97 mn.
a) Determine as velocidades do nêutron e da partícula α após a colisão. Em que sentido segue o 
nêutron após a colisão?
b) Quantos por cento de velocidade o nêutron perdeu após a colisão?
INFOGRÁFICO
A colisão elástica perfeita é uma idealização, como é comum nos conceitos em física. Em 
praticamente todas as colisões, pelo menos parte da energia cinética é convertida em outra(s) 
forma(s) de energia como calor ou som, por exemplo. Porém, uma colisão elástica é definida por 
ter sua energia cinética total conservada. Ainda que um corpo transfira energia cinética ao outro 
durante a colisão, a soma das energias cinéticas deve permanecer igual após à colisão. Confira 
no infográfico:
CONTEÚDO DO LIVRO
Para compreender mais sobre as colisões elásticas, seus princípios e sua aplicabilidade, leia o 
conteúdo selecionado do livro Física para Universitários: Mecânica para esta Unidade de 
Aprendizagem.
Bons estudos!
Wolfgang Bauer
Gary D. Westfall
Helio Dias
Fí
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MECÂNICA
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tá
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o
s
B344f Bauer, Wolfgang.
 Física para universitários [recurso eletrônico] : mecânica /
 Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall, Helio Dias ; tradução: Iuri
 Duquia Abreu, Manuel Almeida Andrade Neto ; revisão técnica:
 Helio Dias. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2012.
 Editado também como livro impresso em 2012.
 ISBN 978-85-8055-095-5
 1. Física. 2. Mecânica. I. Westfall, Gary D. II. Dias, Helio.
 III. Título. 
CDU 531
Catalogação na publicação: Fernanda B. Handke dos Santos – CRB 10/2107
212 Física Moderna para Engenheiros e Cientistas: Mecânica
7.4 Colisão elástica unidimensional
A Figura 7.7 mostra a colisão entre dois carrinhos em uma pista quase sem atrito. A colisão foi 
gravada em vídeo, e a figura indica sete quadros desse vídeo, obtidos em intervalos de 0,06 s. 
O carrinho marcado com o círculo verde está inicialmente em repouso. O carrinho marcado 
com o quadrado laranja tem massa maior e está se aproximando da esquerda. A colisão acon-
tece no quadro marcado com o tempo t = 0,12 s. É possível ver que, após a colisão, os dois car-
rinhos se movem para a direita, mas o mais leve se move com velocidade um pouco maior. (A 
velocidade é proporcional à distância horizontal entre as marcações dos carrinhos nos quadro 
adjacentes de vídeo.) A seguir, derivaremos equações que podem ser usadas para determinar 
as velocidades dos carrinhos após a colisão.
O que é exatamente uma colisão elástica? Como ocorre com muitos conceitos em física, 
trata-se de uma idealização. Em praticamente todas as colisões, pelo menos alguma energia 
cinética é convertida em outras formas de energia que não são conservadas. As outras formas 
podem ser calor ou som ou a energia para deformar um objeto, por exemplo. Porém, uma 
colisão elástica é definida como uma em que a energia cinética total dos objetos em colisão 
é conservada. Essa definição não significa que cada objeto envolvido na colisão retenha sua 
energia cinética. A energia cinética pode ser transferida de um objeto para outro, mas em uma 
colisão elástica, a soma das energias cinéticas deve permanecer constante.
Vamos considerar objetos em movimento unidimensional e usar a notação pil,x para o 
momento inicial, e pfl,x para o momento final do objeto 1. (Usamos o subscrito x para nos lem-
brar que esses poderiam igualmente ser as componentes x do vetor momento bi ou tridimen-
sional.) Da mesma forma, denotamos os momentos inicial e final do objeto 2 por pi2,x e pf2,x. 
Como estamos restritos a colisões unidimensionais, a equação para conservação de energia 
cinética pode ser escrita como
(7.10)
(Para o movimento unidimensional, o quadrado da componente x do vetor também é o qua-
drado do valor absoluto do vetor.) A equação para conservação do momento no sentido x 
pode ser escrita como
(7.11)
(Lembre-se de que o momento é conservado em qualquer colisão em que forças externas sejam 
desprezíveis.)
Vamos olhar as equações 7.10 e 7.11 mais de perto. O que é conhecido? O que é desco-
nhecido? Geralmente, sabemos as duas massas e componentes dos vetores momento inicial, e 
queremos descobrir os vetores momento final após a colisão. Esse cálculo pode ser realizado 
porque as equações 7.10 e 7.11 nos dão duas equações para dois valores desconhecidos, pfl,x
 e 
pf2,x. Esse é, de longe, o uso mais comum dessas equações, mas também é possível, por exem-
plo, calcular as duas massas se os vetores momento inicial e final forem conhecidos.
Vamos encontrar as componentes dos vetores momento final:
(7.12)
A Demonstração 7.2 mostra como esse resultado é obtido. Ela ajudará a solucionar problemas 
semelhantes.
Com o resultado para os momentos finais, também podemos obter expressões para as 
velocidades finais usando :
(7.13)
t � 0 s
t � 0,06 s
t � 0,12 s
t � 0,18 s
t � 0,24 s
t � 0,36 s
t � 0,30 s
Figura 7.7 Sequência de vídeo de 
uma colisão entre dois carrinhos para 
massas diferentes sobre um trilho de 
ar. O carrinho com o ponto laran-
ja carrega uma barra preta de metal 
para aumentar sua massa.
Capítulo 7 Momento e Colisões 213
Essas equações para as velocidades finais parecem, à primeira vista, muito semelhantes àque-
las para os momentos finais (equação 7.12). Porém, há uma diferença importante: no segundo 
termo do lado direito da equação para vf1,x, o numerador é 2m2, em vez de 2m1; por outro lado, 
o numerador agora é 2m1, em vez de 2m2 no primeiro termo da equação para vf2,x.
Como última questão nessa discussão geral, vemos encontrar a velocidade relativa, 
 após a colisão:
 
 (7.14)
Vemos que, em colisões elásticas, a velocidade relativa simplesmente troca de sinal, . 
Voltaremos a esse resultado mais adiante neste capítulo. Você não deve tentar memorizar as 
expressões gerais para momento e velocidade nas equações 7.13 e 7.14, mas, em vez disso, es-
tudar o método que usamos para derivá-las. A seguir, examinamos dois casos especiais desses 
resultados gerais.
Caso especial 1: massas iguais
Se m1 = m2, as expressões gerais na equação 7.12 são simplificadas de maneira considerável, 
porque os termos proporcionais a m1 –m2 são iguais a zero e as razões e 
 se tornam unitárias. Obtemos, então, o resultado extremamente simples
DEMONSTRAÇÃO 7.2 
Começamos com as equações para conservação de energia e momento e agrupamos todas as 
grandezas conectadas com o objeto 1 no lado esquerdo, e as conectadas ao objeto 2 no lado direi-
to. A equação 7.10 para a energia cinética (conservada) torna-se:
ou
 (i)
Reordenando a equação 7.11 para conservação de momento, obtemos
 (ii)
A seguir, dividimos os lados esquerdo e direito da equação (i) pelos lados correspondentes da 
equação (ii). Para fazer essa divisão, usamos a identidade algébrica . 
Esse processo resulta em
 (iii)
Agora podemos solucionar a equação (iii) para pf1,x e substituir a expressãona 
equação (iii):
Esse resultado é um das duas componentes desejadas da equação 7.12. Podemos obter o outro 
componente solucionando a equação (ii) para pf2,x e substituindo a expressão 
na equação (iii). Também podemos obter o resultado para pf1,x do resultado para pf2,x que acaba-
mos de derivar trocando os índices 1 e 2. Afinal, a classificação dos objetos em 1 ou 2 é arbitrária 
e, por isso, as equações resultantes devem ser simétricas com a troca dos números. O uso desse 
tipo de princípio de simetria é muito eficiente e conveniente. (Mas leva algum tempo para se 
acostumar a ele no início!)
214 Física Moderna para Engenheiros e Cientistas: Mecânica
 
 (para o caso especial em que m1 = m2) (7.15)
Esse resultado significa que em qualquer colisão elástica de dois objetos de massa igual se 
movendo em uma dimensão, os dois objetos simplesmente trocam seus momentos. O mo-
mento inicial do objeto 1 torna-se o momento final do objeto 2. O mesmo é verdadeiro para 
as velocidades:
 
 (para o caso especial em que m1 = m2) (7.16)
Caso especial 2: um objeto inicialmente em repouso
Agora suponha que dois objetos em uma colisão não tenham necessariamente a mesma massa, 
mas um dos dois esteja inicialmente em repouso, ou seja, tenha momento zero. Sem perda de 
generalidade, podemos dizer que o objeto 1 é o que está em repouso. (Lembre que as equações 
são invariáveis na troca dos índices 1 e 2.) Usando as expressões gerais na equação 7.12 e ajus-
tando pi1,x = 0, obtemos
 
 (para o caso especial em que pi1,x = 0) (7.17)
Da mesma forma, obtemos para as velocidades finais
 
 (para o caso especial em que pi1,x = 0) (7.18)
Se o objeto 2 se move da esquerda para a direita, com a determinação conven-
cional do eixo x positivo apontando para a direita. Essa situação é mostrada na Figura 7.7. 
Dependendo de qual massa é maior, a colisão pode ter um dos quatro desfechos abaixo:
 1. a velocidade final do objeto 2 aponta no mesmo 
sentido, mas tem módulo menor.
 2. o objeto 2 está em repouso, e o objeto 1 se move 
com a velocidade inicial do objeto 2.
 3. o objeto 2 volta após a colisão; o sentido de seu 
vetor velocidade muda.
 4. e o objeto 1 permanece em 
repouso, e o objeto 2 aproximadamente reverte sua velocidade. Essa situação ocorre, 
por exemplo, na colisão de uma bola com o solo. Nesta colisão, o objeto 1 é toda a 
Terra, e o objeto 2 é a bola. Se a colisão for elástica o bastante, a bola ricocheteia com a 
mesma velocidade que tinha antes da colisão, mas no sentido oposto – para cima, em 
vez de para baixo.
Suponha que uma colisão elás-
tica ocorra em uma dimensão, 
como a mostrada na Figura 7.7, 
em que o carrinho marcado com 
o ponto verde está inicialmente 
em repouso e o carrinho com o 
ponto laranja inicialmente tem 
vlaranja > 0, isto é, está se moven-
do da esquerda para a direita. 
O que se pode dizer sobre as 
massas dos dois carrinhos?
a) mlaranja < mverde
b) mlaranja > mverde
c) mlaranja = mverde
7.4 Exercício 
de sala de aula
Na situação mostrada na Figura 7.7, suponha que a massa do carrinho com o ponto laranja seja 
muito maior do que a do carrinho com o ponto verde. Que resultado seria esperado?
a) O resultado é mais ou menos igual ao mos-
trado na figura.
b) O carrinho com o ponto laranja se move com 
velocidade quase inalterada após a colisão, e o 
carrinho com o ponto verde se move com velo-
cidade quase duas vezes maior que a velocida-
de inicial do carrinho com o ponto laranja.
c) Os dois carrinhos se movem quase com a 
mesma velocidade que o carrinho com o pon-
to laranja tinha antes da colisão.
d) O carrinho com o ponto laranja para, e o car-
rinho com o ponto verde se move para a di-
reita com a mesma velocidade que o carrinho 
com o ponto laranja tinha originalmente.
7.5 Exercício de sala de aula
Capítulo 7 Momento e Colisões 215
Na situação mostrada na Figura 7.7, se a massa do carrinho com o ponto verde (originalmente em 
repouso) for muito maior do que a do carrinho com o ponto laranja, que resultado seria esperado?
a) O resultado é mais ou menos igual ao mos-
trado na figura.
b) O carrinho com o ponto laranja se move
com velocidade quase inalterada após a
colisão, e o carrinho com o ponto verde
se move com velocidade quase duas vezes
maior que a velocidade inicial do carrinho
com o ponto laranja.
c) Os dois carrinhos se movem quase com a
mesma velocidade que o carrinho com o pon-
to laranja tinha antes da colisão.
d) O carrinho com o ponto verde se move com
velocidade muito baixa um pouco para a di-
reita, e o carrinho com o ponto laranja volta
para a esquerda com quase a mesma veloci-
dade que tinha originalmente.
7.6 Exercício de sala de aula
EXEMPLO 7.2 Força média sobre uma bola de golfe
Um driver é um taco de golfe usado para atingir a bola por uma distância longa. A cabeça de um 
driver geralmente tem massa de 200 g. Um jogador de golfe habilidoso consegue dar à cabeça 
do taco uma velocidade em torno de 40,0 m/s. A massa de uma bola de golfe é de 45,0 g. A bola 
permanece em contato com a face do taco por 0,500 ms.
PROBLEMA
Qual é a força média exercida sobre a bola pelo taco?
SOLUÇÃO
A bola está inicialmente em repouso. Como a cabeça do driver e a bola estão em contato por 
apenas um curto tempo, podemos considerar que a colisão entre eles é elástica. Podemos usar a 
equação 7.18 para calcular a velocidade da bola de golfe, vf1,x, após a colisão com a cabeça do taco
onde m1 é a massa da bola, m2 é a massa da cabeça do taco e vi2,x é a velocidade da cabeça do dri-
ver. A velocidade da bola de golfe que sai da face da cabeça do taco, neste caso, é
Observe que, se a cabeça do taco tivesse massa muito maior do que a bola, esta atingiria duas 
vezes a velocidade da cabeça do driver. Porém, neste caso, o jogador teria dificuldade em dar à 
cabeça do taco uma velocidade substancial. A mudança de momento da bola de golfe é
Então, o impulso é
onde Fmédia é a força média exercida pela cabeça do taco e é o tempo que a cabeça do taco e a 
bola estão em contato. Assim, a força média é
Desta forma, o taco exerce uma força muito grande sobre a bola de golfe. Essa força comprime 
a bola de modo significativo, conforme mostrado na sequência de vídeo na Pausa para teste 7.2. 
Além disso, observe que o taco não impulsiona a bola no sentido horizontal e transmite rotação 
à bola. Deste modo, uma descrição precisa do golpe de uma bola de golfe com o taco requer uma 
análise mais detalhada.
A figura mostra uma sequência 
de vídeo em alta velocidade da 
colisão de um taco com uma 
bola de golfe. A bola sofre uma 
deformação significativa, mas 
essa deformação é restaurada 
de modo suficiente antes que a 
bola saia da face do taco. Des-
ta forma, essa colisão pode ser 
aproximada como uma colisão 
elástica unidimensional. Discuta 
a velocidade da bola em relação 
à do taco após a colisão e como 
os casos discutidos se aplicam a 
esse resultado.
Colisão de um taco com uma 
bola de golfe.
7.2 Pausa para teste
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
DICA DO PROFESSOR
Neste vídeo, mostraremos a definição e a aplicação das colisões elásticas, algumas situações que 
evolvam colisões entre corpos com conservação de energia e do momento linear.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) 
Uma bola de massa m e velocidade colide com outra bola de massa 2m 
que está inicialmente em repouso. Após o choque, a primeira bola recua com 
velocidade . Determine a velocidade final da segunda bola.
A) 1,4 m/s
B) 2,9 m/s
C) 1,9 m/s
D) 2,1 m/s
E) 1,1 m/s
2) Em uma mesa de sinuca, uma bola é lançada frontalmente contra outra bola em 
repouso. Após a colisão, a bola incidente para e a bola alvo (bola atingida) passa a se 
mover na mesma direção do movimento da bola incidente. Supondo que as bolas 
tenham massas idênticas e que o choque seja elástico, e que a velocidade da bola 
incidenteseja de 2 m/s, qual será, em m/s, a velocidade inicial da bola alvo após a 
colisão?
A) 0,5
B) 1
C) 2
D) 4
E) 8
3) De acordo com a figura abaixo, a partícula A, ao ser abandonada de uma altura H, desce a 
rampa sem atritos ou resistência do ar até sofrer uma colisão, perfeitamente elástica, com a 
partícula B que possui o dobro da massa de A e que se encontra inicialmente em repouso. 
Após essa colisão, B entra em movimento e A retorna, subindo a rampa e atingindo uma 
altura igual a 
A) H
B) H/2
C) H/3
D) H/9
E) H/12
4) Um disco rígido de massa M e centro O pode oscilar sem atrito num plano vertical em 
torno de uma articulação P. 
O disco é atingido por um projétil de massa m << M que se move horizontalmente com 
velocidade no plano do disco. Após a colisão, o projétil se incrusta no disco e o 
conjunto gira em torno de P até o ângulo 0 Nestas condições, afirmam-se: 
I. A quantidade de movimento do conjunto projétil+disco se mantém a mesma 
imediatamente antes e imediatamente depois da colisão. 
II. A energia cinética do conjunto projétil+disco se mantém a mesma imediatamente antes e 
imediatamente depois da colisão. 
III. A energia mecânica do conjunto projétil+disco imediatamente após a colisão é igual à 
da posição de ângulo θ/2. 
É(são) verdadeira(s) apenas a(s) assertiva(s): 
A) I e II
B) I e III
C) II e III
D) III
E) I
Uma bola branca de sinuca, com velocidade de 10 m/s na direção X e sentido positivo, 
colide elasticamente, na origem do sistema de coordenadas XY, com uma bola preta de 
mesma massa, inicialmente em repouso. 
 
Após a colisão, as velocidades finais das bolas preta, VFp, e branca, VFB,são, 
5) 
respectivamente, em m/s, iguais a: 
A) 3,2 e 7,6
B) 3,5 e 5,8.
C) 5,0 e 8,7
D) 6,0 e 4,5.
E) 7,0 e 5,0
NA PRÁTICA
As colisões elásticas perfeitas, na prática, são incomuns. Mas existem alguns fenômenos do 
cotidiano que podem ser tratados como colisões elásticas, por exemplo: as colisões no jogo de 
sinuca, onde as bolinhas não sofrem deformações. Ou a técnica RBS (Rutherford Backscattering 
Spectroscopy), que utiliza o retroespalhamento de Rutherford para a análise de materiais por 
feixes iônicos, verificando por exemplo: o perfil da distribuição de impuresas em superfícies, a 
distribuição de dopantes, a espessura de filmes finos, etc.
 
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Veja como as velocidades são tocadas em colisões elásticas de massas idênticas:
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Veja a colisão de fótons representada neste breve vídeo:
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Saiba mais com o capítulo 9 do livro "Física: Uma Abordagem Estratégica - Vol.1":