14 Aula - Colisões bidimensionais

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Colisões bidimensionais
APRESENTAÇÃO
Colisão é uma interação entre corpos, ou partículas, cuja duração é extremamente curta na 
escala de tempo humana e onde pode haver transformação de energia cinética em outros tipos de 
energia (Colisão inelástica) ou conservação da energia cinética (Colisões elásticas). 
No caso das colisões bidimensionais, cada um dos vetores momento final tem dois 
componentes, gerando quatro grandezas. 
Nesta Unidade de Aprendizagem estudaremos as colisões elásticas em duas dimensões, onde a 
energia cinética se conserva. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir colisões elásticas em duas dimensões.•
Relacionar colisões elásticas com leis de conservação de energia para grandezas vetoriais.•
Aplicar estes conceitos em algumas situações básicas do cotidiano.•
DESAFIO
Ao final de um jogo de sinuca o jogador precisa fazer a bola 8, para ganhar o jogo. Ao dar a 
tacada na bola branca, ela ganha uma velocidade de 5,00 m/s e atinge a bola oito, que esta 
inicialmente em repouso. A bola 8 sai da colisão com um ângulo de 22° à direita da trajetória 
original da bola branca.
Com base nisso, determine aproximadamente o ângulo que a bola branca segue após a colisão e 
os módulos das velocidades de cada bola imediatamente após a colisão.
INFOGRÁFICO
A colisão é denominada elástica quando ocorre conservação da energia cinética e do momento 
linear dos corpos em duas dimensões.
CONTEÚDO DO LIVRO
Para compreender mais sobre as colisões, seus princípios bem como sua aplicabilidade, 
acompanhe o conteúdo selecionado do livro Física para Universitários: Mecânica.
Bons estudos! 
Wolfgang Bauer
Gary D. Westfall
Helio Dias
Fí
si
ca
MECÂNICA
pa
ra
 U
n
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er
si
tá
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o
s
B344f Bauer, Wolfgang.
 Física para universitários [recurso eletrônico] : mecânica /
 Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall, Helio Dias ; tradução: Iuri
 Duquia Abreu, Manuel Almeida Andrade Neto ; revisão técnica:
 Helio Dias. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2012.
 Editado também como livro impresso em 2012.
 ISBN 978-85-8055-095-5
 1. Física. 2. Mecânica. I. Westfall, Gary D. II. Dias, Helio.
 III. Título. 
CDU 531
Catalogação na publicação: Fernanda B. Handke dos Santos – CRB 10/2107
216 Física Moderna para Engenheiros e Cientistas: Mecânica
7.5 Colisão elástica em duas ou três dimensões
Colisões com paredes
Para iniciar nossa discussão de colisões em duas ou três dimensões, consideramos a colisão 
elástica de um objeto com uma parede sólida. No Capítulo 4, sobre forças, vimos que uma 
superfície sólida exerce uma força sobre qualquer objeto que tente penetrar pela superfície. 
Tais forças são forças normais; elas são direcionadas perpendicularmente à superfície (Fi-
gura 7.8). Se uma força normal atua sobre um objeto em colisão com uma parede, a força 
normal só pode transmitir um impulso que seja perpendicular à parede; a força normal não 
tem componente paralelo à parede. Portanto, a componente de momento do objeto direcio-
nada ao longo da parede não muda, Além disso, para uma colisão elástica, temos 
a condição de que a energia cinética do objeto colidindo com a parede deve permanecer a 
mesma. Isso faz sentido, porque a parede permanece em repouso (ela está conectada à Terra 
e tem massa muito maior do que a bola). A energia cinética do objeto é então 
vemos que 
Como e obtemos Os únicos dois resultados possí-
veis para a colisão são e Somente para a segunda colisão a componente 
de momento perpendicular aponta no sentido oposto à parede após a colisão, então ela é a 
única solução física.
Para resumir, quando um objeto colidir elasticamente com uma parede, o comprimento 
do vetor momento do objeto permanece inalterado, assim como a componente momento di-
recionada ao longo da parede; a componente momento perpendicular à parede muda de sinal, 
mas retém o mesmo valor absoluto. O ângulo de incidência, sobre a parede (Figura 7.8) 
também é igual ao ângulo de reflexão, 
 (7.19)
Veremos essa mesma relação novamente ao estudar a luz e sua reflexão de um espelho.
p�
p�
pi,�
pi
pi,�
pf,�
pf pf,�
�f
�i
N N
Partícula
refletida
Partícula
incidente
Parede
Caminho
da partícula
Figura 7.8 Colisão elástica de um objeto com uma parede. O símbolo representa a componente do 
momento perpendicular à parede, e o símbolo representa a componente do momento paralela à parede.
Colisões de dois objetos em duas dimensões
Acabamos de ver que problemas envolvendo colisões elásticas unidimensionais são sempre 
solucionáveis se tivermos a velocidade inicial ou condições de momento dos dois objetos em 
colisão, bem como suas massas. Mais uma vez, isso é verdadeiro porque temos duas equações 
para as duas grandezas desconhecidas, pf1,x e pf2,x.
Para colisões bidimensionais, cada um dos vetores momento final tem dois componentes. 
Assim, essa situação nos dá quatro grandezas desconhecidas que devem ser determinadas. 
Quantas equações temos à nossa disposição? A conservação de energia cinética novamente 
oferece uma delas. A conservação de momento linear oferece equações independentes para 
os sentidos x e y.
Escolha a afirmativa correta:
a) Em uma colisão elástica de 
um objeto com uma parede, a 
energia pode ser conservada ou 
não.
b) Em uma colisão elástica de 
um objeto com uma parede, o 
momento pode ser conservado 
ou não.
c) Em uma colisão elástica de 
um objeto com uma parede, o 
ângulo incidente é igual ao ân-
gulo final.
d) Em uma colisão elástica de 
um objeto com uma parede, 
o vetor momento original não 
muda como consequência da 
colisão.
e) Em uma colisão elástica de 
um objeto com uma parede, 
a parede não pode mudar o 
momento do objeto porque o 
momento é conservado.
7.7 Exercícios
de sala de aula
Escolha a afirmativa correta:
a) Quando um objeto em movi-
mento atinge um objeto estacio-
nário, o ângulo entre os vetores 
velocidade dos dois objetos após 
a colisão é sempre de 90°.
b) Para uma colisão da vida real 
entre um objeto em movimento 
e um objeto estacionário, o ân-
gulo entre os vetores velocidade 
dos dois objetos após a colisão 
nunca é menor do que 90°.
c) Quando um objeto em movi-
mento tem uma colisão frontal 
com um objeto estacionário, o 
ângulo entre os dois vetores ve-
locidade após a colisão é de 90°.
d) Quando um objeto em 
movimento colide frontal e 
elasticamente com um objeto 
estacionário de mesma massa, o 
objeto que estava se movendo 
para e o outro objeto se move 
com a velocidade original do 
objeto em movimento.
e) Quando um objeto em mo-
vimento colide elasticamente 
com um objeto estacionário de 
mesma massa, o ângulo entre os 
dois vetores velocidade após a 
colisão não pode ser de 90°.
7.8 Exercícios
de sala de aula
Capítulo 7 Momento e Colisões 217
Portanto, só temos três equações para as quatro grandezas desconhecidas. A menos que 
uma condição adicional seja especificada para a colisão, não existe uma solução única para os 
momentos finais.
Para colisões tridimensionais, a situação é ainda pior. Aqui, precisamos determinar dois 
vetores com três componentes cada, para um total de seis grandezas desconhecidas. Porém, 
só temos quatro equações: uma da conservação de energia e três das equações de conservação 
para as componentes x, y e z do momento.
Incidentalmente, esse fato é o que torna o jogo de bilhar ou sinuca interessante de uma pers-
pectiva física. Os momentos finais de duas bolas após uma colisão são determinados por onde 
em suas superfícies esféricas as bolas colidem. A propósito de colisões de bolhas de bilhar, uma 
observação interessante pode ser feita. Suponha que o objeto 2 esteja inicialmente em repouso e 
ambos os objetos tenham a mesma massa. Então, a conservação de momento resulta em
Aqui elevamos a equação para conservação de momento ao quadrado e depois usamos 
as propriedades do produto escalar. Por outro lado, a conservação de energia cinética leva a
para m1 = m2 = m. Se subtrairmos esse resultadodo resultado anterior, obtemos
 (7.20)
Contudo, o produto escalar de dois vetores só pode ser zero se os dois vetores forem perpendi-
culares entre si ou se um deles tiver comprimento zero. A última condição ocorre em uma coli-
são de duas bolas de bilhar, após a qual a bola branca permanece em repouso e a outra 
bola se afasta com o momento que a bola branca tinha inicialmente. Em colisões não frontais, 
as duas bolas se movem, em sentidos que são perpendiculares entre si.
Você pode realizar um experimento simples para ver se o ângulo de 90° entre os vetores 
velocidade finais funciona de modo quantitativo. Coloque duas moedas sobre uma folha de 
papel, conforme mostra a Figura 7.9. Marque a posição de uma delas (a moeda alvo) no papel 
desenhando um círculo em torno dela.
A seguir, bata de leve na outra moeda com o dedo na direção da moeda alvo (Figura 7.9a). 
As moedas ricochetearão entre si e deslizarão por um breve momento, antes que o atrito as 
devolve para o repouso (Figura 7.9b). Desenhe uma linha da posição final da moeda alvo de 
volta ao círculo que você desenhou, conforme mostrado na Figura 7.9c e, com isso, deduza 
a trajetória da outra moeda. As imagens das partes (a) e (b) estão sobrepostas sobre aquela 
na parte (c) da figura para mostrar o movimento das moedas antes e após a colisão, indicada 
pelas setas vermelhas. A medição do ângulo entre as duas linhas pretas na Figura 7.9c resulta 
em � = 80°, então o resultado derivado de modo teórico de � = 90° não está exatamente correto 
para este experimento. Por quê?
O que desprezamos em nossa derivação é o fato de que – para colisões entre moedas ou 
bolas de bilhar – parte da energia cinética do objeto está associada à rotação e à transferência de 
O experimento na Figura 7.9 es-
pecifica o ângulo entre as duas 
moedas após a colisão, mas não 
os ângulos individuais de defle-
xão. Para obter esses ângulos 
individuais, também é preciso 
saber a que distância do centro 
de cada objeto fica o ponto de 
impacto, chamado de parâme tro 
de impacto. De modo quantita-
tivo, o parâmetro de impacto, 
b, é a distância que a trajetória 
original precisaria ser movida 
paralelamente a si mesma para 
uma colisão frontal (veja a figu-
ra). Você conseguiria produzir 
um desenho da dependência que 
os ângulos de deflexão têm do 
parâmetro de impacto? (Dica: 
você pode fazer isso de forma 
experimental, conforme mostra 
a Figura 7.9, ou pode pensar em 
casos limitantes e, depois, ten-
tar interpolar entre eles.)
7.3 Pausa para teste
Suponha que você realize exa-
tamente o mesmo experimento 
mostrado na Figura 7.9, mas 
substitua uma das moedas por 
outra mais leve ou mais pesada. 
O que muda? (Dica: novamente, 
você pode explorar a resposta 
realizando o experimento.)
7.4 Pausa para teste
(a) (b) (c)
u
Figura 7.9 Colisão de duas moedas.
218 Física Moderna para Engenheiros e Cientistas: Mecânica
energia devido a esse movimento, bem como ao fato de que essa colisão não é exatamente elás-
tica. Porém, a regra de 90° que acabamos de derivar é uma boa aproximação para duas moedas 
em colisão. Você pode realizar um experimento semelhante em qualquer mesa de bilhar; você 
descobrirá que o ângulo de movimento entre duas bolas de bilhar não é exatamente 90°, mas 
essa aproximação dará uma boa ideia de onde a bola branca irá após atingir a bola alvo.
PROBLEMA RESOLVIDO 7.1 Curling
O curling tem tudo a ver com colisões. Um jogador desliza uma “pedra” de granito de 19,0 kg (42,0 
libras) por cerca de 35, 40 m pelo gelo até uma área alvo (círculos concêntricos com linhas cruza-
das). As equipes se alternam para arremessar as pedras, e a pedra que ficar mais próxima ao centro 
do alvo no final é a vencedora. Sempre que uma pedra de uma equipe está mais próxima ao centro 
do alvo, a outra equipe tenta tirá-la do caminho, conforme mostra a Figura 7.10.
PROBLEMA
A pedra vermelha de curling na Figura 7.10 tem velocidade inicial de 1,60 m/s no sentido x e 
é desviada depois de colidir com a pedra amarela com um ângulo de 32,0° em relação ao eixo 
x. Quais são os dois vetores momento finais logo após essa colisão elástica, e qual é a soma das 
energias cinéticas das pedras?
SOLUÇÃO
P E N S E
A conservação do momento nos diz que a soma dos vetores momento das duas pedras antes da 
colisão é igual à soma dos vetores momento de ambas as pedras após a colisão. A conservação 
de energia nos diz que, em uma colisão elástica, a soma das energias cinéticas das duas pedras 
antes da colisão é igual à soma das energias cinéticas de ambas as pedras após a colisão. Antes da 
colisão, a pedra vermelha (pedra 1) tem momento e energia cinética porque está em movimento, 
enquanto a pedra amarela (pedra 2) está em repouso e não tem momento nem energia cinética. 
Após a colisão, as duas pedras têm momento e energia cinética. Devemos calcular o momento em 
termos das componentes x e y.
D E S E N H E
Um desenho dos vetores momento das duas pedras antes e após a colisão é mostrado na Figura 
7.11a. As componentes x e y dos vetores momento após a colisão das duas pedras são mostradas 
na Figura 7.11b.
y
x
Antes: Após:
pi1
pf1pf1,x
�1
�2
pf1,y
ptot � pi1 � 0
ptot � pf1 � pf2
pf1
pf2
(a) (b)
x
y
pf2
pf2,y
pf2,x
x
y
Figura 7.11 (a) Desenho dos vetores momento antes e após a colisão das duas pedras. (b) Os compo-
nentes x e y dos vetores momento das duas pedras após a colisão.
P E S Q U I S E
A conservação do momento afirma que a soma dos momentos das duas pedras antes da colisão 
deve ser igual à soma dos momentos das duas pedras após a colisão. Sabemos os momentos das 
duas pedras antes da colisão, e nossa tarefa é calcular seus momentos após a colisão, com base nos 
sentidos dados desses momentos. Para as componentes x, podemos escrever
y
x
pi1
pf1
pf2
(a)
(b)
Figura 7.10 Visão panorâmca de 
uma colisão de duas pedras de cur-
ling: (a) logo antes da colisão; (b) 
logo após a colisão.
Capítulo 7 Momento e Colisões 219
Para as componentes y, podemos escrever
O problema especifica que a pedra 1 é desviada em �1 = 32,0°. De acordo com a regra dos 90° que 
derivamos para colisões perfeitamente elásticas entre massas iguais, a pedra 2 precisa ser desvia-
da em �2 = -58,0°. Portanto, no sentido x
 (i)
E no sentido y temos:
 (ii)
Uma vez que sabemos os dois ângulos e o momento inicial da pedra 1, precisamos solucionar 
um sistema de duas equações para duas grandezas desconhecidas, que são as magnitudes dos 
momentos finais, pf1 e pf2.
S I M P L I F I Q U E
Solucionamos esse sistema de equações por substituição direta. Podemos solucionar a equação da 
componente y (ii) para pf1
 (iii)
e substituir na equação da componente x (i) para obter
Podemos reordenar essa equação para obter
C A L C U L E
Primeiro, calculamos o módulo do momento inicial da pedra 1:
Podemos, então, calcular o módulo do momento final da pedra 2:
O módulo do momento final da pedra 1 é
Agora podemos responder a questão referente à soma das energias cinéticas das duas pedras após 
a colisão. Como essa colisão é elástica, podemos simplesmente calcular a energia cinética inicial 
da pedra vermelha (a amarela estava em repouso). Desta forma, nossa resposta é
A R R E D O N D E
Como todos os valores numéricos foram especificados com três algarismos significativos, damos 
o módulo do momento final da primeira pedra como
Continua →
220 Física Moderna para Engenheiros e Cientistas: Mecânica
7.6 Colisão perfeitamente inelástica
Em todas as colisões que não são completamente elásticas, a conservação de energia cinética 
não é mais válida. Essas colisões são chamadas de inelásticas, porque parte da energia cinética 
inicial é convertida em energia interna de excitação, deformação, vibração ou (com o tempo) 
calor. À primeira vista, essa conversão de energia pode tornar a tarefa de calcular o momento 
final ou vetores velocidade dos objetos em colisão aparentemente mais complicada. Porém, 
isso não é verdade; em especial, a álgebra torna-se muito mais fácil parao caso limitante das 
colisões perfeitamente inelásticas.
Uma colisão perfeitamente inelástica é aquela em que os objetos em colisão se aderem 
após colidirem. Esse resultado implica que os dois objetos têm o mesmo vetor velocidade 
após a colisão: (Assim, a velocidade relativa entre os dois objetos em colisão é 
zero após a colisão.) Usando e a conservação do momento, obtemos o vetor veloci-
dade final:
 (7.21)
Essa fórmula útil permite solucionar praticamente todos os problemas que envolvam colisões 
perfeitamente inelásticas. A Demonstração 7.3 mostra como ela foi obtida.
DEMONSTRAÇÃO 7.3 
Começamos com a lei da conservação para o momento total (equação 7.8):
Agora usamos e obtemos
A condição de que a colisão seja perfeitamente inelástica implica que as velocidades finais dos 
dois objetos sejam as mesmas. Portanto, temos a equação 7.21:
Observe que a condição de uma colisão perfeitamente inelástica implica apenas que as 
velocidades finais sejam as mesmas para os dois objetos. Em geral, os vetores momento final 
dos objetos podem ter módulos bem diferentes.
Sabemos, pela terceira lei de Newton (veja o Capítulo 4), que as forças que dois objetos 
exercem entre si durante uma colisão têm o mesmo módulo. Porém, as mudanças de velocida-
de, ou seja, as acelerações que os dois objetos sofrem em uma colisão perfeitamente inelástica, 
podem ser drasticamente distintas. O exemplo a seguir ilustra esse fenômeno.
O sentido da primeira pedra é +32,0° em relação à horizontal. Podemos escrever o módulo do 
momento final da segunda pedra como
O sentido da segunda pedra é -58,0° em relação à horizontal. A energia cinética total das duas 
pedras após a colisão é
Avalie os resultados para os 
momentos finais das duas pe-
dras no Problema resolvido 7.1 
calculando as energias cinéticas 
individuais das duas pedras após 
a colisão para verificar se sua 
soma é realmente igual à ener-
gia cinética inicial.
7.5 Pausa para teste
Em uma colisão perfeitamente 
inelástica entre um objeto em 
movimento e um objeto estacio-
nário, os dois objetos
a) se aderem.
b) ricocheteiam entre si, per-
dendo energia.
c) ricocheteiam entre si, sem 
perder energia.
7.9 Exercícios
de sala de aula
DICA DO PROFESSOR
Neste vídeo mostraremos a definição de colisão bidimensional e suas aplicações utilizando 
vetores.
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EXERCÍCIOS
1) Em uma colisão com o chão, após uma queda livre vertical, uma esfera dissipa 36% 
de sua energia cinética. Supondo que a esfera partiu do repouso de uma altura H = 
1,0m e desprezando a resistência do ar, qual altura máxima h atingida após a colisão? 
Considere a aceleração da gravidade como 10m/s2.
A) 0,64 m
B) 0,51 m
C) 0,32 m
D) 0,15 m
E) 0,10 m
2) Um vagão A, de massa 10t, move-se com velocidade escalar igual a 0,40m/s sobre 
trilhos horizontais sem atrito até colidir com um outro vagão B, de massa 20t, 
inicialmente em repouso. Após a colisão, o vagão A fica parado. 
A energia cinética final do vagão B vale:
A) 100 J
B) 200 J
C) 400 J
D) 800 J
E) 1600 J
3) Num plano horizontal x x y, um projétil de massa m é lançado com velocidade v, na direção 
θ com o eixo x, contra o centro de massa de uma barra rígida, homogênea, de comprimento 
L e massa M, que se encontra inicialmente em repouso a uma distância D de uma parede, 
conforme a figura. Após uma primeira colisão elástica com a barra, o projétil retrocede e 
colide elasticamente com a parede. 
Desprezando qualquer atrito, determine o intervalo de valores de para que ocorra uma 
segunda colisão com a barra, e também o tempo decorrido entre esta e a anterior na 
parede.
 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
A figura apresenta um esquema do aparato experimental proposto para demonstrar a 
conservação da quantidade de movimento linear em processo de colisão. 
Uma pequena bola 1, rígida, é suspensa por um fio, de massa desprezível e inextensível, 
formando um pêndulo de 20 cm de comprimento. Ele pode oscilar, sem atrito, no plano 
vertical, em torno da extremidade fixa do fio. A bola 1 é solta de um ângulo de 60º (cosθ = 
0,50 e senθ ≅ 0,87) com a vertical e colide frontalmente com a bola 
2, idêntica à bola 1, lançando-a horizontalmente.  
4) 
Considerando o módulo da aceleração da gravidade igual a 10m/s2 , que a bola 2 se 
encontrava em repouso à altura H = 40 cm da base do aparato e que a colisão entre as duas 
bolas é totalmente elástica, A velocidade de lançamento da bola 2 será de: 
A) 0,4 m/s
B) 0,8 m/s
C) 1,4 m/s
D) 2,1 m/s
E) 3,2 m/s
A figura representa um pêndulo balístico usado em laboratórios didáticos. 5) 
A esfera disparada pelo lançador se encaixa em uma cavidade do bloco preso à haste. Em 
consequência disso, ambos sobem até ficarem presos por atrito em uma pequena rampa, o 
que permite medir o desnível vertical h do centro de massa do pêndulo (conjunto bloco-
esfera) em relação ao seu nível inicial. Um aluno trabalha com um equipamento como esse, 
em que a massa da esfera é me = 10 g, a massa do bloco é mB = 190 g e a massa da haste 
pode ser considerada desprezível. 
Em um ensaio experimental, o centro de massa do conjunto bloco-esfera sobe h = 10 cm. A 
energia potencial gravitacional adquirida pelo conjunto bloco-esfera em relação ao nível 
inicial será de:
A) 0,4 J e 31,2 m/s
B) 0,8 J e 28,3 m/s
C) 1,2 J e 18,2 m/s
D) 3,2 J e 43,2 m/s
E) 0,2 J e 28,3 m/s
NA PRÁTICA
Veja de que forma presenciamos as colisões bidimensionais. Presente em muitos eventos o 
estudo sistemático das colisões ampliou suas informações para duas ou três dimensões, tratando 
com mais fidelidade a situação descrita.
Quando colidimos elasticamente um objeto com uma parede sólida ou quando observamos a 
interação entre bolinhas de bilhar e em ambos os casos as colisões não são perfeitamente 
perpendiculares, ou seja, quando os ângulos formados pelas trajetórias após as colisões, não são 
de 90°, estamos presenciando colisões bidimensionais. Momento e energia cinética são 
características que precisam ser mensuradas. Numa colisão elástica o componente momento 
perpendicular à parede muda de sinal retendo o mesmo valor absoluto.
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Física I - Aula 22 – Colisões
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Veja neste vídeo, uma explicação sobre como calcular as Colisões Bidimensionais:
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Saiba mais com o capítulo 9 do livro "Física: Uma Abordagem Estratégica - Vol.1"