Propriedades das Raizes

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MATEMÁTICA - MÓDULO 4
ESTUDO DOS RADICAIS
Documento realizado por discentes do IFSul Campus
Camaquã. Revisado por Diana Schein Bartz, mestre
em Engenharia Oceânica pela FURG e por Tiago
Ventura Martins, Mestre em Ensino de Matemática
pela UFRGS.
QUALIFICA
matemática
 
MATEMÁTICA - MÓDULO 4 
REVISADO POR DIANA SCHEIN BARTZ, MESTRE EM ENGENHARIA OCEÂNICA PELA 
FURG E POR TIAGO VENCATO MARTINS MESTRE EM ENSINO DE MATEMÁTICA PELA 
UFRGS​,’ 
 
MATEMÁTICA - Módulo 4 
 
ESTUDO DOS RADICAIS 
 
1. ​INTRODUÇÃO A RADICIAÇÃO 
 
Nesta unidade iremos falar sobre os radicais, mas antes de                   
aprendermos a calcular uma raiz e ver as suas principais propriedades,                     
devemos entender o que é a radiciação. 
Até agora sabemos que a divisão é o processo inverso da multiplicação                       
e a subtração é o da soma, ou vice versa. Analisando neste ponto                         
dizemos que: 
 
 ​A radiciação é a operação inversa da potenciação 
 
Nas potências, é dado um número (base) que é multiplicado por si                       
mesmo n vezes (n é o expoente). Na radiciação, acontece o contrário,                       
onde é dada a potência a fim de encontrar a base. 
 
 
2. ​REPRESENTAÇÃO DA RADICIAÇÃO  
 
A radiciação também pode ser denominada por raiz enésima de um                     
número real, é representada da seguinte maneira: 
 
Interpretando esta equação dizemos que: x é um número que                   
multiplicado por si mesmo n vezes, tem como resultado a. 
 
 
2.1 Exemplos  
 
● = 4 porque 4​2​ = 4 x 4 = 16 ..……………………… (Raiz quadrada de 16)√16  
● = 3 porque 3​3​ = 3 x 3 x 3 = 27 …………………. (raiz cúbica de 27)√3 27  
● = 2 porque 2​4​ = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 …………… (raiz quarta de 16)√4 16  
● = 13 porque 13​2​ = 13 x 13 = 169 …………….. (raiz quadrada de 169)√ 169  
 
Obs.:  
 
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Quando o índice não aparece na raiz, significa que essa raiz é 
quadrada: n = 2. 
 
3. ​CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA 
  
3.1 Número real positivo 
 
Quando a>0 (um número real positivo), e n for um número natural par,                         
diferente de zero. Dizemos que:  
A raiz é igual a um número real positivo  
 
Vejamos o exemplo: 
 
● = 6​2​ = 6 x 6 = 36√36  
 
 
3.2 Número real negativo 
 
Quando a<0 (um número real negativo), e o índice for par, não existe                         
raiz no conjunto dos reais. Ou seja:  
 
Não se define raiz quadrada de um número real negativo.  
 
Vejamos o exemplo: 
● = { } -> Pois (−6)​2​ = (-6) x (-6) = +36√− 63  
 
Como não existe raiz quadrada de um número negativo, ela deve ser                       
representada da seguinte maneira: 
● - = - (6 x 6) = -36√36  
 
Porém, quando o índice (n) for ímpar, pode existir raiz negativa de um                         
número real. Ou seja: 
 
Existem Raízes ímpares de números negativos no conjunto dos números 
Reais 
 
Vejamos o exemplo: 
● = 3 x 3 x 3 = 27√3 27  
● = -3 x -3 x -3 = -27√3 27  
 
 
4. ​RESUMO 
 
Para prosseguir no conteúdo devemos saber que: 
 
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- Extrair a raiz é a operação inversa da potenciação 
- Nao existe raiz par de número negativo no conjunto dos                   
números reais 
- Existem Raízes ímpares de números negativos no conjunto dos                 
números Reais 
 
 
 
5. ​PROPRIEDADES DOS RADICAIS 
 
As propriedades dos radicais nos permitem simplificar e resolver raízes                   
de forma mais fácil e simples. A seguir veremos as principais                     
propriedades da radiciação. 
 
 
5.1 Primeira propriedade 
 
 = a √n an  
 
A primeira propriedade diz que quando o índice do radical é igual ao                         
expoente do radicando, o resultado é o próprio número. 
 
EX.: 
● = = = 2√4 16 √4 2.2.2.2 √4 2 4  
 
5.2 Segunda propriedade 
 
 = √n am √n . p am . p  
 
O índice de uma raiz pode ser multiplicado ou dividido por um número                         
real, desde que o expoente do radicando também seja pelo mesmo                     
número. 
 
EX.: 
● = = = 2√4 4 2 √4 ÷ 2 4 2 ÷ 2 √ 4  
 
 
5.3 Terceira propriedade 
 
 = . √n a . b √n a √ n b   
 
 
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Quando o radicando é o produto entre dois números, a raiz é igual ao                           
produto das raízes. 
 
EX.: 
● = . = 2 . 3 = 6√ 4. 9 √ 4 √ 9  
 
 
5.4 Quarta propriedade 
 
 = √n ba √n b√
n a  
 
Quando o radicando é a divisão entre dois números, a raiz é igual à                           
razão entre as raízes. 
 
EX.: 
 = ​= =​ 2 √3 864 √3 8√
3 64 8
4  
 
 
5.5 Quinta propriedade 
 
( )​k​ = √n am √n am . k  
 
Se uma raiz está sendo elevada a um expoente, este expoente pode                       
passar para o radicando. 
 
EX.: 
● ( )​2​ = = = 3√4 32 √4 32 . 2 √4 34  
 
 
5.6 Sexta propriedade 
 
 = √n √m a √n . m a  
 
Quando a raiz de um número está sobre outra raiz, basta multiplicar os                         
seus expoentes. 
EX.: 
● = = = 2√3 √2 64 √2. 3 64 √6 64  
 
 
5.7 Sétima propriedade 
 
 
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 = √n am a nm  
 
Um radical pode ser escrito na forma de potência com expoente                     
fracionário, para isso o radicando é elevado entre a razão do seu                       
expoente e seu índice. 
 
EX.: 
● = = 5​2​ = 25√2 54 5 2
4  
 
 
 
6. ​OPERAÇÕES COM RADICAIS 
 
Até agora vimos algumas propriedades que nos ajudam a resolver e a                       
simplificar os radicais. Vimos que em uma expressão podemos extrair                   
as raízes (exatas ou aproximadas) dos radicais e somar ou subtrair os                       
resultados. 
A seguir veremos as operações básicas com a radiciação quando não                     
podemos utilizar esta técnica. 
 
6.1. Soma e subtração 
 
Quando o radical e o índices são semelhantes efetuamos a soma e                       
conservamos o radical. Vejamos alguns exemplo: 
 
● 2 + = 3√ 3 √ 3 √ 3  
● 32 - 12 = 20√ 5 √ 5 √ 5  
● 4 + 2 - 4 = 2√ 7 √ 7 √ 7 √ 7  
 
Obs.: A soma e a subtração só podem ser realizadas se o índices e os                             
radicais forem semelhantes 
 
6.1.1 Radicais semelhantes após simplificação 
 
Podemos utilizar a simplificação dos radicais para torná-las de mesmo                   
radical e assim efetuarmos a soma, vejamos o exemplo: 
 
● + 9√ 8 √ 2  
+ 9√ 23 √ 2  
 + 9√ 2 . 2 2 √ 2   
 2 + 9√ 2 √ 2  
 11 √ 2  
 
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● + 6 -√ 50 √ 2 √ 98  
 + 6 - √ 5 . 2 2 √ 2 √ 7 . 2 2  
 5 + 6 - 7√ 2 √ 2 √ 2  
 4 √ 2  
 
6.1.2 Os radicais não semelhantes 
 
Extraímos as raízes e efetuamos as operações. 
 
● + = 3 + 2 = 5√ 9 √ 4  
● - = 2,4 - 2,2 = 0,2√ 6 √ 5  
 
6.2 Divisão e multiplicação 
 
Quando os radicais possuem o mesmo índice, efetuamos a operação                   
entre os radicandos. Vejamos os exemplos: 
 
● . = √ 5 √ 7 √ 35  
● 4 . 5 = √ 2 √ 3 02 √ 6  
● : = √4 10 √4 2 √4 5  
● : = 51 √ 6 3√ 2 5√ 3  
 
 
6.2.1 Radicais de índices diferentes 
 
Em radicais que não possuem o mesmo índice, devemos utilizar                   
técnicas para torná-los com mesmo índice, para isso podemos utilizar                   
a segunda propriedade vistaneste documento. Vejamos o exemplo: 
 
● . √3 2 √ 5   
 . √3 . 2 21 . 2 √2 . 3 21 . 3  
 . √6 2² √6 5³  
 . √6 4 √6 125   
 √6 500   
 
● : √5 7 √ 3   
 : √5 . 2 71 . 2 √2 . 5 21 . 5  
 : √10 7² √10 3 5  
 : √10 49 √10 243   
 
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√10 49
 √10 243
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
Todo embasamento desta apostila foi retirado dos seguintes livros: 
 
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria. ​Praticando Matemática. ​São 
Paulo: Editora do Brasil, 2006. 
 
GIOVANNI, josé; CASTRUCCI, Benedicto. ​A conquista da matemática. ​São 
Paulo: Editora FTD, 2009.  
OGANDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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