Gervasio Victor Fernando_IO

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Gervásio Victor Fernando
Noções Fundamentais de Investigação Operacional
Universidade Rovuma
Nampula
2021
Gervásio Victor Fernando
Noções Fundamentais de Investigação Operacional
(Licenciatura em Ensino de Matemática)
	
Trabalho de carácter avaliativo da cadeira de Investigação Operacionais do curso de Licenciatura em Ensino de Matemática, 4o Ano, leccionada pelo Docente: MSc. Dionísio Marques
Universidade Rovuma 
Nampula
2021
Índice
Introdução	4
1.	Breve historial da Investigação Operacional	5
Período antes da II guerra mundial	5
Período entre 1939 e 1945	5
Período após guerra	6
2.	Objecto de estudo da Investigação Operacional	7
3. Razão pela qual as sociedades se interessam com a optimização	8
4. Razão pela qual os Norte americanos se interessaram com Investigação Operacional	8
5. Os dois principais problemas da Investigação Operacional	9
6. Características da Investigação Operacional	9
7. Elementos de um modelo de programação linear	10
8. Os principais ramos da Investigação operacional	11
a)	Programação linear	11
b)	Programação não linear	12
c)	Programação dinâmica ou balística	12
d)	Programação inteira	12
e)	Teoria dos jogos	13
f)	Teoria de filas	13
g)	Simulação computacional	13
h)	Analise estatística	13
9. Principais passos ou fases na I.O para resolução de um problema	14
a)	Formulação do problema	14
b) Construção do modelo matemático	14
e) Tomada de decisão na solução encontrada	16
10. Elementos de um modelo de optimização	17
Conclusão	20
Referências Bibliográficas	21
Introdução 
O acelerado nível de crescimento das actividades económicas e militares nas diferentes instituições tem gerado divisões de trabalhos e aumentado cada vez mais a complexibilidade do controlo de recursos disponíveis nessas instituições, havendo a necessidade se criar métodos capazes de controlar tais recursos de modos a evitar possíveis prejuízos, é dai que entra o papel da Investigação Operacional, uma ciência que visa solucionar tais problemas sendo aplicável em qualquer área que possui recursos a serem geridos, por isso, o presente trabalho tem como tema principal as noções de Investigação operacional com o objectivo de descrever e caracterizar cada um dos elementos fundamentais que compõem este ramo da ciência.
1. Breve historial da Investigação Operacional
Período antes da II guerra mundial
Embora o termo "investigação operacional" seja relativamente recente, a utilização de métodos científicos na preparação das decisões que competem a uma autoridade executiva remonta a datas longínquas. Recordemos que já no século III A.C., Hierão, tirano de Siracusa, pedia ao sábio Arquimedes que indicasse a mais eficiente utilização das armas da época a fim de romper o cerco imposto pela frota romana.
Mais perto de nós, Pascal, Fermat e sobretudo Jacques Bernoulli são os precursores da teoria da decisão, criando um novo ramo da matemática - o cálculo das probabilidades – cujo desenvolvimento teve grande influência nos progressos recentes da investigação operacional, Em 1851 surgem os trabalhos pioneiros de Taylor sobre a organização científica do trabalho; em 1917, aparecem as contribuições de Erlang sobre as comunicações telefónicas e, em 1930, Levinson aplica os métodos científicos a problemas de mercado.
No domínio das aplicações militares devem referir-se os trabalhos importantes de Lanchester (1916) que traduziu em fórmulas matemáticas algumas complexas estratégias militares, e as contribuições de Edison sobre as técnicas a serem adoptadas pelos navios mercantes para se defenderem dos submarinos.
Período entre 1939 e 1945
De acordo com N O R M A, S.A.R,L (1966), foi no entanto durante a Segunda Guerra Mundial que a investigação operacional, já assim designada, recebeu um impulso extraordinário.
Desde 1939 que um pequeno grupo de técnicos dedicados à investigação operacional trabalhou, em Inglaterra, na crítica dos métodos de emprego dos primeiros radares. E, nas horas cruciais de 1940, o Estado Maior inglês recorreu a uma equipa de investigadores (o grupo Blackett) para conseguir o aproveitamento óptimo do sistema defensivo britânico. Citam-se, como resultados notáveis obtidos por esses cientistas, os seguintes: duplicação da eficiência dos ataques aéreos aos submersíveis, nova disposição dos comboios de navios por forma a minimizar as perdas, organização dos bombardeamentos aéreos sobre a Alemanha, etc.
Paralelamente, nos E.U.A, desde a sua entrada na guerra, grupos de investigação operacional foram incumbidos pelo exército marinha e força aérea de estudarem cientificamente cada uma destas armas, Métodos e formações de ataque dos submarinos inimigos, técnicas de bombardeamento aéreo por esquadrilhas, meios de defesa contra os ataques aéreos dos japoneses, eis alguns dos assuntos estudados, tendo-se obtido uma sensível melhoria dos resultados e uma diminuição importante das perdas inevitáveis.
Em 1939, o matemático e economista soviético L.V. Kantarovich também formulou e resolveu problemas ligados à optimização na administração das organizações, só que o seu trabalho se manteve desconhecido até 1959. 
É assim que a origem da IO como ciência é atribuído à coordenação das operações militares durante a 2ª Guerra Mundial. Devido à guerra, era necessário distribuir recursos militares, homens, etc. a determinadas operações duma forma eficaz. Para isto foi procurada uma equipa de cientistas que pudesse resolver os problemas de estratégia e táctica militar. 
Em 1947, George Dantzig e outros cientistas dentro do projecto SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs), no Departamento da Força Aérea Americana, apresentaram uma forma sistemática de resolução dos problemas de Programação Linear (um dos ramos mais desenvolvidos e mais utilizados da IO) que se designa por Método Simplex. 
Com a apresentação do Método Simplex, a IO em geral, e a PL, em particular, deu um grande salto. É a partir de então que as aplicações de IO não cessaram, envolvendo valiosas contribuições de economistas e matemáticos. 
O desenvolvimento da Informática é outro dos factores que tem contribuído para a evolução acelerada desta ciência nas últimas décadas.
Período após guerra
No fim da guerra, os grupos de investigação operacional gozavam de merecido prestígio. Tinha ficado demonstrado, durante as hostilidades, que as equipas constituídas por especialistas das mais diversas disciplinas eram capazes de resolver com plexos problemas, envolvendo muitas variáveis, e os métodos que tinham permitido obter uma maior eficiência das armas e uma valiosa economia em vidas humanas e material, eram susceptíveis de ser aplicados, em tempo de paz , na obtenção de uma maior eficiência económica.
Terminado o conflito, numerosas empresas progressistas aplicaram nas suas organizações os métodos da investigação operacional que a tão bons resultados tinham conduzido no período das hostilidades. Na Inglaterra, por exemplo, as primeiras organizações a introduzirem a investigação operacional nos seus serviços foram a "British Transport Comission", o "National Coal Board", "Courtaulds, Ltd . " e a "British Iron and Stee l Federation".
Também nos E.U.A., na França e, pouco a pouco, em todos os países abertos ao progresso científico, os meios industriais, comerciais e a própria administração pública foram-se interessando pelas técnicas da investigação operacional.
O desenvolvimento progressivo das aplicações da investigação operacional nos diversos sectores da actividade económica é, ao mesmo tempo, causa e efeito do número crescente de livros e revistas especializadas que se publicam hoje em todo o mundo, simultaneamente, tem-se fundado numerosas sociedades científicas que agrupam os técnicos e as empresas interessadas na investigação operacional. 
Em l de Janeiro de 1959, fundou-se a Federação Internacional das Sociedades de Investigação Operacional.
Normalmente o termo investigação operacional está associado quase exclusivamente ao uso de técnicas matemáticas para modelar e analisar problemasde decisão. No entanto, a componente matemática da investigação operacional deve ser encarada no contexto mais vasto do processo de tomada de decisões, cujos elementos não podem ser totalmente representados através de um modelo matemático.
2. Objecto de estudo da Investigação Operacional 
De acordo com N O R M A, S.A.R,L (1966), entende-se por investigação o conjunto de actos requeridos para obter determinado resultado, isto é, uma operação é um complexo de actos inter- relacionados, executados simultaneamente ou em sequência, que conduzem à obtenção de determinados objectivos.
A investigação operacional não estuda, porém, todos os tipos de operações, interessam-lhe só as operações dos indivíduos integrados num certo tipo de sistema, Exemplo: a investigação operacional não estuda as operações de um indivíduo que trabalha com uma máquina, mas sim o homem e a sua máquina.
A investigação operacional ocupa-se, pois, dos sistemas formados por duas ou mais partes cujos actos constituem uma operação. Grande número de sistemas que interessam à investigação operacional envolve comunicação entre algumas das partes e certas conexões.
A investigação operacional consiste na utilização de métodos científicos para fazer investigação sobre as actividades ou operações de uma organização, tendo como objectivo a determinação da melhor alternativa num problema de decisão, sujeito a restrições relativas à limitação de recursos.
3. Razão pela qual as sociedades se interessam com a optimização
A sociedade hoje se interessa muito com a optimização, devido a necessidade de resolver duma forma eficiente os diversos problemas que surgem com acelerado crescimento da complexidade das empresas e organizações. Este considerável aumento da complexidade e da especialização, quer na produção, quer na gestão, tem levantado vários problemas como complexidade na distribuição e utilização óptima dos recursos, para obter uma melhor eficácia dentro de toda a organização, complexidade na administração da organização em geral.
4. Razão pela qual os Norte americanos se interessaram com Investigação Operacional 
Os EUA interessam-se com a Investigação devido a sua entrada na guerra, pois, desde a sua entrada na guerra, grupos de investigação operacional foram incumbidos pelo exército da marinha e força aérea de estudarem cientificamente cada uma destas armas, Métodos e formações de ataque dos submarinos inimigos, técnicas de bombardeamento aéreo por esquadrilhas, meios de defesa contra os ataques aéreos dos japoneses, eis alguns dos assuntos estudados, tendo-se obtido uma sensível melhoria dos resultados e uma diminuição importante das perdas inevitáveis.
 5. Os dois principais problemas da Investigação Operacional
Uma componente importante do desenvolvimento tem sido a divisão do trabalho que é também reflectido na segmentação da administração. 
Este considerável aumento da complexidade e da especialização, quer na produção, quer na gestão, tem levantado vários problemas. Podemos citar entre eles: 
· Complexidade na distribuição e utilização óptima dos recursos (geralmente limitados ou escassos) para obter uma melhor eficácia dentro de toda a organização. 
· Complexidade na administração da organização em geral: as diferentes componentes dentro duma organização, convertidas em sistemas autónomos com objectivos e administração próprias, por vezes, perdem a perspectiva da forma em que estes objectivos devem estar integrados com os objectivos da organização em geral. Os objectivos cruzam-se: o que pode ser melhor para uns pode ser prejudicial para outros. 
6. Características da Investigação Operacional
As características fundamentais da IO são: 
· A aplicação de métodos científicos na gestão das organizações: uma abordagem quantitativa & qualitativa na tomada de decisões. 
· Orientação sistémica: o problema é analisado no contexto dum sistema que inclui diversas componentes interrelacionadas entre si. As soluções devem satisfazer toda a organização, ou seja, o sistema completo. 
· Extensibilidade: pode ser aplicada a um largo número de organizações, tais como em negócios, economia, industria, industria militar, governos, agências, hospitais, etc.
· Buscar a optimização da solução dum problema - que consiste em seleccionar a alternativa que melhor conduzirá a maximização dos lucros ou minimização dos custos.
· Emprego de simulação sobre os modelos - que consiste em imitar o funcionamento de um sistema real, que não pode ser compreendido tal como está, recorrendo a uma representação adequada para fins experimentais ou de estudo do sistema real, desde que o sistema real seja determinístico e não escolástico.
Para além dessas características, a IO apresenta também as seguintes características:
· A investigação operacional adopta uma atitude de pesquisa, procurando compreender a realidade sem admitir como ponto de partida conceitos pré-definidos (investigação) 
· A investigação operacional utiliza a compreensão da realidade com o objectivo de apoiar os processos decisórios dos responsáveis pelos sistemas analisados, e adopta uma atitude sempre orientada para a melhoria da sua operacionalidade (operacional) 
· A investigação operacional adopta uma metodologia interdisciplinar estruturada recorrendo, com frequência, à teoria dos sistemas, às ciências organizacionais, à estatística, a métodos matemáticos de optimização, a metodologias de experimentação (geralmente designadas por simulação) e a instrumentos computacionais.
· A investigação operacional considera que a realidade deve ser modelada em cada caso, numa perspectiva construtivista, sendo importante o processo de aprendizagem que se desenvolve durante a construção de um modelo. 
7. Elementos de um modelo de programação linear
A programação linear lida-se com problemas que dizem respeito à atribuição e a distribuição de recursos entre as diversas tarefas ou actividades que devem ser realizadas.
A programação linear (p.l.) é uma técnica de modelação matemática que visa a optimização da utilização de recursos limitados. É aplicada em áreas tão diversas como a indústria, a agricultura, os transportes, a economia, os sistemas de saúde, e mesmo as ciências sociais e comportamentais. Devido à sua elevada eficiência computacional é a base do desenvolvimento de algoritmos de solução de outros tipos de problemas de investigação operacional (mais complexos).
Normalmente, os recursos disponíveis não são suficientes para que todas as actividades sejam executadas no nível desejado. Assim, o que se procura, é encontrar a melhor distribuição possível dos recursos, de forma a atingir um valor óptimo objectivo (máximo para lucros) e (mínimo para custos).
A programação linear envolve o planeamento das actividades de modo a obter um resultado óptimo, isto é, um resultado que permita atingir melhor o objectivo pretendido (de acordo com o modelo matemático e dentro das alternativas possíveis). O tipo mais comum de aplicação da programação linear envolve a alocação de recursos limitados a diversas actividades, embora a programação linear tenha também outras importantes aplicações. Esta alocação traduz-se na escolha dos níveis das actividades que permitem atingir o melhor possível determinados patamares de desempenho.
Assim, um problema de programação linear é caracterizado por três elementos básicos:
1. Variáveis de decisão, que são o centro das atenções na resolução do problema;
2. Existência de um objectivo, expresso em termos das variáveis de decisão;
3. Existência de restrições à aplicação dos recursos, tanto em relação às quantidades disponíveis como em relação à forma de emprego.
Os estudos de programação linear permitem responder questões como:
1. Estando presentes certas condições de produção, qual a quantidade de um determinado produto, entre vários, que se deve produzir para obter o maior lucro possível?
2. Sendo impostas algumas especificações, qual é a composição da mistura que corresponde ao custo mínimo?
3. Estando impostas as condições de trabalho, como repartir o conjunto de mão-de-obra entreas diferentes tarefas e especialidades, com o objectivo de minimizar as despesas ou maximizar a eficiência?
8. Os principais ramos da Investigação operacional
a) Programação linear
D acordo com Malcata (2018, p. 8), a programação linear (PL) é uma técnica de modelação matemática que visa a optimização da utilização de recursos limitados. É aplicada em áreas tão diversas como a indústria, a agricultura, os transportes, a economia, os sistemas de saúde, e mesmo as ciências sociais e comportamentais. Devido à sua elevada eficiência computacional é a base do desenvolvimento de algoritmos de solução de outros tipos de problemas de investigação operacional (mais complexos). 
A programação linear envolve o planeamento das actividades de modo a obter um resultado óptimo, isto é, um resultado que permita atingir melhor o objectivo pretendido (de acordo com o modelo matemático e dentro das alternativas possíveis). O tipo mais comum de aplicação da programação linear envolve a alocação de recursos limitados a diversas actividades, embora a programação linear tenha também outras importantes aplicações. Esta alocação traduz-se na escolha dos níveis das actividades que permitem atingir o melhor possível determinados patamares de desempenho.
b) Programação não linear
A programação não linear é um processo de resolução de um problema de optimização definido por um sistema de equações e desigualdades, colectivamente denominadas restrições, através de um conjunto de desconhecido variáveis reais, juntamente com uma função objectivo a ser maximizada ou minimizado, onde algumas das restrições ou a função objectivo são não lineares. É um subcampo de optimização matemática que lida com problemas que não são lineares.
c) Programação dinâmica ou balística
Programação dinâmica ou balística é um método para construção de algoritmos para a resolução de problemas computacionais, em especial a optimização combinatória. Ela é aplicável a problemas nos quais a solução óptima pode ser computada a partir a partir da solução óptima previamente calculada e memorizada (de forma a evitar recalculo) de outros problemas que, sobrepostos, compõem o problema original.
A programação dinâmica é aplicável a problemas de optimização que possuem duas principais características, a saber: subestrutura óptima e superposição de problema.
Um problema apresenta subestrutura óptima quando uma solução óptima para o problema contem em seu interior soluços óptimas para subproblemas. A superposição de problemas acontece quando um algoritmo recursivo reexamina o mesmo problema muitas vezes. 
Problemas de programação dinâmica podem ser abordados de forma top-down ou bottom-up.
d) Programação inteira
Trata-se de um processo de resolução de problemas de optimização que lhe da com modelos de programação linear no qual algum ou todas variáveis do problema pertencem ao conjunto de números inteiros. 
Quando todas as variáveis são inteiras o modelo é denominado programação inteira pura; caso contrario, é denominado programação inteira mista.
A solução de um Problema Linear Inteiro (PLI) aparenta ser fácil, no entanto produzir soluções para programas inteiros é um problema NP-difícil.
e) Teoria dos jogos
É uma técnica matemática que busca antecipar as possíveis decisões de participantes de uma competição. Essa teoria tem aplicação em muitas áreas, mas é usada principalmente em administração e economia. 
f) Teoria de filas
É um estudo das esperas existentes nos mais diversos sistemas, tais como filas de banco, do caixa no supermercado e outras e outras não tão corriqueiras a todo mundo como as ordens de produção aguardando para serem liberadas ou veículos aguardando para serem descarregados, assim atrasam outros carregamentos posteriores. Sendo assim é necessário o balanceamento adequado dos recursos visando um nível de atendimento satisfatório. O melhor custo-beneficio entre as esperas e as suas implicações, assim como o investimento para possibilitar o melhor atendimento possível.
g) Simulação computacional
É uma técnica que simula as características estudadas em um modelo de computador, considerando a variabilidade dos comportamentos do ambiente e seus participantes. Com base na simulação computacional é possível testar mudanças e conhecer com maior probabilidade de sucesso o impacto dessas mudanças no sistema.
h) Analise estatística
Segundo Fortin (1996), a análise estatística permite resumir a informação numérica de uma forma estruturada, a fim de obter uma imagem geral das variáveis medidas numa amostra. Por outro lado permite através de testes estatísticos determinar se as relações observadas entre as certas variáveis numa amostra são generalizáveis a população de onde esta foi retirada. 
Numa investigação que integre paradigmas qualitativos e quantitativos, a análise estatística permite aos investigadores criar um outro contexto de análise, proporcionando uma apresentação mais enriquecida e reforçada, para examinar o fenómeno de interesse. 
9. Principais passos ou fases na I.O para resolução de um problema
De acordo com Ranger (2012) são cinco os principais passos para resolução de um problema de optimização: formulação do problema, determinação da solução, avaliação do modelo e da solução, tomada de decisão na solução encontrada, implementação.
a) Formulação do problema 
Nesta fase formular-se correctamente o problema em estudo. O problema deve ser analisado a partir de um sistema integrado, onde interactuam várias componentes, todas elas interdependentes, para o qual é preciso obter uma solução óptima que satisfaça a todas elas. 
Aqui devem estar bem definidos: 
· `Os objectivos que se pretendem alcançarem com a resolução do problema. 
· As restrições (limitações) existentes no sistema em geral. 
· As relações de interdependência de todas as componentes integrantes do sistema. 
Este passo deve ser executado com muita responsabilidade, e obviamente, a formulação inicial será sempre reformulada até que se alcance a que melhor represente a situação real em estudo. 
b) Construção do modelo matemático
A modelação matemática dum problema possibilita uma melhor compreensão da essência do mesmo.
Um modelo matemático é uma representação simplificada de uma situação da vida real, formalizado com símbolos e expressões matemáticas.
Num Problema de Optimização um modelo é representado por um sistema de equações (inequações) que descrevem a essência do problema. 
Um modelo matemático de um Problema de Optimização determina os valores de um número N de decisões a ser tomadas, denominadas variáveis de decisão: interrelacionadas por uma função matemática, que representa a medida da vantagem (desvantagem) associada à tomada de decisão. Esta função é denominada função objectivo. Qualquer restrição associada às variáveis de decisão pode ser representada por equações (inequações) matemáticas. Estas expressões são denominadas restrições do modelo. Todas as constantes (coeficientes) da função objectivo e das restrições são denominadas parâmetros do modelo.
Aspectos fundamentais a ter em conta no processo de modelação: 
· Simplificar sem perder a essência do problema: para formular matematicamente um problema da vida real, por vezes complexo, é preciso começar por uma representação, o mais simples possível, do mesmo, ou seja, simplificar o problema em estudo, mas é preciso ter-se cuidado na simplificação do modelo, pois este deve corresponder à realidade, de tal forma que as soluções obtidas através do modelo matemático possam realmente ser aplicadas na vida real. 
· Processo em espiral: Geralmente, este processo de modelação desenvolve-se em forma de espiral, começando por uma representação simplificada do problema, até se chegar depois de vários ciclos a uma representação mais próxima da situação em estudo na vida real.
Um problema pode ser reformulado e remodelado perante as seguintes situações: 
· Durante a etapa da avaliação do modelo e as suas soluções, os resultados demonstram que é preciso uma reformulação do problema (incorporando novas restrições, alterando os valoresde alguns dos parâmetros, etc.). 
· Depois de avaliadas e implementadas as soluções, pretende-se agora avançar para uma etapa superior. Nesta nova etapa o modelo vai ser enriquecido com novos elementos, ainda mais complexos. 
Este processo de reformulação e remodelação pode repetir-se, até que o modelo desenvolvido e as suas soluções representem, o mais fielmente possível, a complexidade do problema em estudo, e as soluções implementadas satisfaçam completamente os principais objectivos traçados. 
· Escolha do modelo certo: Na maioria das situações, o problema pode ser representado por modelos e problemas tipo já desenvolvidos pela IO. Neste caso formular matematicamente o problema não é mais do que convertê-lo em certos modelos e problemas tipo da IO (modelos de Programação Linear, Programação Dinâmica, problema de transporte, etc.). 
A IO estrutura e formula um problema de optimização da vida real dentro dum modelo matemático, reflectindo a essência do problema, de forma que as conclusões (soluções) obtidas, possam ser aplicadas na situação real.
c) Determinação da solução
Uma vez realizada a formulação matemática do problema, é preciso aplicar métodos e algoritmos desenvolvidos para a resolução do correspondente modelo de IO. Para isto podem ser utilizados muito dos softwares e pacotes de computação disponíveis para a resolução de problemas de IO. 
Se o modelo foi correctamente formulado, a solução obtida pode ser uma boa aproximação da solução a implementar na situação real. “Pode ser” em lugar de “é”. Qualquer modelo, como representação do problema, possui um certo grau de incerteza, motivado fundamentalmente pelas simplificações efectuadas. Realmente uma solução óptima do modelo pode estar longe de ser a solução óptima na situação real. 
Neste passo é incorporada outro tipo de análise denominada "análise de sensibilidade e pós-optimização" em que é abordado o comportamento da solução óptima quando são efectuadas pequenas alterações em certos parâmetros do modelo. Para isto, é preciso determinar quais são os parâmetros do modelo que mais influenciam a solução óptima (denominados parâmetros “sensíveis”).
A análise de sensibilidade e pós-optimização possibilita um espectro mais alargado de soluções quando ocorrem alterações nestes parâmetros “sensíveis”. Uma vez concluído este passo, a equipa de IO, está pronta para avaliar várias propostas de modelos e as respectivas soluções óptimas.
d) Avaliação do modelo e da solução. 
Neste passo serão avaliados, quer o modelo escolhido, quer as soluções obtidas. Dependendo das conclusões da avaliação, será determinado o passo a seguir. 
· Avaliação satisfatória: proceder à tomada de decisão, que prepara as condições para a implementação da solução obtida na situação real. 
· Avaliação não satisfatória: proceder à reformulação, remodelação e resolução do novo modelo, a partir dos resultados obtidos no processo de avaliação e também na análise de sensibilidade e pós-optimização. 
e) Tomada de decisão na solução encontrada 
Uma vez concluída satisfatoriamente a etapa de avaliação, é preciso elaborar um relatório bem documentado que possibilite a implementação da situação obtida na situação real. Este relatório deve incluir o modelo e um procedimento para a tomada de decisão, o que significa, que todas as acções que devem ser realizadas para implementar os resultados do estudo de IO, devem estar incluídas numa metodologia bem detalhada com todos os passos que sejam necessários seguir para a sua implementação.
f) Implementação 
Neste passo efectua-se a implementação das soluções obtidas usando a metodologia elaborada. No processo de implementação é preciso envolver activamente a administração e todas as componentes da organização que actuam no sistema em estudo. 
Como foi mencionado no 2.º Passo, depois de se terem implementado as soluções, pode ser necessário avançar para uma etapa mais complexa do problema, incluindo alguns elementos novos. Neste caso, inicia-se um novo ciclo para a resolução do problema em causa, só que desta vez com um nível superior de complexibilidade de mesmo.
A formulação e resolução de modelos matemáticos para Problemas de Optimização apresentam apenas uma parte de todo o processo que envolve um estudo de Investigação opcional.
10. Elementos de um modelo de optimização
Os principais elementos de um modelo matemático de um problema de optimização são:
· Variáveis de decisão: Determinar, no problema concreto, aquilo que é fixo e não pode ser alterado, e aquilo que se pode decidir (variáveis de decisão). Representar estas variáveis de decisão de uma forma algébrica. 
· Função objectivo: Identificar o(s) objectivo(s) do problema e representá-lo(s) como uma função das variáveis de decisão, que deve ser maximizada ou minimizada. 
· Restrições: Identificar as restrições do problema, isto é, aquilo que limita as decisões a tomar, e representá-las como igualdades ou desigualdades que sejam funções das variáveis de decisão. 
	
Informação necessária para um modelo de programação linear envolvendo a alocação de recursos às actividades
O modelo coloca o problema da tomada de decisões relativas aos níveis das actividades, razão pela qual se designam por variáveis de decisão. 
Nível da actividade j (para j = 1, 2, …., n) 
 Medida geral de “performance” (desempenho) 
Aumento de z que resulta de uma unidade de aumento do nível da actividade j.
 Quantidade do recurso consumido por cada unidade da actividade j.
Os valores de , , e (para ) são inputs constantes para o modelo, razão pela qual também se designam por parâmetros do modelo. 
O modelo consiste em seleccionar os valores de de modo a maximizar (ou minimizar) a função objectivo (z).
O modelo em formulação matemática
Max (Min) 
Sujeito às restrições: 
e 
 (ou variáveis sem restrição de sinal para alguns valores de ).
Conclusão
Durante a realização do trabalho por meio de pesquisas bibliográficas, foi possível notar o importante papel que que a Investigação Operacional possui para a sociedade e a humanidade em geral, visto que por meio dela é possível traçar métodos que possibilitam um uso adequado de recursos, possibilitando em muitos casos, alcançar o sucesso.
Uma das principais áreas de Investigação Operacional é a Programação Linear, esta lida com problemas que dizem respeito à atribuição e a distribuição de recursos entre as diversas tarefas ou actividades que devem ser realizadas. Normalmente, os recursos disponíveis não são suficientes para que todas as actividades sejam executadas no nível desejado. Assim, o que se procura, é encontrar a melhor distribuição possível dos recursos, de forma a atingir um valor óptimo objectivo (máximo para lucros) e (mínimo para custos).
Referências Bibliográficas
Ackoff, R.L, Sasieni, M.W (1968). Fundamentals of Operations Research, John Wiley & Sans, |Inc USA 
Andrade, E.L (1998) - Introdução à Pesquisa Operacional - métodos e modelos para a análise de decisão (2ª ed.), Rio de Janeiro, Brasil: editora LTC.
Arenales, M. (2007). Pesquisa Operacional, Elsevier.
Faria, A.N (1978). Dinâmica da Administração - perspectivas e projectos, Rio de Janeiro, Brasil: editora LTC.
N O R M A, S.A.R,L.. Sociedade de Estudos para Criação de Empresas: Investigação. Operacional na Empresa-documento no 1. 1966.
Ranger. S. (2012). Introdução a Construção de Modelos de Optimização Linear e Inteira (2a ed.). São Paulo, Brasil.
Silva, C. & Malcata, E. (2019). Investigação Operacional: Documento de apoio das aulas Teórica-Prática. Porto, Portugal: Universidade de Porto.