Lista de Exercícios - Geometria Plana-6 (DIFÍCIES))-1

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Matemática Lista de Exercícios
Exercício 1
(G1 - cftrj 2016) Na �gura abaixo:
 
- Os pontos B, F e E são colineares;
- Os pontos A, D e E são colineares;
- ABCD é um quadrilátero equiângulo;
- O segmento 
¯
EB é bissetriz do ângulo CÊA;
- O ângulo AB̂E; mede 60° e o segmento 
¯
BC mede 18 cm.
 
 
Com essas informações, calcule a medida da área, em cm2 do
triângulo BCE. 
 
 
Exercício 2
 (Ufsc 2016 Adaptada) Se duas reta paralelas são cortadas por uma
reta transversal, formando ângulos alternos externos cujas
medidas, em graus, são representadas por (3x + 4) e (4x − 37),
 encontre a medida da soma desses ângulos.
Exercício 3
(Unicamp 2018) A �gura abaixo exibe um triângulo com lados de
comprimentos a, b e c e ângulos internos θ, 2θ e β.
 
 
a) Supondo que o triângulo seja isósceles, determine todos os
valores possíveis para o ângulo θ.
b) Prove que, se c = 2a, então β = 90°.  
Exercício 4
(Uerj 2015)  Uma ferramenta utilizada na construção de uma rampa
é composta pela seguinte estrutura:
 
- duas varas de madeira, correspondentes aos segmentos AE e
AD, que possuem comprimentos diferentes e formam o ângulo
DÂE igual a 45°;
- uma travessa, correspondente ao segmento BC, que une as duas
varas e possui uma marca em seu ponto médio M;
- um �o �xado no vértice A e amarrado a uma pedra P na outra
extremidade;
- nesse conjunto, os segmentos AB e AC são congruentes.
 
Observe o esquema que representa essa estrutura:
 
 
Quando o �o passa pelo ponto M, a travessa BC �ca na posição
horizontal. Com isso, obtém-se, na reta que liga os pontos D e E, a
inclinação α desejada.
 
Calcule α, supondo que o ângulo AÊD mede 85°. 
Exercício 5
 (Ita 2013) Em um triângulo de vértices A, B e C, a altura, a bissetriz
e a mediana, relativamente ao vértice C, dividem o ângulo BĈA em
quatro ângulos iguais. Se l é a medida do lado oposto ao vértice C,
calcule:
a) A medida da mediana em função de l.
b) Os ângulos CÂB, AB̂C e BĈA. 
Exercício 6
(FGV 2016)  A �gura abaixo mostra o trapézio isósceles ABCD de
bases AB e DC, o segmento variável PQ paralelo a AB e o ponto M,
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médio de AB.
Considere as medidas a seguir:
 
 e 
 
a) Calcule a área do triângulo MPQ quando x=2.
b) Determine o valor máximo para a área do triânguloMPQ. 
Exercício 7
(UFJF-PISM 1 2018)  Um estudante da UFJF usou um site para
obter rotas para ir de um ponto X até um ponto Y. O site forneceu
um mapa das ruas como na �gura abaixo.
Após analisar o mapa ele percebeu que cada uma das ruas A, B, K
são lados de um retângulo e as ruas J e H formam outro lado desse
mesmo retângulo. Enquanto cada uma das ruas B, F e G são lados
de um paralelogramo e as ruas C e D formam outro lado desse
mesmo paralelogramo. Além disso, o aluno identi�cou que a rua E
intercepta as ruas C e D em 90°, e que na escala usada pelo mapa a
rua G mede 8 e as ruas E e J medem 3 cada.
 
a) Determine o comprimento da rua C e da rua K.
b) Determine, justi�cando, o caminho mais curto (ou os caminhos
mais curtos) para percorrer o trajeto do ponto X até o ponto Y.
Exercício 8
(FGV 2014) 
a) Para medir a largura x de um rio sem necessidade de cruzá-lo,
foram feitas várias medições como mostra a �gura abaixo. Calcule a
largura x do rio.
b) Demonstre que a distância do vértice B ao baricentro M de um
triângulo é o dobro da distância do ponto E ao baricentro M.
Exercício 9
(FGV 2017)  a) Um terreno de forma retangular foi dividido em
quatro lotes retangulares. As áreas de três lotes são  e 
 Qual é a área total do terreno?
b) Na �gura ao lado, PQR e STU são triângulos equiláteros
congruentes e PQ=6 cm. Qual é o perímetro do polígono
PQWTUVR se o triângulo SWV tem perímetro 9 cm?
Exercício 10
(UNESP 2019)  Na �gura, as retas AB e CD são paralelas, assim
como as retas AD e BC. A distância entre  e  é 3 cm, mesma
distância entre  e 
a) Calcule o perímetro do paralelogramo ABCD, formado pelas
intersecções das retas, na situação em 
b) Considere que S seja a área do paralelogramo ABCD
representado na �gura. Determine S em função de α e determine a
área mínima do paralelogramo ABCD.
Exercício 11
(Ufpr 2019)  Considere o círculo de centro C e raio 4 cm e o
triângulo ABD representados na �gura a seguir.
 
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Sabendo que o ângulo α  mede 120° e que o segmento AD passa
pelo centro do círculo e mede 7 cm, calcule:
 
a) A área do setor circular delimitado pelos segmentos CA e CB.
 
b) O tamanho dos lados AB e BD do triângulo ABD.
 
 
Exercício 12
 (Ita 2018)  Uma reta r separa um plano π em dois semiplanos π1 e
π2. Considere pontos A e B tais que A∈ π1 e B ∈ π2 de modo que
d(A, r) = 3, d(B, r) = 6 e d(A, B) = 15. Uma circunferência contida
em π passa pelos pontos A e B e encontra r nos pontos M e
N. Determine a menor distância possível entre os pontos M e N. 
 
 
 
Exercício 13
(Ime 2019)  Uma corda CD corta o diâmetro AB de um círculo de
raio R no ponto E. Sabendo que o ângulo AB̂C=30° e que 
¯
EC = R√2
 calcule a medida do segmento 
¯
ED
Exercício 14
(Unifesp 2019)  A �gura representa um trapézio retângulo UNFE de
altura  e uma circunferência de centro P inscrita no triângulo
SNF, com S pertencente à  Sabe-se que  é perpendicular a 
 que I é o ponto médio de  e que 
¯
UN = 8  cm, 
¯
EF = 6  cm e 
¯
ES = 8  cm.
 
 
 
 
a) Calcule NS e a área do trapézio UNFE.
b) Calcule a área da região destacada em verde na �gura. 
 
 
Exercício 15
(Fuvest 2020) São dados:
- uma circunferência S de centro O e raio 5; 
- quatro pontos X, Y, Z e W em S de tal forma que as retas
tangentes a S nesses pontos formam um trapézio ABCD, como na
�gura;
-  sen(
^
BAW) =
3
5
  e  CD=15. 
 
 
Determine
 
a) a medida de  
b) a medida de  e  
c) a área da região delimitada pelo trapézio  
 
Exercício 16
(UEM 2018)  Considerando um retângulo ABCD, assinale o que for
correto.
01) Quaisquer que sejam P  e Q  pontos do segmento 
¯
AB, os
triângulos CDP e CDQ possuem a mesma área.   
02) Quaisquer que sejam P  e Q  pontos do segmento 
¯
AB,  os
triângulos CDP e CDQ possuem o mesmo perímetro.   
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04) Quaisquer que sejam P  e Q  pontos do segmento 
¯
AB,  os
triângulos PQC e PQD possuem a mesma área.   
08) Se o perímetro de ABCD é de 8 cm, então sua área não supera
4 cm2.
16) Se a área de ABCD é de 8 cm2 então seu perímetro não supera
16 cm.   
Exercício 17
(UEM 2015 Adaptada)  Um triângulo △ABC é isósceles e o ângulo
interno com vértice em A é metade dos ângulos internos com
vértices em B e C. Considerando:
 
- P o ponto de interseção da bissetriz do ângulo interno em A com o
lado 
- Q o ponto de interseção da bissetriz do ângulo interno em B com o
lado  e
- O o ponto de interseção de  e 
assinale o que for correto.
01) O triângulo △ABQ também é isósceles e semelhante ao
triângulo △ABC.  
02) Os segmentos  e  têm o mesmo comprimento.   
04) A área do triângulo △ABC é igual a   
08) A medida do ângulo  é menor que 120°.  
Exercício 18
(Uem 2017 Adaptada)  Sejam: Q1 um quadrado de lado l e C1 a
circunferência inscrita em Q1; Q2 um quadrado inscrito em C1, e
C2 a circunferência inscrita em Q2; Q3 um quadrado inscrito em
C2, e C3 a circunferência inscrita em Q3.
Assinale o que for correto.
01) A área entre Q1 e Q3 é 
3
2   da área de Q2.    
02) As medidas dos lados dos quadrados Q1, Q2 e Q3 valem l, 
l√2
2
 e 
l
2
, respectivamente.
04) As medidas dos raios das circunferências C1, C2 e C3 valem 
l
2
, 
l√2
2
 e 
l
4
, respectivamente.
08) A área de C2  é o dobro da área de C3. 
Exercício 19
(Uem 2014)  Com base nos conhecimentos de geometriaplana,
assinale o que for correto.
01) O maior ângulo interno de um triângulo qualquer nunca possui
medida inferior a 60°.
02) Se r, s e t são retas contidas em um mesmo plano e r é paralela
a s e s é paralela a t, então r é paralela a t.
04) Se r, s e t são retas contidas em um mesmo plano e r é
perpendicular a s e s é perpendicular a t, então r é perpendicular a t.
08) Dois triângulos semelhantes com razão de semelhança 1 são
sempre congruentes.
16) O perímetro de um polígono regular de n lados inscrito em uma
circunferência de raio R é igual a 2nRsen(
π
n )
Exercício 20
(UEM 2016)  A �gura a seguir apresenta duas circunferências que
se tangenciam externamente. A maior delas está inscrita em um
triângulo equilátero cujo lado mede 1 e a menor tangencia dois dos
lados desse mesmo triângulo. Sobre o exposto, assinale o que for
correto.
 
01) A medida do raio da circunferência menor é 
1
6  da medida da
altura do triângulo.   
02) A medida do raio da circunferência maior é 
1
3
 da medida da
altura do triângulo.   
04) A medida da altura do triângulo é 
√3
2
.   
08) A área da circunferência menor é 
1
9
 da área da circunferência
maior.   
16) A soma dos perímetros das circunferências é 
4π√3
9 .   
Exercício 21
(Espcex (Aman) 2018)  Seis círculos de raio 1cm são inseridos no
paralelogramo MNPQ, de área Xcm2, de acordo com a �gura abaixo.
Sabendo-se que os seis círculos são tangentes entre si e com os
lados do paralelogramo, a área X, em cm2, é
a) 11 + 6√3.
b) 
30+14√3
3 .
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c) 10 + 5√3.
d) 11 − 6√3.
e) 
36+20√3
3 .
Exercício 22
(Uem 2017 Adaptado)  A sequência in�nita de números reais p1, 
p2, p3, …, pn é obtida da seguinte maneira: p1 é o perímetro, em
centímetros, do triângulo equilátero inscrito em uma circunferência
de raio 0,5cm; p2 é o perímetro, em centímetros, do quadrado
inscrito em uma circunferência de raio 0,5cm e assim por diante, de
modo que pn é o perímetro, em centímetros, do polígono regular de
n + 2 lados inscrito em uma circunferência de raio 0,5cm.
Assinale o que for correto.
01) p2 < p6.
02) Para todo inteiro positivo n, temos pn < π.
04) p4 = 2,5.
08) p1 é um número racional.
Exercício 23
(Uepg 2014)  Um observador situado a 12 metros de um prédio
avista o seu topo sob certo ângulo. Afastando-se em linha reta mais
20 metros percebe que o ângulo de visualização é a metade do
anterior. Sendo H, em metros, a altura do prédio, assinale o que for
correto. 
01) H é um múltiplo de 6   
02) H<12  
04) H é um número par.    
08) H>15.   
Exercício 24
(Ueg 2010 Adaptada)  Seja α a medida do lado de um octógono
regular circunscrito a uma circunferência de raio R.  Com base nessa
informação, determine a medida do perímetro desse octógono em
função do raio R.
a) 16R. (√2 − 1).
b) 16R. (√2 − 2).
c) 8R. (√2 − 1).
d) 8R. (√2 − 2).
e) 16R. √2.
Exercício 25
(Esc. Naval 2014)  Um recipiente cúbico de aresta 4cm está apoiado
em um plano horizontal e contém água até uma altura de 3cm.
Inclina-se o cubo, girando de um ângulo α em torno de uma aresta
da base, até que o líquido comece a derramar. A tangente do
ângulo α é:
 
 
a) 
b)   
c)   
d)   
 
e)   
Exercício 26
(G1 - col. naval 2017)  Analise as a�rmativas a seguir.
 
I. Sejam a, b  e c os lados de um triângulo, com c > b ≥ a. Pode-se
a�rmar que c2 = a2 + b2 se, e somente se, o triângulo for retângulo.
II. Se um triângulo é retângulo, então as bissetrizes internas dos
ângulos agudos formam entre si um ângulo de 45° ou 135°.
III. O centro de um círculo circunscrito a um triângulo retângulo está
sobre um dos catetos.
IV. O baricentro de um triângulo retângulo é equidistante dos lados
do triângulo.
 
Assinale a opção correta.
a) Somente I e II são verdadeiras.    
b) Somente II e III são verdadeiras.   
c) Somente I e IV são verdadeiras.    
d) Somente I, II e IV são verdadeiras.  
e) As a�rmativas I, II, III e IV são verdadeiras.   
Exercício 27
(Uepg 2018)  Sabendo que um losango e um quadrado têm o
mesmo perímetro, e que d e D representam, respectivamente, as
medidas das diagonais menor e maior do losango. Considerando
ainda que 
d
D =
4
9  e que D − d = 30, assinale o que for correto.
01) A área do quadrado é maior que a área do losango.
02) A diagonal maior do losango mede 54.
04) A área do losango mede 1.296.
08) A razão entre a área do quadrado e a área do losango é de 
97
72 .
Exercício 28
(Fei) Três circunferências de raio r estão dispostas no interior de
outra circunferência de raio R conforme a �gura a seguir. Qual o
valor da razão K =  ?
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a) 
( 2√3 )
3
b) 
( 1 + 2√3 )
3   
 
c) 
( 2 + 2√3 )
3
  
d) 
( 3 + 2√3 )
3
  
e) 
( 1 + 3√3 )
3
  
Exercício 29
(UECE 2018)  Considere um decágono regular com centro no ponto
O cuja medida do lado é igual a 2 m. Se U e V são dois vértices
consecutivos deste decágono e se a bissetriz do ângulo OÛV
intercepta o segmento OV no ponto W, então, a medida do
perímetro do triângulo UVW é
a)   
b) 
c)  
d)   
Exercício 30
(PUCCAMP  2018)   Quando a dimensão da tela de uma TV é
indicada em polegadas, tal valor se refere à medida da diagonal do
retângulo que representa a tela. Considere uma TV retangular de
16 polegadas e outra de 21 polegadas. Se as telas das duas TVs
são retângulos semelhantes, então, a área da maior tela supera a
da menor em, aproximadamente:
a) 36%   
b) 31%   
c) 72%   
d) 76%   
e) 24%   
Exercício 31
(Ufjf-pism 1 2019)  A �gura abaixo apresenta a tela de um radar
térmico que, na cor cinza, indica a região de uma �oresta onde foi
detectada uma grande queimada. Nessa tela, as circunferências em
O, e as medidas de seus raios estão indicadas na tela, em
quilômetros. Há também seis retas que passam pelo ponto O e que
dividem cada circunferência em arcos de mesma medida.
 
Utilize 3 como aproximação para o número π.
A extensão, em quilômetros quadrados, da área de queimada
indicada pelo radar mede
a) 275,0.
b) 287,5.
c) 295,0.
d) 365,0.
e) 575,0
Exercício 32
(Fac. Albert Einstein - Medicin 2018)  Uma circunferência tangencia
o lado BC de um triângulo ABC no ponto F e intersecta os lados
AB e AC desse triângulo, nos pontos E e D respectivamente,
conforme mostra a �gura.
Sabendo que essa circunferência passa pelo ponto A, a distância
entre os pontos D e E, em cm, é igual a
a) 10,5
b) 10,9
c) 11,3
d) 11,7
Exercício 33
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(G1 - CFTMG 2019)  Arquimedes (212 a.C.), em uma de suas obras,
descreve que um arbelos é uma região plana, delimitada por três
semicírculos. Na �gura a seguir, a região destacada é um arbelos,
delimitado por três semicircunferências cujos diâmetros são 
 e 
Se  e  a razão entre
a área desse arbelos e a área do círculo de diâmetro  é
a)   
b)  
c)  
d)   
Exercício 34
(EPCAR (AFA) 2018)  A �gura a seguir é um pentágono regular de
lado 2 cm.
Os triângulos DBC e BCP são semelhantes.
 
A medida de  uma das diagonais do pentágono regular, em cm,
é igual a
a)   
b)   
c)  
d)   
Exercício 35
(IMED 2018)  Uma bola de futebol é composta de 12 peças
pentagonais e 20 peças hexagonais, com todas as arestas de
mesmo comprimento. Suponha que, para o processo de costura de
uma bola de futebol, sejam gastos 17 cm de linha para cada aresta
da bola.
 
Quantos metros de linha serão necessários para costurar
inteiramente 16 bolas com as características descritas?
a) 153 m  
b) 15,3 m  
c) 24,48 m 
d) 244,8 m 
e) 306 m  
Exercício 36
(INSPER 2012) 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Considere um losango ABCD em que M, N, P e Q são os pontos
médios dos lados ,   e   respectivamente. Um dos
ângulos internos desse losango mede α,  sendo 0°<α<90°.
 
 
Nessas condições, o quadrilátero convexo MNPQ
a) éum quadrado.   
b) é um retângulo que não é losango.   
c) é um losango que não é retângulo.   
d) é um paralelogramo que não é retângulo nem losango.  
e) não possui lados paralelos.   
Exercício 37
 (UNIVERSIDADE FEDERAL ES) Um polígono regular possui a
partir de cada um de seus vértices tantas diagonais quantas são as
diagonais de um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono
mede em graus:
a) 140   
b) 150   
c) 155   
d) 160 
e) 170   
Exercício 38
(ITA) Considere as a�rmações sobre polígonos convexos:
 
I) Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide
com o número de lados.
II) Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo
do número de lados.
III) Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um
polígono é um número natural, então o número de lados do
polígono é ímpar.
a) Todas as a�rmações são verdadeiras.   
b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.   
c) Apenas (I) é verdadeira.   
d) Apenas (III) é verdadeira.  
e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.   
Exercício 39
https://www.biologiatotal.com.br/medio/matematica/exercicios/geometria-plana/ex.32-teorema-de-tales-e-semelhanca-de-triangulos 8/66
(Uepg 2018) Um retângulo tem base a e altura b.
Considerando que a é a solução da equação log3(4x − 5) = log37 e
que b é a solução da equação 5 ⋅ 2x+2 − 3 ⋅ 2x−2 = 308, assinale o
que for correto.
01) A diagonal desse retângulo mede 5.
02) A área desse retângulo é um número múltiplo de seis.
04) O perímetro desse retângulo é um número primo.
08) A diagonal desse retângulo é um número par.
16) O perímetro desse retângulo é um número ímpar.
Exercício 40
(UEL 2017)  Com a �nalidade de se calcular a quantidade de
pessoas presentes em manifestações sociais em determinado
trecho urbano, são utilizadas diferentes metodologias, sendo que
uma delas consiste em quatro etapas:
 
1. estabelece-se a área A (em m2) da região delimitada pelo trecho
da manifestação;
2. posicionam-se alguns �scais que �cam responsáveis, cada um,
por uma sub-região �xa e exclusiva do trecho urbano, a �m de
coletar, de maneira simultânea e periódica, quantas pessoas se
encontram em sua sub-região no momento de cada medição;
3. calcula-se a média M de todas as medições realizadas por todos
os �scais;
4. ao �nal, declara-se que há A⋅M pessoas presentes na
manifestação.
 
Suponha que uma manifestação ocorreu na região hachurada dada
pelo setor de uma coroa circular de centro O (conforme �gura) e
que foi observada por 3 medições com 2 �scais cada, cujas tabelas
dos dados coletados encontram-se a seguir.
  Medição 1 Medição 2 Medição 3
Fiscal 1 3 3 4
Fiscal 2 2 4 5
Considerando essa metodologia e a aproximação  assinale a
alternativa que apresenta, corretamente, a quantidade de pessoas
que estiveram presentes na manifestação, naquele trecho.
a) 11 mil  
b) 22 mil   
c) 27 mil   
d) 31 mil   
e) 33 mil  
Exercício 41
  (G1 - CMRJ 2018)  O retângulo PQRS é a representação de uma
mesa de sinuca. O objetivo é alcançar a bola verde, representada
pelo ponto V, com a bola branca, representada pelo ponto B. Sabe-
se que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de re�exão, como
destacado na �gura abaixo.
 
Qual o valor da tangente do ângulo β?
a)   
b)    
c)   
d)  
e)   
Exercício 42
(Uece 2015)  No plano, as circunferências C1 e C2 cuja medida dos
raios são respectivamente 4 cm e 1 cm tangenciam-se
exteriormente e são tangentes a uma reta r em pontos distintos.
Uma terceira circunferência C3 exterior a C1 e a C2 cuja medida do
raio é menor do que 1 cm tangencia a reta r e as circunferências
C1 e C2.Nestas condições a medida do raio da circunferência C3 é
a)   
b)    
c)   
d)   
Exercício 43
Considere um losango ABCD em que M, N, P e Q são os pontos
médios dos lados 
¯
AB, 
¯
BC, 
¯
CD e 
¯
DA , respectivamente. Um dos
ângulos internos desse losango mede α, sendo 0° < α < 90°
(Insper 2012)  Se α = 60°, então a razão entre o perímetro do
losango ABCD e o perímetro do quadrilátero MNPQ, nessa ordem,
é igual a
a) √3 + 1.
b) 2.
c) √3.
d) 
3
2
.
https://www.biologiatotal.com.br/medio/matematica/exercicios/geometria-plana/ex.32-teorema-de-tales-e-semelhanca-de-triangulos 9/66
e) 2√3 − 2
Exercício 44
(Uece 2018)  No triângulo XYZ o ponto D, no lado YZ, pertence à
mediatriz do lado XZ. Se XD é a bissetriz do ângulo interno no
vértice X e se a medida do ângulo interno em Y é 105  graus,
então, a medida, em graus, do ângulo interno em Z é
a) 30
b) 20
c) 35
d) 25
Exercício 45
(G1 - cmrj 2020)  “A área de um trapézio corresponde ao produto
de sua altura pela semissoma de suas bases.”
Um quarteirão próximo ao CMRJ é delimitado por trechos das ruas
São Francisco Xavier, Paula Souza e Eurico Rabelo, assim como da
avenida Maracanã, como se pode ver no mapa.
Esse quarteirão, cuja área mede 8.330m2. pode ser representado
pelo trapézio retângulo ilustrado ao lado do mapa. O trecho da
avenida Maracanã é o mais longo de todos e possui 40m a mais que
o trecho da rua Paula Souza.
Viviane se encontra na esquina das ruas Paula Souza e São
Francisco Xavier (Ponto A) e precisa caminhar até a esquina da
avenida Maracanã com a rua São Francisco Xavier (Ponto D) pelo
caminho mais longo, sempre em linhas retas, de A até B, de B até
C, e de C até D, nessa ordem, percorrendo, ao todo, 308 m.
O comprimento do trecho da rua São Francisco Xavier que compõe
esse trapézio mede
a) 10√55m.
b) 80m.
c) 10√65m.
d) 81m.
e) 10√67m.
Exercício 46
(Uem-pas 2016 Adaptada)  Seja f uma lei que a cada número
natural n > 2 associa o polígono regular de n lados. Nessas
condições, assinale o que for correto.
01) A soma dos ângulos internos de f(5) é 360°.   
02) f não é função injetora.
04) f(n) pode ser dividido em n triângulos congruentes.
08) f(n) pode ser inscrito em uma circunferência.
Exercício 47
(Uepg 2014) O polígono regular P1 tem n lados e o polígono
regular P2 tem n + 2 lados. Se o ângulo externo de P1 excede o
ângulo externo de P2 em 15°, assinale o que for correto.
01) O polígono P2 é um octógono.
02) Cada ângulo interno de P2 vale 120°.
04) O número de diagonais de P1 é 12.
08) O número de diagonais de P2 é 20.
16) A soma dos ângulos internos de P1 é 540°.  
Exercício 48
Sendo r1 e r2 os raios de duas circunferências C1 e C2
respectivamente, e d a distância entre os centros, julgue as
assertivas a seguir e assinale a alternativa correta.
 
I. Se r1 = 2 cm, r2 = 5 cm e d = 10 cm, então as circunferências são
exteriores.
 
II. Se r1 = 3 cm, r2 = 7 cm e d = 4 cm, então as circunferências são
tangentes internas.
 
III. Se r1 = 5 cm, r2 = 5 cm e d = 8 cm, então as circunferências são
secantes.
 
IV. Se r1 = 4 cm, r2 = 3 cm e d = 7 cm, então as circunferências são
tangentes externas.
 
V. Se r1 = 3 cm, r2 = 2 cm e d = 0, então as circunferências
são internas.
a) Todas as assertivas estão corretas.
b) Nenhuma assertiva está correta.
c) Apenas I, II e III estão corretas.
d) Apenas II, III e IV estão corretas.
e) Apenas I, II, III e IV estão corretas.
Exercício 49
(Pucsp 2018)  A �gura mostra um quadrado ABCD de 8 cm de lado,
com os pontos E,F e G pontos médios dos segmentos 
¯
DC,
¯
AE e 
¯
BE
respectivamente. O ponto R  é ponto médio da diagonal 
¯
BD   e do
segmento e o ponto Q pertence à intersecção dos segmentos e 
¯
AE.
 
alt
 
A área do triângulo FQR assinalado na �gura, é:
a) 4/3
b) 8/3   
c) 3/4   
d) 3/8   
Exercício 50
(Udesc 2015)  Observe a �gura.
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Sabendo que os segmentos  e  são paralelos, que o ponto  é
incentro do triângulo  e que o ângulo  é igual a 105°, então
o segmento  mede:
 
a)   
b)   
c)   
d)   
e)   
Exercício 51
(G1 - epcar (Cpcar) 2019)  Um artista plástico providenciou uma
peça de decoração com características matemáticas conforme
representado no croqui a seguir.
Considere que:
1. 
¯
OA =
¯
OB =
¯
OC =
¯
OD =
¯
OE =
¯
OF =
¯
OG =
¯
OH = R
2. Os arcos de circunferência 
⌢
AB,  
⌢
BC,  
⌢
CD,⌢
DE ,  
⌢
EF,  
⌢
FG ,  
⌢
GH,  
⌢
HA  ora têm centro no ponto
médio de cada uma das cordas 
¯
AB,  
¯
BC,  
¯
CD,  
¯
DE ,  
¯
EF,  
¯
FG ,  
¯
GH,  
¯
HA , respectivamente, ora têm
centro no ponto O
3. π = 3
4. √2 = 1, 4
A área hachurada no croqui, em função da medida R, é igual a
a) 1,4R2
b) 1,6R2
c) 1,8R2
d) 2R2
Exercício 52
(Uece 2018)  No triângulo OYZ,o ângulo interno em O é igual a
90 graus, o ponto H no lado YZ é o pé da altura traçada do vértice
O e M é o ponto médio do lado YZ. 
Se Ŷ- 2 Ẑ = 10  graus (diferença entre a medida do ângulo interno
em Y e duas vezes a medida do ângulo interno em Z igual a
10  graus), então, é correto a�rmar que a medida do ângulo HÔM é
igual a:
 a)  graus.   
b)  graus.   
c)  graus.   
d)  graus.   
Exercício 53
(FUVEST 2013)   O mapa de uma região utiliza a escala de 1 :
200.000. A porção desse mapa, contendo uma Área de Preservação
Permanente (APP), está representada na �gura, na qual 
¯
AF  e 
¯
DF
 são segmentos de reta, o ponto G está no segmento 
¯
AF, o ponto E
está no segmento 
¯
DF , ABEG é um retângulo e BCDE é um trapézio.
Se AF = 15, AG = 12, AB = 6, CD = 3 e DF = 5√5  indicam valores
em centímetros no mapa real, então a área da APP é:
 
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a) 100 km2   
b) 108 km2   
c) 210 km2   
d) 240 km2   
e) 444 km2   
Exercício 54
(G1 - CP2 2017)  Na �gura a seguir, os triângulos ABC e ABDsão
retângulos em A e D, respectivamente. Sabe-se que AC=15 cm,
AD=16 cm e BD=12 cm.
A área do triângulo ABE é de
a)   
b)   
c)  
d)   
Exercício 55
(G1 - EPCAR (CPCAR) 2016)  Um terreno com formato de um
triângulo retângulo será dividido em dois lotes por uma cerca feita
na mediatriz da hipotenusa, conforme mostra �gura.
Sabe-se que os lados AB e BC desse terreno medem,
respectivamente, 80 m e 100 m. Assim, a razão entre o perímetro
do lote I e o perímetro do lote II, nessa ordem, é
a) 5/3  
b) 10/11  
c) 3/5 
d) 11/10  
Exercício 56
(ITA)
Dadas as a�rmações:
 
I - Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são
suplementares.
II - Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são
suplementares.
III - Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares
entre si e se cruzam em seu ponto médio, então esse paralelogramo
é um losango.
 
Podemos garantir que:
a) todas são verdadeiras.   
b) apenas I e II são verdadeiras.     
c) apenas II e III são verdadeiras.   
d) apenas II é verdadeira. 
e) apenas III é verdadeira.
Exercício 57
(Fuvest 2018) O quadrilátero da �gura está inscrito em uma
circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro
dessa circunferência.
Sendo x e y as medidas dos ângulos indicados na �gura, a área da
região cinza, em função de x e y, é:
a) π + sen(2x) + sen(2y)
b) π − sen(2x) − sen(2y)
c) π − cos(2x) − cos(2y)
d) π −
cos ( 2x ) + cos ( 2y )
2
e) π −
sen ( 2x ) + sen ( 2y )
2 .  
Exercício 58
(Fgv 2018)  A �gura indica um hexágono regular ABCDEF, de área
S1, e um hexágono regular GHIJKL, de vértices nos pontos médios
dos apótemas do hexágono ABCDEF e área S2.
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Nas condições descritas, 
S2
S1
 é igual a
a) 
3
4 .
b) 
8
25 .
c) 
7
25
.
d) 
1
5
.
e) 
3
16
.
Exercício 59
(Ufu) Um polígono circunscreve um círculo, conforme �gura a
seguir.
Sabendo-se que AB = 4 cm, CD = 5 cm, DE = 6 cm e FA = 3 cm,
então, BC - EF é igual a
a) 2 cm.
b) 1 cm.
c) 0 cm.
d) 3 cm.
Exercício 60
(Ufrgs 2017)  Considere um pentágono regular ABCDE de lado
1. Tomando os pontos médios de seus lados, constrói-se um
pentágono FGHIJ, como na �gura abaixo.
A medida do lado do pentágono FGHIJ é
a) sen36º.
b) cos36º.
c) 
sen36 º
2 .
d) 
cos36 º
2 .
e) 2cos36º.
Exercício 61
(UNIVERSIDADE SÃO FRANCISCO) O polígono regular cujo ângulo
interno mede o triplo do ângulo externo é o
a) pentágono   
b) hexágono   
c) octógono   
d) decágono 
e) dodecágono  
Exercício 62
(G1 - CFTMG 2019)  A �gura abaixo representa quatro
circunferências de mesmo raio e centros A, B, C e D. Essas
circunferências tangenciam-se em um único ponto P, comum às
quatro circunferências, e o quadrilátero ABCD é um quadrado cujo
lado mede 
A área da região sombreada na �gura, em cm2, é
a)   
b)   
c)  
d)   
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Exercício 63
(G1 - CFTRJ 2020)  Durante uma aula de trigonometria, o professor
propôs aos alunos que determinassem o cosseno de 75° sem a
utilização de fórmulas trigonométricas ou calculadoras. Após
alguns minutos, um dos estudantes sugeriu os seguintes
procedimentos:
1ª etapa: desenhe um triângulo retângulo ABC, de hipotenusa BC
medindo 1 dm e 
2ª etapa: tome o ponto D sobre AC de modo que 
3ª etapa: determine o comprimento do cateto AB.
 
Seguindo corretamente as etapas acima, encontra-se para o
cosseno de 75° o valor:
a)   
b)   
c)  
d)   
Exercício 64
 (Uem 2016 Adaptada) Com base em conhecimentos de Geometria
Plana, assinale o que for correto.
 
01) Quaisquer dois triângulos que possuem a mesma área são
congruentes.   
02) Quaisquer dois triângulos congruentes possuem a mesma área.
  
04) Quaisquer dois triângulos semelhantes são congruentes.  
08) Se os triângulos ABC e DEF são tais que o comprimento de 
 é igual ao comprimento de  o comprimento de  é igual ao
comprimento de  e o ângulo interno  é congruente ao
ângulo interno ,  então os segmentos  e  possuem o
mesmo comprimento.   
Exercício 65
 (utfpr) Na �gura a seguir temos r//s e t//u//v.
 
 
Com base nos estudos dos ângulos formados por retas paralelas
cortadas por uma transversal pode-se a�rmar que:
I) O ângulo X mede 127° 30'.
II) O ângulo Y mede 117°.
III) O ângulo Z mede 64° 30'.
 
Analise as proposições acima e assinale a alternativa correta.
a) Somente as a�rmações I e II estão corretas.   
b) Somente as a�rmações I e III estão corretas.   
c) Somente a a�rmação I está correta.   
d) As a�rmações I, II e III estão corretas.  
e) As a�rmações I, II e III estão incorretas.   
Exercício 66
(Cesgranrio) Na �gura a seguir, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AD = 4 cm
e o ponto O é o centro da circunferência. O perímetro do triângulo
AOC mede, em cm:
a) 36
b) 45
c) 48
d) 50
e) 54
Exercício 67
(Uepg 2018)  Sabendo que uma circunferência de raio x  está
inscrita a um quadrado de lado z,  e uma outra circunferência de raio
y  está circunscrita a este mesmo quadrado, assinale o que for
correto. 
01) Em função de z,  a área da circunferência circunscrita tem
medida 
πz2
2 .     
02) Se z = 1,  então o comprimento da circunferência inscrita é de 2π
.
04) Em função de z,  o comprimento da circunferência circunscrita é
de √2πz.
08) Se z = 2, então a área da circunferência circunscrita tem medida 
8π.
16) Em função de z,  a área da circunferência inscrita tem medida 
πz2
4
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Exercício 68
(UFRGS 2015)   As circunferências do desenho abaixo foram
construídas de maneira que seus centros estão sobre a reta r e que
uma intercepta o centro da outra. Os vértices do quadrilátero
ABCD  estão na interseção das circunferências com a reta r  e nos
pontos de interseção das circunferências.
 
 
Se o raio de cada circunferência é 2, a área do quadrilátero ABCD é:
a) 
3√3
2 .
b) 3√3.
c) 6√3.
d) 8√3.
e) 12√3.
Exercício 69
(FMP 2017)  Os lados de um triângulo medem 13 cm, 14 cm e 15 
cm, e sua área mede 84 cm2. Considere um segundo triângulo,
semelhante ao primeiro, cuja área mede 336 cm2.
 
A medida do perímetro do segundo triângulo, em centímetros, é
a) 42  
b) 84  
c) 126  
d) 168 
e) 336  
Exercício 70
(Udesc 2011)  Se em um triângulo ABC o lado oposto ao ângulo Ĉ
 mede 2cm e os ângulos  e B̂ medem, respectivamente, 60°e75°, então a área e o perímetro deste triângulo são,
respectivamente:
a) 
3+√3
2 cm
2 e (3 + √3 + √6)cm.
b) 
1+√3
2
cm2 e (2 + √3 + √6)cm 
c) 
1+√3
2
cm2 e (1 + √3 + √6)cm 
d) 
3+√3
2
cm2 e (3 + √2 + √3)cm 
e) (3 + √3)cm2 e (3 + √3 + √6)cm 
Exercício 71
(Ufc 2010 Adaptada)  Dois dos ângulos internos de um triângulo
têm medidas iguais a 30° e 105°. Sabendo que o lado oposto ao
ângulo de medida 105° mede √3 + 1cm, é correto a�rmar que a
área do triângulo mede, em cm2:
a) 
1
2 . (√3 + 1).
b) 
1
2 . (√3 + 2).
c) 
1
2
. (√3 + 3).
d) 1 +
√3
2
.
e) 2 + √3.
Exercício 72
(G1 - CMRJ 2019)  Dado que a bissetriz do ângulo   é o lugar
geométrico dos pontos que equidistam das semirretas  𝑒   e,
portanto, divide o ângulo em dois ângulos congruentes, considere
um triângulo ABC isósceles com   e 
  Se   de forma que   seja a bissetriz do
ângulo  então a medida  é
a)   
b)   
c)   
d)  
e)   
Exercício 73
(G1 - cftmg 2012) A área de um paralelogramo ABCD é 54dm2.
Aumentando-se 6 unidades na sua altura e diminuindo-se 4
unidades na base, sua área aumenta de 6dm2. Dessa forma, a razão
entre as medidas da base e da altura desse paralelogramo será
a) 
3
2
.
b) 
2
3 .
c) 
1
2 .
d) 
1
3
.
Exercício 74
(UNESP 2017 Adaptada)  Uma peça circular de centro C e raio 12 
cm está suspensa por uma corda alaranjada, perfeitamente esticada
e �xada em P. Os pontos T e Q são de tangência dos segmentos
retilíneos da corda com a peça, e a medida do ângulo agudo  é
60°.
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Desprezando-se as espessuras da corda, da peça circular e do
gancho que a sustenta, calcule a distância de P até o centro C da
peça. Adotando   e   nas contas �nais, calcule
também o comprimento total da corda e assinale a alternativa que
apresenta a melhor aproximação para os valores.
a) 24 cm e 90,4 cm
b) 21 cm e 70 cm
c) 19,8 cm e 78,9 cm
d) 20,1 cm e 90,7 cm
e) 21,3 cm e 70,4 cm
Exercício 75
(UECE 2019)  No retângulo OYZW, E  é um ponto do lado ZW
equidistante de O e Z. Se a medida do ângulo  é sete vezes a
medida do ângulo  então, a medida, em graus, do ângulo 
 é
a) 20.  
b) 15.  
c) 10. 
d) 5.  
Exercício 76
(UPE-SSA 3 2017 Adaptada)  Num sistema de engrenagens, cada
uma tem seu raio, de forma que a engrenagem "A" tem raio com
medida R; a "B" tem raio com medida igual à metade do raio da
engrenagem "A", e a "C" tem raio com medida igual a um quarto do
raio da engrenagem "A". Sendo a medida do raio de "A" igual a 4 
cm, quantas voltas, aproximadamente,  "A" dará, quando "C"
percorrer o equivalente a 3.600 cm?
a) 2.400  
b) 1.200  
c) 600  
d) 300 
e) 150  
Exercício 77
 
(Mackenzie 2011) Na �gura, ABCDEF é um hexágono regular e a
distância do vértice D à diagonal FB é 3. A área do triângulo
assinalado é
a) √3   
b) 2√3
c) 4√3
d) 3
e) 6
Exercício 78
(UECE 2019)  Considere MXYZW um pentágono regular e XYO um
triângulo equilátero em seu interior (o vértice O está no interior do
pentágono). Nessas condições, a medida, em graus, do ângulo 
 é
a) 116.  
b) 96.  
c) 126.
d) 106. 
Exercício 79
(cftpr)  Numa gincana, a equipe "Já Ganhou" recebeu o seguinte
desa�o:
 
Na cidade de Curitiba, fotografar a construção localizada na rua
Marechal Hermes no número igual à nove vezes o valor do ângulo
 da �gura a seguir:
 
 
Se a Equipe resolver corretamente o problema irá fotografar a
construção localizada no número:  
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a) 990.    
b) 261.    
c) 999.    
d) 1026.   
e) 1260.   
Exercício 80
(Ufu 2017 Adaptada)  Um fazendeiro pretende instalar um sistema
de irrigação retilíneo, ligando os pontos B e D de sua propriedade
rural, representada na �gura seguinte pelo quadrilátero
ABCD. Considerando que 
¯
AB =
¯
AD = 5km,  ∡ ADC = 80°,  e que 
 qual será o custo total da instalação sabendo que o
custo por quilômetro é de R$ 500,00?
 
Use 
 
a) R$ 4.250,00
b)  R$ 4.500,00
c) R$ 4.750,00
d) R$ 5.000,00
e)  R$ 5.250,00
Exercício 81
(UFES) 
Na �gura acima, as retas r e s são paralelas. A soma α+β+γ+δ das
medidas dos ângulos indicados na �gura é
a) 180°   
b) 270°   
c) 360°   
d) 480° 
e) 540°   
Exercício 82
(G1 - cftmg 2016)  Na �gura a seguir, o pentágono regular está
inscrito numa circunferência de centro O e as semirretas 
→
PA e 
→
PB
 são tangentes à circunferência nos pontos A e B, respectivamente.
 
A medida do ângulo AP̂B, em graus, é igual a
a) 36.
b) 72.
c) 108.
d) 154.
Exercício 83
(PUCAMP 2017)  Os lados de uma folha retangular ABCD de papel
medem 10 cm  e 6 cm,  como indica a Figura 1. Essa folha, que é
branca de um dos lados e cinza do outro, será dobrada
perfeitamente de tal forma que o vértice A irá coincidir com o
vértice C, como mostra a Figura 2.
 
 
A área do trapézio cinza indicado na Figura 2, em cm2 é igual a:
a) 23.   
 b) 30.   
c) 25.   
d) 40.   
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e) 45.   
Exercício 84
Sendo d = 2cm a distância de uma reta ao centro de uma
circunferência de raio r, julgue as assertivas a seguir e assinale a
alternativa correta.
 
I. Se r = 1 cm então a reta é exterior à circunferência.
 
II. Se r = 5 cm então a reta é secante à circunferência.
 
III. Se r = 2 cm então a reta é tangente à circunferência.  
 
a) Todas as assertivas estão corretas.
b) Nenhuma assertiva está correta.
c) I e II estão corretas.
d) I e III estão corretas.
e) II e III estão corretas.
Exercício 85
(FUVEST 2017 Adaptada) Na �gura, o retângulo ABCD tem lados
de comprimento AB=4 e BC=2. Sejam M o ponto médio do lado 
¯
BC
 e N o ponto médio do lado 
¯
CD.Os segmentos 
¯
AM e 
¯
AC  interceptam
o segmento 
¯
BN nos pontos E e F, respectivamente. Considere que a
distância do ponto F até o lado 
¯
AB é 4/3, a distância do ponto F até
o lado 
¯
CD é  2/3 e a distância do ponto E até o lado 
¯
AB é 4/5.
 
 
A área do triângulo AEF é igual a:
a) 24/25
b) 29/30   
c) 61/60
d) 16/15
e) 23/20
Exercício 86
(UERJ  2018 Adaptada)   O retângulo PQRS  é formado por seis
quadrados cujos lados medem 2cm.  O triângulo ABC,  em seu
interior, possui os vértices de�nidos pela interseção das diagonais
de três desses quadrados, conforme ilustra a �gura.
 
 
Determine a área do triângulo ABC tomando como unidade a área
de um quadrado de lado igual a 2 cm. 
a) 1 u.a.
b) 0,5 u.a.
c) 2 u.a.
d) 5 u.a.
Exercício 87
(Uespi 2012)  Uma circunferência de raio R é tangente
externamente a duas circunferências de raio r, com r < R. As três
circunferências são tangentes a uma mesma reta, como ilustrado a
seguir. Qual a distância entre os centros das circunferências de raio
r?
 
a)   
b)   
c)   
d)   
e)   
Exercício 88
(G1 - IFPE 2019)  Em uma olimpíada de robótica, o robô BESOURO
caminha de fora do círculo de manobras e, após se apresentar,
retorna ao ponto inicial conforme a �gura a seguir.
https://www.biologiatotal.com.br/medio/matematica/exercicios/geometria-plana/ex.32-teorema-de-tales-e-semelhanca-de-triangu… 18/66
Considerando que o caminho percorrido pelo robô está indicado
pelas setas, qual o ângulo x formado entre o caminho de saída e o
caminho de retorno do robô ao ponto inicial?
a) 28°  
b) 22°  
c) 21°  
d) 49° 
e) 56°  
Exercício 89
As bases de um trapézio medem 8 cm e 12 cm, respectivamente, e
a altura 4 cm. A que distância da base menor �ca o ponto de
encontro das retas-suporte dos lados não-paralelos? 
a) 8 cm   
b) 12 cm   
c) 16 cm  
d) 4 cm   
Exercício 90
(Uel 2009) Um losango com lado 20cm e um ângulo de 30° tem
área de:
a) 57cm2
b) 87cm2
c) 200cm2
d) 346cm2
e) 400cm2
Exercício 91
Na �gura a seguir, temos o segmento AD que é idêntico a CD e AB
que é idêntico a BC. É correto a�rmar que:
 
a) Os triângulos são congruentes pelo caso LAL.
b) Os triângulos são congruentes pelo caso ALA.
c) Os triângulossão congruentes pelo caso LLL.
d) Os triângulos são congruentes pelo caso LAAo.
e) Os triângulos não são congruentes.
Exercício 92
(UFV) Aumentando-se 1m no raio r de uma circunferência, o
comprimento e a área, respectivamente, aumentam:
a) 2π m e 2 (r + 1) π m2   
b) 2π m e (2r + 1) π m2   
c) 2π2 m e (2r + 1) π m2   
d) 2π m e (2r2 + 1) π m2  
e) 2π m e (r2 + 1) π m2   
Exercício 93
(Fgv 2018)  A �gura representa uma semicircunferência de
diâmetro 
¯
CD, perfeitamente inscrita no retângulo ABCD. Sabe-se
que P é um ponto de 
¯
AB, e que 
¯
AP é diâmetro da circunferência que
tangencia a semicircunferência maior em T.
Se CD=8 cm, a área sombreada na �gura é, em cm2, igual a
a)
64−15π
2 .
b) 32 − 8π.
c) 
64−15π
4
d) 32 − 9π.
e) 16 − 4π.
Exercício 94
(FGV 2017)  Um canteiro com formato retangular tem área igual a
40m2 e sua diagonal mede √89m. O perímetro desse retângulo é:
a) 20m   
b) 22m   
c) 24m   
d) 26m   
e) 28m   
Exercício 95
(G1 - EPCAR (CPCAR) 2018) Considere a �gura e os dados a
seguir:
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DADOS:
- O é o circuncentro do triângulo ABC
- 
-  e  são retos
-  é o diâmetro da circunferência de centro O
 
A medida do ângulo  em graus, é igual a
a) 40  
b) 50  
c) 60 
d) 70
Exercício 96
Seja a �gura:
Sabendo-se que AD = 12 cm; AE = 15 cm e AB = 8 cm; pode-se
a�rmar que a medida do raio do círculo é
a) 4 cm
b) 4,5 cm
c) 5 cm
d) 5,5 cm
e) 6 cm
Exercício 97
(EPCAR 2017) Considere, no triângulo ABC  abaixo, os pontos 
P ∈
¯
AB  ,  Q ∈
¯
BC,  R ∈
¯
AC  e os segmentos 
¯
PQ   e 
¯
QR   paralelos,
respectivamente, a 
¯
AC e 
¯
AB.
 
 
Sabendo que 
¯
BQ = 3cm, 
¯
QC = 1cm e que a área do triângulo ABC é
8 cm2 então a área do paralelogramo hachurado, em cm2 é igual a:
a) 2  
b) 3
c) 4  
d) 5   
Exercício 98
(FATEC) Na �gura a seguir, o triângulo APB está inscrito na
circunferência de centro C.
Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas, então x é
igual a
a) 23°45'   
b) 30°   
c) 60°   
d) 62°30'  
e) 66°15'   
Exercício 99
(G1 - ifce 2011) Em um trapézio, a área é numericamente igual à
altura. Sobre isso, é correto a�rmar-se que
a) a soma das bases é igual a 1.
b) a base maior é igual a 1.
c) a base menor é menor do que 1.
d) a base maior é menor do que 1.
e) a altura é igual a 1.
Exercício 100
(PUCRJ 2017) No círculo de centro O, seja AD um diâmetro. Sejam
B e C tais que  e 
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Assinale o valor de  
a) 12°  
b) 15°  
c) 18°  
d) 22,5° 
e) 30°  
Exercício 101
(G1 - ifba 2017)  Numa área circular, medindo 314m2, o
proprietário resolve inscrever um quadrado. Na área quadrada ele
irá cimentar e na área restante plantará capim. O valor numérico
correspondente à medida da área que será destinada ao plantio de
capim, em m2, considerando π=3,14, é um valor:
 
a) irracional
b) inteiro menor que 150  
c) ímpar
d) inteiro maior que 170
e) dízima periódica
Exercício 102
(Ufrgs 2016)  Um desenhista foi interrompido durante a realização
de um trabalho, e seu desenho �cou como na �gura abaixo.
Se o desenho estivesse completo, ele seria um polígono regular
composto por triângulos equiláteros não sobrepostos, com dois de
seus vértices sobre um círculo, e formando um ângulo de 40°, como
indicado na �gura.
Quando a �gura estiver completa, o número de triângulos
equiláteros com dois de seus vértices sobre o círculo é
a) 10.
b) 12.
c) 14.
d) 16.
e) 18.
Exercício 103
Assinale a alternativa incorreta:
a) O baricentro é o ponto de encontro das medianas e é o centro de
gravidade do triângulo
b) O incentro é o ponto de encontro das bissetrizes e é o centro da
circunferência inscrita ao triângulo
c) Todo e qualquer triângulo possui uma circunferência inscrita e
uma circunscrita e possui 3 pontos notáveis
d) O circuncentro é o ponto de encontro das mediatrizes e é o centro
da circunferência circunscrita ao triângulo.
e) O ortocentro é o ponto de encontro das alturas.
Exercício 104
(PUC) O ângulo x, na �gura a seguir, mede:
a)  60°
b)  80°   
c)  90°
d)  100° 
e)  120° 
Exercício 105
(Insper 2014) As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem
em ringues com a forma de octógonos regulares com lados
medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como
“Octógonos”. Medindo o comprimento exato de seus lados, pode-se
calcular a área de um “Octógono” decompondo-o, como mostra a
�gura a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e quatro
triângulos retângulos e isósceles.
A medida do lado do quadrado destacado no centro da �gura é
igual à medida a do lado do “Octógono”. Se a área desse quadrado
é S, então a área do “Octógono” vale
a) S(2√2 + 1).
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b) S(√2 + 2).
c) 2S(√2 + 1).
d) 2S(√2 + 2).
e) 4S(√2 + 1).
Exercício 106
(Acafe 2015) Tomando-se ao acaso uma das diagonais formadas
pelos vértices de um octógono regular, a probabilidade de que a
diagonal passe pelo centro do octógono é de:
a) 50%
b) 40%
c) 20%
d) 0%
Exercício 107
(G1 - IFSC 2011)  O perímetro de um losango é 40 cm e uma
diagonal mede 16 cm. A outra diagonal mede:
a) 10 cm.   
b) 6 cm.   
c) 12 cm.   
d) 8 cm.  
e) 5 cm.   
Exercício 108
(FAMERP 2018)   As tomogra�as computadorizadas envolvem
sobreposição de imagens e, em algumas situações, é necessário
conhecer a área da região de intersecção das imagens sobrepostas.
Na �gura, um triângulo equilátero ABC se sobrepõe a um círculo de
centro N  e raio NB=NC=NM,  com M  e N  sendo pontos médios,
respectivamente, de 
¯
AB e 
¯
BC.
 
 
Sendo a área de triângulo equilátero de lado l igual a 
l2√3
4
 e a área
de círculo de raio r  igual a πr2  se o lado do triângulo ABC  medir
4cm, então, a área de intersecção entre o triângulo e o círculo, em
cm2, será igual a:
a) π + 3√3   
b) 
π+3√3
2    
c) π + √3   
d) 
2π+6√3
3
e) π + 2√3
Exercício 109
(G1 - IFAL 2016)  Julgue as a�rmativas abaixo e assinale a
alternativa correta.
 
I. Todo paralelogramo é losango.
II. Se um quadrilátero tem todos os lados com a mesma medida,
então esse quadrilátero é um quadrado.
III. As diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si.
a) Só I é verdadeira.   
b) Só II é verdadeira.   
c) Só III é verdadeira.   
d) I e III são verdadeiras.  
e) II e III são verdadeiras.   
Exercício 110
(FAMEMA 2019) A �gura mostra o triângulo retângulo ABC, de
hipotenusa AB=10 cm, com o ângulo  e o ponto D sobre
o lado 
Sabendo que  é bissetriz do ângulo  o valor da razão  é
a) 3
b) 1/2
c) 1/3
d) 1
e) 2
Exercício 111
(Ufrgs 2018 Adaptada)  Se a e b são ângulos agudos e
complementares e a e c são ângulos replementares, o valor da
expressão sen2 (a+b)-cos2 (a+c) é
a) 0.  
b) 1.  
c) 2.  
d) √2. 
e) √3.  
Exercício 112
(PUCRJ 2018)  Um terreno de 120 m2 contém um jardim central de
8mx10m.  Em volta do jardim, existe uma calçada de largura
x, conforme a �gura abaixo:
 
https://www.biologiatotal.com.br/medio/matematica/exercicios/geometria-plana/ex.32-teorema-de-tales-e-semelhanca-de-triangu… 22/66
 
Qual é o valor de x, em metros?
a) 1
b) 3   
c) 5   
d) 10   
e) 11   
Exercício 113
(FGV Adaptada) Na �gura, ABC é um triângulo com AC = 20 cm,
AB = 15 cm e BC = 14 cm.
Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo ABC, assinale a
alternativa que contém corretamente os valores de w,x,y e z é:
a) 250/29, 7, 280/27,9. 
b) 270/24, 15, 230/13, 15.
c) 300/29, 6, 280/29, 8.
d) 150/29, 3, 250/29, 7.
e)  223/24, 8, 270/13, 6.
Exercício 114
Observe a �gura a seguir e assinale a alternativa incorreta:
 
a) 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8 são ângulos correspondentes
b) 3 e 5, 4 e 6 são ângulos alternos internos e 1 e 7, 2 e 8 são
ângulos alternos externos
c) 3 e 6, 4 e 5 são ângulos colaterais internos e 1 e 8, 2 e 7 são
ângulos colaterais externos
d) 1 e 3, 2 e 4, 5 e 7,6 e 8 são ângulos opostos pelo vértice
e) 1 e 2, 2 e 3, 3 e 4, 4 e 1, 5 e 6, 6 e 7, 7 e 8, 8 e 5 são ângulos
complementares
Exercício 115
(Uepg 2011) Um �o de 60cm de comprimento é cortado em duas
partes para formar dois quadrados de modo que a área de um deles
seja quatro vezes a área do outro. Nesse contexto, assinale o que
for correto.
01) O perímetro do quadrado maior é de 40cm.
02) O quadrado menor tem área de 25cm2.
04) O lado do quadrado maior é o dobro do lado do quadrado
menor.
08) A soma das áreas dos dois quadrados é 125 cm2.
Exercício 116
(G1 - IFAL 2017)  A moeda de R$ 1,00 consiste de dois círculos
concêntricos de diâmetros de aproximadamente 2,60 cm e 1,80 cm,
conforme �gura.
Qual a área da região dourada da moeda, em mm2, considerando
π=3,14?
a) 251,2.  
b) 254,34. 
c) 276,32.  
d) 502,4.  
e) 1.105,28.  
d) 502,4. 
e) 1.105,28.  
Exercício 117
https://www.biologiatotal.com.br/medio/matematica/exercicios/geometria-plana/ex.32-teorema-de-tales-e-semelhanca-de-triangu… 23/66
(G1 - IFCE 2011)  As medidas dos ângulos internos de um
quadrilátero convexo são inversamente proporcionais a 5, 8, 10 e
40, então as medidas, em graus, dos ângulos são, respectivamente,
iguais a 
a) 160°; 100°; 80° e 20°.    
b) 100°; 80°; 20° e 160°.    
c) 80°; 50°; 40° e 10°.    
d) 50°; 40°; 10º e 80°.   
e) 75°; 45°; 40° e 20°.   
Exercício 118
 (G1 - ifce 2016)  Os ângulos internos de um triângulo têm medidas
diretamente proporcionais a 1, 2 e 6. É possível destacar dois
ângulos externos desse triângulo cuja soma, em graus, mede
a) 260.
b) 180.  
c) 280.  
d) 200.  
e) 120.  
Exercício 119
(G1 - ifal 2012)  Considere um triângulo ABC cuja base  mede
27dm. Traçando-se uma reta “t”, paralela à base, ela determina
sobre os lados  respectivamente, os pontos D e E. Sabe-
se que  mede 14dm, mede 8dm e  mede 18dm.
 Assinale a alternativa verdadeira.
  
a) O triângulo ABC é equilátero, logo, ele pode ser inscrito em uma
circunferência.   
b) O triângulo ABC é um polígono regular, logo, ele pode ser
inscrito em uma circunferência.   
c) O triângulo ABC é escaleno, mesmo assim ele pode ser inscrito
em uma circunferência.   
d) O raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede .
  
 
e) O apótema da circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede .
Exercício 120
(G1 - CFTMG 2018)  Analise a �gura a seguir.
Sobre essa �gura, são feitas as seguintes considerações:
 
I. r e s são retas paralelas e distam em 3 cm uma da outra.
II.  é um segmento de 1,5 cm contido em s.
III. O segmento  mede 4 cm.
IV.  é perpendicular a 
 
A medida do segmento  em cm, é
a)   
b)   
c)  
d)   
Exercício 121
(G1 - ifpe 2018)  Eva é aluna do curso de Construção Naval do
campus Ipojuca e tem mania de construir barquinhos de papel.
Durante a aula de desenho técnico, resolveu medir os ângulos do
último barquinho que fez, representado na imagem a seguir.
Sabendo que as retas suportes, r e s, são paralelas, qual a medida
do ângulo α destacado?
 
 
 
a) 52°.
b) 60°.
c) 61°. 
d) 67°.  
e) 59°.  
Exercício 122
(UFRGS 2016)  Considere o setor circular de raio 6 e ângulo central
60° da �gura abaixo.
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Se P e Q são pontos médios, respectivamente, de OS e OR, então o
perímetro da região sombreada é
a) π+6.
b) 2π+6.   
c) 3π+6.  
d) π+12.  
e) 3π+12. 
d) π+12.
e) 3π+12. 
Exercício 123
(FUVEST-GV) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência
de centro O é:
 
a) 125°   
b) 110°   
c) 120°   
d) 100°  
e) 135°   
Exercício 124
(Uerj 2014)  Uma máquina possui duas engrenagens circulares,
sendo a distância entre seus centros A e B igual a 11cm, como
mostra o esquema:
 
 
Sabe-se que a engrenagem menor dá 1000 voltas no mesmo
tempo em que a maior dá 375 voltas, e que os comprimentos dos
dentes de ambas têm valores desprezíveis.
A medida, em centímetros, do raio da engrenagem menor equivale
a:
a) 2,5   
b) 3,0   
c) 3,5   
d) 4,0   
Exercício 125
  (G1 - IFPE 2014)  Um designer grá�co criou uma logomarca para
uma empresa com a forma que lembra uma vírgula, tomando como
referência um círculo de diâmetro AB e dois semicírculos de
diâmetros colineares AC e CB (observe a �gura). Sabe-se que
AB=12 cm e que CB=2.AC. Determine a área, em cm2, da região
destacada em forma de vírgula.
a) 12π  
b) 14π  
c) 16π  
d) 18π 
e) 24π  
Exercício 126
(G1 - cftmg 2019)  Considere θ e α dois ângulos adjacentes e
complementares. A expressão que determina o valor do ângulo
formado pelas bissetrizes de θ e α é
a) 
θ+α
2 .
b) 
θ+α
4 .
https://www.biologiatotal.com.br/medio/matematica/exercicios/geometria-plana/ex.32-teorema-de-tales-e-semelhanca-de-triangu… 25/66
c) 
90− ( θ+α )
2 .
d) 
90− ( θ+α )
4 .
Exercício 127
(UDESC 2017 Adaptada)  Considere o quadrado ABCD inscrito em
uma circunferência de raio 3 e o quadrado EFGH  circunscrito à
circunferência de raio 5.
 
 
Com base nessas informações, analise as sentenças.
 
I. Para o quadrado ABCD, tem-se  l = 3√2  unidades de
comprimento e para o quadrado EFGH tem-se  l = 10  unidades de
comprimento.
II.  A diferença das áreas dos quadrados EFGH  e ABCD  é de 82
unidades de área.
III. A soma dos perímetros dos quadrados ABCD e EFGH é de 52√2
 unidades de comprimento.
 
Assinale a alternativa correta.
 
 
a) Somente as sentenças I e II são verdadeiras.    
b) Somente a sentença III é verdadeira.    
c) Somente as sentenças II e III são verdadeiras.    
d) Somente a sentença II é verdadeira.    
 e) Somente a sentença I é verdadeira.    
Exercício 128
(G1 - UTFPR 2018) Se o perímetro de uma circunferência aumenta
em uma unidade de comprimento, assinale a alternativa que
apresenta, em unidades de comprimento, o aumento no
comprimento do raio.
 
a)   
b)   
c)   
d)  
e)   
Exercício 129
(G1 - ifpe 2019)  Ao triangularem um ataque, os três heróis
Homem-Escorpião (HE), Menino-Vespa (MV) e Garota-Abelha (GA)
criam um triângulo equilátero de energia conforme demonstrado a
seguir (FIGURA 1).
A energia gerada é inversamente proporcional à área do triângulo
formado, assim, ao diminuir pela metade a distância entre os heróis,
conforme demonstrado na FIGURA 2, a energia do ataque
a) �ca um quarto menor. 
b) dobra.
c) quadruplica.
d) cai pela metade.
e) �ca oito vezes maior.
Exercício 130
(FATEC 2016)  Nas competições olímpicas de Tiro com Arco, o alvo
possui 1,22 m de diâmetro. Ele é formado por dez circunferências
concêntricas pintadas sobre um mesmo plano e a uma distância
constante de 6,1 cm entre si, como vemos no esquema.
Podemos a�rmar corretamente que a razão entre a área da região
cinza e a área total do alvo, nessa ordem, é igual a
a)   
b)   
 
https://www.biologiatotal.com.br/medio/matematica/exercicios/geometria-plana/ex.32-teorema-de-tales-e-semelhanca-de-triangu… 26/66
c)   
 
d)  
e)   
Exercício 131
(Uece 2016) A razão entre as áreas de um triângulo equilátero
inscrito em uma circunferência e a área de um hexágono regular
cuja medida do apótema é 10m circunscrito à mesma circunferência
é
a) 
3
8 .
b) 
5
8 .
c) 
3
7
.
d) 
5
7
.
Exercício 132
Assinale a alternativa que contém corretamente o valor de x na
�gura a seguir.
a) 60°
b) 65°
c) 70°
d) 75°
e) 80°
Exercício 133
Unicamp 2019)  No triângulo ABC exibido na �gura a seguir, AD é a
bissetriz do ângulo interno em A  e  
 
 
O ângulo interno em A é igual a
a) 60°.   
b) 70°.   
c) 80°.   
d) 90°.   
Exercício 134
No retângulo a seguir, o valor, em graus, de α+β é
 
a) 50   
b) 90   
c) 120   
d) 130  
e) 220  
Exercício 135
(G1 - IFCE 2019) O polígono regular convexo cujo ângulo interno é 
 do seu ângulo externo é 
a) octógono.    
b) dodecágono.    
c) decágono.   
d) icoságono.  
e) eneágono   
Exercício 136
(G1 - CMRJ 2020 Adaptada)  Um professor de matemática francês
aproveitou a comemoração dos gols de Paul Pogba, através de um
gesto chamado «dab», para criar para seus alunos um problema
relacionado como Teorema de Pitágoras.
https://www.biologiatotal.com.br/medio/matematica/exercicios/geometria-plana/ex.32-teorema-de-tales-e-semelhanca-de-triangu…27/66
 
A proposta era encontrar uma solução que ajudasse o jogador
francês a realizar de forma perfeita o «dab».
Disponível em https:
<//maisfutebol.iol.pt/incrivel/internacional/celebracao-de-pogba-da-
origem-a-problema-matematico>. Acesso em 06/08/2019. Texto
adaptado.
Observe a �gura acima. O triângulo CDE, formado pelo braço
esticado de Pogba (segmento  não é semelhante ao triângulo
FGH, formado pelo outro braço �exionado, cujas extremidades são
H e F. Admitindo-se que o triângulo CDE não pode ser alterado em
suas medidas, quais deveriam ser as medidas em centímetros do
triângulo FGH para que os dois triângulos se tornassem
semelhantes?
a) 30, 24 e 17 cm   
b) 35, 28 e 21 cm   
c) 40, 32 e 28 cm  
d) 45, 36 e 27 cm  
e) 48, 24 e 20 cm   
Exercício 137
(UFRGS 2018)   No retângulo ABCD  a seguir, estão marcados os
pontos E,F e G de forma que o lado AB está dividido em 4 partes
iguais e P é um ponto qualquer sobre o lado DC.
 
 
A razão entre a área do triângulo PFG  e a área do retângulo
ABCD é:
a) 1/8   
b) 1/6   
c) 1/4   
d) 1/2   
e) 1   
Exercício 138
(Fgv 2007)  Num triângulo isósceles ABC, de vértice A, a medida do
ângulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ângulos B e C é 140°. 
 
 
Então, as medidas dos ângulos A,B e C são, respectivamente:
a) 120°, 30° e 30°   
b) 80°, 50° e 50°   
c) 100°, 40° e 40°   
d) 90°, 45° e 45°   
e) 140°, 20° e 20°   
Exercício 139
Sendo r//s, qual é a medida do ângulo m?
 
a) m=60°
b) m=65°
c) m=70°
d) m=75°
e) m=80°
Exercício 140
(G1 - cftmg 2017)  Neste triângulo, tem-se  , MÂN =
70°,  AM� N = 30° e AN�M = 80°.   
https://www.biologiatotal.com.br/medio/matematica/exercicios/geometria-plana/ex.32-teorema-de-tales-e-semelhanca-de-triangu… 28/66
 
O valor de α - θ  é :
 
a) 50º
b) 60º
c) 70º
d) 80º
Exercício 141
(PUCMG)  Um terreno tem a forma de um quadrilátero com 815 m
de perímetro e seus lados a, b, c e d são tais que 2a = (3b)/2 =
(4c)/3 = (5d)/4. O comprimento do menor dos lados desse terreno,
em metros, é:
a)  100   
b)  150   
c)  200  
d)  225   
Exercício 142
(FUVEST) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem
130° cada um e os demais ângulos internos medem 128° cada um.
O número de lados do polígono é
a) 6   
b) 7   
c) 13   
d) 16  
e) 17   
Exercício 143
(Eear 2017) 
 
Se ABC é um triângulo, o valor de α é
 
a) 10°   
b) 15°   
c) 20°   
d) 25°   
Exercício 144
(ESCOLA TÉCNICA FEDERAL - RJ) Quando o comprimento de uma
circunferência aumenta de 8 cm para 14 cm o raio da circunferência
aumenta de:
a) π/ 6 cm
b) 3/ π cm   
c) π /3 cm   
d) 1,5 cm  
e) 3 cm   
Exercício 145
(Ita 2017)  Seis circunferências de raio 5 cm são tangentes entre si
duas a duas e seus centros são vértices de um hexágono regular,
conforme a �gura abaixo.
 
O comprimento de uma correia tensionada que envolve
externamente as seis circunferências mede, em cm 
a) 18+3π.  
b) 30+10π.   
c) 18+6π.   
d) 60+10π.   
e) 36+6π.   
https://www.biologiatotal.com.br/medio/matematica/exercicios/geometria-plana/ex.32-teorema-de-tales-e-semelhanca-de-triangu… 29/66
Exercício 146
(PUCRJ 2018)  Na �gura abaixo, temos um quadrado  e 
 e 
 
 
Qual é o valor do lado do quadrado?
a) 2 
b) 2,4  
c) 2,5  
d) 3 
e) 4  
Exercício 147
  (G1 - IFSUL 2016)  Um triângulo retângulo tem catetos que
medem "x" cm e  e hipotenusa que mede 16 cm. Na �gura
abaixo, o diâmetro da circunferência maior tem o mesmo valor do
cateto desconhecido do triângulo citado. Sabendo-se que os
segmentos que passam por A, B e C dividem o diâmetro da
circunferência maior em partes iguais, qual é o valor da área
hachurada, em cm2?
a)   
b)   
c)  
d)   
Exercício 148
(G1 - CFTMG 2017) A �gura a seguir mostra uma circunferência,
em que os arcos ADC e AEB são congruentes e medem 160° cada
um.
A medida, em graus, do ângulo x, é
 
a) 10°.  
b) 20°.  
c) 30°. 
d) 40°.  
Exercício 149
(Ufpr 2010)  A soma das áreas dos três quadrados da �gura é igual
a 83cm2. Qual é a área do quadrado maior?
a) 36cm2
b) 20cm2
c) 49cm2
d) 42cm2
e) 64cm2
Exercício 150
Dois polígonos regulares H1 e H2 possuem o número de diagonais
na razão 5/3. Sabendo-se que o número de diagonais de H2 é 12,
H1 é um:
a) Triangulo
b) Hexágono
c) Heptágono
d) Octógono
e) Dodecágono
Exercício 151
(Uece 2019)  Se as medidas dos comprimentos dos lados de um
triângulo são respectivamente 4m, 6m e 8m, então, a medida da
área desse triângulo, em m2, é
a) 5√6.
b) 3√15.
https://www.biologiatotal.com.br/medio/matematica/exercicios/geometria-plana/ex.32-teorema-de-tales-e-semelhanca-de-triangu… 30/66
c) 6√5.
d) 4√15.
Exercício 152
Classi�que em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes
sentenças e assinale a alternativa correta.
(     )  Todo retângulo é trapézio.  
(     )  Nem todo quadrado é retângulo.  
(     )  Todo paralelogramo é retângulo.  
(     )  Todo losango é paralelogramo.  
(     )  Nem todo trapézio é paralelogramo. 
a) V F V F V
b) F V F V F
c) V F F V V
d) V V F F V
e) F V F V V
Exercício 153
(UNESP Adaptada) Considere as seguintes proposições:
 
- todo quadrado é um losango;
- todo quadrado é um retângulo;
- todo retângulo é um paralelogramo;
 
Pode-se a�rmar que:
a) só uma é verdadeira.   
b) todas são verdadeiras.   
c) só uma é falsa.   
d) uma é verdadeiras e duas são falsas.  
e) todas são falsas.   
Exercício 154
(Epcar (Afa) 2011)  Na �gura abaixo, têm-se quatro círculos
congruentes de centros O1, O2, O3 e O4 e de raio igual a 10 cm. Os
pontos M, N, P, Q são pontos de tangência entre os círculos e A, B,
C, D, E, F, G, H são pontos de tangência entre os círculos e a correia
que os contorna.
 
 
Sabendo-se que essa correia é inextensível, seu perímetro, em cm,
é igual a
a)   
b)   
c)   
d)   
Exercício 155
(UFPE Adaptada) Na �gura a seguir tem-se um círculo de raio 1 e
sobre este círculo, consideram-se arcos AB e CD medindo    e  
 respectivamente (ambos orientados no sentido anti-horário). Se α é
a medida em radianos do ângulo AÔB, calcule  e assinale a
alternativa correta.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Exercício 156
(Mackenzie 2019)  Os raios das circunferências, inscrita e
circunscrita, ao triângulo equilátero cujo lado mede a, são,
respectivamente,
a) 
a
3 e 
2a
3
b) 
a
2 e a
c) 
a√2
2
 e a√2
d) 
a√3
6
 e 
a√3
3
e) 
a√3
2
 e a√3
Exercício 157
(UERJ 2019)
 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Física para poetas
 
O ensino da física sempre foi um grande desa�o. Nos últimos anos,
muitos esforços foram feitos com o objetivo de ensiná-la desde as
séries iniciais do ensino fundamental, no contexto do ensino de
https://www.biologiatotal.com.br/medio/matematica/exercicios/geometria-plana/ex.32-teorema-de-tales-e-semelhanca-de-triangu… 31/66
ciências. Porém, como disciplina regular, a física aparece no ensino
médio, quando se torna “um terror” para muitos estudantes.
 
1Várias pesquisas vêm tentando identi�car quais são as principais
di�culdades do ensino de física e das ciências em geral. Em
particular, a queixa que sempre se detecta é que 2os estudantes
não conseguem compreender a linguagem matemática na qual,
muitas vezes, os conceitos físicos são expressos. Outro ponto
importante é que as questões que envolvem a física são
apresentadas fora de uma contextualização do cotidiano das
pessoas, o que di�culta seu aprendizado. Por �m, existe uma
enorme carência de professores formados em física para ministrar
as aulas da disciplina.
 
As pessoas que vão para o ensino superior e que não são da área
de ciências exatas praticamente nunca mais têm contato com a
física, da mesma maneira que os estudantes de física, engenharia e
química poucas vezes voltam a ter contato com a literatura, a
história e a sociologia. É triste notar que 3a especialização na
formação dos indivíduos costuma deixá-los distantes de partes
importantes da nossa cultura, da qual as ciências físicas e as
humanidades fazem parte.
 
Mas vamos pensar em soluções. Há alguns anos, 4ofereço um curso
chamado “Física para poetas”. A ideia não é original – ao contrário, é
muito utilizada emdiversos países e aqui mesmo no Brasil. Seu
objetivo é apresentar a física sem o uso da linguagem matemática e
tentar mostrá-la próxima ao cotidiano das pessoas. Procuro
destacar a beleza dessa ciência, associando-a, por exemplo, à
poesia e à música.
 
Alguns dos temas que trabalho em “Física para poetas” são
inspirados nos artigos que publico. Por exemplo, 5“A busca pela
compreensão cósmica” é uma das aulas, na qual apresento a
evolução dos modelos que temos do universo. Começando pelas
visões místicas e mitológicas e chegando até as modernas teorias
cosmológicas, falo sobre a busca por responder a questões sobre a
origem do universo e, consequentemente, a nossa origem, para
compreendermos o nosso lugar no mundo e na história.
 
Na aula “Memórias de um carbono”, faço uma narrativa de um
átomo de carbono contando sua história, em primeira pessoa, desde
seu nascimento, em uma distante estrela que morreu há bilhões de
anos, até o momento em que sai pelo nariz de uma pessoa
respirando. Temas como astronomia, biologia, evolução e química
surgem ao longo dessa aula, bem como as músicas “Átimo de pó” e
“Estrela”, de Gilberto Gil, além da poesia “Psicologia de um
vencido”, de Augusto dos Anjos.
 
Em “O tempo em nossas vidas”, apresento esse fascinante conceito
que, na verdade, vai muito além da física: está presente em áreas
como a �loso�a, a biologia e a psicologia. Algumas músicas de
Chico Buarque e Caetano Veloso, além de poesias de Vinicius de
Moraes e Carlos Drummond de Andrade, ajudaram nessa
abordagem. Não faltou também “Tempo Rei”, de Gil.
 
A arte é uma forma importante do conhecimento humano. Se
músicas e poesias inspiram as mentes e os corações, podemos
mostrar que a ciência, em particular a física, também é algo
inspirador e belo, capaz de criar certa poesia e encantar não
somente aos físicos, mas a todos os poetas da natureza.
 
ADILSON DE OLIVEIRA
Adaptado de cienciahoje.org.br, 08/08/2016.
Colho esta luz solar à minha volta,
No meu prisma a disperso e recomponho:
Rumor de sete cores, silêncio branco.
 
JOSÉ SARAMAGO
 
 
Na imagem a seguir, o triângulo ABC representa uma seção plana
paralela à base de um prisma reto. As retas n e n' são
perpendiculares aos lados AC e AB, respectivamente, e BÂC=80°.
A medida do ângulo θ entre  e  é:
a) 90°  
b) 100°  
c) 110° 
d) 120° 
Exercício 158
(UEL 2011)  Determine a área da região hachurada, que é a região
delimitada por um hexágono regular obtida pela intersecção das
regiões delimitadas por dois triângulos equiláteros inscritos na
circunferência cuja área é de 3π cm2.
 
 
Assinale a alternativa correta.  
a) 
3√3
2  cm
2   
b) 3√3 cm2
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c) 2√6 cm2   
d)    
4√3
3
 cm2
Exercício 159
(UNISINOS 2017)  Na �gura abaixo, temos que AC=6, BC=8 e os
ângulos  e  são retos.
Com base nessas informações, podemos dizer que as medidas dos
segmentos AB e CD são, respectivamente:
a) 10 e 4,8  
b) 10 e 4,2  
c) 10 e 4  
d) 8 e 5 
e) 8 e 4  
Exercício 160
(Uece 2018)  Considere um hexágono regular com centro no ponto
O, cuja medida do lado é igual a 2m. Se U e V são dois vértices
consecutivos desse hexágono, e se a bissetriz do ângulo
OÛV intercepta o segmento OV no ponto W, então, a medida em
metros do perímetro do triângulo UVW é
a) (3 + √5).
b) (2 + √5).
c) (3 + √3).
d) (2 + √3).
Exercício 161
(G1 - CFTMG 2018)  Considere um hexágono regular ABCDEF. A
partir dos pontos médios dos lados traça-se um novo hexágono
A'B'C'D'E'F'.
A medida do ângulo  em graus, é
a) 20.  
b) 30.  
c) 40. 
d) 60. 
Exercício 162
(Ufsc 2013 Adaptada)  Em um centro de eventos na cidade de
Madri, encontra-se um mural de Joan Miró (1893-1983)
confeccionado pelo ceramista Artigas. O mural está colocado no
alto da parede frontal externa do prédio e tem 60m de
comprimento por 10m de altura. A borda inferior do mural está 8m
acima do nível do olho de uma pessoa. A que distância da parede
deve �car essa pessoa para ter a melhor visão do mural, no sentido
de que o ângulo vertical que subtende o mural, a partir de seu olho,
seja o maior possível? O matemático Regiomontanus (1436-1476)
propôs um problema semelhante em 1471 e o problema foi
resolvido da seguinte maneira:
Imagine uma circunferência passando pelo olho O do observador e
por dois pontos P e Q, verticalmente dispostos nas bordas superior
e inferior do mural. O ângulo α  será máximo quando esta
circunferência for tangente à linha do nível do olho, que é
perpendicular à parede onde se encontra o mural, como mostra a
�gura. Com estas informações, calcule a que distância OC da
parede deve �car o observador para ter a melhor visão do mural de
Joan.  
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
Exercício 163
Assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor de x na
imagem abaixo:
a) 105°
b) 110°
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c) 115°
d) 120°
e) 125°
Exercício 164
Observe a �gura a seguir e classi�que em verdadeira ou falsa cada
uma das a�rmações, em seguida, assinale a alternativa correta.
 
 
(     ) A ∈ r   
(     ) 
¯
AE  ∪  
¯
EB  =
¯
AB   
(     ) 
¯
EB ⊂ r   
(     ) 
¯
AB e 
¯
EB são segmentos colineares   
(     ) 
¯
AE e 
¯
EFsão segmentos consecutivos   
(     ) r, s e t são retas paralelas   
(     ) r ∩ s = { F }   
a) V – V – F – V – V – F – F
b) F – V – F – V – F – V – F   
c) V – F – V – F – V – F – V   
d) V – V – F – F – V – F – F   
e) V – V – V – V – V – F – F  
Exercício 165
(Ufrgs 2018)  Considere um triângulo equilátero circunscrito a um
círculo. Se a distância de cada vértice do triângulo ao centro do
círculo é 2cm, a área da região do triângulo não ocupada pelo
círculo, em cm2, é
a) 4√3 − 2π
b) 3√3 − π
c) √3 + π
d) π
e) 3√2
Exercício 166
(UFAL Adaptada) Num polígono convexo de n lados, a soma das
medidas dos ângulos internos é dada por (n-2).180°. Use essa
informação e considere as a�rmativas referentes ao polígono não
regular abaixo representado. Assinale a alternativa correta
(     )  A soma das medidas dos ângulos internos do polígono é
necessariamente 540°.
  
(     )  A medida a é necessariamente igual a 108°.
  
(     )  A soma de b e b1 dá, necessariamente, 180
°.
  
(     )  b1 é igual a 72
° obrigatoriamente.
  
(     )  a1 + b1 + c1 + d1 + e1 = 360
°, necessariamente.
a) V F V F V
b) V V V V V
c) F F F F F
d) F V F V F
e) F V F F F
Exercício 167
A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1440°.
Assinale a alternativa que contém a medida do ângulo central.
a) 35°
b) 36°
c) 37°
d) 38°
e) 39°
Exercício 168
Sabe-se a respeito de um ângulo que: a metade de um ângulo
menos a quinta parte do seu complemento mede 38°.  Dado outro
ângulo diferente do anterior sabe-se que: 2/3 do complemento dele
mais 1/5 do seu suplemento perfazem 70°. Quanto valem esses
ângulos?
a) 50° e 20°
b) 80° e 30°
c) 90° e 40°
d) 35° e 55°
Exercício 169
Considere uma circunferência tem centro O e raio 2 cm, julgue as
assertivas a seguir e assinale a alternativa correta.  
 
I. Um ponto X que dista 1,5 cm de O é um ponto pertencente à
circunferência.
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II. Um ponto Y que dista 2,0 cm de O é um ponto externo à
circunferência.
 
III. Um ponto Z que dista 2,5 cm de O é um ponto interno à
circunferência.
 
a) Todas as assertivas estão corretas.
b) Nenhuma assertiva está correta.
c) I e II estão corretas.
d) I e III estão corretas.
e) II e III estão corretas.
Exercício 170
 A alternativa verdadeira é:
a) Todos os triângulos são semelhantes   
b) Todos os triângulos retângulos são semelhantes   
c) Todos os triângulos isósceles são semelhantes   
d) Todos os triângulos equiláteros são semelhantes 
e) Todos os triângulos escalenos são semelhantes.
Exercício 171
(Ueg 2019)  Observando-se o desenho a seguir, no qual o círculotem raio r, e calculando-se o apótema a4, obtemos
a) 2r√2
b) 3r√2
c) 
3r
2 √2
d) 
r
2√2
e) r√2
Exercício 172
(UPF 2018)   Uma empresa produz tampas circulares de alumínio
para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas, conforme as
�guras a seguir. Com o mesmo tamanho de chapa, pode produzir
1 tampa grande, 4 tampas médias ou 16 tampas pequenas.
 
 
A cada dia, é cortado, nessa empresa, o mesmo número de chapas
para cada tamanho de tampas. As sobras de material da produção
diária das tampas grandes, médias e pequenas são doadas,
respectivamente, a três entidades: A,B e C, que efetuam reciclagem
do material. A partir dessas informações, é possível concluir que:
a) a entidade A recebe mais material do que a entidade B.    
b) a entidade B recebe o dobro de material do que a entidade C.    
c) a entidade C recebe a metade de material do que a entidade A.   
d) as três entidades recebem iguais quantidades de material.    
e) as entidades A e C, juntas, recebem menos material do que a
entidade B.    
Exercício 173
Num paralelogramo ABCD, a diagonal   forma com o lado  
um ângulo de 28° e com o lado  um ângulo de 67°. Assinale a
alternativa que apresenta corretamente os valores dos ângulos
desse paralelogramo.
a) 85°, 85°, 95°, 95°
b) 28°, 28°, 152°,152°
c) 75°,75°, 85°,85°
d) 95°,95°,105°,105°
e) 70°,70°,110°,110°
Exercício 174
(Efomm 2018)  Qual é a área de uma circunferência inscrita em um
triângulo equilátero, sabendo-se que esse triângulo está inscrito em
uma circunferência de comprimento igual a 10πcm? 
a) 
75π
4
b) 
25π
4
c) 
5π
2
d) 
25π
16
e) 
5π
4
Exercício 175
ABCD é um trapézio de bases  e . Se D é o dobro de A e C o
triplo de B, calcule os ângulos do trapézio e assinale a alternativa
correta.
a) A=120°; B= 135; C= 45 e D=60°             
b) A=135; B= 120°; C= 45° e D =60°
c) A=60°°; B = 45°; C = 135° e D = 120°
https://www.biologiatotal.com.br/medio/matematica/exercicios/geometria-plana/ex.32-teorema-de-tales-e-semelhanca-de-triangu… 35/66
d) A=45°; B=60°; C=20° e D=135°
Exercício 176
Dados dois pontos distintos A e B assinale a incorreta:
a) A e B de�nem 1 única reta.
b) Por A passam in�nitas retas.
c) Por B passam in�nitas retas.
d) É possível traçar mais de 1 reta passando por A e B.
e) Pontos colineares são aqueles que pertencem a uma mesma reta.
Exercício 177
(G1 - CFTMG 2019)  Na �gura a seguir, há 4 circunferências
concêntricas cujos raios medem 1,0 cm; 0,9 cm; 0,8 cm; 0,7 cm.
A área da região sombreada, em cm2, é
 
(use 3 como aproximação para π)
a) 1,02.  
b) 1,59.  
c) 1,92. 
d) 2,25.  
Exercício 178
(G1 - IFSUL 2016)  Em um círculo de raio 10 cm, houve um
acréscimo em sua área inicial de 44%. Sendo a nova área do círculo
de  o acréscimo do raio corresponderá a
a) 10%  
b) 20%  
c) 22% 
d) 44%  
Exercício 179
(G1 - utfpr 2016)  A medida do ângulo y na �gura é:
 
a) 62°  
b) 72°  
c) 108°  
d) 118° 
e) 154°  
Exercício 180
(UPE 2017) Rafael decidiu colocar cerâmicas com a forma de
hexágonos regulares no piso da sala de seu escritório. Sabendo que
a área do piso do escritório mede 25,5 m2 que a cerâmica mede 10
cm  de lado, desconsiderando a área ocupada pelos rejuntes,
quantas pedras de cerâmica serão necessárias para cobrir todo o
piso dessa sala?
 
 
Considere √3 = 1, 7.
a) 225
b) 425   
c) 765
d) 1.000   
e) 1.250   
Exercício 181
(G1 - cftmg) Na �gura, os círculos de centros A, B e C são
tangentes. Os raios medem, respectivamente, 10 cm, 4 cm e 2 cm.
O perímetro do triângulo ABC, em cm, é:
 
a) 30   
b) 24   
c) 20   
d) 18   
Exercício 182
(Eear 2019) A área de um hexágono regular inscrito em um círculo
de √6cm  de raio é ____ √3cm2.
a) 6
b) 9
c) 12
d) 15
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Exercício 183
(FAAP) TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
"Fernando Henrique inaugura mostra da FAAP no Palácio do
Itamaraty"
 
O Presidente Fernando Henrique Cardoso abriu a exposição
"Modernistas, Modernismo", na noite de 4 de setembro, no Palácio
do Itamaraty, em Brasília. A mostra é composta por 36 quadros do
acervo da Fundação Armando Álvares Penteado (FAAP) e �cará no
Ministério das Relações Exteriores até o próximo dia 26. Mais de
800 pessoas foram à solenidade, que inaugurou as comemorações
o�ciais da Semana da Pátria. (...)
Em seu discurso, a presidente do Conselho de Curadores da FAAP,
dimensionou o Modernismo num contexto abrangente: "Por detrás
do encontro com a brasilidade nas telas, nas formas, nas letras,
havia um grito dos modernistas, num clamor por um projeto
nacional".
Estão expostos quadros de Anita Malfatti, Di Cavalcanti, Tarsila do
Amaral e outros artistas, selecionados entre as mais de duas mil
obras do Museu de Arte Brasileira (MAB) da FAAP.
(O Estado de São Paulo, 17/9/95)
 
 
Um crítico de arte, olha, através de uma câmara escura que tem 50
cm de comprimento, para um quadro pendurado de 3 metros de
altura, cuja base está a 1,20 metros acima do solo, conforme a
�gura a seguir:
Sabendo-se que o quadro fornece uma imagem de 15 cm. A
distância "x" da câmara ao quadro (em metros) é:
 
a) 15   
b) 3   
c) 8   
d) 12  
e) 10   
Exercício 184
(G1 - CFTMG 2014) Considere a �gura em que r // s // t .
O valor de x é
a) 3.   
b) 4.   
c) 5. 
d) 6.   
Exercício 185
(FEEVALE 2017)  Supondo que, na praça representada pela �gura a
seguir, houve uma manifestação e que, para calcular o número de
pessoas presentes, foi utilizado o número de quatro pessoas por
metro quadrado ocupado, determine o número de pessoas
presentes no ato, considerando que no lago não havia ninguém,
mas o restante da praça estava ocupado.
 
a) 640 pessoas.    
b) 1.240 pessoas.   
c) 4.200 pessoas.   
d) 4.800 pessoas.    
e) 6.000 pessoas.    
Exercício 186
Dados os pontos M. N. D. na �gura a seguir, assinale a correta:
 
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a) Existem in�nitos planos que passam por esses 3 pontos.
b) Existe apenas 1 plano que passa por esses 3 pontos.
c) Cada par de pontos determina um único plano.
d) Por 1 ponto passa apenas 1 plano.
e) Existe pelo menos 2 planos que passam por esses 3 pontos.
Exercício 187
(Ufrgs 2017)  Em um triângulo ABC, BÂC é o maior ângulo e ACB é
o menor ângulo. A medida do ângulo BÂC é 70° maior que a
medida de AĈB. A medida de BÂC é o dobro da medida de AB�C.
 
Portanto, as medidas dos ângulos são
a) 20°, 70° e 90°.   
b) 20°, 60° e 100°. 
c) 10°, 70° e 100°.   
d) 30°, 50° e 100°.   
e) 30°, 60° e 90°.   
Exercício 188
(Ufrgs 2020) Considere dois círculos de centros A e C, raio 1 e
tangentes entre si. O segmento AC é
diagonal do quadrado ABCD. Os círculos de centros B e D são
tangentes aos círculos de
centros A e C, como mostra a �gura abaixo.
O raio dos círculos de centros B e D é
a) √2 − 1.
b) 1.
c) 2.
d) √2 + 1.
e) 2√2.
Exercício 189
Se as diagonais de um retângulo formam um ângulo de 120° entre
si, quais são as medidas dos ângulos que as diagonais formam com
os lados do retângulo?
a) 20° e 70°
b) 45° e 45°
c) 40° e 50°
d) 30° e 60°
e) 35° e 55°
Exercício 190
(EEAR 2017)  Seja um triângulo ABC, conforme a �gura. Se D e E
são pontos, respectivamente, de AB e AC, de forma que 
  e se  então
a)   
b)   
c)  
d)   
Exercício 191
(UERJ) Se um polígono tem todos os lados iguais, então todos os
seus ângulos internos são iguais.
 
Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como
exemplo a �gura denominada:
a) losango   
b) trapézio   
c) retângulo  
d) quadrado   
Exercício 192
Na �gura a seguir, PA e PB são segmentos tangentes à
circunferência. Sabendo que o raio do círculo vale 7, assinale a
alternativa que apresenta corretamente o valor do perímetro do
quadrilátero PAOB.
a) 40 u.c
b) 41 u.c
c) 42 u.c
d) 43 u.c
e) 44 u.c
Exercício 193
Na �gura a seguir,   é a bissetriz interna de .   Assinale a
alternativa que corresponde as medidas de  e  sabendo que
mede 
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