Questão resolvida - Resolva as seguintes integrais trigonométricas_ a) b) c) - Cálculo II - UFBA

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• Resolva as seguintes integrais trigonômétricas: 
 
a sen x cos x dx)∫ 2( ) 3( )
 
Resolução:
 
Vamos reescrever a integral para possibilitar uma substituição para resolve-lá;
 
sen x cos x dx = sen x cos x cos x dx∫ 2( ) 3( ) ∫ 2( ) 2( ) ( )
 
Reescrevendo a integral usando a substituição Pitagórica: 
sen x + cos x = 1 cos x = 1-sen x2( ) 2( ) → 2( ) 2( )
 
sen x cos x cos x dx = sen x 1 - sen x cos x dx∫ 2( ) 2( ) ( ) ∫ 2( ) 2( ) ( )
 
Agora é possível, por substituição, resolver a integral;
 
sen x 1 - sen x cos x dx; u = sen x du = cos x dx∫ 2( ) 2( ) ( ) ( ) → ( )
 
sen x 1 - sen x cos x dx = u 1 - u du = u 1 - u du = u - u du∫ 2( ) 2( ) ( ) ∫ 2 2 ∫ 2 2 ∫ 2 4
 
u - u du = - + c = - + c∫ 2 4 u
3
3 u
5
5 cos x
3
3( ) cos x
5
5( )
 
sen x cos x dx = - + c∫ 2( ) 3( ) sen x
3
3( ) sen x
5
5( )
 
b sen x cos x dx)∫ 2( ) 4( )
 
Resolução:
 
Vamos reescrever a integral usando a substituição Pitagórica: 
 
 
 
(Resposta - a)
sen x + cos x = 1 sen x = 1 - cos x2( ) 2( ) → 2( ) 2( )
 
sen x cos x cos x dx = 1 - cos x cos x dx = cos x - cos x dx∫ 2( ) 4( ) ( ) ∫ 2( ) 4( ) ∫ 4( ) 6( )
 
 
sen x cos x dx = cos x dx - cos x dx∫ 2( ) 4( ) ∫ 4( ) 6( )
 
Chegamos em 2 integrais que são possíveis de resolver, vamos resolvê-las separadamente; 
 
cos x dx∫ 4( )
 
Reescrevendo a expressão, fica;
 
cos x dx = cos x dx∫ 4( ) ∫ 2( ) 2
 
 Usando a substituição: 
 
cos x =2( )
1 + cos 2x
2
( )
Fica;
 
cos x dx = dx = dx = dx∫ 2( ) 2 ∫ 1 + cos 2x
2
( )
2
∫ 1 + cos 2x
2
( ( ))2
2
∫1 + 2cos 2x + cos 2x
4
( ) ( ( ))2
 
= dx = dx + dx + dx∫1 + 2cos 2x + cos 2x
4
( ) 2( ) ∫1
4
∫2cos 2x
4
( ) ∫cos 2x
4
2( )
 
= + dx + dx = + cos 2x dx + cos 2x dx
x
4
∫cos 2x
2
( ) ∫cos 2x
4
2( ) x
4
1
2
∫ ( ) 1
4
∫ 2( )
 
Vamos resolver as integrais que apareceram separadamente;
 
cos 2x dx; u = 2x du = 2dx = dx
1
2
∫ ( ) → → du
2
Substituindo : cos 2x dx = cos u dx = sen 2x = sen 2x
1
2
∫ ( ) 1
2
∫ ( ) du
2
1
4
( )
1
4
( )
 
 
(1)
 
 
cos 2x dx usando a substituição : cos 2x = , fica;
1
4
∫ 2( ) → 2( ) 1 + cos 4x
2
( )
 
cos 2x dx = dx = dx + dx = + dx
1
4
∫ 2( ) 1
4
∫1 + cos 4x
2
( ) ∫1
8
∫cos 4x
8
( ) x
8
∫cos 4x
8
( )
 
Vamos resolver dx separadamente;∫cos 4x
8
( )
 
u = 4x du = 4dx = dx, substituindo : dx = = cos u du = sen u→ →
du
4
∫cos 4x
8
( ) ∫cos u
8
( ) du
4
1
32
∫ ( ) 1
32
( )
 
dx = sen 4x∫cos 4x
8
( ) 1
32
( )
 
Com isso, somando as soluções encontradas, a solução da primeira integral é:
 
cos x dx = - sen 2x + + sen 4x + c = + + sen 2x + sen 4x + c∫ 4( ) x
4
1
4
( )
x
8
1
32
( )
x
4
x
8
1
4
( )
1
32
( )
 
cos x dx = + sen 2x + sen 4x + c∫ 4( ) x + 2x
8
1
4
( )
1
32
( )
 
 cos x dx = + sen 2x + sen 4x + c ∫ 4( ) 3x
8
1
4
( )
1
32
( )
 
 
Resolvendo a outra integral:
 
cos x dx∫ 6( )
 
Reescrevendo a expressão, fica;
 
cos x dx = cos x dx∫ 6( ) ∫ 2( ) 3
 
 Usando a substituição: 
 
 
 
(Resultado - integral 1))
(2)
cos x =2( )
1 + cos 2x
2
( )
Fica;
 
cos x dx = dx = dx = dx∫ 2( ) 3 ∫ 1 + cos 2x
2
( )
3
∫ 1 + cos 2x
2
( ( ))3
3
∫ 1 + cos 2x
8
( ( ))3
 
O cubo da soma é : a+ b = a + 3a b+ 3ab + b( )3 3 2 2 3
 
Usando a propriedade do cubo da soma, a integral fica;
 
dx = 1 + 3 ⋅1 ⋅ cos 2x + 3 ⋅1 ⋅ cos 2x + cos 2x dx∫ 1 + cos 2x
8
( ( ))3 1
8
∫ 3 2 ( ) 2( ) 3( )
 
= 1 + 3cos 2x + 3cos 2x + cos 2x dx = 1dx+ 3cos 2x + 3cos 2x dx+ cos 2x dx
1
8
∫ ( ) 2( ) 3( ) 1
8
∫ 1
8
∫ ( ) 1
8
∫ 2( ) 1
8
∫ 3( ))
 
cos x dx = + cos 2x dx+ cos 2x dx+ cos 2x dx∫ 2( ) 3 x
8
3
8
∫ ( ) 3
8
∫ 2( ) 1
8
∫ 3( ))
 
Vamos resolver as integrais que apareceram separadamente;
 
cos 2x dx; u = 2x du = 2dx = dx
3
8
∫ ( ) → → du
2
Substituindo : cos 2x dx = cos u dx = ⋅ sen 2x = sen 2x3
8
∫ ( ) 3
8
∫ ( ) du
2
3
8
1
2
( )
3
16
( )
cos 2x dx = sen 2x
3
8
∫ ( ) 3
32
( )
 
 
 
cos 2x dx usando a substituição : cos 2x = , fica;
3
8
∫ 2( ) → 2( ) 1 + cos 4x
2
( )
 
cos 2x dx = dx = dx+ cos 4x dx = x+ dx
3
8
∫ 2( ) 3
8
∫ 1 + cos 4x
2
( ) ∫ 3
16
3
16
∫ ( ) 3
16
3
16
∫cos 4x
8
( )
 
resolvendo dx separadamente;∫cos 4x
8
( )
 
u = 4x du = 4dx = dx, substituindo : cos 4x dx = cos 4x = ⋅ cos u du = sen u→ →
du
4
3
16
∫ ( ) 3
16
∫ ( )du
4
3
16
1
4
∫ ( ) 3
64
( )
 
dx = sen 4x∫cos 4x
8
( ) 3
64
( )
 
cos 2x dx = x+ sen 4x
3
8
∫ 2( ) 3
16
3
64
( )
 
 
 
 
 
 
cos 2x dx = cos 2x cos 2x dx
1
8
∫ 3( ) 1
8
∫ 2( ) ( )
Vamos reescrever a integral usando a substituição Pitagórica : 
 
sen 2x + cos 2x = 1 cos 2x = 1-sen 2x2( ) 2( ) → 2( ) 2( )
 
cos 2x cos 2x dx = 1-sen x cos 2x dx; u = sen 2x du = 2cos 2x dx = cos 2x dx
1
8
∫ 2( ) ( ) 1
8
∫ 2( ) ( ) ( ) → ( ) → du
2
( )
 
1-sen x cos 2x dx = 1-u = ⋅ u- = sen 2x - = sen 2x -1
8
∫ 2( ) ( ) 1
8
∫ 2 du
2
1
8
1
2
u
3
3 1
16
( )
sen 2x
3
3( ) 1
16
( ( )
1
16
sen 2x
3
3( )
 
= sen 2x - sen 2x
1
16
( )
1
48
3( )
 
cos 2x dx = sen 2x - sen 2x
1
8
∫ 3( ) 1
16
( ( )
1
48
3( )
 
Com isso, somando as soluções encontradas, a solução da integral é:
 
cos x dx = + sen 2x + x + sen 4x + sen 2x - sen 2x + c∫ 6( ) x
8
3
16
( )
3
16
3
64
( )
1
16
( )
1
48
3( )
 
cos x dx = + + sen 2x + sen 4x - sen 2x + c∫ 6( ) 2x + 3x
16
3
16
1
16
( )
3
64
( )
1
48
3( )
 
cos x dx = + sen 2x + sen 4x - sen 2x + c∫ 6( ) 5x
16
4
16
( )
3
64
( )
1
48
3( )
 
 
 cos x dx = + sen 2x + sen 4x - sen 2x + c ∫ 4( ) 5x
16
1
4
( )
3
64
( )
1
48
3( )
 
Agora, vamos substituir os reultados das integrais 1 e 2 na integral que integral que 
desejamos resolver;
 
sen x cos x dx = + sen 2x + sen 4x - + sen 2x + sen 4x - sen 2x + c∫ 2( ) 4( ) 3x
8
1
4
( )
1
32
( )
5x
16
1
4
( )
3
64
( )
1
48
3( )
 
 
(Resultado - integral 2)
sen x cos x dx = + sen 2x + sen 4x - - sen 2x - sen 4x + sen 2x + c∫ 2( ) 4( ) 3x
8
1
4
( )
1
32
( )
5x
16
1
4
( )
3
64
( )
1
48
3( ))
sen x cos x dx = + sen 2x + sen 4x + sen 2x + c∫ 2( ) 4( ) 6x - 5x
16
1 - 1
4
( )
2 - 3
64
( )
1
48
3( )
 
sen x cos x dx = - sen 4x + sen 2x + c∫ 2( ) 4( ) x
16
1
64
( )
1
48
3( )
 
 
(Resposta)