Integral Multipla

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904
Neste capítulo estendemos a ideia de integrais definidas para integrais duplas e triplas
de funções de duas ou três variáveis. Essas ideias serão usadas para calcular volumes,
áreas de superfícies, massas e centroides de regiões mais gerais do que as consideradas
nos Capítulos 6 e 8, no Volume I. Usaremos também as integrais duplas para calcular 
probabilidades quando duas variáveis aleatórias estiverem envolvidas. 
Veremos que as coordenadas polares são úteis no cálculo de integrais duplas em 
alguns tipos de região. De modo parecido, introduziremos dois novos sistemas de 
coordenadas no espaço tridimensional – coordenadas cilíndricas e coordenadas 
esféricas – que simplificam muito o cálculo de integrais triplas em certas regiões sólidas
que ocorrem frequentemente.
15
Uma integral dupla de uma função positiva é um volume, que é o limite das somas dos volumes 
de colunas retangulares.
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 
905
INTEGRAIS DUPLAS SOBRE RETÂNGULOS
A tentativa de resolver o problema de determinar áreas, nos levou à definição de integral
definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e,
este processo, nos levará à definição de integral dupla. 
REVISÃO DA INTEGRAL DEFINIDA 
Antes de tudo, vamos relembrar os fatos básicos relativos à integral definida de funções
de uma variável real. Se f (x) é definida em a � x � b, subdividimos o intervalo [a, b] em
n subintervalos [xi�1, xi] de comprimento igual Δ x � (b � a)/n e escolhemos pontos arbi-
trários x*i em cada um desses subintervalos. Em seguida, formamos a soma de Riemann
∑
n
i�1
f (x*i ) Δ x 
e tomamos o limite dessa soma quando n m ∞ para obter a integral definida de a até b da
função f : 
hba f (x) dx � limn m∞ ∑
n
i�1
f (x*i ) Δ x 
No caso especial em que f (x) � 0, a soma de Riemann pode ser interpretada como a soma
das áreas dos retângulos aproximadores da Figura 1 e hab f (x) dx representa a área sob a
curva y � f (x) de a até b. 
VOLUMES E INTEGRAIS DUPLAS 
De modo semelhante, vamos considerar uma função f de duas variáveis definida em um
retângulo fechado 
R � [a, b] � [c, d] � {(x, y) � �2 � a � x � b, c � y � d}
e vamos inicialmente supor f (x, y) � 0. O gráfico de f é a superfície com equação 
z � f (x, y). Seja S o sólido que está acima da região R e abaixo do gráfico de f, isto é,
S � {(x, y, z) � �3 � 0 � z � f (x, y), (x, y) � R}
(Veja a Figura 2.) Nosso objetivo é determinar o volume de S. 
O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso
dividindo o intervalo [a, b] em m subintervalos [xi�1, xi] de mesmo comprimento 
xnxi
y
xa bx1 x3x2 xi�1 xi
x1* x2* x3* * *
f(x i*)
xn�10
2
1
FIGURA 1 
FIGURA 2 
0
R
z�f(x,�y)
c
da
b
x
z
y
906M||||MCÁLCULO
Δx � (b � a)/m e dividindo o intervalo [c, d] em n subintervalos [yj�1, yj] de mesmo com-
primento Δy � (d � c)/n. Traçando retas paralelas aos eixos coordenados, passando pelas
extremidades dos subintervalos, como na Figura 3, formamos os sub-retângulos 
Rij � [xi�1, xi] � [yj�1, yj] � {(x, y) � xi�1 � x � xi, yj�1 � y � yj}
cada um dos quais com área ΔA � Δx Δy. 
Se escolhermos um ponto arbitrário, que chamaremos ponto amostral, (xij*, yij*), em
cada Rij, poderemos aproximar a parte de S que está acima de cada Rij por uma caixa re-
tangular fina (ou “coluna”) com base Rij e altura f (xij*, yij*), como mostrado na Figura 4.
(Compare com a Figura 1.) O volume dessa caixa é dado pela sua altura vezes a área do
retângulo da base: 
f (xij*, yij*) ΔA 
Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das
caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S: 
V � ∑
m
i�1 
∑
n
j�1
f (xij*, yij*) ΔA 
(Veja a Figura 5.) Essa soma dupla significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o
valor de f no ponto escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e então
adicionamos os resultados. 
3
yj�1
(x*32,�y*32)
y
yj
y
x
d
c
y1
0 x2
Rij
a b
 (x*ij,�y*ij)
(xi,�yj)
xi�1 xix1
FIGURA 3
Dividindo R em sub-retângulos
0
Rij
,�
z
y
c
da
b
x
f (x*ij y*ij)�
x
y
0
z
FIGURA 4 FIGURA 5
INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M907
Nossa intuição diz que a aproximação dada em (3) melhora quando aumentamos os va-
lores de m e n e, portanto, devemos esperar que 
V � lim
m, nm∞ 
∑
m
i�1 
∑
n
j�1
f (xij*, yij*) ΔA 
Usamos a expressão da Equação 4 para definir o volume do sólido S que corresponde à
região que está abaixo do gráfico de f e acima do retângulo R. (Pode ser mostrado que
essa definição é coerente com nossa fórmula de volume da Seção 6.2, no Volume I.) 
Limites do tipo que aparecem na Equação 4 ocorrem muito frequentemente, não so-
mente quando estamos determinando volumes, mas também em diversas outras situações
– como será visto na Seção 15.5 – mesmo f não sendo uma função positiva. Assim, fare-
mos a seguinte definição: 
DEFINIÇÃO A integral dupla de f sobre o retângulo R é
h
R
h f (x, y) dA � lim
m, nm∞ 
∑
m
i�1 
∑
n
j�1
f (xij*, yij*) ΔA 
se esse limite existir.
O significado preciso do limite da Definição 5 é que para todo e� 0 existe um inteiro
N tal que 
�h
R
h f (x, y) dA � ∑m
i�1 
∑
n
j�1
f (xij*, yij*) ΔA� � e
para todos os inteiros m e n maiores que N e para qualquer escolha de (xij*, yij*) em Rij. 
Uma função é dita integrável se o limite na Definição 5 existir. É mostrado em cursos
de cálculo avançado que todas as funções contínuas são integráveis. Na realidade, a inte-
gral dupla de f existe contanto que f “não seja descontínua demais”. Em particular, se f for
limitada [isto é, existe uma constante M tal que �f (x, y)� � M para todo (x, y) em R], e se f
for contínua ali, exceto em um número finito de curvas lisas, então f é integrável em R.
O ponto amostral (xij*, yij*) pode ser tomado como qualquer ponto no sub-retângulo Rij,
porém, se o escolhermos como o canto superior direito de Rij [ou seja, (xi, yj), veja a 
Figura 3], então a expressão da soma dupla ficará mais simples: 
h
R
h f (x, y) dA � lim
m, nm∞ 
∑
m
i�1 
∑
n
j�1
f (xi, yj) ΔA 
Comparando as Definições 4 e 5, vemos que o volume pode ser escrito como uma in-
tegral dupla: 
Se f (x, y) � 0, então o volume V do sólido que está acima do retângulo R e abaixo
da superfície z � f (x, y) é 
V �h
R
h f (x, y) dA 
A soma na Definição 5
∑
m
i�1 
∑
n
j�1
f (xij*, yij*) ΔA
é chamada soma dupla de Riemann e é usada como uma aproximação do valor da inte-
gral dupla. [Observe a semelhança dessa soma com a de Riemann em (1) para funções de
uma única variável.] Se f for uma função positiva, então a soma dupla de Riemann repre-
senta a soma dos volumes das colunas, como na Figura 5, e é uma aproximação do volume
abaixo do gráfico de f e acima do retângulo R. 
6
5
4
� Observe a semelhança entre a 
Definição 5 e a definição de integral 
unidimensional na Equação 2. 
� O significado do limite duplo na 
Equação 4 é que podemos tornar a 
somatória dupla tão próxima quanto 
desejarmos do número V [para qualquer 
escolha de (xij*, yij*) em Rij] tomando m e n 
suficientemente grandes. 
� Embora tenhamos definido a integral
dupla dividindo R em sub-retângulos de
mesmo tamanho, poderíamos ter usado 
sub-retângulos Rij de tamanhos diferentes.
Mas então teríamos de garantir que todas as
dimensões deles tendessem a zero no
processo de limite.
908M||||MCÁLCULO
EXEMPLO 1 Estime o volume do sólido que está acima do quadrado R � [0, 2] � [0, 2] e
abaixo do paraboloide elíptico z � 16 � x2 � 2y2. Divida R em quatro quadrados iguais e
escolha o ponto amostral como o canto superior direito de cada quadrado Rij. Faça um es-
boço do sólido e das caixas retangulares aproximadoras. 
SOLUÇÃO Os quadrados estão ilustrados na Figura 6. O paraboloide elíptico é o gráfico de 
f (x, y) � 16 � x2 � 2y2 e a área de cada quadrado vale 1. Aproximando o volume pela soma
de Riemann com m � n � 2, temos 
V � ∑
2
i�1 
∑
2
j�1
f (xi, yj) ΔA 
� f (1, 1) ΔA 	 f (1, 2) ΔA 	 f (2, 1) ΔA 	 f (2, 2) ΔA 
� 13(1) 	 7(1) 	 10(1) 	 4(1) � 34 
Esse é o volumedas caixas aproximadoras mostradas na Figura 7. 
Obtemos melhores aproximações do volume no Exemplo 1, quando aumentamos o
número de quadrados. A Figura 8 mostra como as colunas começam a parecer mais com
o sólido verdadeiro e as aproximações correspondentes vão se tornando mais precisas
quando usamos 16, 64 e 256 quadrados. Na próxima seção mostraremos que o volume
exato é 48. 
EXEMPLO 2 Se R � {(x, y)� �1 � x � 1, �2 � y � 2}, calcule a integral 
h
R
h √–––––1 � x2– dA 
SOLUÇÃO Seria muito difícil calcular a integral diretamente da Definição 5, mas, como 
√–––––1 � x2–� 0, podemos calcular a integral interpretando-a como um volume. Se z� √–––––1 � x2–,
então x2 	 z2 � 1 e z � 0, logo a integral dupla dada representa o volume do sólido S que
está abaixo do cilindro circular x2 	 z2 � 1 e acima do retângulo R (veja a Figura 9). O vo-
lume de S é a área de um semicírculo com raio uma vez o comprimento do cilindro. Portanto, 
h
R
h √–––––1 � x2– dA � 21– p(1)2 � 4 � 2p
A REGRA DO PONTO MÉDIO 
Os métodos usados para aproximar as integrais de funções de uma variável real (a Regra
do Ponto Médio, a Regra dos Trapézios, a Regra de Simpson) têm seus correspondentes
para integrais duplas. Consideraremos aqui somente a Regra do Ponto Médio para integrais
duplas. Isso significa que usaremos a soma dupla de Riemann para aproximar a integral
(c) m�n�16, V�46,46875(b) m�n�8, V�44,875(a) m�n�4, V�41,5
0
y
1
2
x1 2
(2,�2)
R12 R22
R11 R21 
(2,�1)
(1,�1)
(1,�2)
16
2
2
z�16�x2�2y2
x
y
z
FIGURA 6 
FIGURA 9 
FIGURA 7 
FIGURA 8 
A aproximação pela soma de Riemann para
o volume abaixo de z � 16 � x2 � 2y2 fica
melhor à medida que m e n aumentam
S
(0,�0,�1)
(1,�0,�0) (0,�2,�0)x y
z
INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M909
dupla, na qual o ponto amostral (xij*, yij*) em Rij é tomado como o ponto central (
–xi, 
–yj) de
Rij. Em outras palavras, 
–xi é o ponto médio de [xi�1, xi] e
–yj é o ponto médio de [yj�1, yj]. 
REGRA DO PONTO MÉDIO PARA INTEGRAIS DUPLAS 
h
R
h f (x, y) dA � ∑m
i�1 
∑
n
j�1
f (–xi, 
–yj) Δ A 
onde –xi é o ponto médio de [xi�1, xi] e
–yj é o ponto médio de [yj�1, yj]. 
EXEMPLO 3 Use a Regra do Ponto Médio com m � n � 2 para estimar o valor da integral
hhR (x � 3y2) dA, onde R � {(x, y)� 0 � x � 2, 1 � y � 2}. 
SOLUÇÃO Usando a Regra do Ponto Médio com m � n � 2, calcularemos f (x, y) � x � 3y2
no centro dos quatro sub-retângulos mostrados na Figura 10. Então, temos –x1 � 21–,
–x2 �3
2–, 
–y1 � 54– e
–y2 � 74–. A área de cada sub-retângulo é Δ A � 21–. Logo,
h
R
h(x � 3y2) dA � ∑2
i�1 
∑
2
j�1
f (–xi, 
–yj) Δ A
� f (–x1, 
–y1) Δ A 	 f (
–x1, 
–y2) Δ A 	 f (
–x2, 
–y1) Δ A 	 f (
–x2, 
–y2) Δ A
� f ( 21–, 54–) Δ A 	 f ( 21–, 74–) Δ A 	 f ( 32–, 54–) Δ A 	 f ( 32–, 74–) Δ A 
� (� 6716–– ) 21– 	 (� 13916––) 21– 	 (� 5116–– ) 21– 	 (�12316––) 21–
� � 
95
8–– � �11,875
Portanto, temos h
R
h(x � 3y2) dA � �11,875
Na próxima seção desenvolveremos um processo eficiente para calcular inte-
grais duplas e veremos que o valor exato da integral dupla do Exemplo 3 é –12. (Lem-
bre-se de que a interpretação da integral dupla como volume só é válida quando a função
f é uma função positiva. O integrando no Exemplo 3 não é uma função positiva, dessa
forma, a integral dupla não é um volume. Nos Exemplos 2 e 3 na Seção 15.2, discutire-
mos como interpretar integrais de uma função que não é sempre positiva em termos de
volumes.) Se continuarmos dividindo cada sub-retângulo da Figura 10 em quatro meno-
res, todos com a mesma forma, e calcularmos a aproximação pela Regra do Ponto Médio,
obteremos os resultados que estão apresentados na tabela ao lado. Observe como esses
valores estão se aproximando do valor exato da integral dupla, �12. 
VALOR MÉDIO 
Na Seção 6.5 do Volume I, mostramos que o valor médio de uma função f de uma variá-
vel definida em um intervalo [a, b] é 
fmed � hba f (x) dx 
De modo semelhante, definimos o valor médio de uma função f de duas variáveis em um
retângulo R contido em seu domínio como 
fmed � h
R
h f (x, y) dA 
onde A(R) é a área de R. 
1
A(R)
1
b � a
OBS.
Número de Aproximações
sub-retângulos pela Regra do 
Ponto Médio 
1 �11,5000 
4 �11,8750 
16 �11,9687 
64 �11,9922 
256 �11,9980 
1,024 �11,9995 
0
y
1
2
x1 2
3
2
(2,�2)
R12 R22
R11 R21
FIGURA 10 
910M||||MCÁLCULO
Se f (x, y) � 0, a equação 
A(R) � fmed � h
R
h f (x, y) dA 
diz que a caixa com base R e altura fmed tem o mesmo volume que o sólido sob o gráfico
de f. [Se z � f (x, y) descreve uma região montanhosa e você corta os topos dos morros na
altura fmed, então pode usá-los para encher os vales de forma a tornar a região completa-
mente plana. Veja a Figura 11.] 
EXEMPLO 4 O mapa de contorno na Figura 12 mostra a precipitação de neve, em pole-
gadas, no estado do Colorado em 20 e 21 de dezembro de 2006 (O estado tem a forma
de um retângulo que mede 388 milhas de oeste a leste e 276 milhas do sul ao norte). Use
o mapa de contorno para estimar a queda de neve média em todo o estado do Colorado
naqueles dias.
SOLUÇÃO Vamos colocar a origem no canto sudoeste do estado. Então, 0 � x � 388, 
0 � y � 276, e f (x, y) é a queda de neve, em polegadas, no local x milhas para leste e 
y milhas para norte da origem. Se R é o retângulo que representa o estado do Colorado,
então a precipitação média de neve no Colorado em 20 e 21 de dezembro foi 
fmed � h
R
h f (x, y) dA 
onde A(R) � 388 � 276 . Para estimar o valor dessa integral dupla, vamos usar a Regra do
Ponto Médio com m � n � 4. Em outras palavras, dividimos R em 16 sub-retângulos de
tamanhos iguais, como na Figura 13. A área de cada sub-retângulo é 
ΔA � 116– (388)(276) � 6.693 mi2 
1
A(R)
12
12
8
0 4 8 12
16
12
16
16
20
20
24
24
24
28
28
28
32
32
32
36
36
40
40
44
FIGURA 11 
FIGURA 12 
INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M911
Usando o mapa de contorno para estimar o valor de f no ponto central de cada sub-re-
tângulo, obtemos 
h
R
h f (x, y) dA � ∑4
i�1 
∑
4
j�1
f (–xi, 
–yj) Δ A
� Δ A[0 	 15 	 8 	 7 	 2 	 25 	 18,5 	 11 
	 4,5 	 28 	 17 	 13,5 	 12 	 15 	 17,5 	 13]
� (6.693)(207)
Portanto, fmed � � 12,9
Em 20 e 21 de dezembro de 2006, o Colorado recebeu uma média de aproximadamente
13 polegadas de neve.
PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS 
Listaremos aqui três propriedades das integrais duplas que podem ser demonstradas como
na Seção 5.2, no Volume I. Admitiremos que todas as integrais existam. As Propriedades
7 e 8 são conhecidas como linearidade da integral. 
h
R
h[ f (x, y) 	 t(x, y)] dA � h
R
h f (x, y) dA 	 h
R
h t(x, y) dA 
h
R
hcf (x, y) dA � c h
R
h f (x, y) dAMMMonde c é uma constante. 
Se f (x, y) � t(x, y) para todo (x, y) em R, então 
h
R
h f (x, y) dA � h
R
h t(x, y) dA 9
8
7
(6.693)(207)
(388)(276)
12
12
8
0
4 8 12
16
12
16
16
20
20
24
24
24
28
28
28
32
32
32
36
36
40
40
44
276
3880
y
xFIGURA 13 
� Integrais duplas se comportam
assim porque as somas duplas 
que as definem se comportam
dessa forma.
912M||||MCÁLCULO
1. (a) Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície 
z � xy e acima do retângulo 
R � {(x, y)�0 � x � 6, 0 � y � 4
Utilize a soma de Riemann com m � 3, n � 2 e tome como
ponto amostral o canto superior direito de cada sub-retângulo. 
(b) Use a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do só-
lido da parte (a). 
2. Se R � [�1, 3] � [0, 2], use a soma de Riemann com m � 4, 
n � 2 para estimar o valor de hhR (y2 � 2x2) dA. Tome os pontos
amostrais como os cantos inferiores esquerdos dos sub-retângulos. 
3. (a) Use uma soma de Riemann com m � n � 2 para estimar o
valor de hhR sen(x 	 y) dA, onde R � [0, p] � [0, p]. Tome
como pontos amostrais os cantos inferiores esquerdos. 
(b) Use a Regra do Ponto Médio para dar uma estimativa da in-
tegral do item (a). 
4. (a) Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície 
z � x 	 2y2 e acima do retângulo R � [0, 2] � [0, 4]. Use a
soma de Riemann com m � n � 2 e escolha os pontos amos-
trais como os cantos inferiores direitos. 
(b)Use a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do item (a). 
5. É dada a tabela de valores de uma função f (x, y) definida em 
R � [1, 3] � [0, 4]. 
(a) Estime hhR f (x, y) dA utilizando a Regra do Ponto Médio
com m � n � 2. 
(b) Estime a integral dupla com m � n � 4, escolhendo como
pontos amostrais os pontos mais distantes da origem. 
6. Uma piscina de 8 por 12 metros está cheia de água. A profundi-
dade é medida em intervalos de 2 metros, começando em um
canto da piscina, e os valores foram registrados na tabela. Estime
o volume de água na piscina.
0 2 4 6 8 10 12
0 1 1,5 2 2,4 2,8 3 3
2 1 1,5 2 2,8 3 3,6 3
4 1 1,8 2.7 3 3,6 4 3,2
6 1 1,5 2 2,3 2,7 3 2,5
8 1 1 1 1 1,5 2 2
7. Seja V o volume do sólido que está abaixo do gráfico de 
f (x, y) � √–––––52 � x2 �–––––y2 e acima do retângulo dado por 2 � x � 4,
2 � y � 6. Usamos as retas x � 3 e y � 4 para dividir R em sub-
-retângulos. Sejam L e U as somas de Riemann calculadas uti-
lizando como pontos amostrais os cantos inferiores esquerdos
e os cantos superiores direitos, respectivamente. Sem calcular
os números V, L e U, coloque-os em ordem crescente de valor
e explique seu raciocínio. 
8. A figura mostra curvas de nível da função f no quadrado 
R � [0, 2] � [0, 2]. Use a Regra do Ponto Médio com m � n � 2
para estimar hhR f (x, y) dA. Como você melhoraria sua estimativa?
9. A figura mostra o mapa de contorno de f no quadrado 
R � [0, 4] � [0, 4]. 
(a) Use a Regra do Ponto Médio com m � n � 2 para estimar o
valor de hhR f (x, y) dA. 
(b) Estime o valor médio de f. 
10. O mapa de contorno mostra a temperatura, em graus Fahrenheit,
às 4 horas da tarde do dia 26 de fevereiro de 2007, no estado do
Colorado. (O estado mede 388 mi de leste a oeste e 276 mi de
norte a sul.) Utilize a Regra do Ponto Médio com m � n � 4 para
estimar a temperatura média do Colorado nessa hora. 
y
0
2
4
2 4 x
10
10
10 20
20
30
300 0
y
0 1 2 x
5 6 7
1
2
1
2
3
4
2
3
4
5
7
0
1
3
5
8
�3
�4
0
3
6
�6
�8
�5
�1
3
�5
�6
�8
�4
0
x
y 0 1 2 3 4
1,0
1,5
2,0
2,5
3.0
EXERCÍCIOS 15.1
INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M913
11-13 Calcule a integral dupla, identificando-a antes com o volume
de um sólido. 
11. hhR 3 dA, MMR � {(x, y)� �2 � x � 2, 1 � y � 6}
12. hhR (5 � x) dA,MMR � {(x, y)� 0 � x � 5, 0 � y � 3}
13. hhR (4 � 2y) dA,MMR � [0, 1] � [0, 1]
14. A integral hhR √–––––9 � y2 dA, onde R � [0, 4] � [0, 2], representa
o volume de um sólido. Esboce o sólido. 
15. Utilize uma calculadora programável ou computador (ou o co-
mando de soma de um SCA) para estimar 
h
R
h √–––––1 � xe�y–– dA 
onde R � [0, 1] � [0, 1]. Utilize a Regra do Ponto Médio com
os seguintes números de quadrados de tamanhos iguais: 1, 4, 16,
64, 256 e 1.024. 
16. Repita o Exercício 15 para a integral hhR sen(x 	 √–y ) dA. 
17. Se f é uma função constante, f (x, y) � k, e R � [a, b] � [c, d],
mostre que hhR k dA � k(b � a)(d � c). 
18. Use o resultado do Exercício 17 para mostrar que
0 � h
R
h sen px cos py dA � 
onde R � [0, 14–] � [ 14–, 12–]. 
1
32
16
16
20
28
20
24
24
28
24
32
28
32
32 36
40
44
44
44
40
3632
48
48
5256
52
56
44
INTEGRAIS ITERADAS 
Lembremos que geralmente é difícil calcular as integrais de funções de uma variável real
diretamente da definição de integral, mas que o Teorema Fundamental do Cálculo for-
nece um método mais fácil para calculá-las. O cálculo de integrais duplas pela defini-
ção é ainda mais complicado, porém, nesta seção, veremos como expressar uma integral
dupla como uma integral iterada, cujo valor pode ser obtido calculando-se duas inte-
grais unidimensionais. 
Suponha que f seja uma função de duas variáveis contínua no retângulo R � [a, b] �
[c, d]. Usaremos a notação hcd f (x, y) dy significando que x é mantido fixo e f (x, y) é inte-
grada em relação a y de y � c até y � d. Esse procedimento é chamado integração par-
cial em relação a y. (Observe a semelhança com a derivada parcial.) Como hcd f (x, y) dy é
um número que depende do valor de x, ele define uma função de x: 
A(x) � hdc f (x, y) dy 
Se agora integrarmos a função A com relação à variável x de x � a a x � b, obteremos 
hba A(x) dx � hba [hdc f (x, y) dy]dx 
A integral do lado direito da Equação 1 é chamada integral iterada. Em geral, os col-
chetes são omitidos. Então, 
hba hdc f (x, y) dy dx � hba [hdc f (x, y) dy]dx
significa que primeiro integramos com relação a y de c a d e depois em relação a x de 
a até b. 
2
1
15.2
914M||||MCÁLCULO
Da mesma forma, a integral iterada 
hdc hba f (x, y) dx dy � hdc [hba f (x, y) dx]dy
significa que primeiro integramos com relação a x (fixando y) de x � a a x � b e em se-
guida integramos a função de y resultante com relação a y de y � c a y � d. Observe que
em ambas as Equações, 2 e 3, trabalhamos de dentro para fora. 
EXEMPLO 1 Calcule o valor das integrais iteradas
(a) h03 h12 x2y dy dx (b) h12 h03 x2 y dx dy 
SOLUÇÃO
(a) Olhando x como constante, obtemos 
h12 x2y dy � [x2 ]y�2y�1 � x2( ) � x2( ) � 32– x2
Portanto, a função A da discussão precedente é dada por A(x) � 32– x2 neste exemplo. In-
tegramos agora essa função de x de 0 até 3: 
h03 h12 x2y dy dx � h03[h12 x2 y dy]dx 
� h03 32– x2 dx � ]30 � 
(b) Aqui integraremos primeiro em relação a x: 
h12 h03 x2 y dx dy � h12 [h03 x2 y dx]dy � h12 [ y]x�3x�0 dy 
� h12 9y dy � 9 ]21 � 
Observe que no Exemplo 1 obtemos a mesma resposta se integramos primeiro em re-
lação a y ou a x. Em geral acontece (ver o Teorema 4) de as duas integrais iteradas das
Equações 2 e 3 serem sempre iguais, ou seja, a ordem da integração não é importante. (Isso
é semelhante ao Teorema de Clairaut sobre as igualdades das derivadas parciais mistas.) 
O seguinte teorema fornece um método prático para calcular uma integral dupla, ex-
pressando-a como uma integral iterada (em qualquer ordem). 
TEOREMA DE FUBINI Se f for contínua no retângulo 
R � {(x, y)� a � x � b, c � y � d}, então 
h
R
h f (x, y) dA � hba hdc f (x, y) dy dx � hdc hba f (x, y) dx dy 
De modo mais geral, esse resultado vale se supusermos que f seja limitada em R, f
tenha descontinuidades apenas em um número finito de curvas lisas e que a integral
iterada exista. 
A demonstração do Teorema de Fubini foge ao escopo deste livro, mas podemos ao
menos fornecer uma justificativa razoável de sua validade quando f (x, y) � 0. Lembre-
mos que, se f é positiva, podemos interpretar a integral dupla hhR f (x, y) dA como o volume
V do sólido que está acima de R e abaixo da superfície z � f (x, y). Contudo, temos outra
fórmula usada para calcular volume, vista no Capítulo 6, no Volume I, que é 
4
27
2
y2
2
x3
3
27
2
x3
2
12
2
22
2
y2
2
3
� O Teorema 4 tem o nome do
matemático italiano Guido Fubini 
(1879 -1943), que demonstrou uma versão
geral desse teorema em 1907. Mas a versão
para as funções contínuas era conhecida
pelo menos um século antes pelo
matemático francês Augustin-Louis Cauchy.
INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M915
V � hba A(x) dx 
onde A(x) é a área da secção transversal de S no plano que passa por x perpendicularmente
ao eixo x. Da Figura 1 podemos ver que A(x) é a área debaixo da curva C cuja equação é
z � f (x, y), onde x é mantido constante e c � y � d. Portanto, 
A(x) � hdc f (x, y) dy 
e temos 
h
R
h f (x, y) dA � V � hba A(x) dx � hba hdc f (x, y) dy dx 
Uma argumentação semelhante, usando a secção transversal perpendicular ao eixo y como
na Figura 2, mostra que 
h
R
h f (x, y) dA � hdc hba f (x, y) dx dy 
EXEMPLO 2 Calcule a integral dupla hhR (x � 3y2) dA, onde R � {(x, y)�0 � x � 2, 
1 � y � 2}. (Compare com o Exemplo 3 da Seção 15.1.) 
SOLUÇÃO 1 Pelo Teorema de Fubini, temos 
h
R
h (x � 3y2) dA � h02 h12 (x � 3y2) dy dx � h02 [xy � y3]y�2y�1 dx 
� h02 (x � 7) dx � � 7x]20 � �12 
SOLUÇÃO 2 Novamente, aplicando o Teorema de Fubini, mas dessa vez integrando com rela-
ção a x primeiro, temos 
h
R
h (x � 3y2) dA � h12h02 (x � 3y2) dx dy
� h
1
2 [ � 3xy2]x�2x�0 dy
�h12 (2 � 6y2) dy � 2y � 2y3]21 � �12
EXEMPLO 3 Calcule hhR y sen(xy), onde R � [1, 2] �[0, p]. 
SOLUÇÃO 1 Se integrarmos primeiro em relação a x, obteremos 
h
R
h y sen(xy) dA � h0p h12 y sen(xy) dx dy � h0p [�cos(xy)]x�2x�1 dy
� h0p (� cos 2y 	 cos y) dy
� �
1
2– sen 2y 	 sen y]p0 � 0
SOLUÇÃO 2 Se invertermos a ordem de integração, obteremos 
h
R
h y sen(xy) dA � h12h0p y sen(xy) dy dx
Para calcular a integral interna, usamos a integração por partes com 
u � y dv � sen(xy) dy 
du � dy v � � cos(xy)
x
x2
2
x2
2
� Para uma função f com valores positivos e
negativos, hhR f (x, y) dA é a diferença dos
volumes: V1 � V2, onde V1 é o volume acima
de R e abaixo do gráfico de f e V2 é o 
volume abaixo de R e acima do gráfico. O
fato de a integral do Exemplo 3 ser 0 
significa que os dois volumes V1 e V2 são
iguais (veja a Figura 4). 
a
x
0
z
x
b
y
A(x)
C
FIGURA 1
0 yc
x
z
y
d
FIGURA 2
� Observe a resposta negativa no 
Exemplo 2; não há nada errado com isso.
A função f no exemplo não é positiva, e a
integral não representa um volume. Da
Figura 3 vemos que, se f for sempre negativa
em R, o valor da integral é menos
o volume que está acima do gráfico 
de f e abaixo de R.
R0
�120 0,5 1 1,5 2 2
1 0
y
x
z
�4
�8 z = x�3y2
FIGURA 3
z�y�sen(xy)
1
0
�1
y1
0 32 2
1
x
z
FIGURA 4
916M||||MCÁLCULO
e então h0p y sen(xy) dy � � ]y�py�0 	 h0p cos(xy) dy
� � 	 [sen(xy) ]y�py�0
� � 	
Se agora integrarmos o primeiro termo por partes com u � �1/x e dv� p cos px dx, ob-
teremos du � dx/x2, v � sen px, e 
h(� ) dx � � � h dx 
Portanto, h(� 	 ) dx � �
e, assim, h12h0p y sen(xy) dy dx � [� ]21
� � 	 sen p� 0
EXEMPLO 4 Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide elíptico 
x2 	 2y2 	 z � 16, pelos planos x � 2 e y � 2 e pelos três planos coordenados. 
SOLUÇÃO Observemos primeiro que S é o sólido que está abaixo da superfície z �16 � x2 � 2y2
e acima do quadrado R � [0, 2] � [0, 2]. (Veja a Figura 5.) Esse sólido foi considerado no
Exemplo 1 da Seção 15.1, mas agora temos condições de calcular a integral dupla, usando
o Teorema de Fubini. Portanto, 
V � h
R
h (16 � x2 � 2y2) dA � h02h02 (16 � x2 � 2y2) dx dy 
� h02 [16x � 13– x3 � 2y2x]x�2x�0 dy
� h02 (883– � 4y2) dy � [883– y � 43–y3]20 � 48 
No caso especial em que f (x, y) pode ser fatorado como o produto de uma função só de
x por uma função só de y, a integral dupla de f pode ser escrita de forma particularmente sim-
ples. Para sermos específicos, suponha que f (x, y) � t(x)h(y) e R � [a, b] � [c, d]. Então,
o Teorema de Fubini nos dá 
h
R
h f (x, y) dA � hdc hba t(x)h(y) dx dy � hdc [hba t(x)h(y) dx] dy 
Na integral interna, y é uma constante, então h(y) é uma constante e podemos escrever 
hdc [hba t(x)h(y) dx] dy � hdc [h(y)(hba t(x) dx)]dy � hba t(x) dx hdc h(y) dy
já que hab t(x) dx é uma constante. Portanto, nesse caso, a integral dupla de f pode ser es-
crita como o produto de duas integrais unidimensionais: 
sen 2p
2
sen px
x
sen px
x
sen px
x2
p cos px
x
sen px
x2
sen px
x
p cos px
x
sen px
x2
p cos px
x
1
x2
p cos px
x
1
x
y cos(xy)
x
� No Exemplo 2, as soluções 1 e 2 são
igualmente simples, mas no Exemplo 3 a
primeira solução é muito mais simples que a
segunda. Portanto, ao calcular uma integral
dupla, é recomendável escolher a ordem de
integração que forneça integrais 
mais simples.
FIGURA 5 
0 1 2 2
1
0
y x
z
16
12
8
4
0
INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M917
h
R
h t(x)h(y) dA � hba t(x) dx hdc h(y) dyMMonde R � [a, b] � [c, d]
EXEMPLO 5 Se R � [0, p/2] � [0, p/2], então, pela Equação 5,
h
R
h sen x cos y dA � h0p/2 sen x dx h0p/2 cos y dy 
� [�cos x]0p/2[sen y]0p/2 � 1 � 1 � 1
y
x
z
0
5
� A função f (x, y) � sen x cos y do 
Exemplo 5 é positiva em R; assim, a integral
representa o volume do sólido que está
entre o gráfico de f e R, como mostrado 
na Figura 6.
FIGURA 6 
EXERCÍCIOS 15.2
1-2 Determine h05 f (x, y) dx e h01 f (x, y) dy.
1. f (x, y) � 12x2y3 2. f (x, y) � y 	 xey
3-14 Calcule a integral iterada. 
3. h3
1 
h1
0 
(1 	 4xy) dx dy 4. h4
2 
h1
�1 
(x2 	 y2) dy dx
5. h
0
p/2h
0
p/2 sen x cos y dy dx 6. hp/2
p/6 
h5
�1 
cos y dx dy 
7. h
0
2h
0
1 (2x 	 y)8 dx dy 8. h
0
1h2
1
dy dx
9. h4
1 
h2
1 ( 	 )dy dx 10. h01 h30 ex	3y dx dy
11. h1
0 
h1
0 
(u � v)5 du dv 12. h1
0 
h1
0 
xy √–––––x2 	 y2– dy dx
13. h
0
2 hp
0
r sen2u du dr 14. h1
0 
h1
0 
√––––s 	 t ds dt
15-22 Calcule a integral dupla. 
15. h
R
h (6x2y3 � 5y4) dA,MMR � {(x, y) � 0 � x � 3, 0 � y � 1}
16. h
R
h cos(x 	 2y) dA,MMR � {(x, y) � 0 � x � p, 0 � y � p/2}
17. h
R
h dA,MMR � {(x, y) � 0 � x � 1, �3 � y � 3}
18. h
R
h dA,MMR � {(x, y) � 0 � x � 1, 0 � y � 1} 
19. h
R
h x sen(x 	 y) dA,MMR � [0, p/6] � [0, p/3]
20. h
R
h dA,MMR � [0, 1] � [0, 1] 
21. h
R
h xyex2y dA,MMR � [0, 1] � [0, 2] 
22. h
R
h dA,MMR � [1, 2] � [0, 1] 
23-24 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. 
23. h1
0 
h1
0 
(4 � x � 2y) dx dy 24. h1
0 
h1
0 
(2 � x2 � y2) dy dx 
25. Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano
3x 	 2y 	 z � 12 e acima do retângulo 
R � {(x, y) � 0 � x � 1, �2 � y � 3}. 
26. Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide
hiperbólico z � 4 	 x2 � y2 e acima do quadrado
R � [�1, 1] � [0, 2]. 
27. Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide
elíptico x2/4 	 y2/9 	 z � 1 e acima do retângulo 
R � [�1, 1] � [�2, 2]. 
28. Determine o volume do sólido delimitado pela superfície 
z �1 	 ex sen y e pelos planos x � �1, y � 0, y � p e z � 0. 
29. Encontre o volume do sólido delimitado pela superfície z � x
sec2y e pelos planos z � 0, x � 0, x � 2, y � 0 e y � p/4. 
xy2
x2 	 1
1 	 x2
1 	 y2
x
x2 	 y2
x
1 	 xy
y
x
x
y
xex
y
918M||||MCÁLCULO
30. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo
cilindro z � 16 � x2 e pelo plano y � 5. 
31. Encontre o volume do sólido delimitado pelo paraboloide 
z � 2 	 x2 	 (y � 2)2 e pelos planos z � 1, x � 1, x � �1, 
y � 0 e y � 4. 
32. Desenhe o sólido que está entre a superfície z � 2xy/(x2 	 1) e
o plano z � x 	 2y e é limitado pelos planos x � 0, 
x � 2, y � 0 e y � 4. A seguir, determine seu volume.
33. Utilize um sistema de computação algébrica para determinar o
valor exato da integral hhR x5y3exy dA, onde R � [0, 1] � [0, 1].
Em seguida, use o SCA para desenhar o sólido cujo volume é
dado pela integral. 
34. Desenhe o sólido contido entre as superfícies
z � e�x2 cos(x2 	 y2) e z � 2 � x2 � y2 para �x� � 1, �y� � 1. Uti-
lize um sistema de computação algébrica para aproximar o vo-
lume desse sólido até a quarta casa decimal. 
35-36 Determine o valor médio de f sobre o retângulo dado. 
35. f (x, y) � x2 y,MMR tem vértices (�1, 0), (�1, 5), (1, 5), (1, 0) 
36. f (x, y) � ey √–––––x 	 ey,MMR � [0, 4] � [0, 1] 
37. Utilize seu SCA para calcular as integrais iteradas 
h1
0 
h1
0 
dy dxMMeMMh1
0 
h1
0 
dx dy 
Suas respostas contradizem o Teorema de Fubini? Explique o
que acontece. 
38. (a) Em que aspectos os teoremas de Fubini e Clairaut são 
semelhantes? 
(b) Se f (x, y) é contínua em [a, b] � [c, d] e 
t(x, y) � hx
a
hy
c
f (s, t) dt ds 
para a � x � b, c � y � d , mostre que txy � tyx � f (x, y). 
x � y
(x 	 y)3
x � y
(x 	 y)3
INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES GERAIS 
Para as integrais de funções de uma variável real, a região sobre a qual integramos é sem-
pre um intervalo. Porém, para integrais duplas, queremos integrar a função f não somente
sobre retângulos, como também sobre uma região D de forma mais geral, como a ilus-
trada na Figura 1. Vamos supor que D seja uma região limitada, o que significa que D está
contida em uma região retangular R como na Figura 2. Definimos então uma nova função
F, com domínio R, por 
F(x, y) � { f (x, y) se (x, y) está em D 0 se (x, y) está em R, mas não em D 
FIGURA 1 FIGURA 2 
Se F for integrável em R, então definimos a integral dupla de f em D por 
h
D
h f (x, y) dA � h
R
h F(x, y) dAMMMMonde F é dada pela Equação 1. 
A Definição 2 faz sentido porque R é um retângulo e, portanto, hhR F(x, y) dAjá foi de-
finida na Seção 15.1. O procedimento usado é razoável, pois os valores de F(x, y) são 0
2
0
y
x
D
y
0 x
D
R
1
15.3
y
0
z
x
D
gráfico de f
FIGURA 3
;
SCA
SCA
SCA
INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M919
Para calcular hhD f (x, y) dA quando D é do tipo I, escolhemos um retângulo 
R � [a, b] � [c, d] que contenha D, como na Figura 6, e consideramos a função F defi-
nida na Equação 1; ou seja, F coincide com f em D e F é 0 fora da região D. Então, pelo
Teorema de Fubini, 
h
D
h f (x, y) dA � h
R
h F(x, y) dA � hba hdc F(x, y) dy dx 
Observe que F(x, y) � 0 se y � t1(x) ou y 
 t2(x) porque (x, y) nessas condições está fora
da região D. Assim, 
hdc F(x, y) dy � ht2(x)t1(x) F(x, y) dy � ht2(x)t1(x) f (x, y) dy
porque F(x, y) � f (x, y) quando t1(x) � y � t2(x). Portanto, temos a seguinte fórmula, que
nos permite calcular a integral dupla como uma integral iterada. 
Se f é contínua em uma região D do tipo I tal que 
D � {(x, y)� a � x � b, t1(x) � y � t2(x)}
então h
D
h f (x, y) dA � hba ht2(x)t1(x) f (x, y) dy dx 
A integral do lado direito de (3) é uma integral iterada semelhante às consideradas na
seção anterior, exceto que na integral de dentro consideramos x constante não só em f (x, y),
mas também nos limites de integração t1(x) e t2(x). 
3
quando (x, y) está fora da região D e dessa forma não contribuem para o valor da integral.
Isso significa que não importa qual o retângulo R tomado, desde que contenha D. 
No caso em que f (x, y) � 0, podemos ainda interpretar hhD f (x, y) dA como o volume
do sólido que está acima de D e abaixo da superfície z � f (x, y) (o gráfico de f ). Você pode
constatar que isso é razoável comparando os gráficos de f e F nas Figuras 3 e 4 e lem-
brando que hhR F(x, y) dA é o volume abaixo do gráfico de F. 
A Figura 4 mostra também que F provavelmente tem descontinuidades nos pontos de
fronteira de D. Apesar disso, se f for contínua em D e se a curva fronteira de D for “com-
portada” (em um sentido que está fora do escopo deste livro), então pode ser mostrado que
hhR F(x, y) dA existe e, portanto, hhD f (x, y) dA existe. Em particular, esse é o caso para os
tipos de regiões listados a seguir. 
Uma região plana D é dita do tipo I se for a região entre o gráfico de duas funções con-
tínuas de x, ou seja, 
D � {(x, y)� a � x � b, t1(x) � y � t2(x)}
onde t1 e t2 são contínuas em [a, b]. Alguns exemplos de regiões do tipo I estão mostra-
dos na Figura 5. 
0
y
xba
D
y�t2(x)
y�t1(x)
0
y
xba
D
y�t2(x)
y�t1(x)
0
y
xba
D
y�t2(x)
y�t1(x)
FIGURA 5
Algumas regiões do tipo I
FIGURA 6 
y
0
z
x
D
gráfico de F
FIGURA 4
d
0 x
y
bxa
c
y�g1(x)
D
y�g2(x)
920M||||MCÁLCULO
Consideraremos também regiões planas do tipo II, que podem ser expressas como 
D � {(x, y)� c � y � d, h1(y) � x � h2(y)}
onde h1 e h2 são contínuas. Dois exemplos de região do tipo II estão ilustrados na Figura 7. 
Utilizando o mesmo método que usamos para estabelecer (3), podemos mostrar que 
h
D
h f (x, y) dA � hdc hh2(y)h1(y) f (x, y) dx dy 
onde D é uma região do tipo II dada pela Equação 4. 
EXEMPLO 1 Calcule hhD (x 	 2y) dA, onde D é a região limitada pelas parábolas y � 2x2
e y � 1 	 x2. 
SOLUÇÃO As parábolas se interceptam quando 2x2 � 1 	 x2, ou seja, x2 � 1, logo x � �1. Ob-
servamos que a região D, ilustrada na Figura 8, é uma região do tipo I, mas não do tipo II,
e podemos escrever que 
D � {(x, y)��1 � x � 1, 2x2 � y � 1 	 x2} 
Como a fronteira de baixo é y � 2x2 e a de cima é y � 1 	 x2, a Equação 3 leva a 
h
D
h (x 	 2y) dA � h1
�1 h2x21	x2 (x 	 2y) dy dx 
� h1
�1 [xy 	 y2]y�1	x2y�2x2 dx
� h1
�1 [x(1 	 x
2) 	 (1 	 x2)2 � x(2x2) � (2x2)2] dx 
� h1
�1 (�3x
4 
� x3 	 2x2 	 x 	 1) dx 
� �3 � 	 2 	 	 x]1
�1
� 
Quando escrevemos uma integral dupla como no Exemplo 1, é essencial dese-
nhar um diagrama. Frequentemente é útil desenhar uma seta vertical, como na Figura 8.
Assim, os limites de integração da integral de dentro podem ser lidos do diagrama desta
forma: a seta começa na fronteira de baixo y � t1(x), que fornece o extremo inferior da
integral, e termina na fronteira de cima y � t2(x), que dá o extremo superior de integra-
ção. Para uma região do tipo II, a seta é desenhada horizontalmente da fronteira esquerda
para a fronteira direita. 
EXEMPLO 2 Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z � x2 	 y2 e
acima da região D do plano xy limitada pela reta y � 2x e pela parábola y � x2. 
SOLUÇÃO 1 Da Figura 9 vemos que D é uma região do tipo I e 
D � {(x, y)� 0 � x � 2, x2 � y � 2x}
Portanto, o volume abaixo de z � x2 	 y2 e acima de D é 
V � h
D
h (x2 	 y2) dA �h02 hx22x (x2 	 y2) dy dx 
Obs.:
x5
5
x4
4
x3
3
x2
2
32
15
5
4
FIGURA 7 
d
0 x
y
c
x�h1(y)
x�h1(y)
D x�h2(y)
x�h2(y)
d
0 x
y
c
D
FIGURA 8 
x1�1
y
(�1,�2) (1,�2)
D
y�2x2
y�1	x2
FIGURA 9
D como uma região do tipo I
y
0 x1 2
(2,�4)
D
y�x2
y�2x
INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M921
� h02 [x2y 	 ]y�2xy�x2dx � h02 [x2(2x) 	 � x2x2 � ]dx 
� h02 (� � x4 	 ) dx � � � 	 ]20� 
SOLUÇÃO 2 Da Figura 10, vemos que D pode ser descrita como uma região do tipo II, 
D � {(x, y)� 0 � y � 4, 12–y � x � √–y}
Logo, outra expressão para V é 
V � h
D
h (x2 	 y2) dA �h04 h12– y
√–y (x2 	 y2) dx dy 
�h04 [ 	 y2x]x�√–yx�12– y dy � h04( 	 y5/2 � � )dy
� 
2
15– y5/2 	 27–y7/2 � 1396–y4]40 � 21635––
EXEMPLO 3 Calcule hhD xy dA, onde D é a região limitada pela reta y � x � 1 e pela pa-
rábola y2 � 2x 	 6. 
SOLUÇÃO A região D está representada na Figura 12. Novamente, D pode ser vista tanto como
uma região do tipo I como uma região do tipo II, mas a descrição de D como região do tipo
I é mais complicada, porque a fronteira inferior é constituída de duas partes. Portanto pre-
ferimos expressar D como uma região do tipo II: 
D � {(x, y)� �2 � y � 4, 12–y2 � 3 � x � y 	 1} 
Assim, (5) fornece 
h
D
h xy dA � h4
�2 hy	112– y2�3 xy dx dy � h
4
�2 [ y]x�y	1x�12– y2�3 dy 
� 
1
2– h4�2 y[(y 	 1)2 � ( 12–y2 � 3)2]dy 
� 
1
2– h4�2 (� 	 4y3 	 2y2 � 8y)dy
� [� 	 y4 	 2 � 4y2]4
�2
� 36
y5
4
1
2
y6
24
y3
3
x2
2
(5,�4)
0
y
x�3
y�x�1
(�1,��2)
(a) D como região do tipo I (b) D como região do tipo II
x ��������3y
2
2
(5,�4)
x�y	1
(�1,��2)
0
y
x
�2
x3
3
y3/2
3
y3
24
y3
2
x6
3
14x3
3
x7
21
x5
5
7x4
6
216
35
y3
3
(2x)3
3
(x2)3
3
� A Figura 11 mostra o sólido cujo volume
é calculado no Exemplo 2. Ele está acima do
plano xy, abaixo do paraboloide z � x2 	 y2,
e entre o plano y � 2x e o cilindro
parabólico y � x2 . 
FIGURA 12
FIGURA 10
D como uma região do tipo II
x�√y
1
2x� y
y
4
0 x
D
(2,�4)
–
FIGURA 11
yx
z
z�x2	y2
y�2x
y�x2
922M||||MCÁLCULO
Se tivéssemos expressado D como uma região do tipo I usando a Figura 12(a), obteríamos 
h
D
h xy dA � h�1
�3 h√
–––––2x	6
�√–––––2x	6 xy dy dx 	 h5�1 hx�1√
–––––2x	6 xy dy dx 
mas isso daria muito mais trabalho que o outro método. 
EXEMPLO 4 Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x 	 2y 	 z � 2, 
x � 2y, x � 0 e z � 0. 
SOLUÇÃO Em uma questão como essa, é prudente desenhar dois diagramas: um do sólido tri-
dimensional e outro da região plana D sobre a qual o sólido se encontra. A Figura 13 mos-
tra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x � 0, z � 0, pelo plano vertical 
x � 2y e pelo plano x 	 2y 	 z � 2. Como x 	 2y 	 z � 2 intercepta o plano xy (cuja
equação é z � 0) na reta x 	 2y � 2, vemos que T está acima da região triangular D no
plano xy limitado pelas retas x � 2y, x 	 2y � 2 e x � 0. (Veja a Figura 14.) 
O plano x 	 2y 	 z � 2 pode ser escrito como z � 2 � x � 2y, de modo que o vo-
lume pedido está sob o gráfico da função z � 2 � x � 2y e acima de
D � {(x, y)� 0 � x � 1, x/2 � y � 1 � x/2}
Portanto, 
V � h
D
h (2 � x � 2y) dA � h10 hx/21�x/2 (2 � x � 2y) dy dx
� h10 [2y � xy � y2)]y�x/2y�1�x/2 dx
� h10 [2 � x � x(1 � ) � (1 � ) � x 	 	 ] dx
� h10 (x2 � 2x 	 1)dx � � x2 	 x]10 � 
EXEMPLO 5 Calcule a integral iterada h01 hx1 sen(y2) dy dx.SOLUÇÃO Se tentarmos calcular a integral na forma pela qual ela se apresenta, teremos ini-
cialmente de resolver o problema de calcular h sen(y2) dy. Mas isso é impossível de fazer
em termos finitos, uma vez que h sen(y2) dy não é uma função elementar (veja o final da
Seção 7.5, no Volume I). Precisamos então mudar a ordem de integração, o que pode ser
conseguido escrevendo-se inicialmente a integral iterada dada como uma integral dupla.
Usando (3) na ordem inversa, temos 
h10 h1x sen(y2) dy dx � h
D
h sen(y2) dA 
onde D � {(x, y)� 0 � x � 1, x � y � 1} 
Esboçamos essa região D na Figura 15. Então, da Figura 16, vemos que um modo alter-
nativo de descrever D é 
D � {(x, y)� 0 � y � 1, 0 � x � y} 
Isso nos permite usar (5) para exprimir a integral dupla como uma integral iterada na
ordem reversa: 
h10 h1x sen(y2) dy dx � h
D
h sen(y2) dA 
� h10 hy0 sen(y2) dx dy � h10 [x sen(y2)]x�0x�y dy 
� h10 y sen(y2) dy � � 12– cos(y2)]10
� 
1
2– (1 � cos 1)
1
3
x3
3
x2
4
x2
2
x
2
x
2
 y�x/2
(1,�� )12D
y
0
1
x1
(0,�1,�0)
(0,�0,�2)
y
x
0
z
x	2y	z�2x�2y
(1,� ,�0)12
T
(ou y�1�x/2)��
x	2y�2
FIGURA 13
FIGURA 14
1 x0
y
D
y�1
y�x
x0
y
1
Dx�0
x�y
FIGURA 15
FIGURA 16
INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M923
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DUPLA 
Suponha que todas as seguintes integrais existam. As primeiras três propriedades das in-
tegrais duplas sobre uma região D seguem imediatamente da Definição 2 e das Proprie-
dades 7, 8 e 9 da Seção 15.1. 
h
D
h [ f (x, y) 	 t(x, y)] dA �h
D
h f (x, y) dA 	 h
D
h t(x, y) dA 
h
D
h cf (x, y) dA � c h
D
h f (x, y) dA 
Se f (x, y) � t(x, y) para todo (x, y) em D, então 
h
D
h f (x, y) dA � h
D
h t(x, y) dA 
A próxima propriedade de integral dupla é semelhante à propriedade de integral de uma
função de uma variável real, dada pela equação hab f (x) dx � hac f (x) dx 	 hcb f (x) dx. 
Se D � D1 � D2, onde D1 e D2 não se sobrepõem exceto talvez nas fronteiras (veja a
Figura 17), então 
h
D
h f (x, y) dA � h
D1
h f (x, y) dA 	 h
D2
h f (x, y) dA 
A Propriedade 9 pode ser usada para calcular integrais duplas sobre regiões D que
não sejam nem do tipo I nem do tipo II. A Figura 18 ilustra esse processo (veja os Exer-
cícios 51 e 52). 
A próxima propriedade de integrais diz que, se integrarmos a função constante 
f (x, y) � 1 sobre uma região D, obteremos a área de D: 
h
D
h 1 dA � A(D)
A Figura 19 ilustra por que a Equação 10 é verdadeira: um cilindro sólido, cuja base é D
e altura 1, tem volume A(D) � 1 � A(D), mas sabemos que também podemos escrever seu
volume como hhD 1 dA. 
Finalmente, podemos combinar as Propriedades 7, 8 e 10 para demonstrar a seguinte
propriedade (veja o Exercício 57): 
10
x0
y
D
x0
y
D1
D2
(a) D não é do tipo I nem do tipo II (b) D � D1�D2, D1 é do tipo I, D2 é do tipo II
9
8
7
6
FIGURA 18
FIGURA 17
0
y
x
D
D1 D2
FIGURA 19
Cilindro com base D e altura 1
D y
0
z
x
z�1
924M||||MCÁLCULO
Se m � f (x, y) � M para todo (x, y) em D, então
mA(D) � h
D
h f (x, y) dA � MA(D)
EXEMPLO 6 Utilize a Propriedade 11 para estimar a integral hhD esen x cos y dA, onde D é o
disco com centro na origem e raio 2. 
SOLUÇÃO Como �1 � sen x � 1 e �1 � cos y � 1, temos �1 � sen x cos y � 1 e, portanto, 
e�1 � esen x cos y � e1 � e
Assim, usando m � e�1 � 1/e, M � e, e A(D) � p(2)2 na Propriedade 11, obtemos
� h
D
h esen x cos y dA � 4pe
11
4p
e
1-6 Calcule as integrais iteradas. 
1. h1
0 
h
0
x2 (x 	 2y) dy dx 2. h2
1 
h
y
2 xy dx dy
3. h1
0 
h
x2
x (1 	 2y) dy dx 4. h2
0 
h
y
2y xy dx dy 
5. h
0
p/2h
0
cos u esen u dr du 6. h1
0 
h
0
v √–––––1 � v2– du dv
7-18 Calcule a integral dupla. 
7. h
D
hx3y2 dA,MMD � {(x, y)� 0 � x � 2, �x � y � x}
8. h
D
h dA,MMD � {(x, y)� 1 � x � 2, 0 � y � 2x} 
9. h
D
h x dA,MMD � {(x, y)� 0 � x � p, 0 � y � sen x}
10. h
D
h x3 dA, MMD � {(x, y)� 1 � x � e, 0 � y � ln x} 
11. h
D
h y2exy dA, MMD � {(x, y)� 0 � y � 4, 0 � x � y} 
12. h
D
h x √–––––y2 � x2– dA, MMD � {(x, y)� 0 � y � 1, 0 � x � y} 
13. h
D
h x cos y dA,MMD é limitada por y � 0, y � x2, x � 1 
14. h
D
h (x 	 y) dA,MMD é limitada por y � √–x, y � x 2 
15. h
D
h y3 dA, 
D é a região triangular com vértices (0, 2), (1, 1) e (3, 2) 
16. h
D
h xy2 dA,MMD é limitada por x � 0 e x � √–––––1 � y2–
17. h
D
h (2x � y) dA, 
D é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2 
18. h
D
h 2xy dA,MM
D é a região triangular com vértices (0, 0), (1, 2) e (0, 3) 
19-28 Determine o volume do sólido dado. 
19. Abaixo do paraboloide z � x2	y2 e acima da região delimitada
por y � x2 e x � y2 
20. Abaixo do paraboloide z � 3x2 	 y2 e acima da região delimitada
por y � x e x � y2 � y 
21. Abaixo da superfície z � xy e acima do triângulo com vértices
(1, 1), (4, 1) e (1, 2) 
22. Delimitado pelo paraboloide z � x2 	 3y2 e pelos planos x � 0,
y � 1, y � x, z � 0 
23. Limitada pelos planos coordenados e pelo plano
3x 	 2y 	 z � 6
24. Limitado pelos planos z� x, y � x, x 	 y � 2 e z � 0 
25. Delimitado pelos cilindros z � x2, y � x2 e pelos planos z � 0,
y � 4 
26. Limitado pelo cilindro y2 	 z2 � 4 e pelos planos x �2y, x � 0,
z � 0 no primeiro octante 
27. Limitado pelo cilindro x2 	 y2 � 1 e pelos planos y � z, x � 0,
z � 0 no primeiro octante 
28. Limitado pelos cilindros x2 	 y2 � r2 e y2 	 z2 � r2 
29. Utilize uma calculadora gráfica ou um computador para estimar
a coordenada x dos pontos de intersecção da curva y � x4 e 
y � 3x � x2. Se D é a região limitada por essas curvas, estime 
hhD x dA. 
4y
x3 	 2
EXERCÍCIOS 15.3
;
INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M925
30. Determine o volume aproximado do sólido no primeiro octante
que é limitado pelos planos y � x, z � 0 e z � x e pelo cilindro
y � cos x. (Utilize uma ferramenta gráfica para estimar os pon-
tos de intersecção.) 
31-32 Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes. 
31. O sólido delimitado pelos cilindros parabólicos y � 1 � x2, 
y � x2 � 1 e pelos planos x 	 y 	 z � 2, 2x 	 2y � z 	10 � 0 
32. O sólido delimitado pelo paraboloide cilíndrico y � x2 e pelos
planos z � 3y, z � 2 	 y 
33-34 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
33. h1
0 
h
0
1�x (1 � x � y) dy dx 34. h1
0 
h
0
1�x2 (1 � x) dy dx 
35-38 Use um sistema de computação algébrica para determinar o
volume exato do sólido. 
35. Abaixo da superfície z � x3y4 	 xy2 e acima da região limitada
pelas curvas y � x3 � x e y � x2 	 x para x � 0 
36. Entre os paraboloides z � 2x2 	 y2 e z � 8 � x2 � 2y2 e dentro
do cilindro x2 	 y2 � 1 
37. Delimitado por z � 1 � x2 � y2 e z � 0 
38. Delimitado por z � x2 	 y2 e z � 2y 
39-44 Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. 
39. h4
0 
h
0
√–x f (x, y) dy dx 40. h1
0 
h4
4x
f (x, y) dy dx 
41. h3
0 
h√––––9�y2
�√––––9�y2 f (x, y) dx dy 42. h30 h0√
––––9�y f (x, y) dx dy
43. h2
1 
h
0
ln x f (x, y) dy dx 44. h1
0 
hp/4
arctg x
f (x, y) dy dx 
45-50 Calcule a integral trocando a ordem de integração. 
45. h1
0 
h3
3y
ex2 dx dy 46. h
0
√–ph
y
√–p cos(x2) dx dy
47. h4
0 
h2
√–x
dy dx 48. h1
0 
h1
x
ex/y dy dx
49. h1
0 
hp/2
arcsen y 
cos x √–––––1 	 cos2x––– dx dy
50. h8
0 
h23√–y ex4 dx dy
51-52 Expresse D como a união de regiões do tipo I ou do tipo II e
calcule a integral. 
51. h
D
h x2 dA 52. h
D
h y dA 
53-54 Utilize a Propriedade 11 para estimar o valor da integral. 
53. h
Q
h e�(x2	y2)2 dA,MMQ é o quarto de círculo com centro na origem
e raio 12– no primeiro quadrante
54. h
T
h sen4(x 	 y) dA,MMT é o triângulo delimitado pelas retas
y � 0, y � 2x e x � 1 
55-56 Encontre o valor médio de f na região D. 
55. f (x, y) � xy, D é o triângulo com vértices (0, 0), (1, 0) e 
(1, 3) 
56. f (x, y) � x sen y, D é delimitado pelas curvas y � 0, y � x2 e 
x � 1 
57. Demonstre a Propriedade 11. 
58. No cálculo de uma integral dupla sobre uma região D, obtivemos
uma soma de integrais iteradas como a que segue: 
h
D
h f (x, y) dA � h1
0 
h
0
2y f (x, y) dx dy 	 h3
1 
h
0
3�y f (x, y) dx dy 
Esboce a região D e expresse a integral duplacomo uma integral
iterada com ordem de integração contrária. 
59. Calcule hhD (x2 tg x 	 y3 	 4) dA, onde D � {(x, y)�x2 	 y2 � 2}.
[Sugestão: explore o fato de que D é simétrica com relação a
ambos os eixos.] 
60. Utilize simetria para calcular hhD (2 � 3x 	 4y) dA, onde D é a
região limitada pelo quadrado com vértices (�5, 0) e (0, �5). 
61. Calcule hhD√–––––1 � x2 � y2–––––dA, onde D é o disco x2 	 y2 � 1, iden-
tificando primeiro a integral com o volume de um sólido. 
62. Desenhe o sólido limitado pelo plano x 	 y 	 z � 1 e pelo para-
boloide z � 4 � x2 � y2 e determine seu volume exato. (Utilize seu
SCA para fazer esse desenho, para achar as equações das frontei-
ras da região de integração e para calcular a integral dupla.) 
0
�1
1
�1
x�y�y3
y�(x	1)2
y
x0
�1
1
�1
y
x1
(1, 1)
D
0
1
y3 	 1
;
SCA
SCA
926M||||MCÁLCULO
INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES 
Suponha que queiramos calcular a integral dupla hhR f (x, y) dA, onde R é uma das regiões
mostradas na Figura 1. Em qualquer dos casos, a descrição de R é complicada em coorde-
nadas retangulares, mas a descrição de R fica mais fácil utilizando-se coordenadas polares. 
Lembre-se, a partir da Figura 2, de que as coordenadas polares (r, u) de um ponto estão
relacionadas com as coordenadas retangulares (x, y) pelas equações 
r2 � x2 	 y2MMMx � r cos uMMMy � r sen u
(Veja a Seção 10.3.) 
As regiões da Figura 1 são casos especiais de um retângulo polar 
R � {(r, u)� a � r � b, a� u � b}
que é apresentado na Figura 3. Para calcular a integral dupla hhR f (x, y) dA, onde R é um
retângulo polar, dividimos o intervalo [a, b] em m subintervalos [ri�1, ri] de larguras iguais
Δr � (b � a)/m e dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos [uj�1, uj] de larguras
iguais Δu� (b� a)/n. Então os círculos r � ri e os raios u� uj dividem o retângulo polar
R nos retângulos polares menores mostrados na Figura 4. 
FIGURA 3 Retângulo polar FIGURA 4 Divisão de R em sub-retângulos polares 
O “centro” dos sub-retângulo polar 
Rij � {(r, u)� ri�1 � r � ri, uj�1 � u� uj}
tem coordenadas polares 
ri* � 12– (ri�1 	 ri)MMMMuj* � 12– (uj�1 	 uj)
r�ri�1
O
b
a
r�a u�a
u�b
r�b
R
u
u�uj
(ri*,�uj*)
r�ri
Rij
O
u�uj�1
x0
y
R
x2	y2�1
(a) R�{(r,�u) � 0�r�1, 0�u�2p}
x0
y
R
x2	y2�4
x2	y2�1
(b) R�{(r,�u) | 1�r�2, 0�u�p}
15.4
FIGURA 1
FIGURA 2 
O
y
x
u
x
yr
P(r,�u )�P(x,�y)
INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M927
Calculamos a área de Rij usando o fato de a área de um setor de círculo de raio r e ângulo
central u ser 12– r2u. Subtraindo as áreas de dois desses setores, cada um deles com ângu-
lo central Δu � uj � uj�1, descobrimos que a área de Rij é
ΔAi � 12– ri2Δu � 12– r2i�1 Δu � 12–(ri2 � r2i�1)Δu
�
1
2– (ri 	 ri�1)(ri � ri�1)Δu � ri* ΔrΔu
Apesar de termos definido a integral dupla hhR f (x, y) dA em termos de retângulos con-
vencionais, podemos mostrar que, para as funções contínuas f, obtemos a mesma resposta
usando retângulos polares. As coordenadas retangulares do centro Rij são (ri* cos uj*, 
ri* sen uj*), portanto uma soma de Riemann típica é 
∑
m
i�1
∑
n
j�1
f (ri* cos uj*, ri* sen uj*) ΔAi � ∑
m
i�1
∑
n
j�1
f (ri* cos uj*, ri* sen uj*) ri* ΔrΔu
Se escrevermos t(r, u) � rf (r cos u, r sen u), então a soma de Riemann na Equação 1 pode
ser reescrita como 
∑
m
i�1
∑
n
j�1
t(ri*, uj*)ΔrΔu
que é a soma de Riemann para a integral dupla 
hb
a
hba t(r, u) dr du
Portanto, temos 
h
D
h f (x, y) dA � lim
m,n m∞
∑
m
i�1
∑
n
j�1
f (ri* cos uj*, ri* sen uj*) ΔAi
� lim
m,n m∞
∑
m
i�1
∑
n
j�1
t(ri*, uj*)ΔrΔu � hba hba t(r, u) dr du
� hb
a
hba f (r cos u, r sen u) r dr du
MUDANÇA PARA COORDENADAS POLARES EM UMA INTEGRAL DUPLA Se f é contínua
no retângulo polar R dado por 0 � a � r � b, a� u� b, onde 0 � b� a� 2p, então 
h
R
h f (x, y) dA � hb
a
hba f (r cos u, r sen u) r dr du
A fórmula em (2) diz que convertemos coordenadas retangulares para coordenadas po-
lares em uma integral dupla escrevendo x � r cos u e y � r sen u, usando os limites de in-
tegração adequados para r e u e substituindo dA por r dr du. Cuidado para não esquecer o
fator adicional r no lado direito da Fórmula 2. Um método clássico para se lembrar disso
está na Figura 5, onde podemos pensar nos retângulos polares “infinitesimais” como re-
tângulos convencionais com dimensões r du e dr e, portanto, com “área” dA � r dr du. 
2
1
928M||||MCÁLCULO
EXEMPLO 1 Calcule hhR (3x 	 4y2) dA, onde R é a região no semiplano superior limitada
pelos círculos x2 	 y2 � 1 e x2 	 y2 � 4. 
SOLUÇÃO A região R pode ser descrita como 
R � {(x, y)� y � 0, 1 � x2 	 y2 � 4} 
É a metade do anel mostrado na Figura 1(b), e em coordenadas polares é dado por 
1 � r � 2, 0 � u � p. Portanto, da Fórmula 2, segue 
h
R
h (3x 	 4y2) dA � hp0 h21 (3r cos u 	 4r2 sen2u) r dr du
� hp0 h21 (3r2 cos u 	 4r3 sen2u) dr du
� hp0 [r3 cos u 	 r4 sen2u]r�1r�2 du � hp0 (7 cos u 	 15 sen2u) du
� hp0 [7 cos u 	 152– (1 � cos 2u)] du
� 7 sen u 	 � sen 2u]p0 �
EXEMPLO 2 Determine o volume do sólido limitado pelo plano z � 0 e pelo paraboloide
z � 1 � x2 � y2. 
SOLUÇÃO Se tomarmos z � 0 na equação do paraboloide, obteremos x2 	 y2 � 1. Isso significa
que o plano intercepta o paraboloide no círculo x2 	 y2 � 1 e o sólido está abaixo do para-
boloide e acima do disco circular D dado por x2 	 y2 � 1 [veja as Figuras 6 e 1(a)]. Em coor-
denadas polares, D é dado por 0 � r � 1, 0 � u � 2p. Como 1 � x2 � y2 � 1 � r2, o
volume é 
V � h
D
h (1 � x2 � y2) dA � h02p h01 (1 � r2) r dr du
� h02p du h01 (r � r3) dr � 2p [ � ]10 � 
Se trabalhássemos com coordenadas retangulares em vez de coordenadas polares, 
obteríamos 
V � h
D
h (1 � x2 � y2) dA � h1
�1 h√
–––––1 � x2
�√–––––1 � x2 (1 � x2 � y2) dy dx
o que não é fácil de calcular, pois envolve determinar h(1 � x2)3/2 dx. 
O que fizemos até aqui pode ser estendido para tipos de região mais complicados,
como o mostrado na Figura 7. Isso é semelhante à região com coordenadas retangulares
do tipo II vista na Seção 15.3. De fato, combinando a Fórmula 2 desta seção com a Fór-
mula 15.3.5, obtemos o seguinte: 
O
du
r�du
dr
dA
r
p
2
r4
4
r2
2
15p
2
15
4
15u
2
FIGURA 5 
� Aqui usamos a identidade trigonométrica 
sen2u � 12–(1 � cos2u)
Veja a Seção 7.2, noVolume I, para 
informações sobre a integração de 
funções trigonométricas.
FIGURA 6 
0
D
y
(0,�0,�1)
x
z
0
y
x1 2
D
(x�1)2	y2�1
 (ou �r�2� cos�u)
y
x
z
INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M929
Se f é contínua em uma região polar da forma 
D � {(r, u)� a� u � b, h1(u) � r � h2(u)}
então h
D
h f (x, y) dA � hb
a
hh2(u)h1(u) f (r cos u, r sen u) r dr du
Em particular, tomando f (x, y) � 1, h1(u) � 0 e h2(u) � h(u) nessa fórmula, vemos que a
área da região D limitada por u � a, u� b e r � h(u) é 
A(D) � h
D
h 1 dA � hb
a
h0h(u) r dr du
� hb
a [ ]0h(u) du � hba 12–[h(u)]2 du
que coincide com a Fórmula 10.4.3. 
EXEMPLO 3 Use a integral dupla para determinar a área contida em um laço da rosácea de
quatro pétalas r � cos 2u. 
SOLUÇÃO Do esboço da curva na Figura 8, vemos que um laço da rosácea de quatro pétalas
corresponde à região 
D � {(r, u)� �p/4 � u � p/4, 0 � r � cos 2u}
Sua área é 
A(D) � h
D
h dA � hp/4
�p/4 h0cos 2u r dr du
� hp/4
�p/4 [ 12–r2]0cos 2u du � 12– hp/4�p/4 cos22u du
�
1
4– hp/4�p/4 (1 	 cos 4u) du � 14– [u 	 14– sen 4u]p/4�p/4�
EXEMPLO 4 Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z � x2 	 y2, acima
do plano xy e dentro do cilindro x2 	 y2 � 2x. 
SOLUÇÃO O sólido está acima do disco D cuja fronteira tem equação x2 	 y2 � 2x ou, após
completar os quadrados, 
(x � 1)2 	 y2 � 1 
(veja as Figuras 9 e 10). Em coordenadas polares, temos x2 	 y2 � r2 e x � r cos u, assim,
a fronteira circular fica r2 � 2r cos u, ou r � 2 cos u. Portanto, o disco D é dado por
D � {(r, u)� �p/2 � u � p/2, 0 � r � 2 cos u}
e, da Fórmula 3, vem 
V � h
D
h (x2 	 y2) dA � hp/2
�p/2 h02 cos u r2 r dr du � hp/2�p/2 [ ]02 cos u du
� 4 hp/2
�p/2 cos4u du � 8 h0p/2 cos4u du � 8 h0p/2 ( )2 du
� 2 h0p/2 [1 	 2 cos 2u 	 12–(1 	 cos 4u)] du� 2 [32– u 	 sen 2u 	 18– sen 4u]0p/2� 2 ( )( ) � 3
2 p
2 3p
2
1 	 cos 2u
2
r4
4
p
8
r2
2
3
FIGURA 7 
D � {(r, u)� a� u � b, h1(u) � r � h2(u)}
O
b
a
r�h1(u)
u�a
u�b
r�h2(u)
D
FIGURA 8 
u�
p
4
u��
p
4
FIGURA 9 
FIGURA 10
930M||||MCÁLCULO
1-4 Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar
coordenadas polares ou retangulares e escreva hhR f (x, y) dA
como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contí-
nua em R. 
1. 2.
3. 4.
5-6 Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a 
5. h
p
2ph
4
7 r dr du 6. h
0
p/2h
0
4 cos u r dr du
7-14 Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. 
7. hhD xy dA, onde D é o disco com centro na origem e raio 3
8. hhR (x 	 y) dA, onde R é a região que está à esquerda do eixo y
e entre as circunferências x2 	 y2 � 1 e x2 	 y2 � 4 
9. hhR cos(x2 	 y2) dA, onde R é a região acima do eixo x e dentro
da circunferência x2 	 y2 � 9 
10. hhR √–––––4 � x2 � y2–––– dA, onde R � {(x, y)� x2 	 y2 � 4, x � 0} 
11. hhD e�x2�y2 dA, onde D é a região delimitada pelo semicírculo 
x � √–––––4 � y2 e o eixo y 
12. hhR yex dA, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo
círculo x2 	 y2 � 25 
13. hhR arctg (y/x) dA, onde R � {(x, y)�1 � x2 	 y2 � 4, 0 � y � x}
14. hhD x dA, onde D é a região do primeiro quadrante compreendida
entre os círculos x2 	 y2 � 4 e x2 	 y2 � 2x 
15-18 Utilize a integral dupla para determinar a área da região. 
15. Um laço da rosácea r � cos 3u
16. A região delimitada pela curva r � 4 	 3 cos u
17. A região interior a ambos os círculos r � cos u e r � sen u
18. A região dentro do círculos r � 1 	 cos u e fora do círculo 
r � 3 cos u
19-27 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do só-
lido dado. 
19. Abaixo do cone z � √–––––x2 	 y2– e acima do disco x2 	 y2 � 4
20. Abaixo do paraboloide z � 18 � 2x2 � 2y2 e acima do plano xy
21. Delimitado pelo hiperboloide �x2 � y2 	 z2 � 1 e pelo plano 
z � 2 
22. Dentro da esfera x2 	 y2 	 z2 � 16 e fora do cilindro 
x2 	 y2 � 4 
23. Uma esfera de raio a 
24. Limitado pelo paraboloide z � 1 	 2x2 	 2y2 e pelo plano 
z � 7 no primeiro octante
25. Acima do cone z � √–––––x2 	 y2– e abaixo da esfera x2 	 y2 	 z2 � 1
26. Limitada pelos paraboloides z � 3x2 	 3y2 e z � 4 � x2 � y2
27. Dentro do cilindro x2 	 y2 � 4 e do elipsoide 
4x2 	 4y2 	 z2 � 64
28. (a) Uma broca cilíndrica de raio r1 é usada para fazer um furo
que passa pelo centro de uma esfera de raio r2. Determine o
volume do sólido em formato de anel resultante. 
(b) Expresse o volume da parte (a) em termos da altura h do
anel. Observe que o volume depende somente de h e não de
r1 ou r2. 
29-32 Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordena-
das polares. 
29. h3
�3 
h
0
√–––––9 � x2 sen(x2 	 y2) dy dx 30. ha
0 
h0
�√–––––a2 � y2–
x2y dx dy 
31. h1
0 
h
y
√–––––2 � y2 (x 	 y) dx dy 32. h2
0 
h
0
√–––––2x � x2– √–––––x2 	 y2– dy dx
33. Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundi-
dade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce
linearmente de 1 metro na extremidade sul para dois metros na
extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.
34. Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular
de 50 m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de e�r
metros por hora a uma distância de r metros do pulverizador.
(a) Se 0 � R � 100, qual a quantidade total de água fornecida
por hora para a região dentro do círculo de raio R centrada 
no pulverizador?
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água
por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do
círculo de raio R.
0
y
x
6
3
0
y
x�1 1
1
0
y
x�1 1
1 y�1�x2
0 4
4
y
x
EXERCÍCIOS 15.4
INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M931
35. Utilize coordenadas polares para combinar a soma 
h1
1/√–2 
hx
√–––––1 � x2
xy dy dx 	 h
1
√–2hx
0
xy dy dx 	 h2
√–2 
h
0
√–––––4 � x2 xy dy dx
em uma única integral dupla. Em seguida calcule essa inte-
gral dupla. 
36. (a) Definimos a integral imprópria (sobre todo o plano �2) 
I � h
�2
h e�(x2	y2) dA � h∞
�∞
h∞
�∞
e�(x2	y2) dy dx
� lim
am∞ 
h
Da
h e�(x2	y2) dA
onde Da é o disco com raio a e centro na origem. Mostre que 
h∞
�∞
h∞
�∞
e�(x2	y2) dA � p
(b) Uma definição equivalente da integral imprópria da par-
te (a) é 
h
�2
h e�(x2	y2) dA � lim
am∞ 
h
Sa
h e�(x2	y2) dA
onde Sa é o quadrado com vértices (�a, �a). Use esse re-
sultado para mostrar que 
h∞
�∞
e�x2dx h∞
�∞
e�y2dy � p
(c) Deduza que 
h∞
�∞
e�x2dx � √–p
(d) Fazendo a mudança de variável t � √–2 x, mostre que 
h∞
�∞
e�x2/2dx � √–––2p
(Esse é um resultado fundamental em probabilidade e 
estatística.) 
37. Utilize o resultado do Exercício 36, parte (c), para calcular as
seguintes integrais: 
(a) h∞
0
x2e�x2 dx (b) h∞
0
√–x e�x dx
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DUPLAS 
Já vimos uma aplicação da integral dupla: o cálculo de volumes. Outra aplicação geométrica
importante é a determinação de áreas de superfícies, o que será feito na Seção 16.6. Nesta
seção, vamos explorar as aplicações físicas, tais como cálculo de massa, carga elétrica, cen-
tro de massa e momento de inércia. Veremos que essas ideias físicas também são importan-
tes quando aplicadas a funções densidade de probabilidade de duas variáveis aleatórias. 
DENSIDADE E MASSA 
Na Seção 8.3, no Volume I, calculamos momentos e centro de massa de placas finas ou
lâminas de densidade constante, usando as integrais unidimensionais. Agora, com auxí-
lio das integrais duplas, temos condições de considerar as lâminas com densidade variá-
vel. Suponha que uma lâmina ocupe uma região D do plano xy e que sua densidade (em
unidades de massa por unidade de área) no ponto (x, y) em D é dada por r(x, y), onde r
é uma função contínua em D. Isso significa que 
r(x, y) � lim 
onde Δm e ΔA são a massa e a área de um pequeno retângulo que contém (x, y) e toma-
mos o limite quando as dimensões do retângulo se aproximam de 0 (veja a Figura 1). 
Para determinar a massa total m da lâmina, dividimos o retângulo R contendo D em
sub-retângulos Rij, todos do mesmo tamanho (como na Figura 2), e consideramos 
r(x, y) como 0 fora de D. Se escolhermos um ponto (x*ij, y*ij) em Rij, então a massa da parte
da lâmina que ocupa Rij é aproximadamente r(x*ij, y*ij)ΔA, onde ΔA é a área de Rij. Se so-
marmos todas essas massas, obteremos uma aproximação do valor da massa total: 
m � ∑
k
i�1
∑
l
j�1
r(x*ij, y*ij)ΔA
Δm
ΔA
15.5
FIGURA 1 
0 x
y
D
(x,�y)
FIGURA 2 
Rijy
0 x
(xij,�yij)* *
932M||||MCÁLCULO
Aumentando o número de sub-retângulos, obtemos a massa total m da lâmina como o
valor-limite dessa aproximação: 
m � lim
k,lm∞
∑
k
i�1
∑
l
j�1
r(x*ij, y*ij)ΔA � h
D
h r(x, y) dA
Físicos consideram ainda outros tipos de densidade que podem ser tratados da mesma
maneira. Por exemplo: se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região D e a den-
sidade de carga (em unidades de carga por unidade de área) é dada por s(x, y) em um
ponto (x, y) em D, então a carga total Q é dada por 
Q � h
D
h s(x, y) dA 
EXEMPLO 1 Uma carga está distribuída na região triangular D da Figura 3 de modo que a
densidade de carga em (x, y) é s(x, y) � xy, medida em coulombs por metro quadrado
(C/m2). Determine a carga total. 
SOLUÇÃO Da Equação 2 e da Figura 3, temos 
Q � h
D
h s(x, y) dA � h01 h11�x xy dy dx
� h01 [x ]y�1y�1�xdx � h01 [12 � (1 � x)2] dx
�
1
2– h01 (2x2 � x3) dx � [ � ]10 � 
Logo, a carga total é 524– C. 
MOMENTOS E CENTRO DE MASSA 
Na Seção 8.3, do Volume I, determinamos o centro de massa de uma lâmina de densi-
dade constante; aqui, consideraremos uma lâmina de densidade variável. Suponha que
a lâmina ocupe uma região D e que tenha r(x, y) como função densidade. Lembre-se de
que no Capítulo 8, no Volume I, definimos o momento de uma partícula em relação a um
eixo como o produto de sua massa pela distância (perpendicular) ao eixo. Dividimos D
em retângulos pequenos, como na Figura 2. Então a massa de Rij é aproximadamente
r(x*ij, y*ij)ΔA e podemosaproximar o momento de Rij com relação ao eixo x por 
[r(x*ij, y*ij)ΔA] y*ij
Se somarmos essas quantidades e tomarmos o limite quando o número de sub-retângulos
cresce indefinidamente, obteremos o momento da lâmina inteira em relação ao eixo x: 
Mx � limm,nm∞ ∑
m
i�1
∑
n
j�1
y*ij r(x*ij, y*ij) ΔA � h
D
h y r(x, y) dA
Da mesma forma, o momento em relação ao eixo y é:
My � limm,nm∞ ∑
m
i�1
∑
n
j�1
x*ij r(x*ij, y*ij) ΔA � h
D
h x r(x, y) dA4
3
5
24
x4
4
2x3
3
1
2
x
2
y2
2
2
1
FIGURA 3 
1
y
0 x
(1,�1)y�1
y�1�x
D
INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M933
Como anteriormente, definimos o centro de massa (x–, y–) de modo que mx– � My e my– � Mx.
O significado físico disso é que a lâmina se comporta como se toda sua massa estivesse con-
centrada em seu centro de massa. Assim, a lâmina permanece horizontal quando equili-
brada em seu centro de massa (veja a Figura 4). 
As coordenadas (x–, y–) do centro de massa de uma lâmina ocupando a região D
e tendo função densidade r(x, y) são
x– � � h
D
h x r(x, y) dAMMMMy– � � h
D
h y r(x, y) dA
onde a massa m é dada por
m � h
D
h r(x, y) dA
EXEMPLO 2 Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vérti-
ces (0, 0), (1, 0) e (0, 2), se a função densidade é r(x, y) � 1 	 3x 	 y. 
SOLUÇÃO O triângulo está mostrado na Figura 5. (Observe que a equação da fronteira supe-
rior é y � 2 � 2x.) A massa da lâmina é 
m � h
D
h r(x, y) dA � h01 h02�2x (1 	 3x 	 y) dy dx
� h01 [y 	 3xy 	 ]y�0y�2�2x dx � 4 h01 (1 � x2) dx � 4[x � ]01� 
Então, as fórmulas em (5) fornecem 
x– � h
D
h x r(x, y) dA � 38– h01 h02�2x (x 	 3x2 	 xy) dy dx
� h01 [xy 	 3x2y 	 x ]y�0y�2�2x dx � 32– h01 (x � x3) dx
� [ � ]01�
y– � h
D
h x r(x, y) dA � 38– h01 h02�2x (y 	 3xy 	 y2) dy dx
� h01 [ 	 3x 	 ]y�0y�2�2x dx � 14– h01 (7 � 9x � 3x2 	 5x3) dx
� [7x � 9 � x3 	 5 ]01�
O centro de massa é o ponto (38–, 1116–).
EXEMPLO 3 A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é proporcional à
distância ao centro do círculo. Determine o centro de massa da lâmina. 
11
16
x4
4
x2
2
1
4
y3
3
y2
2
y2
2
3
8
1
m
3
8
x4
4
x2
2
3
2
y2
2
3
8
1
m
8
3
x3
3
y2
2
1
m
Mx
m
1
m
My
m
5
FIGURA 4 
D
(x,�y)
FIGURA 5
0
y
x(1,�0)
(0,�2)
y�2�2x
(���,�����)38 1116
D
934M||||MCÁLCULO
SOLUÇÃO Vamos posicionar a lâmina na metade superior do círculo x2 	 y2 � a2 (veja a 
Figura 6). Então a distância do ponto (x, y) ao centro do círculo (origem) é √–––––x2 	 y2–. Por-
tanto, a função densidade é 
r(x, y) � K√–––––x2 	 y2–
onde K é alguma constante. Tanto a função densidade como o formato da lâmina sugerem a
conversão para coordenadas polares. Então √–––––x2 	 y2–� r e a região D é dada por 0 � r � a,
0 � u� p. Logo, a massa da lâmina é
m � h
D
h r(x, y) dA � h
D
h K√–––––x2 	 y2– dA � h0p h0a (Kr) r dr du
� K h0p du h0a r2 dr � Kp ]0a � 
Tanto a lâmina como a função densidade são simétricas com relação ao eixo y e, assim, o
centro de massa precisa estar sobre o eixo y, ou seja, x– � 0. A coordenada y é dada por 
y– � h
D
h x r(x, y) dA � h0p h0a r sen u (Kr) r dr du
� h0p sen u du h0a r3 dr � [�cos u]0p [ ]0a
� � 
Portanto, o centro de massa está localizado no ponto (0, 3a/(2p)).
MOMENTO DE INÉRCIA 
O momento de inércia (também chamado segundo momento) de uma partícula de massa
m em relação a um eixo é definido como mr2, onde r é a distância da partícula ao eixo. Es-
tendemos o conceito a uma lâmina com função densidade r(x, y) e que ocupa uma região
D pelo mesmo processo que fizemos para os momentos normais. Dividimos D em pe-
quenos retângulos, aproximamos o momento de inércia de cada sub-retângulo em relação
ao eixo x e tomamos o limite da soma quando o número de sub-retângulos aumenta inde-
finidamente. O resultado é o momento de inércia da lâmina em relação ao eixo x: 
Ix � limm, nm∞ ∑
m
i�1
∑
n
j�1
(y*ij )2 r(x*ij, y*ij) ΔA � h
D
h y2 r(x, y) dA
Da mesma forma, o momento de inércia em relação ao eixo y é: 
Iy � limm, nm∞ ∑
m
i�1
∑
n
j�1
(x*ij )2 r(x*ij, y*ij) ΔA � h
D
h x2 r(x, y) dA
É de interesse, ainda, considerar o momento de inércia em relação à origem, também
chamado momento polar de inércia: 
I0 � limm, nm∞ ∑
m
i�1
∑
n
j�1
[(x*ij )2	 (y*ij )2] r(x*ij, y*ij) ΔA � h
D
h (x2 	 y2)r(x, y) dA
Observe que I0 � Ix 	 Iy. 
8
7
6
3a
2p
2a4
4
3
pa3
r4
4
3
pa3
3
pa3
3
Kpa3
1
m
Kpa3
3
r3
3
� Compare a localização do centro de
massa no Exemplo 3 com o Exemplo 4 na
Seção 8.3, no Volume I, onde encontramos
que o centro de massa da lâmina com o
mesmo formato, mas com densidade 
uniforme, está localizado no 
ponto (0, 4a/(3p)).
FIGURA 6
0
y
xa�a
a
D
x2	y2�a2
(0,������)3a2p
INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M935
EXEMPLO 4 Determine os momentos de inércia Ix, Iy e I0 do disco homogêneo D com den-
sidade r(x, y) � r, centro na origem e raio a. 
SOLUÇÃO A fronteira de D é o círculo x2 	 y2 � a2, que em coordenadas polares é descrito por
0 � u � 2p, 0 � r � a. Vamos calcular I0 primeiro: 
I0 � h
D
h (x2 	 y2)r dA � r h02p h0a r2 r dr du
� r h02p du h0a r3 dr � 2pr [ ]0a � 
Em vez de calcular Ix e Iy diretamente, vamos usar o fato de que Ix 	 Iy � I0 e Ix � Iy (da
simetria do problema). Portanto 
Ix � Iy � � 
No Exemplo 4, observe que a massa do disco é
m � densidade � área � r(pa2)
de modo que o momento de inércia do disco em torno da origem (como uma roda em
torno de seu eixo) pode ser escrito como 
I0 � � 
1
2–(rpa2)a2 � 12– ma2
Portanto, se aumentarmos a massa ou o raio do disco, aumentaremos o momento de inér-
cia. Em geral, o momento de inércia tem um papel em um movimento de rotação seme-
lhante ao que a massa tem em um movimento linear. O momento de inércia de uma roda
é o que torna difícil começar ou parar a rotação da roda, assim como a massa do carro di-
ficulta seu movimento inicial e a frenagem. 
O raio de giração de uma lâmina em relação a um eixo é o número R tal que 
mR2 � I 
onde m é a massa da lâmina e I é o momento de inércia em relação ao eixo dado. A Equa-
ção 9 nos diz que, se a massa da lâmina estiver concentrada a uma distância R do eixo,
então o momento de inércia dessa “massa pontual” seria o mesmo que o momento de inér-
cia da lâmina. 
Em particular, o raio de giração y� em relação ao eixo x e o raio de giração x� em rela-
ção ao eixo y têm as equações 
my�2 � IxMMMMmx
�2 
� Iy
Então (x�, y�) é o ponto no qual podemos concentrar a massa da lâmina sem modificar os
momentos de inércia em relação aos eixos coordenados resultantes. (Observe a analogia
com o centro de massa.) 
EXEMPLO 5 Determine o raio de giração em torno do eixo x do disco do Exemplo 4. 
SOLUÇÃO Como observado, a massa do disco é m � rpa2, e da Equação 10 temos
y�2 � � � 
Portanto, o raio de giração em relação ao eixo x é y� � 12–a, que é metade do raio do disco. 
a2
4
1
4–pra4
rpa2
Ix
m
10
9
pra4
2
pra4
4
I0
2
pra4
2
r4
4
936M||||MCÁLCULO
PROBABILIDADE 
Na Seção 8.5, consideramos a função densidade de probabilidade f de uma variável alea-
tória contínua X. Isso significa que f (x) � 0 para todo x, h∞
�∞ f (x) dx � 1 e a probabilidade
de que X esteja entre a e b é determinada integrando-se f de a até b: 
P(a � X � b) � hba f (x) dx 
Consideremos agora um par de variáveis aleatórias X e Y como o tempo de vida de
dois componentes de uma máquina ou a altura e o peso de uma mulher adulta escolhida
ao acaso. A função densidade conjunta de X e Y é uma função f de duas variáveis tais que
a probabilidade de que (X, Y) esteja em uma região D seja 
P((X, Y) � D) � h
D
h f (x, y) dA 
Em particular, se a região for um retângulo, a probabilidade de que X esteja entre a e b e
de que Y esteja entre c e d é 
P(a � X � b, c � Y � d) � hba hdc f (x, y) dy dx 
(Veja a Figura 7.) 
Como probabilidades não podem ser negativas e são medidas na escala de 0 a 1, a fun-
ção densidade conjunta tem as seguintes propriedades: 
f (x, y) � 0MMMMh
�2
hf (x, y) dA � 1 
Comono Exercício 36 da Seção 15.4, a integral dupla sobre �2 é uma integral imprópria,
definida como o limite da integral dupla sobre os círculos ou retângulos que se expandem,
e podemos escrever 
h
�2
hf (x, y) dA � h∞
�∞
h∞
�∞
f (x, y) dx dy � 1 
EXEMPLO 6 Se a função densidade conjunta de X e Y for dada por 
f (x, y) � { C(x 	 2y) se 0 � x � 10, 0 � y � 10 0 caso contrário 
determine o valor da constante C. Em seguida, calcule P(X � 7, Y � 2). 
SOLUÇÃO Determinamos o valor de C garantindo que a integral dupla de f seja igual a 1. Como
f (x, y) � 0 está fora do retângulo [0, 10] � [0, 10], temos 
c
D
z�f(x,�y)
d
yx
z
a
b
FIGURA 7
A probabilidade de que X esteja
entre a e b e de que Y esteja entre c
e d é o volume do sólido acima do
retângulo D � [a, b] � [c, d] e
abaixo do gráfico da função
densidade conjunta
INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M937
h∞
�∞
h∞
�∞
f (x, y) dy dx � h
0
10h
0
10 C(x 	 2y) dy dx � C h
0
10 [xy 	 y2]y�0y�10 dx 
� C h
0
10 (10x 	 100) dx � 1.500C 
Portanto, 1500C � 1, e então C � 11.500––.
Agora, podemos calcular a probabilidade de X ser no máximo 7 e de Y ser no mínimo 2: 
P(X � 7, Y � 2) � h7
�∞
h∞
2
f (x, y) dy dx � h
0
7h
2
10 1
1.500–– (x 	 2y) dy dx 
�
1
1.500–– h07[xy 	 y2]y�2y�10 dx � 11.500–– h07 (8x 	 96)dx 
�
868
1.500–– � 0,5787
Suponha que X seja uma variável aleatória com função densidade de probabilidade
f1(x) e Y seja uma variável aleatória com função densidade f2(y). Então, X e Y são ditas va-
riáveis aleatórias independentes se a função densidade conjunta for o produto das fun-
ções densidade individuais: 
f (x, y) � f1(x) f2(y)
Na Seção 8.5, no Volume I, modelamos o tempo de espera utilizando a função densi-
dade exponencial 
f (t) � { 0 se t � 0m�1e�t/m se t � 0 
onde m é o tempo médio de espera. No próximo exemplo consideraremos a situação com
dois tempos de espera independentes. 
EXEMPLO 7 O gerente de um cinema determina que o tempo médio de espera na fila para
as pessoas comprarem entrada para o filme da semana seja de dez minutos e que o tempo
médio que levam para comprar pipoca seja de cinco minutos. Supondo que os tempos de
espera sejam independentes, determine a probabilidade de um espectador esperar menos
de 20 minutos até se dirigir a seu assento. 
SOLUÇÃO Supondo que os tempos de espera X para comprar a entrada e Y para comprar pipoca
possam ser modelados por funções densidade de probabilidade exponencial, podemos es-
crever as funções densidade individuais como 
f1(x) � { 0 se x � 0 f2(y) � {0 se y � 01
10– e�x/10 se x � 0 15– e�y/51 se y � 0 
Como X e Y são independentes, a função densidade conjunta é o produto: 
f (x, y) � f1(x)f2(y) � { 150– e�x/10e�y/5 se x � 0, y � 0 0 caso contrário 
Foi pedida também a probabilidade de X 	 Y � 20: 
P(X 	 Y � 20) � P((X, Y) � D)
onde D é a região triangular mostrada na Figura 8. Então, 
P(X 	 Y � 20) � h
D
h f (x, y) dA � h
0
20 h
0
20�x 1
50– e�x/10e�y/5 dy dx
� 
1
50– h020 [e�x/10(�5)e�y/5]y�0y�20�x dx
� 
1
10– h020 e�x/10(1 � e(x�20)/5) dx
20
20
D
0
y
x
x	y�20
FIGURA 8
938M||||MCÁLCULO
� 
1
10– h020 (e�x/10 � e�4ex/10) dx
� 1 	 e�4 � 2e�2 � 0,7476 
Isso significa que cerca de 75% dos espectadores esperam menos que 20 minutos antes de
tomar seus assentos. 
VALOR ESPERADO 
Lembre-se da Seção 8.5, no Volume I, que, se X é uma variável aleatória com função den-
sidade de probabilidade f, então sua média é 
m � h∞
�∞
x f (x) dx 
Se X e Y são variáveis aleatórias com função densidade conjunta f, definimos a média X
e a média Y, também chamadas valores esperados de X e Y, como 
m1 � h
�2
hx f (x, y)dAMMMMm2 � h
�2
hy f (x, y)dA
Observe como são parecidas as expressões de m1 e m2 em (11) com os momentos Mx e
My de uma lâmina com função densidade r nas Equações 3 e 4. De fato, podemos pen-
sar na probabilidade como uma massa continuamente distribuída. Calculamos probabi-
lidade da mesma maneira que calculamos massa: integrando a função densidade. E, como
a “massa de probabilidade” total é 1, as expressões de x– e y– em (5) mostram que pode-
mos pensar que os valores esperados de X e Y, m1 e m2, são as coordenadas do “centro
de massa” da distribuição de probabilidade. 
No próximo exemplo trabalharemos com distribuições normais. Como na Seção 8.5,
no Volume I, uma única variável aleatória tem distribuição normal se sua função densi-
dade de probabilidade é da forma 
f (x) � e�(x�m)2/(2s2)
onde m é sua média e s é seu desvio-padrão. 
EXEMPLO 8 Uma fábrica produz rolamentos (de forma cilíndrica) que são vendidos como
tendo 4,0 cm de diâmetro e 6,0 cm de comprimento. Na verdade, o diâmetro X tem dis-
tribuição normal com média 4,0 cm e desvio-padrão 0,01 cm, enquanto o comprimento 
Y tem distribuição normal com média 6,0 cm e desvio-padrão 0,01 cm. Supondo que X 
e Y sejam independentes, escreva a função densidade conjunta e faça seu gráfico. Deter-
mine a probabilidade de um rolamento escolhido aleatoriamente da linha de produção ter
comprimento ou diâmetro que difiram dos valores médios em mais que 0,02 cm. 
SOLUÇÃO Temos que X e Y têm distribuições normais com m1 � 4,0, m2 � 6,0 e s1 � s2 �
0,01. As funções densidade individuais para X e Y são 
f1(x) � e�(x�4)
2/0,0002MMMMf2(y) � e�(y�6)
2/0,0002
Como X e Y são independentes, a função densidade conjunta é o produto: 
f (x, y) � f1(x) f2(y) � e�(x�4)
2/0,0002e�(y�6)2/0,0002
� e�5.000[(x�4)2	(y�6)2]
O gráfico dessa função é mostrado na Figura 9. 
5.000
p
1
0,0002p
1
0,01√–––2p
1
0,01√–––2p
1
s√–––2p
11
1.500
1.000
500
0
y
6,05
6
5,95
x
4,05
4
3,95
FIGURA 9
Gráfico da função densidade normal 
conjunta em duas variáveis do Exemplo 8
INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M939
Vamos inicialmente calcular a probabilidade de ambos, X e Y, diferirem de seus valo-
res médios por menos de 0,02 cm. Usando uma calculadora ou computador para estimar
a integral, temos 
P(3,98 � X � 4,02, 5,98 � Y � 6,02) � h
3,98
4,02 h
5,98
6,02 f (x, y) dy dx 
� h
3,98
4,02 h
5,98
6,02 e�5.000[(x�4)2	(y�6)2] dy dx 
� 0,91
Então, a probabilidade de X ou Y diferir de seu valor médio em 0,02 cm ou mais é 
de aproximadamente 
1 � 0,91 � 0,09
5.000
p
1. Uma carga elétrica é distribuída sobre o retângulo 1 � x � 3, 
0 � y � 2, de modo que a densidade de carga em (x, y) é 
s(x, y) � 2xy 	 y2 (medida em coulombs por metro quadrado).
Determine a carga total no retângulo. 
2. Uma carga elétrica é distribuída sobre um disco x2 	 y2 � 4 de
modo que a densidade de carga em (x, y) é s(x, y) � x 	 y 	
x2 	 y2 (medida em coulombs por metro quadrado). Determine
a carga total no disco. 
3-10 Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a
região D e tem função densidade r. 
3. D � {(x, y)�0 � x � 2, �1 � y � 1};MMr(x, y) � xy2
4. D � {(x, y)�0 � x � a, 0 � y � b};MMr(x, y) � cxy 
5. D é uma região triangular com vértices (0, 0), (2, 1), (0, 3); 
r(x, y) � x 	 y 
6. D é a região triangular delimitada pelas retas x � 0, y � x e 2x
	 y � 6;MMr(x, y) � x2 
7. D é delimitada por y � ex , y � 0, x � 0 e x � 1;MMr(x, y) � y
8. D é delimitada por y � √–x, y � 0 e x � 1; MMr(x, y) � x
9. D � {(x, y)�0 � y � sen(px/L), 0 � x � L};MMr(x, y) � y
10. D é delimitada pelas parábolas y � x2 e x � y2;MMr(x, y) � √–x
11. Uma lâmina ocupa a parte do disco x2 	 y2 � 1 no primeiro qua-
drante. Determine o centro de massa se a densidade em qual-
quer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo x. 
12. Determine o centro de massa da lâmina do Exercício 11 se a
densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da
distância do ponto à origem. 
13. A fronteira de uma lâmina consiste nos semicírculos y � √–––––1 � x2
e y � √–––––4 � x2 juntamente com as partes do eixo x que os une. En-
contre o centro de massa da lâmina se a densidade em qualquer
ponto é proporcional à sua distância da origem. 
14. Encontre o centro de massa da lâmina do Exercício 13 se a den-
sidade em qualquer ponto for inversamente proporcional à sua
distância da origem.
15. Encontre o centro de massa de uma lâmina em forma de