Funções do 1° e 2° grau (Descomplica)

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Matemática 
 
Funções do 1º e 2º Grau 
 
Resumo 
 
Funções do 1° grau 
Chama-se de função afim, ou função polinomial do 1°grau, toda função dada pela lei de formação 
( )f x ax b= + , em que a e b são números reais, tal que 0a  , chamados de coeficientes numéricos, sendo 
a chamado de coeficiente angular e b, de coeficiente linear. 
 
 
Taxa de Variação 
Uma das características de uma função afim está relacionada à sua taxa de variação, que é constante; A taxa 
de variação de uma função afim é dada pela razão entre a variação das ordenadas e a variação das abscissas 
de dois pontos quaisquer pertencentes à função. Essa razão entre as variações é, também, a tangente do 
ângulo de inclinação da reta que define a função. Logo, concluímos que a variação da função afim é dada por 
tan
y
a
x


= =

 
Em que, dados dois pontos ( ),a aA x y e ( ),b bB x y , obtemos a bx x x = − e a by y y = − . 
 
É importante saber: 
• Se 0a  , temos uma função afim crescente. 
• Se 0a  , temos uma função afim decrescente. 
 
 
Coeficiente angular no gráfico 
Dada uma função afim ( )f x ax b= + , com 0a  , seu coeficiente angular é dado por tanya
x


= =

. 
Graficamente, tomando dois pontos quaisquer de uma função afim, obtemos: 
 
Coeficiente linear no gráfico 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Seja uma função afim ( )f x ax b= + , com 0a  . Chamamos o coeficiente numérico b de coeficiente 
linear. O coeficiente linear é o valor de y encontrado quando 0x = . 
Calculamos ( )0f : 
( ) ( ) ( )0 0 0f a b b f b= + =  = 
 
Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto ( )0,b . No plano cartesiano, esse ponto representa a 
intersecção da reta com o eixo das ordenadas, ou seja, do eixo 0y. 
 
 
Raiz ou zero da função 
Por fim, devemos saber reconhecer um elemento importante do gráfico de uma função afim, que é chamado 
de raiz ou zero da função. 
Em uma função afim ( )f x ax b= + , a raiz é o valor de x quando 0y = . Isto é, para obter a raiz da função 
devemos igualar a zero o polinômio do 1° grau. 
 
“
1x é raiz da função afim se, e somente se, ( )1 0f x = ” 
 
Na forma de um par ordenado, a raiz da função é a abscissa do ponto ( )1,0x que pertence ao eixo 0x do 
plano cartesiano. 
 
Funções do 2° grau 
 
 
 
 
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Matemática 
 
 
Função Quadrática 
Chama-se de função quadrática, ou função polinomial do 2° grau, toda função dada pela lei de formação: 
( ) 2f x ax bx c= + + 
em que a, b e c são números reais chamados de coeficientes e 0a  . 
 
 
Representação gráfica de uma função quadrática 
Quando colocamos os pontos de uma função afim em um plano cartesiano, vimos que sua representação 
gráfica é uma reta. No caso da função do segundo grau a representação gráfica é uma parábola. Vamos ver 
agora como cada coeficiente da parábola altera o desenho de seu gráfico. 
 
 
Concavidade da parábola 
Se 0a  : concavidade voltada para cima. 
 
Se 0a  : concavidade voltada para baixo. 
 
 
Interseção com o eixo y 
O valor do coeficiente c representa o ponto em que a parábola intersecta o eixo das ordenadas, ou seja, o eixo 
y. Calculamos ( )0f : 
( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0 0 0f a b c f c= + +  = 
 
Assim, o coeficiente c é a ordenada do ponto ( )0,c . No plano cartesiano, temos a seguinte representação: 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Mas e se a parábola passar pela origem? Não tem problema nenhum! Quer dizer, então, que o coeficiente c 
da parábola é 0. Observe a representação gráfica da função ( ) 2f x x= : 
 
Podemos reparar que a parábola da função ( ) 2f x x= passa pela origem, o que já era esperado, uma vez 
que seu coeficiente c é igual a 0. 
 
 
Interseção com o eixo x 
As raízes de uma função quadrática são os valores de x encontrados ao resolver a equação ( ) 0f x = , ou 
seja, 2 0ax bx c+ + = , utilizando a fórmula de Bháskara ou as relações de soma e produto. 
 
2 4
Fórmula de Bháskara 
2
b b ac
x
a
−  −
 = 
 
Lembremos que o número de raízes depende do valor encontrado para o discriminante ( ) , que é calculado 
pela equação 2 4b ac = − . Temos que a quantidade de raízes de uma função quadrática é mostrada 
abaixo:` 
 
Se 
1 2
1 2
0 A função possui duas raízes reais e distintas, 
0 A função possui duas raízes reais e iguais, 
0 A função não possui raizes reais.
x x
x x
   

 =  =
  
 
 
Com base nessas informações, podemos estabelecer alguns tipos de gráficos de funções quadráticas, 
descritos na tabela: 
 
 
 
 
 
5 
Matemática 
 
Vértice da parábola 
Toda parábola tem um ponto chamado de vértice, que determina a mudança de crescimento para 
decrescimento ou vice-versa. Por essa razão, determina ainda o eixo de simetria da parábola. Devemos 
encontrar as coordenadas do vértice da parábola, representadas na imagem seguinte por ( ),V VV x y em que 
1x e 2x são as raízes da função quadrática. 
 
 
Para encontrar as coordenadas do vértice, temos: 
• 
2
V
b
x
a
−
= 
• 
4
Vy
a
−
= 
 
 
Máximos e mínimos de uma função quadrática 
Podemos classificar o vértice a partir da concavidade da parábola. 
 
Se 0a  , o vértice V é chamado de ponto mínimo da função. 
Se 0a  , o vértice V é chamado de ponto máximo da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Matemática 
 
Exercícios 
 
1. No desenvolvimento de um novo remédio, pesquisadores monitoram a quantidade Q de uma 
substância circulando na corrente sanguínea de um paciente, ao longo do tempo t. Esses 
pesquisadores controlam o processo, observando que Q é uma função quadrática de t. Os dados 
coletados nas duas primeiras horas foram: 
 
Para decidir se devem interromper o processo, evitando riscos ao paciente, os pesquisadores querem 
saber, antecipadamente, a quantidade da substância que estará circulando na corrente sanguínea 
desse paciente após uma hora do último dado coletado. Nas condições expostas, essa quantidade (em 
miligrama) será igual a 
a) 4 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 10 
 
 
2. Na intenção de ampliar suas fatias de mercado, as operadoras de telefonia apresentam diferentes 
planos e promoções. Uma operadora oferece três diferentes planos baseados na quantidade de 
minutos utilizados mensalmente, apresentados no gráfico. Um casal foi à loja dessa operadora para 
comprar dois celulares, um para a esposa e outro para o marido. Ela utiliza o telefone, em média, 30 
minutos por mês, enquanto ele, em média, utiliza 90 minutos por mês. 
 
Com base nas informações do gráfico, qual é o plano de menor custo mensal para cada um deles? 
a) O plano A para ambos. 
b) O plano B para ambos. 
c) O plano C para ambos. 
d) O plano B para a esposa e o plano C para o marido. 
e) O plano C para a esposa e o plano B para o marido. 
 
 
 
 
 
 
7 
Matemática 
 
3. A única fonte de renda de um cabelereiro é proveniente de seu salão. Ele cobra R$10,00 por cada serviço 
realizado e atende 200 clientes por mês, mas está pensando em aumentar o valor cobrado pelo serviço. 
Ele sabe que cada real cobrado a mais acarreta uma diminuição de 10 clientes por mês. 
Para que a renda do cabelereiro seja máxima, ele deve cobrar por serviço o valor de: 
a) R$10,00. 
b) R$10,50. 
c) R$11,00. 
d) R$15,00. 
e) R$20,00. 
 
 
4. José e Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias para a cidade de Serra Branca. 
Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial da rodovia, onde 
chegarão, de modo independente, entre meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como não querem ficar 
muito tempo esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial esperará 
pelo outro, no máximo, meia hora; após esse tempo, seguirá viagem sozinho. Chamando de x o horário 
de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio, e representando os pares (x,y) em um 
sistema de eixos cartesianos, a região OPQR ao lado indicada corresponde ao conjunto de todas as 
possibilidades para o par (x,y). 
 
Na região indicada, o conjunto depontos que representa o evento “José e Antônio chegam ao marco 
inicial exatamente no mesmo horário” corresponde 
a) À diagonal OQ 
b) À diagonal PR 
c) Ao lado PQ 
d) Ao lado QR 
e) Ao lado OR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
 
5. Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é 
diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e diretamente 
proporcional também ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez 
e propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: 
( ) ( )R x k x P x=   − , em que k é uma constante positiva característica do boato. 
Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44000 pessoas, então a máxima rapidez 
de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: 
a) 11.000 
b) 22.000 
c) 33.000 
d) 38.000 
e) 44.000 
 
 
6. O excesso de peso pode prejudicar o desempenho de um atleta profissional em corridas de longa 
distância como a maratona (42,2 km), a meia-maratona (21,1 km) ou uma prova de 10 km. Para saber 
uma aproximação do intervalo de tempo a mais perdido para completar uma corrida devido ao excesso 
de peso, muitos atletas utilizam os dados apresentados na tabela e no gráfico: 
 
 
Usando essas informações, um atleta de ossatura grande, pesando 63 kg e com altura igual a 1,59m, 
que tenha corrido uma meiamaratona, pode estimar que, em condições de peso ideal, teria melhorado 
seu tempo na prova em 
a) 0,32 minuto. 
b) 0,67 minuto. 
c) 1,60 minuto. 
d) 2,68 minutos. 
e) 3,35 minutos. 
 
 
 
 
 
9 
Matemática 
 
7. Considerando que o Calendário Muçulmano teve início em 622 da era cristã e que cada 33 anos 
muçulmanos correspondem a 32 anos cristãos, é possível estabelecer uma correspondência 
aproximada de anos entre os dois calendários, dada por: (C = Anos Cristãos e M = Anos Muçulmanos) 
a) C = M + 622 – (M/33). 
b) C = M – 622 + (C – 322/32). 
c) C = M – 622 – (M/33). 
d) C = M – 622 + (C – 622/33). 
e) C = M + 622 – (M/32). 
 
 
8. O jornal de uma pequena cidade publicou a seguinte noticia: 
Correio da cidade 
Abastecimento comprometido 
 
O novo polo agroindustrial em nossa cidade tem atraido um enorme e constante fluxo migratorio, torno 
de 2 000 habitantes por ano, conforme dados do nosso censo : 
 
Ano População 
1995 11.965 
1997 15.970 
1999 19.985 
2001 23.980 
2003 27.990 
 
esse crescimento tem ameacado nosso fornecimento de água, pois os mananciais que abastecem a 
cidade têm capacidade para fornecer ate seis milhoes de litros de agua por dia. A prefeitura , 
preocupada com essa situacao , vai iniciar uma campanha visando estabelecer um consumo medio de 
150 litros por dia, por habitante. A analise da notícia permite concluir que a medida é oportuna, mantido 
esse fluxo migratorio e bem-sucedida a campanha, os mananciais serão suficientes para abastecer a 
cidade até o final de 
a) 2005 
b) 2006 
c) 2007 
d) 2008 
e) 2009 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Matemática 
 
9. A empresa WQTU Cosmético vende um determinado produto x, cujo custo de fabricação de cada 
unidade é dado por 3x² + 232, e o seu valor de venda é expresso pela função 180x − 116. A empresa 
vendeu 10 unidades do produto x, contudo a mesma deseja saber quantas unidades precisa vender 
para obter um lucro máximo. A quantidade máxima de unidades a serem vendidas pela empresa WQTU 
para a obtenção do maior lucro é 
a) 10 
b) 30 
c) 58 
d) 116 
e) 232 
 
 
10. O apresentador de um programa de auditório propôs aos participantes de uma competição a seguinte 
tarefa: cada participante teria 10 minutos para recolher moedas douradas colocadas aleatoriamente 
em um terreno destinado à realização da competição. A pontuação dos competidores seria calculada 
ao final do tempo destinado a cada um dos participantes, no qual as moedas coletadas por eles seriam 
contadas e a pontuação de cada um seria calculada, subtraindo do número de moedas coletadas uma 
porcentagem de valor igual ao número de moedas coletadas. Dessa forma, um participante que 
coletasse 60 moedas teria sua pontuação calculada da seguinte forma: pontuação = 60 – 36 (60% de 
60) = 24. O vencedor da prova seria o participante que alcançasse a maior pontuação. Qual será o limite 
máximo de pontos que um competidor pode alcançar nessa prova? 
a) 0 
b) 25 
c) 50 
d) 75 
e) 100 
 
 
 
 
 
11 
Matemática 
 
Gabarito 
 
1. B 
Seja ( ) 2Q t at bt c= + + a função quadrática cujos coeficientes queremos determinar. Sabendo que 
Q(0) = 1, vem c = 1. Ademais, tomando Q(1) = 4 e Q(2) = 6 encontramos 
2
2
1
1 1 1 4 3 2
4 2 5 72 2 1 6
2
a
a b a b
a ba b
b
= −
 +  + = + =
 
+ = +  + =
=
 
A resposta é 
( ) 2
1 7
3 3 3 1 7
2 2
Q = −  +  + = 
 
2. E 
O plano de menor custo mensal é o que permite falar o mesmo tempo pelo menor preço. Logo, para a 
esposa, o plano C é o melhor, e, para o marido, o plano B é o mais indicado. 
 
3. D 
Seja x o número de reais cobrados a mais pelo cabeleireiro. Tem-se que a renda, r, obtida com os serviços 
realizados é dada por 
( ) ( )( ) 210 200 10 10 100 2.000r x x x x x= + − = − + + 
Em consequência, o número de reais cobrados a mais para que a renda seja máxima é 
( )
100
5
2 10
− =
 −
 
e, portanto, ele deverá cobrar por serviço o valor de 10 + 5 = R$15,00 
 
4. A 
 
Qualquer ponto da diagonal OQ terá x = y. 
 
5. B 
Determinando o x do vértice temos: 
( )
44000
22000
2 2
V
b k
x
a k
−
= − = =
 −
 
6. E 
Excesso de peso: p = 63 – 58 = 5 kg 
Função que define a meia maratona: t = 0,67p 
Considerando p = 5, temos: 
T = 0,67 * 5 = 3,35 minutos. 
 
 
 
 
 
 
12 
Matemática 
 
7. A 
De acordo com o texto podemos escrever a seguinte tabela: 
Muçulmano______Cristão 
 0_____________622 
 33____________622 + 32 = 654 
Estabelecemos então uma função do primeiro grau definida por C = 622 + M*32/33 
Escrevendo de acordo com a alternatica correta, temos C = M – M/33 + 622 
 
8. E 
Se p é a população máxima da cidade para a qual o fornecimento de água estará garantido, então 
150 6000000 40000p p =  = 
Sabendo que a população tem uma taxa de crescimento constante de 2000 habitantes por ano, segue 
que a população da cidade x anos após 2003 é dada por 
( ) 2000 27990p x x=  + 
Queremos calcular x para o qual p(x) = 40000. Logo, 
12010
2000 27990 40000 6
2000
x x + =  =  
Portanto, até o final de 2003 + 6 = 2009 os mananciais serão suficientes para abastecer a cidade. 
 
9. B 
Vamos admitir que 3x² + 232 seja o custo de produção de x unidades e que 180x – 116 seja o valor de 
venda destas x unidades. Considerando que L(x) seja a função do lucro, temos: 
( ) ( )
( )
2
2
180 116 3 232
3 180 348
L x x x
L x x x
= − − +
= − + −
 
Determinando o x vértice, temos o valor de x para o qual o lucro é máximo: 
( )
180
30
2 2 3
V
b
x
a
− −
= = =
 −
 
Obs: O enunciado está confuso. 
 
10. B 
Considerando x o número de moedas douradas coletadas, a pontuação seria dada por: 
( ) ( )
2
100 100
x x
P x x x P x x= −   = − + 
Logo, o valor máximo de P(x) será dado por: 
1
25
14
4
100
MÁXIMO
P
a

= − = − =
−  
  
 
 
Portanto, o limite de pontos que um competidor poderá alcançar nesta prova é 25.