Resumo Capítulo 4 (Cosmic Dynamics) - Introduction to Cosmology (Barbara Ryden 1st ed)

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Resumo do caṕıtulo 4 do livro Barbara Ryden[1]
Raphael Gomes Sousa
11 de março de 2022
1 Dinâmica Cósmica
Em um universo homogêneo e isotrópico, mas que pode se expandir ou contrair com o tempo, tudo o
que você precisa saber sobre a curvatura é dado por k, R0 e a(t). A constante de curvatura k dá o
sinal da curvatura: positivo (k = +1), negativo (k = −1) ou plano (k = 0). Se k é diferente de zero,
então R0 é o raio de curvatura do universo, medido no momento atual (t = t0). Finalmente, o fator de
escala a(t) informa como as distâncias no universo aumentam com o tempo à medida que o universo
se expande, ou diminui com o tempo à medida que o universo se contrai. A escala fator é normalizado
de modo que a(t0) = 1 no momento presente. A ideia de que o universo poderia ser curvo, ou não-
euclidiano, na verdade antecede a teoria da relatividade geral de Einstein. Já em 1829, meio século
antes do nascimento de Einstein, Nikolai Ivanovich Lobachevski, um dos fundadores da geometria
não-euclidiana, propôs testes observacionais para demonstrar se o universo era curvo. Em prinćıpio,
medir a curvatura do universo é simples; na prática é muito mais dif́ıcil. Em prinćıpio, podeŕıamos
determinar a curvatura desenhando um triângulo muito, muito grande e medindo os ângulos α, β, e γ
nos vértices. A equação afirma que A é a área do triângulo
α+ β + γ = π +
kA
R20
Se α+ β+ γ > π então o universo é positivamente curvo, se α+ β+ γ < π o universo é negativamente
curvo. Se, além disso, nós medirmos a área do triângulo, podemos determinar o raio de curvatura R0.
Infelizmente para este elegante plano geométrico, a área do maior triângulo que pode desenhar é muito
menor que R20, e o desvio de α+β+γ de π radianos seria muito pequeno para medir. Sobre tudo o que
podemos concluir dos argumentos geométricos é que se o universo é curvado positivamente, não pode
ter um raio de curvatura R0 que seja significativamente menor que a distância atual do Hubble, c/H0 ≃
4300Mpc. Para entender porque é assim, lembre-se que se o nosso universo é positivamente curvado,
ele tem tamanho finito, com uma circunferência atualmente igual a C0 = 2πR0. No passado, uma vez
que nosso universo está expandindo, sua circunferência era ainda menor. Assim, se a circunferência
atual C0 for menor que ct0, então os fótons terão tido tempo de circunavegar o universo.
2 A equação de Friedman
A equação chave da relatividade geral é equação de campo de Einstein, que é o equivalente relativista
da equação de Poisson em dinâmica Newtoniana. equação de Poisson,
∇2Φ = 4πGρ
dá uma relação matemática entre o potencial gravitacional em um ponto no espaço e a densidade de
massa ρ nesse ponto. Tomando o gradiente do potencial, você determina a aceleração, e então pode
calcular a trajetória dos objetos movendo-se livremente pelo espaço. A equação de campo de Einstein,
por outro lado, fornece uma relação matemática entre a métrica do espaço-tempo em um ponto e
a energia e pressão naquele ponto do espaço-tempo. As trajetórias de objetos em movimento livre
então correspondem a geodésicas em espaço-tempo curvo. Em um contexto cosmológico, as equações
de campo de Einstein podem ser usadas para encontrar a ligação entre a(t), k e R0, que descrevem
a curvatura do universo, e a densidade de energia ε(t) e a pressão P (t) do conteúdo do universo. A
1
equação que une a(t), k, R − 0 e ε(t) é conhecida como equação de Friedmann, em homenagem a
Alexander Alexandrovich Friedmann, que primeiro derivou a equação equação em 1922. Friedmann
derivou sua equação homônima a partir da equação de campo de Einstein, usando todo o poder da
relatividade geral. Mesmo sem trazer relatividade em jogo, alguns (embora não todos) dos aspectos
da equação de Friedmann podem ser entendidos com o uso de dinâmicas puramente newtonianas.
Para ver como a expansão ou contração do universo pode ser vista do ponto de vista newtoniano,
vamos primeiro deduzir o equivalente não relativ́ıstico da equação de Friedmann, começando por Lei
da Gravidade de Newton e Segunda Lei do Movimento. Em seguida, indicaremos (sem provas) as
modificações que devem ser feitas para encontrar o mais correto, forma geral relativista da equação de
Friedmann.
Para começar, considere uma esfera homogênea de matéria, com massa total Ms constante com o
tempo. A esfera está se expandindo ou contraindo isotropicamente, de modo que seu raio Rs(t) esteja
aumentando ou diminuindo com o tempo. Coloque uma massa de teste, de massa infinitesimal m,
na superf́ıcie da esfera. A força gravitacional F experimentada pela massa de teste será, da Lei da
Gravidade de Newton
F = −GMsm
Rs(t)2
A aceleração gravitacional na superf́ıcie da esfera será então, a partir da Segunda Lei do Movimento
de Newton,
d2Rs
dt2
= − GMs
Rs(t)2
Multiplique cada lado da equação por d Rs/dt e integre para encontrar
1
2
(
dRs
dt
)2 =
GMs
Rs(t)
+ U (I)
onde U é uma constante de integração. A equação acima simplesmente afirma que a soma da energia
cinética por unidade de massa,
Ekin =
1
2
(
dRs
dt
)2
e a energia potencial gravitacional por unidade de massa
Epot = −
GMs
Rs(t)
é constante para um pouco de matéria na superf́ıcie de uma esfera, à medida que a esfera se expande
ou contrai sob sua própria influência gravitacional. Como a massa da esfera é constante à medida que
ela se expande ou se contrai, podemos escrever
Ms =
4π
3
ρ(t)Rs(t)
3
Como a expansão é isotrópica em relação ao centro da esfera, podemos escrever o raio Rs(t) na forma
Rs(t) = a(t)rs
onde a(t) é o fator de escala e rs é o raio comovente da esfera. Em termos de ρ(t) e a(t), a equação de
conservação de energia (I) pode ser reescrita na forma
1
2
r2s ȧ
2 =
4π
3
Gr2sρ(t)a(t)
2 + U (II)
Dividindo cada lado da equação (II) por
r2sa
2
2 produz a equação
(
ȧ
a
)2 =
8πG
3
ρ(t) +
2U
r2s
1
a(t)2
(III)
Observe que a derivada temporal do fator de escala só entra na equação (III) como ȧ2; uma esfera em
contração (ȧ < 0) é simplesmente a reversão no tempo de uma expansão na esfera (ȧ > 0). Vamos
2
nos concentrar no caso de uma esfera em expansão, análoga ao universo em expansão em que nos
encontramos. O futuro da expansão esfera cai em uma das três classes, dependendo do sinal de U.
Primeiro, considere caso U > 0. Neste caso, o lado direito da equação (III) é sempre positivo. Portanto,
ȧ2 é sempre positivo, e a expansão da esfera nunca pára. Segundo, considere o caso U < 0. Neste caso,
o lado direito da equação (III) começa positivo. No entanto, em um fator de escala máxima
amax = −
GMs
Urs
o lado direito será igual a zero e a expansão será interrompida. Como ä ainda será negativo, a esfera
então se contrairá. Terceiro e, finalmente, considere o caso U = 0. Este é o caso limite em que
ȧ −→ 0como t −→ ∞ e ρ −→ 0. A forma correta da equação de Friedmann, incluindo todas os efeitos
relativ́ısticas gerais, é
(
ȧ
a
)2 =
8πG
3c2
ε(t)− kc
2
R20
1
a(t)2
(IV )
Observe as mudanças feitas ao passar da forma newtoniana da equação de Friedmann (equação (II))
para a forma relativista correta (equação (IV)). A primeiro mudança é que a densidade de massa ρ
foi substitúıda por uma densidade de energia ε dividida pelo quadrado da velocidade da luz. Um dos
insights de Einstein foi que em determinando a influência gravitacional de uma part́ıcula, a quantidade
importante era não sua massa m, mas sua energia,
E = (m2c4 + p2c2)
1
2
Aqui p é o momento da part́ıcula como visto por um observador na posição da localização da part́ıcula,
que vê o universo se expandindo isotropicamente ao seu redor. Qualquer movimento que uma part́ıcula
tem, além do movimento associado à expansão ou contração do universo, é chamado de movimento
peculiar da part́ıcula. Se a é massiva a part́ıcula não é relativista - isto é, se sua velocidade peculiar v
é muito menorque c - então seu momento peculiar será p ≃ mv, e sua energia será
Enon−rel ≃ mc2(1 + v2/c2) ≃ mc2 +
1
2
mv2
Assim, se o universo continha apenas part́ıculas massivas, movendo-se lentamente, então a densidade
de energia ε seria quase igual a ρc2, com apenas uma pequena correção para a energia cinética mv2/2
das part́ıculas. No entanto, fótons e outras part́ıculas sem massa também têm uma energia,
Erel = pc = hf
que também contribui para a densidade de energia ε. Não só os fótons respondem a curvatura do
espaço-tempo, eles também contribuem para isso. A segunda mudança que deve ser feita ao passar
da forma newtoniana para a equação de Friedmann para a forma relativ́ıstica correta está fazendo a
substituição
2U
r2s
= −kc
2
R20
A equação de Friedmann é uma equação muito importante na cosmologia. No entanto, se quisermos
aplicar a equação de Friedmann ao universo real, devemos ter alguma maneira de vinculá-lo a proprie-
dades observáveis. Por exemplo, a equação de Friedmann pode ser ligada à constante de Hubble, H0.
Lembre-se, em um universo cuja expansão (ou contração) é descrita por um fator de escala a(t), há
uma relação linear entre a velocidade de recessão v e a distância adequada d:
v(t) = H(t)d(t)
onde H(t) ≡ ȧ/a. Assim, a equação de Friedmann pode ser reescrita na forma
H(t)2 =
8πG
3c2
ε(t)− kc
2
R20a(t)
2
para todos os universos com uma métrica de Robertson-Walker cuja expansão ou contração é gover-
nado pelas regras da relatividade geral. Em um universo espacialmente plano (k = 0), a equação de
Friedmann assume uma forma particularmente simples:
H(t)2 =
8πG
3c2
ε(t)
3
Assim, para um dado valor do parâmetro de Hubble, existe uma densidade cŕıtica,
εc(t) =
8πG
3c2
H(t)2
Ao discutir a curvatura do universo, é mais conveniente usar não a densidade absoluta ε, mas a razão
entre a densidade e a densidade cŕıtica εc. Portanto, ao falar sobre a densidade de energia do universo,
os cosmólogos costumam usar o parâmetro de densidade adimensional
Ω(t) ≡ ε
εc
Em termos do parâmetro de densidade, a equação de Friedmann pode ser escrita ainda outra forma:
1− Ω(t) = − kc
2
R20a(t)
2H(t)2
3 As equações de fluido e aceleração
Precisamos de outra equação envolvendo a e ε se quisermos resolver a e ε como funções do tempo.
A equação de Friedmann, na aproximação newtoniana, é uma declaração de conservação de energia;
em particular, diz que a soma da energia potencial gravitacional e a energia cinética de expansão
é constante. Conservação de Energia é um conceito geralmente útil, então vamos olhar para outra
manifestação do mesmo conceito - a primeira lei da termodinâmica -
dQ = dE + PdV
onde dQ é o fluxo de calor para dentro ou para fora de uma região, dE é a mudança na energia, P
é a pressão e dV é a variação de volume da região. Como dQ = 0 para um volume comovente como
o universo expande, a primeira lei da termodinâmica, aplicada ao universo em expansão, reduz-se à
forma
Ė + PV̇ = 0 (V )
Para concretude, considere uma esfera de raio comovente rs se expandindo junto com a expansão
universal, de modo que seu raio próprio seja Rs(t) = a(t)rs. O volume da esfera é
V (t) =
4π
3
r3sa(t)
3
então a taxa de variação do volume da esfera é
V̇ =
4π
3
r3s(3a
2ȧ) = V (3
ȧ
a
) (V I)
A energia interna da esfera é
E(t) = V (t)ε(t)
então a taxa de variação da energia interna da esfera é
Ė = V ε̇+ V̇ ε = V (ε̇+ 3
ȧ
a
ε) (V II)
Combinando as equações (V), (VI) e (VII), descobrimos que a primeira lei da termodinamica em um
universo em expansão (ou contração) assume a forma
V (ε̇+ 3
ȧ
a
ε+ 3
ȧ
a
P ) = 0
Ou
ε̇+ 3
ȧ
a
(ε+ P ) = 0 (V III)
A equação acima é chamada de equação do fluido e é a segunda das principais equações que descrevem a
expansão do universo. A equação de Friedmann e a equação do fluido são afirmações sobre conservação
4
de energia. Combinando os dois, podemos derivar uma equação de aceleração que informa como a
expansão do universo acelera ou desacelera com o tempo. A equação de Friedmann (equação (IV)),
multiplicada por a2, assume a forma
ȧ2 =
8πG
3c2
εa2 − kc
2
R20
Tomando os rendimentos da derivada do tempo
2ȧä =
8πG
3c2
(ε̇a2 + 2εaȧ)
Dividindo por 2aȧ nos diz
ä
a
=
4πG
3c2
(ε̇
a
ȧ
+ 2ε)
Usando a equação do fluido (equação (VIII)), podemos fazer a substituição
ε̇
a
ȧ
= −3(ε+ P )
para encontrar a forma usual da equação da aceleração,
ä
a
= −4πG
3c2
(ε+ 3P ) (IV )
Observe que se a densidade de energia ε é positiva, então ela fornece uma aceleração negativa - isto é,
ela diminui o valor de ȧ e reduz a velocidade relativa de qualquer dois pontos do universo. A equação
de aceleração também inclui a pressão P, associado ao material que preenche o universo.
4 Equações de Estado
Para resolver o fator de escala, densidade de energia e pressão como uma função do tempo cósmico,
precisamos de outra equação. O que precisamos é de uma equação de estado isto é, uma relação
matemática entre a pressão e a densidade de energia das coisas que enchem o universo. Se ao menos
tivéssemos uma relação da forma
P = P (ε)
Em geral, as equações de estado podem ser assustadoramente complicadas. Matéria condensada os
f́ısicos frequentemente lidam com substâncias nas quais a pressão é uma função não linear da densidade.
Felizmente, a cosmologia geralmente lida com gases, para os quais a equação de estado é simples. Para
substâncias de importância cosmologia, a equação de estado pode ser escrita em uma forma linear
simples:
P = wε
onde w é um número adimensional. Considere, por exemplo, um gás de baixa densidade de part́ıculas
massivas não relativ́ısticas. Não relativ́ıstico, neste caso, significa que os movimentos térmicos aleatórios
das part́ıculas de gás têm velocidades peculiares que são pequenas em comparação com a velocidade
da luz. Tal gás não relativ́ıstico obedece à lei do gás perfeito,
P =
ρ
µ
kT
onde µ é a massa média das part́ıculas de gás. A densidade de energia ε de um gás não relativ́ıstico é
quase inteiramente contribúıda pela massa das part́ıculas de gás: ε ≃ ρc2. Assim, em termos de ε, a
lei do gás perfeito é
P ≃ kT
µc2
ε
Para um gás não relativ́ıstico, a temperatura T e a raiz quadrada média térmica velocidade < v2 >
estão associados pela relação
3kT = µ < v2 >
5
Um gás de fótons, ou outras part́ıculas sem massa, é garantido como relativ́ıstico. Embora os fótons
não tenham massa, eles têm momento e, portanto, exercem pressão. A equação de estado dos fótons,
ou de qualquer outro gás relativ́ıstico, é
Prel =
1
3
εrel
Alguns valores de w são de particular interesse. Por exemplo, o caso w = 0 é de interesse, porque
sabemos que nosso universo contém matéria não relativ́ıstica. O caso w = 13 é interessante, porque
sabemos que nosso universo contém fótons. Para simplificar, vamos nos referir ao componente do
universo que consiste em part́ıculas não relativ́ısticas (e, portanto, tem w ≡ 0) como “matéria”, e
o componente que consiste em fótons e outras part́ıculas relativ́ısticas (e, portanto, tem w = 13 )
como ”radiação.”O caso w < − 13 é de interesse, porque um componente com w < −
1
3 fornecerá uma
aceleração positiva (ä > 0 na equação (IV)). Um componente do universo com w < − 13 é por vezes
referido genericamente como “energia escura” (uma frase cunhada pelo cosmólogo Michael Turner).
Uma forma de energia escura é de interesse especial; algumas evidências observacionais, que revisaremos
no futuro caṕıtulos, indica que nosso universo pode conter uma constante cosmológica. Uma constante
cosmológica pode ser definida simplesmente como um componente do universo que tem w = −1 e,
portanto, tem P = −ε. A constante cosmológica, também designada pela letra grega Λ, teve uma
história controversa, e ainda é objeto de debate.
5 Aprendendo a amarLambda
Einstein observou que algumas estrelas estão se movendo em nossa direção e que outras estão se
afastando de nós, sem evidência de que a galáxia está se expandindo ou contraindo. A evidência
incompleta dispońıvel para Einstein o levou a acreditar que o universo é estático - nem se expandindo
nem se contraindo - e que tem um efeito positivo de densidade de energia, mas pressão despreźıvel.
Einstein então teve que fazer a pergunta: “Pode um universo cheio de matéria não relativista, e nada
mais, seja estático?” A resposta para esta pergunta é não!”Um universo contendo nada além de matéria
deve, em geral, seja em expansão ou em contração. A razão pela qual isso é verdade pode ser ilustrado
em um contexto newtoniano. Se a densidade de massa do universo é ρ, então o potencial gravitacional
é dado pela equação de Poisson:
∇2Φ = 4πGρ
A aceleração gravitacional −→a em qualquer ponto no espaço é então encontrada tomando o gradiente
do potencial
−→a = −
−→
∇Φ
Em um universo estático, −→a deve desaparecer em todos os lugares do espaço. Assim, o potencial deve
ser constante no espaço. No entanto, se for constante, então
ρ =
1
4πG
∇2Φ = 0
O único universo estático permitido, nesta análise, é um universo totalmente vazio. Se você criar um
universo cheio de matéria que é inicialmente estático, então a gravidade causará isso para se contrair.
Se você criar um universo cheio de matéria que está se expandindo inicialmente, então ele se expandirá
para sempre (se a energia newtoniana U for maior ou igual para zero) ou atingir um raio máximo e
então colapsar (se U < 0). Tentando fazer um universo cheio de matéria que não se expande ou colapsa
é como jogar uma bola no ar e esperando que ele pairasse ali. Como Einstein superou esse problema?
Como ele reconciliou o fato de que o universo contém matéria com seu desejo de um universo estático?
Basicamente, ele acrescentou um fator de falsificação para as equações. Em termos newtonianos, o que
ele fez foi análogo reescrever a equação de Poisson na forma
∇2Φ+ Λ = 4πGρ
O novo termo, simbolizado pela letra grega , passou a ser conhecido como constante cosmológica.
Observe que ele tem dimensionalidade (tempo)−2. Apresentando na equação de Poisson permite que
o universo seja estático se você definir = 4πGρ. Em termos relativ́ısticos gerais, o que Einstein fez
foi adicionar um termo adicional, envolvendo , à sua equação de campo (o equivalente relativ́ıstico da
6
equação de Poisson). Se a equação de Friedmann é derivada da equação de campo de Einstein, com o
termo adicionado, torna-se
(
ȧ
a
)2 =
8πG
3c2
ε(t)− kc
2
R20a(t)
2
+
Λ
3
A equação do fluido não é afetada pela presença de um termo, então ela ainda tem o Formato
ε̇+ 3
ȧ
a
(ε+ P ) = 0
Com o termo presente, a equação da aceleração se torna
ä
a
==
4πG
3c2
(ε+ 3P ) +
Λ
3
Uma olhada na equação de Friedmann nos diz que adicionar o termo é equivalente a adicionar um
novo componente ao universo com densidade de energia
εΛ ≡
c2
8πG
Λ
Se permanece constante com o tempo, então sua densidade de energia associada ε. A equação do fluido
nos diz que para ter ε constante com o tempo, o termo deve ter uma pressão associada
PΛ = −εΛ = −
c2
8πG
Λ
Ao introduzir um termo em suas equações, Einstein obteve o universo modelo estático que ele queria.
Para que o universo permaneça estático, tanto ȧ quanto ä devem ser iguais a zero. Se ä = 0, então em
um universo com densidade de matéria ρ e constante cosmológica, a equação de aceleração se reduz a
0 = −4πG
3
ρ+
Λ
3
Assim, Einstein teve que definir Λ = 4πGρ para produzir um universo estático, assim como no caso
newtoniano. Se ȧ = 0, a equação de Friedmann (62) se reduz a
0 =
8πG
3
ρ− kc
2
R20
+
Λ
3
= 4πGρ− kc
2
R20
O modelo estático de Einstein, portanto, teve que ser curvado positivamente (k = +1), com um raio
de curvatura
R0 =
c
2(πGρ)
1
2
=
c
Λ
1
2
Referências
[1] Ryden, B. Introduction to cosmology.
7
	Dinâmica Cósmica
	A equação de Friedman
	As equações de fluido e aceleração
	Equações de Estado
	Aprendendo a amar Lambda