Aula 8 Os princípios da relatividade de Einstein

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Introdução às Ciências Físicas
Aula 8: Os princípios da relatividade de Einstein
Apresentação
É interessante notar como muitas pessoas, mesmo com formação acadêmica e intelectual, costumam proferir frases
soltas, tendo por fonte inspiradora a Teoria da Relatividade de Einstein ou o próprio Einstein. É comum, por exemplo, ouvir-
se assertivas tais como “Tudo é Relativo”, “Einstein já dizia que não pode existir nada com velocidade maior do que a
velocidade da luz” ou, ainda, a imprudente conclusão de que “Einstein teria provado que a Física de Newton, e sua teoria da
Gravitação, estariam erradas”.
Todas essas a�rmações imprudentes e incorretas são proferidas de forma coloquial, fora de contexto, e quase sempre
formuladas por pessoas desconhecedoras dos conceitos e conteúdos físicos envolvidos. O objetivo desta aula é discutir
conceitualmente alguns desses conteúdos e estimular você a ir além dessas linhas para sempre buscar a melhor
formação e compreensão da Física.
Para tentarmos esclarecer as questões acima e os aspectos gerais da Teoria da Relatividade, vamos, de forma objetiva e
direta, da maneira mais simples e conceitual, discutir essas questões relacionadas a essa extraordinária e maravilhosa
teoria do século XX, a Teoria da Relatividade, compreendida em suas duas versões: A Teoria Especial ou Restrita da
Relatividade e a Teoria da Relatividade Geral.
Objetivos
De�nir os conceitos e princípios da relatividade de Einstein;
Reconhecer as grandezas físicas da relativísticas;
Descrever as relações entre os princípios da relatividade e suas grandezas físicas.
A Teoria da Relatividade Especial ou da Relatividade Restrita
Quando estudamos Física Newtoniana, estudamos o movimento retilíneo uniforme, com velocidade constante, v, ao longo de
uma trajetória especí�ca e o movimento retilíneo uniformemente variado, com aceleração constante, a, conceitos discutidos na
aula de Princípios da Mecânica Clássica.
No presente contexto, vamos deixar de lado qualquer movimento mais complexo em que a aceleração, a, não seja constante,
apenas ressaltando a sua possibilidade de existência.
En�m, um turbilhão de ideias que levaram séculos, milênios através dos in�nitos caminhos das re�exões humanas, do
desenvolvimento da matemática, da tecnologia e do próprio avanço dessa disciplina extraordinária que é a Física em suas
manifestações Experimental e Teórica.
 (Fonte: ktsdesign / Shutterstock)
Saiba mais
Desde os �lósofos pré-Socráticos até o tempo de Newton, as questões acima foram estudadas tomando-se por base a
experimentação e a formulação de modelos matemáticos para explicar ou representar o mundo tal como o conhecemos. 
 
Desde então, tudo estava assentado para um mundo que era dotado de corpos ou partículas de massas �xas e invariantes, com
velocidades ordinárias, por mais elevadas que fossem quando comparadas à velocidade da luz (299.792 Km/s), comprimentos
�xos para diferentes observadores que se dispusessem a efetuar medidas com “réguas” em diferentes referenciais, ditos inerciais,
intervalos de tempos, �xos, imutáveis para diferentes observadores em quaisquer que fossem os referenciais.
Energias de movimento que seriam sempre descritas, em qualquer situação ou contexto, como proporcionais ao quadrado da
velocidade da partícula, e assim por diante.
Tudo em acordo com o nosso senso comum, em geral, em correspondência com a nossa experiência direta, nossa observação
imediata e perfeitamente compatível com a nossa matemática desenvolvida até o período que antecedeu o ano de 1905, ano
do nascimento da Teoria da Relatividade Especial também conhecida como Teoria da Relatividade Restrita.
 Teoria da Relatividade 
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Teoria da Relatividade
A�nal, o que é a Teoria da Relatividade?
Podemos a�rmar, em linhas gerais, que a Teoria da Relatividade Especial é a formulação de um novo paradigma
teórico capaz de estender, ampliar e generalizar todas as ideias acima mencionadas sobre massa, momentum linear,
momentum angular, espaço, tempo, comprimentos, velocidade e, em um contexto mais amplo ainda, “aceleração”, que
assume um papel fundamental no estudo da Teoria da Relatividade Geral.
Portanto, a Teoria da Relatividade Especial é uma formulação teórica
que descreve como é que o mundo se comporta, do ponto de vista
físico, quando os eventos são animados de grandes velocidades se
comparadas à velocidade da luz.
Isso signi�ca exatamente o quê?
Signi�ca, precisamente, efetuar uma descrição de movimentos de partículas que são dotadas, por exemplo, de, pelo
menos, 50% da velocidade da luz, isto é, velocidades da ordem de c, onde c = 299.792km/s.
E por que devemos considerar 50% de c um bom parâmetro para considerarmos a Teoria da Relatividade Especial
como útil, conveniente, razoável para a descrição do mundo neste novo contexto?
A resposta óbvia e imediata é simples: Porque é nessa escala de velocidades em que os fenômenos relativísticos se
manifestam. É nessa escala de velocidades que tudo quanto aprendemos até então na Física newtoniana não mais se
conforma com os fatos experimentais veri�cados diante da nova situação.
Exemplo
Massas parecem variar com o estado de movimento das partículas, energias de movimento deixam de se comportar
como funções do quadrado da velocidade, comprimentos parecem ser diferentes em diferentes sistemas de referência
inerciais, réguas parecem se comprimir ou se estenderem para diferentes observadores inerciais, relógios em
diferentes sistemas inerciais parecem ter enlouquecido diante de movimentos que possuam elevadas velocidades, e,
mesmo a lei da conservação do momentum linear ou momentum angular parecem ser violadas ou quebradas.
A Teoria da Relatividade é a formulação que completa a extraordinária
construção de Galileu e Newton. É a teoria que simplesmente
harmoniza o nosso mundo tal como o conhecíamos até Newton, com
os novos fenômenos que até então nos eram desconhecidos.
O mundo dos fenômenos que se realizam em altas e altíssimas velocidades, tais como os choques de partículas em
aceleradores de altas energias (Large Hadron Collider – LHC/CERN), movimentos de fótons, neutrinos, reações
nucleares, �ssão nuclear, radioatividade, uma formulação teórica que tem talvez sua mais impactante veri�cação
experimental no próprio desenvolvimento da bomba atômica, que foi utilizada na Segunda Guerra Mundial em
Hiroshima e Nagasaki.
Como tudo se iniciou?
Existem muitas maneiras de se contar o início da Teoria da Relatividade Especial (e Geral). Alguns físicos e
historiadores da Física normalmente podem escolher partir do estudo da Mecânica Clássica e seguir para o estudo do
eletromagnetismo. Outros fazem o caminho inverso, partem do eletromagnetismo e chegam à Mecânica.
Outros textos podem, ainda, partir da Matemática Pura, isto é, partir daquilo que tecnicamente é conhecido como
Transformações de Lorentz e obter um resultado de compatibilidade que é a velocidade da luz como uma constante
universal do movimento para todos os observadores inerciais ou reciprocamente, podem postular a velocidade da luz
como uma constante universal para todos os observadores inerciais e a partir dessa hipótese, postulada, obter todas
as consequências previstas da Relatividade Especial, inclusive as transformações de coordenadas de Lorentz.
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É um fato da literatura cientí�ca que o movimento de qualquer partícula, no espaço, possa ser descrito por
coordenadas do tipo (x, y, z, t) representando eixos coordenados em diferentes direções espaciais e temporais.
Um referencial S pode descrever uma partícula se movimentando no espaço (x, y, z, t) em relação a um outro
referencial S’ representado aqui por um conjunto de eixos coordenados (x’, y’, z’, t’).
Se tivermos dois observadores �xos, respectivamente em S e em S’, as perguntas que se colocam são: Como os
fenômenos observados em S e S’ se relacionam? Como os dois respectivos observadores vêm um mesmo
fenômeno? Digamos o lançamento de um projétil, uma colisão elástica frontal, uma colisão inelástica, ou mesmoo
ascender e o apagar de uma lanterna?
A Física newtoniana nos dá a seguinte resposta:
Bom, se S e S’ são respectivamente descritos por eixos coordenados (x,
y, z, t) e (x’, y’, z’, t’), e uma partícula, aqui representante de um evento
físico, se encontra em movimento em relação a um desses referenciais S
ou S’, e se qualquer um desses referenciais se move com velocidade
constante em relação ao outro, então, dizemos que esses sistemas de
referências formam um conjunto de referenciais inerciais.
Logo, se a própria partícula se move com velocidade constante em um desses referenciais inerciais ou se encontra em
repouso em relação a qualquer um desses referenciais S ou S’, dizemos que os observadores em S e S’ devem
observar a Física da mesma forma; de forma equivalente, a observação do fenômeno físico deve se manifestar da
mesma maneira para ambos os observadores.
A velocidade relativa entre os dois observadores em S e S’ deve ser, então, constante, digamos V, e, mais ainda, a
velocidade da própria partícula, em qualquer um dos dois referenciais, poderá ser obtida, calculada ou medida em
qualquer situação.
A velocidade do referencial S ou S´ e da própria partícula deverá ser muito menor que C, a velocidade da luz, dentro do
limite Newtoniano de velocidades.
Poder-se-ia reformular a questão da seguinte forma: O que acontece se S e S’ se movem relativamente um ao outro
com velocidade constante V, mas uma partícula de massa M se move com velocidade v = 0,63c, ou seja, 63% da
velocidade da luz no referencial S? Como o observador em S’ poderia descrever o movimento da partícula?
 Consideremos um instante posterior t = t’ > 0. O referencial S’ terá se deslocado de uma distância V.t, em relação ao referencial S. (Fonte: UFRGS)
javascript:void(0);
A relatividade dá como resposta que ambos os observadores descrevem a mesma Física, de forma equivalente, mas
novidades iriam ser observadas para ambos. Novidades que até então não tinham sido veri�cadas na Mecânica
Clássica de Galileu e Newton.
Postulados de Einstein
Para justi�car, ou ainda descrever de forma satisfatória essa nova situação, Einstein, no desenvolvimento de sua Teoria da
Relatividade, propôs os seguintes postulados, caminhos que vamos adotar aqui ao invés de partir de uma formulação
diretamente matemática (Transformações de Lorentz) como mencionado acima:
Clique nos botões para ver as informações.
“Todas as Leis da natureza são as mesmas em todos os sistemas de referência que se movem com velocidade uniforme.”
Postulado 1 
“A velocidade de propagação da luz no espaço livre tem o mesmo valor para todos os observadores, não importando o
movimento da fonte ou do observador; ou seja, a rapidez de propagação da luz é uma constante universal.”
Postulado 2 
Atenção
Tecnicamente, diz-se que todas as Leis da Física são covariantes, ou possíveis de serem descritas por quantidades tensoriais, ou,
ainda, invariantes por transformações gerais de coordenados. 
 
Ressaltamos essa tecnicidade aqui apenas para demonstrar o alcance da teoria, sendo aqui uma questão menor ao nosso
interesse imediato que é apresentar de forma simples as ideias gerais que estão na base da teoria.
Pois bem, no antigo contexto, eventos ocorridos em S ou em S’ se conectavam entre si pelas relações entre (x, y, z, t) e (x’, y’, z’,
t’), que eram conhecidas como Transformações de Galileu.
Um conjunto de transformações lineares de coordenadas que relacionam observações de um evento físico em relação aos dois
sistemas S e S’, que se movem com velocidade constante um em relação ao outro.
Exemplo
Por exemplo, o movimento de uma partícula em um trem em movimento uniforme. Observadores dentro e fora do trem farão
medidas do movimento da partícula de forma equivalente, observarão a mesma Física, pois o trem se move em velocidade
constante em relação à estação.
Com as observações em um sistema S, por essas relações entre os sistemas, obteremos as observações no outro sistema S’.
E assim, para todos os referenciais ditos inerciais, necessitando apenas saber a velocidade relativa entre os sistemas.
No novo contexto da Relatividade Especial, eventos ocorridos em S ou S’ se relacionam entre si pelas relações entre (x, y, z, t) e
(x’, y’, z’, t’) que são conhecidas pelas Transformações de Lorentz, muito embora exista na literatura discussões e indícios de
que Henri Poincaré as tenha também obtido sem, no entanto, atribuir-lhes qualquer interpretação Física que pudesse ofuscar o
trabalho de Einstein.
A primeira consequência do novo enfoque de Einstein, diante da situação inovadora de descrever os movimentos de partículas
com velocidades signi�cativas em relação à velocidade da luz para referenciais inerciais, é um novo ponto de vista do
signi�cado de Simultaneidade.
“Dois eventos que são simultâneos em um sistema de referência, não
necessariamente devem ser simultâneos em um outro sistema que se
movem em relação ao primeiro.”
 Exemplo 
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Exemplo
Para ilustrar esse fato, imagine um observador no centro de um ônibus, no meio do veículo. Acima da cabeça do
observador existe uma lâmpada como fonte luminosa.
Esse veículo tem duas portas. Uma à frente e outra exatamente ao fundo do ônibus, na mesma lateral. Ambas as
portas estão equidistantes do observador que se encontra no centro do ônibus.
As portas têm um mecanismo automático para que se abram assim que receberem um sinal luminoso oriundo da
fonte.
Parece evidente �sicamente que o observador interno ao ônibus verá as duas portas se abrirem simultaneamente, já
que para ele o sinal luminoso atinge as duas portas ao mesmo tempo, visto que a velocidade da luz é a mesma para
os dois sentidos opostos em que se encontram as portas, em relação ao observador no centro do ônibus.
O ônibus pode, ainda, se deslocar com uma velocidade V constante em relação a uma rodoviária na qual se encontra
um segundo observador. A pergunta que se pode fazer é: O que o segundo observador verá? O que ele observará? Verá
as duas portas se abrirem simultaneamente?
Ora, pelo fato da porta da frente do ônibus fugir de um dos raios luminosos, por assim dizer, e da outra porta, ao fundo,
ir de encontro ao raio luminoso, parece que o observador externo ao ônibus verá a porta da frente abrir-se depois que a
porta do fundo se abriu.
Isto é, a porta do fundo que vai de encontro ao raio luminoso, abre primeiro, e depois segue-se que a porta que foge do
raio luminoso abrirá em seguida. Parece, portanto, que, para o segundo observador, externo ao ônibus, as portas se
abrem em instantes de tempo não necessariamente simultâneos.
A conclusão óbvia que a relatividade fornece é que a simultaneidade depende do estado de movimento, depende dos
observadores, depende do sistema de coordenadas.
Logo, parece que a relatividade exige que nossa noção de intervalo temporal seja modi�cada em função do sistema
de coordenadas. Nesse caso, um sistema de coordenadas inercial, pois o ônibus, ao se deslocar com V em relação à
rodoviária, é �sicamente equivalente à rodoviária se deslocar com velocidade -V em relação ao ônibus, e cujo valor em
módulo da velocidade é o mesmo e constante.
Então, existe uma classe de referenciais inerciais S , S , S ……. Sn, todos equivalentes entre si, para os quais se
aplicam os Postulados da Relatividade 1 e 2 e para os quais a conclusão acima é válida.
Segue que a conclusão acima é um dos primeiros grandes choques em relação à Física newtoniana que sempre
tratará o tempo, e/ou os intervalos temporais, como intrinsecamente simultâneos para diferentes observadores em S e
S’, no caso, entre o ônibus (referencial S) e a estação rodoviária (referencial S’).
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A contração dos comprimentos ou das “distâncias”
Outro resultado espantoso da relatividade é a chamada contração das distâncias.
Imaginemos, por exemplo, uma régua de comprimento L localizada no referencial S, que se move com velocidade V constante
em relação ao referencial S’, no qual se encontra um segundo observador O’.
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 Exemplo 
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Exemplo
Imaginemos, por exemplo, uma régua de comprimento L localizada no referencial S, que se move com velocidade V
constante em relação ao referencial S’, no qual se encontra um segundo observador O’.
A pergunta natural é: o que mede, o que observa o segundo observador O’ quando observa a régua localizada em S?
A resposta espantosa é que o observador O’ vê uma espécie de encurtamento da régua no referencial S, isto é, ele
mede um comprimento L tal que L< L .
Como os referenciais são equivalentes, pois são ambos inerciais, e a velocidade da luz é a mesma para ambos os
observadores, o observador O, localizado em S quando observar, reciprocamente, a régua localizada no referencial S’,
também medirá uma régua encurtada.
Quem tem razão, a�nal? A resposta, mais espantosa ainda é que ambos têm razão.
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A dilatação do tempo
Um efeito fabuloso previsto pela Teoria da Relatividade é a marcação de intervalos temporais em diferentes referenciais
inerciais S e S’, respectivamente.
Veri�ca-se, da teoria, que relógios previamente sincronizados, e estamos falando de bons relógios suíços previamente
sincronizados, quando colocados em referenciais inerciais diferentes, dependendo do estado de movimento dos referenciais,
isto é, dependendo da velocidade relativa entre os dos sistemas S e S’, começarão a marcar intervalos de tempo de forma
diferente ou descompassadas.
 (Fonte: PHOTOCREO Michal Bednarek / Shutterstock)
Se um observador em S medir um intervalo ∆T , o outro observador S’ medirá um intervalo temporal ∆T tal que ∆T > ∆T , ou
seja, para o observador em S se for medido um tic-tac de seu próprio relógio, para o outro observador em S’ será obtido uma
medição mais lenta, do tipo tic-tac-tic-tac. Lembrando que estamos sempre considerando referenciais inerciais e, portanto, o
que um observador medir deve ser reciprocamente equivalente ao que o outro também medir. A esse fenômeno denominamos
de dilatação do tempo.
Diz-se que, para um dos observadores, o tempo passa mais devagar. Em uma discussão mais técnica, pode-se mostrar que
esse fato condiz perfeitamente com o tempo de Meia Vida de partículas oriundas de fora do planeta, que a princípio não
deveriam alcançar a superfície da Terra, pois antes que o �zessem, decairiam.
No entanto, de fato, alcançam a superfície da Terra pois o tempo se dilata, passa mais devagar, para essas partículas, o que
permite que sejam detectadas nos laboratórios terrestres.
Foi com essa abordagem relativística que Cesar Lattes, famoso físico brasileiro, e sua equipe, descobriram o Méson 𝛑 ,
posteriormente chamado de Píon.
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 O paradoxo dos gêmeos 
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O paradoxo dos gêmeos
O fenômeno da dilatação do tempo, veri�cado no decaimento de partículas oriundas do cosmos e do nosso sol, nos
permite obter uma conclusão ainda mais misteriosa, chamada de paradoxo dos gêmeos onde, na verdade, não há
paradoxo algum. O paradoxo é apenas aparente.
A análise é simples e é clássica no estudo da relatividade especial.
Vamos imaginar que dois irmãos gêmeos estejam no referencial S e que, neste referencial, um deles é mais velho do
que outro, uns dois minutos, medidos no referencial S no exato momento do nascimento de cada um. Se ambos
permanecerem para sempre no mesmo referencial S, eles terão sempre uma diferença de intervalo temporal entre
suas idades de dois minutos.
Agora, suponhamos que um deles �que aqui no planeta Terra com uma idade de 20 anos, enquanto que o outro, que
até então tinha 20 anos e dois minutos na Terra, entra em uma espaçonave e inicia uma viagem em direção à
Andrômeda, com uma velocidade de 0,8c.
Digamos que para o gêmeo que está dentro da nave, o seu relógio local marque um tempo de ida à Andrômeda, só
para efeito de raciocínio, de cinco anos, sendo o percurso temporal hipotético, de ida e volta, de dez anos. Para o
gêmeo dentro nave, ele certamente iria e voltaria à Terra e teria ao �m e ao cabo da viagem uma idade de 30 anos e
dois minutos em relação à sua idade inicial de partida.
O espantoso seria ele, o gêmeo da nave, veri�car que o seu irmão que permaneceu na Terra, quando comparado
consigo mesmo, teria �cado muito mais velho. O tempo para o gêmeo que permaneceu no interior da nave teria, como
que, transcorrido mais lentamente, enquanto que para o gêmeo que permaneceu na Terra, a passagem do tempo teria
sido usual. Portanto, estaria mais velho em relação ao irmão que estivera dentro da nave.
Se o gêmeo da Terra é A e o gêmeo da nave é B e efetuarmos a troca dos gêmeos, o fenômeno se repetirá da mesma
forma.
A�nal, o paradoxo existe ou é aparente?
Aqui temos uma situação singular e muito interessante. Não vamos entrar no mérito, mas devemos lembrar que uma
nave, para atingir uma velocidade de V=0,8c, deverá ser continuamente acelerada até alcançar a velocidade V
constante de 0,8c.
Enquanto a espaçonave estiver sendo acelerada, a nave e o solo não formam referenciais inerciais. Somente um dos
gêmeos estará submetido à real aceleração. No caso, o gêmeo da nave estará continuamente sujeito à aceleração,
durante a viagem, enquanto que o gêmeo da Terra permaneceu na sua tranquilidade, sem ser submeter ao aumento
contínuo da sua velocidade relativa até alcançar o valor de V=0,8c.
Somente quando V= 0,8c for constante, o efeito do aparente paradoxo se manifesta. Durante o tempo em que a
velocidade estará variando entre zero e 0,8c, o sistema Nave-Terra é não inercial e, portanto, as premissas da
Relatividade Especial não estarão valendo ainda.
Apenas ao �nal da viagem de um dos gêmeos, quando �nalmente ambos são comparados, podem ser veri�cados os
sinais da dilatação do tempo entre A e B.
Conclusão: Não existe paradoxo algum. O efeito é real. Somente um dos gêmeos sofreu o real efeito da aceleração.
Esse é um belo efeito muito explorado em �lmes de �cção e de viagens no tempo, um assunto ainda pertencente à
relatividade, mas mais profundamente abordado na Teoria da Relatividade geral através da Física de buracos negros,
buracos brancos e os chamados buracos de minhoca (Wormholes), um tópico que foge ao nosso escopo, mas que
rapidamente abordaremos mais adiante.
Outros efeitos da Teoria da Relatividade Especial
Outras conclusões fascinantes da teoria da Relatividade Restrita (lembrando que é restrita porque estamos realmente restritos
aos referenciais inerciais, deixando o caso de referenciais não inerciais para compor o corpo da relatividade geral) podem
facilmente ser obtidas.
Comentário
Para qualquer um que tenha estudado a teoria em maiores detalhes, é um fato que a inércia newtoniana, cuja constante de
representação é a massa da partícula m, no desenvolvimento da relatividade é rede�nida para que a conservação do momentum
linear seja preservada. 
 
Isso signi�ca que a quantidade Física, p = mv, passa ser preservada em qualquer situação de colisão elástica, ou inelástica. O
preço a ser pago por esse princípio da Física, o princípio de conservação do momentum linear, é que a massa de repouso da
partícula venha a ser reescrita como uma constante multiplicada pela massa de repouso, o que nos fornecerá uma nova noção de
massa, como uma função da velocidade, que chamamos de massa relativística. 
Logo, no contexto da Relatividade Restrita, a massa passa a ser uma função do estado de movimento da partícula, também. 
Sobre a adição de velocidades
Outro fato estranhíssimo, que ocorre dentro do contexto da Relatividade Restrita, é o fato de a luz, como uma constante
universal para todos os observadores inerciais, não se submeter à lei da adição de velocidades de Galileu, as transformadas de
Galileu.
Isso porque a própria lei de adição de velocidades é rede�nida, ou melhor, é reescrita para incorporar os efeitos da relatividade.
A nova lei de composição de velocidades vem corrigir a antiga lei de Galileu da adição de velocidades.
 Então, a antiga lei estava errada? 
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Então, a antiga lei estava errada?
Não, claro que não. Signi�ca apenas que estamos vivenciandoum novo regime de velocidades e observações nesse
novo contexto. Portanto, no antigo contexto em que V<<c e, como tal, era descrito pela composição de velocidades de
Galileu, no novo quadro ditado pela Relatividade Restrita, onde V, digamos fosse da ordem de pelo menos 0,5c,
teremos uma espécie de generalização das transformações de Galileu entre dois sistemas de referência S e S’ para as
velocidades.
Exemplo
Sem maiores explicações técnicas, consideremos novamente um trem e uma estação, ou seja, S e S’, como os dois
respectivos referenciais inerciais. O trem se move com uma velocidade V para a direita em relação à estação.
Um viajante, no interior do trem, se move com v em relação ao trem. Então, a velocidade do viajante em relação à
estação será dada, naturalmente, de acordo, inclusive, com o nosso senso comum, por V+v.
Se acaso o viajante se mover em sentido oposto ao do trem, isto é, para a esquerda, então sua velocidade em relação
à estação é imediatamente dada por V+ (-v), ou seja, V-v. Essa é a composição usual de velocidades de Galileu.
Quando a Relatividade Restrita entra em jogo, e os seus efeitos se manifestam, não só a lei de composição de
velocidades de Galileu é alterada, como a própria luz, em qualquer situação, continuará a se comportar como uma
constante, independentemente do estado de movimento da fonte.
Exemplo
Imagine o seguinte exemplo não trivial:
Você se encontra dentro de um trem que vai aumentando progressivamente a velocidade. Vamos imaginar,
hipoteticamente, que esse trem pudesse alcançar a velocidade c, da luz.
Dentro do trem, o maquinista aciona o dispositivo que acende a luz frontal externa do trem cuja velocidade é c. Se
apelarmos ao senso comum e usarmos a lei de composição de velocidades de Galileu, seríamos levados a concluir
que a velocidade total da luz em relação à estação seria c+c = 2c, o que não é verdade.
A velocidade da luz continuará a ser c, pois essa velocidade é a constante universal da teoria. Por outro lado, ainda que
�zéssemos uso da correta lei de composição de velocidades da Relatividade Restrita, poder-se-ia mostrar que a
velocidade da luz oriunda do farol frontal do trem seria c e não 2c, como previsto pela teoria clássica.
Seria preciso apenas um pouco de matemática, advinda das transformações de Lorentz, para veri�car a validade do
Postulado 1, já previamente mencionado.
Sobre a correção relativística para a energia cinética
Veri�camos desde o início de nossa discussão, que a Relatividade Restrita vem continuamente corrigindo os resultados que
conhecemos da Teoria de Galileu e Newton.
Todas as quantidades Físicas da Mecânica Clássica foram apropriadamente corrigidas para descrever as quantidades de
massa, momentum linear, composição de velocidades etc.
Com a energia não seria diferente. A conhecida expressão da energia cinética, de movimento, para uma partícula como sendo
proporcional ao quadrado da velocidade V da partícula, será modi�cada para dar conta do novo regime de velocidades elevadas
em relação a c.
Um cálculo simples nos fornece a nova cara da equação que vai descrever a
energia de movimento no novo regime, mas, na obtenção dessa nova
equação, a relatividade nos fornece algo inesperado, talvez, como um bônus
da teoria.
Saiba mais
É aqui que se obtém, talvez, a equação mais famosa da física teórica:
E = Mc
Essa equação nos fornece exatamente a chamada energia de repouso, ou energia própria, da partícula ou do corpo. Einstein
concluiu que é necessária energia para haver massa, e que ocorre liberação de energia se essa massa desaparecer.
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O termo c é o fator de conversão entre unidades de energia e massa, ou seja, é a constante de proporcionalidade entre massa
e energia. Massa e energia são, por assim dizer, faces diferentes de uma mesma moeda. São apenas manifestações diferentes
da mesma entidade física, que poderíamos chamar de “Potência própria de um corpo ou uma partícula qualquer”.
Isso justi�ca e explica perfeitamente que pequenos decréscimos de massa atômica, por exemplo, que ocorrem na �ssão ou na
fusão nuclear, liberem enormes quantidades de energia, tudo regido maravilhosamente pela equação acima. Portanto, �ca claro
de onde vem a energia da bomba atômica e a energia de nosso próprio sol.
A equação de Einstein demonstra como pequenas variações de massa do núcleo atômico podem liberar gigantescas
quantidades de energia, pois essa quantidade pequena de massa, quando multiplicada pelo enorme valor da velocidade da luz
ao quadrado, nos dará, como resultado, o valor de E.
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Atenção
Muita gente interpreta erroneamente a equação de Einstein como se fosse possível tomar uma certa quantidade de matéria,
colocá-la para viajar com o quadrado da velocidade da luz, e a matéria original fosse sendo pulverizada em energia pura. Nada
mais incorreto do isso. 
 
Isso, inclusive, violaria o Postulado 2 da Relatividade Restrita. Dito de outra forma, do ponto de vista da Dinâmica Relativística,
nenhuma partícula jamais poderá ser acelerada até a velocidade da luz. Alcançar a velocidade da luz, portanto, é uma
impossibilidade da teoria. 
 
Muito embora, como já antecipado, possam existir partículas, na natureza, com velocidades naturalmente iguais a c (os fótons),
próximas a c (os neutrinos) e, talvez, até os tachyons, com velocidades superluminais, isto é, com velocidades maiores do que c,
porém estas últimas estariam fora do chamado Cone de Luz, o lugar natural onde toda a causalidade se faz respeitar. 
 
As partículas thachyônicas, se existirem, estarão fora do Cone de Luz da Relatividade Restrita e violariam, por assim dizer, a
Causalidade Relativística. 
 
Então, a equação acima só faz sentido se c, ao quadrado, indicar apenas uma constante de proporcionalidade para mostrar a
completa equivalência entre massa e energia. Com a equação acima, toda a física nuclear �ca de�nitivamente explicada, pelo
menos no que diz respeito aos processos da �ssão e fusão nuclear.
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Tudo é relativo mesmo?
Agora, estamos em condições de responder às questões iniciais com as quais iniciamos a nossa discussão: “Tudo é
relativo?”
A�rmar que tudo é relativo por si só não faz sentido, a menos que se complemente e se diga que tudo é relativo a um
observador “O”, localizado em um particular referencial S.
A outra frase que analisamos foi: “Einstein já dizia que não pode existir nada com velocidade maior do que a velocidade
da Luz”.
Einstein nunca disse isso. O que Einstein a�rmou, desde o início de sua formulação da Teoria da Relatividade Restrita,
é que, nada, nenhum corpo, nenhuma partícula, pode ser acelerada até a velocidade da luz.
Porém, podem existir na natureza partículas que já nascem com a velocidade igual a c. Os próprios fótons possuem
velocidade igual a c em sua própria origem. Também poderíamos ter partículas com velocidades V >> c, no caso, as
partículas do tipo tachyons, mas isso é outro assunto que foge ao nosso presente enfoque.
E �nalmente a última imprudente conclusão que analisamos no início desta aula: “Einstein teria provado que a física de
Newton, e sua teoria da Gravitação, estariam erradas”.
Também não é correto! Pelo contrário. Ao fazer as devidas correções à física de Newton, Einstein demonstrou toda a
força, todo o poder de validade da física newtoniana quando aplicada ao regime de baixas velocidades, V << c.
A física de Einstein, nesse sentido, é a generalização natural da física de Newton que, quando considerado o regime de
baixas velocidades, faz com que o princípio da correspondência se manifeste e, assim, reobtemos de Einstein toda a
física de Newton.
O Cone de Luz
Os eixos coordenados da física clássica (x, y, z), mais o
tempo “t”, usualmente tratados de forma separada como
entidades distintas e absolutas, quando são incorporadas
em uma única entidade como o espaço-tempo na
Relatividade Restrita ou na Relatividade Geral e, quando
colocamos o tempo-coordenada e o espaço em uma
representação grá�ca, temos que representar X com i =1, 2,
3 + tempo, sendo X = x ; X = y ; X = z + tempo-
coordenada.
Essa combinação das quatro coordenadas, as três
espaciais mais o tempo, é o que normalmente chamamos
de espaço-tempo. Em nossa representação grá�ca acima,
X vai desempenhar o papel das abscissas em um sistema
de coordenadas cartesianas, um hiperplano x, y, z, enquanto
o tempo-coordenado desempenha o papel de ordenada no
mesmo sistema de coordenadas, em completa analogia
com o sistema de coordenadas espaciais em duas
dimensões.
i
1 2 3
i
 Cone de luz.
Se considerarmos, agora, as respectivas cônicas bissetrizes X = t e X = -t, temos, geometricamente, a representação do
espaço-tempo com a região delimitada pelas duas cônicas bissetrizes, como o Cone de Luz, a região dentro da qual ou sobre a
qual todos os eventos causais são possíveis e permitidos.
Todos os eventos com velocidades V menores ou iguais a c, a velocidade da luz, podem ocorrer sobre o Cone de Luz ou dentro
do Cone de Luz.
Partículas thachyônicas, que são superluminais, estariam, portanto, completamente fora da região causal, ou seja, fora do Cone
de Luz. Os físicos e matemáticos costumam se referir aos aspectos causais associados ao Cone de Luz como eventos tipo-
tempo, eventos tipo-espaço ou eventos tipo-nulo. Todos causais porque evoluem desde o eterno passado ao eterno futuro,
em nossa representação geométrica de Cone de Luz.
Eventos fora do Cone de Luz violam completamente a nossa noção de causa e efeito, estando localizados completamente em
uma região não física do ponto de vista da relatividade, a menos que as noções de causa e efeito sejam rede�nidas, o que
efetivamente pode ser feito quando desejamos incorporar a possibilidade de existência dos tachyons, coisa que,
provavelmente, Einstein não pensaria em fazer, mas que, do ponto de vista da física e da natureza, não pode ser
completamente descartada.
Temos, então, uma representação grá�ca, em quatro dimensões, através de uma �gura bidimensional onde Xi desempenha o
papel análogo à usual coordenada x, abscissa, e o tempo-coordenada desempenha o papel da usual coordenada vertical, em
um sistema de coordenadas retangulares.
i i
O conceito do Cone de Luz é fundamental no estudo da Relatividade Restrita
e da Relatividade Geral e se mostrará muito útil para todas as
consequências que a Relatividade Geral nos propiciará, quando aplicada à
formulação dos vários modelos cosmológicos do universo. Portanto, em um
estudo mais aprofundado, demonstrará ser uma ideia poderosa e que está
na fundamentação da Teoria da Relatividade.
 Einstein explicou a gravidade como a curvatura criada por um corpo massivo, como o Sol, no tecido do espaço-tempo. (Fonte: https://www.bbc.com)
Um pouco da Teoria da Relatividade Geral
A evolução natural do pensamento de Einstein foi considerar os referenciais do tipo não inerciais, isto é, referenciais acelerados.
Embora não seja o nosso objetivo fazer um estudo mais aprofundado do assunto, desejamos, ao menos, sumarizar, em linhas
gerais, a Teoria da Relatividade Geral em seus principais resultados.
Em primeiro lugar, a�rmamos que a teoria descreve exatamente a Gravitação. A equação fundamental da teoria pode ser
resumida como:
Matéria = Geometria
O lado esquerdo indica o conteúdo de distribuição de matéria presente no sistema considerado, enquanto o lado direito nos
fornece a informação sobre como essa matéria vai deformar o espaço que a contém.
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Nos fornece, por assim dizer, a “curvatura do espaço”. Registre-se que, na
verdade, como a própria Relatividade Especial já havia uni�cado a noção de
espaço e tempo em um “contínuo espaço-tempo”, a Relatividade Geral
mantém essa ideia de uni�cação entre o espaço e o tempo, que, antes da
Relatividade Restrita, eram variedades distintas e, agora, na sua extensão
para incorporar a Gravitação, mantém a noção de espaço-tempo.
 Resolução da equação 
 Clique no botão acima.
Resolução da equação
Então, a equação acima mostra uma relação simbiótica, uma relação estreita de equivalência entre a distribuição de
matéria no sistema e a geometria do espaço-tempo. Resolver matematicamente a equação acima é, em geral, uma
tarefa árdua e complexa.
Na literatura existem muitas soluções possíveis. Algumas descrevendo BlackHoles, outras que descrevem Naked
Singularities (singularidades nuas), outras ainda Wormholes (buracos de minhocas) e várias delas descrevendo
Universos inteiros com suas sutis propriedades.
É uma teoria que previu corretamente, inclusive, o fenômeno das ondas gravitacionais, tanto as primordiais, aquelas
geradas no início da criação do Universo, quanto aquelas geradas na colisão de dois buracos negros ou na explosão de
estrelas Supernovas.
Na base da teoria, está o princípio da equivalência, para o qual existem várias versões possíveis de serem enunciadas.
Por exemplo:
“Um campo gravitacional uniforme é equivalente a um referencial acelerado em uma certa região do espaço-
tempo”.
Ou ainda, para alguns, uma versão mais simples do mesmo princípio, que diz:
“A massa inercial, aquela descrita pela segunda lei de Newton e que representa a resistência à modi�cação do
estado de movimento, F = ma, e a massa gravitacional, aquela que aparece na força peso tal como P = mg, apesar
de nada indicar serem essas duas massas equivalentes �sicamente, do ponto de vista de qualquer experimento
realizado até os dias atuais, elas têm se mostrado absolutamente equivalentes”.
Veri�car a perfeita equivalência entre as duas formas de enunciar o princípio de equivalência é uma tarefa que não
exploraremos aqui, mas o registramos como uma motivação adicional para os que desejam se aprofundar no assunto.
Resultados experimentais
Podemos a�rmar que a teoria da Relatividade tem, cada vez mais, se �rmado como uma sólida teoria física, assentada em
forte base experimental. Seus pilares estão �rmes como nunca e alguns desses resultados experimentais, que garantem essa
robustez, são os seguintes:
Clique nos botões para ver as informações.
A luz ao passar perto de um grande corpo massivo, sofre um desvio em seu trajeto que já foi medido em, pelo menos,
duas experiências históricas, uma delas aqui no Brasil, na cidade de Sobral, Ceará.
O desvio da luz pela gravidade 
A teoria prevê que o plano da órbita de Mercúrio varia com o tempo, isto é, vai mudando com o tempo. Esse é um fato
muito bem estudado, previsto e detectado experimentalmente.
O desvio do periélio de Mercúrio 
Fontes luminosas que se afastam do detector localizado na Terra sofrem um desvio para vermelho em suas frequências,
enquanto fontes que se aproximam do detector sofrem um desvio para o azul em suas frequências.
O desvio para o vermelho gravitacional 
Na verdade, como um buraco negro não emite qualquer luz visível para ser fotografado, o que foi obtido como uma
imagem de fotogra�a foi a luz exterior ao chamado horizonte de eventos de um buraco negro, que, por si só, já indica a
existência do buraco negro. 
 
Esse fantástico feito, foi recentemente divulgado, em 2019, na imprensa do mundo inteiro.
Imagem de um buraco negro 
Também detectada recentemente, em 2015, e divulgada em todos os jornais do mundo. Essas ondas são análogas às
ondas eletromagnéticas associadas ao campo eletromagnético. 
 
Os fótons, que são as partículas de luz, sugerem-nos, por analogia, a existência de grávitons, como partículas associadas
ao campo gravitacional, mas isso também foge ao nosso escopo e objetivo na presente discussão.
"Fonte: Nature, Ligo, CNRS. Infogra�a: AFP e Gazeta do Povo." Disponível em: https://www.gazetadopovo.com.br/mundo/cientistas-detectam-ondas-gravitacionais-
previstas-por-einstein-em-descoberta-historica-2st9q8z7ixls29pph7bznegjn/. Acesso em: 29 ago. 2019.
A existência de ondas gravitacionais 
Concluímos, então, que a Teoria da Relatividade Especial e sua natural extensão para os referenciais não inerciais, a
Relatividade Geral, apesar de não a termos explorado aqui em detalhes, estão fortemente sedimentadas como parteintegrante
da ciência e conquistaram total credibilidade de cientistas, professores, pesquisadores e até mesmo do imaginário popular.
Cada um dos experimentos acima mencionados continua a abrir novas perspectivas de futuras descobertas. A teoria, em si
mesma, continua balizando muitas das pesquisas atuais em Mecânica Quântica, Teoria Quântica de Campos em Espaços
Planos, Teoria Quântica de Campos em Espaços Curvos, Loop Quantum Gravity, Teoria de Cordas e Teorias alternativas à
Gravitação de Einstein, tais como as chamadas teorias F(R).
Com certeza, Einstein ainda vai continuar cativando mentes e corações por muito tempo, pelo menos até que apareça um
contraexemplo que venha a violar algum dos preceitos da Relatividade Restrita ou da Relatividade Geral.
 Atividade
1. Considere uma carga elétrica acelerada, como descrito pelo eletromagnetismo clássico. Conhecemos, da teoria, que toda
carga elétrica acelerada irradia, isto é, emite radiação. Agora, considere que uma carga elétrica se encontre mergulhada em um
campo gravitacional uniforme. Pergunta-se: A carga elétrica, nessas circunstancias, irradia ou não?
2. Se essa carga elétrica estivesse em repouso em um campo gravitacional uniforme, digamos em repouso em cima de sua
mesa de trabalho neste momento, ela irradiaria ou não?
3. Considere o som do trovão e antecipadamente a emissão do relâmpago, a emissão de luz com a esperada velocidade c,
visto por um observador na superfície da Terra em um ponto P qualquer. A não simultaneidade entre esses dois eventos é
análoga à não simultaneidade relativística?
4. Se você estivesse se movendo em uma espaçonave em altíssima velocidade, comparada à luz, em relação à Terra, você
notaria alguma diferença em sua própria pulsação cardíaca?
5. Quando se diz que a massa relativística é uma função da velocidade ou do estado de movimento do corpo, ou da partícula, e
a�rmamos que essa massa relativística cresce, em relação à massa de repouso, de tal sorte que quando V << c obtemos, pelo
princípio da correspondência, a usual massa de repouso em um referencial de repouso, perguntamos: De onde vem esse
aumento misterioso da massa?
6. Em uma reação química exotérmica onde A+B resulta em C+D+x calorias, pergunta-se: De onde vem a energia térmica que
surge no produto da reação?
Referências
HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos da Física. Volumes 1, 2, 3 e 4 Rio de Janeiro: LTC, 2012.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos da Física. Volumes 1, 2, 3 e 4 Rio de Janeiro: LTC, 2012.
HEWITT, Paul G. Física Conceitual. 11. ed. São Paulo: editora Bookman - Companhia editora, 2011.
NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física Básica. Volumes 1, 2, 3 e 4. São Paulo: Ed. Edgar Blücher, 1998.
SEARS; ZEMANSKY; YOUNG, H.; FREEDMAN, R .A. Física I, II, III e IV. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2009.
WOLFF, J. F. S.; MORS, P. M. Relatividade: a passagem do enfoque galileano para a visão de Einstein. Porto Alegre: Ed. UFRGS,
2005.
Próxima aula
Os princípios e postulados da Mecânica Quântica;
O quantum de energia, os orbitais quânticos eletrônicos;
O modelo atômico, a função de onda e sua interpretação quântica;
A densidade de probabilidade;
Os níveis de energia de sistemas ligados, o tunelamento quântico;
O colapso da função de onda e a medida quântica;
Os números quânticos e seus graus de liberdade.
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Simulations, da University of Colorado, Boulder.
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Einstein.
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