Lista de execícios 17 - Mecânica Analíctica 1 - (Nivaldo A. Lemos)

Prévia do material em texto

Lista 18 - Mecânica Clássica 1
Raphael Gomes Sousa
18 de abril de 2022
1 Uma part́Icula de massa m move-se no semi-eixo x > 0 com
energia potencial
V (x) = V0(e
−kx + Cx)
onde todas as constantes são positivas. Determine para que
valores das constantes existem posições de equiĺıbrio e en-
contre a frequência das pequenas oscilações em torno das
posições de equiĺıbrio estável.
Temos que o ponto de equiĺıbrio dessa equação dada do enunciado é
dV
dx
= V0(−ke−kx0 + C) = 0
Sendo V0 ̸= 0, temos portanto
(−ke−kx0 + C) = 0
ke−kx0 = C −→ e−kx0 = C
k
−→ −kx0 = ln
c
k
x0 =
−1
k
ln
c
k
Agora para verificar a estabilidade do sistema, temos que
d2V
dx2
|x0 = V0(k2e−kx) > 0
Aplicando o valor encontrado de x0, temos
d2V
dx2
|x0 = V0(k2e−k(
−1
k ln
c
k )) = V0
k2C
k
= V0kC > 0
Ou seja, estável. A frequência das pequenas oscilações é dada por
ω2m =
d2V
dx2
−→ ω2 = V0kC
m
−→ ω2 =
√
V0kC
m
2 Uma conta de massa m desliza sem atrito ao longo de uma
circunferência de raio R que gira em torno do seu diâmetro
vertical com velocidade angular constante ω. sendo a ori-
gem tomada no centro da circunferência e θ o ângulo definido
pela part́ıcula relativamente a direção vertical, as coordena-
das cartesianas da part́ıcula de massa m são
x = Rsenθcosϕ y = Rsenθsenϕ z = −Rcosθ
1
onde ϕ = ωt é o ângulo de rotação em torno do eixo ver-
tical z. (i) Se o ńıvel zero do potencial gravitacional for
tomado no ponto mais baixo da circunferência, mostre que
o lagrangiana do sistema é dada por
L =
m
2
Rθ̇2 −mgR[(1− cosθ)− 1
2
ω2
ω2c
sen2θ]
onde wc =
√
g/R (ii) Estude as configurações de equiĺıbrio
e classifique-as quanto a estabilidade. (iii) Mostre que este
sistema também apresenta quebra espontânea de simetria
(Sivardiére 1983).
(i) Começando fazendo a energia cinética como sendo
T =
m
2
(ẋ2 + ẏ2 + ż2)
Derivando os valores de x,y e z. Temos
ẋ = Rcosθcosϕθ̇ −Rsenθcosϕϕ̇ ẏ = Rcosθsenϕθ̇ +Rsenθcosϕϕ̇ ż = Rsenθθ̇
T =
mR2
2
(cos2θcos2ϕθ̇2 − sen2θcos2ϕϕ̇2 − 2cosθcosϕsenθsenϕϕ̇θ̇
+cos2θsen2ϕθ̇2 + sen2θcos2ϕϕ̇2 + 2cosθcosϕsenθsenϕϕ̇θ̇ + sen2θθ̇2)
Substituindo ϕ = ωt, temos
T =
mR2
2
(cos2θθ̇2(cos2ϕ+ sen2ϕ) + sen2θω2(sen2ϕ+ cos2ϕ) + senθθ̇2)
T =
mR2
2
(cos2θθ̇2 + sen2θθ̇2 + sen2θω2)
T = mR2(θ̇2 +
sen2θω2
2
)
Para a energia potencial, temos
V = −mgRcosθ +mgR
Agora a Lagrangiana do sistema, portanto é
L =
mR2
2
(θ̇2 + sen2θω2) +mgRcosθ −mgR
L =
mR2θ̇2
2
+
sen2θω2
2
+mgRcosθ −mgR
L =
mR2
2
θ̇2 −mgR[1− cosθ − 1
2
ω2
g
Rsen2θ]
L =
mR2
2
θ̇2 −mgR[(1− cosθ)− 1
2
ω2
ω2c
sen2θ]
(ii) Verificamos a condição de estabilidade a partir do potencial efetivo. Para este exemplo, temos que
o potencial efetivo é dado por
Vef = −mgRcosθ +mgR+
1
2
mgR
ω2
ω2c
sen2θ
2
Para ser um sistema estável, temos que a derivada desse potencial tem que ser igual a 0. Sendo assim
dVef
dθ
= mgRsenθ +mgR
ω2
ω2c
senθcosθ = 0
senθ +
ω2
ω2c
senθcosθ = 0
senθ(1 +
ω2
ω2c
cosθ) = 0
senθ = 0 θ = nπ
1 +
ω2
ω2c
= 0
cosθ = −ω
2
c
ω2
θ = arccos(−ω
2
c
ω2
)
Agora temos que a segunda derivada deve ser maior do que 0, sendo assim
dV 2ef
d2θ
= mgRcosθ +mgR
ω2
ω2c
(−sen2θ + cos2θ) > 0
= mgRcosθ +mgR
ω2
ω2c
(−1 + 2cos2θ) > 0
Sendo θ = arccos(−ω
2
c
ω2 )
dV 2ef
d2θ
|
arccos(−ω
2
c
ω2
)
= mgRcos(arccos(−ω
2
c
ω2
)) +mgR
ω2
ω2c
(−1 + 2cos(arccos(ω
4
c
ω4
)) > 0
dV 2ef
d2θ
|
arccos(−ω
2
c
ω2
)
= mgR(−ω
2
c
ω2
) +mgR
ω2
ω2c
(−1 + 2(ω
4
c
ω4
) > 0
= mgR(−ω
2
c
ω2
) +mgR
ω2
ω2c
(−ω
2
ω2c
+ 2(
ω2c
ω2
) > 0
= mgR(
ω2c
ω2
− ω
2
ω2c
) > 0
Onde mgR > 0, temos que
ω2c
ω2
− ω
2
ω2c
> 0
Apenas se ωc > ω o sistema será estável. Se ωc < ω o sistema será instável.
3
	Uma partÍcula de massa m move-se no semi-eixo x > 0 com energia potencial toV(x) = V0(e-kx+Cx) onde todas as constantes são positivas. Determine para que valores das constantes existem posições de equilíbrio e encontre a frequência das pequenas oscilações em torno das posições de equilíbrio estável.
	Uma conta de massa m desliza sem atrito ao longo de uma circunferência de raio R que gira em torno do seu diâmetro vertical com velocidade angular constante . sendo a origem tomada no centro da circunferência e o ângulo definido pela partícula relativamente a direção vertical, as coordenadas cartesianas da partícula de massa m são tox=Rsencos y = Rsensen z=-Rcos onde = t é o ângulo de rotação em torno do eixo vertical z. (i) Se o nível zero do potencial gravitacional for tomado no ponto mais baixo da circunferência, mostre que o lagrangiana do sistema é dada por toL=m2R2-mgR[(1-cos)-1222csen2] onde wc=g/R (ii) Estude as configurações de equilíbrio e classifique-as quanto a estabilidade. (iii) Mostre que este sistema também apresenta quebra espontânea de simetria (Sivardiére 1983).