Lista de execícios 3 - Mecânica Analíctica 1 - (Nivaldo A. Lemos)

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Lista 3 - Mecânica Clássica 1
Raphael Gomes Sousa
18 de abril de 2022
1 O pêndulo cicloidal de Huyghens consiste numa part́ıcula
oscilando num plano vertical ao longo de um arco de ciclóide
com equações paramétricas
x = Rθ +Rsen(θ), y = −Rcos(θ).
Mostre que a Lagrangiana desse sistema pode ser posto na
forma
L = 2mR2θ̇2cos2(
θ
2
) +mgRcos(θ)
Fazendo a transformação de ponto u = sen(θ/2), obtenha a
lagrangiana e a equação de Lagrange em termos da coorde-
nada u. Prove que o peŕıodo de oscilaçao é igual a 4π(R/g)1/2,
independente, portanto, da amplitude θ0.
Primeiro devemos encontrar a Lagrangiana dada por L = T − V , onde T é dado por
T =
m
2
(ẋ2 + ẏ2)
Onde as paramétricas para este exemplo cicloidal nos dá
x = Rθ +Rsen(θ), y = −Rcos(θ).
Sendo assim, encontrando a forma derivada de x e y ficamos com:
ẋ = Rθ̇ +Rθ̇cos(θ), ẏ = Rθ̇sen(θ)
Agora colocando estes valores em T, temos:
T =
m
2
((Rθ̇ +Rθ̇cos(θ))2 + (Rθ̇sen(θ))2)
T =
m
2
((θ̇2R2 + 2R2θ̇2cos(θ) +R2θ̇2cos2(θ)) + (R2θ̇2sen2(θ)))
Fazendo o uso da propriedade trigonométrica cos2(x)+sen2(x) = 1 e aplicando na nossa Eq, temos:
T =
m
2
((θ̇2R2 + 2R2θ̇2cos(θ) +R2θ̇2))
Colocando θ̇2eR2 em evidência, temos:
T =
m
2
θ̇2R2(2cos(θ) + 2))
1
Colocando o 2 em evidência e gozando a propriedade trigonométrica cos(x) + 1 = 2cos2 x2 Temos
finalmente:
T = 2mθ̇2R2cos2
θ
2
Escrevendo a lagrangiana,
L = 2mθ̇2R2cos2
θ
2
+mgRcosθ (I)
Utilizando agora u = sen( θ2 ) e u̇ =
θ̇
2cos
θ
2 ,temos:
L = mR2u̇2 +mgRcosθ
Utilizando agora cos(2x) = cos2(x)–sen2(x), portanto:
cos(θ) = cos2
θ
2
− sen2 θ
2
e cos2(x) = 1− sen(x), portanto
L = mR2u̇2 +mgR(1− sen2 θ
2
− sen2 θ
2
)
L = mR2u̇2 +mgR(1− u2 − u2)
L = mR2u̇2 +mgR(1− 2u2)
L = mR2u̇2 +mgR− 2u2mgR
A Lagrangiana em função da coordenada u. Agora, devemos encontrar a Eq. de Lagrange para a
coordenada u, temos:
d
dt
(
∂L
∂u̇
)− ∂L
∂u
= 0
Aplicando o valor de L,
d
dt
(2mR2u̇)− (4umgR) = 0
2mR2ü− 4umgR = 0
Dividindo a Eq. por 2mR, temos:
Rü− 2ug = 0 (II)
Temos que o peŕıodo de oscilação é dado por:
T = 2π
√
L
g
Onde L = R e g podemos encontrar através de (II),
g =
Rü
2u
portanto,
2
	O pêndulo cicloidal de Huyghens consiste numa partícula oscilando num plano vertical ao longo de um arco de ciclóide com equações paramétricas tox=R+ Rsen(), y=-Rcos(). Mostre que a Lagrangiana desse sistema pode ser posto na forma toL=2mR2 2cos2(2)+mgRcos() Fazendo a transformação de ponto u = sen(/2), obtenha a lagrangiana e a equação de Lagrange em termos da coordenada u. Prove que o período de oscilaçao é igual a 4(R/g) 1/2, independente, portanto, da amplitude 0.