Prova 1.1 Resolvida de Cálculo 1 UnB 2018

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PROVA 1 
2018 - UNB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 1 
Calcule os limites abaixo: 
 
a) ;lim
t→0 5t
sen(3t)  
b) ;lim
h→9 h − 9
− 3√h  
c) ;lim
y→−∞ 3y2
1 + 2y − y2  
d) ;lim
x→1 x − 1
1 − x| |  
 
Resolução 
a) 
Se você tentar substituir diretamente​ x = 0​ na expressão, vai chegar na 
indeterminação ​0/0​. Para fugir dessa indeterminação, podemos aplicar o 
Teorema de L’Hôpital que diz que o limite de um quociente de funções é igual ao 
limite do quociente de suas derivadas. Resumindo, vamos derivar em cima e 
embaixo em relação a ​t​. 
 
 
 
Agora é só substituir ​t​ por 0: 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
Novamente, se você simplesmente sair substituindo ​h = 9​, você vai chegar na 
indeterminação ​0/0​. Você pode aplicar L’Hôpital para resolver, mas eu vou sugerir 
uma maneira mais simples. 
 
Primeiro, vamos nos livrar dessa raiz quadrada. Como fazer isso? Racionalização. 
Basta multiplicar o numerador eo denominador por ​√h + 3​. 
 
 
 
Com isso, o limite fica bem fácil de calcular: 
 
 
 
c) 
Se você substituir ​x ​por​ -∞,​ você vai chegar em uma indeterminação do tipo 
-∞/∞​. Para resolver esse caso, costumamos colocar o grau mais alto do polinômio 
em evidência, tanto no numerador quanto no denominador. Veja no que isso 
resulta: 
 
 
 
 
 
Agora fica bem fácil enxergar que os limites: 
 
 
 
 
d) 
Esse limite não existe! Vamos provar isso. Nós sabemos que, para que o limite 
exista, a seguinte igualdade deve existir: 
 
 
 
Isto é, o limite deve ser o mesmo quando ​x​ tende a 1 pela esquerda e quando​ x 
tende a 1 pela direita. 
 
Vamos ver o que acontece para o caso em questão. Primeiro vamos calcular o 
limite quando ​x​ tende a 1 pela esquerda. Bem, quando ​x​ tende a 1 pela esquerda, 
 
 
todos valores de ​x​ são menores que 1. E sempre que​ x < 1​, nós temos a seguinte 
igualdade: ​|x-1| = -(x-1)​. Então, o limite é calculado da seguinte forma: 
 
 
 
Quando x tende a 1 pela direita, todos valores de ​x​ são maiores que 1. E sempre 
que​ x > 1​, nós temos a seguinte igualdade:​ |x-1| = (x-1)​. Então, o limite é calculado 
da seguinte forma: 
 
 
 
Por fim, descobrimos que os limites quando ​x ​tende a 1 pela esquerda e quando ​x 
tende a 1 pela direita são diferentes. Isso significa que o limite não existe. 
 
QUESTÃO 2 
O governo estima que o custo, em milhares de reais, para despoluir x% de uma 
reserva de água doce é dado pela função 
 
 
a) Com base no texto, determine o domínio da função C e o valor de C(0). 
b) Determine a assíntota do gráfico de C, usando a definição de assíntota. Em 
seguida, faça um esboço do gráfico. 
c) É economicamente viável despoluir totalmente a reserva? Explique sua 
resposta. 
d) Calcule, usando a regra do quociente, a taxa de variação do custo com 
respeito ao percentual de despoluição quando a reserva está a 50% 
despoluída. 
 
 
 
Resolução 
a) 
O domínio da função é o conjunto de todos valores de ​x ​ que não tornam ​C(x) 
descontínua. Logo de cara conseguimos enxergar que ​x = 100​ vai resultar em 
uma divisão por zero, ou seja, esse valor de ​x​ não pertence ao domínio. De 
maneira mais formal, podemos escrever o domínio da seguinte forma:  
 
 
Ok, isso seria o domínio se a função não estivesse inserida em nenhum contexto. 
Porém, ​x​ representa a porcentagem da reserva a ser despoluída e você vai 
concordar comigo que não faz sentido despoluir mais de 100% da barragem, 
certo? Então para esse problema em específico, temos o seguinte dominio: 
 
 
 
Agora, vamos calcular ​C(0)​. Isso é muito simples, basta substituir ​x = 0​ na função 
C(x)​: 
 
 
 
b) 
A definição de assíntota vertical é a seguinte: uma constante real ​a ​é uma 
assíntota vertical de uma função ​f(x)​ se pelo menos uma das quatro afirmativas 
abaixo for verdadeira. 
 
 
 
 
 
Ok, agora vamos comprovar que ​x = 100​ é uma assíntota vertical da função do 
nosso problema. Para isso, temos que calcular os dois limites abaixo. 
 
 
 
No primeiro limite, aquele com x tendendo a 100 pela esquerda, o numerador 
tende ​200 ∙ 100​ e o denominador tende a um número positivo muito próximo de 
zero. Por exemplo, se ​x = 99,9999​, então ​100 - x = +0,0001​. E esse limite tende, 
portanto, a ​+∞​. 
 
O segundo limite não faz sentido para esse problema. Por quê? Pois o nosso 
domínio é ​[0 , 100)​. Ou seja, tudo que for maior ou igual a ​100​ não pertence ao 
nosso domínio. 
 
Então ​x = 100​ atende aos requisitos para ser assíntota vertical. Sabendo isso e 
sabendo que ​C(0) = 0​, vamos fazer um esboço do gráfico: 
 
 
 
 
 
c) 
Não é economicamente viável despoluir 100% da barragem. Isso pode ser 
compreendido se olharmos para o gráfico de ​C(x)​. O custo ​C(x)​ cresce à uma 
medida muito maior do que a porcentagem despoluída ​x​. E, além disso, para 
despoluir 100% da barragem (ou seja quando ​x ​tende a ​100​), o custo tende a ser 
infinito. Ou seja, nada viável, não é?  
 
d) 
Essa parte da questão pede que calculemos ​C’(50)​. Para podermos fazer isso, 
temos que derivar a função ​C(x)​. Isso é feito abaixo, usando a regra do quociente: 
 
 
 
 
Agora basta aplicar em ​x = 50​. 
 
 
 
A unidade da resposta acima é milhares de reais por porcento.  
 
 
QUESTÃO 3 
As montanhas da figura são modeladas pelo gráfico da função ,f (x) cos(x) = − x  
para . Um atirador de elite, localizado na origem do sistema de − /2, 3π/2] x ∈ [ π  
coordenadas tenta neutralizar fugitivos que escalam a montanha à direita para 
escapar da linha de tira. Se os fugitivos passarem do ponto de tangência (d, f(d)), 
sairão do campo de visão do atirador. O problema é determinar a distância 
máxima entre o atirador e um alvo potencial. 
 
a) Usando a definição, calcule .cos(x)ddx  
b) Calcule . Em seguida, determine a equação da reta tangente aof (x)ddx  
gráfico de f por um ponto genérico (a, f(a)), com .− /2, 3π/2) a∈ ( π  
c) Determine o valor de d, sabendo que a reta tangente à montanha por (d, 
f(d)), passa pela origem e que .2
π < d < 2
3π  
d) Determine a equação da reta tangente por (d, f(d)) calculado no item 
acima. Em seguida, supondo que o atirador atingiu um fugitivo 
exatamente no ponto (d, f(d)), calcule a distância percorrida pela bala. 
 
 
 
 
Resolução 
a) 
Você provavelmente lembra que a derivada do ​cos(x)​ é ​- sen(x)​. O que esse 
exercício nos pede é que cheguemos nessa resposta usando a definição de 
derivada. Como fazer isso? Lembre que a derivada de uma função ​f(x)​ é definida 
da seguinte forma: 
 
 
 
Agora, vamos substituir no lugar de ​f(x)​ a função ​cos(x)​. 
 
 
 
Agora vamos usar a seguinte propriedade trigonométrica: 
 
 
 
Usando a propriedade acima, ficamos com seguinte: 
 
 
 
 
 
Agora vamos separar essa fração em duas frações, uma só com senos e outra só 
com cossenos: 
 
 
 
Lembrando que o limite de uma diferença é igual a diferença dos dois limites, 
temos: 
 
 
 
Agora, no primeiro limite, vamos colocar cos(x) como um fator comum. 
 
 
 
Vamos pensar no seguinte: tanto o ​cos(x)​ como o ​sen(x)​ podem sair para fora do 
limite, pois não estamos querendo avaliar o limite com relação a ​x​, mas sim com 
relação a ​h​. Fazendo isso, ficamos com o seguinte: 
 
 
 
 
 
Para seguir adiante, temos que nos recordar de dois limites famosíssimos quando 
falamos sobre seno e cosseno. São eles: 
 
 
 
Veja que um deles nós temos na nossa expressão (o ​sen(x)/x​) e o outro nós não 
temos, mas temos algo muito parecido. Vamos fazer uma manipulação para que 
ele apareça: 
 
 
 
Agora sim! Os dois limites famosos apareceram e podemos substituí-los pelos 
seus valores: 
 
 
 
Pronto! Finalmente provamos que ​d/dx (cos (x)) = - sen (x)​. 
 
 
b) 
Precisamos calcular a derivada da função​ f(x) ​que foi dada no problema. Para isso 
vamos ter que usar a regra do produto. Veja: 
 
 
 
 
 
Agora, vamos determinar a reta tangente ao gráfico de ​f​ em um ponto genérico 
(a, f(a))​. Para isso, vamos lembrar que a equação da reta tangente a uma função 
f(x)​ no ponto ​(a, f(a))​é: 
 
 
 
A seguir, vamos calcular ​f(a)​ e ​f’(a)​: 
 
 
 
Com isso, a equação da reta tangente no ponto ​(a, f(a))​ fica: 
 
 
 
 
 
c) 
Para descobrirmos o valor de ​d​, temos que usar uma informação bem 
importante: a reta tangente ao ponto ​(d, f(d))​ passa pela origem. Vamos usar a 
equação que descobrimos na letra (b) para descobrir quanto vale ​d​. Para isso, 
vamos substituir ​y = 0 ​ e ​x = 0​ (que são as coordenadas da origem). Além disso, no 
lugar de ​a​, vamos escrever ​d​. 
 
 
 
Ou seja, descobrimos que ​sen (d) = 0​. Isso significa que temos que encontrar um 
valor de ​d ​dentro do intervalo ​(𝜋/2, 3𝜋/2) ​cujo seno seja igual a zero. Então, ​d = 𝜋​, 
pois ​sen(𝜋) = 0​.  
 
d) 
Para saber a equação da reta tangente, basta trocarmos ​a​ por ​𝜋​ na equação que 
encontramos na letra (b). Veja: 
 
 
 
 
 
Para descobrir a distância percorrida pela bala, temos que calcular a hipotenusa 
do triângulo abaixo. 
 
 
 
Então, devemos aplicar Pitágoras: 
 
 
 
 
 
Universidade de Brasília 
Departamento de Matemática 
Cálculo 1 
1ª Prova 1.°/2018 14/04/2018 
Nome: Mat.: / 
 
 
1.​ Calcule os limites abaixo: 
 
a) [1,0] ​ ;lim
t→0 5t
sen(3t) 
b) [0,5] ;lim
h→9 h − 9
− 3√h 
c) [0,5] ​ ;lim
y→−∞ 3y
2
1 + 2y − y2 
d) [1,0] ​ ;lim
x→1 x − 1
1 − x| | 
 
2.​ O governo estima que o custo, em milhares de reais, para despoluir x% de uma reserva 
de água doce é dado pela função 
 
a) [0,5] Com base no texto, determine o domínio da função C e o valor de 
C(0). 
b) [1,0] Determine a assíntota do gráfico de C, usando a definição de 
assíntota. Em seguida, faça um esboço do gráfico. 
c) [1,0] É economicamente viável despoluir totalmente a reserva? Explique 
sua resposta. 
d) [1,0] Calcule, usando a regra do quociente, a taxa de variação do custo com 
respeito ao percentual de despoluição quando a reserva está a 50% despoluída. 
 
 
 
Universidade de Brasília 
Departamento de Matemática 
Cálculo 1 
1ª Prova 1.°/2018 14/04/2018 
Nome: Mat.: / 
 
3.​ As montanhas da figura são modeladas pelo gráfico da função , paraf (x) cos(x) = − x 
. Um atirador de elite, localizado na origem do sistema de − /2, 3π/2] x ∈ [ π 
coordenadas tenta neutralizar fugitivos que escalam a montanha à direita para escapar da 
linha de tira. Se os fugitivos passarem do ponto de tangência (​d, f​(​d​)), sairão do campo de 
visão do atirador. O problema é determinar a distância máxima entre o atirador e um alvo 
potencial. 
 
a) [1,0] Usando a definição, calcule .cos(x)ddx 
b) [1,0] Calcule . Em seguida, determine a equação da reta tangente aof (x)ddx 
gráfico de ​f​ por um ponto genérico (​a​, ​f​(​a​)), com .− /2, 3π/2) a ∈ ( π 
c) [0,5] Determine o valor de ​d​, sabendo que a reta tangente à montanha por 
(​d​, ​f​(​d​)), passa pela origem e que .2
π < d < 2
3π 
d) [1,0] Determine a equação da reta tangente por (​d​, ​f​(​d​)) calculado no item 
acima. Em seguida, supondo que o atirador atingiu um fugitivo exatamente no 
ponto (​d​, ​f​(​d​)), calcule a distância percorrida pela bala.