Lista de Exercícios - Tópicos de Matemática - Exame

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Lista de Exercícios – Tópicos de Matemática 
 
1) Resolva os sistemas por escalonamento: 
a) 








1z5y2x
14zy3x
13zy2x
 
b) 








3z3yx2
6zy3x
2zyx
 
c) 








0zy5x4
0zy3x2
0zyx
 
2) Em uma prova contendo 20 questões, um aluno tirou 8,5 pontos. Sabendo que a 
cada questão certa o aluno ganha 2 pontos e a cada questão errada o aluno perde 
0,5 ponto, quantas questões ele acertou? 
 
3) Um marceneiro fabrica 2 tipos de armário (A e B). Em uma semana ele montou 
20 armários em 50 horas de trabalho. Sabendo que o tempo gasto para a 
montagem do armário A é de 3 horas e do armário B é de 2 horas, quantos 
armários de cada tipo ele montou? 
 
4) Os funcionários de uma empresa de gás de rua precisam isolar uma área para 
escavação de um buraco. Sabendo que a área a ser isolada deve ser retangular e 
que os funcionários desta empresa usarão 30 metros de arame para esse 
isolamento, expresse a área isolada em função do maior lado. 
 
5) Uma pessoa deseja construir uma caixa sem tampa com um quadrado de papelão 
de 20 cm de lado. Com essa intenção, ele primeiramente cortou em cada um dos 
quatro cantos do papelão um quadrado de lado x. As abas resultantes são 
dobradas para cima, para formar os quatro lados da caixa. 
 
x x 
x 
x 
20 cm 
20 cm 
 
 
6) Uma empresa de equipamentos eletrônicos adquiriu uma máquina que sofre 
depreciação linear, por R$500000,00 reais. Após 3 anos o valor da máquina 
passa a ser R$350000. 
a) Expresse o valor da máquina em função do tempo. 
b) O valor do equipamento 5 anos após a compra 
c) Em quanto tempo a máquina perderá o valor total. 
 
7) Esboce o gráfico das funções a seguir 
a) 10x7xf(x) 2  
b) 1x2xf(x) 2  
 
8) Um homem deseja cercar um terreno retangular. Ele utilizará 30 metros de 
arame farpado para cercar os 4 lados do terreno. 
a) Escreva a expressão que relaciona a área em função do comprimento. 
b) Esboce o gráfico dessa função. 
c) Qual a área máxima que se pode obter? 
d) Quais as dimensões desse terreno para que se obtenha a maior área possível? 
 
9) No ano de 2005, uma empresa lançou um novo produto no mercado, com 
produção inicial de 2000 unidades. A quantidade P de unidades do produto 
produzidas a partir de 2005 segue a função x2000.0,95P(x)  , onde x representa 
o tempo em anos: 
a) Determine a quantidade de unidades produzidas em 2009 
b) Depois de quantos anos, após 2005, a produção foi de 1000 unidades? 
 
10) Em um triângulo ABC são dados 75ºÂ  , 60ºB̂  e cm12AB  . Determine 
AC e BC. 
 
11) Calcule a medida x indicada na figura abaixo: 
 
24 cm 
x 
10 cm 
100º 
 
 
Resolução 
1) 








1z5y2x
14zy3x
13zy2x

1521
14131
13121



1521
14131
13121


 
Todos os termos abaixo da diagonal principal devem ser 0. 
O primeiro termo que precisamos transformar em 0 é o 1. 
1521
14131
13121
L
L
L
3
2
1


 
Para isso podemos dizer que L2=L1-L2. Fazendo essa operação teremos: 
1521
1210
13121
L
L
L
3
2
1


 
Agora precisamos transformar o -1 em 0. 
1521
1210
13121
L
L
L
3
2
1


 
Para isso podemos dizer que L3=L3-L1. Fazendo essa operação teremos: 
12440
1210
13121
L
L
L
3
2
1 
 
E por fim precisamos transformar 4 em 0. 
12440
1210
13121
L
L
L
3
2
1 
 
Para isso podemos dizer que L3=L3-4L2. Fazendo essa operação teremos: 
8400
1210
13121
L
L
L
3
2
1


 
 
 
 
 
 
Agora podemos passar a matriz novamente para forma de sistema: 








8z4
1z2y
13zy2x
 
Dessa forma temos: 
8z4   2z  
1z2y  Substituindo o valor de z 1)22.(y   5y  
13zy2x  Substituindo os valores de y e z 13)2()52.(x   1x  
Nesse caso temos um sistema possível e definido. 
 
b) 








3z3yx2
6zy3x
2zyx

3312
6131
2121




3312
6131
2121



 
Todos os termos abaixo da diagonal principal devem ser 0. 
O primeiro termo que precisamos transformar em 0 é o -1. 
3312
6131
2121
L
L
L
3
2
1



 
Para isso podemos dizer que L2=L2+L1. Fazendo essa operação teremos: 
3312
4040
2111
L
L
L
3
2
1



 
Agora precisamos transformar o 2 em 0. 
3312
4040
2111
L
L
L
3
2
1



 
Para isso podemos dizer que L3=L3-2.L1. Fazendo essa operação teremos: 
1110
4040
2111
L
L
L
3
2
1



 
 
 
 
 
 
E por fim precisamos transformar -1 em 0. 
1110
4040
2111
L
L
L
3
2
1



 
Para isso podemos dizer que L3=4L3+L2. Fazendo essa operação teremos: 
8400
4040
2111
L
L
L
3
2
1



 
Agora podemos passar a matriz novamente para forma de sistema: 








8z4
4y4
2zyx
 
Dessa forma temos: 
8z4   2z  
4y4   1y  
2zyx  Substituindo os valores de y e z 22)1(x   5x  
 
c) 








0zy5x4
0zy3x2
0zyx













0154
0132
0111













0154
0132
0111
 
Todos os termos abaixo da diagonal principal devem ser 0. 
O primeiro termo que precisamos transformar em 0 é o 2. 
0154
0132
0111
L
L
L
3
2
1


 
Para isso podemos dizer que L2=L2-2L1. Fazendo essa operação teremos: 
0154
0310
0111
L
L
L
3
2
1


 
Agora precisamos transformar o 4 em 0. 
0154
0310
0111
L
L
L
3
2
1


 
 
 
Para isso podemos dizer que L3=L3-4.L1. Fazendo essa operação teremos: 
0310
0310
0111
L
L
L
3
2
1 
 
E por fim precisamos transformar 1 em 0. 
0310
0310
0111
L
L
L
3
2
1 
 
Para isso podemos dizer que L3=L3-L2. Fazendo essa operação teremos: 
0000
0310
0111
L
L
L
3
2
1 
 
Agora podemos passar a matriz novamente para forma de sistema: 








00
0z3y
0zyx
 
Como podemos observar, não podemos achar o valor z. Portanto vamos escrever 
tudo em função dessa incógnita: 
0z3y   z3y  
0zyx   0zz3x   z4x  
Nesse caso temos um sistema possível e indefinido, já que qualquer valor que 
substituirmos para z é valido. 
 
2) Nós sabemos que o número total de questões é igual a 20. Portanto a soma do 
número questões que aluno errou (y) com o número de questões certas (x) será 
igual a 20. 
20yx  
Além disso sabemos que a nota desse aluno foi igual a 8,5. Ou seja, o número de 
questões certas multiplicado pelo valor correspondente, menos o número de 
erros, multiplicado pelo valor que é descontado por cada erro, será igual a 8,5. 
8,5y0,25x0,5  
Como temos duas equações e duas incógnitas podemos montar o seguinte 
sistema: 
 
 





8,5y0,25x0,5
20yx
 
Primeiramente vamos passa o sistema para forma de matriz: 






8,50,25-0,5
2011
 
Agora vamos escalonar a matriz, transformando todos os números abaixo da 
diagonal principal em 0. 






8,50,25-0,5
2011
L
L
2
1
 
 
Nesse caso apenas 0,5 está abaixo da diagonal principal. Para transforma-lo em 
0 vamos realizar a seguinte operação: 122 LL2L  . Essa operação resultará na 
seguinte matriz: 






 31,50
2011
L
L
2
1
 
Passando novamente para a forma de sistema: 





-3y1,5-
20yx
 
Resolvendo as equações: 
3y1,5  
2y  (Questões erradas) 
Substituindo o valor de y: 
20yx  
202x  
18x  (Questões certas) 
R: O aluno errou duas questões. 
 
3) Como sabemos que no total ele montou 20 armários, podemos dizer que 
A+B=20 
Além disso o exercício diz que o marceneiro gasta 3 minutos para montar o 
armário A e 2 minutos para montar o armário B. E no total ele gastou 50 
minutos. Ou seja: 
3A+2B=50 
 
 
Nós temos duas equações e duas incógnitas. Portanto podemos montar o 
seguinte sistema: 





50B2A3
20BA
 
Vamos passar o sistema para forma de matriz e escalona-lo: 
5023
2011

5023
2011Todos os termos abaixo da diagonal principal devem ser 0. Para isso vamos 
realizar a seguinte operação: 122 L3LL  . Dessa forma teremos a seguinte 
matriz: 
1010
2011

 
Passando novamente para forma de sistema: 





10B
20BA
 
Sendo assim temos: 
10B   10B  
Se B=10, então: 
20BA   2010A   10A  
R: Ele montou 10 armários do tipo A e 10 armários do tipo B. 
 
4) Como sabemos o perímetro de um retângulo é dado pela soma de todos os lados. 
Portanto: 
b2a2P  
Como serão usados 30 metros de arame, podemos dizer que P = 30. 
b2a230   b)2(a30  
b)(a
2
30
  b)(a15   a15b  
A área do retângulo é dada por: 
b.aA  
Como a15b  , podemos substituir esse valor na equação da área. 
a)-.(15aA   2aa-15A  
 
 
5) O volume da caixa é dado por: 
altura x largura x oComprimentV  
xx).2x).(202(20V  
x.x)2(20V 2 
Aplicando a regra dos produtos notáveis, onde: 
222 bb.a2.ab)(a-  
x.x)2(20V 2  x].x)(2x2.20.2[20V 22  
x).x4x80(400V 2 
32 x4x80x400V  
 
b) Qual o volume da caixa para cm?2x  
Nós já sabemos que o volume da caixa é dado por: 
32 x4x80x400V  
Substituindo o valor de x: 
32 4.280.2400.2V  
4.880.4800V  
3cm 512V  
 
6) Sabemos que o preço inicial da máquina é R$500000, ou seja, atribuindo x para o 
tempo e y para preço temos: 500000y  para 0x  
Passados 3 anos temos: 350000y  para 3x  
Portanto podemos considerar que temos dois pontos: 
(3,350000)BPonto
(0,500000)A Ponto


 
 
Primeiramente vamos encontrar a inclinação da reta: 
12
12
xx
yy
a


 
03
500000350000
a


 
50000a  
Agora substituindo um dos pontos na equação, podemos encontrar b. Sendo que a 
equação da reta é dada por: 
baxy  
 
 
 
Substituindo os valores do ponto A: 
bx-50000y  
b-50000.0500000  
500000b  
Sendo assim a equação da reta será dada por: 
500000x-50000y  
 
b) Após 5 anos teremos x=5, portanto: 
500000x-50000y  
500000-50000.5y  
250000y  
 
c) Quando a máquina perder seu valor total, y que representa o preço da máquina será 
igual a 0. Portanto: 
500000x-50000y  
500000x-500000  
500000x50000  
50000
500000
x  
anos 10x  
 
7) Para 0y  temos: 
10x7xy 2  
 10x7x0 2  
 Resolvendo a equação por Bhaskara: 
 c.a4.bΔ 2 
4.1.107)(Δ 2  
9Δ  
a2
Δb
x

 
2.1
97)(
x

 
5
2
37
x1 

 
2
2
37
x 2 

 
 
 
Agora que já temos os valores de x para quando y = 0, vamos encontrar os valores de y 
para quando x = 0. 
10x7xy 2  
107.00y 2  
10y  
E por fim vamos encontrar os vértices da parábola. 
a2
b
xV

  3,5
2.1
7)(
x V 

 
a4
Δ
yV

  -2,25
4.1
9
yV 

 
Aplicando esses valores no gráfico: 
 
b) Para y = 0 temos: 
1x2xy 2  
1x2x0 2  
Resolvendo a equação por Bhaskara: 
c.a4.bΔ 2 
4.1.12)(Δ 2  
0Δ  
 
 
 
10 
3,5 
0 2 5 
 -2,25 
 
x 
 
y 
 
 
 
 
a2
Δb
x

 
2.1
02)(
x

 
 1
2
2
x  
 Agora que encontramos os valores de x para y = 0. Vamos encontrar o valor de y 
para x =0. 
 1x2xy 2  
 12.00y 2  
 1y  
 E por fim vamos encontrar os vértices da parábola. 
 
a2
b
x V

  1
2.1
2)(
x V 

 
 
a4
Δ
y V

  0
4.1
0
y V  
 (1,0)V  
 Substituindo esses valores no gráfico: 
 
 
 
 
 
0 1 
1 
x 
y 
 
 
8) Nós sabemos que a área do retângulo é dada por: 
y.xA  
Onde x representa o maior lado. 
O perímetro de um retângulo pode ser calculado 
por: 
y2x2P  
Conforme o enunciado do exercício, serão 
utilizados 30 m de arame. Portanto: 
y2x2P  
y2x230  
y)2(x30  
15yx   x-15y  
Substituindo o valor correspondente a y na equação da área: 
y.xA  
x)-.(15xA  
2xx-15A  
 
b) Para esboçar o gráfico da função, primeiramente, vamos encontrar os valores 
de x para A=0: 
2xx-15A  
2xx150  
c.a4.bΔ 2 
4.(-1).015Δ 2  
225Δ  
a2
Δb
x

 
2.(-1)
22515
x

 
0
2-
1515-
x1 

 
15
2-
1515-
x2 

 
Agora igualando x a 0: 
20-15.0A   0A  
x 
y 
 
 
Por fim vamos calcular os vértices da parábola. 
a2
b
xV

  7,5
2.(-1)
15
xV 

 
a4
Δ
yV

  56,25
4.(-1)
225
yV 

 
Esboçando o gráfico: 
 
c) Observando o gráfico podemos deduzir que a área máxima é igual a 56,25 m2 
 
d) Nós sabemos que a maior área possível é igual a 56,25 m2. Como a área é 
dada por: 
y.xA  
Analisando o gráfico, nós podemos observar que para A=56,25, nós temos 
x=7,5. Portanto: 
y.xA   y.5,725,56   7,5y  
Ou seja, para que o terreno tenho a maior área possível, teremos x=7,5 e 
y=7,5 
56,25 
A 
0 7,5 15 x 
 
 
 
 
9) Como se passaram 4 anos  x = 4. 
x2000.0,95P(x)  
42000.0,95P(4)  
unidades 1629P(4)  
 
b) x2000.0,95P(x)  
Como são 1000 unidades: 
x2000.0,951000  
2000
1000
0,95x  
0,50,95x  
0,5log)log(0,95x  
Podemos dizer que: loga.mloga
m  
0,5log0,95log.x  
-0,30.(-0,02)x  
0,02-
0,30-
x   anos 15x  
 
10) Como temos dois ângulos e um lado 
do triângulo, vamos utilizar a Lei dos 
Senos: 
Ĉsen
c
B̂sen
b
Âsen
a
 
45ºsen
12
75ºsen
a
 
0,71
12
0,97
a
 
0,97.12a0,71   16,4a  
Para encontrarmos b: 
A 
B C 
12 cm 
b 
a 
60º 
75º 
 
 
45ºsen
12
60ºsen
b
 
0,71
12
0,87
b
 
0,87.12b0,71   14,7b  
11) Como temos um ângulo e dois lados do triângulo, 
vamos utilizar a Lei dos Cossenos: 
cosÂ.c.b2.cba 222  
º100cos2.24.10.1024x 222  
0,17)480.(100576x2  
757,6x2  
757,6x  
cm 27,5x  
 
 
 
 
24 cm 
x 
10 cm 
100º 
b 
a 
c 
100º